CÀI ĐT CÁC GIAO M T MÃ Ặ Ậ
CÀI ĐT CÁC GIAO M T MÃ Ặ Ậ
DÙNG ĐNG CONG ƯỜ
DÙNG ĐNG CONG ƯỜ
ELLIPTIC TRÊN TR NG H U ƯỜ Ữ
ELLIPTIC TRÊN TR NG H U ƯỜ Ữ
H NẠ
H NẠ
M c tiêuụ
M c tiêuụ
•Ki n th c c b n v đng cong ellipticế ứ ơ ả ề ườ
Ki n th c c b n v đng cong ellipticế ứ ơ ả ề ườ
•Cài đt m t s giao th c m t mã dùng ặ ộ ố ứ ậ
Cài đt m t s giao th c m t mã dùng ặ ộ ố ứ ậ
đng congườ
đng congườ
I. CÁC KI N TH C LIÊN QUANẾ Ứ
I. CÁC KI N TH C LIÊN QUANẾ Ứ
1.
1. TR NG H U H NƯỜ Ữ Ạ
TR NG H U H NƯỜ Ữ Ạ
2.
2. ĐNG CONG ELLIPTICƯỜ
ĐNG CONG ELLIPTICƯỜ
3.
3. ĐNG CONG ELLIPTIC TRÊN RƯỜ
ĐNG CONG ELLIPTIC TRÊN RƯỜ
4.
4. ĐNG CONG ELLIPTIC TRÊN ƯỜ
ĐNG CONG ELLIPTIC TRÊN ƯỜ
TR NG FƯỜ
TR NG FƯỜ p
p
5.
5. ĐNG CONG ELLIPTIC TRÊN ƯỜ
ĐNG CONG ELLIPTIC TRÊN ƯỜ
TR NG FƯỜ
TR NG FƯỜ q
q
1.TR NG H U H NƯỜ Ữ Ạ
1.TR NG H U H NƯỜ Ữ Ạ
•Tr ngườ
Tr ngườ là t p K v i hai phép toán c ng ậ ớ ộ
là t p K v i hai phép toán c ng ậ ớ ộ
(+) và nhân(*) th a:ỏ
(+) và nhân(*) th a:ỏ
•K là nhóm aben v i phép toán c ng có ớ ộ
K là nhóm aben v i phép toán c ng có ớ ộ
ph n t trung hòa (c a phép c ng)ầ ử ủ ộ
ph n t trung hòa (c a phép c ng)ầ ử ủ ộ
•K\{O} là nhóm aben v i phép táon nhân có ớ
K\{O} là nhóm aben v i phép táon nhân có ớ
ph n t đn v ầ ử ơ ị
ph n t đn v ầ ử ơ ị
•V i m i a,b,c thu c K ta có:c(a+b)=ca+cbớ ọ ộ
V i m i a,b,c thu c K ta có:c(a+b)=ca+cbớ ọ ộ
Và (a+b)c=ca+cb (lu t phân ph i)ậ ố
Và (a+b)c=ca+cb (lu t phân ph i)ậ ố
•Tr ng có th có vô h n ph n t ( ườ ể ạ ầ ử
Tr ng có th có vô h n ph n t ( ườ ể ạ ầ ử VD
VD:
: R
R)
)
•M t ộ
M t ộtr ngườ
tr ngườ đc g i là ượ ọ
đc g i là ượ ọ h u h nữ ạ
h u h nữ ạ n u nó ế
n u nó ế
có h u h n ph n t . ữ ạ ầ ử
có h u h n ph n t . ữ ạ ầ ử VD:
VD:
•Z
ZP
P={0,1,…,p-2,p-1}
={0,1,…,p-2,p-1}
V i p nguyên t .ớ ố
V i p nguyên t .ớ ố
•(Z
(Zp
p v i phép c ng theo mod p, phép nhân ớ ộ
v i phép c ng theo mod p, phép nhân ớ ộ
theo mod p)-->m t tr ngộ ườ
theo mod p)-->m t tr ngộ ườ