Bài giảng CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Chia sẻ: Nguyen Tan Nghia | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

613
lượt xem 89
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khi tính toán 1 dầm đàn hồi chịu uốn nganh phẳng ngoài việc kiểm tra điều kiện bền ta còn phải kiểm tra điều kiện cứng của dầm. Muốn kiểm tra điều kiện cứng ta phải xét đến biến dạng của dầm. Ta rễ ràng thấy rằng dưới tác dụng của ngoại lực trục của dầm bị uốn cong. Đường cong này gọi là đường đàn hồi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

-1- BÀI GIẢNG SỐ: 07 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN MỤC ĐÍCH: Giới thiệu khái niệm, phương pháp tính toán chuyển vị của dầm chịu uốn. YÊU CẦU: • Nắm khái niệm về phương trình vi phân của đường đàn hồi. • Biết cách thiết lập phương trình vi phân của đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân không định hạn và phương pháp tải trọng giả tạo. THỜI GIAN: 06 Tiết (02 tiết lý thuyết, 02 tiết bài tập, 02 tiết thí nghiệm). VẬT CHẤT ĐẢM BẢO: • Phòng học và các thiết bị kèm theo • Bài giảng và các thiết bị phòng thí nghiệm SBVL. • Tài liệu tham khảo: 1. LÊ HOÀNG TUẤN + BÙI CÔNG THÀNH: SBVL. Tập 1 Nhà xuất bản: ĐH Bách Khoa TP Hồ Chí Minh.(Từ trang 127÷ 153) 2. NGUYỄN VĂN NHẬM - ĐINH DĂNG MIỄN. SBVL. NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp NỘI DUNG - PHƯƠNG PHÁP: A – Kiểm tra bài cũ: Thời gian: 05 phút Phương pháp: Kiểm tra miệng. B – Nội dung chính: Chia làm 4 phần lớn. I. KHÁI NIỆM: - Thời gian: 10 phút - Phương pháp: Thuyết trình, diễn giải.
-2- Khi tính toán 1 dầm chịu uốn ngang phẳng ngoài việc kiểm tra điều kiện bền ta còn phải kiểm tra điều kiện cứng của dầm. Muốn kiểm tra điều kiện cứng ta phải xét đến biến dạng của dầm. Ta rễ ràng thấy rằng dưới tác dụng của P ngoại lực trục của dầm bị uốn cong. Đường ϕ z cong này gọi là đường đàn hồi. K ϕ Xét 1 điểm K nào đó trên trục dầm, sau khi K’ v biến dạng K chuyển đến K’. Khoảng cách KK’ được gọi là chuyển vị thẳng của K. Phần Đường đàn hồi u chuyển vị này được phân làm 2 thành phần. y Hình 7-1 Đó là u và v // với trục z và trục y. Đồng thời ta cũng thấy rằng sau khi dầm bị biến dạng, mặt cắt ngang K bị xoay đi 1 góc ϕ . Góc ϕ này được gọi là chuyển vị góc của mặt cắt ngang tại điểm K. Góc ϕ đó cũng là góc giữa đường tiếp tuyến ở điểm K của đường đàn hồi và trục dầm khi chưa biến dạng (trục z). Như vậy 3 đại lượng u, v, ϕ là 3 thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K mà chúng ta cần xác định. Ở đây ta chỉ nghiên cứu trường hợp biến dạng của dầm là nhỏ. Do vây. có thể bỏ qua thành phần chuyển vị u // với trục dầm. Vì nó là đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn so với chuyển vị v và xem như KK’ = v. Nếu chọn trục dầm là z và trục y ⊥ z thì chuyển vị v chính là tung độ y của điểm K. Như vậy y hay v đều gọi là độ võng của K Như vậy ta có phương trình của đường đàn P hồi là: z Kϕ v(z) = y(z) ϕ (Hay còn gọi là phương trình độ võng). v=y Do ta xét trường hợp biến dạng của dầm là K’ nho nên chuyển vị góc ϕ có thể tính gần đúng z ϕy như sau: Hình 7-2 dv dy ≈ tgϕ = = = y' ( z ) dz dz dv dy Và phương trình góc xoay là: ϕ = = = y' ( z ) dz dz Vậy đạo hàm của đường đàn hồi bằng góc xoay của mặt cắt ngang. • Quy ước dấu của chuyển vị: + Độ võng y > 0 khi hướng xuống dưới. + Góc xoay ϕ > 0 nếu quay từ trục z đến tiếp tuyến với đường đàn hồi tại điểm khảo sát theo chiều kim đồng hồ. • Điều kiện cứng: Điều kiện cứng của dầm uốn ngang phẳng là độ võng lớn nhất của dầm không được vượt quá 1 giới hạn nhất định nào đó. Nếu gọi f là độ võng lớn nhất của dầm. Tức là f = v Max, l là chiều dài nhịp của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là:
-3- f  1 1  l  = 100 ÷  1000 f  Và tuỳ từng loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số   l II- PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐẦN HỒI Thời gian: 15 phút Phương pháp: Thuyết trình, diễn giải. Như phần: “ Uốn phẳng thanh thẳng”ta đã thành lập được sự liên hệ giữa độ cong của trục dầm sau khi biến dạng (Độ cong của đường đàn hồi) và mômen uốn là: Mx 1 = (a) ρ E.J x Mặt khác đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm số y(z). Nên độ cong của đường biểu diễn hàm số y(z) theo hình học giải tích được tính theo công 1 y' ' =± thức sau: (b) ( ) ρ 3 1 + y' 2 2 Mx y' ' =± Từ (a) và (b) suy ra: (c) (1 + y' ) 3 E.J x 2 2 Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi. Bây giờ ta phải chọn dấu sao cho thoả mãn 2 vế của đẳng thức trên. Ta nhận thấy các mẫu số của 2 vế trong công thức (c) đều là những số dương. Vậy ta chỉ cần chọn dấu sao cho phù hợp với các tử số. Để xét sự liên hệ giữa dấu của M x và y’’ ta khảo sát 2 trường hợp như hình 7-3. • Nếu Mx > 0 thì trục dầm bị cong xuống phía dưới. Nghĩa là nó lồi về phía dương trục y. => y’’ < 0 • Nếu Mx < 0 thì trục dầm bị cong lên phía trên. Nghĩa là nó lõm về hướng dương trục y. => y’’ > 0 Mx Mx z Mx Mx Mx>0 Mx
-4- Mx y' ' =− (e) (1 + y' ) 3 EJ x 2 2 Thực tế không cho phép các công trình hay chi tiết máy có chuyển vị lớn. Nên góc xoay cũng là bé. Và ta có thể bỏ qua y’2 so với 1. Tức là: (1 + y' ) 3 = 1 . Lúc này phương trình vi phân có dạng gần đúng là: 2 2 M y' ' = − x (1) E.J x Trong đó tích E.Jx gọi là độ cứng của dầm khi uốn [vì từ (a) ta thấy tích này càng lớn thì độ cong của dầm khi uốn càng nhỏ, dầm càng cứng và ngược lại. III- THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN Thời gian: 25 phút Phương pháp: Thuyết trình, diễn giải, lấy ví dụ chứng minh Ta nhận thấy vế phải của phương trình vi phân (1) chỉ là 1 hàm số theo toạ độ z. Nên nó chỉ là 1 phương trình vi phân thường. Do vậy: • Lấy tích phân lần 1 của (1) ta được phương trình góc xoay: Mx ϕ = y' (z ) = − ∫ dz + C ( Với C là hằng số tích phân) E.J x • Lấy tích phân lần 2 của (1) ta có phương trình độ võng y(z):   Mx y( z ) = ∫  − ∫ dz + C  dz + D (D là hằng số tích phân)   E.J x   Như vậy muốn có phương trình của ϕ và y(z) ta phải thiết lập được biểu thức của Mômen uốn Mx và độ cứng E.Jx. Các hằng số tích phân C và D được xác định theo điều kiện biên. 1. VÍ DỤ 1 : Lập phương trình độ võng, góc xoay của dầm bị ngàm 1 đầu và chịu lực tập trung ở đầu tự do. Dầm có E.Jx = const. BÀI GIẢI P • Dùng mặt cắt 1-1 cách 1 ngàm O một đoạn bằng z. O z z Ta có: 1 l Mx = - P.(l-z) y với (0 ≤ z ≤ l) Hình 7-4
-5- − P.( l − z ) P.(l − z) ⇒ y" (z) = − = Trong đó E.Jx = const E.J x E.J x • Lấy tích phân lần 1 được phương trình góc xoay sau: P P.l P ⋅ ∫ ( l − z ) dz + C = ⋅ z2 + C ϕ = y' (z ) = ⋅z − E.J x E.J x 2E.J x • Lấy tích phân lần 2 được phương trình đường đàn hồi y(z) sau: P.l P y( z) = ∫ y' (z).dz + D = ⋅ z2 − ⋅ z 3 + Cz + D 2E.J x 6E.J x • Xác định các hằng số tích phân C và D bằng điều kiện biên. Ta thấy tại ngàm (khi z = 0) thì độ võng y = 0 và góc xoay ϕ = y’ = 0. Do đó => C = 0 và D = 0 • Phương trình y và y’ = ϕ có dạng sau: P.z 3 P.l P P.l ⋅ z 2 và y = ϕ = y' = ⋅z − ⋅ z2 − E.J x 2E.J x 2E.J x 6.E.J x Nhìn vào hình vẽ ta thấy ngay ϕ và y có giá trị lớn nhất ở đầu tự do của dầm (z = l). Lúc đó ta có: P.l 3 P.l 2 y Max = ϕ Max = và 3.E.J x 2.E.J x Các giá trị này đều dương , chứng tỏ độ võng hướng theo chiều dương của trục y và mặt cắt ngang xoay thuận chiều kim đồng hồ. 2. VÍ DỤ 2: Lâp phương trình độ võng và góc xoay của dầm đặt lên 2 gối tựa, chịu tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ 7-5 BÀI GIẢI Ta thấy phương trình mômen a b uốn trên 2 đoạn khác nhau. Vì vậy các biểu thức của y và ϕ trên 2 1P 2 B đoạn cũng khác nhau. A z • Dùng mặt cắt 1-1 cách A z1 1 z2 một đoạn là z1. Xét phần bên trái 2 P.b M1 = ⋅ z1 ta có: l x l Hình 7-5 với ( 0 ≤ z1 ≤ a )
-6- • Dùng mặt cắt 2-2 cách A một khoảng z2. Xét phần bên phải ta có: P.a M2 = (l − z 2 ) với ( a ≤ z2 ≤ l) x l Như vậy phương trình vi phân của đường đàn hồi trong các đoạn là: P.b y"1 = − ⋅ z1 (a ) l.E.J x P.a =− ⋅ (l − z 2 ) y' ' 2 ( b) l.E.J x • Tích phân liên tiếp 2 phương trình (a) và (b) ta được:  P.b 2 y'1 = − ⋅ z1 + C  2.l.E.J x  ( 0 ≤ z1 ≤ a )   y = − P.b ⋅ z 3 + C .z + D 1 1 11 1 6.l.E.J x   P.a (l − z 2 ) 2 + C 2 y' 2 = −  2.l.E.J x  (a ≤ z2 ≤ l)   y = − P.a (l − z ) 3 + C .z + D 2 2 22 2 6.l.E.J x  Để xác định hằng số tích phân ta dựa vào các điều kiện biên và điều kiện liên tục sau: + Tại z1 = 0 thì y1 = 0 + Tại z2 = l thì y2 = 0 + Tại z1 = z2 = a thì ta có y1 = y2 và y’1 = y’2 Từ 4 điều kiện trên ta được: D1 = 0 ( z1 = 0) P.a (l − l) 3 + C 2 .l + D 2 = 0 ⇒ C 2 .l + D 2 = 0 y2 = − ( z 2 = l) 6.l.E.J x  P.b P.a ⋅ a 3 + C1.a + D1 = − ⋅ b 3 + C 2 .a + D 2  y1 = y 2 ⇒− 6.l.E.J x 6.l.E.J x  ( z1 = z 2 = a ) P.b P.a  2 2 y'1 = y'2 ⇒ − ⋅ a + C2 = − ⋅ b + C2  2.l.E.J x 2.l.E.J x  Giải các phương trình trên ta có các nghiệm số sau: P.a.(l 2 − a 2 ) D2 = 6.E.J x P.b.(l 2 − b 2 ) P.a.(l 2 − a 2 ) C1 = C2 = − ; 6.l.E.J x 6.l.E.J x Vậy phương trình y và y’ ở từng đoạn như sau:
-7- ( )  P.b  l 2 − b 2 z1  2 ϕ1 = y'1 = −  l.EJ x  b 2  ( 0 ≤ z1 ≤ a )  ( ) P.b  l 2 − b 2 z3   y1 = ⋅ z1 − 1    l.E.J x  6 6  ( ) P.a  ( l − z 2 )  l2 − a 2  2 ϕ 2 = y' 2 = − −    l.E.J x  2 6  ( a ≤ z2 ≤ l )  ( ) P.a  ( l − z 2 ) l 2 − a 2 ( l − z 2 )  3   y 2 = l.E.J  −  6 6 x  Muốn tìm độ võng lớn nhất trong dầm ta dựa vào điều kiện y’ = 0. Qua ví dụ này ta thấy rằng: nếu trên dầm có nhiều đoạn chịu lực khác nhau thì phải thiết lập phương trình vi phân của đường đàn hồi cho từng đoạn riêng biệt. Ở mỗi đoạn ta phải xác định 2 hằng số tích phân. Nếu dầm có n đoạn chịu lực khác nhau thì phải xác định 2n hằng số tích phân. Tức là phải tìm ra 2n phương trình với 2n ẩn số nhờ các điều kiện trên. Bài toán càng chở nên phức tạp nếu số đoạn chịu lực khác nhau càng lớn. Vì vậy phương pháp này ít áp dụng khi dầm chịu tải trọng phức tạp. IV- PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (Phương pháp đồ toán) Thời gian: 25 phút Phương pháp: Thuyết trình Ở các phần trước ta thiết lập được sự liên hệ vi phân giữa nội lực và tải d2M = q(z) trọng như sau: dz 2 d2y M Và giữa nội lực và chuyển vị như sau: y" = =− x 2 E.J x dz Đối chiếu 2 phương trình trên ta thấy có sự tương tự sau: M y dM dy =Q = y' dz dz d2M d2y M dQ dy' = = q(z) = =− x dz 2 dz 2 dz dz E.J x Chúng ta nhận thấy muốn tính góc xoay ϕ và độ võng y thì phải lấy tích phân 1 lần và 2 lần hàm số Mx. Muốn có lực cắt Qy và mômen uốn Mx thì phải lấy tích phân liên tiếp 1 lần, 2 lần hàm số tải trọng q(z) Nếu ta tưởng tượng tác dụng lên 1 dầm nào đó (Gọi là dầm giả tạo) một tải trọng phân bố giả tạo có cường độ là:
-8- Mx =− q gt E.J x Mx Nghĩa là quy luật phân bố của qgt giống như quy luật phân bố của . E.J x Như vậy chúng ta có sự tương đương sau: d2y ( Tải trọng giả tạo) M = − x = q gt dz 2 E.J x ( Lực cắt giả tạo) = Q gt y' ( Mômen giả tạo) = M gt y Từ trên ta thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì ta chỉ cần vẽ biểu đồ lực cắt Qgt và biểu đồ Mômen Mgt do tải trọng giả tạo nào đó gây ra. Như vậy điều kiện : y’ = Qgt và y = Mgt phải được thoả mãn ở mọi điểm trong cả dầm thực đã cho và dầm giả tạo. Hay nói cách khác biểu đồ độ võng và góc xoay trong dầm thực phải hoàn toàn trùng với biểu đồ mômen uốn giả tạo và lực cắt giả tạo trong dầm giả tạo. Để các điều kiện trên được thoả mãn thì bắt buộc phải có sự tương đương giữa dầm thực và dầm giả tạo về điều kiện biên. Tức là ở những điểm nào trên dầm thực mà độ võng và góc xoay bằng 0 thì trên dầm giả tạo Mgt và Qgt phải bằng 0. Dựa vào đó ta có một số sơ đồ sau: DẦM THỰC DẦM GIẢ TẠO B B A A Mgt=0; Qgt≠ 0 Mgt=0; Qgt≠ 0 y=0; y’≠ 0 y=0; y’≠ 0 A B B A y≠ 0; Mgt=0; Qgt=0 Mgt≠ 0; Qgt≠ 0 y=0; y’=0 y’≠ 0 C C B A B A Mgt= 0 y≠ 0 Mgt≠ 0 y=0; y’≠ 0 y=0; y’≠ 0 Mgt= 0; Qgt≠ 0 y’≠ Qgt≠ 0 Qgt≠ 0 0 D A B C B C D A y≠ 0 y≠ 0 Mgt=0 Mgt=0 Mgt≠ 0 Mgt≠ 0 y=0; y’≠ 0 y=0; y’≠ 0 y’≠ y’≠ Qgt≠ 0 Qgt≠ 0 Qgt≠ 0 0 Qgt≠ 0 0
-9- Mx Nhận xét: Qua biểu thức q gt = − ta thấy qgt luôn ngược dấu với E.J x mômen uốn Mx. Vì vậy: • Nếu Mx > 0 thì qgt < 0. Nghĩa là biểu đồ Mx nằm phía dưới trục hoành thì chiều của qgt phải hướng xuống dưới và ngược lại. • Khi xác định Mgt và Qgt chúng ta phải biết diện tích và trọng tâm của một số biểu đồ dạng đường cong bậc 2 và bậc 3 sau đây: VỊ TRÍ TRỌNG TÂM HÌNH DÁNG TẢI TRỌNG DIỆN TÍCH x1 x2 h C l 2l h.l x2 3 3 x1 2 l VỊ TRÍ TRỌNG TÂM HÌNH DÁNG TẢI TRỌNG DIỆN TÍCH x1 x2 h C l 2.l h.l x2 3 3 x1 2 l Đỉnh Parabol h.l h C l 3.l 3 4 4 x2 x1 l B ậc n l.( n + 1) C h h.l l n +1 n+2 n+2 x1 x2 l Đỉnh Parabol C 2.h.l 3.l 5.l h 3 8 8 x1 x2 l
- 10 - Đỉnh Parabol C 2.h.l l l h 3 2 2 x1 x2 l 2.h.l l l 3 2 2 C h VÍ DỤ: Xác x1nh độ võngx2 góc xoay ở đầu mút tự do A của trục chịu lực đị và như hình vẽ. l BÀI GIẢI 1. Biểu đồ nội lực: Mômen uốn của dầm được biểu diễn như hình vẽ 7- 6a. Tính tải trọng giả tạo theo công thức: M0= 2Pa M0= 2qa 2EJx M EJx P q gt = − x P E.J x A B C D a a a a a Mx P.a P.a a) P.a P.a P.a P.a P.a E.J x 2E.J x E.J x b) P.a B C P.a D A E.J x E.J x P.a P.a C B Vgt Vgt 2E.J x E.J x c) B C P.a P.a R R E.J x E.J x d) Hình 7-6 C B A Vgt D Vgt
- 11 - 2. Chọn dầm giả tạo: Như hình 7-6b. Để tính được Qgt và Mgt ta chia dầm làm 3 dầm đơn như hình 7-6c và 7-6d. Phản lực ở B va C của dầm giả tạo hình 7-6c tính được như sau: 5 Pa 2 1 2Pa Pa B C Vgt = Vgt = ( ⋅a + ⋅ a) = ⋅ 2 E.J x 2E.J x 4 E.J x 3. Tính góc xoay và độ võng tại A: Góc xoay và độ võng tại A của dầm thực chính bằng lực cắt Q gt và Mgt tại A trong dầm giả tạo hình 7-6d. Tức là: 5 Pa 2 1 Pa 3 Pa 2 A B + ϕ A = Q gt = Vgt − R = − ⋅a = 4 E.J x 2 E.J x 4 E.J x 5 Pa 3 1 Pa 2 2 11 Pa 3 2 A B =− ×a + R ⋅ ×a = − + ⋅ ⋅a = − M gt Vgt + yA = 3 4 E.J x 2 E.J x 3 12 E.J x Như vậy góc xoay ϕ A (+) nghĩa là mặt cắt ngang ở A xoay thuận chiều kim đồng hồ. Độ võng tại A mang dấu (-) nghĩa là ở A võng lên trên. Ngoài 2 phương pháp giới thiệu trên ta có thể sử dụng phương pháp thông số ban đầu... để tìm độ võng và góc xoay của dầm chịu uốn. V- HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU 1. Thế nào là đường đàn hồi. Phương trình đường đàn hồi, phương trình góc xoay và quy ước dấu. 2. Hãy thiết lập phương trình vi phân của đường đàn hồi? 3. Thiết lập phương trình đường đàn hồi bằng phương pháp tích phân không định hạn và phương pháp tải trọng giả tạo. RÚT KINH NGHIỆM