CƠ HC MÔI TRNG LIÊN TC
TS. PH
M V
N

T
120
Chng 4: LÝ THUYT ÀN H2I TUYN TÍNH
4.1 $nh lut Hooke
V
i v
t th
àn h
i tuy
n tính, do
ó m
i quan h
gi
a
ng su
t và bi
n d
ng là m
i
quan h
tuy
n tính do
ó:
11 11 12 13 14 15 16 11
22 21 22 23 24 25 26 22
33 31 32 33 34 35 36 33
12 41 42 43 44 45 46 12
23 51 52 53 54 55 56 23
31 61 62 63 64 64 66 31
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
σ ε
σ ε
σ ε
=
σ ε
(4.1)
trong
ó:
ij
c
:là các h
.
ng s
àn h
i c
a v
t li
u,

i v
i bài toán
àn h
i tuy
n tính có 36
h
.
ng s
.
Công th
c (4.1) chính là công th
c c
a

nh lu
t Hooke m
r
"
ng.
CƠ HC MÔI TRNG LIÊN TC
TS. PH
M V
N

T
121
4.2 Th n3ng bin dng
Xét m
"
t v
t th
àn h
i, khi ch
u tác
d
ng c
a ngo
i l
c thì v
t th
b
bi
n d
ng.
Các n
"
i l
c
àn h
i s
th
c hi
n m
"
t công
nào
ó trên nh
ng bi
n d
ng
àn h
i. Ta s
&
d
ng gi
thuy
t c
a lý thuy
t
àn h
i là
công c
a l
c
àn h
i chuy
n hoàn toàn
thành th
n
0
ng tích l
y khi v
t th
bi
n d
ng
àn h
i. N
0
ng l
$
ng tích l
y bi
n d
ng
trong m
"
t

n v
th
tích
$
c g
i là th
n
0
ng riêng.
Hình 4.1
dx
3
dx
2
dx
1
σ

σ

σ

σ

σ

σ

τ

τ

τ

τ

τ
21
τ

τ
21
τ

τ

τ

τ

τ

x
1
x
2
x
3
CƠ HC MÔI TRNG LIÊN TC
TS. PH
M V
N

T
122
Xét m
"
t phân t
, trên m
"
t c
a phân t
có các thành ph
%
n
ng su
t. Công phân t
do các
n
"
i l
c sinh ra trong bi
n d
ng
àn h
i:
11 11 22 22 33 33 12 12 23 23 31 31
1 1 1 1 1 1
dA dV dV dV dV dV dV
2 2 2 2 2 2
= σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ γ
( )
11 11 22 22 33 33 12 12 23 23 31 31
1
dA dV
2
= σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ γ
(4.2)
Th
n
0
ng riêng:
( )
11 11 22 22 33 33 12 12 23 23 31 31
dA 1
U
dV 2
= = σ ε + σ ε + σ ε + σ γ + σ γ + σ γ
(4.3)
Công th
c Castigliano cho v
t th
àn h
i tuy
n tính:
ij
ij
U
∂
ε =
∂σ
(4.4)
Công th
c Green cho v
t th
à h
i tuy
n tính:
ij
ij
U
∂
σ =
∂ε
(4.5)
CƠ HC MÔI TRNG LIÊN TC
TS. PH
M V
N

T
123
4.3 S, thu gn các h-ng s àn hi
4.3.1 Tính i x ng ca ma trn các h-ng s àn hi
Ta có,

o hàm riêng c
a th
n
0
ng riêng theo bi
n d
ng không ph
thu
"
c vào th
t
l
y

o hàm nên:
2 2
ij kl kl ij
U U
∂ ∂
=
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε
(4.6)
T
*
ó rút ra:
ij ji
c c
=
(4.7)
Nh
v
y t
*
36 h
.
ng s
"
c l
p gi
ch
3
còn 21 h
.
ng s
"
c l
p.
CƠ HC MÔI TRNG LIÊN TC
TS. PH
M V
N

T
124
4.3.2 Vt th àn hi tr,c h#ng
Trong tr

ng h
$
p t
ng quát h
s
àn h
i ph
thu
"
c vào cách ch
n h
tr
c t
a
"
, v
t
th
nh
v
y g
i là v
t th
d
h
ng. Bây gi
xét v
t th
có 1 m
t

i x
ng (ch
+
ng h
n m
t
1 2
x x
) do
ó khi ta thay

i chi
u c
a tr
c thì trong bi
u th
c U h
s
các bi
n d
ng
23 31
;
γ γ
không thay

i, ngh
!
a là:
15 16 25 26 35 36 45 46
c c c c c c c c 0
= = = = = = = =
(4.8)
Nh
v
y ma tr
n các h
.
ng s
àn h
i còn l
i 13 thành ph
%
n
"
c l
p và bi
u th
c

nh
lu
t Hooke có d
ng: