Bài giảng Cơ học vật liệu chương 2: Dương Phạm Tường Minh

2

Ứng suất và Biến dạng – Tải trọng dọc trục

Nội dung

Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục Biến dạng dọc Thí nghiệm Ứng suất-Biến dạng Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn Định luật Hooke: Mô đun đàn hồi Ứng xử đàn hồi và dẻo Mỏi Biến dạng khi kéo nén Ví dụ 2.01 Bài tập ví dụ 2.1 Bài toán siêu tĩnh Ví dụ 2.04 Ứng suất nhiệt Hệ số Poisson Định luật Hooke tổng quát Sự giãn nở: Mô đun đàn hồi khối Biến dạng trượt Ví dụ 2.10 Mối liên hệ giữa E, n, và G Bài tập ví dụ 2.5 Vật liệu Composite Nguyên lý Saint-Venant Tập trung ứng suất: Lỗ Tập trung ứng suất: Góc lượn Ví dụ 2.12 Vật liệu đàn dẻo Biến dạng dẻo Ứng suất dư Ví dụ 2.14, 2.15 và 2.16

2 - 2

Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục

• Việc thiết kế máy hoặc kết cấu cần phải quan tâm đến biến dạng và ứng suất sinh ra khi chúng chịu tác dụng của tải trọng. Vấn đề này chưa được quan tâm trong các bài toán tĩnh học.

• Coi các kết cấu là các vật rắn biến dạng cho phép xác định được các lực

và phản lực trong các bài toán siêu tĩnh.

• Để xác định sự phân bố ứng suất trong một bộ phận kết cấu thì phải

• Chương này đề cập đến biến dạng của một bộ phận kết cấu chịu tác dụng bởi tải trọng dọc trục. Những chương tiếp theo sẽ giải quyết các bài toán xoắn và uốn thuần túy.

quan tâm đến các biến dạng của nó.

2 - 3

Biến dạng dọc

Hình 2.1 Thanh chịu kéo

Ứng suất

Biến dạng

2 - 4

Thí nghiệm xác định quan hệ Ứng suất-Biến dạng

Hình 2.2 Máy thí nghiệm kéo Hình 2.3 Mẫu thí nghiệm kéo

2 - 5

Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo

(a) Thép các-bon thấp

(b) Hợp kim nhôm

Hình 2.4 Đồ thị ứng suất-biến dạng của 2 vật liệu dẻo điển hình

2 - 6

Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn

Hình 2.5 Đồ thị ứng suất-biến dạng của vật liệu dòn điển hình

2 - 7

Định luật Hooke (Húc): Mô đun đàn hồi

• Giai đoạn đàn hồi (phía dưới

ứng suất chảy)

• Độ bền bị ảnh hưởng bởi việc hợp kim hóa, xử lí nhiệt, quá trình sản xuất nhưng độ cứng (Mô đun đàn hồi) thì không.

E = Mô đun đàn hồi

Hình 2.6 Đồ thị ứng suất-biến dạng của sắt và các loại thép khác nhau

2 - 8

Ứng xử Đàn hồi và Dẻo

• Nếu biến dạng biến mất khi thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm việc trong miền đàn hồi.

• Giá trị ứng suất lớn nhất tương ứng với giai đoạn đàn hồi được gọi là giới hạn đàn hồi.

• Nếu biến dạng không trở về vị trí ban đầu sau khi thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm việc trong miền dẻo.

Hình 2.7 Quan hệ ứng suất-biến dạng của vật liệu dẻo chịu tải vượt quá giới hạn chảy sau đó nhả tải

2 - 9

Mỏi

• Đặc tính mỏi của vật liệu được

biểu diễn trên đồ thị Ứng suất-số chu kỳ nghịch đảo.

• Khi ứng suất được giảm xuống dưới giới hạn bền mỏi, thì phá hỏng do mỏi sẽ không xảy ra với bất kỳ số chu kỳ nào.

• Một chi tiết có thể bị phá hỏng ở giá trị ứng suất khá thấp so với giới hạn bền khi nó chịu tải trọng theo chu kỳ. Khi đó ta nói chi tiết bị phá hỏng do mỏi.

Hình 2.8 Các đường cong -n điển hình

2 - 10

Biến dạng khi kéo nén

• Theo định luật Húc có:

• Theo định nghĩa biến dạng có:

• Suy ra:

• Nếu tải trọng, mặt cắt ngang hoặc các thuộc

tính của vật liệu thay đổi thì,

Hình 2.9 Biến dạng của thanh chịu tải trọng dọc trục

2 - 11

Ví dụ 2.01

• Phân đoạn tải trọng cho thanh dựa

HƯỚNG GIẢI:

theo vị trí đặt lực.

• Áp dụng điều kiện cân bằng cho mỗi đoạn để xác định nội lực

• Tính tổng các biến dạng của từng

đoạn.

Xác định biến dạng cho thanh thép chịu lực như hình vẽ.

2 - 12

cho mỗi đoạn để xác định các nội lực,

LỜI GIẢI: • Áp dụng các phương trình cân bằng tĩnh học

• Chia thanh thành 3 đoạn:

• Tính chuyển vị tổng,

2 - 13

Bài tập ví dụ 2.1

HƯỚNG GIẢI:

• Xét sự cân bằng cho thanh BDE để tìm nội lực trong các thanh AB và DC.

• Xác định biến dạng của các thanh AB và DC hoặc chuyển vị của các điểm B và D.

Thanh tuyệt đối cứng BDE được treo bởi 2 thanh AB và CD và chịu tác dụng bởi 1 lực 30 kN như hình vẽ. • Xét tương quan hình học để tìm

chuyển vị tại E theo các chuyển vị tại B và D.

Thanh AB bằng nhôm (E = 70 GPa) và có diện tích mặt cắt ngang là 500 mm2. Thanh CD bằng thép (E = 200 GPa) và có diện tích mặt cắt ngang là 600 mm2.

Xác định chuyển vị của các điểm B, D, và E.

2 - 14

Bài tập ví dụ 2.1

Chuyển vị của điểm B: LỜI GIẢI:

Vật thể tự do: Thanh BDE

Chuyển vị của điểm D:

2 - 15

Bài tập ví dụ 2.1

Chuyển vị của điểm D:

2 - 16

Bài toán siêu tĩnh

• Các kết cấu chịu lực trong đó các nội lực và phản

lực liên kết không thể xác định được từ các phương trình cân bằng tĩnh học đơn thuần được gọi là siêu tĩnh.

• Một kết cấu được gọi là siêu tĩnh khi nó có số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để giữ nó cân bằng.

• Các liên kết thừa được thay thế bằng các phản lực liên kết chưa biết, các phản lực này cùng với các tải trọng phải gây ra các biến dạng phù hợp.

• Các biến dạng do tải trọng và liên kết thừa gây ra được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng.

2 - 17

Ví dụ 2.04

Xác định các phản lực liên kết tại A và B cho thanh thép chịu tải như hình vẽ, giả thiết rằng không có khe hở tại các gối trước khi tác dụng lực.

• Coi liên kết tại B là thừa, giải phóng liên kết tại đó và giải tìm chuyển vị tại B do tải trọng gây ra.

HƯỚNG GIẢI:

• Tìm chuyển vị tại B do phản lực liên kết thừa tại

đó gây nên.

• Điều kiện là chuyển vị do tải trọng và phản lực liên kết thừa gây ra phải phù hợp, tức là tổng chuyển vị của chúng phải bằng 0.

• Xác định phản lực tại A do tải trọng và phản lực

đã tìm được tại B.

2 - 18

Ví dụ 2.04

LỜI GIẢI: • Xác định chuyển vị tại B do riêng tải trọng gây ra,

• Xác định chuyển vị tại B do liên kết thừa gây ra,

2 - 19

Ví dụ 2.04

ra phải phù hợp, tức là:

• Tìm phản lực tại A do tải trọng và phản lực tại B gây ra

• Lưu ý rằng các chuyển vị do tải trọng và liên kết thừa gây

2 - 20

Ứng suất nhiệt

• Nhiệt độ thay đổi sẽ gây ra sự thay đổi chiều dài hoặc biến dạng nhiệt. Sẽ không có ứng suất sinh ra do biến dạng nhiệt nếu độ dãn dài không bị khống chế bởi các gối.

• Coi liên kết tại gối là thừa và áp dụng nguyên lý độc

lập tác dụng.

• Biến dạng nhiệt và biến dạng do liên kết thừa gây ra

phải phù hợp, tức là:

2 - 21

Hệ số Poát-xông (Poisson)

• Đối với một thanh mảnh chịu tải trọng dọc

trục thì:

• Độ giãn dài theo phương x sẽ đồng thời kèm

theo độ co lại theo các phương khác. Giả thiết rằng vật liệu là đẳng hướng thì,

• Khi đó hệ số poát-xông được định nghĩa là,

2 - 22

Định luật Húc tổng quát

• Xét phân tố của vật thể chịu nhiều tải trọng

vuông góc, các thành phần biến dạng dài do ứng suất pháp gây ra có thể được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng. Để thực hiện được điều này, cần phải có các giả thuyết:

• Quan hệ ứng suất – biến dạng:

1) biến dạng tuyến tính với ứng suất 2) các biến dạng là nhỏ

2 - 23

Sự giãn nở: Mô đun khối

• Xét phân tố hình hộp, khi bị biến dạng thì sự thay đổi thể

tích so với ban đầu sẽ là:

• Đối với phân tố chịu áp lực thủy tĩnh đều, có

• Khi chịu áp lực đều, sự giãn nở phải có giá trị âm,

do đó

Biến dạng trượt

• Phân tố hình hộp khi chịu ứng suất tiếp sẽ chỉ bị biến dạng góc. Biến dạng trượt là sự thay đổi góc giữa các mặt bên và phụ thuộc vào ứng suất tiếp

• Biểu đồ quan hệ ứng suất tiếp - biến dạng trượt

tương tự như biểu đồ ứng suất pháp - biến dạng dài, nhưng giới hạn đàn hồi thì gần bằng một nửa. Với các biến dạng nhỏ, ta có:

Trong đó G là mô đun đàn hồi trượt.

2 - 25

Ví dụ 2.10

HƯỚNG GIẢI:

• Xác định biến dạng góc trung bình

hoặc biến dạng trượt của khối.

• Sử dụng định nghĩa ứng suất để tìm

• Áp dụng định luật Húc cho ứng suất tiếp và biến dạng trượt để tìm ứng suất tiếp tương ứng.

lực P.

Một khối hộp chữ nhật có mô đun đàn hồi trượt G = 90 ksi được ghép với 2 tấm tuyệt đối cứng nằm ngang. Tấm bên dưới được giữ cố định, tấm bên trên chịu tác dụng bởi lực ngang P. Biết rằng sau khi chịu lực tấm trên di chuyển được 1 lượng 0.04 in. Hãy xác định:

a) Biến dạng trượt trung bình trong vật

liệu.

b) Lực P tác dụng lên tấm.

2 - 26

• Xác định biến dạng góc trung bình hoặc biến

dạng trượt của khối.

• Áp dụng định luật Húc cho ứng suất và biến dạng trượt để tìm ứng suất tiếp tương ứng.

• Sử dụng định nghĩa ứng suất trượt để xác

định lực P.

2 - 27

Mối liên hệ giữa E, n, và G

• Một thanh chịu kéo dọc trục sẽ bị giãn theo phương dọc trục và bị co lại theo phương vuông góc.

• Một phân tố hình lập phương được định hướng như ở hình trên sẽ biến dạng thành hình hộp chữ nhật. Tải trọng dọc trục gây ra biến dạng dọc.

• Nếu phân tố lập phương được định hướng như trong hình dưới thì nó sẽ biến dạng thành hình thoi. Tải trọng dọc trục cũng gây ra biến dạng trượt.

• Các thành phần của biến dạng dọc và trượt

được liên hệ với nhau bởi,

2 - 28

Bài tập ví dụ 2.5

Vạch một đường tròn đường kính d = 9 in. lên một tấm nhôm có bề dày t = 3/4 in. Lực tác dụng lên các mặt của tấm gây ứng suất pháp x = 12 ksi và z = 20 ksi.

Biết E = 10x106 psi và n = 1/3, xác định các thay đổi về:

a) độ dài của đường kính AB,

b) độ dài của đường kính CD,

c) bề dày của tấm, và

d) thể tích của tấm.

2 - 29

• Tính các thành phần biến dạng.

• Áp dụng định luật Húc tổng quát để tìm 3 thành phần biến dạng dọc.

LỜI GIẢI:

• Xác định sự thay đổi thể tích

2 - 30

Vật liệu Composite

• Vật liệu composite cốt sợi được tạo thành từ lớp mỏng các sợi graphite, thủy tinh, hoặc polymer được kết hợp lại với nhau bởi chất kết dính.

nhau bởi định luật Húc, nhưng theo các mô đun đàn hồi của các phương tương ứng,

• Ứng suất pháp và biến dạng dọc được liên hệ với

• Các biến dạng ngang được liên hệ với nhau bởi các giá trị của hệ số poát-xông theo các hướng tương ứng, chẳng hạn như,

• Các vật liệu có các thuộc tính cơ học phụ thuộc hướng

được gọi là dị hướng.

2 - 31

Nguyên lý Saint-Venant

• Tải trọng được truyền qua các tấm tuyệt đối cứng sẽ tạo ra sự phân bố đều ứng suất và biến dạng.

• Tải trọng tập trung gây ra ứng suất lớn

ở vùng lân cận của điểm đặt lực.

• Sự phân bố ứng suất và biến dạng

của các điểm trên mặt cắt sẽ dần đều tại một khoảng cách tương đối gần tính từ vì trí đặt lực.

• Nguyên lý Saint-Venant:

Sự phân bố ứng suất có thể được coi như không phụ thuộc vào dạng tải trọng tác dụng ngoại trừ vùng lân cận với điểm tác dụng lực.

2 - 32

Tập trung ứng suất: Lỗ

Các thanh dẹt có lỗ

Sự gián đoạn của mặt cắt ngang có thể dẫn đến các ứng suất cục bộ lớn hoặc các ứng suất tập trung.

2 - 33

Tập trung ứng suất: Góc lượn

Các thanh dẹt có góc lượn

2 - 34

Ví dụ 2.12

HƯỚNG GIẢI:

• Xác định các tỉ số hình học và hệ số tập trung ứng suất từ hình 2.64b.

• Tìm ứng suất trung bình cho phép bằng cách sử dụng ứng suất cho phép của vật liệu và hệ số tập trung ứng suất.

• Áp dụng định nghĩa của ứng suất pháp

để tìm tải trọng cho phép.

Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên một thanh thép dẹt. Biết thanh gồm có 2 phần đều có bề dày 10 mm và có bề rộng lần lượt là 40 và 60 mm; chỗ nối giữa 2 phần được bo tròn với bán kính r = 8 mm; ứng suất cho phép của thanh là 165 MPa.

2 - 35

• Xác định các tỉ số hình học và tìm hệ số tập trung ứng suất từ hình 2.64b.

Các thanh dẹt có góc lượn

• Sử dụng ứng suất cho phép của vật liệu và hệ số tập trung ứng suất để xác định ứng suất trung bình cho phép.

• Áp dụng định nghĩa về ứng suất pháp để tìm tải trọng cho phép.

2 - 36

Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic)

• Trong miền đàn hồi thì quan hệ ứng suất-

biến dạng là tuyến tính, tức là ứng suất nhỏ hơn giới hạn chảy với vật liệu dẻo; còn với vật liệu dòn thì chỉ có miền đàn hồi vì nó bị phá hỏng mà không có giai đoạn chảy. • Nếu ứng suất trong vật liệu dẻo vượt quá giới hạn chảy, thì biến dạng dẻo sẽ xảy ra.

• Phân tích các biến dạng dẻo được đơn

• Các biến dạng của một vật liệu đàn dẻo

giản hóa bằng giả thiết một vật liệu đàn dẻo lí tưởng.

được chia thành các miền đàn hồi và dẻo.

• Các biến dạng vĩnh cửu xảy ra khi tải

trọng gây ra ứng suất vượt quá giới hạn chảy.

2 - 37

Biến dạng dẻo

• Biến dạng đàn hồi xảy ra khi ứng

suất lớn nhất nhỏ hơn giới hạn chảy

• Ứng suất lớn nhất bằng ứng suất

chảy ứng với tải trọng đàn hồi lớn nhất.

• Với những tải trọng lớn hơn tải

trong đàn hồi, một vùng biến dạng dẻo sẽ phát triển ở gần lỗ.

• Khi tải trọng tăng, vùng đàn hồi sẽ

mở rộng cho đến khi mặt cắt có ứng suất phân bố đều và bằng với ứng suất chảy

2 - 38

Ứng suất dư

• Khi một phần tử chịu tải trọng không đổi vượt quá giới hạn chảy của nó và sau đó nhả tải, thì sẽ xuất hiện biến dạng dư (không trở về 0) mặc dù ứng suất đã trở về 0. Đây không phải là kết quả tổng quát.

• Ứng suất dư sẽ duy trì trong kết cấu sau khi chất tải và

dỡ tải nếu

- Chỉ một phần của kết cấu chịu biến dạng dẻo

- Các phần khác của kết cấu chịu các biến dạng dẻo

khác

• Ứng suất dư cũng được sinh ra khi các kết cấu bị nóng

hoặc lạnh thất thường

2 - 39

Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16

a) Vẽ đồ thị quan hệ lực-biến dạng

Thanh hình trụ được đặt bên trong một ống có cùng chiều dài. Một đầu của thanh và ống được ngàm chặt còn đầu kia được gắn với một đĩa tuyệt đối cứng. Tải trọng tác dụng lên thanh-ống được tăng từ 0 đến 5.7 kips và lại giảm về 0.

cho tổ hợp thanh-ống.

b) Xác định độ giãn dài lớn nhất.

c) Xác định biến dạng dư

d) Tính toán ứng suất dư trong ống

và thanh.