Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 3 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Chia sẻ: Nguyễn Huy Vinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 3 "Hàm số, hàm sơ cấp, hàm liên tục" thuộc Bài giảng điện tử Toán 1 giới thiệu đến các bạn những nội dung về khái niệm hàm số, cách xác định hàm số, hàm số ngược, hàm số giác ngược, hàm Hyperbolic, liên tục tại 1 điểm, liên tục 1 phía,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng để nắm bắt thông tin chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng điện tử Toán 1: Bài 3 - TS. Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- BGĐT – TOÁN 1 BÀI 3: HÀM SỐ - HÀM SƠ CẤP – TÍNH LIÊN TỤC TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- KHÁI NIỆM HÀM SỐ. CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ 2- HÀM SỐ NGƯỢC 3- HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 4- HÀM HYPERBOLIC 5- LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM. LIÊN TỤC 1 PHÍA 6- PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN 7- HÀM LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN. ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH 2
HÀM SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B: Tương · Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá quan vàng trong nước theo thế giới … hàm số · Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian … X ÌR Hàm số y = f(x): X Ì R ® Y Ì R: YÌR Quy luật tương ứng x Î X ® y Î Y. Biến số x, giá trị y. Tương quan hàm số: 1 giá trị x cho ra 1 giá trị y Miền xác định Df . Miền giá trị Imf: {y=f(x), xÎDf}. VD y=sinx 3
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bốn cách cơ bản xác định hàm số: Mô tả (đơn giản) - Biểu thức (thông dụng) – Bảng giá trị (thực tế) – Đồ thị (kỹ thuật) v Mô tả: Đơn giản, dễ phát hiện tương quan hàm số VD: Phí gửi thư bưu điện đi châu Âu phụ thuộc vào trọng lượng v Bảng giá trị: Thực tế, rõ ràng, thích hợp các hàm ít giá trị VD: Bảng cước phí gửi thư bằng bưu điện đi châu Âu Trọng lượng £ 20 gr 20 – 40 gr 40 – 60 gr Giá tiền 18.000 đ 30.000 đ 42.000 đ 4
XÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA ĐỒ THỊ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- v Dạng đồ thị: Trực quan. VD: Lượng CO2 trong không khí 5
CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ: BIỂU THỨC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x) VD: y = x2, hàm sơ cấp cơ bản … ì x = x(t ) Dạng tham số í : 1 t ® 1 (x, y) î y = y (t ) Biểu thức: VD: x = 1 + t, y = 1 – t ® Đ/ thẳng VD: x = acost, y = asint ® Đường tròn Dạng ẩn F(x, y) = 0 Þ y = f(x) 2 2 x y VD: Đtròn x2 + y2 – 4 = 0, + -1 = 0 16 9 6
HÀM SỐ NGƯỢC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm số y = f(x): X ® Y thoả tchất: " y Î Y, $! x Î X sao cho y = f(x) Þ f: song ánh (tương ứng một–một) f–song ánh Û Phương trình f(x) = y (*) có nghiệm x duy nhất y = f ( x ) Û x = f -1 ( y ) " y Î Y : bieåu thöùc haøm ngöôïc : f -1 : Y ® X Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x) Þ Biểu thức hàm ngược x = f-1(y) VD: y = f(x) = 2x + 1 Þ f–1 = ? Chú ý: Cẩn thận chọn X & Y VD: Tìm miền xác định và miền giá trị để trên đó các hàm số sau có hàm ngược và chỉ ra các hàm ngược đó y = ex, y = x2 + 71
HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y = sinx: song ánh từ ??? ® ??? Þ Hàm ngược y = arcsinx từ ??? ® ??? é p pù x Î ê - , ú , y Î [- 1,1] : sin x = y Û x = arcsin y ë 2 2û é p pù y = arcsinx: D = [–1, 1], y Î - , : arcsin a = b Û sin b = a êë 2 2 úû VD: Tính a = arcsin(1/2): Dùng phím sin-1 trên máy tính bỏ túi y = cosx Þ arccosx; y = tgx Þ arctgx; y = cotgx Þ arcotgx dx dx Áp dụng: Tính các tích phân bất định a / ò b/ ò 82 1- x 2 1+ x
HÀM HYPERBOLIC -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chi tiết hàm hyperbolic: Xem Sách Giáo Khoa e x - e- x Hàm sin hyperbolic: sinh x = shx = 2 e x + e-x Hàm cos hyperbolic: cosh x = chx = > 0 " xÎR 2 shx e x - e - x Hàm tang hyperbolic: tanh x = thx = = x chx e + e - x chx 1 Hàm cotang hyperbolic: cotanh x = cothx = = shx thx Công thức với hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác, nhưng thay cosx ® chx, sinx ® ishx (i: số ảo, i2 = –1)! 9
BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Công thức lượng giác Công thức Hyperbolic sin 2 x + cos 2 x = 1 ch 2 x - sh 2 x = 1 cos ( x ± y ) = cos x cos y m sin x sin y ch ( x ± y ) = chxchy ± shxshy sin ( x ± y ) = sin x cos y ± sin y cos x sh ( x ± y ) = shxchy ± shychx cos (2 x ) = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x ch (2 x ) = 2ch 2 x - 1 = 1 + 2sh 2 x sin (2 x ) = 2 sin x cos x sh (2 x ) = 2shxchx x+ y x- y x+ y x- y cos x + cos y = 2 cos cos chx + chy = 2ch ch 2 2 2 2 x+ y x- y x+ y x- y cos x - cos y = -2 sin sin chx - chy = 2sh sh 2 2 2 2 dx VD: Tính tích phân ò 1+ x2 10
HÀM HYPERBOLIC TRONG KỸ THUẬT -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Thiết kế hình dáng vòm, cáp treo, điều khiển robot … 11
HÀM LIÊN TỤC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm f(x) liên tục tại x0: Hàm liên tục/[a, b] Û (C): đường liền Ø f(x) xác định tại x0 Gián Ø lim f ( x ) = f ( x0 ) đoạn! x ® x0 Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục Û xác định VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số: tgx + x 2 - 1 sin x ì x, x < 1 : Không a/ y = b/ y = c / f ( x) = í x +1 2 x î1 - x, x ³ 1 sơ cấp! ìïsin x , x ¹ 0 VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0: y=í x ïîa , x = 0 12
LIÊN TỤC MỘT PHÍA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … Þ Khảo sát f(x) liên tục trái tại x0 khi xác định tại x0 và lim f ( x ) = f ( x0 ) 1 424 x ® x0 - 3 f ( x0 - ) f(x) liên tục phải tại x0 khi xác định tại x0 và lim f ( x ) = f ( x0 ) 1 424 x ® x0 + 3 f ( x0 + ) Hàm f(x) liên tục tại x0 Û Liên tục trái & liên tục phải tại x0 ì 1 , x ¹1 ï 1 VD: Khảo sát tính liên tục: f ( x ) = í1 + e x -1 Chú ý: lim a x = ? x ®¥ ï î1, x = 1 13
PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm f xác định & gián đoạn tại x0 Û Không có lim f ( x ) = f ( x0 ) x ® x0 Hoặc $ lim f ¹ f(x0), hoặc lim– ¹ lim+, hoặc $ lim f: 3 trường hợp! Loại 1: § Điểm khử được: $ lim f ( x ) ¹ f ( x0 ) x ® x0 § Điểm nhảy: lim f ( x ) ¹ lim f ( x ) x ® x0 - x ® x0 + f(x) gián Bước nhảy: lim f ( x ) - lim f ( x ) x ® x0 + x ® x0 - đoạn tại x0 Loại 2: $ lim f ( x ) hoaëc $ lim f ( x ) x ® x0 - x ® x0 + (Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía) 14
VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại ìsin x ï , x¹0 f (x) = í x ïîa , x=0 15
VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Điểm x0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại ì sin x , x ¹ 0 ï x f (x ) = í ï1 , x=0 î 16
VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a ìsin 1 x ï , ¹0 f (x) = í x f (0 ) = a ïîa , x=0 f (0 ) = a 17
TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f bị chặn trên [a, b]: $ m, M f đạt GTLN, BN trên [a, b]: & m £ f(x) £ M " x Î [a, b] $ x0, x1 Î [a, b]: f(x0) = m, … Chú ý: Không Hàm y = f(x) liên thể thay đoạn tục trên đoạn [a, b] bằng khoảng! f nhận mọi giá trị trung gian: (Hay sử dụng) Định lý giá " k & GTBN £ k £ GTLN Þ trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) $ c Î [a, b]: f(c) = k < 0 Þ $ c Î (a, b) : f(c) =18 0
VÍ DỤ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1/ Tìm a, b để hàm số ì( x - 1)2 , x£0 ï f liên tục sau liên tục trên R f ( x ) = íax + b , 0 < x < 1 ï x tại 0 & 1 î , x ³1 2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm x5 = 1 - x f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b): a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2) a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f2(x) = 1 " x Î R b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R: f2(x) = 1 " x Î R 19