Một mở rộng của chuỗi Fourier

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Một mở rộng của chuỗi Fourier giới thiệu một mở rộng nhỏ của chuỗi Fourier, ý tưởng này được tác giả lên ý tưởng trong quá trình giảng dạy môn Phương trình vi phân (của K49, K50) và môn Phương trình Vật lý - Toán (cho các lớp của Khoa Thủy văn và ngành Kỹ thuật Điện trước đây của trường)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một mở rộng của chuỗi Fourier

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 MỘT MỞ RỘNG CỦA CHUỖI FOURIER Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Để ý rằng, tính liên tục chưa đủ để suy ra tính hội tụ của Sf ( x) . Mặt khác, một trong Trong báo cáo này, tôi sẽ giới thiệu một các điều kiện dưới đây sẽ suy ra f là hàm liên mở rộng nhỏ của chuỗi Fourier, ý tưởng này tục và có biến phân bị chặn trên [,]: được tác giả lên ý tưởng trong quá trình giảng dạy môn Phương trình vi phân (của (i) f là hàm liên tục tuyệt đối trên [,]; K49, K50) và môn Phương trình Vật lý - (ii) f là hàm liên tục Lipschitz [,]; Toán (cho các lớp của Khoa Thủy văn và (iii) f là hàm liên tục và tồn tại một ngành Kỹ thuật Điện trước đây của trường) phân hoạch   x0  x1  ....  x p   sao cho hạn chế f [ xk 1 , xk ] là khả vi liên tục trên 2. NỘI DUNG BÁO CÁO [ xk 1 , xk ], k  1, 2,..., p ; 2.1. Đặt vấn đề (iv) f là hàm khả vi liên tục trên [,]. Chuỗi Fourier của hàm f :[ ,  ]   Một vấn đề đặt ra ở đây là: Liệu có thể có được cho bởi: một cách định nghĩa Sf ( x) mà sao cho Định a  lý 1.1 vẫn đúng mà không cần tới giả thiết Sf ( x)  0    an cos nx  bn sin nx , x  , f ( )  f ( ) ? 2 n1 trong đó: 2.2. Kết quả chính  1 an    f ( x) cos nxdx, n  0,1, 2,..., Trước hết, báo cáo sẽ mở rộng chuỗi Fourier cho lớp hàm f liên tục, có biến phân  1  bị chặn trên [ ,  ] và f ( )   f ( ). bn    f ( x)sin nxdx, n  1, 2,..., Xét hai hàm số sau:  x (với điều kiện các tích phân hội tụ, điều này f c ( x)  f ( x) cos , x  [ ,  ] xảy ra khi f khả tích Lebesgue trên [ ,  ] ). 2 Chú ý rằng chuỗi Sf ( x) chưa chắc đã hội tụ x và: f s ( x)  f ( x)sin , x  [ ,  ] , 2 với x  . dễ thấy đây là các hàm liên tục, có biến phân Đã có nhiều tiêu chuẩn về sự hội tụ của bị chặn trên [ ,  ] : chuỗi Fourier, trong báo cáo này tôi sử dụng f c ( )  f c ( ), f s ( )  f s ( ) . kết quả trong ([3], Corollary 8.48). Định lý 1.1 ([3]): Cho f :[ ,  ]   sao Áp dụng Định lý 1.1, với x  [  ,  ] : cho f ( )  f ( ) . Nếu f là hàm liên tục và a0  f c ( x)  Sf c ( x)     an cos nx  bn sin nx , có biến phân bị chặn trên [ ,  ] thì chuỗi 2 n1 Fourier Sf ( x) hội tụ đều trên [ ,  ] tới a0   f ( x) , và Sf ( x)  f ( x) với mọi x  [ ,  ]. f s ( x)  Sf s ( x)  2 n1     an cos nx  bn sin nx ,   57
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 các hệ số xác định bởi:  Fourier Sf ( x) hội tụ đều trên [ ,  ] tới   1 f ( x) , và Sf ( x)  f ( x) với mọi x  [ ,  ]. an   f c ( x) cos nxdx, n  0,1, 2,...,   Tóm tắt chứng minh của Định lý 2.1  Bằng cách thay fc(x), fs(x) bởi các chuỗi 1 x    f ( x) cos cos nxdx, n  0,1, 2,..., 2 Fourier của chúng trong công thức:  x x  f ( x)  f c ( x) cos  f s ( x)sin , x  [ ,  ], 1 2 2 bn    f c ( x)sin nxdx, n  1, 2,..., sau đó sử dụng các đồng nhất thức biến đổi   tích thành tổng cùng tính hội tụ đều của 1 x Sf c ( x) và Sf s ( x) trên [ ,  ] ta sẽ nhận được    f ( x) cos sin nxdx, n  0,1, 2,..., 2  điều cần chứng minh. và Ví dụ 2.1: Với f ( x)  x, x  [ ,  ] , dễ  1 thấy f là hàm liên tục và có biến phân bị an     f s ( x) cos nxdx, n  0,1, 2,..., chặn trên [ ,  ] và f ( )   f ( ) , bằng   cách tính trực tiếp ta có: 1 x    f ( x)sin cos nxdx, n  0,1, 2,..., 2 Sf ( x)    8  (1) n  x sin  nx   .    n0 (2n  1) 2  2  1 Tiếp theo, với f :[ ,  ]   là một hàm bn    f s ( x)sin nxdx, n  1, 2,...,  liên tục, có biến phân bị chặn trên [ ,  ] .  1 x f ( )  f ( )    f ( x)sin sin nxdx, n  0,1, 2,.... 2 Với   2 , xét hàm số:  F ( x)  f ( x)   , x  [ ,  ] , Xét hàm số: x x khi đó F ( x) liên tục, có biến phân bị chặn trên f ( x)  f c ( x) cos  f s ( x)sin , x  [ ,  ], [ ,  ] và F ( )   F ( ). Áp dụng kết quả 2 2  trên khi xét chuỗi Fourier SF ( x) đối với F ( x) và ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.1: Chuỗi Fourier của ta nhận được kết quả sau (với x  [  ,  ] ):  x x   x  x  f ( x)  f c ( x) cos  f s ( x)sin , x  [ ,  ], f ( x)       n cos  nx     n sin  nx   , 2 2 n 0   2  2   ký hiệu là Sf ( x) và xác định bởi: trong đó, với n  0,1, 2,...     x  x  1  x Sf ( x)     n cos  nx     n sin  nx   ,  n 0   2  2  n     f ( x)    cos  nx  2  dx,    trong đó:  1  x 1   x n      f ( x)    sin  nx  2  dx.    n   f ( x) cos  nx   dx, n  0,1, 2,...,    2 Cuối cùng, báo cáo sẽ mở rông kết quả đối 1   x với lớp hàm trên đoạn [ L, L], L  0. n     f ( x)sin  nx   dx, n  1, 2,....  2 Định nghĩa 2.2: Cho f :[ L, L]  , L  0.  Chuỗi Fourier của f , ký hiệu là S f ( x) và Chúng ta cũng sẽ nhận được một kết quả L tương tự như trong Định lý 1.1. xác định bởi: Định lý 2.1: Cho f :[ ,  ]   sao cho  S L f ( x)  f ( )   f ( ) . Nếu f là hàm liên tục và có    n x  x   n x  x         n cos      n sin    , biến phân bị chặn trên [ ,  ] thì chuỗi n 0   L 2L   L 2L    58
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 ở đây: Trong khi đó, nếu sử dụng công thức f ( L)  f ( L) Fourier thông thường thì ta chỉ nhận được  và với n  0,1, 2,... 4 4  ( 1) n 2 Sf ( x)    3  2 n 0 n 2 cos  n x   L 1  n x  x  n     f ( x)    cos   L   dx, 2L   4   ( 1) n sin  n x  . L L  n 0 n 1  n x  x  n     f ( x)    sin   L   dx, 2L  3. KẾT LUẬN L với điều kiện các tích phân tồn tại. Kết quả trong báo cáo là một mở rộng các Định lý sau đây cho chúng ta kết quả về sự kết quả về chuỗi Fourier trong [1] và [3]. Kết hội tụ của chuỗi Fourier trên. quả này được lên ý tưởng từ việc giảng dạy môn Phương trình Vi phân và môn Phương Định lý 2.2: Cho f :[ L, L]  , L  0 . trình Vật lý - Toán trong những năm trước Nếu f là hàm liên tục và có biến phân bị đây của Trường Đại học Thủy lợi.  chặn trên [ L, L] thì chuỗi Fourier S L f ( x) hội tụ đều trên [ L, L] tới f ( x) , và 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO  S L f ( x)  f ( x) với mọi x  [ L, L]. [1] Hendry Edwards, David E. Penney, Biên dịch: Bộ môn Giải tích Trường ĐH Thủy Ví dụ 2.2: Xét hàm số f ( x)  x 2  2 x  1 Lợi, (2008), Phương trình vi phân cơ bản với x  [1,1] , bằng cách áp dụng Định lý 2.2 với bài toán giá trị biên (Tập 2). Đại học thì với mọi x  [1,1] ta có: Thủy lợi. [2] V. Serov, (2017), Fourier Series, Fourier  f ( x)  S L f ( x)  Transform and their Applications to 32  (1) n  x Mathematical, Springer International  2  3  (2n  1)3 cos  n x    2  Publishing. n 0 [3] K. R. Stromberg, (1981), Itroduction to 16  (1) n  x   2  (2n  1)2 sin  n x   . 2  Classical Real Analysis, Wadsworth Inc. n 0 Belmont. 59