Bài giảng Đồ hoạ kỹ thuật

BÀI GIẢNG ĐỒ HOẠ KỸ THUẬT

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Phần I

Hình họa

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1

Mở đầu Cơ sở của biểu diễn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy) được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông tin giữa các nhà thiết kế.

Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều

còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều.

Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3

chiều lên mặt phẳng 2 chiều?

Gaspard Monge

Hình họa

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

1.1- Đối tượng môn học

- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng - Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

S

1.2- Các phép chiếu 1- Phép chiếu xuyên tâm a) Xây dựng phép chiếu

A

- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc Π và một điểm A bất kỳ. - Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt phẳng Π.

A’

П

*Ta có các định nghĩa sau:

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi là tâm chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A

Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

П

b) Tính chất phép chiếu

C’

C

S

A’

A

C

S

E

F’

B

B

B’

D

A

D

D’

F

C’=D’

E’

A’

B’

T’

b)

П

a)

Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm

- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’. - Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy. (Hình 0.2.b)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a

2- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu

s

A

- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π và một điểm A bất kỳ trong không gian. - Qua A kẻ đường thẳng a//s . A’ là giao của đường thẳng a với mặt phẳng Π.

* Ta có các định nghĩa sau:

A’

П

Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi là phương chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi là tia chiếu của điểm A

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

C

a)

s

B

M

D

A

C’=D’

B’

M’

A’ П

b)

K

I

N Q

s

M

P

- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’ + Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi: - Nếu MN//QP thì:

N’

K’

I’

M’

Q’

- Nếu IK// Π thì:

П

P’

b) Tính chất phép chiếu - Nếu đường thẳng AB không song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s thì hình chiếu song song của nó là một điểm C’=D’

Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu

song song

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a

a)

3- Phép chiếu vuông góc

s

A

A’

П

+ Chỉ có một phương chiếu s duy

B

b)

s

A

+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:

φ

- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu. - Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra có thêm các tính chất sau: nhất A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu vuông góc mà ta gọi là phương pháp hình chiếu thẳng góc

B’

A’

П

Hình 0.5a,b. Phép chiếu vuông góc

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2 Biểu diễn, liên thuộc

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a)

Π1

A1

A

Ax

x

A2

Π2

2.1 – Điểm 2.1.1 Đồ thức của một điểm a) Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П1 và П2. - Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng. - Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang. - Gọi x là giao điểm của П1 và П2

(x = П1∩П2 )

b)

Π1

A A1

x

Ax

A2

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1và П2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2 - Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2 trùng vớiП1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Π2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

Π1

A1

A

Ax

x

A2

Π2

b)

Π1

A A1

* Các định nghĩa và tính chất - Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng - Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng - Đường thẳng x : trục hình chiếu - A1: hình chiếu đứng của điểm A - A2: hình chiếu bằng của điểm A - Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng (AA1A2) - Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng.

x

Ax

A2

Π2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

Π1

* Độ cao của một điểm

gọi là độ cao của

A1

A

Ax

x

+ Độ cao dương : khi điểm A nằm

A2

Π2

+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía

b)

Π1

+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên

A A1

- Ta có: điểm A - Quy ước: phía trên П2 dưới П2. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: trục x

+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

Ax

x

A2

Π2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

Π1

A1

* Độ xa của một điểm

gọi là độ xa của

A

Ax

x

+ Độ xa dương : khi điểm A nằm

A2

Π2

+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía

b)

A1

+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới

Ax

x

- Ta có: điểm A - Quy ước: phía trước П1 sau П1. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: trục x

+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian

A2

Π2

Hình 1.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

có đồ thức là một cặp hình chiếu A1, A2. Ngược lại cho đồ thức A1 A2 , ta có thể xây dựng lại điểm A duy nhất trong không gian. Như vậy đồ thức của một điểm A có tính phản chuyển

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

a)

- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một.

z Π1 Az A1

A3 A

A2

Ax x O Ay

A2

Π3

y Π2

b)

+ Gọi x là giao điểm của П1 và П2 (y = П1∩П2) + Gọi y là giao điểm của П2 và П3 (y = П2∩П3) + Gọi z là giao điểm của П1 và П3 (z = П1∩П3) - Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1, П2 và П3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3

A

z A3 Π3 A1 Π1

Az

O

x

Ax Ay

y

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1. Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

Ay

A2

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Π2 y

a)

z Π1 Az A1

A3 A

A2

Ax x O Ay

A2

Π3

y Π2

z A3

b)

A

Π3 A1 Π1

+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường

Az

O

x

Ax Ay

+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường

y

Ay

A2

Π2 y

b) Các định nghĩa và tính chất Bổ xung thêm các định nghĩa và tính chất sau: - Mặt phẳng П3: mặt phẳng hình chiếu cạnh - Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu - A3: hình chiếu cạnh của điểm A - Gọi

- Trên đồ thức: thẳng vuông góc với trục x gọi là đường dóng thẳng đứng thẳng song song với trục x gọi là đường dóng nằm ngang.

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a)

- Ta có:

A

z Π1 Az A1

A3

Ay

+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm

A2

Ax x O

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm

Π3

y A2 Π2

z A3 Π3 A1 Π1

b) + Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên

A

+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái

Az

O

x

Ax Ay

- Quy ước: phía bên trái П3 phía bên phải П3. - Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức: phải trục x trục x

y

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo) * Độ xa cạnh của một điểm gọi là độ xa cạnh của điểm A

Ay

A2

Hình 1.2a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Π2 y

- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn

+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất. (I) + Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai. (II) + Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba. (III) + Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư. (IV)

2.1.2 Một số định nghĩa khác 2.1.2.1– Góc phần tư phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư. Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

B1

Π1 A1

Π1

C2 ( II )

x

B2 ( I )

A2

C1 D1 ( III ) A2 Π2

D2 Π2

( IV )

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hình 1.5. Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Hình 1.4. Góc phần tư I, II, III, IV

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành

2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác - Có hai mặt phẳng phân giác + Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I. (Pg1) các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2) Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng

phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

=C2

C1

Π1

B2

Π1 A1 ( II ) (Pg1)

Dx

x Ax Bx Cx

x ( I ) ( III )

A2

B1 A2 =D2 D1 Π2

Π2 ( IV )

(Pg2)

Hình 1.7. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hình 1.6. Mặt phẳng phân giác I và II

2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu

cạnh của điểm đó trên đồ thức.

z(+)

z(+)

Δ’

a)

c)

b)

z(+) Az

Δ

B1

B3

Δ

Bz

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

Δ’ A3

A1

C2

Cy

B2

By

Ay

Cy

x(+)

Cx

x(+)

Ax

y(+)

y(+)

Cz

C3

O O

x(+)

Bx

Ay

A2

Δ C1

By

y(+)

Δ’

y(+)

y(+)

By y(+)

z(+)

z(+)

Δ’

O

e)

d)

=E2

Dy

E1

x(+)

Dx

y(+)

E3

Δ

Ez =Ey

D1

Δ

Dz

D3

O

y(+)

x(+)

Ex

D2

Dy

Δ’

Ey

y(+)

y(+)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

O

Π1

B1

l1

B A1

x

l

B2

A l2

Π2

A2

- l1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng

A1

- l2 đi qua A2B2 gọi là hình chiếu bằng

B1 l1

l2

B2

Hình 2.1. Đồ thức của một đường thẳng

A2

2.2 - Đường thẳng 2.2.1 Biểu diễn đường thẳng Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đó. Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l; của đường thẳng l của đường thẳng l Chú ý: Nếu từ hình chiếu l1 và l2 của đường thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất trong không gian thì đồ thức đường thẳng có tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng 1- Đường thẳng không song song với Π3

Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu

bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng.

Π1

l1 l1 A1 A1 l

x

x A

l2 l2

Π2

Hình 2.8. Điểm thuộc đường thẳng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A2 A2

2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh) Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11) Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh. Nếu:

z

P3

P1

I3

I1

Q3

Q1

x

O

P2

I2

Q2

y

Hình 2.10. Cách 1. Xét điểm thuộc đường cạnh

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

y

α

P1

Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng. Nếu:

I1

I’1

- Qua P1 kẻ đường thẳng t bất kỳ hợp với

Q1

- Trên t lấy:

t

x

P2

I2

Hình 2.11. Cách 2. Xét điểm thuộc đường cạnh

Q2

P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α<90o ). - Vẽ - Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau - Nếu thì tỉ số đơn khác nhau

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

2.2.3- Vết của đường thẳng Vết của đường thẳng l là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.12)

- Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ П1 M1l1 , M2x - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 N1x , N2l2

M1

Π1

M1 l1

l1

x

l N1 x N1

M2 M2

l2 l2

Π2

N2

Hình 2.12. Vết của đường thẳng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

N2

C1

B2 M1

l2

N2 A1

A2 l1 x

M2 N1 C2

B1

Hình 2.13. Ví dụ vết của đường thẳng

Góc (III) Góc(I) Góc (II)

Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l1,l2) được cho như trên đồ thức và xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13) Giải: * Tìm vết M, N của đường thẳng l: M2x M2≡ l2∩x M1l1 N1x N1≡ l1∩x N2l2 * Xét l đi qua góc phần tư nào? - Xét AMN: A có độ cao dương, độ xa âm  A thuộc góc phần tư thứ II l đi qua góc phần tư thứ II. - Xét BMN: B có độ cao âm, độ xa âm;  B thuộc góc phần tư thứ III l đi qua góc phần tư thứ III - Xét CMN : C có độ cao dương, độ xa dương;  C thuộc góc phần tư thứ I l đi qua góc phần tư thứ I. Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III 

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

2.3.1 Biểu diễn mặt phẳng

I1

c)

b1 a1

2.3- Mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng

A1 C1

a)

b)

l1 A1 B1

a2

b2

I2 C2 l2 A2

d)

A2

c1 B2

Hình 3.1.Đồ thức của mặt phẳng

d1

d2

c2

Chú ý: Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành cách xác định khác. Do đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a1

I1

b1

2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhau a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức: các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng nằm trên một đường dóng thẳng đứng. (Hình 2.14)

x

a2

Hình 2.14. Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

I2 b2

P1

α

l1

I1

I’1

b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường thẳng l thỏa mãn: l1∩P1Q1 ≡ I1 l2∩P2Q2 ≡ I2 Xét xem l và PQ có cắt nhau không? (Hình 2.15) Giải:

Ta có: Il PQ∩l IPQ 

t

Q1

x

Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường cạnh đã xét ở trên

P2

I2

Q2

Hình 2.15. Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng là đường cạnh)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

l2

a1

b1

x

b2

a2

2.3.1.2- Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên đồ thức * Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của chúng song song và các hình chiếu bằng của chúng cũng song song. (Hình 2.16)

Hình 2.16. Hai đường thẳng song

song không phải là đường cạnh

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) 2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó. Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3.11)

I1 I1 I1 l1 21

l’1

21 11 11 11

K1 l1 b1 b1 b1 a1 l1 a1 a1

a2

l2 l2 a2 b2 b2 b2 a2 K2

12 l’2 22 12 12 22 l2

I2 I2 I2

Hình 3.11. Bài toán cơ bản 1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 - Dựa vào các điểm 1(11,12); 2(21,22)

c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b1 - Dựa vào điểm 1(11,12) l2 đi qua 12, l2//b2 b) l1 đi qua I1 - Dùng đường thẳng l’(l’1,l’2) Kl’→l qua IK

M1

mα

l1

N1

Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) . Biết l1, tìm l2 (Hình 3.12) Giải: - Lấy M1≡ l1 ∩ mα → M2x - Lấy N1≡ l1 ∩ x → M2nα - l2 qua M2 và N2 là đường thẳng cần tìm

x

M2 l2

Hình 3.12. Ví dụ về bài toán cơ bản 1

nα N2

Chú ý: - Sử dụng vết của đường thẳng và mặt phẳng

- Ví dụ này dành cho các bài toán mặt phẳng (α) cho bởi vết

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

I1

l1

21

K1

11

2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, điểm K thuộc mặt phẳng α đó. Biết hình chiếu đứng K1, tìm hình chiếu bằng K2 . (Hình 3.13)

b1

a1

Giải:

b2

a2

K2

12

22

l2

- Gắn điểm K vào một đường thẳng l(α) - Khi đó l1 qua K1. Tìm l2 ? (bài toán cơ bản 1) - K2 l2 (Điểm thuộc đường thẳng)

I2

Hình 3.13. Bài toán cơ bản 2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

mα K1

M1

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα). Điểm K thuộc (α). Biết K1, tìm K2 (Hình 3.14) Giải: - Gắn K vào đường thẳng a(α)

K2 a1

→ a1 qua K1. Tìm K2? - K2 a2

αx

N1 M2 x

a2

N2

Hình 3.14. Ví dụ về bài toán cơ bản 2

nα

Chú ý: Trong hai bài toán cơ bản trên, nếu cho hình chiếu bằng của đường thẳng và của điểm, tìm hình chiếu đứng của chúng, ta cũng làm tương tự

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

2.3.3- Vết của mặt phẳng Vết của mặt phẳng là giao tuyến của của mặt phẳng đó với các mặt phẳng hình chiếu

z

z Π1

m p1 p Π3

x

α

y

m2=n1=p2 O x O

n

Π2

Hình 3.2. Vết của mặt phẳng

y

Cho mặt phẳng (α): * Vết đứng m: m ≡ (α) ∩ П1 * Vết bằng n: n ≡ (α) ∩ П2 * Vết cạnh p: p ≡ (α) ∩ П3 Để phân biệt các mặt phẳng ta viết tên vết của mặt phẳng kèm theo tên của mặt phẳng đó. Ví dụ: Mặt phẳng (α) → -Vết đứng : mα -Vết bằng : nα -Vết cạch : pα

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

y

c)

a)

b)

m1 mα mα

x

x

x

αx

αx

m2=n1=x

n2

nα

Hình 3.3. Một số cách cho mặt phẳng bằng vết trên đồ thức

nα

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2

- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó. Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αx x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c) và n1,n2 (Hình 3.3a) ký hiệu mα, nα (Hình 3.3b,c)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

M1

Ví dụ: Xác định vết của mặt phẳng α (a,b) được cho trên

mα

đồ thức, a cắt b tại I. (Hình 3.4)

M’1 a1

I1

b1

Hình 3.4. Ví dụ tìm vết của một mặt phẳng

αx

N1 N’1 M2 M’2 x

I2

a2

b2 N2

nα

N’2

Giải: - Nhận xét mặt phẳng (α) đi qua a và b do đó vết của mặt phẳng (α) đi qua vết của các đường thẳng a và b.

+ mα ∩ x ≡ αx + Tìm vết bằng N(N1,N2) của a + Vết bằng nα đi qua αx và N2

+ Tìm vết đứng M(M1,M2) của đường thẳng a + Tìm vết đứng M’(M’1,M’2) của đường thẳng b mα đi qua M1, M’1

Chú ý: Không cần tìm vết bằng N’(N’1 ,N’2 ) của đường thẳng b vì αx , N2 , N’2 thẳng hàng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong

2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện) Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó. Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy. (Hình 5.1.a)

- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)

S1

b)

a)

A1

l1

B1

A1

B1

C1

C1 C2 C2

A2 A2

S2

l2 B2

Hình 5.1. Biểu diễn đa diện

Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện.

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

B2

Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó. Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)

- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh.

S1

l1

O1 O1

O2 O2

l2

Hình 6.1 Biểu diễn mặt cong

Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

S2

S1

2.4.2 Điểm thuộc mặt

J1

P1

N1

M1

Q1

I1

C1

B1 A1

Q’1

E ≡E’1

C2

E’2

J2

N2

A2 M’2 P’2 I2

Q2

S2

P2

M2 E2

Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của hình chóp S.ABC. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.2) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng đi qua đỉnh S, đó là SE và SE’. * Tìm N1: Gắn điểm N vào đường thẳng SA * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng song song với cạnh đáy của hình chóp. Ví dụ PJ: có P2 và P’2 * Tìm Q1, ngược lại: Có thể gắn Q vào đường thẳng qua đỉnh S. Ví dụ SI hoặc gắn vào đường thẳng song song cạnh đáy hình chóp. Lưu ý có một điểm Q’1 thuộc đáy chóp.

Hình 5.2. Ví dụ 1: Tìm M2, N2. P2, Q1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

B2

a1

k1

t1

b1

k’1

Q1

P1

A1

N1 M1

c1

Q’1

H1 E1≡E’1

B1 G1

C1

B’2

C2

E’2

c2

H2

s’2

t’2

P’2 M’2 N2 A2 G2

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt của lăng trụ. Biết M1, N1, P1, Q2, Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 5.3) Giải: * Tìm M2: Ta gắn điểm M vào đường thẳng t song song với cạch bên của lăng trụ. * Tìm N2: Gắn điểm N vào đường thẳng a1 * Tìm P2: Gắn P vào đường thẳng s (s//a,b). Pb  P1b1 * Tìm Q1, ngược lại: gắn Q vào đường thẳng k (k//a,b)

k2

M2

B2

a2 t2

E2 Q2

Chú ý: Ta cũng có thể tìm hình chiếu các điểm bằng cách gắn các điểm vào đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ

b2

Hình 5.3. Ví dụ 2: Tìm M2, N2. P2, Q1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

P2

S1

K1

P1

N1

M1

Q1

I1

O1 J1

Q’1

I2

E1≡E’1

E’2

Q2

M’2 P’2

Điểm thuộc mặt cong Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón. Biết M1, N1, P1, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.2) Giải: - Tìm M2: Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M - Tìm N1: Gắn N vào đường sinh SJ - Tim P2: Vẽ đường tròn song song đáy chứa điểm P - Tìm Q1: Vẽ đường sinh SI chứa Q. Chú ý còn một điểm Q’1 ở đáy nón

K2 J2

S2 ≡ O2 N2

M2

Hình 6.2. Điểm thuộc mặt nón.

P2

Tìm M2 , N2, P2, Q1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

E2

a1 k’1 s1

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ. Biết M1, N1, P2, Q2, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó.(Hình 6.3) .

M1

P’1

l1

Giải:

N1 Q1

J1

k1

H1

E1≡E’1 P1 T1 O1 G1

E’2

T2 H2

l2 G2 M’2 J2 Q2 P2 k2 O2

a’2 N2

E2 s2

- Tìm M2: qua M1 vẽ đường sinh a1. Chân đường sinh: E1, E’1. Trên hình chiếu bằng có E2, E’2. Qua E2, E’2 vẽ các đường sinh a2, a’2. M2  a2, M’2  a’2 - Tìm N2: Gắn N vào đường sinh s. N1  s1, N2  s2 . - Tìm P1: Ngược lại cách tìm M2 - Tìm Q1: Qua O2 vẽ đường thẳng O2T2 O2T2  l2. Từ T1 vẽ đường sinh l1  Q1  l1

M2 T’2

a2

Chú ý: Nếu hình chiếu của đáy trụ là hình tròn, ta có thể gắn các điểm vào đường tròn song song đáy trụ

Hình 6.3. Điểm thuộc mặt trụ. Tìm M2 , N2, P1, Q1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

E1

M1

(u1)

N1

(v1) P1

O1

(v2) P’2

(u2)

M’2

O2 E2 N2

Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu. Biết M1, N1, P1, tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó. (Hình 6.4) Giải: - Tìm M2: Qua M vẽ đường tròn của mặt cầu sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song song với П2 - Tìm N2 , P2: Xét đường tròn (u) và (v) của mặt cầu: N1  (u1)  N2  (u2) P1  (v1)  P2  (v2) * Nếu biếu M2, N2, P2, tìm M1, N1, P1 ta làm tương tự.

M2

Hình 6.4. Điểm thuộc mặt cầu. Tìm M2 , N2, P2 ?

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

P2

Π1

A1 B1 h1

2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu 2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Đường bằng * Định nghĩa: Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.

h1

x





B1 A1  h A x B

h2 A2 A2

B2

Π2

h2

Hình 2.2. Đường bằng

- Góc h2,x = h, П1= α

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

B2

* Tính chất : - Hình chiếu đứng h1//x - Nếu có một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng h thì hình chiếu bằng A2B2=AB

Π1

D1 f1

D1

f1 C1

b) Đường mặt * Định nghĩa: Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: CD// П1

x

C1 D β x f β

f2

C β f2

Π2

Hình 2.3. Đường mặt

- Góc f1,x = f, П2= β

https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com

C2 D2 C2 D2

* Tính chất : - Hình chiếu bằng f2//x - Nếu có một đoạn thẳng CD thuộc đường mặt f thì hình chiếu đứng C1D1=CD

c) Đường cạnh * Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.

z

z

Π1

E3

E

α

E3

p3

F1

F3

Ax

x

y

β

E2

A2

α p1 E1 α p3 Π3 p E1 p1 F1 β x O O F3 β E2 F p2

y

F2 p2

y

Hình 2.4. Đường cạnh

- Góc p3,z = p, П1= α - Góc p3,y = p, П2= β

F2 Π2

* Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x - Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E3F3=EF

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(Hình 2.4)

Chú ý: Với đường cạnh p, nếu biết các hình chiếu p1, p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian. Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt. Ví dụ: Cho E, F thuộc đường thẳng p. Hai điểm E, F xác định một đường thẳng p duy nhất.

z

z Π1

E3

E

α

E3

α p1 E1 p3

F1

Π3

F3

x

Ax

p3 p E1 p1 F1 β x O O

y

E21

A2

F3 β E2 F p2

F2 p2

y

Hình 2.4. Đường cạnh

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

F2 y Π2

* Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2.

2.5.1.2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng bằng Ví dụ: Mặt phẳng (α)//П2

Π1

C1

B1 A1

mα

α1

A1 C1 B1

x

x

mα C A



B

C2 A2 C2 A2

Π2

Hình 3.8. Mặt phẳng bằng

B2 B2

*Tính chất :

Chú ý: (α)//П2 do đó (α) П1 , cho nên (α) cũng là mặt phẳng chiếu đứng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

C1

b) Mặt phẳng mặt * Định nghĩa: Mặt phẳng mặt là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng (β)//П1

Π1

C1 β

A1

C

A1

x

x

B1 B1

B

A

C2

nβ nβ C2 B2 A2 B2 A2

β2

Π2

Hình 3.9. Mặt phẳng mặt

*Tính chất :

Chú ý: (β)//П1 do đó (β) П2 , cho nên (β) cũng là mặt phẳng chiếu bằng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

z

C1

C3

Π1

B3

z

B B3 C3 C

c) Mặt phẳng cạnh * Định nghĩa: Mặt phẳng cạnh là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng (γ)// П3

γ

Π3

B1 mγ A1

p3

A3

O

x

y

A3

p C1 B1 mγ A1 x O

B2 nγ

y

A A2

Π2 C2

E2 nγ A2 C2

y

Hình 3.10. Mặt phẳng cạnh

Chú ý:

(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

*Tính chất :

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Π1

A1 ≡ B1

A1

2.5.2.- Các đối tượng chiếu 2.5.2.1Các đường thẳng chiếu a) Đường thẳng chiếu đứng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ:

=B1 A

x

x

B

A2

A2

Π2

B2

- A2B2=AB

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

B2 Hình 2.5. Đường thẳng chiếu đứng

* Tính chất : - Hình chiếu đứng của AB là một điểm A1 ≡ B1 - Hình chiếu bằng

Π1

C1

C1

b) Đường thẳng chiếu bằng * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ:

C

D1

D

x

x

D1

Π2

Hình 2.6. Đường thẳng chiếu bằng

- C1D1=CD

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

C2 ≡D2 C2 ≡D2

* Tính chất : - Hình chiếu bằng của CD là một điểm C2≡ D2 - Hình chiếu đứng

z

≡F3

F1

Π1 z E1 F1

c) Đường thẳng chiếu cạnh * Định nghĩa: là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3.

E3

E1

≡F3

E Π3 F E3

x

x O O

F2

E2

y

Hình 2.7. Đường thẳng chiếu cạnh

- E1F1=E2F2=EF

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

F2 y E2 Π2

* Tính chất : - Hình chiếu cạnh của EF là một điểm E3 ≡ F3 - E2F2//E1F1//x

2.5.2.2- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu) a) Mặt phẳng chiếu đứng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng П1. Ví dụ: Mặt phẳng

C1

Π1

B1

mα C1

A1

C B1

α1

α

x

x

x

φ

A1 mα φ

B

C2

A

Π2

nα A2 nα

Hình 3.5. Mặt phẳng chiếu đứng

B2

*Tính chất :

-Vết bằng -

- mα , x = (α) , П2 = φ (Hình 3.5)

Chú ý: mα là hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng (α) nên thường thay mα bởi α1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

B1

A1

b) Mặt phẳng chiếu bằng * Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2. Ví dụ: Mặt phẳng

B h1

Π1 mβ

mβ

β

x

x

x

A C1

φ

C

φ nβ

A2

Π2

B2 A2

C2

β2

Hình 3.6. Mặt phẳng chiếu bằng

B2

C2 nβ

Chú ý: nβ là hình chiếu bằng

*Tính chất : -Vết đứng -

của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2

- nβ , x = (β) , П1 = φ (Hình 3.6)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

* Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình

c) Mặt phẳng chiếu cạnh chiếu cạnh П3. Ví dụ: Mặt phẳng

mγ

z

A1

A3

mγ z Π1

B3

pγ α A α A3

B1

C3

B Π3

C1 O

x

y

β x O

B3 pγ C3 β C

γ

Π2

y nγ

nγ

y

Hình 3.7. Mặt phẳng chiếu cạnh

*Tính chất :

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a)

l

a

α

b)

l

b O

a

β

Hình 3.38. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc 2.5.3.1- Định nghĩa Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a) 2.5.3.2- Định lý Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b) 2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức - Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) - Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

x

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình

y

O

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa

O’

y’

x’

П

a)

* Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông (Hình 2.20) chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П. mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

Hình 2.20. Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

≡ g1

≡ φ1

I1

l1

11

C1

h1

A1

H1 D1

E1 f1 21

B1

f2

12 A2

H2

E2 C2

4- Ví dụ: Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I1, I2). Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2) của điểm I lên mặt phẳng (α).(Hình 3.39) Giải: - Vẽ đường bằng Ah (A1h1, A2h2) - Vẽ đường mặt Cf (C1f1, C2f2) - Qua I vẽ l α(ABC): +Vẽ I1l1  C1f1 + Vẽ I2l2  A2h2 - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(ABC) (Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng) Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mặt phẳng α(ABC)

h2

Hình 3.39. Tìm hình chiếu vuông góc H(H1, H2)

của điểm I lên mặt phẳng (α).

D2 l2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

22 g2 B2 I2

I1

mα

H1

N1

x

M1

M2

H2

g2

Ví dụ 2: Xác định độ lớn thật khoảng cách từ I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα) được cho trên đồ thức. (Hình 3.40) Giải: - Qua I vẽ đường thẳng l α(mα, nα) : +Vẽ I1l1  mα + Vẽ I2l2  nα - Tìm H(H1, H2) ≡ l ∩ α(mα, nα) - Tìm độ lớn thật của IH Ta có: H1I là độ lớn thật khoảng cách từ I đến α(mα, nα)

Δy

l2

Hình 3.40. Xác định độ lớn thật khoảng cách từ

N2

I(I1, I2) đến mặt phẳng α(mα, nα)

nα

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

I2

I1

mα

a1

x

b1

b2

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(mα,nα). Đường thẳng a(a1,a2). Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua a và vuông góc với (α). (Hình 3.41) Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Áp dụng: - Trên đường thẳng a lấy điểm I - Vẽ đường thẳng Ib α(mα, nα) - β(a,b) là mặt phẳng qua a và β(a,b) α(mα, nα)

a2

Hình 3.41. Dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi qua

a và vuông góc với (α)

nα

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

I2

Chương 3

Thay mặt phẳng hình chiếu Các bài toán về lượng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Π1 Π’1

a)

A1

A’1

x

A’x

Ax A A’1

x’

A2 Π2

A1

b)

x

Ax

Π1 Π2 A’1

A’x

+ A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng

x’ A2

Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1

+ A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)

3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu 3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu: - Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới. - Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu là (A1 , A2). - Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1. Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2. ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ vuông góc với x’

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A1

B1

Bx x Ax

Π1 Π2

B2

A2 B’x

φ

A’x x’

A’1

B’1

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 Giải: Dựa vào tính chất của đường mặt - AB đã cho ở vị trí bất kỳ. - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới (П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt . Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2. - Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất) - Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1

Hình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc

nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A’2

A’x

A1

Ax x

Π1 Π2

A2

b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 Điều kiện: Cách xây dựng như thay П1 thành П’1 * Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3) *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2

Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A’2

B’2

Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4)

A’x

C’2

A1

B’x

C’x B1

C1

Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC) Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. Tìm A’2B’2C’2?

x

Π1 Π2

C2

- Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC.

Ax Bx Cx

A2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC

B2

A1

Π1 Π2

A2

x Ax

x’’

A’x x’

A”x

A’2

A’1

3.1.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu a) Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 rồi thay П2 thành П’2 Điều kiện: Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5) Giải: - Tìm A’1: A’1A2 x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’2: A’2A’1 x” ; A’xA”2=AxA’2 

Π’2

Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2

Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 rồi thay П2 thành П’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A1

B1

Ax

Bx x

Π1 Π2

B2 A1

Độ cao âm

A2

A’1

x’ A’x

B’1

B’x

A”x ≡ B”x

A’2 ≡ B’2

x’’

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6) Giải: - Thay П1thành П’1 để trong hệ thống (П’1,П2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. + Tìm A’1B’1? (Độ cao điểm A âm) - Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. + Muốn vậy, chọn trục x”A’1B’1. + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)

Hình 4.6. Ví dụ 3

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

x’’ A’’x A’1 A’2

A’x

Π’1

x’ A1

Ax x

Π1 Π2

A2

b) Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 rồi thay П1 thành П’1 Điều kiện: Thực hiện phép thay tương tự như mục a) Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2. (Hình 4.7). Giải: Tìm A’2: A1A’2 x’ ; A’xA’2=AxA2 Tìm A’1: A’1A’2 x” ; A’’xA’1=A’xA1

Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1Ax

Hình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 rồi thay П1 thành П’1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A’1 B’1

x’’

B’2

x’ B”x

B’x A”x

B1 C’1

A’2

C”x

A’x

C’2 f1 11

A1 C’x

C1 Bx Cx Ax x

Π1 Π2 B2

Tìm A’1B’1C’1?

12 f2

A2

C2 Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật

Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8) Giải: - Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’A1f1. Tìm A’2B’2C’2? - Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’A’2B’2C’2. - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC. 



của tam giác ABC

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 4

Giao của các đối tượng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

b1

l’1

a1

21

l1 K1 ≡

11

4.1- Mặt phẳng cắt các đối tượng 4.1.1 Trường hợp đặc biệt a)Mặt phẳng cắt một đối tượng chiếu Nguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu đã biết của giao nằm trên trên hình chiếu suy biến của đối tượng chiếu, hình chiếu còn lại tìm bằng bài toán liên thuộc

x

a2

Ví dụ 1: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) . Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b).

12

b2

K2

l2

22

l’2

Giải: - l П1  K1 ≡ l1 - Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1 (điểm thuộc mặt phẳng)  K2 ≡ l’2 ∩l2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 - Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng

C1 21

A1

Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(ABC) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Giải: thuộc mặt phẳng

11

B1

A2 22

C2 g2 12

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

B2

21

f1

B1

X1

d1

V1

C1

h1

O1

D1

U1

Y1

A1

11

22

X2

mα

d2

Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng được cho như trên hình 6.8. (Trụ chiếu bằng là trụ có trục hay đường sinh vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng П2). Giải: Giao tuyến (α) với trụ là đường elíp. Vì mặt trụ là mặt trụ chiếu bằng nên biết trước hình chiếu bằng của giao tuyến. + Tìm điểm giới hạn thấy khuất U, V. + Tìm điểm thấp nhất và cao nhất A, B. + Tìm CD: đường kính liên hợp với AB.

C2

B2

Π1

O2

V2

U2

d

B

f2

V

C

O

mα

A2

U

D

D2

12

x

Hình 6.9. Giao của (α ) với trụ chiếu đứng trong không gian

A

Y2

nα

h2

O2

Π2

α

Hình 6.8. Tìm giao tuyến của α(mα, nα) với mặt trụ chiếu bằng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

b- Mặt phẳng chiếu cắt các đối tượng Nguyên tắc chung: Đã biết trước một hình chiếu của giao. Hình chiếu biết trước của giao trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng chiếu.

Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng

(α) và (β) cho trước.

g1

α1

Giải:

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g2 ≡ β1

x

β2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

g2

Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Hãy vẽ giao tuyến g của

hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.

g1

Giải:

α1

β1

x

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 - (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1 - Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng:

+ g1≡ α1∩ β1 + g2 x

Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(α1) , β(β1)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

g2

α1

S1

B1

C1≡D1≡ I1

X1 K1 J1

A1 (E1)

C2 (E2) X2

A2 K2 I2 B2 J2

S2

Ví dụ 3: Tìm giao tuyến của mặt phẳng α(α1) với mặt nón tròn xoay trong 3 trường hợp: Trường hợp mặt phẳng (α) cắt tất cả các đường sinh của nón, giao tuyến là elíp (E) - (α) cắt mặt nón theo đường elíp (E) có hình chiếu đứng là đoạn A1B1. - A2B2 là trục dài của elíp trên hình chiếu bằng. - Lấy I1 là trung điểm A1B1  I2 là trung điểm của A2B2 . I2 là tâm đối xứng của elíp trên hình chiếu bằng. - C1 ≡ D1, Tìm C2D2 (bài toán điểm thuộc mặt nón). C2 D2 là trục ngắn của elíp (E). - Để thuận lợi ta tìm thêm các điểm trung gian khác. Chú ý: S2 là tiêu điểm của elíp

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

X’2 D2

4.1.2 Trường hợp tổng quát Trường hợp tổng quát ta chưa biết được hình chiếu nào của giao. Muốn tìm giao ta

phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ.

φ

l

g K

α

a) Đường thẳng cắt mặt phẳng Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g của (φ) và (α) + Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)

Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt

Chú ý: phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

21

C1

l

A1 K1

≡ 11

B1

l) và

l,P2

11

BC

l

ll1 ; P1

BC, P2

l2

12

A2

22

l ≡ P2 BC  BC khuất

BCB1C1 ; P2 l cao hơn P1 l thấy, P2

g2

lK2 thấy.

l )

l,12

xa hơn 12

C2 K2 12

lK1 khuất.

B2

Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α) Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC). Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm được K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1 BC): P1 (P1 Trên hình chiếu đứng P1 trên hình chiếu bằng P2 P2 - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11 l  Trên hình chiếu bằng: 12 l khuất  trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11 11

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

mα

K1

M1

x

N1

M2

g2

Ví dụ 2: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(mα,nα). (Hình 3.37) Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: - Lấy (φ) chứa l (φ1 ≡ l1) - (φ) ∩ (α) ≡ g : g1 ≡ φ1 ≡ l1 - Tìm g2 (Bài toán cơ bản 1) - Lấy K2 ≡ l2 ∩ g2 K1l1  K(K1,K2) ≡ l ∩(α)

K2

l2

nα

N2

Nếu lấy (φ) là mặt phẳng chiếu bằng

Chú ý: (φ2 ≡ l2) thì ta cũng làm tương tự.

Hình 3.37. Ví dụ tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(mα,nα).

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

g

Giải:

α

β

l J k

φ

l’ J’ k’

φ’

Hình 3.29. Phương pháp mặt phẳng phụ

(φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu.

b) Mặt phẳng cắt mặt phẳng Dùng phương pháp mặt phẳng phụ. (Hình 3.29) Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau: - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k ≡ (φ)∩(α) l ≡ (φ)∩(β) J ≡ k∩l Ta có J là điểm chung thứ nhất của mặt phẳng (α) và (β). - Lấy mặt phẳng (φ) cắt cả (α) và (β). - Gọi: k’ ≡ (φ’)∩(α’) l’ ≡ (φ’)∩(β’) J’ ≡ k’∩l’ Ta có J’ là điểm chung thứ hai của mặt phẳng (α) và (β). Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β).

Chú ý: Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ 3: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d.

Tìm giao của hai mặt phẳng

d1 c1

F1 E1

l’1

k’1

(φ’1)

J’1

A1 B1 l1 D1 k1 C1

(φ1)

J1

x

a1 g1 b1

a2 c2

d2

A2 k2 D2 b2 g2 l2 C2

J2

k’2 B2 E2 F2

l’2

J’2

Hình 3.30. Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

M1

mα mβ g1

N1

x

M2

g2

nβ

N2

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Ví dụ 4: Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ) . (Hình 3.28) Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến. Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó Giải: - Tìm hai điểm chung M, N của mặt phẳng (α) và mặt phẳng (β): + M1≡ mα∩mβ 2x + N2≡ nα∩nβ 1x - g1 đi qua các điểm M1 và N1 - g2 đi qua các điểm M2 và N2 Ta có g(g1,g2) ≡ α(mα,nα) ∩ β(mβ,nβ)

Hình 3.28. Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước. Cho α(mα,nα) , β(mβ,nβ)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

nα

b) Mặt phẳng cắt đa diên, mặt cong (Xem

sách giáo khoa)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

l1 S1

K1

T1

H1

I1 O1

4.2 Đường thẳng cắt mặt(mặt cong, đa diện) 4.2.1 Trường hợp đặt biệt Nguyên tắc: Đã biết trước một hình chiếu của giao điểm, tìm hình chiếu còn lại nhờ bài toán điểm thuộc mặt hoặc điểm thuộc đường thẳng.

G1

T’1

S2

l2 ≡I2≡K2

H2 ≡ G2

Ví dụ 1: Vẽ giao của đường thẳng chiếu bằng l với mặt nón được cho như trên hình 6.10. Giải: - Vì l là đường thẳng chiếu bằng , do đó biết hình chiếu bằng I2 ≡ K2≡ l2 - Tìm I1, K1: Bài toán điểm thuộc mặt nón

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

O2

( Lăng trụ chiếu đứng là lăng trụ có cạnh bên

B1

K1

A1

C1 I1

D1

l1

B2

C2

A2 D2

l2

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng vẽ. vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng П1) Giải: Giả thiết lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó ta đã biết trước hình chiếu đứng I1, K1 của giao điểm. Tìm I2 K2: Bài toán điểm thuộc đường thẳng : I2 , K2 thuộc l2. Chú ý: Nhất thiết các đoạn I1K1, I2K2 phải khuất.

I2

Hình 5.7. Ví dụ 1 : Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với lăng trụ chiếu đứng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

K2

S1

l1 31 I1

J1 K1 21 11

B1 C1 A1

C2

A2

32 J2

12

4.2.2 Trường hợp tổng quát a)Đường thẳng cắt đa diện Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đường thẳng l(l1,l2) với hình chóp được cho trên đồ thức. Giải: Giả thiết đường thẳng l(l1,l2) bất kỳ, đa diện là hình chóp, ta chưa biết hình chiếu nào của giao tuyến, do đo phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: (Hình 5.10) - Lấy một mặt phẳng (α) chứa đường thẳng l - Tìm giao tuyến của (α) với chóp : Δ123 - Gọi I, K là giao điểm của l với cạnh của Δ123 thì I, K là giao điểm của đường thẳng l với hình chóp đã cho. S

α

l2 K2 S2 I2 3

1 K C I

l 22

Chú ý: Mặt phẳng (α) được chọn là mặt phẳng chiếu.

A

2

B2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

B

b)Đường thẳng cắt mặt cong * Tìm giao của đường thẳng với mặt nón trong trường hợp tổng quát

S

α S k α K k K

I

R

I I’ I’

12 cắt đáy nón tại hai điểm F, J . Nối SF, SJ cắt k tại I và I’. I, I’ là giao điểm cần tìm.

- Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, k) - Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón tại 2. - Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón tại 1. - * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

F J J 1 2 F 1 2

* Tìm giao của đường thẳng với mặt trụ trong trường hợp tổng quát (Hình 6.15)

b)

a)

α

k K k α K I’ I R I

O

O

I’

2

12 cắt đáy nón tại hai điểm F,J .

- Lập mặt phẳng phụ trợ α đi qua k và song song với trục của trụ. - Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ tại 2. - Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục của trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ tại 1. - Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục của trụ cắt k tại I và I’. * Trường hợp giao điểm của đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ quá xa, ta có thể lấy thêm một điểm R trên đường thẳng k

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

1 F 1 F J 2 J

K1

f1

(S1)

) (C1

I1

) ≡ (φ2).

).

)∩ f1

(S2)

O1 11

O2

*Đường thẳng cắt mặt cầu Ví dụ 2: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S) được cho như trên hình 6.11. Giải: - Trong bài toán này, chưa biết hình chiếu nào của giao điểm, do đó ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ. - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ là đường tròn (C): (C2 - Tìm (C1 - Ta có: I1, K1 ≡ (C1 I2, K2  f2

≡ φ2

) (C2 K2 f2 I2

Hình 6.11. Ví dụ 1: Vẽ giao của đường mặt f với mặt cầu (S)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

12

S1

51 ≡5’1

41

E1

21

F1 31 ≡3’1

D1 11=1’1

B1

A1

C1

D2

E2

C2

F2 3’2

1’2

A2

32

4.3 Giao hai đa diện Ví dụ 1: Tìm giao của hình chóp với lăng trụ chiếu đứng . (Hình 5.11) Giải: - Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, do đó giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín. - Hình chiếu đứng của giao tuyến trùng với đáy của hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51. - Tìm hình chiếu bằng: Giải bài toán điểm thuộc mặt của hình chóp. - Để nối và xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển như hình 5.12

5’2

12

S2

1’ 5’

S S S S D

52

1 5 E

42

4

22

3’ 3

B2

2 1 F (-) D 1’

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A A C B

51

Ví dụ 2: Tìm giao của hai lăng trụ trong đó có một lăng trụ là lăng trụ chiếu bằng (Hình 5.13)

4’1

21

F

D

(-)

E E

41

61

C

11

3’1

4 3

A1

1 6 B

5

31

H1

B1

(-)

4’

A 2

G1

C1

F1

C

D1

E1

C2

H2

G2

32≡3’2 D2

Hình 5.14. Bảng nối và xét thấy khuất giao tuyến trên hình chiếu đứng

42≡4’2 F2

A2

52

22

12

B2

62

E2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

3’

S1

4.4- Giao của đa diện với mặt cong

11

A1 ≡A’1

B1 ≡B’1

21

41

51

61

≡31

C1 ≡C’1

C2

B2

A2

32

52

62

22

S2

42

12

2’2

6’2

5’2

Mỗi một mặt đa diện cắt mặt cong bậc 2 theo một đường bậc 2.Vì vậy, giao của đa diện với mặt cong là tổ hợp của các đường bậc 2.

Ví dụ 1: Tìm giao tuyến của lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay được cho trên hình 6.16. Giải: - Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ chiếu đứng, do đó đã biết hình chiếu đứng của giao tuyến là các đoạn 1-2-3-4 - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến : bài toán điểm thuộc mặt nón. Bổ xung thêm các điểm 5-6 để vẽ giao tuyến được chính xác. - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 + Mặt (BB’C’C) song song với một đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất cả các đường sinh của hình nón, do đó mặt phẳng này cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4.

3’2

B’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

A’2

C’2

S1

11

X1

21

41

Y1

31

Y2

32

22

X2

42

12

S2

4.5- Giao của hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình ) Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y...

X’2

2’2

Hình 6.18 Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay

3’2

Y’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

71

51

61

21

31

32

22

62

52

72

5’2

Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình ) Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu.

6’2

2’2

Hình 6.19 Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu

3’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong

ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

S1

11

Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai.

21

31

32

22

S2

12

2’2

3’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

51

81

71

S1

Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.

61

21

31

32

52

22

62

S2

72

82

6’2

2’2

5’2

3’2

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt