L
Lớ
ớp gh
p ghé
ép v
p và
à đ
đị
ịnh lý
nh lý
Lagrange
Lagrange
PGS TS Tr
PGS TS Trầ
ần
n Đ
Đan Th
an Thư
ư
tdthu@fit.hcmus.edu.vn
tdthu@fit.hcmus.edu.vn
2
2
T
Tó
óm t
m tắ
ắt n
t nộ
ội dung
i dung
•Cấp của một phần tử
•Khái niệm vềlớp ghép và tính chất
•Định lý Lagrange
•Định lý Fermat nhỏ
•Định lý Euler
•Bài tập
•Thuật ngữ
3
3
Đ
Đị
ịnh ngh
nh nghĩ
ĩa (c
a (cấ
ấp c
p củ
ủa ph
a phầ
ần t
n tử
ử)
)
•Cho nhóm (G, o) và a∈G. Xét nhóm con sinh bởi alà
H = < {a} > = { ar/ r∈ℤ}.
–Trường hợp H hữu hạn: cấp của alà |H|, tức là sốphần tửcủa
nhóm con sinh bởi a.
–Trường hợp H vô hạn: ta nói acó cấp vô hạn.
•Nhận xét:
–Nếu G hữu hạn thì hiển nhiên cấp ahữu hạn.
–Nếu H hữu hạn tồn tại ivà k(với i ≠k) sao cho ai= ak, ta suy ra
a|i-k| = e. Vậy tồn tại số nguyên dương m = |i-k| sao cho am= e.
–Nếu H vô hạn, không thểtìm được số nguyên dương msao cho
am= e, vì nếu ngược lại thì:
H = { ar/ r∈ℤ} = {e, a, a2, …, am-1} hữu hạn.
4
4
T
Tí
ính ch
nh chấ
ất (v
t (về
ềc
cấ
ấp c
p củ
ủa ph
a phầ
ần t
n tử
ử)
)
Giảsửa∈G, acó cấp hữu hạn. Gọi nlà số
nguyên dương nhỏnhất sao cho an= e
(a) H = { ar/ r∈ℤ} = {e, a, a2, …, an-1} có đúng n
phần tử.
(b) Cấp abằng n.
(c) Nếu am= e thì nlà ước sốcủa m.
Chứng minh: Xem trình bày trên bảng.
Ghi chú: Đối với nhóm ký hiệu + cũng tương tự.
5
5
V
Ví
íd
dụ
ụ-
-C
Cấ
ấp ph
p phầ
ần t
n tử
ử
•Phần tử-1 có cấp 2 trong nhóm nhân các số
thực khác không, vì: (-1)2= 1
•Phần tửicó cấp 4 trong nhóm nhân các số
phức khác không, vì:
i2= -1 ≠1 ; i3= -i ≠1; i4= 1
•Phần tử⎯2có cấp 4 trong (ℤ8, +) vì:
2
⎯
2 = ⎯4 ≠⎯0
3
⎯
2 = ⎯6 ≠⎯0
4
⎯
2 = ⎯8 =⎯0