Bài giảng Thiết kế hệ thống điều khiển [mới nhất]

THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

ThS. Nguyễn Hữu Quang

Bộ môn GCVL & DCCN

3/2014

Nội dung môn học (dự kiến)

• Giới thiệu • Mô hình toán học của các hệ thống kỹ thuật • Phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển • Ứng dụng phần mềm MATLAB • Phần tùy chọn (thay thế cho bài thi giữa kỳ): Project “Điều khiển tốc độ

động cơ một chiều, sử dụng vi điều khiển”

3/2014

Tài liệu tham khảo chính

• Lý thuyết điều khiển tuyến tính – Nguyễn Doãn Phước • Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động – Nguyễn Phùng

Quang

• Modern control engineering – 4th – Katsuhiko Ogata (pdf file)

3/2014

PHẦN MỘT: MÔ HÌNH TOÁN HỌC

• Mô hình hàm truyền đạt • Mô hình trạng thái • Một số ví dụ xây dựng mô hình của các hệ cơ-điện • Tuyến tính hóa mô hình

3/2014

Mô hình hàm truyền đạt

•

Phép biến đổi Laplace:

∞

( ) t

( ) F s

( ) st − t e dt

⎡ ⎣

⎤ = ⎦

∫

−

•

Phép biến đổi Laplace ngược:

c j

+ ∞

1 − L

st F s e ds t ,

( ) F s

( ) t

( )

⎡ ⎣

⎤ = ⎦

∫

1 2 jπ

c j

− ∞

3/2014

Mô hình hàm truyền đạt

• Một số tính chất của phép biến đổi Laplace:

3/2014

Mô hình hàm truyền đạt

• Khái niệm: Hàm truyền đạt của hệ tuyến tính tham số hằng là tỉ số giữa ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0.

• Xét hệ tuyến tính tham số hằng mô tả bằng ptvp:

( ) n

(

) 1 −

(

)

(

) 1 −

(cid:5)

... + +

a y n

a y a y + 1

b u m

b u b u + 1

a y 1 n −

b u m 1 −

Với giả sử các điều kiện đầu bằng 0 và

Hàm truyền đạt của hệ là:

1 −

( ) G s

1 −

+ +

... + + ... + +

( ) Y s ( ) U s

b s m a s n

b s b + 1 0 a s a + 1 0

b s 1 m − n a s 1 n −

3/2014

n m≥

Mô hình hàm truyền đạt

• Ví dụ 1: Tìm hàm truyền đạt của hệ sau

( ) G s

= =

1 cs +

( ) X s ( ) F s

• Ví dụ tương tự: Tìm hàm truyền đạt của hệ sau

3/2014

k m s +

Mô hình hàm truyền đạt

• Ví dụ 2: Tìm hàm truyền đạt của hệ sau

Giả sử: -Trục quay có độ cứng hữu hạn K; -Tác động mô-men vào phía trái và đo chuyển dịch góc ở phía phải;

Mô hình đơn giản hóa:

3/2014

Mô hình hàm truyền đạt

• Ví dụ 3: Tìm hàm truyền đạt động cơ một chiều

e b

k ω= e

Mô-men Mô-men Mô-men Mô-men cản nhớt cản nhớt cản nhớt cản nhớt

u u u u

bE bE

T m

k i= t

L u Ri = − − e b di dt

( )mT t ( )mT t ( )mT t ( )mT t Mô-men Mô-men Mô-men Mô-men động cơ động cơ động cơ động cơ

Tốc độ góc Tốc độ góc Tốc độ góc Tốc độ góc

J k = − ω T m d ω dt

Suy ra:

2 ω 2

JL Rk + JR Lk + + + = k k t k u t

)

(

) ω

d dt d ω dt

( ) G s

3/2014

≈

k Ls R Js

t +

s J + k R / t k +

( ( ) s ω ( ) u s

(

k k t

)(

)

/ k k R t e

Mô hình hàm truyền đạt

• Biểu diễn hàm truyền đạt bằng sơ đồ khối:

Hình 1: Biểu diễn một khối

3/2014

Hình 2: Biểu diễn một hệ kín

Mô hình hàm truyền đạt

• Rút gọn sơ đồ khối:

( ) ( ) G s G s

( ) C s ( ) R s

( ) G s G s +

( )

( ) C s ( ) R s

( ) G s 1 ( ) ( ) G s G s

3/2014

1 +

Mô hình không gian trạng thái

• Trạng thái của một hệ thống là tập hợp các biến mà giá trị của biến cùng với giá trị của tín hiệu vào sẽ cho phép xác định trạng thái tương lai của hệ thống, và tín hiệu ra của hệ thống.

• Mô hình trạng thái của hệ thống: Hệ ptvp bậc nhất của các biến trạng thái

... + + ... + + +

a x 11 1 a x 21 1

a x 12 2 a x 22 2

a x 1 n n a x 2 n n

b u 11 1 b u 21 1

b u 12 2 b u 22 2

b u 1 m m b u ... + + + 2 m m

(cid:5) x Ax Bu

... + +

a x 1 1 n

a x 2 2 n

a x nn n

b u 1 1 n

b u 2 2 n

b u nm m

3/2014

... + + ... + + + (cid:5) x ⎧ 1 ⎪ (cid:5) x ⎪ 2 ⎨ ... ⎪ ⎪ (cid:5) x ⎩ n

Mô hình không gian trạng thái

= −

−

+ ω

1 L

k m L k

−

di dt d ω dt

R L k m J

f J

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

−

R L

−

k m L k

d dt

• Ví dụ: Mô hình trạng thái của động cơ một chiều

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ω ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ω ⎠

u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠

−

k m J

f J

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

3/2014

1 L 1 J

Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến

• Đối tượng bình mức:

iQ iQ

max

Lưu lượng nước chảy vào bình

Lưu lượng nước chảy vào bình max

Lưu lượng nước chảy ra khỏi bình

H maxH

A a

Mức nước trong bình Mức nước cao nhất trong bình

Tiết diện bình Tiết diện đường ống dẫn nước ra khỏi bình Thể tích nước trong bình

Gia tốc trọng trường (9.8 )

3/2014

Vị trí góc mở của van lưu lượng, thay đổi từ 0 tới 1

Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến

• Đối tượng bình mức:

oQ a =

Q Q − o

dV dt

dH dt

Pt Berloulli:

Q pQ = i

max

Q i

max

∫

Pt cân bằng vật chất:

Lưu lượng vào phụ thuộc góc mở van

Phi tuyến 2 gH A = Q a − i dH dt Suy ra:

3/2014

= Q u max i dQ i dt ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến

Đặt

H H h

• Đối tượng bình mức:

)

(

⇔

)

Q a − i

( g H h 0

d H h 0 dt

⇔

Q a − i

dh dt

h H

1 ≈ +

Ta có công thức xấp xỉ:

h H

Suy ra:

Q a − i

h H

dh dt

⎛ 1 +⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

= −

dh dt

a A

g H

q A

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

= −

A 2 gH = Q a − i dH dt

( h Q a i

)

g H

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Q u i max

dq dt

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

Đặt

3/2014

iQ a −

Tuyến tính !!!

Tuyến tính hóa mô hình phi tuyến

• Đối tượng bình mức:

( ) G s

Q max i a

H g

Mô hình hàm truyền: ( ) h s ( ) u s

A a

H g

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ 1 +⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Hệ thống cụ thể:

Tham số

Giá trị

0.05

0.5

max

( ) G s

4.5175 ( 1 9.0351 s +

)

a iQ maxH 0H

3/2014

PHẦN HAI: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG

• Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian • Phân tích tính chất ổn định tuyệt đối • Phân tích sai lệch tĩnh

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian

• Điểm cực là các giá trị của biến phức s làm cho hàm truyền đạt có giá trị

bằng vô cùng.

• Nghiệm của đa thức mẫu số của mô hình hàm truyền đạt là các điểm cực. • Trị riêng của ma trận hệ thống của mô hình biến trạng thái là các điểm cực.

• Điểm không là các giá trị của biến phức s làm cho hàm truyền đạt có giá trị

bằng không.

• Nghiệm của đa thức tử số của mô hình hàm truyền đạt là các điểm không.

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian

• Đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian có thể tìm được bằng cách biến

đổi Laplace ngược từ ảnh Laplace của tín hiệu ra.

• Đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian gồm đáp ứng tự nhiên và đáp

ứng cưỡng bức.

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian

• Khảo sát hệ bậc nhất

( ) G s =

Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .

t T /

(

)

e−

1 = −

( ) c t

T được gọi là hằng số thời gian.

c(t)

2.2

Khoảng thời gian đáp ứng tăng từ 10% tới 90% giá trị xác lập gọi là thời gian tăng, Tr. =

Khoảng thời gian để đáp ứng tiến tới và ở lại trong miền sai lệch 2% của giá trị xác lập gọi là thời gian xác lập, Ts.

T= 4

3/2014

1 Ts + 1

2 n

• Khảo sát hệ bậc hai:

( ) G s =

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian ω 2 s + 2ζω s + ω

n

2 n

– Trường hợp : Hệ có 2 điểm cực thực phân biệt

1ζ >

= −

s 1,2

s t 2

s t 1

1 = −

−

2 ζω ω ζ ± − ( ) c t Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .

1 s

1 s 1

ω n 2 ζ

⎛ ⎜ 1 − ⎝

⎞ ⎟ ⎠

– Trường hợp : Hệ có 2 điểm cực thực trùng nhau s ω = − 2 n

1ζ = s 1

( ) c t

) nt t e ωω − Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .

( 1 = − +

– Trường hợp : Hệ có 2 điểm cực phức liên hợp

1ζ< <

= −

2 j ζω ω ζ

−

s 1,2

sin

1 = −

) ( ( ) − ζω ω θ c t Đáp ứng với tín hiệu bước nhảy: .

−

2 ζ

1 1 −

tan

−

1 ω ω ζ θ

2 Trong đó: .

3/2014

− ζ

2 n

• Khảo sát hệ bậc hai:

( ) G s =

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian ω 2 s + 2ζω s + ω

n

2 n

– Ứng dụng Matlab: Vẽ đáp ứng quá độ của hệ bậc hai

Step Response

ζ =0

wn=1; for zeta=[0,0.1,0.4,0.7,1.0,1.4,2.0]

1.8

ζ =0.1

1.6

sys=tf(wn*wn,[1,2*zeta*wn,wn*wn]); step(sys,20) hold on

1.4

end

ζ =0.4

1.2

ζ =0.7

e d u t i l

ζ =1

p m A

0.8

ζ =1.4 ζ =2

0.6

0.4

0.2

3/2014

18 24

Time (sec)

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian

• Khi 0<ξ<1 ta có hệ dao động bậc hai. Hai điểm cực của hệ dao động bậc

hai là hai số phức liên hợp.

Pole-Zero Map

0.74

0.6

0.42

0.22

0.84

0.8

0.91

0.6

0.96

0.4

0.99

0.2

1.4

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

Vị trí các điểm cực khi 0<ξ<1

s x A y r a n g a m

-0.2

0.99

-0.4

0.96

-0.6

0.91

-0.8

0.84

0.74

0.6

0.42

0.22

-1

-1.5

-1

-0.5

0.5

Real Axis

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian

• Đáp ứng quá độ của hệ dao động bậc hai:

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian • Ví dụ: Chọn K,p sao cho: P.O không quá 5% và thời gian xác lập không

quá 4s.

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian

• Kết quả mô phỏng trên Matlab:

Step Response

1.4

1.2

0.8

e d u

t i l

p m A

0.6

0.4

0.2

Time (sec)

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian Trường hợp bậc của mô hình lớn hơn hai, liệu có thể xấp xỉ bằng một mô hình

bậc nhất, hoặc bậc hai?

Ví dụ 1: So sánh đáp ứng quá độ của các hệ sau

Step Response

( ) G s 1

2 +

0.9

0.8

( ) G s 2

20 )( s

(

)

0.7

0.6

( ) G s 3

e d u

t i l

6 )(

(

)

0.5

p m A

0.4

0.3

( ) G s 4

6 3.1

(

) ( s 3.1 + )( s 2 + +

)

0.2

0.1

0.5

1.5

2.5

3.5

3/2014

Time (sec)

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian Trường hợp bậc của mô hình lớn hơn hai, liệu có thể xấp xỉ bằng một mô hình

bậc nhất, hoặc bậc hai?

Ví dụ 2: So sánh đáp ứng quá độ của các hệ sau

Step Response

1.4

( ) G s 1

5 2

1.2

( ) G s 2

)

(

)(

0.8

e d u

( ) G s 3

t i l

s 2

+ ( s

50 5 + ) +

(

)

p m A

0.6

3.2

0.4

( ) G s 4

+ 2

15 3.2

) 2 s

(

( s )( 3

)

0.2

Time (sec)

3/2014

Điểm cực, điểm không và đáp ứng của hệ thống trên miền thời gian Trường hợp bậc của mô hình lớn hơn hai, liệu có thể xấp xỉ bằng một mô hình

bậc nhất, hoặc bậc hai?

• Các điểm cực bậc cao phải nằm “rất xa” về bên trái trục ảo so với các điểm

cực trội.

• Các điểm không hoặc là gần như bị triệt tiêu bởi các điểm cực bậc cao,

hoặc là phải nằm “rất xa” về bên trái trục ảo so với các điểm cực trội.

• Chú ý: Nếu khoảng cách từ điểm cực bậc cao (hoặc điểm không) tới trục ảo lớn hơn 10 lần so với khoảng cách từ điểm cực trội tới trục ảo thì có thể coi là “rất xa”.

3/2014

Phân tích tính chất ổn định

• Khái niệm: Một hệ thống ổn định là hệ thống có tín hiệu ra bị chặn khi tín

hiệu vào bị chặn.

• Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính tham số hằng (LTI) ổn định là hệ có

tất cả các điểm cực nằm bên trái trục ảo, hay có phần thực âm.

• Nếu hệ tuyến tính tham số hằng được biểu diễn dưới dạng mô hình biến trạng thái thì điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các trị riêng của ma trận hệ thống phải nằm bên trái trục ảo, hay có phần thực âm.

3/2014

Phân tích tính chất ổn định

3/2014

Phân tích tính chất ổn định

• Tiêu chuẩn Routh-Hurwitz: cho phép xác định được số điểm cực nằm bên

phải trục ảo mà không cần phải giải ptđt.

1 −

... + +

• Xét hệ có phương trình đặc trưng: a s 0

a s 1

a s a 1 n n −

• Lập bảng Routh như sau:

3/2014

Phân tích tính chất ổn định

• Một số ví dụ:

– Ví dụ 1: – Ví dụ 2: Điều kiện ổn định của hệ bậc hai

– Ví dụ 3: Điều kiện ổn định của hệ bậc ba

– Ví dụ 4: Xác định hệ số khuếch đại K làm hệ kín ổn định

(s+2)(s+3)(s+5)

Step

Gain

Scope

Zero -Pole

3/2014

Phân tích tính chất ổn định

• Phương pháp Routh-Hurwitz: Các trường hợp đặc biệt

– Ví dụ 5:

sT )(

10 3

s 3

– Ví dụ 6:

sT )(

3/2014

Phân tích sai lệch tĩnh

• Sai lệch tĩnh là sai lệch giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào khi hệ thống đã đạt tới

trạng thái xác lập (hay khi biến thời gian tiến tới vô cùng).

• Chỉ có thể đánh giá sai lệch tĩnh với các hệ ổn định. • Các tín hiệu mẫu thường được sử dụng để đánh giá sai lệch tĩnh: tín hiệu

bước nhảy, tín hiệu tăng đều, tín hiệu parabol.

3/2014

Phân tích sai lệch tĩnh

• Khi tín hiệu vào là tín hiệu bước nhảy:

e ∞

( ) G s

1 1 lim + s 0 →

– Giới hạn được gọi là hằng số sai lệch vị trí của hàm truyền G(s).

( ) G s

lim s 0 →

– Điều kiện triệt tiêu sai lệch tĩnh: Hàm truyền G(s) phải có hằng số sai lệch vị trí

bằng vô cùng, hay phải có ít nhất một khâu tích phân.

3/2014

Phân tích sai lệch tĩnh

• Khi tín hiệu vào là tín hiệu tăng đều:

e ∞

1 ( ) sG s

lim s 0 →

– Giới hạn được gọi là hằng số sai lệch vận tốc của hàm truyền

( ) sG s

lim s 0 →

G(s).

– Điều kiện triệt tiêu sai lệch tĩnh: Hàm truyền G(s) phải có hằng số sai lệch vận

tốc bằng vô cùng, hay phải có ít nhất hai khâu tích phân.

3/2014

Phân tích sai lệch tĩnh

• Khi tín hiệu vào là tín hiệu parabol:

e ∞

1 ( ) 2 s G s

lim s 0 →

– Giới hạn được gọi là hằng số sai lệch gia tốc của hàm truyền

( ) 2 s G s

lim s 0 →

G(s).

– Điều kiện triệt tiêu sai lệch tĩnh: Hàm truyền G(s) phải có hằng số sai lệch gia

tốc bằng vô cùng, hay phải có ít nhất ba khâu tích phân.

3/2014

PHẦN BA: THIẾT KẾ HTĐK

• Phương pháp quỹ đạo nghiệm • Phương pháp đáp ứng tần • Cấu trúc điều khiển tầng (sinh viên tự nghiên cứu) • Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực • Cơ sở điều khiển số

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

• Vấn đề: Khảo sát sự thay đổi vị trí các điểm cực khi có một hệ số trong mô

hình của hệ thống thay đổi?

• Xét hệ có ptđt: . Khi K thay đổi, điểm cực của hệ phải thỏa

KG s

( ) 0 =

° +

360 n °

( ) 180 G s = KG s = 1 ( )

mãn các điều kiện sau: ∠ – Điều kiện pha: – Điều kiện biên:

( ) G s

− −

• Giả sử hàm truyền G(s) có mô hình điểm không-điểm cực là: )( s )( s

( ) s ... ( ) ... s

z m p n

z 2 p 2

z 1 p 1

) ( s ) ( s Khi đó điều kiện pha có thể mô tả dưới dạng:

360

( s ∠ −

)

(

) 180 =

z i

p i

∑

∑ − ∠ −

• Nếu một điểm trên mặt phẳng phức mà thỏa mãn điều kiện pha thì sẽ nằm trên quỹ đạo nghiệm. Giá trị K tương ứng được xác định từ điều kiện biên.

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

0 K≤

≤ ∞

• Một số tính chất của quỹ đạo nghiệm khi : – Quỹ đạo nghiệm có dạng đối xứng qua trục thực; – Quỹ đạo nghiệm có n nhánh, mỗi nhánh bắt đầu từ một điểm cực của

G(s).

– Quỹ đạo nghiệm có m nhánh kết thúc tại các điểm không của G(s), và

n-m nhánh kéo ra vô cùng. (Giả sử n≥m).

– Tất cả các điểm trên trục thực nằm bên trái tổng số lẻ các điểm cực và

điểm không của G(s) đều thuộc quỹ đạo nghiệm.

– n-m nhánh kéo ra vô cùng đều có đường tiệm cận. Các đường tiệm cận

đó cùng cắt trục thực tại một điểm:

r 0

∑ ∑ p − i

1 ⎛ ⎜ n m − ⎝

⎞ ⎟ ⎠

i ,

0,1,...,

n m

− −

và hợp với trục thực một góc:

i 1 2 + n m −

3/2014

π γ i

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

• Khảo sát quỹ đạo nghiệm với Matlab:

Root-Locus Plot

0.5

0.707

1.5

– rlocus; – sgrid; – rlocfind.

• Ví dụ:

0.5

-0.5

s x A y r a n g a m

-1

num=[0 0 0 1]; den=[1 4 5 0]; rlocus(num,den) v=[-3 1 -2 2];axis(v);axis equal sgrid([0.5,0.707],[0.5,1,2]) title('Root-Locus Plot')

-1.5

0.707

0.5

-2

-3

-2

-1

Real Axis

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

• Ví dụ 1 (Bộ điều khiển P):

C(s)

R(s)

s 1.5 + )( s 1 + +

)

( s s

Xác định giá trị của hệ số khuếch đại K để hệ có P.O. không quá 1.52%? Ước lượng giá trị của thời gian xác lập và sai lệch tĩnh khi đó?

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

Root Locus

PO=1.52; zeta=-log(PO/100)/sqrt(pi^2+(log(PO/100))^2); G=zpk([-1.5],[-10 -1 0],1); rlocus(G) sgrid(zeta,[]) [K,r]=rlocfind(G)

0.8

K =

39.6396

s x A y r a n g a m

-2

r = -4.6021 + 3.4542i -4.6021 - 3.4542i -1.7958

-4

-6

Điểm không và điểm cực thứ ba gần triệt tiêu, nên hệ có thể xấp xỉ về hệ bậc hai.

0.8

-8

-15

-10

-5

Real Axis

Ts=4/4.6021=0.87 (s) Kp=∞; Kv=5.9;

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

• Ví dụ 2 (Bộ điều khiển PI):

C(s)

R(s)

1 2 +

(

)( 1

)(

)

Xác định các hệ số cho bộ điều khiển PI sao cho hệ kín có P.O. không quá 50% và có sai lệch tĩnh bằng 0?

K s K K +

(

)

Bộ điều khiển PI:

( ) G s c

K s

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

PO=50; zeta=-log(PO/100)/sqrt(pi^2+(log(PO/100))^2); G=zpk([],[-10 -2 -1],1); rlocus(G) sgrid(zeta,[]) [K1,r]=rlocfind(G)

Root Locus

0.215

K1 =

138.4802

-5

s x A y r a n g a m

r = -11.4129 -0.7936 + 3.6409i -0.7936 - 3.6409i

-10

-15

Điểm cực thứ ba cách rất xa trục ảo so với cặp điểm cực trội.

-20

0.215

-25

-30

-20

-10

e(∞)=0.2857.

Real Axis

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

Triệt tiêu sai lệch tĩnh bằng cách đưa thêm vào điểm cực tại gốc tọa độ, và một điểm không rất gần gốc tọa độ.

Step Response

1.4

sys1=feedback(K1*G,1); sys2=feedback(zpk([-0.1],[-10 -2 -1 0],K1),1); step(sys1,sys2) [p,z]=pzmap(sys2)

1.2

p =

0.8

e d u t i l

0.6

p m A

-11.5248 -0.6926 + 3.7939i -0.6926 - 3.7939i -0.0900

0.4

r =

-0.1

0.2

Time (sec)

Nhận xét: Một điểm cực cách rất xa trục ảo so với cặp điểm cực trội, còn một điểm cực ở rất gần điểm không (triệt tiêu điểm không- 3/2014 điểm cực).

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

• Ví dụ 3 (Bộ điều khiển PD):

C(s)

R(s)

1 )( 4

( s s

)

Xác định các hệ số cho bộ điều khiển PD sao cho hệ kín có P.O. không quá 16% và có thời gian xác lập dưới 1.2 giây?

Bộ điều khiển PD:

K s K s =

( ) G s c

⎛ +⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

3/2014

Phương pháp quỹ đạo nghiệm

Step Response

1.4

PO=16; Ts=1.2; zeta=-log(PO/100)/sqrt(pi^2+(log(PO/100))^2); wn=4/zeta/Ts; p=-zeta*wn + j*wn*sqrt(1-zeta^2); the_ta=(angle(p)+angle(p+4)+angle(p+6))+pi; z=imag(p)/tan(the_ta)+real(p);

1.2

0.8

e d u t i l

G=zpk([],[-6 -4 0],1); rlocus(G) sgrid(zeta,[]) [K1,r]=rlocfind(G);

0.6

p m A

0.4

0.2

sys1=feedback(K*G,1); sys2=feedback(zpk([z],[-6 -4 0],K1),1); step(sys1,sys2)

Time (sec)

3/2014

Phương pháp đáp ứng tần

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

• Bài toán: Xét hệ SISO

(cid:5) x Ax Bu y Cx Du

= =

+ +

⎧ ⎨ ⎩

]

[

k ,..., n

k k 2, 1

(

)

Tìm bộ điều khiển phản hồi trạng thái , với sao cho u = − hệ kín có các điểm cực mong muốn ? s s 2, 1

Kx s ,..., n

A BK−

• Nhận xét: Điểm cực của hệ kín là trị riêng của ma trận . Nói cách

)

(

khác, vector K phải thỏa mãn phương trình sau:

det

...

sI A BK − +

−

(

)

(

)(

)

(

)

s 1

Đồng nhất các hệ số hai vế của phương trình để tìm vector K.

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

• Tính chất điều khiển được: Một hệ được gọi là điều khiển được nếu từ bất kỳ trạng thái ban đầu x0 nào cũng tồn tại tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ tới trạng thái mong muốn xT sau khoảng thời gian hữu hạn.

• Điều kiện kiểm tra tính điều khiển được (tiêu chuẩn Kalman):

1 −

,...

[

]

rank B AB A B A B ,

• Điều kiện cần và đủ để bài toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái

gán điểm cực có lời giải là hệ được xét phải điều khiển được.

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

Ví dụ 1: Xét hệ

, với

(cid:5) x Ax Bu

A B = =

0 0 1 − 1 0 5 − ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 ⎤ ⎥ 1 , ⎥ 6 − ⎥ ⎦ 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Tìm vector phản hồi trạng thái K sao cho hệ kín có các điểm cực: 4 , 10 j 2 = − ± = − s 1,2 s 3

Kiểm tra tính điều khiển được:

( rank M

)

M B AB A B 3 = = = ⎡ ⎣ ⎤ ⎦

0 0 1 0 1 − 6 31 − ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 ⎤ ⎥ 6 , ⎥ ⎥ ⎦

3/2014

Có thể tìm được vector K thỏa mãn bài toán.

Phương pháp gán điểm cực

Vì hệ bậc 3 nên ma trận K có dạng: K=[k1,k2,k3].

Đa thức đặc trưng của hệ kín:

(

)

(

)

(

)

det s 6 k s 5 k s sI A BK − + = + + + + 1 + + k 1

Đa thức đặc trưng mong muốn:

(

)(

)

s j 4 s j 4 s 10 s 14s 2 + − 2 + + + = + + 60s 200 +

199, k 55, k 8 = = = Đồng nhất hệ số ta có: k 1

[ 199,55,8

]

K =

3/2014

Bộ điều khiển phản hồi trạng thái: u Kx 199 55 8 = − = − − − x 1 x 2 x 3

Phương pháp gán điểm cực

• Trường hợp mô hình trạng thái có dạng chuẩn điều khiển:

, A B

1 −

... ... ... ... ... − − − − 0 0 ... 0 a 0 1 0 ... 0 a 1 0 1 ... 0 a 2 0 0 ... 1 a − 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ... ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎣ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−+

3/2014

Phương trình đặc trưng của đối tượng: s 0 ... + + = a s 1 n a s a + 1 0

Phương pháp gán điểm cực

0 0 ...

1 0 ...

0 1 ...

... ... ...

0 0 ...

A BK −

... ...

−

(

)

(

)

(

)

(

)

a 0

k 1

a 1

a 2

a n

1 −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 −

• Trường hợp mô hình trạng thái có dạng chuẩn điều khiển:

(

)

(

)

1 −

s k s k s + + ... + + + + + a 1 a 0 k 1

)

(

1 −

) s n Đồng nhất các hệ số tương ứng của hai đa thức đặc trưng ta có:

s s ... s s s s − − − ... + + = + Đa thức đặc trưng của hệ kín: ( a n Đa thức đặc trưng mong muốn: )( s + α α 0 α n s 1

α 0

α 1

α −

1 −

3/2014

k , = − = − = − k 1 a 0 a 1 k ,..., n a n

Phương pháp gán điểm cực

Xem xét ví dụ trước, mô hình trạng thái có dạng chuẩn điều khiển, với:

6 = = = a 0 a 1 , 1 a 5 , 2

14s

2 + −

2 + +

60s 200 +

(

)(

)

200 ,

60 ,

Phương trình đặc trưng mong muốn là:

α 0

α 1

α 2

199 ,

55 ,

Tức là:

k 1

3/2014

Vậy suy ra:

Phương pháp gán điểm cực

x Tz=

T MW=

,...,

n 1 A B−

⎡ M B AB = ⎣

⎤ ⎦

1 −

−

a n a n − ... a 1 1

a n a n − ... 1 0

... ... ... ... ...

a 1 1 ... 0 0

1 0 ... 0 0

⎡ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 −

• Nếu mô hình trạng thái chưa ở dạng chuẩn điều khiển, có thể chuyển mô hình về dạng chuẩn điều khiển nhờ phép đổi biến , với ma trận T xác định như sau:

(

)

1 −

det s sI A − = + ... + + a s a + 1 0 a s 1 n − ai là hệ số của ptđt:

,...,

−

α n

a n

a 0

, α 1

a 1

[ α 0

]

1 −

3/2014

Khi đó vector K tính như sau:

Phương pháp gán điểm cực

1 −

0 ... 0

B AB

...

n 1 − A B

(

)

[

]

⎡ ⎣

⎤ ⎦

1 −

... + +

(

)

• Phương pháp 3: Công thức Ackerman

1 −

3/2014

α 1 α n α n

Phương pháp gán điểm cực

• Giải bài toán gán điểm cực trên Matlab:

– Pc=ctrb(A,B); – Po=obsv(A,C); – n=rank(Pc); – d=det(Pc) – K=acker(A,B,P);

• Giải lại ví dụ trước sử dụng Matlab:

Pc =

0 0 1 0 1 -6 1 -6 31

A=[0 1 0;0 0 1;-1 -5 -6]; B=[0; 0; 1]; Pc=ctrb(A,B); n=rank(Pc); P=[-2+4*j,-2-4*j,-10]; K=acker(A,B,P);

n = 3 K =

199 55 8

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

• Ví dụ 2: Đối tượng có hàm truyền đạt

( ) G s

) +

( s s

( s + )( 1

)

Thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi sao cho hệ kín có độ quá điều chỉnh không quá 5% và thời gian xác lập 1 giây khi kích thích bằng tín hiệu bước nhảy đơn vị.

Xem xét cấu trúc điều khiển phản hồi trạng thái sau đây:

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

Từ yêu cầu của bài toán suy ra điều kiện của cặp nghiệm trội:

4 ςω n

4.1946

4 = − ±

s 1,2

/ 1

2 − ς

0.05

− e ςπ

Điểm cực thứ ba được chọn bằng điểm không của hệ hở, để xảy ra sự triệt tiêu điểm không-điểm cực: . s = − 5 3

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

Đa thức đặc trưng mong muốn:

213 s

73.5947

167.9733

Chuyển mô hình hàm truyền đạt về dạng mô hình trạng thái chuẩn điều khiển:

[ 100 20 0

]

−

5 −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 , ⎥ ⎥ ⎦

0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 0 , ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Áp dụng phương pháp thiết kế gán điểm cực ta suy ra vector K như sau:

[ 167.9733,69.5947,8

]

[

]

k k k 1 2

Khi đó, hàm truyền đạt của hệ kín là:

( ) G s cl

( 73.5947

167.9733

) s

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

Kết quả mô phỏng kiểm chứng trên Matlab:

Step Response

0.7

0.6

0.5

0.4

e d u t i l

p m A

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

Time (sec)

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

Loại bỏ sai lệch tĩnh bằng bộ tiền xử lý:

Chọn:

1.68

1 ( ) 0cl

3/2014

Phương pháp gán điểm cực

Kết quả mô phỏng kiểm chứng trên Matlab:

Step Response

1.4

1.2

0.8

e d u t i l

p m A

0.6

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

Time (sec)

3/2014

Bộ điều khiển PID

• Luật điều khiển PID:

( ) u t

( ) K e t dt K

( ) K e t p

∫

( ) de t dt

• Hàm truyền của bộ điều khiển PID:

K s K =

( ) G s c

T s d

K s

1 T s i

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

• Chú ý: Thành phần vi phân trong thực tế là

, với rất nhỏ

dτ

( ) G s d

K s d sτ + d so với hằng số thời gian của đối tượng cần điều khiển.

3/2014

Bộ điều khiển PID

• Xu hướng ảnh hưởng của các tham số PID tới đáp ứng của hệ thống:

Rise Time Rise Time

Overshoot Overshoot

Settling Time Settling Time

SS Error SS Error

Kp Kp

Giảm Giảm

Tăng Tăng

- -

Giảm Giảm

Ki Ki

Giảm Giảm

Tăng Tăng

Triệt tiêu Triệt tiêu

Kd Kd

- -

Giảm Giảm

- -

• Các tham số Kp, Ki, Kd phụ thuộc lẫn nhau. Khi thay đổi một tham số sẽ làm thay đổi ảnh hưởng của các tham số còn lại tới đáp ứng của hệ thống.

3/2014

Bộ điều khiển PID

• Phương pháp Ziegler-Nichols thứ nhất:

3/2014

Bộ điều khiển PID

• Phương pháp Ziegler-Nichols thứ hai:

3/2014

Bộ điều khiển PID

• Ví dụ: Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp Ziegler-Nichols hai,

( ) cho đối tượng . G s )

( s s

1 )( 1

Root Locus Root Locus

15 15

K 29; =

cr ω cr

10 10

2.2; =

2.856 = = P cr

5 5

System: G Gain: 29 Pole: -0.00354 + 2.2i Damping: 0.00161 Overshoot (%): 99.5 Frequency (rad/sec): 2.2

i i

2 π ω cr

0 0

i i

K 17.4; =

p =

s s x x A A y y r r a a n n g g a a m m

I I

-5 -5

1.428;

-10 -10

-15 -15

-10 -10

-5 -5

0 0

5 5

10 10

-20 -20

Real Axis Real Axis

3/2014

0.357; = T i T d

Bộ điều khiển PID

• Ví dụ: Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp Ziegler-Nichols hai,

( ) cho đối tượng . G s )

( s s

Step response w ith Kp=17.4,Ti=1.428,Td=0.357

1.8

1.6

1.4

1.2

e d u t i l

0.8

p m A

0.6

0.4

0.2

Time (sec)

3/2014

5 s + + 1 )( 1

Bộ điều khiển PID

• Ví dụ: Thiết kế bộ điều khiển PID theo phương pháp Ziegler-Nichols hai,

( ) cho đối tượng . G s )

( s s

Step response w ith fine tuned Kp,Ti,Td

1.8

1.6

1.4

1.2

e d u t i l

0.8

p m A

0.6

0.4

0.2

Time (sec)

3/2014

5 s + + 1 )( 1

Bộ điều khiển PID

• Phương pháp tối ưu độ lớn:

( ) G s

( ) s

PID

G K , = = =

2 1 K s 1 kT k Ts +

( ) s

( ) G s

PID

k )( 1

( 1

)

T s 1

T s 2

( ) G s

( 1

)( 1

)

T s 1

T s 3

k T s + 2

G K K 1 , , = + = = T 1 T I 2 T 1 kT 2 1 T s I ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

( ) s

PID

G K K 1 , , , = + + = = = T T + 1 2 T s D T I T D

3/2014

T T + 1 2 kT 2 3 T T 1 2 T T + 1 2 1 T s I ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠

Bộ điều khiển PID

0.1 0.14

s 0.01

0.41

1 0.1018

( 1 0.2397

)

0.2439 )( +

Step Response

1.4

4.8295

1.2

0.2397

P =

T I

0.8

e d u t i l

0.6

p m A

0.4

0.2

Time (sec)

3/2014

• Phương pháp tối ưu độ lớn: Ví dụ động cơ một chiều

Bộ điều khiển PID

• Phương pháp tối ưu đối xứng:

( ) G s

( ) s

PID

T I

aT 1

( 1

)1 T s

1 T s I

1 kT a 1

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

( ) G s

( 1

)

k )( T s 1 1

T s 2

s k +

( ) s

PID

T A T B G K K , , , 1 = + = = + = + T s D T I T A T B T D

+ T B T T A B T T + B A 1 T s I 1 kT a 2 ⎞ ⎟ ⎠

3/2014

= = T A ⎛ ⎜ ⎝ aT 2 T T , 1 B

Bộ điều khiển PID

• Phương pháp tối ưu đối xứng: ví dụ bình mức

( ) G s

)

0.0123

Step response

1.5

36.1404

P =

T I

e d u t i l

p m A

0.5

100

150

200

250

Time (s)

3/2014

s 4.5175 ( 1 9.0351 s +

Bộ điều khiển PID

• Phương pháp tối ưu đối xứng: ví dụ bình mức

( ) G s

)

Step Response

0.0123

1.5

36.1404

P =

T I

e d u t i l

p m A

0.5

Đáp ứng khi có thêm khâu lọc trước.

100

150

200

250

Time (sec)

3/2014

s 4.5175 ( 1 9.0351 s +

Bộ điều khiển PID

3/2014

• Phương pháp tối ưu theo tiêu chuẩn tích phân

Cấu trúc điều khiển tầng

3/2014

Áp dụng cấu trúc điều khiển tầng cho đối tượng động cơ DC ?

Cơ sở các hệ thống điều khiển số

3/2014

• Hệ điều khiển liên tục và hệ điều khiển số:

Cơ sở các hệ thống điều khiển số

3/2014

• Cấu trúc cơ sở của các hệ thống điều khiển số:

Cơ sở các hệ thống điều khiển số

∞

• Trích mẫu tín hiệu trong hệ thống điều khiển số:

( ) t

( ) r t

( δ

)

∑

0k =

3/2014

r t kT = −

Cơ sở các hệ thống điều khiển số

{

} ,...

∞

• Phép biến đổi Z: Ảnh Z của tín hiệu rời rạc được định nghĩa ,..., x k x x 1, 0

−

( ) X z

như sau:

3/2014

x z k = ∑

Cơ sở các hệ thống điều khiển số

{

} ,...

∞

• Phép biến đổi Z: Ảnh Z của tín hiệu rời rạc được định nghĩa ,..., x k x x 1, 0

−

( ) X z

như sau:

3/2014

x z k = ∑

Cơ sở các hệ thống điều khiển số

3/2014

• Rút gọn sơ đồ khối trên miền Z: