Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Đại Học Tôn Đức Thắng
Huỳnh Văn Kha
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
1 / 31
Toán A2 - MS: C01002
Nội dung
1 Định nghĩa, phân loại ma trận
2 Các phép toán trên ma trận
3 Chuyển vị ma trận, ma trận đối xứng
4 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột), đưa ma trận về
5 Định thức của ma trận vuông
6 Ma trận nghịch đảo
7 Giải phương trình ma trận
8 Hạng của ma trận
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
1 / 31
dạng bậc thang
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa Một ma trận cấp m × n là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột:
A =
a12 a11 a22 a21 · · · · · · am1 am2 · · · a1n · · · a2n · · · · · · · · · amn
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
2 / 31
Ký hiệu: A = (aij). Phần tử dòng i, cột j của ma trận A được viết là: [A]ij Tập các ma trận cấp m × n được ký hiệu: Mm×n
Ví dụ
A = 1 0 −3 5 4 3 −2 4 10 8 1 0
[A]23 = 10, và A ∈ M3×4
Thì: Ma trận bằng nhau Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu nó cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau. Ví dụ: Tìm a, b, c để A = B, biết:
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
3 / 31
A = và B = a 1 0 −3 5 4 3 1 b −3 c 4
Phân loại ma trận
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. Ký hiệu: 0m×n, hoặc: 0.
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột đều bằng n.
Tập các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là: Mn Các phần tử [A]11, [A]22, · · · , [A]nn gọi là nằm trên đường chéo chính của ma trận vuông A.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
4 / 31
(cid:19) , A = Ví dụ: 02×3 = (cid:18) 0 0 0 0 0 0 3 1 −2 6 0 5 3 −5 2
Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0.
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận đường chéo cấp n mà mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu: In.
Ví dụ: A =
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
5 / 31
, I3 = I2 = 3 0 0 0 −2 0 0 0 0 (cid:19) (cid:18) 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0.
, b11 b12 b22 0 ... ... 0 0 c11 0 c21 c22 ... ... cn1 cn2 0 ... 0 ... ... ... ... cnn ... b1n ... b2n ... ... ... bnn
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
6 / 31
Ma trận chỉ có một dòng gọi là ma trận dòng, ma trận chỉ có một cột gọi là ma trận cột. Các ma trận dòng (cột) cũng được gọi là các vector dòng (cột)
Cộng ma trận, nhân số với ma trận
Cho A, B ∈ Mm×n và h ∈ R
Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cấp m × n có ký hiệu là A + B, được xác định bởi: [A + B]ij = [A]ij + [B]ij
Tích của ma trận A với hằng số h là ma trận cấp m × n có ký hiệu là hA, được xác định bởi [hA]ij = h[A]ij
(cid:19) (cid:19) , B = . Ví dụ: cho A = Ngoài ra, ta định nghĩa: A − B = A + (−1)B (cid:18) 1 2 3 4 5 6 (cid:18) 1 2 1 −1 1 3
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
7 / 31
Tính: A + B, 2B, A − B, 2A − 3B
(tính giao hoán)
(tính kết hợp)
(0: ma trận không cấp m × n)
Tính chất Với mọi ma trận A, B, C ∈ Mm×n và h, k ∈ R, ta có: (i) A + B = B + A (ii) (A + B) + C = A + (B + C ) (iii) A + 0 = A (iv) A + (−A) = 0 (v) h(kA) = (hk)A (vi) h(A + B) = hA + hB (vii) (h + k)A = hA + kA (viii) 1.A = A
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
8 / 31
Nhân hai ma trận Cho A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p. Ta có định nghĩa sau.
n (cid:88)
Tích ma trận của A với B là ma trận cấp m × p, ký hiệu là AB, xác định bởi:
j=1
[AB]ik = [A]ij[B]jk = [A]i1[B]1k + · · · + [A]in[B]nk
với mọi i = 1, m, k = 1, p
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
9 / 31
A = , B = , C = Ví dụ: Tính AB, AC , CA, biết: 2 1 0 1 1 −1 −2 1 1 1 1 3 −1 0 0 0 2 −3 1 2 0 3 0 −4
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
10 / 31
Tính chất (i) (Tính kết hợp ) Với A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p và
C ∈ Mp×q, ta có:
(AB)C = A(BC )
(ii) (Tính phân bố) Với A, B ∈ Mm×n và C ∈ Mn×p,
ta có:
(A + B)C = AC + BC
Với C ∈ Mm×n và A, B ∈ Mn×p, ta có:
C (A + B) = CA + CB
(iii) Với mọi A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p và h ∈ R, ta có:
h(AB) = (hA)B = A(hB)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
11 / 31
(iv) AIn = InA = A, với mọi A ∈ Mn
Ma trận chuyển vị, đối xứng
Cho A ∈ Mm×n, chuyển vị của A, ký hiệu A(cid:62), là ma trận cấp n × m xác định bởi (cid:2)A(cid:62)(cid:3)
ij = [A]ji (cid:18) 1 2 3 4 5 6
(cid:19) Ví dụ: Tìm chuyển vị của A = ∈ M2×3.
Tính chất:
(cid:0)A(cid:62)(cid:1)(cid:62) = A (A + B)(cid:62) = A(cid:62) + B (cid:62) (AB)(cid:62) = B (cid:62)A(cid:62)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
12 / 31
Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A(cid:62) = A
Ví dụ: 1. Ma trận sau có đối xứng không?
A = x 1 3 1 y 5 3 5 z
2. Cho ma trận
(cid:19) A = (cid:18)2 1 −1 0 1 −4
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
13 / 31
Tính A(cid:62)A và AA(cid:62).
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1. Phép biến đổi 1: Hoán vị hai dòng i và j, ký hiệu:
di ↔ dj
2. Phép biến đổi 2: Nhân α (cid:54)= 0 vào dòng thứ i, ký
hiệu: di := αdi
3. Phép biến đổi 3: Dòng i được thay bằng tổng của dòng i với α lần dòng j, ký hiệu: di := di + αdj
Ví dụ: Cho A = . 0 2 −3 1 2 3 0 −4 3 0 −5 2
13d3.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
14 / 31
Hãy biến đổi A lần lượt bằng các phép sau: d1 ↔ d2; d3 := d3 − 3d1; d3 := d3 + 3d2; d3 := − 1
Ma trận bậc thang
Ma trận bậc thang (theo dòng) là ma trận mà với hai dòng bất kỳ, phần từ khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên.
,
0 2 3 5 7 0 0 0 5 −4 0 0 0 0 − 7 0 0 0 0 0 0 0 0 2 6 3 0 − 1 0 0 3 0 5 4 2 0 0 − 2 1 6 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
15 / 31
Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa 1 ma trận bất kỳ về dạng ma trận bậc thang.
Đưa ma trận về dạng bậc thang
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
16 / 31
Cột xoay thứ i phải thỏa: phần tử thứ i (gọi là phần tử xoay) khác 0, các phần tử dưới nó đều bằng 0. Chọn cột khác 0 đầu tiên, dùng các phép biến đổi trên dòng phù hợp để biến nó thành cột xoay thứ nhất. Xét cột kế bên phải cột xoay thứ nhất, nếu từ phần tử thứ 2 của nó trở đi, có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì ta sẽ biến nó thành cột xoay thứ 2. Ngược lại thì ta xét cột kế tiếp bên phải, . . . . Cho đến khi tìm được cột xoay thứ 2. Sau khi có cột xoay thứ 2, làm tương tự trên để tìm cột xoay thứ 3. Cứ như vậy cho đến hết.
Ví dụ: Dùng phép biến đổi trên dòng để đưa ma trận sau về dạng bậc thang
a) A = 5 −9 2 1 2 1 −1 3 25 3 −6 −1
6 3 0 2 1 0 b) B =
3 5 1 4 1 1 4 −1 1 −2 −6 −2 −9 −2 4 2 9 3
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
17 / 31
10 Chú ý: Nếu ta biến đổi thêm để các phần tử xoay bằng 1 và các phần tử bên trên mỗi phần tử xoay bằng 0, thì ma trận thu được gọi là dạng bậc thang rút gọn.
Định thức Xét A = (aij) là ma trận vuông cấp n, ma trận vuông cấp n − 1 có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của A được ký hiệu là: Aij
Ví dụ: A = ∈ M3 . Tìm A11, A23, A32 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Định thức của A, ký hiệu là det(A) hoặc |A|, là con số được xác định như sau:
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
18 / 31
Nếu n ≥ 2 thì: det(A) = (−1)1+ja1j det A1j Nếu n = 1 thì: det(A) = a11. n (cid:80) j=1
Với ma trận cấp 2: = ad − bc a b c d (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Với ma trận cấp 3:
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
19 / 31
5 1 3 Ví dụ: Tính , 4 −2 −3 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 2 3 4 0 −1 −2 5 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Định lý Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n, ta có:
n (cid:88)
j=1
n (cid:88)
det A = (−1)i0 + jai0j det Ai0j
i=1
det A = (−1)i+j0 aij0 det Ai j0
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)
Chương 1: Ma trận – định thức
Toán A2 - MS: C01002
20 / 31
0 2 Ví dụ: Tính định thức của A = 3 3 −1 −2 4 0 0 5 1 1 2 −1 5 0
Ký hiệu: Ai1,i2,...,ik ;j1,j2,...,jk là ma trận chỉ lấy các dòng i1, i2, ..., ik và các cột j1, j2, ..., jk của A. Ký hiệu: Ai1,i2,...,ik ;j1,j2,...,jk là ma trận có được bằng cách bỏ đi dòng i1, i2, ..., ik và cột j1, j2, ..., jk của A.
Định lý (Laplace)
j1 Cho A là ma trận vuông cấp n. Chọn các dòng
i1 < i2 < · · · < ik, ta có:
det A = (cid:80) (−1)(i1+i2+...+ik )+(j1+j2+...+jk )× × det Ai1i2...ik ;j1j2...jk × det Ai1i2...ik ;j1j2...jk Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 21 / 31 Tính định thức của A trong ví dụ trên. Cho A = (aij)n×n, ta có các tính chất: Nếu dòng i của A có dạng aij = bj + cj thì:
det(A) = det(B) + det(C ). Với B, C có được bằng
cách thay dòng i của A bằng các giá trị bj và cj
tương ứng. Nếu A Nếu A (i)↔(j)
−−−−→ B, thì: det(B) = − det(A)
(i):=α(i)
−−−−−→ B, thì: det(B) = α det(A)
(i):=(i)+α(j)
−−−−−−−→ B, thì: det(B) = det(A) Nếu A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 22 / 31 Đặc biệt: det(αA) = αn det(A) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần
tử trên đường chéo chính.
det(A(cid:62)) = det(A)
det(AB) = det(A). det(B) Ví dụ: Tính định thức của ma trận Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 23 / 31 , B = A =
2 −4 −1 −1
2 −1 −4 −5
5 −4 −9 −11
4 3 2 −2 7 −1 10
1
1
6
4 −7
2 11 −10 21
6
5 −18
2 Ma trận nghịch đảo là duy nhất. Tính chất: Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 24 / 31 (cid:0)A−1(cid:1)−1 = A
(AB)−1 = B −1A−1
(cid:0)A(cid:62)(cid:1)−1 = (cid:0)A−1(cid:1)(cid:62)
A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) (cid:54)= 0 Tính ma trận các phần bù đại số C = (cij) với
cij = (−1)i+j det(Aij), 1 ≤ i, j ≤ n.
Chuyển vị của ma trận các phần bù đại số này được
gọi là ma trận phó (hoặc ma trận phụ hợp) của A
và được ký hiệu là adj(A) ≡ C (cid:62). Khi đó adj(A) = A−1 = 1
det(A) 1
det(A)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 25 / 31 c11 c21
c12 c22
· · ·
· · ·
c1n c2n · · · cn1
· · · c2n
· · ·
· · ·
· · · cnn 2 −6 Ví dụ: Tìm nghịch đảo của A = −1
−3 4
2 −3
6 −6 Phương pháp 2: dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng Những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành
In thì cũng chính chúng biến In thành A−1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 26 / 31 Lập ma trận (A|In)
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về
dạng (In |B ). Khi đó A−1 = B
Nếu không đưa được về dạng (In |B ) thì A không
khả nghịch Ví dụ: Tìm nghịch đảo của
A = 1 −1
2
3 −1
−2 1
1
1
B = 3 −4
1
1
5 −1
3 13 −6 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 27 / 31 C =
2
1
3
1
2
1
0 −1 −1 0 −1
1 −2
1 −1
2 Nếu A ∈ Mn khả nghịch thì: 1. ∀B ∈ Mn×p: A · X = B ⇔ X = A−1 · B
2. ∀B ∈ Mp×n: X · A = B ⇔ X = B · A−1 Ví dụ: Cho 1 −1 −5 −6
−5 −8 A = , B = , C = 2 0
−2 −2 2
2 3 0 2
0 −2
2 −2 4
2
0 −3 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 28 / 31 1. Tìm ma trận X biết: A · X = B.
2. Tìm ma trận Y biết: Y · A = C . Xét A ∈ Mm×n. Nếu ta bỏ đi m − k dòng và n − k cột
trong A thì định thức của ma trận thu được gọi là một
định thức con cấp k của A Mọi định thức con cấp lớn hơn r của A đều bằng 0
Có (ít nhất) một định thức con cấp r của A khác 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 29 / 31 Ký hiệu hạng của A là: rank(A) hoặc r(A)
Dễ thấy: 0 ≤ r(A) ≤ min{m, n} Hạng ma trận không thay đổi qua phép biển đổi sơ
cấp trên dòng.
Hạng của ma trận bậc thang theo dòng là số dòng
khác 0 của nó. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận A = 1
−1
3 2 −1
4
2
6 −3 0
2
0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 30 / 31 rank(A(cid:62)) = rank(A)
Nếu A ∈ Mn thì: r (A) = n ⇔ det(A) (cid:54)= 0 Bài tập (cid:19) 1. Cho A = và B = . (cid:18)2 −1 3
2
1 0 −2
1
2
0
1 −1 2. Cho A = . Tính AB, (AB)3.
1 −2
4
2 −2 6
3 −8
5 Tìm ma trận X sao cho 3A + 2X = I3.
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 31 / 31 3. Biện luận theo m hạng của ma trận . 1 1 −3
2 1 m
1 m 3Một số tính chất của định thức
Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Cho A ∈ Mn, ma trận B ∈ Mn được gọi là ma trận
nghịch đảo của A nếu: AB = BA = In. Ký hiệu: A−1
Tìm ma trận nghịch đảo
Phương pháp 1: dùng định thức.
Giả sử det(A) (cid:54)= 0.
Giải phương trình ma trận
Hạng của ma trận
Định nghĩa
Hạng của ma trận A là số nguyên không âm r thỏa:
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
