Bài giảng Toán A2: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

268
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán A2 - Chương 1 trang bị cho người học những kiên thức về ma trận và định thức. Các nội dung chính của chương này gồm: Định nghĩa, phân loại ma trận; các phép toán trên ma trận; chuyển vị ma trận, ma trận đối xứng; phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột), đưa ma trận về dạng bậc thang;...và các nội dung khác. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán A2: Chương 1 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 1 / 31
Nội dung 1 Định nghĩa, phân loại ma trận 2 Các phép toán trên ma trận 3 Chuyển vị ma trận, ma trận đối xứng 4 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột), đưa ma trận về dạng bậc thang 5 Định thức của ma trận vuông 6 Ma trận nghịch đảo 7 Giải phương trình ma trận 8 Hạng của ma trận Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 1 / 31
Định nghĩa ma trận Định nghĩa Một ma trận cấp m × n là một bảng hình chữ nhật gồm m hàng và n cột:   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A=  ··· ···  ··· ···  am1 am2 · · · amn Ký hiệu: A = (aij ). Phần tử dòng i, cột j của ma trận A được viết là: [A]ij Tập các ma trận cấp m × n được ký hiệu: Mm×n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 2 / 31
Ví dụ   1 3 −2 4 A =  0 −3 10 8  4 5 1 0 Thì: [A]23 = 10, và A ∈ M3×4 Ma trận bằng nhau Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu nó cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau. Ví dụ: Tìm a, b, c để A = B, biết:     1 a 1 3 A =  0 −3  và B =  b −3  4 5 4 c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 3 / 31
Phân loại ma trận Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. Ký hiệu: 0m×n , hoặc: 0. Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột đều bằng n. Tập các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là: Mn Các phần tử [A]11 , [A]22 , · · · , [A]nn gọi là nằm trên đường chéo chính của ma trận vuông A.   1 −2 3 0 0 0 Ví dụ: 02×3 = ,A=0 6 5 0 0 0 2 3 −5 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 4 / 31
Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0. Ma trận đơn vị cấp n là ma trận đường chéo cấp n mà mọi phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu: In .   3 0 0 Ví dụ: A =  0 −2 0  0 0 0   1 0 0 1 0 I2 = , I3 =  0 1 0  0 1 0 0 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 5 / 31
Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0.     b11 b12 ... b1n c11 0 ... 0  0 b22 ... b2n   c21 c22   ... 0    ... ... ,  ... ...   ... ... ... ...  0 0 ... bnn cn1 cn2 ... cnn Ma trận chỉ có một dòng gọi là ma trận dòng, ma trận chỉ có một cột gọi là ma trận cột. Các ma trận dòng (cột) cũng được gọi là các vector dòng (cột) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 6 / 31
Cộng ma trận, nhân số với ma trận Cho A, B ∈ Mm×n và h ∈ R Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cấp m × n có ký hiệu là A + B, được xác định bởi: [A + B]ij = [A]ij + [B]ij Tích của ma trận A với hằng số h là ma trận cấp m × n có ký hiệu là hA, được xác định bởi [hA]ij = h[A]ij nghĩa: A −B = A +(−1)B Ngoài ra, ta định 1 2 3 1 2 1 Ví dụ: cho A = ,B = . 4 5 6 −1 1 3 Tính: A + B, 2B, A − B, 2A − 3B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 7 / 31
Tính chất Với mọi ma trận A, B, C ∈ Mm×n và h, k ∈ R, ta có: (i) A + B = B + A (tính giao hoán) (ii) (A + B) + C = A + (B + C ) (tính kết hợp) (iii) A + 0 = A (0: ma trận không cấp m × n) (iv) A + (−A) = 0 (v) h(kA) = (hk)A (vi) h(A + B) = hA + hB (vii) (h + k)A = hA + kA (viii) 1.A = A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 8 / 31
Nhân hai ma trận Cho A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p . Ta có định nghĩa sau. Tích ma trận của A với B là ma trận cấp m × p, ký hiệu là AB, xác định bởi: n X [AB]ik = [A]ij [B]jk = [A]i1 [B]1k + · · · + [A]in [B]nk j=1 với mọi i = 1, m, k = 1, p  Tính AB,AC , CA, Ví dụ:  biết:    −2 1 1 1 2 0 2 −3 A = 1 1 3 , B = 0 1 , C = 1 2 0  −1 0 0 1 −1 3 0 −4 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 9 / 31
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 10 / 31
Tính chất (i) (Tính kết hợp ) Với A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p và C ∈ Mp×q , ta có: (AB)C = A(BC ) (ii) (Tính phân bố) Với A, B ∈ Mm×n và C ∈ Mn×p , ta có: (A + B)C = AC + BC Với C ∈ Mm×n và A, B ∈ Mn×p , ta có: C (A + B) = CA + CB (iii) Với mọi A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p và h ∈ R, ta có: h(AB) = (hA)B = A(hB) (iv) AIn = In A = A, với mọi A ∈ Mn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 11 / 31
Ma trận chuyển vị, đối xứng Cho A ∈ Mm×n , chuyển vị của A, ký hiệu A> , là ma > trận cấp n × m xác định bởi A ij = [A]ji 1 2 3 Ví dụ: Tìm chuyển vị của A = ∈ M2×3 . 4 5 6 Tính chất: > A> = A (A + B)> = A> + B > (AB)> = B > A> Ma trận vuông A gọi là đối xứng nếu A> = A Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 12 / 31
Ví dụ: 1. Ma trận sau có đối xứng không?   x 1 3 A =  1 y 5 3 5 z 2. Cho ma trận 2 1 −1 A= 0 1 −4 Tính A> A và AA> . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 13 / 31
Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1. Phép biến đổi 1: Hoán vị hai dòng i và j, ký hiệu: di ↔ dj 2. Phép biến đổi 2: Nhân α 6= 0 vào dòng thứ i, ký hiệu: di := αdi 3. Phép biến đổi 3: Dòng i được thay bằng tổng của dòng i với α lần dòng j, ký hiệu: di := di + αdj   0 2 −3 3 Ví dụ: Cho A =  1 2 0 −5 . 3 0 −4 2 Hãy biến đổi A lần lượt bằng các phép sau: d1 ↔ d2 ; 1 d3 := d3 − 3d1 ; d3 := d3 + 3d2 ; d3 := − 13 d3 . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 14 / 31
Ma trận bậc thang Ma trận bậc thang (theo dòng) là ma trận mà với hai dòng bất kỳ, phần từ khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên.     0 2 3 5 7 2 3 0 5 4 2 0  0 0 0 5 −4 6 0 −2 1 6 0 3    0 0 0 0 −7 3,  0 0 0 1 0 0    0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa 1 ma trận bất kỳ về dạng ma trận bậc thang. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 15 / 31
Đưa ma trận về dạng bậc thang Cột xoay thứ i phải thỏa: phần tử thứ i (gọi là phần tử xoay) khác 0, các phần tử dưới nó đều bằng 0. Chọn cột khác 0 đầu tiên, dùng các phép biến đổi trên dòng phù hợp để biến nó thành cột xoay thứ nhất. Xét cột kế bên phải cột xoay thứ nhất, nếu từ phần tử thứ 2 của nó trở đi, có ít nhất 1 phần tử khác 0 thì ta sẽ biến nó thành cột xoay thứ 2. Ngược lại thì ta xét cột kế tiếp bên phải, . . . . Cho đến khi tìm được cột xoay thứ 2. Sau khi có cột xoay thứ 2, làm tương tự trên để tìm cột xoay thứ 3. Cứ như vậy cho đến hết. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 16 / 31
Ví dụ: Dùng phép biến đổi trên dòng để đưa ma trận sau về dạng bậc thang   1 2 5 −9 a) A =  1 −1 3 2  3 −6 −1 25   2 6 1 5 3  1 3 1 4 1   b) B =  0 0 1 4 −1    −2 −6 −2 −9 −2  3 9 2 10 4 Chú ý: Nếu ta biến đổi thêm để các phần tử xoay bằng 1 và các phần tử bên trên mỗi phần tử xoay bằng 0, thì ma trận thu được gọi là dạng bậc thang rút gọn. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 17 / 31
Định thức Xét A = (aij ) là ma trận vuông cấp n, ma trận vuông cấp n − 1 có được bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của A được ký hiệu là:Aij 1 2 3 Ví dụ: A =  4 5 6  ∈ M3 . Tìm A11 , A23 , A32 7 8 9 Định thức của A, ký hiệu là det(A) hoặc |A|, là con số được xác định như sau: Nếu n = 1 thì: det(A) = a11 . n Nếu n ≥ 2 thì: det(A) = (−1)1+j a1j det A1j P j=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 1: Ma trận – định thức Toán A2 - MS: C01002 18 / 31