Bài giảng Toán C2 Chương 5 ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 5 LÝ THUYẾT CHUỖI

Đại Học Tôn Đức Thắng

Huỳnh Văn Kha

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

1 / 30

Toán C2 - MS: C01010

Nội dung 1 Chuỗi số hội tụ – Chuỗi hình học (cid:80) ar n 2 Các tiêu chuẩn hội tụ

3 Chuỗi hàm

Tiêu chuẩn tích phân – Chuỗi (cid:80) 1/np Các tiêu chuẩn so sánh Chuối đan dấu - Tiêu chuẩn Leibnitz Hội tụ tuyệt đối – Tiêu chuẩn trị tuyệt đối Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert) Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) Một số bài tập

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

1 / 30

Chuỗi hàm - miền hội tụ Chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ, khoảng hội tụ

n=1, biểu thức a1 + a2 + · · · + an + . . .

Chuỗi số Cho dãy số {an}∞ được gọi là một chuỗi số.

Ký hiệu: an hoặc (cid:80) an.

∞ (cid:80) n=1

Ví dụ 1.

Với an = n, ta có chuỗi

∞ (cid:88)

n = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n + . . . .

n=1 Với an = 1 ∞ (cid:88)

+ + + · · · +

2n , ta có chuỗi 1 1 4 2

1 2n = 1 8 1 2n + . . . .

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

2 / 30

Tổng riêng phần - Tổng chuỗi Các tổng riêng phần của chuỗi (cid:80) an được định nghĩa là:

s2 = a1 + a2, s3 = a1 + a2 + a3,

s1 = a1, . . . sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an.

sn = s, thì ta nói (cid:80) an có tổng là s và viết

Nếu lim n→∞ ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

n (cid:88)

an = s. Như vậy ai . an = lim n→∞ sn = lim n→∞

n=1

i=1

(−1)n. 3. 2. 1. n

1 3n

n=1 Ví dụ 2. Tính riêng phần và tổng (nếu có) các chuỗi: ∞ (cid:80) n=0

∞ (cid:80) n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

3 / 30

Chuỗi số hội tụ

Nếu tổng của chuỗi an tồn tại và hữu hạn, ta nói

∞ (cid:80) n=1

Ngược lại, nếu an = ±∞ hoặc tổng của chuỗi chuỗi này hội tụ. ∞ (cid:80) n=1

an không tồn tại, ta nói chuỗi này phân kỳ.

∞ (cid:80) n=1

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây.

∞ (cid:88)

1. Các chuỗi số trong Ví dụ 2. ∞ (cid:88) 2. ln 3. 1 n(n + 1) k k + 1

n=1

k=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

4 / 30

Chuỗi hình học Cho a (cid:54)= 0, r ∈ R, chuỗi hình học là chuỗi số có dạng

∞ (cid:88)

ar n = a + ar + ar 2 + . . . .

n=0

Với giá trị nào của a và r thì chuỗi hình học hội tụ?

Nếu |r | < 1 thì chuỗi hình học hội tụ, và khi đó

∞ (cid:88)

ar n = . a 1 − r

n=0

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

5 / 30

Ngược lại, nếu |r | ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

6 / 30

Ví dụ 4. Các chuỗi số sau có hội tụ không? Tính tổng (nếu có) của nó.

∞ (cid:88)

1. 22n31−n

n=0

2. 4 − + − + · · · 8 3 16 9 32 27

∞ (cid:88)

x n, với |x| < 1. Ví dụ 5. Tính tổng của chuỗi

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

7 / 30

Ví dụ 6. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây thành dạng phân số. 1. 2.317 = 2.3171717... 2. 0.9 = 0.99999...

Các tính chất TC1. Nếu (cid:80) an hội tụ thì

an = 0. lim n→∞

an = 0

Chú ý. Chiều ngược lại chưa chắc đúng. Nếu lim n→∞ thì (cid:80) an cũng có thể hội tụ, cũng có thể phân kỳ. Ví dụ dãy 1/n → 0 nhưng (cid:80) 1/n phân kỳ (đọc thêm).

an không tồn tại hoặc (Kiểm tra sự phân kỳ) Nếu lim n→∞

an (cid:54)= 0 thì chuỗi an phân kỳ. lim n→∞

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

Ví dụ 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số . n2 + 1 2n2 + n

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

8 / 30

TC2. Nếu các chuỗi (cid:80) an, (cid:80) bn đều hội tụ thì các chuỗi

a) can = c an

∞ (cid:80) n=1

b) (an + bn) = an + bn

c) (an − bn) = an − bn (cid:80) can (c ∈ R), (cid:80)(an + bn) và (cid:80)(an − bn) cũng hội tụ, và: ∞ (cid:80) n=1 ∞ (cid:80) n=1 ∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) n=1 ∞ (cid:80) n=1

Ví dụ 8. Tính tổng (nếu có) của chuỗi

(cid:20) (cid:21)

∞ (cid:88)

+ . 2 n(n + 1) 1 3n

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

9 / 30

Chú ý. Hữu hạn các số hạng đầu tiên không ảnh hưởng đến sự hội tụ của chuỗi, do

N (cid:88)

∞ (cid:88)

an = an + an.

n=1

n=N+1

Như vậy, với mọi N ∈ N,

TC3. an hội tụ ⇔ an hội tụ.

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) n=N

Chẳng hạn, nếu biết an hội tụ, ta có thể kết luận

∞ (cid:80) n=5

rằng an cũng hội tụ.

∞ (cid:80) n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

10 / 30

TC tích phân – Chuỗi (cid:80) 1/np

Cho f là hàm số dương, giảm, liên tục trên [1, +∞), đặt (cid:90) ∞

∞ (cid:88)

f (x)dx an = f (n). Khi đó chuỗi an và tích phân

1 n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

11 / 30

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Chú ý. Do sự hội tụ của chuỗi số không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng ban đầu, nên chỉ cần f dương và giảm trên khoảng [M, +∞) với M ∈ R bất kỳ.

Ví dụ 9. Xét sự hội tụ của các chuỗi số:

∞ (cid:88)

1. 2. 3. 1 1 + n2 ln n n

n=1

n=2 ∞ (cid:88)

Ví dụ 10. Với giá trị nào của p thì chuỗi 1 n ln2 n 1 np hội tụ?

n=1

∞ (cid:88)

Chuỗi 1 np hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p ≤ 1.

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

12 / 30

Tiêu chuẩn so sánh 1 (hiệu số)

Cho (cid:80) an, (cid:80) bn là các chuỗi số không âm (nghĩa là an ≥ 0, bn ≥ 0, ∀n). Khi đó:

Nếu bn ≥ an, ∀n và (cid:80) bn hội tụ thì (cid:80) an hội tụ, Nếu bn ≤ an, ∀n và (cid:80) bn phân kỳ thì (cid:80) an phân kỳ.

Ví dụ 11. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.

∞ (cid:88)

2. 1. n n3 + 2n + 1 2 n2 + 3

n=1 ∞ (cid:88)

3. 4. 1 2n + 3n ln n n

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

13 / 30

Tiêu chuẩn so sánh 2 (tỷ số) Cho (cid:80) an, (cid:80) bn là các chuỗi số không âm, bn (cid:54)= 0, ∀n.

= c ∈ (0, +∞), thì (cid:80) an và (cid:80) bn Nếu lim n→∞ an bn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

= 0 và (cid:80) bn hội tụ thì (cid:80) an hội tụ. Nếu lim n→∞ an bn

Ví dụ 12. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau.

∞ (cid:88)

2. 1.

n=1 ∞ (cid:88)

4. 3. n2 + 3n − 1 (cid:112)n(n4 + 2) ln n n2 2n + 1 n3 + 2n − 2 2 + 3n 3 + 4n

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

14 / 30

Chuỗi đan dấu

∞ (cid:88)

+ · · · = 1 − − − + + Chuối đan dấu là chuỗi gồm các số hạng âm dương xen kẽ. Ví dụ: 1 2 1 4 1 3 1 6 1 5

n=1 ∞ (cid:88)

(−1)n+1 n (−1)n n − + − + − + − · · · = 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 n + 1

n=1

Chuỗi đan dấu là chuỗi mà số hạng tổng quát có dạng

an = (−1)n+1bn hoặc an = (−1)nbn

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

15 / 30

trong đó bn > 0.

Tiêu chuẩn Leibnitz

Nếu dãy {bn} dương, giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan

∞ (cid:88)

dấu (−1)n+1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . hội tụ.

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

16 / 30

Ví dụ 13. Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau.

∞ (cid:88)

2. 1.

n=1 ∞ (cid:88)

4. 3. (−1)n 3n2 + 1 (−1)n n2 n3 + 1 (−1)n−1 n (−1)n+1 ln n n

n=2

n=3

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

17 / 30

Hội tụ tuyệt đối – TC trị tuyệt đối

Chuỗi an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

|an| = |a1| + |a2| + |a3| + · · · + |an| + . . . hội tụ.

n=1

Ví dụ 14. Các chuỗi sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không?

∞ (cid:88)

2. 3. 1. (−1)n−1 n 1 n (−1)n−1 n2

n=1

Nếu (cid:80) an hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

18 / 30

Chú ý. Một chuỗi hội tụ thì chưa chắc hội tụ tuyệt đối.

Chú ý:

Nếu (cid:80) an hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, ta nói (cid:80) an hội tụ có điều kiện. Nếu (cid:80) an hội tụ tuyệt đối và có tổng là s thì mọi hoán vị của (cid:80) an cũng đều hội tụ tuyệt đối và đều có tổng bằng s. Nếu (cid:80) an hội tụ có điều kiện thì với mọi x ∈ R đều tồn tại một cách sắp xếp các số hạng an để tổng thu được là x.

Ví dụ 15. Các chuỗi sau có hội tụ, hội tụ tuyệt đối không?

∞ (cid:88)

1. 2. sin 3n 3n (−1)n e−1/n n3

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

19 / 30

Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert)

. Đặt L = lim n→∞ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) an+1 an

∞ (cid:88)

Nếu L < 1 thì chuỗi an hội tụ tuyệt đối.

n=1

∞ (cid:88)

Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi an phân kỳ.

n=1

Ví dụ 16. Các chuỗi số sau có hội tụ không?

∞ (cid:88)

2. 3. 1. n! 2n + 1 7n n(n + 22n) n3 (−3)n

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

20 / 30

n(cid:112)|an|.

Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) Đặt L = lim n→∞

∞ (cid:88)

Nếu L < 1 thì chuỗi an hội tụ tuyệt đối.

n=1

∞ (cid:88)

Nếu L > 1 hoặc L = +∞ thì chuỗi an phân kỳ.

n=1

(cid:19)n2+n Ví dụ 17. Các chuỗi số sau có hội tụ không? (cid:19)n (cid:18) n

∞ (cid:88)

1. 2. n + 1

(cid:19)−n2 (cid:17)n (cid:17)

n=1 ∞ (cid:88)

4. 5n 3. (cid:16)n 4 sinn (cid:16)π n (cid:18)2n2 + 5 3n2 + 1 (cid:18)n + 1 n

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

21 / 30

Bài tập về sự hội tụ của chuỗi số

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

22 / 30

Chuỗi có dạng (cid:80) 1/np hay chuỗi hình học không? Chuỗi gần giống chuỗi (cid:80) 1/np hay chuỗi hình học thì dùng tc so sánh. Chuỗi không dương thì dùng tc so sánh cho (cid:80) |an| rồi dùng tc trị tuyệt đối. Nếu thấy limn→∞ an (cid:54)= 0 thì chuỗi phân kỳ. Chuỗi đan dấu thì dùng tiêu chuẩn Leibnitz. Chuỗi có giai thừa hoặc mũ n thì dùng tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert). Nếu an có dạng (bn)n thì dùng tiêu chuẩn căn số (của Cauchy). Nếu an = f (n) mà (cid:82) f (x)dx dễ tính thì dùng tiêu chuẩn tích phân.

Bài tập. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau. √

∞ (cid:88)

1. 2. n − 1 2n + 1 n3 + 1 n3 + 4n2 + 2

n=1 ∞ (cid:88)

4. 3. k k (k + 1)! 2n + n2 3n + 1

k=1 ∞ (cid:88)

n=1 ∞ (cid:88)

6. 5. (−2)n nn

(−1)nn3 n4 + 1 √

n=2 ∞ (cid:88)

n=1 ∞ (cid:88)

8. 7. n sin 2n + 3n n! 3n2

n=1 ∞ (cid:88)

9. 10. 1 (ln n)ln n 1 n1+1/n

n=1

n=3

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

23 / 30

Chuỗi hàm Cho dãy hàm {un} xác định trên D ⊂ R. Khi đó biểu thức có dạng ∞ (cid:88)

un(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x) + . . .

n=1

được gọi là một chuỗi hàm. Ví dụ 18. Với dãy hàm un(x) = 2n(x + 1)n thì ta có chuỗi hàm tương ứng là: ∞ (cid:88) 2n(x + 1)n = 2(x + 1) + 4(x + 1)2 + 8(x + 1)3 + . . .

n=1

Nếu tại x0 ∈ D, chuỗi số un(x0) hội tụ thì ta nói

∞ (cid:80) n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

24 / 30

x0 là điểm hội tụ của chuỗi hàm đã cho.

Nếu tại x0 ∈ D, chuỗi số un(x0) phân kỳ thì ta

∞ (cid:80) n=1 nói chuỗi hàm phân kỳ tại x0. Tập các điểm hội tụ được gọi là miền hội tụ.

Gọi U là miền hội tụ của chuỗi hàm un(x). Lấy

∞ (cid:80) n=1

x ∈ U và đặt S(x) = un(x) thì hàm số S được

∞ (cid:80) n=1

gọi là hàm tổng (điểm) của chuỗi hàm un(x).

∞ (cid:80) n=1

Ví dụ 19. Tìm miền hội tụ của (cid:19)n

∞ (cid:88)

2. 2n 3. 1. 2n(x + 1)n (cid:18)1 + x 1 − x (1 + x 2)n n!

n=0

n=1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

25 / 30

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng

∞ (cid:88)

cn(x − a)n = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + . . .,

n=0

trong đó {cn} là dãy số thực và a là hằng số. Ta gọi a là tâm và các số cn được gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa.

Ví dụ 20. Chuỗi lũy thừa:

1. 3n(x + 2)n có tâm tại a = −2, các hệ số là cn = 3n.

(−1)n

1+n2 x n có tâm tại a = 0, các hệ số là cn = (−1)n 1+n2 .

∞ (cid:80) n=0 ∞ (cid:80) n=0

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

26 / 30

Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ

Chuỗi lũy thừa cn(x − a)n luôn hội tụ tại tâm a.

∞ (cid:80) n=0

Ngoài ra, ta có định lý sau đây.

Luôn tồn tại R ∈ [0, +∞] sao cho chuỗi cn(x − a)n

∞ (cid:80) n=0

hội tụ với mọi x thỏa |x − a| < R, nghĩa là hội tụ với mọi x ∈ (a − R, a + R) và phân kỳ với mọi x thỏa |x − a| > R, nghĩa là phân kỳ với mọi x < a − R hoặc x > a + R.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

27 / 30

Số R nói trên được gọi là bán kính hội tụ. Khoảng (a − R, a + R) được gọi là khoảng hội tụ.

Nếu 0 < R < +∞ thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có dạng

(a − R, a + R), [a − R, a + R), [a − R, a + R], (a − R, a + R].

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 5: Lý thuyết chuỗi

Toán C2 - MS: C01010

28 / 30

Nếu R = +∞ thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là (−∞, +∞). Nếu R = 0 thì miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là {a} (a là tâm).