zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:36

Báo xấu

529
lượt xem 54
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" có cấu trúc gồm 2 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tổng quát, hệ phương trình thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø §1. Hệ phương trình tổng quát §2. Hệ phương trình thuần nhất …………………………………………………………… §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 1.1. Định nghĩa Hệg ồm n ẩn x i (i  1,2,..., n ) và m phương trình:  a x  a x  ...  a x  b  11 1 12 2 1n n 1  a x  a x  ...  a x  b 21 1 22 2 2n n 2  (I )  ..........................................   am 1x 1  am 2x 2  ...  a mn x n  bm trong đó, hệ số aij , bj  ¡ (i  1,..., n ; j  1,..., m ) , được gọi là hệ phương trình tuyến tính t 1 ổng quát.
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính a ... a   11 1n  Đặt: A   ... ... ...    a ij  ,   m n am 1 ... amn  T T  B  b1 ... bm   và X  x 1 ... x n  lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ (I ) trở thành A X  B . T  • Bộ số    1 ...  n   hoặc    1; ...;  n  được gọi là nghiệm của (I ) nếu A   B 2 .
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình:  x  x  2x  4x  4  1 2 3 4  2x  x  4x   3  1 2 3  2x 2  7x 3  5. Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: x  1  1 2 4  1   4        2 1   x     4 0  2      3   x 3     0 2  7 0    5    x     4 và   (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của h3ệ .
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính A X  B . Gọi ma trận a a ... a b   11 12 1n 1     mở rộng là A  A B   ... ... ... ... ....   a a  m 1 m 2 ... a b   mn m  Định lý Hệ A X  B có nghiệm khi và chỉ khi r (A )  r (A ). Trong trường hợp hệ A X  B có nghiệm thì:  Nếu r (A )  n : kết luận hệcó nghi ệm duy nhất;  Nếu r (A )  n : kết luận hệcó vô s ố nghiệm phụ thuộc vào n 4 r tham số.
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số nghiệm của hệ phương trình:  x  my  3z  0   2  (1 m )z  m  1. Giải. Hệ đã cho có 3 ẩn, ta có: 1 m  3  1 m  3 0      A   2 , A    .  0 0 1 m   0 0 1 m m  1 2 • Nếu m  1 thì r (A )  r (A )  1  3. Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. 5
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Nếu m   1 thì r (A )  1  2  r (A ). Ta suy ra hệ vô nghiệm. • Nếu m   1 thì r (A )  r (A )  2  3. Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số. 6
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình:  mx  8z  7t  m  1   3x  my  2z  4t  m  2  mz  5t  m  1   5z  mt  2m  2 có nghiệm duy nhất là: A. m  0; B. m  1; C. m   1; D. m   5. 7
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. Hệ có 4 ẩn và ma trận hệ số là: m 0 8  7    3 m 2 4  A    .  0 0 m 5     0 0 5  m  Hệ có nghiệm duy nhất  r (A )  4 m 0 m 5  det A  0   0 3 m 5 m 2 2  m (m  25)  0  m  0  A . 8
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính A X  B , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có:  1 A X  B  X  A B . VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận:  2x  y  z  1   y  3z  3   2x  y  z   1. 9
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1  1  1  1 2         1 1  Giải. A  0 1 3   A   3 2  3.   2  2 1 1   1 0 1     1 Hệph ương trình  X  A B x   1  1 2  1  x   3             1         y    3 2  3  3   y    6  .   2          1  z   1  z   1 0 1   x   3,  Vậy hệ đã cho có nghiệm  y  6,   z   1. 10
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ A X  B , với A là ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính các định thức: a11 ... a1j ... a1n   det A  ... ... ... ... ... , an 1 ... anj ... ann a11 ... b1 ... a1n  j  ... ... ... ... ... , j  1, n an 1 ... bn ... ann (thay cột thứ j trong  bởi c11ột tự do).
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận:  Nếu   0 thì hệ có nghiệm duy nhấ: t  j xj  ,  j  1, n .   Nếu   0 thì chưa có kết luận. Khi đó, ta giải tìm tham số và thay vào hệđể gi ải trực tiếp. Chú ý  (m  7)x  12y  6z  m  Khi m  1 thì hệ   10x  (m  19)y  10z  2m    12x  24y  (m  13)z  0 có    1   2   3  0 nhưng hệ vô nghi 12 ệm.
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:  2x  y  z  1   y  3z  3   2x  y  z   1. Giải. Ta có: 2 1  1 1 1  1   0 1 3  4,  1  3 1 3   12, 2 1 1  1 1 1 13
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1  1 2 1 1  2  0 3 3  24,  3  0 1 3   4. 2  1 1 2 1  1    Vậy x  1   3, y  2  6, z  3   1.    14
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  (m  1)x  y  m  2 VD 6. Hệ phương trình   x  (m  1)y  0 có nghiệm khi và chỉ khi: A. m   2; B. m   2  m  0; C. m  0; D. m   2. m 1 1 Giải. Ta có:    m (m  2) 1 m 1    0  m   2  m  0. 15
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • m   2: Hệ  x  y  0  hệ có vô số nghiệm. x  y  2 • m  0: Hệ    hệ vô nghiệm.  x  y  0 Vậy với m  0 thì hệ có nghiệm  C . 16
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính A X  B .   • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc thang bởi PBĐSC trên dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:  có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;  có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;    có 1 dòng dạng 0...0 b , b  0 thì h17ệ vô nghiệm.
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:  2x  y  z  1   y  3z  3  Giải. Ta có:  2x  y  z   1. � 2 1 - 1 1 � � 2 1 - 1 1 �         ( )   d  d -d A B =  0 1 3 3       0 1 3 3  . 3 3 1   2 1 1 - 1   �0 0 2 - 2   � � �  2x  y  z  1 x   3   Hệ   y  3z  3   y  6 .    2z   2  z 18   1 
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:  5x  2x  5x  3x  3  1 2 3 4  4x  x  3x  2x  1  1 2 3 4  2x 1  7x 2  x 3 =  1. 5  2 5  3 3        Giải. Ta có: A B   4 1  3  2 1   2 7  1 0  1 19
Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 5  2 5  3 3    d2 5d2 4d1    d  5d 2d   0 13  5 2  7  3 3 1    0 39  15 6  11 5  2 5  3 3    d3 d 3 3d2        0 13  5 2  7 .   0 0 0 0 10    Vậy hệ phương trình vô nghiệm. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.