intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:36

507
lượt xem
53
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

 Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" có cấu trúc gồm 2 bài học cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tổng quát, hệ phương trình thuần nhất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

  1.  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Ø §1. Hệ phương trình tổng quát  §2. Hệ phương trình thuần nhất  …………………………………………………………… §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT   1.1. Định nghĩa   Hệg  ồm n  ẩn x i  (i  1,2,..., n ) và m  phương trình:   a x  a x  ...  a x  b  11 1 12 2 1n n 1  a x  a x  ...  a x  b 21 1 22 2 2n n 2  (I )   ..........................................   am 1x 1  am 2x 2  ...  a mn x n  bm  trong đó, hệ số aij , bj  ¡ (i  1,..., n ; j  1,..., m ) ,   được gọi là hệ phương trình tuyến tính t 1 ổng quát. 
  2. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính a ... a   11 1n    Đặt:  A   ... ... ...    a ij  ,    m n am 1 ... amn  T T  B  b1 ... bm    và  X  x 1 ... x n      lần lượt là  ma trận hệ số, ma trận cột  hệ số  tự do và  ma trận cột ẩn.    Khi đó, hệ (I ) trở thành  A X  B .  T  • Bộ số     1 ...  n    hoặc     1; ...;  n    được gọi là nghiệm của (I ) nếu A   B 2 . 
  3. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  VD 1. Cho hệ phương trình:   x  x  2x  4x  4  1 2 3 4  2x  x  4x   3    1 2 3  2x 2  7x 3  5.   Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:  x  1  1 2 4  1   4        2 1   x     4 0  2      3    x 3     0 2  7 0    5    x     4    và    (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của h3ệ  .
  4. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  1.2. Định lý Crocneker – Capelli   Cho hệ phương trình tuyến tính A X  B . Gọi ma trận  a a ... a b   11 12 1n 1     mở rộng là  A  A B   ... ... ... ... ....    a a  m 1 m 2 ... a b   mn m   Định lý  Hệ  A X  B  có nghiệm khi và chỉ khi  r (A )  r (A ).    Trong trường hợp hệ A X  B  có nghiệm thì:   Nếu r (A )  n : kết luận hệcó nghi   ệm duy nhất;   Nếu r (A )  n : kết luận hệcó vô s   ố nghiệm                                      phụ thuộc vào n 4 r  tham số. 
  5. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số  nghiệm của hệ phương trình:   x  my  3z  0     2  (1 m )z  m  1.  Giải. Hệ đã cho có 3 ẩn, ta có:  1 m  3  1 m  3 0      A   2 , A    .   0 0 1 m   0 0 1 m m  1 2 • Nếu m  1 thì r (A )  r (A )  1  3.    Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số.  5
  6. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Nếu m   1 thì r (A )  1  2  r (A ).    Ta suy ra hệ vô nghiệm.  • Nếu m   1 thì r (A )  r (A )  2  3.    Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số.  6
  7. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  VD 3. Điều kiện của tham số m  để hệ phương trình:   mx  8z  7t  m  1   3x  my  2z  4t  m    2  mz  5t  m  1   5z  mt  2m  2           có nghiệm duy nhất là:  A. m  0;    B. m  1;    C. m   1;    D. m   5.  7
  8. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  Giải. Hệ có 4 ẩn và ma trận hệ số là:  m 0 8  7    3 m 2 4  A    .   0 0 m 5     0 0 5  m   Hệ có nghiệm duy nhất   r (A )  4  m 0 m 5                det A  0   0  3 m 5 m 2 2                m (m  25)  0  m  0  A .  8
  9. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát   a) Phương pháp ma trận (tham khảo)     Cho hệ phương trình tuyến tính  A X  B , với  A  là      ma trận vuông cấp n  khả nghịch.     Ta có:            1 A X  B  X  A B .   VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng  phương pháp ma trận:   2x  y  z  1   y  3z  3     2x  y  z   1. 9
  10. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1  1  1  1 2         1 1   Giải.  A  0 1 3   A   3 2  3.    2  2 1 1   1 0 1     1   Hệph   ương trình   X  A B  x   1  1 2  1  x   3             1         y    3 2  3  3   y    6  .    2          1  z   1  z   1 0 1   x   3,   Vậy hệ đã cho có nghiệm  y  6,     z   1. 10
  11. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  b) Phương pháp định thức (hệ Cramer)  Cho hệ A X  B , với  A  là ma trận vuông cấp n .  • Bước 1. Tính các định thức:  a11 ... a1j ... a1n                    det A  ... ... ... ... ... ,   an 1 ... anj ... ann a11 ... b1 ... a1n                   j  ... ... ... ... ... , j  1, n    an 1 ... bn ... ann            (thay cột thứ  j  trong    bởi c11ột tự do). 
  12. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận:   Nếu    0 thì hệ có nghiệm duy nhấ:  t  j xj  ,  j  1, n .     Nếu    0 thì chưa có kết luận.  Khi đó, ta giải tìm  tham số và thay vào hệđể gi   ải trực tiếp.   Chú ý   (m  7)x  12y  6z  m   Khi m  1 thì hệ   10x  (m  19)y  10z  2m      12x  24y  (m  13)z  0  có     1   2   3  0 nhưng hệ vô nghi 12 ệm. 
  13. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:    2x  y  z  1   y  3z  3     2x  y  z   1.  Giải. Ta có:  2 1  1 1 1  1       0 1 3  4,          1  3 1 3   12,  2 1 1  1 1 1 13
  14. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1  1 2 1 1      2  0 3 3  24,    3  0 1 3   4.  2  1 1 2 1  1      Vậy  x  1   3, y  2  6, z  3   1.     14
  15. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  (m  1)x  y  m  2  VD 6. Hệ phương trình      x  (m  1)y  0             có nghiệm khi và chỉ khi:     A. m   2;      B. m   2  m  0;    C. m  0;       D. m   2.  m 1 1  Giải. Ta có:     m (m  2)  1 m 1                      0  m   2  m  0.  15
  16. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  • m   2: Hệ   x  y  0   hệ có vô số nghiệm.  x  y  2  • m  0: Hệ      hệ vô nghiệm.   x  y  0  Vậy với m  0 thì hệ có nghiệm   C .  16
  17. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  c) Phương pháp ma trận bậc thang                (phương pháp Gauss)       Xét hệ phương trình tuyến tính  A X  B .     • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng  A B  về dạng bậc                    thang bởi PBĐSC trên dòng.   • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.   Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:   có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;   có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;     có 1 dòng dạng  0...0 b , b  0 thì h17ệ vô nghiệm. 
  18. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:    2x  y  z  1   y  3z  3     Giải. Ta có:   2x  y  z   1. � 2 1 - 1 1 � � 2 1 - 1 1 �         ( )   d  d -d A B =  0 1 3 3       0 1 3 3  . 3 3 1   2 1 1 - 1   �0 0 2 - 2   � � �  2x  y  z  1 x   3   Hệ    y  3z  3   y  6 .     2z   2  z 18   1 
  19. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính  VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:   5x  2x  5x  3x  3  1 2 3 4  4x  x  3x  2x  1    1 2 3 4  2x 1  7x 2  x 3 =  1. 5  2 5  3 3         Giải. Ta có:  A B   4 1  3  2 1    2 7  1 0  1 19
  20. Ø  Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 5  2 5  3 3    d2 5d2 4d1              d  5d 2d   0 13  5 2  7   3 3 1    0 39  15 6  11 5  2 5  3 3    d3 d 3 3d2                   0 13  5 2  7 .    0 0 0 0 10       Vậy hệ phương trình vô nghiệm.  20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2