intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Chia sẻ: Hoamaudon | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST
Báo xấu
27
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 Không gian vectơ, cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm không gian vectơ; Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính; Hạng của hệ vectơ; Không gian vectơ con; Cơ sở và số chiều; Tọa độ của vectơ trong cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

  1. Bài giảng TOÁN CAO CẤP 1 (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt Kêhnh video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 8 tháng 11 năm 2021 Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 1 / 64
  2. GIỚI THIỆU MÔN HỌC TOÁN CAO CẤP A1 Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần. Sinh viên tải về, in ra và mang theo khi học. Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học Điểm quá trình: 20% Kiểm tra giữa kỳ: 20% Thi cuối kỳ: 60%, thi trắc nghiệm 60 phút Cán bộ giảng dạy Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt ĐT: 0933373432 Email: ncnhut@ntt.edu.vn Zalo: 0378910071 Facebook: https://www.facebook.com/congnhut.nguyen/ Blog: https://nguyennhutblog.wordpress.com/ Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 2 / 64
  3. Content 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 KHÔNG GIAN VECTƠ Khái niệm không gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng của hệ vectơ Không gian vectơ con Cơ sở và số chiều Tọa độ của vectơ trong cơ sở 4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 3 / 64
  4. Content 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 KHÔNG GIAN VECTƠ Khái niệm không gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng của hệ vectơ Không gian vectơ con Cơ sở và số chiều Tọa độ của vectơ trong cơ sở 4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 4 / 64
  5. Content 1 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3 KHÔNG GIAN VECTƠ Khái niệm không gian vectơ Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Hạng của hệ vectơ Không gian vectơ con Cơ sở và số chiều Tọa độ của vectơ trong cơ sở 4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 5 / 64
  6. KHÔNG GIAN VECTƠ NỘI DUNG 3-1 Khái niệm không gian vectơ 3-2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 3-3 Hạng của hệ vectơ 3-4 Không gian vectơ con 3-5 Cơ sở và số chiều 3-6 Tọa độ của vectơ trong cơ sở Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 6 / 64
  7. 3.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ NỘI DUNG 1. Định nghĩa 2. Một số tính chất Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 7 / 64
  8. 3.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa Định nghĩa Cho V ̸= ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán + : V ×V → V (x , y ) 7−→ x + y *: K × V → V (λ, x ) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 8 / 64
  9. 3.1 Khái niệm không gian vectơ Định nghĩa ∀x , y , z ∈ V , ∀k , l ∈ K 1 x +y = y +x 2 x + (y + z ) = (x + y ) + z 3 ∃θ ∈ V : x + θ = θ + x = x 4 ∀x ∈ V , ∃(−x ) ∈ V : x + (−x ) = (−x ) + x = θ 5 (k + l )x = kx + lx 6 k (x + y ) = kx + ky 7 k (lx ) = (k .l )x 8 1.x = x thì V được gọi là một K -không gian vectơ (K-kgvtt). Nếu K = R thì ta có không gian vectơ thực, nếu K = C thì ta có không gian vectơ phức. Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 9 / 64
  10. 3.1 Khái niệm không gian vectơ Không gian vectơ Rn Xét Rn và hai phần tử α = (a1 , a2 , . . . , an ) , β = (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn , k ∈ R. Trong Rn ta xác định hai phép toán sau: 1 Phép cộng: α + β = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ). 2 Phép nhân vô hướng: k α = (ka1 , ka2 , . . . , kan ). Ví dụ 1. Cho α = (1, −1, 3), β = (0, 2, −2) ∈ R3 . Khi đó: α + β = (1, −1, 3) + (0, 2, −2) = (1 + 0, −1 + 2, 3 + (−2)) = (1, 1, 1) 2α = (2, −2, 6) (−1) β = (0, −2, 2) Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 10 / 64
  11. 3.1 Khái niệm không gian vectơ Một số tính chất Xét không gian vectơ Rn 1 Vectơ θ là duy nhất. Với mỗi vectơ α thì vectơ đối −α cũng là duy nhất. 2 Phép cộng có luật giản ước: với mọi α, β, γ ∈ Rn , nếu α + β = α + γ thì β = γ. 3 Với mọi k ∈ R và mọi α ∈ Rn thì k θ = θ, 0α = θ, (−1)α = −α. 4 Với k ∈ R và α ∈ Rn mà k α = θ thì k = 0 hoặc α = θ. 5 Với α ∈ Rn , α ̸= θ, k , l ∈ R thì k α = l α ⇔ k = l . 6 Với mọi k ∈ R và mọi α ∈ Rn thì (−k )α = k (−α) = −(k α). Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 11 / 64
  12. 3.2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH, ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH NỘI DUNG 1. Tổ hợp tuyến tính 2. Biểu thị tuyến tính 3. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 12 / 64
  13. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Xét không gian vectơ Rn . n ∈ N∗ , x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rn , λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R. Ta gọi n x= ∑ λi xi = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn . i =1 Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn hay không? Giải hệ x = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λn xn với ẩn λ1 , . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số nghiệm) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , x n Nếu hệ vô nghiệm thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1 , x2 , . . . , xn Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 13 / 64
  14. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Ví dụ 2. Xét xem vectơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải. λ 1 x1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 = x       2 −1 1 λ1 1  λ1 = 1 ⇔ 1 1 1   λ2  =  4  ⇔ λ2 = 2 1 −1 −2 −3 λ3 = 1  λ3 Vậy vectơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x 1 + 2x 2 + x 3 Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 14 / 64
  15. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Ví dụ 3. Xét xem vectơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải.   1 1 −2 4  2 3 3 3  h2 → h2 − 2h1 5 7 4 5 h3 → h3 − 5h1  − −−−−−−−−→   1 1 −2 4 1 1 −2 4  0 1 7 −5  h3 → h3 − 2h2  0 1 7 −5  0 2 14 −15 −−−−−−−−−→ 0 0 0 −5 2 = r (A) < r (A) = 3. Hệ tương ứng vô nghiệm. Vậy vectơ x = (4, 3, 5) không là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 15 / 64
  16. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Ví dụ 4. Xét xem vectơ x = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? Giải     1 1 −2 4 1 1 −2 3  2 h → h2 − 2h1  0 1 7 −5  h → h − 2h 4 h3 → h3 − 5h1  2 3 3 3 3 2 5 7 4 10 0 2 14 − 10 −−−−−−−−−→  −−−−−−−−−→ 1 1 −2 4  0 1 7 −5  0 0 0 0 2 = r (A) = r (A) < n = 3. Hệ tương ứng có vô số nghiệm (λ1 , λ2 , λ3 ) = (9 + 9t , −5 − 7t , t ), t ∈ R. Vậy vectơ x = (4, 3, 10) là tổ hợp tuyến tính của các vectơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) và Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 16 / 64
  17. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Biểu thị tuyến tính Định nghĩa Nếu vectơ v là tổ hợp tuyến tính của hệ gồm n vectơ x1 , x2 , . . . , xn thì ta nói v biểu diễn tuyến tính (hay biểu thị tuyến tính) được qua hệ vectơ x1 , x2 , . . . , xn . Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 17 / 64
  18. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính, Độc lập tuyến tính Định nghĩa Cho E là 1 K -kgvt, m ∈ N∗ , x1 , x2 , . . . , xm ∈ E . Ta nói: 1 Họ hữu hạn những vectơ {x1 , x2 , . . . , xm } là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ K không đồng thời bằng 0 sao cho tổ hợp tuyến tính ∑mi =1 λi xi = λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm = 0. 2 Họ hữu hạn những vectơ {x1 , x2 , . . . , xm } là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tổ hợp tuyến tính ∑m i = 1 λ i x i = λ 1 x 1 + λ 2 x2 + . . . + λ m x m = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 18 / 64
  19. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính, Độc lập tuyến tính Kiểm tra các vectơ x1 , x2 , . . . , xm độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải phương trình λ1 x1 + λ2 x2 + . . . + λm xm = 0 với những ẩn số λ1 , λ2 , . . . , λm ∈ R (Phương trình này tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m ẩn trên R ). Khi đó Nếu hệ này có nghiệm duy nhất λ1 = λ2 = . . . = λm = 0 thì các vectơ x 1 , x 2 , . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu hệ có vô số nghiệm thì các vectơ x1 , x2 , . . . , xm phụ thuộc tuyến tính. Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 19 / 64
  20. 3.2 Tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính, Độc lập tuyến tính Trường hợp x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn Đặt A = x1T x2T . . . xm T và xác định r (A). Nếu r (A) = m thì x1 , x2 , . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu r (A) < m thì x1 , x2 , . . . , xm phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp đặc biệt m = n Ta có thể tính det(A) thay cho r (A). Nếu det(A) ̸= 0 thì x1 , x2 , . . . , xm độc lập tuyến tính. Nếu det(A) = 0 thì x1 , x2 , . . . , xm phụ thuộc tuyến tính. Thac si Nguyen Cong Nhut Không gian vectơ Ngày 8 tháng 11 năm 2021 20 / 64
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2