Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Đại Học Tôn Đức Thắng

Huỳnh Văn Kha

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

1 / 30

Toán 2 - MS: C01128

Nội dung 1 Định nghĩa phương trình vi phân 2 Một số loại phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

3 PTVP cấp 2 4 PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất

PTVP cấp 1 dạng tách biến PTVP cấp 1 dạng tuyến tính

5 PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

Cấu trúc nghiệm PTVP tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằng Bài toán giá trị đầu và bài toán giá trị biên

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

1 / 30

Cấu trúc nghiệm Cách tìm nghiệm riêng

Định nghĩa PTVP

Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập x với hàm cần tìm y và các đạo hàm của nó y (cid:48), y (cid:48)(cid:48), . . . y (n). Như vậy ptvp là phương trình có dạng

F (x, y , y (cid:48), y (cid:48)(cid:48), . . . , y (n)) = 0.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

2 / 30

Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình. Nếu thay y bằng hàm số y (x) vào ptvp, ta được đồng nhất thức, thì ta nói y = y (x) là nghiệm của ptvp đó. Giải ptvp là tìm tất cả các nghiệm của nó. Đồ thị của một nghiệm y = y (x) gọi là đường cong tích phân.

PTVP cấp 1

PTVP cấp 1 là phương trình có dạng: F (x, y , y (cid:48)) = 0.

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y = y (x) của ptvp thỏa điều kiện đầu y (x0) = y0. Ví dụ 1. Giải ptvp y (cid:48) = sin x và tìm nghiệm của bài toán Cauchy y (cid:48) = sin x, y (0) = 1.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

3 / 30

Hàm số y = ϕ(x, C ) gọi là nghiệm tổng quát của ptvp trên miền D ⊂ R2 nếu với mọi (x0, y0) ∈ D tồn tại duy nhất C0 sao cho y = ϕ(x, C0) là nghiệm của bài toán Cauchy với điều kiện đầu y (x0) = y0. Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng.

Xét bài ptvp đã giải đối với đạo hàm y (cid:48) = f (x, y ).

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm Nếu f (x, y ) liên tục trên D ⊂ R2, thì với mọi (x0, y0) ∈ D, bài toán y (cid:48) = f (x, y ), y (x0) = y0 luôn có nghiệm y = y (x) xác định trong một lân cận của x0.

Ngoài ra nếu hàm số liên tục trên D thì nghiệm đó là ∂f ∂y

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

4 / 30

duy nhất.

PTVP dạng tách biến

PTVP tách biến là ptvp có dạng: y (cid:48) = f (x)g (y ).

Cách giải. Với điều kiện g (y ) (cid:54)= 0, chia hai vế cho g (y ),

= f (x)dx. Lấy tích phân 2 vế. ta được dy g (y )

Ví dụ 2.

1. Giải ptvp = dy dx x 2 y 2 , y (0) = 2.

2. Giải ptvp y (cid:48) = .

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

5 / 30

6x 2 2y + cos y (cid:18) (cid:19) 3. Giải ptvp y + dx. xdy 1 + x 2 = 1 y

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

6 / 30

Nghiệm của = dy dx x 2 y 2 , y (0) = 2

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

7 / 30

Nghiệm của y (cid:48) = 6x 2 2y + cos y

PTVP tuyến tính cấp 1

(cid:82) p(x)dx, pt trở thành:

PTVP tuyến tính cấp 1 là ptvp: y (cid:48) + p(x)y = q(x).

(cid:82) p(x)dx(cid:17)(cid:48)

(cid:82) p(x)dx. Lấy nguyên hàm.

Cách giải. Nhân 2 vế cho e (cid:16) = q(x)e ye

Ví dụ 3. Giải ptvp

1. + 3x 2y = 6x 2 dy dx

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

8 / 30

2. x 2y (cid:48) + xy = 1, x > 0, y (1) = 2 3. y (cid:48) − 3x 2y = ex 3 sin x

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

9 / 30

Nghiệm của + 3x 2y = 6x 2 dy dx

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

10 / 30

Nghiệm của x 2y (cid:48) + xy = 1, x > 0, y (1) = 2

Một số bài tập

√ y + x) = 0 dy dx

= y − xy

Giải các phương trình vi phân 1. xdy = (x 5ex + 4y )dx 2. (cid:0)√ x + y (cid:1) + ( 3. x 2 dy dx 4. x 2y (cid:48) = y 2 − xy + x 2, y (1) = 2

  5.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

11 / 30

 x 2 + 3y y (cid:48) = x y (2) = 8

= x 2(x 2 − 1) y x − 1

2

6. y (cid:48) −   = 0 7. y dy x(y + 1) 

8. xy (cid:48) = , y (1) = e sin(2x)dx + y (cid:0) π (cid:1) = 0 y 2 y − x

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

12 / 30

9. (x 2 + 1)y (cid:48) + y (y − 1) = 0

PTVP cấp 2

Phương trình vi phân cấp 2 là PTVP có dạng

F (x, y , y (cid:48), y (cid:48)(cid:48)) = 0 hoặc y (cid:48)(cid:48) = f (x, y , y (cid:48)). Ví dụ 1. Các phương trình sau đây là các PTVP cấp 2

x 3y (cid:48)(cid:48) + 2xy 2 + exy + 3x = 0 y (cid:48)(cid:48) = 8exy (cid:48) + y

Xét phương trình y (cid:48)(cid:48) = f (x, y , y (cid:48)). Nếu f liên tục trên miền mở chứa điểm (x0, y0, y1) thì phương trình đã cho tồn tại nghiệm y = y (x) thỏa y (x0) = y0, y (cid:48)(x0) = y1. Hơn nữa, nếu và ∂f ∂y (cid:48) đều liên tục thì nghiệm nói trên ∂f ∂y

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

13 / 30

là duy nhất.

PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất

PTVP tuyến tính cấp 2 là phương trình có dạng

P(x) + R(x)y = G (x) (1) d2y dx 2 + Q(x) dy dx với P(x) (cid:54)≡ 0.

+ R(x)y = 0 P(x) (2) Nếu G (x) ≡ 0 thì (1) được nói là thuần nhất. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất là phương trình có dạng: d2y dx 2 + Q(x) dy dx

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

14 / 30

Nếu G (x) (cid:54)≡ 0 thì (1) được nói là không thuần nhất.

Cấu trúc nghiệm PTVPTTC2TN

Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì với mọi hằng số c1, c2, ta có y (x) = c1y1(x) + c2y2(x) cũng là nghiệm của (2).

Hai hàm số y1(x) và y2(x) được gọi là độc lập tuyến tính nếu c1y1(x) + c2y2(x) ≡ 0 kéo theo c1 = c2 = 0.

Nếu y1(x) và y2(x) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì nghiệm tổng quát của (2) được cho bởi

y (x) = c1y1(x) + c2y2(x)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

15 / 30

trong đó, c1, c2 là các hằng số tùy ý.

PTVPTTC2TN hệ số hằng

Nếu P, Q, R là các hằng số thì (2) gọi là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng. Như vậy PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng

ay (cid:48)(cid:48) + by (cid:48) + cy = 0 (3)

với a (cid:54)= 0. Ta sẽ tìm 2 nghiệm ĐLTT của (3) dưới dạng y (x) = erx. Ta có y (cid:48)(x) = rerx, y (cid:48)(cid:48)(x) = r 2erx. Thay vào (3)

(cid:0)ar 2 + br + c(cid:1) erx = 0 Nhưng erx (cid:54)= 0, ∀x nên ar 2 + br + c = 0.

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

16 / 30

Phương trình ar 2 + br + c = 0 (4) gọi là phương trình đặc trưng của (3).

Nếu pt đặc trưng (4) có 2 nghiệm thực phân biệt r1, r2 thì nghiệm tổng quát của (3) là

y (x) = c1er1x + c2er2x

Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm thực duy nhất r0 thì nghiệm tổng quát của (3) là

y (x) = c1er0x + c2xer0x

Nếu pt đặc trưng (4) có nghiệm ảo r = α ± iβ thì nghiệm tổng quát của (3) là

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

17 / 30

y (x) = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)

Ví dụ 5. Giải các PTVP sau

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

18 / 30

1. y (cid:48)(cid:48) + y (cid:48) − 6y = 0

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

19 / 30

2. 3y (cid:48)(cid:48) + y (cid:48) − y = 0 3. 4y (cid:48)(cid:48) + 12y (cid:48) + 9y = 0

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

20 / 30

4. y (cid:48)(cid:48) − 6y (cid:48) + 13y = 0

Bài toán giá trị đầu Bài toán giá trị đầu cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm nghiệm y = y (x) thỏa y (x0) = y0, y (cid:48)(x0) = y1. Ví dụ 6. Giải PTVP

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

21 / 30

1. y (cid:48)(cid:48) + y (cid:48) − 6y = 0, y (0) = 1, y (cid:48)(0) = 0

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

22 / 30

2. y (cid:48)(cid:48) + y = 0, y (0) = 2, y (cid:48)(0) = 3

Bài toán giá trị biên Bài toán giá trị biên cho pt (1) hoặc (2) là bài toán tìm nghiệm y = y (x) thỏa y (x0) = y0, y (x1) = y1. Ví dụ 7. Giải PTVP

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

23 / 30

y (cid:48)(cid:48) + 2y (cid:48) + y = 0, y (0) = 1, y (1) = 3

PTVP TTC2 KTN hệ số hằng PTVP tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng là PTVP có dạng

ay (cid:48)(cid:48) + by (cid:48) + cy = G (x) (5)

với G (x) (cid:54)≡ 0.

Gọi y = y0(x) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng ay (cid:48)(cid:48) + by (cid:48) + cy = 0, thì nghiệm tổng quát của (5) có dạng:

y (x) = y0(x) + yr (x)

trong đó yr (x) là một nghiệm riêng của (5).

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

24 / 30

Như vậy nếu tìm được nghiệm riêng thì sẽ tìm được nghiệm tổng quát của (5).

Tìm nghiệm riêng

1. Nếu G (x) = eαxPn(x), trong đó Pn(x) là đa thức bậc n thì một nghiệm riêng của (5) có dạng

yr (x) = x seαxQn(x)

Trong đó, Qn(x) là đa thức bậc n, có n + 1 hệ số cần xác định, và   s =

 nếu α không là nghiệm của pt đặc trưng nếu α là nghiệm đơn của pt đặc trưng nếu α là nghiệm kép của pt đặc trưng 0 1 2

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

25 / 30

Ví dụ 8. Giải PTVP 1. y (cid:48)(cid:48) + 4y = e3x

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

26 / 30

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

27 / 30

2. y (cid:48)(cid:48) − 3y (cid:48) + 2y = 2ex − 2xex 3. y (cid:48)(cid:48) + y (cid:48) − 2y = x 2

2. Nếu G (x) = eαx [Pn(x) cos βx + Qm(x) sin βx], trong đó Pn(x) là đa thức bậc n, Qm(x) là đa thức bậc m thì một nghiệm riêng của (5) có dạng

yr (x) = x seαx [Rk(x) cos βx + Tk(x) sin βx]

Trong đó k = max{n, m}, Rk(x), Tk(x) là các đa thức bậc k cần xác định và

s = (cid:26) 0 1 nếu α + iβ không là nghiệm của pt đặc trưng nếu α + iβ là nghiệm của pt đặc trưng

y (0) = y (cid:48)(π) = 1

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

28 / 30

Ví dụ 9. Giải PTVP 1. y (cid:48)(cid:48) + y = 3 sin x, 2. y (cid:48)(cid:48) − 5y (cid:48) + 6y = 3 sin 2x − 2 cos 2x 3. y (cid:48)(cid:48) + y (cid:48) − 2y = e2x (5 cos x + 3 sin x)

3. Nếu G (x) = G1(x) + G2(x) với G1(x), G2(x) có 1 trong 2 dạng trên, thì một nghiệm riêng của (5) dạng yr (x) = yr 1(x) + yr 2(x) với yr 1, yr 2 là các nghiệm riêng của các phương trình

ay (cid:48)(cid:48) + by (cid:48) + cy = G1(x), ay (cid:48)(cid:48) + by (cid:48) + cy = G2(x)

Ví dụ 10. Giải PTVP

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

29 / 30

y (cid:48)(cid:48) − 4y = xex + cos 2x

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê)

Chương 4: PTVP

Toán 2 - MS: C01128

30 / 30