intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán trong công nghệ: Chương 4 - Nguyễn Linh Trung, Trần Thị Thúy Quỳnh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST
Báo xấu
41
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán trong công nghệ - Chương 4: Một biến ngẫu nhiên" cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm phân bố tích lũy (CDF), hàm mật độ xác suất, giá trị kỳ vọng, một số biến ngẫu nhiên quan trọng, hàm của biến ngẫu nhiên, các phương pháp biến đổi. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán trong công nghệ: Chương 4 - Nguyễn Linh Trung, Trần Thị Thúy Quỳnh

  1. Chương 4: Một biến ngẫu nhiên Nguyễn Linh Trung Trần Thị Thúy Quỳnh Đại học Công nghệ, ĐHQGHN
  2. Nội dung 1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function ) 2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF) 3 Các kỳ vọng 4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng 5 Hàm của biến ngẫu nhiên 6 Bất đẳng thức Markov và Chebyshev 7 Các phương pháp biến đổi
  3. Nội dung 1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function ) 2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF) 3 Các kỳ vọng 4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng 5 Hàm của biến ngẫu nhiên 6 Bất đẳng thức Markov và Chebyshev 7 Các phương pháp biến đổi
  4. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Hàm phân bố tích lũy (CDF) Definition (Cumulative Distribution Function) Hàm phân bố tích lũy CDF của một biến ngẫu nhiên X được cho bởi: FX (x) = P [X ≤ x], for − ∞ ≤ x ≤ ∞ 4 / 76
  5. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Example (CDF của biến ngẫu nhiên rời rạc) Tung một đồng xu ba lần và ghi lại mặt sấp/ngửa của đồng xu ở mỗi lần tung. Gọi X là số các mặt ngửa trong ba lần tung. Tính CDF của X. Không gian mẫu: S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} SX = {0, 1, 2, 3} Các xác suất tương ứng: pX (0) = 1/8; pX (1) = 3/8; pX (2) = 3/8; pX (3) = 1/8 Với x < 0: FX (x) = 0 Với 0 ≤ x < 1: FX (x) = P [X = 0] = 1/8 5 / 76
  6. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Với 1 ≤ x < 2: FX (x) = P [X = 0] + P [X = 1] = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 1/2 Với 2 ≤ x < 3: FX (x) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8 Với x ≥ 3: FX (x) = P [X ≤ 3] = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1 6 / 76
  7. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Tổng thể     0, x
  8. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Example (CDF of biến ngẫu nhiên liên tục) Quay một mũi tên có gốc được gắn tại tâm của một hình tròn. Gọi θ là góc mà mũi tên dừng lại, 0 < θ ≤ 2π. Xác suất để θ nằm trong một khoảng thuộc (0, 2π] tỷ lệ với chiều dài của khoảng đó. Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa bởi X(θ) = θ/2π. Tìm CDF của X. Với x < 0: FX (x) = P [X ≤ x] = P [∅] = 0 Với 0 ≤ x ≤ 1: FX (x) = P [X ≤ x] = P [θ ≤ 2πx] = 2πx/2π = x (chuẩn hóa chiều dài bằng 1). Với x > 1: FX (x) = P [X ≤ x] = P [0 ≤ θ ≤ 2π] = 1 8 / 76
  9. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Tổng thể  0, x < 0  FX (x) = x, 0 ≤ x ≤ 1  1, x > 1  a = 0, b = 1 9 / 76
  10. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Tính chất của CDF 1 0 ≤ FX (x) ≤ 1 2 lim FX (x) = 1 x→∞ 3 lim FX (x) = 0 x→−∞ 4 FX (x) là hàm không giảm: nếu a < b thì FX (a) ≤ FX (b) 5 FX (x) là hàm liên tục phải: FX (b) = FX (b+ ) 6 P [a < X ≤ b] = FX (b) − FX (a) 7 P [X = a] = FX (a) − FX (a− ) 8 P [X > x] = 1 − FX (x) Tất cả các tính chất này cho phép chúng ta tính tất cả các xác suất thông qua FX (x). 10 / 76
  11. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi CDF của biến ngẫu nhiên rời rạc CDF của một biến ngẫu nhiên rời rạc là một hàm bậc thang, liên tục phải của x, các bước nhảy được thực hiện tại các điểm x0 , x1 , x2 , . . . X X FX (x) = pX (xk ) = pX (xk )u(x − xk ) xk ≤x k với pX (xk ) là hàm xác suất khối PMFs và u(x) là hàm nhảy bậc đơn vị. Các xác suất được tính như tổng của PMF tại các điểm rời rạc. 11 / 76
  12. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi CDF của biến ngẫu nhiên liên tục CDF của một biến ngẫu nhiên liên tục là liên tục tại mọi điểm và được cho bởi: Z x FX (x) = f (λ)dλ −∞ với f (x) là hàm không âm. Các xác suất được tính bởi tích phân của "mật độ xác suất" trong một khoảng số thực. 12 / 76
  13. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi CDF của biến ngẫu nhiên kết hợp CDF của một biến ngẫu nhiên kết hợp không chỉ nhảy bậc tại các điểm rời rạc có thể đếm được x0 , x1 , x2 , . . ., mà còn tăng liên tục trên ít nhất một khoảng giá trị x nào đó: FX (x) = pFd (x) + (1 − p)Fc (x) với 0 < p < 1 là xác suất biến ngẫu nhiên là rời rạc/liên tục, Fd (x) là CDF của biến ngẫu nhiên rời rạc và Fc (x) là CDF của biến ngẫu nhiên liên tục. 13 / 76
  14. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Example (Biến ngẫu nhiên kết hợp) Thời gian đợi X của một hành khách tại trạm chờ taxi bằng 0 nếu hành khách thấy taxi đỗ tại trạm chờ, và và phân bố đều trong khoảng [0, 1] (giờ) nếu không có taxi nào ở trạm chờ. Gọi p là xác suất để taxi đang đỗ ở trạm chờ khi hành khách tới. Tính CDF của X. Sử dụng định lý xác suất tổng cộng: FX (x) = P [X ≤ x|thấy taxi]p + P [X ≤ x|không thấy taxi](1 − p) Phần rời rạc ( 0, x
  15. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Phần liên tục  0, x < 0  Fc (x) = P [X ≤ x|không thấy taxi] = x, 0 ≤ x ≤ 1  1, x > 1  CDF tổng thể  0,  x1  15 / 76
  16. Nội dung 1 Hàm phân bố tích lũy (CDF-Cumulative Distribution Function ) 2 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF) 3 Các kỳ vọng 4 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng 5 Hàm của biến ngẫu nhiên 6 Bất đẳng thức Markov và Chebyshev 7 Các phương pháp biến đổi
  17. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function - PDF) Definition Hàm mật độ xác suất (PDF) của X d fX (x) = FX (x) dx 17 / 76
  18. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Xét xác suất để X nằm trong một khoảng nhỏ (x, x + h]), ta có: [FX (x + h) − FX (x)] P [x < X ≤ x + h] = FX (x + h) − FX (x) = h h d Khi h rất nhỏ thì h → dx và fX (x) = dx FX (x), hay PDF biểu diễn mật độ xác suất tại điểm x và P [x < X ≤ x + h] ∼= fX (x)dx. 18 / 76
  19. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Example (PDF biến ngẫu nhiên liên tục) Quay một mũi tên có gốc được gắn tại tâm của một hình tròn. Gọi θ là góc mà mũi tên dừng lại, 0 < θ ≤ 2π. Xác suất để θ nằm trong một khoảng thuộc (0, 2π] tỷ lệ với chiều dài của khoảng đó. Biến ngẫu nhiên X được định nghĩa bởi X(θ) = θ/2π. Tìm PDF của X. CDF của X là:  0, x < 0  FX (x) = x, 0 ≤ x ≤ 1  1, x > 1  a = 0, b = 1 PDF là vi phân của CDF nên:  0,  x1  a = 0, b = 1 19 / 76
  20. CDF PDF Các kỳ vọng Một số biến ngẫu nhiên quan trọng Hàm của biến ngẫu nhiên Bất đẳng thức Markov và Chebyshev Các phương pháp biến đổi Tính chất của PDF 1 Do CDF là hàm không giảm của x, nên PDF là một hàm không âm: fX (x) ≥ 0 2 Xác suất của một khoảng [a, b] là diện tích được chặn bởi fX (x) trong khoảng đó: Z b P [a ≤ X ≤ b] = fX (x)dx a 20 / 76
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1