Toùm taét baøi giaûng Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
Th.S TRAÀN ANH TUÙ 1
Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
1.1 Caùc khaùi nieäm cô baûn
- Chaát ñieåm laø 1 vaät coù khoái löôïng, coù kích thöôùc raát nhoû so vôùi khoaûng caùch vaø kích
thöôùc cuûa vaät khaùc.
- Heä chaát ñieåm: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm rôøi raïc.
- Vaät raén: laø taäp hôïp nhieàu chaát ñieåm phaân boá lieân tuïc vaø coù moái lieân keát raén (khoaûng
caùch giöõa caùc chaát ñieåm laø khoâng thay ñoåi).
Vd: Ñoáng caùt khoâng phaûi laø vaät raén do khoaûng caùch thay ñoåi.
Cuïc gaïch: vaät raén.
- Chuyeån ñoäng: laø söï thay ñoåi vò trí cuûa chaát ñieåm trong suoát quaù trình chuyeån ñoäng.
- Heä quy chieáu: laø heä vaät quy öôùc ñöùng yeân ñeå khaûo saùt caùc vaät khaùc chuyeån ñoäng
ñoái vôùi noù. Thöôøng ngöôøi ta gaén heä truïc toïa ñoä vaøo heä quy chieáu.
1.2 Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm
- Vectô vò trí cuûa chaát ñieåm:
rkzjyixMO
r
r
rr
r=++=
x, y, z laø haøm theo thôøi gian
Toïa ñoä ñieåm M: ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
z
y
x
- Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa chaát ñieåm M:
o Vectô vò trí
o Toïa ñoä ñieåm M
- Quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm M: f (x,y,z) = 0: laø taäp hôïp caùc vò trí cuûa chaát ñieåm trong
suoát quaù trình chuyeån ñoäng.
- Muoán tìm phöông trình quyõ ñaïo cuûa chaát ñieåm, ta khöû tham soá t ôû phöông trình
chuyeån ñoäng chaát ñieåm. Coù 2 daïng:
o Daïng 1: phöông trình coù chöùa tham soá t, duøng phöông phaùp theá ñeå khöû t
o Daïng 2: phöông trình coù chöùa sin & cos theo t: aùp duïng sin2t + cos2t = 1
VD1 :
()
jti
t
r
r
r
r2
2
2++=
()
24
22
02
2
2
2
2
2
+=⇒
⎩
⎨
⎧
+=
≥=
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
xy
xy
xt
ty
t
x
M
Giôùi haïn quyõ ñaïo: t ≥ 0 → 2x ≥ 0 → x ≥ 0
24 2+= xy
y
x
O
Toùm taét baøi giaûng Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
Th.S TRAÀN ANH TUÙ 2
VD2:
()
(
)
11cossin
sin
cos
sin
cos
sincos
2
2
2
2
22 =+⇔=+
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
+=
A
x
A
y
tt
A
y
t
A
x
t
tAy
tAx
M
jtAitAr
ωω
ω
ω
ω
ω
ωω
rr
r
Quyõ ñaïo laø ñöôøng troøn taâm O, baùn kính A
Tröôøng hôïp naøy khoâng coøn giôùi haïn quyõ ñaïo
1.3 Vectô vaän toác
1.3.1 Vectô vaän toác trung bình: ϑ
r
t
r
tt
rr
rMt
rMt
Δ
Δ
=
−
−
=
→→
→→
r
rr
r
r
r
12
12
222
111
ϑ
1.3.2 Vectô vaän toác töùc thôøi: ϑ
r
222
0
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++==
++=
=
Δ
Δ
=→Δ
dt
dz
dt
dy
dt
dx
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
rd
kzjyixr
dt
rd
t
r
t
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
r
r
rr
r
r
r
rr
r
r
r
r
r
Vd:
()
2
2
41
2
1
t
jti
jtitr
+=⇒
+=
++=
ϑ
ϑ
r
rr
r
rr
r
1.4 Vectô gia toác:
1.4.1 Vectô gia toác trung bình: a
r
ttt
aΔ
Δ
=
−
−
=
ϑ
ϑϑ
r
r
r
r
12
12
t
v
tt
vv
a
vMt
vMt
Δ
Δ
=
−
−
=
→→
→→
r
rr
r
r
r
12
12
222
111
Tònh tieán 2
ϑ
r
veà 1
ϑ
r
=> aa
r
r
Δ→Δ
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M
Chieàu: cuøng chieàu chuyeån ñoäng
Ñoä lôùn: 2
z
2
y
2
xϑ+ϑ+ϑ=ϑ=ϑ
r
y
x
O
1
2
2
2
2
=+ A
x
A
y
Toùm taét baøi giaûng Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
Th.S TRAÀN ANH TUÙ 3
1.4.2 Vectô gia toác töùc thôøi: a
r
2
2
2
0
lim
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++==
++=
=
Δ
Δ
=→Δ
dt
dv
dt
dv
dt
dv
a
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
dt
vd
a
kvjvivv
dt
rd
t
v
a
z
y
x
z
y
x
zyx
t
r
r
rr
r
r
r
rr
r
r
r
r
r
ϑ
Vd:
220
20
2
22 =+=
+==
+=
a
ji
dt
d
a
jti
r
rr
r
r
rr
r
ϑ
ϑ
¾ Vectô gia toác töùc thôøi ñöôïc chieáu leân phöông tieáp tuyeán vaø phaùp tuyeán, ta coù vectô
gia toác tieáp tuyeán t
a
rvaø vectô gia toác phaùp tuyeán n
a
r
.
dt
d
at
ϑ
r
r=
Vectô gia toác tieáp tuyeán ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà ñoä lôùn cuûa vectô vaän toác. Ñaëc
tröng cho söï chuyeåm ñoäng chaäm daàn, nhanh daàn.
n
a
r
Vectô gia toác phaùp tuyeán ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà phöông cuûa vectô vaän toác.
Do ñoù ñeå tìm baùn kính cong: phaûi coù ñoä lôùn
ϑ
r
vaø n
a
r
.
n
a
r nhoû => R lôùn
n
a
r lôùn => R nhoû
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñieåm: ñieåm ñang xeùt
Phöông: ñöôøng thaúng ñi qua M
Chieàu: höôùng veà beà loõm cuûa quyõ ñaïo
Ñoä lôùn:
2
2
2
222
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
++==
dt
d
dt
d
dt
d
aaaaa
z
y
x
zyx
ϑ
ϑ
ϑ
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M (cuøng phöông
ϑ
r)
Chieàu: dv > 0 , 12
ϑ
ϑ
>: chuyeån ñoäng nhanh daàn =>
ϑ
r
r↑↑
t
a
dv < 0 , 12
ϑ
ϑ
: chuyeån ñoäng chaäm daàn =>
ϑ
r
r↑↓
t
a
Ñoä lôùn: dt
d
aa tt
ϑ
==
r
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M
Chieàu: höôùng vaøo taâm cuûa voøng troøn quyõ ñaïo taïi M
Ñoä lôùn: R
an
2
ϑ
= (R: baùn kính quyõ ñaïo taïi M)
Toùm taét baøi giaûng Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
Th.S TRAÀN ANH TUÙ 4
Vectô gia toác töùc thôøi: ⎩
⎨
⎧
22
nt
nt
aaa
aaa
+=
=
r
r
r
r
a
r ñaëc tröng cho söï thay ñoåi veà ñoä lôùn vaø phöông cuûa vectô vaän toác.
1.5 Chuyeån ñoäng thaúng
Quyõ ñaïo laø ñöôøng thaúng: 0
⇒∞=⇒ n
aR (vì 0;
2
=→∞== nn aR
R
a
ϑ
)
Neân ñöa chuyeån ñoäng thaúng veà 1 truïc -> chæ caàn 1 thaønh phaàn ñeå bieåu dieãn.
2
2
~
~
dt
xd
dt
d
aaiaa
dt
dx
i
xxr
x
xx
xx
i
==→=
=→=
→=
ϑ
ϑϑϑϑ
r
r
r
r
r
r
1.5.1 Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu:
(
)
const=
ϑ
r
⇔=⇔=⇒== ∫∫ tx
x
dtdxdtdxconst
dt
dx
0
0
ϑϑϑ
0
xtx
ϑ
1.5.2 Chuyeån ñoäng thaúng thay ñoåi ñeàu:
(
)
consta
r
aa rr ⇒= 0 laø t
a
r
()
tatxxdtatdx
dt
dx
atdtad
dt
d
a
tx
x
t
0
2
0
0
0
0
0
2
1
0
0
ϑϑ
ϑϑϑ
ϑ
ϑ
ϑ
+=−⇔+=⇒
=+=⇒=→=
∫∫
∫∫
Hay:
()
0
2
0
2
0
2
0
0
2
2
1
xxa
tatxx
at
−=−
+=−
+=
ϑϑ
ϑ
ϑϑ
a
r cuøng chieàu →
ϑ
r
chuyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu
a
r ngöôïc chieàu →
ϑ
r chuyeån ñoäng chaäm daàn ñeàu
1.6 Chuyeån ñoäng troøn: quyõ ñaïo laø ñöôøng troøn -> R = const
1.6.1 Vectô vaän toác goùc
ω
r:
ω
r
Lieân heä giöõa R
r
r
r
,,
ωϑ
: Rx
r
r
r
ωϑ
=
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët:
∀
ñieåm∈truïc voøng troøn quyõ ñaïo (vectô truïc)
Phöông: truïc cuûa voøng troøn quyõ ñaïo
Chieàu: theo quy taéc vaën nuùt chai
Ñoä lôùn:
R
d
t
dS
R
d
t
R
S
d
d
t
d
ϑ
ωω
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=== .
1
r
Toùm taét baøi giaûng Chöông 1: ÑOÄNG HOÏC CHAÁT ÑIEÅM
Th.S TRAÀN ANH TUÙ 5
1.6.2 Vectô gia toác goùc:
β
r
β
r
Lieân heä giöõa Rat
r
r
r,,
β
: Rxa t
r
r
r
β
= ( t
a
r
cuøng chieàu
ϑ
r
: nhanh daàn)
2422
22
222
.
.
.
βω
ω
ωϑ
β
+=+=
===
=
Raaa
R
R
R
R
a
Ra
nt
n
t
1.6.3 Chuyeån ñoäng troøn ñeàu:
const
aaa
consta
constR
const
nt
n
=
=→=
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
ω
ϑ
r
rrr
r
0
⇒=⇒= ∫∫ t
dtd
dt
d
0
0
ωθ
θ
ω
θ
θ
0
θ
ω
θ
t
1.6.4 Chuyeån ñoäng troøn thay ñoåi ñeàu:
constaRa
constR
const
tt =⇒=
⎭
⎬
⎫
=
=.,
β
β
r
⇒=⇒= ∫∫ t
dtd
dt
d
0
0
βω
ω
β
ω
ω
0
ω
β
ω
t
Maø:
()
⇒+=⇒= ∫∫ t
dttd
dt
d
0
0
0
ωβθ
θ
ω
θ
θ
00
2
2
1
θωβθ
++= tt
()
0
2
0
22
θθβωω
−=−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Ñieåm ñaët: ñieåm ñang xeùt
Phöông: tieáp tuyeán vôùi quyõ ñaïo taïi M (cuøng phöông
ϑ
r)
Chieàu:
β
ω
r
→> 0d cuøng chieàu
ω
r
(chuyeån ñoäng nhanh daàn)
β
ω
r
→< 0d ngöôïc chieàu
ω
r
(chuyeån ñoäng chaäm daàn)
Ñoä lôùn: R
a
dt
d
Rdt
R
d
dt
dt
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
===
ϑ
ϑ
ω
ββ
.
1
r