Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
Th.S TRẦN ANH TÚ 1
Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN
3.1 Khối tâm vật rắn:
3.1.1 Định nghĩa: Điểm G được gọi là khối tâm của hệ chất điểm nếu:
∑=0
ii lm r
:
i
l
rlà vectơ khỏang cách từ điểm G đến chất điểm thứ i
• Vị trí khối tâm G:
Vị trí khối tâm G được xác định bằng bán kính vectơ G
r
r
- Trường hợp hệ chất điểm:
()
GGi
iiGii
iiGiii
iGi
rMrm
lmrmrm
lmrmrm
lrr
rr
r
rr
r
rr
r
rr
==
+=⇔
+=⇔
+=
∑
∑∑∑
M
rm
rii
G
∑
=⇒
r
r
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
M
zm
z
M
ym
y
M
xm
x
ii
G
ii
G
ii
G
Vd: Đặt 3 chất điểm khối lượng m tại 3 đỉnh tam giác đều cạnh a.
4
3
4
2
3
2
0
22
2
321
332211
a
m
OmOmam
y
m
a
m
a
mOm
mmm
xmxmxm
x
o
ooo
G
o
ooo
G
=
++
=•
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+
=
++
++
=•
=> G nằm trên đường phân giác ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
4
3
,0 aG
- Trường hợp chất điểm là 1 vật rắn:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
⇒
∫
∫
∫
dmz
M
z
dmy
M
y
dmx
M
x
G
G
G
.
1
.
1
.
1
∫
=dmr
M
rG.
1rr
y
0
x
a
Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
Th.S TRẦN ANH TÚ 2
- Mật độ khối lượng dài: dldm
dl
dm ..
λλ
=⇒=
- Mật độ khối lượng mặt: ds
ds
dm .
σσ
⇒=
- Mật độ khối lượng mặt:
ϑρ
ϑ
ρ
d
d
dm .⇒=
+ Nếu 1 vật rắn có khối lượng phân bố đều thì: hs
m
s
m
l
m====
ϑ
ρσλ
,,
+ Nếu vật rắn là sợi dây phẳng trên trục x thì: dl= dx
+ Nếu vật rắn là cung tròn, bán kính R thì ta dùng tọa độ cực (R,
ϕ
)
x
y
arctgyxr =+=
ϕ
,
22
ϕ
dRdl .=⇒
+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng:
dydxds .=
+ Nếu vật rắn là dạng phẳng giới hạn bởi cung tròn:
ϕ
ddrrds ..=
+ Nếu vật rắn là mặt cần bán kính R thì:
ϕθθ
ddRds ..sin
2
=
Tọa độ cầu:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
θ
ϕθ
ϕθ
cos
sin.sin
cos.sin
rz
ry
rx
Khi tính hết mặt cầu: ∫∫
=
ππ
ϕθθ
2
00
2.sin ddRS
+ Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương:
dzdydxd ..=
ϑ
+ Nếu vật rắn là khối cầu:
ϕθθϑ
dddrrd ..sin
2
=
3
3
0
2
00
2
3
4
2.2.
3
.sin. R
R
dddrrV
R
ππϕθθ
ππ
=== ∫∫∫
Vd1: Cho vật rắn là mặt phẳng OBC (OB = a, OC = b) khối lượng m phân bố đều. Tìm G?
adxx
a
ydxx
ab
dydxx
M
ab
M
dydx
m
x
a
x
a
b
a
x
a
b
y
a
VR
G
3
2
.
2
..
2
.
2
1
...
1
0
2
2
0
0
00
===
==•
∫∫
∫∫∫
=
σ
•Tương tự: by 3
1
=
Với ⎩
⎨
⎧
=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
ry
rx
x
dy
dx
y
Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
Th.S TRẦN ANH TÚ 3
Vd2: Cho vật rắn khối lượng m là ¼ vòng tròn (O,R). Xác định G?
RR
R
R
ddrr
M
R
M
rddrr
M
x
R
xds
G
424,0
3
4
sin
3
4
.cos.
4
cos....
1
2
0
3
2
2
00
2
2
≈==
==• ∫∫∫
π
ϕ
π
ϕϕ
π
ϕϕσ
π
π
321321
Rrddrr
M
y
ds
G
π
ϕϕσ
3
4
sin....
1==• ∫321
3.1.2 Chuyển động khối tâm G
∑∑
∑∑
∑
===
===
=
iii
G
G
iii
G
G
iiG
F
M
am
Mdt
d
a
P
M
m
Mdt
rd
rm
M
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
1
.
1
1
.
1
.
1
ϑ
ϑϑ
3.2 Động lực của hệ chất điểm và vật rắn:
3.2.1 Định nghĩa:
∑∑ === Giii MmPP
ϑϑ
r
r
r
r
.
3.2.2 Định lý:
(
)
∑
=== FaM
dt
Md
dt
Pd
G
Gr
r
r
r
.
.
ϑ
3.2.3 Định luật bảo toàn động lượng:
- Bảo toàn toàn phương:
∑=⇒= hsPF
r
r
0
- Bảo toàn 1 phương: ∑
∑
=⇒=≠ hsPFF xx
r
r
0,0
Vd1:
∑=+++= 0
2211 NgmNgmF
r
r
r
r
22112211 '.'...
ϑϑϑϑ
rrrr
r
r
mmmm
PP SVCTVC
+=+
=
Vd2:
VMmVMm
PP SBTB r
r
r
+=+
=
ϑ
)(
Vd3:
V
M
m
PP r
r
r
r
+=
=
ϑ
0
21
Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
Th.S TRẦN ANH TÚ 4
Vd4: Bảo toàn 1 phương:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
=
==
∑∑
''
0,
00
VMmMVm
PP
FgmF
SVCTVC xx
x
r
rr
rr
r
ϑϑ
3.3 Vật rắn chuyển động tịnh tiến
3.3.1 Định nghĩa
GBA
GBA
aaa
GGBBAA
rrr
rrr
===
===
===
....
...
... 212121
ϑϑϑ
Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng
quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm.
3.3.2 Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến
∑∑ === MmWW Giiññ itt .
2
1
2
122
ϑϑ
3.3.3 Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến
∑=G
aMF
r
r
.
3.4 Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U
3.4.1 Định nghĩa
βββ
ωωω
θ
θ
θ
===
===
===
...
...
...
BA
GA
BA
Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm có cùng 1 góc
quay, cùng vận tốc góc và cùng gia tốc góc.
3.4.2 Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U
22222
2
1
.
2
1
2
1
iiiiiiiññ rmrmmWW i∑∑∑∑====
Δ
Δ
ωωϑ
Đặt 2
ii rmI ∑
= : moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U
2
2
1
ω
Δ
Δ=⇒ IWñ
Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U
3.4.3 Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU
2
iirmI ∑
=
Δ
3.4.4 Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU
∫
=
Δ
VR
rdmI 2
.
Tóm tắt bài giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN
Th.S TRẦN ANH TÚ 5
Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều. Tính moment đối với
trục quayU vuông góc với thanh và đi qua điểm giữa.
122424
3
...
233
2
2
3
2
2
2
MLLL
L
M
x
L
M
xdx
I
L
L
L
L
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−−=
==
Δ−
−
∫
λ
+ Nếu chọn gốc O đối với trục U’:
2
0
3
3
1
3
.
'ML
x
L
M
I
L
==
Δ
+ Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh:
ααα
2
23
2
0
22
2sin
33
.sinsin. MLL
L
M
xdx
L
M
IL
===
Δ∫
+ Nếu chọn trục U3 song song với thanh:
222
3.. dMdmdddm
I
VR
===
Δ∫∫
Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vuông góc vành qua O
222 .. RMdmRRdm
I
VR
===
Δ∫∫
Vd3: Đĩa đặc phân bố đều
2
.
.
4
.
.
....
2
2
0
0
4
2
2
00
3
2
2
RMr
R
M
ddrr
R
M
rddrr
I
R
R
==
=
=
Δ
∫∫
∫
π
π
ϕ
π
ϕ
π
ϕσ
Vd4: Đĩa bán kính R1,R2
()
()
()
2
1
2
2
4
1
4
2
1
1
1
2
2
0
3
1
1
1
2
2
2.
44
2
1
RR
M
RR
RR
M
ddrr
RR
M
I
R
R
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
−
=
−
=∫∫
Δ
π
π
ϕ
π
π