Bài giảng Vật lý II (Phần 2: Thuyết tương đối): Chương 6

TS. Ngô Văn Thanh, Viện Vật lý.

Chuyên ngành : Điện tử -Viễn thông , Công nghệ thông tin, Điện -Điện tử

Chương 6: Thuyết tương đối hẹp Einstein.

6.1 Hai tiên đề của thuyết tương đối hẹp

6.2 Phép biến đổi Lorentz và các hệ quả

6.3 Động lực học tương đối tính - Hệ thức Einstein

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Hệ quán tính:

 Hệ quán tính là một hệ mà trong đó một vật có gia tốc bằng 0 nếu như nó

 Một hệ chuyển động đều (vận tốc không đổi) so với một hệ quán tính thì bản

không tương tác với các vật khác (Định luật 1 của Newton).

 Khối lượng là thuộc tính cố hữu của vật chất, nó không phụ thuộc vào môi

thân nó cũng là một hệ quán tính. Khối lượng và trọng lượng.

 Trọng lượng của một vật là độ lớn của lực trọng trường tác dụng lên vật và nó

trường xung quanh và phương pháp đo. Khối lượng là bất biến.

thay đổi theo vị trí:

Cơ học cổ điển – Cơ học Newton:

 Không gian, thời gian và vật không phụ thuộc vào sự chuyển động của nó.  Trong cả hệ quán tính đứng yên và hệ quán tính chuyển động:

 Thời gian xảy ra hiện tượng không thay đổi. Kích thước và khối lượng của

vật dù đứng yên hay chuyển động đều không thay đổi.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Tóm lại: Thời gian và không gian trong cơ học Newton là tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động. Khối lượng của vật là bất biến. Vận tốc truyền tương tác giữa các vật thể là vô hạn.

Thuyết tương đối Galilean:

 Tất cả các địnhluật cơhọc đềunhưnhau

 Những chuyển động cơ học đều tuân theo

trong các hệ quy chiếu quán tính.

 Không có khái niệm chuyển động tuyệt đối trong không gian, và cũng không có khái niệm về hệ quán tính ưu tiên.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

các định luật của Newton.

 Một hiện tượng vật lý được xác định bởi hệ tọa độ 4 chiều

của vật được xác định bởi hệ tọa độ 3 chiều, và thời gian là chiều thứ 4.

 Xét hai hệ quán tính S và S’.

: vị trí

 Hệ S’ chuyển động với vận tốc  Tại thời điểm t = 0, Một sự kiện xuất hiện tại điểm P sẽ được xác định bởi hệ và trong hệ quán

dọc theo trục xx’

 Hệ thức liên hệ giữa hai hệ tọa độ:

 Hệ phương trình biến đổi không-thời gian Galilean.

 Biểu thức cộng vận tốc:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

tọa độ không-thời gian trong hệ quán tính S là tính S’ là

6.1 Hai tiên đề của thuyết tương đối hẹp.  Cuối thể kỷ 19, đầu thế kỷ 20: Nghiên cứu những chuyển động của các vật thể

 Không gian, thời gian và khối lượng của vật chuyển động phụ thuộc vào

có vận tốc rất lớn (vận tốc xấp xỉ bằng vận tốc ánh sáng).

 Cơ học Newton chỉ áp dụng cho những chuyển động có vận tốc bé:



chuyển động.

Tiên đề của thuyết tương đối hẹp:

 Nguyên lý tương đối.

1905: Lý thuyết tương đối hẹp Einstein ra đời. Đó là sự mở rộng của thuyết tương đối Galilean.

 Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng.

Mọi địnhluật vật lý đềunhưnhau trong các hệ quy chiếu quán tính.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Vận tốc ánh sáng trong chân không đềubằng nhau đốivới mọi hệ quy và là giá trị vận tốc chiếu quán tính. Nó có giá trị bằng cực đạitrong tự nhiên. Vận tốc của ánh sáng không phụ thuộc vào vận tốc của ngườiquan sát cũng nhưvận tốc của nguồn sáng.

Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galilean và thuyết tương đối Einstein:

 Thời gian là tuyệt đối:  Xét khoảng cách giữa hai điểm trong hai hệ quán tính:

 Theo công thức cộng vận tốc:  Các kết quả này chỉ đúng đối với các chuyển động có vận tốc bé hơn vận tốc

, lúc đó vận

 Kết quả này mâu thuẫn với nguyên lý cực đại của vận tốc ánh sáng.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

của ánh sáng. Nếu vận tốc của vật trong hệ quán tính S’ là tốc của vật đó trong hệ quán tính S là

6.2 Phép biến đổi Lorentz và các hệ quả.



 Giả sử tọa độ x’ được miêu tả bằng hàm f theo x và t: x’ = f(x, t)



Xét hai hệ quán tính S và S’. S’ chuyển động tương đối so với S với vận tốc theo phương x. Ban đầu, gốc tọa độ của hai hệ quán tính trùng nhau Theo nguyên lý tương đối của Einstein thì thời gian trong hai hệ quán tính là khác nhau



. Ta có Trong hệ quán tính S, x là tọa độ của gốc tọa độ O’, khoảng cách giữa hai gốc tọa độ O và O’ là

 Hoàn toàn tương tự, tọa độ của gốc tọa độ O trong hệ quán tính S’:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Trong hệ quán tính S’, x’ là tọa độ của gốc tọa độ O’: Từ đó ta có

 Theo nguyên lý thứ hai của Einstein về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: Nếu

như

thì

. Thay vào các biểu thức cho x và x’ ta thu được:

 Nếu vận tốc

và

lúc đó ta lại nhận được các biểu thức trong phép biến đổi Galilean:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

và

 Phép biến đổi Lorentz từ hệ S sang S’:

 Phép biến đổi Lorentz từ hệ S’ sang S:

Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz.

 Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả:

 Xét hai hiện tượng A1 và A2 trong hệ quán tính S xảy ra tại hai thời điểm

 Khoảng thời gian giữa hai hiện tượng đó trong hệ quán tính S’.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

khác nhau t1 và t2. Tọa độ của hai hiện tượng tương ứng là A1(x1, y, z, t1) và A2(x2, y, z, t2).

trong đó

 Như vậy hai sự kiện A1 và A2 không xảy ra đồng thời trong hệ quán tính S’.

là vận tốc của hệ quán tính S’ so với S.  Giả sử hai sự kiện A1 và A2 xảy ra đồng thời trong hệ quán tính S

 Vì

Khái niệm đồng thời chỉ là tương đối.

phụ thuộc vào dấu của hiệu tọa độ , nghĩa là thứ tự xảy

 Quan hệ nhân quả: Nguyên nhân xảy ra trước, kết quả xảy ra sau. Nguyên

ra các sự kiện là bất kỳ. Trong các hệ quán tính khác sự kiện A1 xảy ra trước sự kiện A2 hoặc ngược lại.

 Thứ tự của các sự kiện có quan hệ nhân quả không thay đổi trong mọi hệ quán

nhân quyết định cho sự ra đời của kết quả. Ví dụ: viên đạn được bắn ra được gọi là nguyên nhân, viên đạn trúng đích được gọi là kết quả.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

tính.

, giả sử

 Xét hai sự kiện có quan hệ nhân quả trong hệ quán tính S xảy ra tại hai thời và u là vận tốc truyền tương tác từ sự kiện

điểm nguyên nhân đến sự kiện kết quả. Ta có:

suy ra

 Nếu  Sự co ngắn Lorentz:

 Giả sử một vật đứng yên trong hệ quán tính S’ đặt dọc theo trục x, độ dài

thì , tức là thứ tự xảy ra các biến cố không thay đổi.

 Từ các biểu thức của phép biến đổi Lorentz:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

của nó là:

 Ta có:



Suy ra:

Vì

cho nên



@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Kết luận: Độ dài (dọc theo phương chuyển động) của một thanh trong hệ quy chiếu quán tính mà nó đang chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh trong hệ quy chiếu mà nó đứng yên. Khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động. Kích thước của vật khác nhau tùy thuộc vào vị trí của người quan sát ở trong hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động. Không gian có tính tương đối, nó phụ thuộc vào chuyển động.

 Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ quán tính S’. Xét hai quá trình xảy ra

cùng một điểm A có tọa độ là (x, y, z) trong hệ S’.

 Khoảng thời gian giữa hai sự kiện:



Suy ra:

 Kết luận: Khoảng thời gian của một quá trình trong hệ quán tính chuyển động bao giờ cũng bé hơn khoảng thời gian xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ quán tính đứng yên.

 Đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

hoặc là

 Định lý tổng hợp vận tốc.  Giả sử u và u’ là vận tốc của một chất điểm trong hệ quy chiếu S và S’:



 Tương tự:

 Đây chính là các công thức biểu diễn định lý tổng hợp vận tốc trong thuyết

Suy ra:

 Tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân không: Giả sử vận tốc

tương đối.

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

ta suy ra:

 Sự thay đổi hướng vận tốc khi chuyển từ hệ này sang hệ khác:  Xét hệ tọa độ cực:



@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Suy ra:



6.3 Động lực học tương đối tính - Hệ thức Einstein. Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm. Theo cơ học cổ điểm, phương trình chuyển động có dạng:



trong đó m là bất biến, phương trình chuyển động chất điểm này không áp dụng được cho những chuyển động có vận tốc lớn cỡ vận tốc ánh sáng. Phương trình chuyển động theo lý thuyết tương đối:



trong đó m là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó chuyển động và được gọi là khối lượng tương đối. m0 là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên và được gọi là khối lượng nghỉ. Phương trình chuyển động này bất biến đối với phép biến đổi Lorentz, nó tương ứng với định luật 2 của Newton khi .

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Khối lượng của một vật có tính tương đối, nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Khối lượng của vật tăng khi vận tốc tăng.



Động lượng và năng lượng. Động lượng:



Phương trình chuyển động:



Theo định luật bảo toàn năng lượng: Độ tăng năng lượng E bằng công A của ngoại lực tác dụng lên vật. Giả sử lực tác dụng cùng phương với độ dịch chuyển , ta có:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Thay biểu thức động lượng và lực ngoài vào biểu thức năng lượng:



 Mặt khác:



Sử dụng hệ thức liên hệ: Ta có:



Thay vào biểu thức trên ta có :

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Lấy tích phân: Sử dụng điều kiện biên khi m = 0 thì E = 0, suy ra C = 0. Cuối cùng ta thu được hệ thức Einstein



Các hệ quả: Năng lượng nghỉ của vật khi m = m0:



Khi vật chuyển động, động năng của vật được xác định bởi biểu thức:



Trường hợp gần đúng cổ điển:



Thay vào biểu thức động năng, ta có:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Đây chính là biểu thức động năng trong cơ học cổ điển.





Biểu thức liên hệ giữa năng lượng và động lượng của vật:



Bình phương hai vế:



Sử dụng các hệ thức:

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Cuối cùng ta thu được:

 Ứng dụng trong bài toán phản ứng phân rã hạt nhân:



Giả sử một hạt nhân có năng lượng là E phân rã thành hai phần có năng lượng tương ứng là E1 và E2. Theo định luật bảo toàn năng lượng:



Sử dụng hệ thức Einstein ta có:



trong đó m, m1 và m2 là khối lượng nghỉ của các hạt. Vì điều kiện

@2009, Ngô Văn Thanh -Viện Vật Lý

Suy ra : Vậy, khối lượng của hạt nhân trước khi tự phân rã lớn hơn tổng khối lượng của các hạt thành phần. Phần năng lượng do hao hụt khối lượng được chuyển thành nhiệt và bức xạ