Bài giảng Đại Số Tuyến Tính: Chi tiết và đầy đủ nhất

ạ ố

ế

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ươ ng 1. Ch

Ứ

Ị

ả MA TR N,Ậ Đ NH TH C

I. MA TR NẬ

1. ị Đ nh nghĩa

(cid:0) (cid:0) ộ ậ ấ ộ ả ố ượ ắ ỗ c s p thành m dòng, m i dòng có

n là m t b ng g m m ộ ồ ứ ự ấ ị ỗ ộ ố ố M t ma tr n c p m ộ n s và n c t, m i c t có m s theo m t th t n s đ nh t đ nh.

ầ ử ầ ử ứ ủ ậ ộ ộ ọ Ph n t ầ ử ij là ph n t a thu c dòng i, c t j và g i là ph n t th (i,j) c a ma tr n A.

ậ ộ ượ ọ ậ ấ (cid:0) Ma tr n có m dòng và n c t đ c g i là ma tr n c p m (cid:0) n. Kí hi u : Aệ ặ m(cid:0) n ho c A =

(aij)m(cid:0) n.

ij = bij, (cid:0)

ấ ậ ằ (cid:0) Hai ma tr n A và B b ng nhau khi chúng cùng c p và a i, j .

ằ ố ậ ậ c g i là ma tr n vuông. Ma tr n vuông có n dòng, n

ố ộ ượ ọ ấ (cid:0) Ma tr n có s dòng b ng s c t đ ậ ậ ộ ọ c t g i là ma tr n vuông c p n.

ậ ấ ả ầ ử ằ ượ ọ ậ (cid:0) Ma tr n có t t c các ph n t b ng 0 đ c g i là ma tr n không.

ậ ấ ườ ứ ầ ng chéo chính c a A là đ ng ch a các ph n

ườ ụ ứ (cid:0) N u A là ma tr n vuông c p n thì ta g i đ ọ ườ ế ườ aử 11, a22, . . ., ann. Đ ng chéo ph là đ t ủ ng ch a các ph n t ầ ử 1n, a2(n1), . . ., an1. a

ậ ỉ ầ ử ằ ng chéo chính b ng 1 còn các ph n t khác

(cid:0) Ma tr n vuông ch có các ph n t ầ ử ị trên đ ệ ọ ơ ườ ậ ằ b ng 0 thì g i là ma tr n đ n v . Kí hi u : I

(cid:0) (cid:0) ợ ấ ả ậ ấ ậ ầ ử ấ ườ ượ T p h p t t c các ma tr n c p m n có ph n t l y trên tr ố ng s K đ ệ c kí hi u là :

Mm(cid:0) n(K)

2. Các phép toán trên ma tr nậ

ậ ể ị a. Ma tr n chuy n v

Th.S Thân Văn Đính Page 1

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ủ ế ộ ứ ự ượ thì ta đ ộ c m t ma

ổ ấ ả t c các dòng c a A thành các c t theo th t ể ậ ớ ọ ị ủ ệ ậ ậ Cho ma tr n A, n u ta đ i t tr n m i g i là ma tr n chuy n v c a A. Kí hi u là A

ij) thì AT = (aji).

ậ ế V y, n u A = (a

ộ ố ớ ộ ậ b. Phép nhân m t s v i m t ma tr n.

ij) và s c. Ta đ nh nghĩa : c.A = (c.a

ij) _ nhân c vào t

ố ị ấ ả ầ ử ủ t c ph n t c a ma

ậ ậ Cho ma tr n A = (a tr n A.

ộ ậ c. Phép c ng ma tr n

ij + bij)_ c ng t

ộ ươ ứ ừ ậ ị ij) và B = (bij), ta đ nh nghĩa A + B = (a ng ng t ng

ầ ử ủ Cho hai ma tr n A = (a ậ ph n t c a hai ma tr n.

ấ ủ ộ (cid:0) Tính ch t c a phép c ng ma tr n ậ

ộ ế ợ ậ

ấ Phép c ng ma tr n có tính ch t : giao hoán, k t h p, 0 + A = A + 0 = A; A + (A) = 0; (A+B)T = AT + BT; c(A +B) = cA + cB ; (c + d). A = cA + dA.

d. Phép nhân ma tr nậ

m(cid:0) n và (B)n(cid:0) p, kí hi u AB = (C)

m(cid:0) p là tích c a A và B, là ma tr n đ

ệ ậ ượ ị ủ ậ c đ nh

Cho hai ma tr n (A) nghĩa b i:ở

(ab)ij = (a)i1.(b)1j + (a)i2.(b)2j + . . . + (a)in.(b)nj.

Ví d ụ

; thì

ấ ậ Chú ý : Phép nhân ma tr n không có tính ch t giao hoán.

(cid:0) ấ ủ ậ Tính ch t c a phép nhân ma tr n

 T/C1 : (AB).C = A(BC)

 T/C2 : A.0 = 0.A = 0

 T/C 3 : A(B (cid:0) C) = AB (cid:0) AC ; (A (cid:0) B).C = AC (cid:0) BC

 T/C 4 : (AB)T = BT.AT.

 T/C 5 : c(AB) = (cA).B = A(cB).

Th.S Thân Văn Đính Page 2

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ộ ố ặ ệ 3. ậ M t s ma tr n vuông đ c bi t

ườ t c các ph n t ng chéo a. Ma tr n đ

ậ : Là ma tr n vuông có t ậ ườ ậ ườ ằ ấ ả ấ ề ệ ng chéo chính đ u b ng 0. Kí hi u ma tr n đ ầ ử ng chéo c p n là: diag(a bên ngoài đ 1, a2, . . ., an).

ậ ậ ớ ọ ọ : Ma tr n vuông A g i là ma tr n tam giác n u a ặ ế ij = 0 v i m i i > j ho c ậ b. Ma tr n tam giác

ứ i < j, t c là :

ho c ặ

T = A ( t c aứ ij = aji).

ậ ố ứ ố ứ ế ậ c. Ma tr n đ i x ng : Ma tr n A là đ i x ng n u A

ậ Nh n xét

ậ ườ ủ ệ ổ ậ ườ T ng, hi u, tích c a hai ma tr n đ ộ ng chéo là m t ma tr n đ ng chéo.

1, a2, . . ., an) thì Ak = diag(a1

k, a2

k, . . ., an

k).

ế N u A = diag(a

4. ế ổ ơ ấ Các phép bi n đ i s c p trên dòng

i là dòng th i c a A. Ta có các phép bi n đ i s c p

ậ ấ ổ ơ ấ ứ ủ ế (cid:0) n, kí hi u dệ

Cho A là ma tr n c p m sau:

i (cid:0)

ổ ỗ Đ i ch hai dòng cho nhau : d dj

i (cid:0)

ộ ố ộ ớ Nhân m t dòng nào đó v i m t s : d c.di

ộ ố ớ ở ổ ủ ủ ộ ớ Thay m t dòng nào đó b i t ng c a dòng đó v i tích c a m t s v i dòng khác :

di (cid:0) di + c.dj.

ủ ạ ậ 5. H ng c a ma tr n

ậ ậ ậ ượ ọ ế ậ ậ ạ (cid:0) Ma tr n b c thang : Ma tr n A đ c g i là ma tr n b c thang n u A có d ng

A là ma tr n b c thang c a ma tr n A. H ng c a A là s dòng khác 0 c a R

ủ ủ ủ ậ ạ ậ ậ ố (cid:0) Kí hi u Rệ

ủ ệ ạ ậ Kí hi u h ng c a ma tr n A là : rank(A) hay r(A).

Ví dụ

(cid:0) r(A) = 2.

ậ ả ị 6. Ma tr n kh ngh ch

ậ ấ Cho A là ma tr n vuông c p n. Ta nói :

Th.S Thân Văn Đính Page 3

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ế ồ ạ ả ậ ấ ị A là kh ng ch trái n u t n t i ma tr n B c p n sao cho B.A = I

ả ế ồ ạ ả ậ ấ ị A là kh ngh ch ph i n u t n t i ma tr n B c p n sao cho A.B = I

n. ( B đ

ậ ượ ọ ậ i ma tr n B sao cho AB = BA = I c g i là ma tr n

ế ồ ạ ị A là khà ngh ch n u t n t ệ ả ủ ị ngh ch đ o c a A). Kí hi u : A

ệ (cid:0) M nh đ . ề

ấ ậ Cho A, B là các ma tr n vuông c p n. Khi đó

ế ằ ả ộ ị N u A có 1 dòng (hay 1 c t) b ng 0 thì A không kh ngh ch.

1, AT, cA (c ≠ 0) cũng kh ngh ch và (A

1)1 = A; (AT)1 = (A1)T;

ế ị ả ị ả N u A kh ngh ch thì A

(cA)1 = .

1 = B1.A1.

ế ả ả ị ị N u A, B kh ngh ch thì tích AB cũng kh ngh ch và (AB)

(cid:0) Đ nh lí ị

ữ ấ

ế ứ ự ả ế ế ổ ị Cho A là ma tr n vuông c p n và A kh ngh ch. Khi đó, nh ng phép bi n đ i s c p nào bi n A thành I ậ n thì cũng chính phép bi n đ i đó bi n I ế n thành A1 theo th t ổ ơ ấ đó.

ậ ằ ị  Cách tìm ma tr n ngh ch đ o c a A b ng phép bi n đ i s c p ế ổ ơ ấ ả ủ

ế ả ậ ạ ậ B1 : Vi t ma tr n I bên ph i ma tr n A d ng A|I

ậ ả ượ c

ế B2 : Dùng các phép bi n đ i s c p, bi n A thành I. Khi đó ma tr n bên ph i thu đ ậ ổ ơ ấ ả ủ ậ ế ị chính là ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A.

Ví dụ

ả ủ ậ ậ ị Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n

ả ủ ậ ị Khi đó ma tr n ngh ch đ o c a A là

Ị Ế II. PHÉP TH ( HOÁN V )

1. Đ nh nghĩa ị

(cid:0) ộ ậ ợ ộ ượ ọ Cho m t t p h p S = { 1;2;3; . . .; n}. M t song ánh T : S S đ ế ộ c g i là m t phép th .

Th.S Thân Văn Đính Page 4

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ế ặ N u đ t T(i) = j ế i thì phép th T có th vi ể ế ướ ạ t d i d ng.

1, j2, . . . , jn)

ắ ọ hay ng n g n là T = (j

(cid:0) ợ ấ ả ế ệ ậ T p h p t t c các phép th trên S = {1,2,. . ., n} kí hi u là : S n

Ví d 1ụ .

ộ ế ượ ọ ể ỗ ộ

ij.

c g i là m t phép chuy n v n u có hai thành ph n đ i ch cho nhau ị ổ ị ế ể ầ ệ ữ (cid:0) M t phép th T đ ầ ử ữ còn nh ng ph n t ổ nguyên. Phép chuy n v đ i i cho j kí hi u là T khác gi

Ví d 2ụ .

1 c c a T, kí hi u : T

ả ủ ế ị ạ ượ ủ ệ (cid:0) Ngh ch đ o c a phép th T là ánh x ng

(cid:0) ế ồ ạ ồ ệ ấ ấ Phép th đ ng nh t là ánh x đ ng nh t , kí hi u là I. Ta có I(x) = x.

(cid:0) ậ Nh n xét : , do đó Tij = Tji ; Tij (cid:0) Tji = I hay Tij = (Tji)1.

Ví d 3ụ . thì

Do đó :

2. Chu trình

1, i2, . . ., ir} (cid:0)

ậ Cho t p { i {1,2,3, . . ., n}.

1) = i2, P(i2) = i3, . . ., P(ir) = i1 thì ta nói P là m t chu trình đ dài r.

ế ỏ ộ ộ Phép th P th a P(i

1 i2 . . .ir).

ệ Kí hi u : P = (i

Ví d ụ

ụ ể ụ ế Các phép th trong ví d 3 là các chu trình, c th :

P = ( 123), Q = (13), PQ = (23), QP = (12)

ễ ượ ể ọ ế ề : M i phép th đ u bi u di n đ c thành tích các chu trình  Đ nh lí ị

ả : H quệ

1i2. . .ir) = (i1ir)…(i1i2).

ế ề ượ ọ ễ ể ể ị M i phép th đ u đ c bi u di n thành tích các chuy n v và (i

Th.S Thân Văn Đính Page 5

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

Ví d ụ

i và jk t o thành m t ngh ch th n u i < k thì j

i > jk .

(cid:0) ế ằ ế ế ạ ộ ị Cho phép th , ta nói r ng j

N(T) : g i là d u c a phép th T. ấ ủ

(cid:0) ế ủ ặ ọ ố ị ế ọ G i N(T) là s các ngh ch th c a T. Đ t s(T) = (1)

r1.

 ế ộ N u T là m t r – chu trình thì ta có : s(T) = (1)

Ứ Ị III. Đ NH TH C

1. ị Đ nh nghĩa

ấ ậ Cho A là ma tr n vuông c p n

i = T(i), T (cid:0)

ọ ị ứ ố Ta g i đ nh th c A là s : detA = . Trong đó, j Sn .

ệ Kí hi u : |A| = detA.

2 = {e, (1 2) }

(cid:0) ườ ợ Tr ng h p n = 2, S

3 = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

(cid:0) ườ ợ Tr ng h p n = 3, S

Quy t cắ :

Th.S Thân Văn Đính Page 6

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ớ ặ ằ ư nh sau : Vi

ườ ằ ổ ừ ế ộ t c t 1 và 2 vào bên ph i c t ổ ườ ng chéo chính tr đi t ng các tích trên đ ả ộ ng chéo

ứ Ho c nh cách tính detA b ng công th c Sarrus 3. Khi đó, detA b ng t ng các tích trên đ ph .ụ

Ví dụ

Tính

Ta có detA = .

ấ ơ ả ủ ị 2. ứ Các tính ch t c b n c a đ nh th c

Tính ch t 1ấ : det(AT) = detA

ế ấ ậ ộ Tính ch t 2ấ : N u ma tr n A có ít nh t m t dòng là dòng 0 thì detA = 0

ứ ổ ấ ế ặ ổ ỗ ộ ị Tính ch t 3ấ : N u đ i ch 2 dòng (ho c 2 c t) thì đ nh th c đ i d u.

ủ ế ậ ộ ầ ử ươ ứ t ng ng t ỷ ệ l thì detA =

Tính ch t 4ấ : N u hai dòng (ho c 2 c t) c a ma tr n có các ph n t ặ 0.

ộ ố ế ặ ầ ộ ớ ộ Tính ch t 5ấ : N u nhân m t dòng ( ho c 1 c t) v i m t s k thì detA tăng lên k l n.

Tính ch t 6ấ : N u aế ij = bj + cj , (j = 1,2, . . ., n) thì detA = det B + detC

j, cj t

ậ ớ ượ ằ ở ị ươ ứ V i B, C là ma tr n có đ c b ng cách thay dòng i b i các giá tr b ng ng.

ộ ộ ủ ế ậ ổ ợ ủ ế ộ ữ h p tuy n tính c a nh ng c t khác thì detA = 0. Tính ch t 7ấ . N u m t c t c a ma tr n A là t

ộ ổ ợ ộ ứ ủ ế ộ ị h p tuy n tính c a các c t khác thì đ nh th c Tính ch t 8ấ . N u c ng thêm vào c t nào đó m t t

ế ộ không đ i.ổ

ể ị 3. ứ Khai tri n đ nh th c

ệ ậ ấ ượ ằ ộ c b ng cách xóa đi dòng i và c t

ậ ậ ủ Cho ma tr n vuông A c p n. Kí hi u A(i|j) là ma tr n có đ j c a ma tr n A.

Th.S Thân Văn Đính Page 7

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

Ví dụ

thì ta có A(2|3) =

ik = 0 , (cid:0) k ≠ j thì

ế ồ ạ ậ ấ i i, j sao cho a B đổ ề : Cho A = (aij) là ma tr n c p n. N u t n t

detA = (1)i + j .aij. detA(i|j).

Ví dụ

ầ (cid:0) Ph n bù đ i s ạ ố

ij) c p n. V i m i i, j, ph n t

ấ ỗ ớ ượ ọ ầ ử ij = (1)i+jdetA(i|j) đ c c g i là

ầ ậ ĐN : Cho ma tr n vuông A = (a ạ ố ủ ij. ph n bù đ i s c a a

 ị Đ nh lí

ij là ph n bù đ i s c a a

ầ ậ Cho ma tr n vuông A = (a ấ ij) c p n, c ạ ố ủ ij. Khi đó

(1) detA = ap1.cp1 + ap2.cp2 + . . . + apn.cpn =

= a1q.c1q + a2q.c2q + . . . + anq.cnq = (2)

ứ ứ ể ị công th c khai tri n đ nh th c theo dòng p ứ ; công th c (2) đ ượ ọ c g i

ứ ứ ị ượ ọ ứ c g i là Công th c (1) đ ộ . ể là công th c khai tri n đ nh th c theo c t q

Ví dụ

Cho

11.c11 + a12.c12 + a13.c13

ể Khai tri n detA theo dòng 1 ta có: detA = a

Trong đó : . Do đó : detA = 13

ậ Nh n xét

ứ ằ ặ ộ ầ ử ề ọ ị

ể Khi tính đ nh th c b ng cách khai tri n, ta ch n dòng ( ho c c t) có nhi u ph n t 0.

4. ị Đ nh lí Laplace

ạ ố ủ ộ ầ ị (cid:0) Đ nh nghĩa ph n bù đ i s c a m t ma tr n ậ

Th.S Thân Văn Đính Page 8

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ọ

1, i2, . . ., ik ( 1 ≤ i1 < i2 < …ik ≤ n) và các c b ng cách

1,. . .,ik|j1, . ..,jk) là ma tr n có đ

ệ ượ ằ ậ

ậ ấ Cho A = (aij) là ma tr n c p n. Ch n trong A các dòng i c t jộ 1, j2, . . ., jk (1 ≤ j1 < j2 < …jk ≤ n). Kí hi u A(i ộ xóa đi các dòng và các c t trên. Khi đó

ượ ọ ấ ị ủ ộ ở đ c g i là m t ứ ộ đ nh th c con c p k c a A sinh b i các dòng và các c t nêu trên.

ượ ọ ủ ầ đ c g i là ph n bù đ i s ạ ố c a M trong A.

(cid:0) Đ nh lí Laplace ị

1, i2, . . ., ik . Khi đó

ậ ấ ọ Cho A = (aij) là ma tr n vuông c p n. Ch n trong A các dòng i

1, i2, . . ., ik và các c t jộ 1, . . ., jk ; M’

ứ ủ ở

ị ạ ố ủ ầ ấ trong đó M là đ nh th c con c p k c a A sinh b i các dòng i là ph n bù đ i s c a M.

Ví dụ . Tính

ậ ề ố ể ấ ọ

Nh n th y dòng 1 và dòng 4 có nhi u s 0 nên ta ch n khai tri n d theo dòng 1 và dòng 4.

= = (1)(5).5 = 25

ứ ạ ặ ị ệ 5. Vài đ nh th c có d ng đ c bi t

ị . Theo đ nh lí Laplace ta có D ng 1ạ

ậ . Ma tr n tam giác. D ng 2ạ

11.a22…ann

ặ ho c . Khi đó ta có : detA = a

Th.S Thân Văn Đính Page 9

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ứ ấ ị . Tính đ nh th c c p n D ng 3ạ

ể ầ ượ c Ví dụ. Tính . Khai tri n theo dòng đ u ta đ

ị ứ ứ ứ ầ ị ượ ị ứ ấ c đ nh th c c p n –

ể ứ ấ ấ Đ nh th c th nh t c p n1, khai tri n đ nh th c th hai theo dòng đ u ta đ 2. Do đó ta có : An = 2An1 – An2.

n = 2n – (n1) = n + 1.

ằ ạ ượ Vì D1 = 2, D2 = 3 nên b ng quy n p ta đ c : A

ứ ậ ả ị ị 6. Đ nh th c và ma tr n kh ngh ch

ij)n. Khi đó ta có:

ậ ặ Cho ma tr n vuông A = (a ầ ij)n. G i cọ ij là ph n bù đ i s c a a ạ ố ủ ij và đ t C = (c

1 = |A|1.CT.

ế ả ị A.CT = CT.A = |A|.In . Do đó, n u A kh ngh ch thì : A

T đ

ượ ọ ụ ợ ủ ệ ậ Ma tr n Cậ c g i là ma tr n ph h p c a A, kí hi u : P

1 = |A|1.PA

V y : Aậ

ả ủ ậ ậ ị Ví d .ụ Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n

ả ị Ta có : |A| = 2 ≠ 0 nên A kh ngh ch.

c11 = 6, c12 = 5, c13 = 1 ; c21 = 6, c22 = 8, c23 = 2 ; c31 = 2, c32 = 2, c33 = 1

ụ ợ ủ ậ Suy ra ma tr n ph h p c a A là :

Do đó :

Ệ ƯƠ IV. H PH NG TRÌNH CRAME

ộ ệ ồ ươ ẩ Cho m t h g m n ph ế ng trình tuy n tính n n

(*)

ặ Đ t và

j là ma tr n có đ

ọ ỗ ớ ậ ộ ủ ằ ằ V i m i , ta g i A ượ ừ c t ộ A b ng cách thay c t j b ng c t c a B.

ệ ượ ọ ệ ươ ế H (*) đ c g i là h ph ng trình Crame n u |A| ≠ 0.

Ví d ụ

thì

ị Đ nh lí

ệ ươ Xét h ph ế ng trình tuy n tính (*)

Th.S Thân Văn Đính Page 10

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

1, x2, . . ., xn) v i ớ

ế ệ ấ N u |A| ≠ 0 thì (*) có duy nh t nghi m X = (x (i)

ế ệ ệ N u |A| = 0 và t n t ồ ạ (cid:0) {1,2,. . .,n} sao cho |Aj| = 0 thì h (*) vô nghi m. i j (ii)

ế ệ ệ (iii) N u |A| = 0 và |A ớ j| = 0 v i m i j ọ (cid:0) {1,2,. . .,n} thì h có nghi m không duy nh t. ấ

ả ệ ươ i h ph ng trình : Ví d 1ụ . Gi

ả ệ ươ ệ ậ i và bi n lu n h ph ng trình : Ví d 2ụ . Gi

Ậ Ơ Ả Ạ ƯƠ V. CÁC D NG BÀI T P C B N CH NG 1

ộ ố ớ ự ừ ậ ậ ộ ộ 1. Th c hi n các phép toán ma tr n : c ng, tr hai ma tr n; nhân m t s v i m t ma tr n; nhân

ệ ậ ậ ậ ậ ể ị hai ma tr n; l p ma tr n chuy n v .

ạ ộ ậ ủ 2. Tìm h ng c a m t ma tr n

ổ ơ ấ ả ủ ứ ế ậ ằ ằ ậ ị ị 3. Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A b ng các phép bi n đ i s c p và v ng đ nh th c.

ứ ị 4. Tính đ nh th c

ắ  Dùng quy t c Sarrus

ể ặ ị  Dùng khai tri n đ nh th c theo dòng ho c theo c t. ộ ứ

5. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình Crame

Th.S Thân Văn Đính Page 11

ả

ế

ng 2. Ch

ạ ố Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính ươ KHÔNG GIAN VECTƠ

Ơ Ả Ệ I. CÁC KHÁI NI M C B N

ị 1. Đ nh nghĩa không gian vect ơ

ệ ườ ố ự ặ ườ Kí hi u: K là tr ng s th c R ho c tr ố ứ ng s ph c C.

(cid:0) ọ ơ ế ỗ ặ ầ ử ớ Ta g i X là không gian vect trên K, n u m i c p ph n t x,y

(cid:0) ệ ấ ng ng v i ặ ươ ầ ử duy nh t, kí hi u là x + y ượ ặ ươ ứ (cid:0) X đ . M i ỗ (cid:0)

ầ ử ệ ấ X đ t t ề ng v i ph n t duy nh t, kí hi u là c đ t t K, x (cid:0) ủ ổ t ng c a x và y ng tích c a ủ (cid:0) và x, th a mãn các đi u ki n ệ ỏ ọ X, g i là ọ X, g i là (cid:0) x (cid:0)

ph n t ứ ớ sau:

(cid:0) ớ V i x, y, z X; (cid:0) , (cid:0) (cid:0) K thì

(1). x + y = y + x

(2). (x + y) + z = x + (y + z)

(cid:0) ồ ạ ầ ử ọ (3). T n t i 0 X sao cho: x + 0 = x ( 0 g i là ph n t 0)

(cid:0) ồ ạ ầ ử ố ủ ọ (4). T n t i (x) X sao cho : x + (x) = 0 ( x g i là ph n t đ i c a x)

(5). ((cid:0) + (cid:0) )x = (cid:0) x + (cid:0) x

(6). (cid:0) .(x + y) = (cid:0) x + (cid:0) y

(7). ((cid:0) (cid:0) )x = (cid:0) ((cid:0) x)

(8). 1.x = x

ầ ử ủ ơ ượ ọ ộ ơ ỗ M i ph n t c a không gian vect c g i là m t vect đ .

ế ừ ọ Ta vi t : x + (y) = x – y ( đ c : “ x tr y”)

ộ ọ ơ ọ ớ ướ Phép toán : x + y g i là phép c ng vect ; phép toán (cid:0) x g i là phép nhân v i vô h ng.

ơ ọ ơ ự ọ ơ ứ Không gian vet trên R g i là không gian vect th c; trên C g i là không gian vect ph c.

2. ộ ố M t s ví d ụ

Ví d 1.ụ

1, . . ., xn), y = (y1, . . ., yn), (cid:0)

ọ ớ Kn = {(x1, x2, . . ., xn): x1, x2, . . ., xn (cid:0) K}, v i m i x = (x (cid:0) K

ị Ta đ nh nghĩa

Th.S Thân Văn Đính Page 12

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; . . .; xn + yn)

(cid:0) x = ((cid:0) x1; (cid:0) x2; . . .,(cid:0) xn)

ớ ộ ơ ọ Kn cùng v i các phép toán trên là m t không gian vect , g i là không gian vect ơ n. K

Ví d 2.ụ

ộ ơ ớ ộ ộ ố v i phép c ng và phép nhân m t s

ứ ệ ố ườ ứ ộ ậ T p K[x] các đa th c h s trong K là m t không gian vect ớ ng. v i m t đa th c thông th

Ví d 3ụ .

n[x] các đa th c b c

ơ ớ T p Kậ ứ ậ ≤ n là không gian vect v i phép toán trên K[x].

Ví d 4.ụ

ậ ặ ẳ ộ ơ ớ ế ợ a. T p h p các vect ố ự v i 1 s th c đã bi t

ớ do trong m t ph ng v i phép c ng và nhân vect ơ ộ ơ ự t là m t không gian vect trên R.

ậ ộ ơ ớ ế ợ b. T p h p các vect ố ự v i 1 s th c đã bi t

ớ do trong không gian v i phép c ng và nhân vect ơ ộ ơ ự t là m t không gian vect trên R.

ấ ơ 3. ả ủ Tính ch t đ n gi n c a không gian vect ơ

ầ ử ấ 0 là duy nh t T/c 1 : Ph n t

(cid:0) ớ ọ X; (cid:0) ọ (cid:0) ớ .0 = 0 v i m i (cid:0) K. T/c 2 : 0x = 0 v i m i x

ấ T/c 3 : x là duy nh t và –x = (1).x

ừ ấ T các tính ch t trên ta có

ỉ ế ế x = y n u và ch n u x – y = 0.

ỉ ế ế x + z = y + z n u và ch n u x = y.

(cid:0) ặ = 0 ho c x = 0 T/c 4 : (cid:0) x = 0 (cid:0)

T/c 5 :

(cid:0) X, (cid:0) (cid:0) K, ((cid:0) x) = ((cid:0) )x = (cid:0) (x). T/c 6 : (cid:0) x (cid:0)

Ơ II. KHÔNG GIAN VECT CON

1. ị Đ nh nghĩa

Th.S Thân Văn Đính Page 13

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ộ ượ ọ c g i là

ơ ậ ộ ủ ớ con c a X n u M là m t không gian vect ủ ỗ và M là t p con khác r ng c a X. Khi đó, M đ ộ ơ ứ ng v i phép c ng và phép nhân

ướ ủ ạ ơ ế ế Cho X là m t không gian vect không gian vect vô h ng c a X khi ta h n ch chúng trên M.

2. ị Đ nh lí

ị Đ nh lí 1

ơ ộ ơ ủ ỉ ậ ỗ X là m t không gian vect con c a X khi và ch khi

ề ủ T p M khác r ng c a không gian vect ỏ ệ hai đi u ki n sau th a.

(i) (cid:0) x, y (cid:0) M thì x + y (cid:0) M

(cid:0) (cid:0) (ii) (cid:0) K, (cid:0) x (cid:0) M thì (cid:0) x (cid:0) M

ứ Ch ng minh

ề ể  Chi u thu n : hi n nhiên ậ

ề ả ả ử ậ ấ s t p con M có hai tíính ch t (i), (ii) thì M có các tính ch t c a đ nh

(cid:0) ơ ể ơ ậ ậ  Chi u đ o : Gi nghĩa không gian vect , ngo i tr vi c ki m tra trong M có vect 0. Th t v y, do M ấ ủ ị ≠ (cid:0)

(cid:0) (cid:0) ồ ạ ể ọ nên t n t i x ạ ừ ệ M. Theo (ii), 0 = 0.x (cid:0) M. Hi n nhiên x + 0 = x, m i x M.(đpcm)

ậ Nh n xét

ủ ơ ơ ỉ ế ệ ề ế ỏ X là không gian vect con n u và ch n u th a hai đi u ki n

ậ T p con M c a không gian vect sau:

Đ/k 1 : 0 (cid:0) M

(cid:0) ớ ọ Đ/k 2 : (cid:0) x + y (cid:0) M v i m i x, y M, (cid:0) (cid:0) K.

ơ {0} (cid:0) X là không gian vect ủ con c a X Ví d 1ụ . 0 (cid:0)

ơ ủ con c a R Ví d 2ụ . V = { (x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} là không gian vect

1, 0), y = (y1, 0) (cid:0)

ọ R} thì m i x = (x M, (cid:0) (cid:0) R, ta có: Ví d 3ụ . Cho X = R2 và M = { x = (x1, 0): x1 (cid:0)

0 = (0,0) (cid:0) M

(cid:0) x + y = ((cid:0) x1 + y1, 0 + 0) = ((cid:0) x1 + y1, 0) (cid:0) M

ậ ộ ơ V y M là m t không gian vect ủ con c a X.

ệ ươ ấ ớ ệ ố ư ế ầ ng trình tuy n tính thu n nh t v i h s trên K nh sau: Ví d 4ụ . Xét h ph

(1)

Th.S Thân Văn Đính Page 14

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

1, x2, . . ., xn) và Y = (y1, y2, . . ., yn) là hai nghi m c a h (1) thì ta có :

ả ử ủ ệ ệ Gi s X = ( x

ệ ủ ệ X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, . . ., xn + yn) và kX = (kx1, kx2, . . ., kxn) cũng là các nghi m c a h .

ủ ệ ạ ậ ợ ơ Do đó, t p h p các nghi m c a h (1) t o thành m t không gian vect

ủ con c a không gian ủ ệ ệ ệ ệ ơ ộ n. Ký hi u không gian này là S và g i là không gian nghi m c a h (1). ọ ề n chi u K vect

ị Đ nh lí 2

ộ ọ ủ ủ ủ ộ Giao c a m t h tùy ý các không gian con c a X là m t không gian con c a X.

ứ Ch ng minh

i }i(cid:0)

I là h các không gian con c a X.

ả ử ủ ọ Gi s , trong đó {M

(cid:0) ớ Khi đó, v i x,y M và (cid:0) (cid:0) K thì x, y (cid:0) Mi, i(cid:0) I nên x + y (cid:0) Mi và (cid:0) x (cid:0) Mi, (cid:0) i(cid:0) I.

Do đó, x + y (cid:0) M và (cid:0) x (cid:0) M. Suy ra đpcm.

ở ộ ậ 3. . Không gian con sinh b i m t t p

ị ổ ợ ế (cid:0) Đ nh nghĩa t h p tuy n tính

1, v2, . . ., vk (cid:0)

ộ ậ ủ ơ Cho S là m t t p con tùy ý c a không gian vect X.Cho v S, (cid:0) 1, (cid:0) 2, ..., (cid:0) k(cid:0) K.

ộ ổ ợ ủ ế ế ộ ổ ạ M t t h p tuy n tuy n tính c a các vect ơ 1, v2, . . ., vk (cid:0) v S là m t t ng có d ng :

x = (cid:0) 1v1 + (cid:0) 2v2 + . . . + (cid:0) kvk (1)

1, v2, . . ., vk.

ơ ế ướ ạ ượ ọ ể ế ượ Vect x vi i d ng (1) đ t d ễ c g i là bi u di n tuy n tính đ c qua v

ậ ấ ả ổ ợ ế ệ T p t t c các t ủ h p tuy n tính c a S kí hi u là < S >

< S > = { (cid:0) 1v1 + (cid:0) 2v2 + . . . + (cid:0) kvk | v1, v2, . . ., vk (cid:0) S, (cid:0) 1, (cid:0) 2, ..., (cid:0) k(cid:0) K}

(cid:0) ướ Quy c : < > = {0} (cid:0) 0.

(cid:0) B đ ổ ề

ọ ậ ủ ớ ơ ứ ấ ỏ V i m i t p con S c a không gian vect X, < S > là không gian con nh nh t ch a S.

ượ ọ ủ ơ ế ậ : T p S đ c g i là m t c a không gian vect X n u < S > = X ệ ĐN h sinh ệ ộ h sinh

ậ Nh n xét

Th.S Thân Văn Đính Page 15

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0) ỉ ế ủ ọ ộ ổ ợ ủ ế ề X đ u là m t t h p tuy n tính c a các

ế S là h sinh c a X n u và ch n u m i x ơ vect ệ ộ thu c S.

ế ổ ợ h p tuy n tính c a các vect ơ 1, v2, . . ., vk thì x cũng là t ế h p tuy n tính

v ể ế N u x là t ủ c a các vect ổ ợ ủ ơ 1, v2, . . ., vk, vk+1 . ( vì ta có th coi x = v (cid:0) 1v1 + (cid:0) 2v2 + . . . + (cid:0) kvk + 0.vk+1. )

Ví dụ

1, e2, . . ., en} là h sinh

ở ị ậ ệ a. Trong Kn, đ t eặ i = (0,0,. . ., 1, 0, . . .,0), 1 ứ v trí th i. T p { e

c a Kủ

b. Trong K3 , cho v = (1,0,1), u = (1,1,0) Khi đó

(cid:0) = { (a, 0, a)| a (cid:0) K} và

(cid:0) < v, u > = { av + bu| a, b (cid:0) K} = {(a + b, b, a) | a, b (cid:0) K}

ệ ơ c. {xn, n (cid:0) ủ N*} là h sinh c a không gian vect K[x].

ự ụ ộ ậ ộ ế ế S ph thu c tuy n tính và đ c l p tuy n tính. 4.

a. ị Đ nh nghĩa

ọ ơ ườ ượ ọ ụ ộ V trên tr c g i là ph thu c

(cid:0) H các vect ế ồ ng K đ ờ ằ tuy n tính n u t n t ủ ơ 1, v2, . . ., vk c a không gian vect v ố (cid:0) 1, (cid:0) 2, ..., (cid:0) k(cid:0) ế ồ ạ i các s K không đ ng th i b ng 0 sao cho :

(cid:0) 1v1 + (cid:0) 2v2 + . . . + (cid:0) kvk = 0

ơ ụ ế ượ ọ ọ ộ ậ ế (cid:0) H vect ọ ộ không ph thu c tuy n tính đ c g i là h đ c l p tuy n tính.

b. Tính ch tấ

ế ồ ạ ụ ế ộ ộ ệ ố ơ 1, v2, . . ., vk là ph thu c tuy n tính thì t n t v i m t h s khác 0,

ế ọ ụ ế ấ ộ ộ

1, v2, . . ., vk là ph thu c tuy n tính thì có ít nh t m t còn l

ổ ợ ủ ạ Tính ch t 1ấ . N u các vect gi vect ả ử (cid:0) k. Khi đó : . Do đó, n u h : v s là ơ ế ơ h p tuy n tính c a các vect là t i.

Tính ch t 2ấ

(cid:0) ệ ơ ủ Cho các h S, T là các không gian vect con c a X và S T. Khi đó

ụ ụ ế ế ộ ộ (i). S ph thu c tuy n tính thì T ph thu c tuy n tính

ộ ậ ộ ậ ế ế (ii). T đ c l p tuy n tính thì S đ c l p tuy n tính

ổ ề ơ ả ề ự ụ ộ ế ấ Tính ch t 3 ( b đ c b n v s ph thu c tuy n tính)

Th.S Thân Văn Đính Page 16

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

1, u2, . . ., um} là m t h vect

ộ ệ ơ ộ ệ ơ ộ ậ Cho S = { v1, v2, . . ., vk} là m t h vect và T = { u đ c l p

(cid:0) ế tuy n tính sao cho T < S >. Khi đó m ≤ k.

ứ Ch ng minh

1 (cid:0)

ả ử ượ ạ ờ ằ ồ s ng i, m > k. Vì u c l < S > nên t n t ồ ạ (cid:0) 1, (cid:0) 2, . . ., (cid:0) k không đ ng th i b ng 0 sao i

Gi cho u1 = (cid:0) 1v1 + (cid:0) 2v2 + . . . + (cid:0) kvk

1 = b1u1 + b2v2 + . . . + bkvk (*)

ượ Gi ả ử (cid:0) 1 ≠ 0 , chia (*) cho (cid:0) 1 ta đ s c : v

ạ Ta l i có

c u

ộ ậ ế ồ ệ ố ượ 2 = c1u1 + c2v2 + . . . + ckvk và các h s ả ử 2 ≠ 0 thì ta có u3 là s c

ủ ế u2 = (cid:0) ’1v1 + (cid:0) ’2v2 + . . . + (cid:0) ’kvk . Thay (*) vào ta đ c1, c2, . . ., ck không đ ng th i b ng 0 ( Vì T là đ c l p tuy n tính). Gi ổ ợ t h p tuy n tính c a các vect ơ 1, u2, v3, . . ., vk. ờ ằ u

1, u2, . . ., um.

ổ ợ ủ ế ượ k+1 là t c ta đ c u h p tuy n tính c a u

ướ ệ ộ ậ ế ụ ề ế ẫ ớ Ti p t c quá trình này sau k + 1 b Đi u này mâu thu n v i T là h đ c l p tu n tính.

ộ ậ ệ ế (cid:0) H con đ c l p tuy n tính t ố ạ . i đ i

(cid:0) ệ ơ ượ ọ S đ c g i là

ộ ậ ệ X. H S’ ổ ế ộ ệ ộ ậ h đ c l p ơ ấ ế ố ạ ủ n u S’ là đ c l p tuy n tính và n u b sung thêm m t vect b t kì ta

Cho S = { v1, v2, . . ., vk} là h trong không gian vect ế tuy n tính t ượ ệ ụ đ ế i đ i c a S ế ộ c h ph thu c tuy n tính.

Ví dụ

ẳ ộ ậ ế

ặ ươ ụ ệ

ấ ế ố ạ ủ ồ ơ ế ặ ươ a. Trong m t ph ng, hai vect ộ ặ ng ho c 3 vect ươ ng là h đ c l p tuy n tính t ơ ơ không cùng ph ng b t kì là đ c l p tuy n tính. Hai vect ơ ấ b t kì là ph thu c tuy n tính. Do đó h S g m hai vecto ệ ộ ậ trong m t i đ i c a không gian vect

cùng ph không cùng ph ph ng.ẳ

ơ ụ ế ộ b. Trong không gian R3, các vect (1,2,1), (1,1,2), (1,4,1) là ph thu c tuy n tính vì

3(1,2,1) – 2(1,1,2) – (1,4,1) = 0.

ộ ậ ế H {eệ 1, e2, . . ., en} trong Kn là đ c l p tuy n tính. Vì gi ả ử (cid:0) 1e1 + (cid:0) 2e2 + . . . + (cid:0) kek = 0 s

Thì (cid:0) 1 = (cid:0) 2 = . . . = (cid:0) n = 0.

(cid:0) ơ ệ ụ ế ộ ộ ệ ứ c. M t h ch a vect 0 là h ph thu c tuy n tính. Vì 0 = .0 v i ớ (cid:0) ≠ 0.

ệ ơ ệ ụ ế ộ d. H có hai vect trùng nhau là h ph thu c tuy n tính.

Th.S Thân Văn Đính Page 17

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

Ơ Ở Ố Ề III. C S VÀ S CHI U

ố ề ị 1. Đ nh nghĩa s chi u

ượ ọ ế ề ơ ộ ậ ế đ c l p tuy n tính và không

ơ ộ ọ ộ ậ X trên K đ ế ứ ơ Không gian vect ồ ạ t n t i m t h đ c l p tuy n tính bào ch a nhi u h n n vect c g i là n chi u n u X có n vect ơ ề .

ậ ố ề ủ ơ ơ ủ ệ ơ ộ ậ ế ố ạ ố X là s vect c a h vect đ c l p tuy n tính t i đ i

V y s chi u c a không gian vect ủ c a X.

ơ ề ữ ạ ố ọ ơ ữ ạ ề Không gian vect có s chi u h u h n thì g i là không gian vect h u h n chi u.

ệ ố ề ủ Kí hi u s chi u c a X là : dim(X).

ị 2. Đ nh nghĩa c s ơ ở

ọ ơ ộ ậ ế ộ ơ ộ ơ ở ủ ề ọ H n vect ủ đ c l p tuy n tính c a m t không gian vect n chi u g i là m t c s c a X.

ủ ậ ơ ơ ở ủ ộ ậ ế ế X là c s c a X n u B đ c l p tuy n

Hay nói cách khác : T p con B c a không gian vect tính và < B > = X.

Ví dụ

(cid:0) ơ ở ủ ỉ ồ ộ ơ a. là c s c a không gian O ch g m m t vect 0.

1, e2, . . ., en}, g i là c s chính t c c a K

ệ ắ ủ ơ ở ọ b. Kn có c s là h { e ơ ở

n[x]. Do đó dim(Kn[x]) = n + 1.

ộ ơ ở ủ c. { 1, x, . . ., xn} là m t c s c a K

(cid:0) ơ ở ủ d. {xn, n (cid:0) N*} là c s c a K[x]. Do đó dim(K[x]) = .

ộ ệ ủ ạ 3. H ng c a m t h vect ơ

ơ ọ ạ ủ ố ơ ộ ậ ế ố ạ ủ ệ S. Ta g i h ng c a S là s vect đ c l p tuy n tính t i đ i c a S. Kí hi u :

ộ ệ Cho m t h vect ậ r(S). V y r(S) = dim(S)

ọ ậ ơ ủ ệ ơ ủ ệ ạ c a h vect ằ S. Khi đó, h ng c a h S b ng

ủ ậ  G i A là ma tr n có các dòng là các vect ạ h ng c a ma tr n A.

Ví dụ

1 = (1;1;2;1), v2=(1;2;3;0), v3=(2;1;0;3), v4=(2;4;5;4)

Trong R4 cho các vect : vơ

1, v2, v3, v4 >.

ộ ơ ở ủ ề ố Tìm s chi u và m t c s c a V =

Gi iả

Th.S Thân Văn Đính Page 18

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ ớ ơ ủ ệ dim(V) = r(V) = r(A), v i A là ma tr n có các dòng là các vect c a h V.

r(A) =

= 3

1, v2, v3}

ộ ơ ở ủ ậ V y dim(V) = 3 và m t c s c a V là {v

ề ơ ở ẹ ị Đ nh lí ( v c s không toàn v n)

ơ ữ ạ ọ ọ ơ ộ ậ ể ổ ế ề ề h u h n chi u, m i h vect đ c l p tuy n tính đ u có th b túc

Trong không gian vect ộ ơ ở thành m t c s .

ọ ộ ủ ộ ơ 4. T a đ c a m t vect ơ ở trong c s .

I là c s c a không gian vect

(cid:0) ơ ở ủ ơ ớ ỗ ồ ạ X. Khi đó v i m i x X, t n t ấ ộ ố i duy nh t b s

i)i(cid:0)

I trong K sao cho :

Cho B = {vi}i(cid:0) ((cid:0)

i)i(cid:0)

I là t a đ c a x trong c s B.

ọ ộ ủ ơ ở ọ ộ (cid:0) Ta g i b (

ệ ề ớ Kí hi u : , v i X là không gian n chi u.

vơ 1 = (1;3;0), v2 = (2;2;1), v3 = (0;1;2). Ví dụ. Trong R3, cho các vect

1, v2, v3} là m t c s c a R

ứ ằ ộ ơ ở ủ a. Ch ng minh r ng B = { v

ọ ộ ủ ơ ơ ở b. Tìm t a đ c a vect v = (1;1;1) trong c s trên.

Gi iả

ơ ề ủ ớ ố ỉ ầ ộ a. Vì B có 3 vect

3) nên ta ch c n ch ng minh h B là đ c ệ ứ ư ơ ủ ừ ị ậ l p tuy n tính. Th t v y, xét đ nh th c c a ma tr n t o thành t c a B nh sau:

( b ng v i s chi u c a R ứ ủ ằ ậ ậ ậ ạ ế 3 vect

ộ ậ ế ệ . Suy ra h B là đ c l p tuy n tính và r(B) = 3.

1, x2, x3) sao cho : v = x1v1 + x2v2 + x3v3 (*)

ầ b. Ta c n tìm x = (x

ừ ệ T (*) ta có h pt : .

ậ ọ ộ ủ ố ớ ơ ở V y t a đ c a v đ i v i c s B là :

Th.S Thân Văn Đính Page 19

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ ổ ơ ở ứ ổ ọ ộ 5. Ma tr n đ i c s . Công th c đ i t a đ

1, u2, . . ., un} và V = { v1, v2, . . ., v}

ơ ơ ở Trong không gian vect X cho các c s : U = { u

ả ử ổ ơ ở ừ ậ ậ ệ Gi ọ s : . Khi đó ma tr n : g i là ma tr n đ i c s t U sang V. Kí hi u là : C ặ U,V ho c C : U

(cid:0) V.

U và [x]V l n l

U,V

U [x] = C

ệ ầ ượ ố ớ ơ ở ọ ộ ủ Kí hi u : [x] t là t a đ c a x đ i v i c s U và V. Khi đó ta có

[x]

3 cho các h vect

ụ ệ ơ Ví d . Trong R

U = {u1, u2, u3} và V = { v1, v2, v3}, trong đó

u1 = (1,1,1); u2 = (1,1,2) ; u3 = (1,2,3)

v1 = (2,1,1) ; v2 = (3,2,5) ; v3 = (1,1,m), m (cid:0) R.

ơ ở ủ ứ ơ ơ ở a. Ch ng minh U là c s c a R ọ ộ ủ , tìm t a đ c a vect u = (a,b,c) trong c s U.

ộ ơ ở ủ ể b. Tìm m đ V là m t c s c a R .

ổ ơ ở ừ ớ ậ c. Tìm ma tr n đ i c s t U sang V v i m = 1.

Gi iả

ệ ộ ậ ậ ậ ỉ ầ ứ ế a. Ta ch c n ch ng minh U là h đ c l p tuy n tính.Th t v y

ộ ơ ở ủ ệ ộ ậ ế Do đó U là h đ c l p tuy n tính nên U là m t c s c a R .

1, x2, x3) trong c s U. Khi đó, u = x ơ ở

1u1 + x2u2 + x3u3

ả ử ọ ộ Gi i s u có t a đ là (x

(cid:0) (a,b,c) = (x1, x1, x1) + (x2, x2, 2x2) + (x3, 2x3, 3x3)

Th.S Thân Văn Đính Page 20

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ả ệ Gi i h ta đ ượ 1 = a + b – c ; x2 = a – 2b + c ; x3 = b – a c x

ọ ộ ủ ệ Do đó, t a đ c a u trong h U là :

ơ ở ủ b. V là c s c a R

c. Khi m = 1 thì V = { v1 = (2,1,1) ; v2 = (3,2,5) ; v3 = (1,1,1)}

ụ ế ả Áp d ng k t qu câu (a) ta có:

ừ ậ [v1]U = (4, 1, 1) ; [v2]U = (0,4,1) ; [v3]U = (1,4,2). T đó, ta có ma tr n đ i c s C ổ ơ ở U,V là

6. ủ ổ T ng c a các không gian con

 ủ ơ ọ X. Ta g i ĐN : Cho M1, M2 là các không gian con c a không gian vect

M1 + M2 = { x1 + x2 | x1 (cid:0) M1, x2 (cid:0) M2 }

1 và M2.

ủ ổ là t ng c a các không gian con M

1 (cid:0)

1 + M2 đ

1 (cid:0)

ượ ọ ệ ổ N u Mế M2 = {0} thì t ng Mổ ự ế c g i là t ng tr c ti p và kí hi u : M M2

 Tính ch tấ

ủ ơ . Cho M1, M2 là các không gian con c a không gian vect X. Khi đó ổ ề B đ 5.1

Th.S Thân Văn Đính Page 21

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ủ M1 + M2 = < M1 (cid:0) M2 > nên ta cũng có M1 + M2 là không gian con c a X.

ủ ơ . Cho M1, M2 là các không gian con c a không gian vect X. Khi đó ổ ề B đ 5.2

(cid:0) ỉ ế ế ọ ấ ộ M = M1 (cid:0) M2 n u và ch n u m i x ề M đ u vi ế ượ t đ c m t cách duy nh t

1 + x2, trong đó x1 (cid:0)

ướ ạ d i d ng : x = x M1, x2 (cid:0) M2.

ị Đ nh lí

1 và M2 là các không gian con h u h n chi u c a X thì (M

1 + M2 ) h u h n

ữ ạ ề ủ ữ ạ N u Mế

1 + M2) = dimM1 + dimM2 – dim(M1 (cid:0)

ề chi u và Dim(M M2).

Ậ Ơ Ả Ạ ƯƠ CÁC D NG BÀI T P C B N CH NG II

ộ ậ ứ ơ ủ ộ ơ 1. Ch ng minh m t t p M là không gian vect con c a m t không gian vect X.

ứ ộ ơ ổ ợ ộ ệ ữ ạ ủ ế ơ ướ 2. Ch ng minh m t vect là t h p tuy n tính c a m t h h u h n vect cho tr c.

ộ ệ ữ ạ ứ ơ ộ ậ ế 3. Ch ng minh m t h (h u h n) vect là đ c l p tuy n tính.

ộ ệ ạ ơ ủ 4. Tính h ng c a m t h vect

ộ ệ ứ ơ ữ ạ ơ ở ủ ộ ơ 5. Ch ng minh m t h vect h u h n là c s c a m t không gian vect .

ộ ơ ố ớ ọ ộ ủ 6. Tìm t a đ c a m t vect ộ ơ ở đ i v i m t c s .

ổ ơ ở ậ 7. Tìm ma tr n đ i c s .

Th.S Thân Văn Đính Page 22

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ươ

Ệ ƯƠ

Ổ

Ế

Ch ng 3.

H PH

NG TRÌNH TUY N TÍNH T NG QUÁT

Ề Ự Ồ Ạ Ệ Ị Ị I. Đ NH NGHĨA VÀ Đ NH LÍ V S T N T I NGHI M

1. Đ nh nghĩa. ị

ộ ệ ươ ộ ệ ồ ế ươ ấ ớ ậ ẩ ng trình tuy n tính trên K là m t h g m m ph ng trình b c nh t v i n n, có

M t h ph d ng:ạ

(*)

i là các n.ẩ

ệ ố ự ọ trong đó, aij (cid:0) ệ ố i (cid:0) K là các h s , b K g i là các h s t do. x

ề ự ồ ạ ị ệ ị 2. Đ nh lí v s t n t i nghi m (Đ nh lí Kronecker – Capelli)

ệ ươ ế ặ Xét h ph ng trình tuy n tính (*), đ t và

ỉ ế ệ ệ ế H (*) có nghi m n u và ch n u: r(A) =

ứ Ch ng minh

1a1 + x2a2 + . . . + xnan = b. Do đó (*) có nghi m ệ

ươ ể ế ạ Ph ng trình (*) có th vi t d ng : x

(cid:0) b (cid:0) < a1, a2, . . ., an > (cid:0) r(a1, a2,. . ., an) = r(a1, a2,. . ., an, b) (cid:0) r(AT) =

(cid:0) r(A) = .

ậ Nh n xét

ế ệ ệ N u r(A) < thì h (*) vô nghi m.

ế ệ ệ ấ N u r(A) = = n thì h (*) có nghi m duy nh t.

ụ ệ ệ ế ộ ố ố N u r(A) = = r < n thì h (*) có vô s nghi m ph thu c (n – r) tham s .

Ả Ệ ƯƠ Ậ Ế II. THU T TOÁN GAUSS GI I H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH

ệ ươ ế ọ Xét h ph ng trình (*) vi t g n : AX = B

Th.S Thân Văn Đính Page 23

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ ộ ệ ố ự ệ ố ậ ẩ ( trong đó : A là ma tr n h s ; B là ma tr n c t h s t do; X là n)

Th.S Thân Văn Đính Page 24

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ Thu t toán Gauss

(cid:0) ở ộ ậ ậ B1 : L p ma tr n m r ng

(cid:0) ổ ơ ấ ề ạ ư ế ậ ậ B2 : Dùng các phép bi n đ i s c p trên dòng, đ a ma tr n v d ng b c thang

i, t

(cid:0) ừ ậ ậ ượ B3 : Tính các n xẩ ma tr n b c thang thu đ c.

ổ ơ ấ ế Chú ý : Trong quá trình bi n đ i s c p trên dòng

ặ ỷ ệ ệ ấ ằ ấ ỏ ộ  N u xu t hi n dòng 0 thì xóa b , n u th y hai dòng b ng nhau ho c t ỏ ế l thì xóa b m t

ế dòng.

ế ấ ạ ộ ệ ệ ế ậ  N u th y m t dòng có d ng [ 0 0 . . . 0 | a], a ≠ 0 thì k t lu n ngay h vô nghi m.

ả ệ ươ i h ph ng trình Ví dụ. Gi

ồ ổ ỗ ớ . Chia dòng 3 cho 13 r i đ i ch dòng 2 v i 3

ượ . Dòng 3 và 4 t ỷ ệ l ỏ nên xóa b dòng 4 ta đ c

ụ ẩ ấ ộ ố . n xẨ 2 có đánh d u (*) không ph i b c thang nên là n ph thu c tham s . ả ậ

ể ế ạ ệ ư Khi đó ta có th vi i h nh sau : t l

Ệ ƯƠ Ấ Ầ Ế III. H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T

1. ị Đ nh nghĩa

1 = b2 = . . . = bm = 0 đ

ộ ệ ố ự ế ượ ọ ệ ươ do: b c g i là h ph ng

ệ ươ ng trình tuy n tính có c t h s t ấ ế ầ H ph trình tuy n tính thu n nh t.

ủ ệ ươ ệ ế ầ 2. Nghi m c a h ph ấ ng trình tuy n tính thu n nh t

 ệ ươ ế ệ ấ ầ ầ ỉ ườ ệ ặ ố H ph ng trình tuy n tính thu n nh t ch có nhi m t m th ng ho c vô s nghi m

ệ ầ ườ ệ ( Nghi m t m th ng là nghi m : ( 0, 0 , . . ., 0)).

ấ ạ ế ầ ộ T p nghi m c a h ph ng trình tuy n tính thu n nh t t o thành m t không gian

ệ ượ ọ ệ ơ  vect ậ và đ ủ ệ ươ c g i là không gian nghi m.

Th.S Thân Văn Đính Page 25

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ủ ệ ươ ề ủ ơ ở ố ệ ế 3. Tìm c s và s chi u c a không gian nghi m c a h ph ng trình tuy n tính

ấ ầ thu n nh t.

A .

ệ ươ ế ấ ệ Xét h ph ầ ng trình tuy n tính thu n nh t : AX = 0 (**) có không gian nghi m là S

ụ ệ ệ ế ộ ố ố N u r(A) = r < n thì h (**) có vô s nghi m ph thu c ( n – r ) tham s .

ủ ệ ươ ạ Khi đó nghi m c a ph ng trình (*) có d ng:

X = ( x1, x2, . . ., xr, tr+1, tr+2, . . ., tn),

ố ọ ụ ệ ẩ ổ ộ trong đó, ti, (i = r + 1, r + 2, . . ., n) là các n ph thu c tham s g i là nghi m t ng quát.

ừ ệ ổ ượ ệ ạ T nghi m t ng quát ta tìm đ ơ ả ủ c các nghi m c b n c a (**) có d ng:

ệ ệ ộ ệ ộ ậ ơ ả ế ạ ộ c sơ ở c a ủ

H nghi m c b n trên đây là m t h đ c l p tu n tính và do đó t o thành m t không gian nghi m Sệ

A) = n – r , r(A) = r.

ậ V y : dim(S

ủ ệ ươ ề ệ ố ấ ầ ng trình thu n nh t sau: ơ ở ủ Ví dụ. Tìm s chi u và c s c a không gian nghi m c a h ph

Gi iả

Xét . Ta có :

3 – 7x4 , 5x4 – 6x3, x3, x4 )

ệ ổ Suy ra : r(A) = 2 . Do đó : dim(SA) = 2. Nghi m t ng quát X = (8x

1 = (8, 6, 1, 0) ; X2 = ( 7, 5, 0, 1) l p thành m t c s c a S

ơ ả ậ ệ Các nghi m c b n : X ộ ơ ở ủ A.

ươ Ch ng 4.

Ạ

Ế

ÁNH X TUY N TÍNH

Ạ Ế Ự Ấ Ị Ị I. Đ NH NGHĨA , TÍNH CH T VÀ S XÁC Đ NH ÁNH X TUY N TÍNH.

1. ị Đ nh nghĩa

ạ ế W là ánh x tuy n tính(AXTT)

ề ệ ỏ Cho V và W là các không gian vecto trên K. Ánh x ạ f : V (cid:0) ế n u th a hai đi u ki n sau: (cid:0) v1, v2, v (cid:0) V, (cid:0) K (cid:0)

(i) f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)

(ii) f((cid:0) v) = (cid:0) f(v).

Th.S Thân Văn Đính Page 26

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ Nh n xét

ệ ề ở ể ượ ề ở Đi u ki n (i) và (ii) trên có th đ ỉ ộ c thay b i ch m t đi u ki n : ệ f((cid:0) v1 + v2) = (cid:0) f(v1) + f(v2).

Ta có : f(v) = f(v)

ạ Ví dụ. Các ánh x sau là các AXTT

a. f : R (cid:0) Rm , f(x) = (x, 0, . . ., 0)

ỗ ớ ượ ọ ứ ế b. V i m i i, g : Rn (cid:0) R , g(x1, x2, . . ., xn) = xi ( g đ c g i là phép chi u th i)

ấ ạ ồ c. Ánh x đ ng nh t

d. h : R2 (cid:0) R2, h(x, y) = (2x + y, x – 2y)

j : R2 (cid:0) R1, j(x,y) = 3x – 2y e.

ủ ạ (cid:0) : K[x] (cid:0) K[x], (cid:0) (P) = P’ ( trong đó P’ là đ o hàm c a P). f.

2. Tính ch tấ

(cid:0) W là AXTT. Khi đó ộ Tính ch t 1ấ ( Tính c ng tính): Cho f : V

(a). f(0) = 0

(b). f(u – v) = f(u) – f(v)

(c).

ơ ế W là đ n ánh n u và ch n u f ỉ ế 1(0) = 0 Tính ch t 2ấ : AXTT f : V (cid:0)

ứ Ch ng minh

1(0) = 0

ế ể ơ (cid:0) N u f đ n ánh thì hi n nhiên f

ớ (cid:0) N u fế 1(0) = 0 thì v i m i x ọ 1, x2 (cid:0) V sao cho f(x1) = f(x2) (cid:0) f(x1 – x2) = 0

(cid:0) x1 – x2 (cid:0) f1(0)

(cid:0) x1 – x2 = 0 (cid:0) x1 = x2.

W là AXTT. Khi đó Tính ch t 3ấ : Cho f : V (cid:0)

ủ ủ ế ộ N u E là m t không gian con c a V thì f(E) là không gian con c a W a.

1(F) là không gian con c a V.

ủ ế ủ N u F là không gian con c a W thì f b.

Th.S Thân Văn Đính Page 27

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

W là AXTT. Khi đó Tính ch t 4ấ : Cho f : V (cid:0)

1, a2, . . ., an} sinh ra V thì f(A) = {f(a1), . . ., f(an)} sinh ra f(V)

ế a. N u A = {a

ộ ậ ộ ậ ế ế ế ơ b. N u A đ c l p tuy n tính và f là đ n ánh thì f(A) cũng đ c l p tuy n tính

i = f1(bi), i = 1, 2, . . .,k thì C = {c1, . . ., ck}

1, . . ., bk} là đ c l p tuy n tính và c ế

ộ ậ ế

ế c. N u B = {b ộ ậ đ c l p tuy n tính.

ự ế ạ ị 3. S xác đ nh ánh x tuy n tính.

ị Đ nh lí

i}i(cid:0)

ộ ườ Cho V và W là hai không gian vecto trên cùng m t tr ng K, E = {v ộ ơ ở ủ I là m t c s c a V và

I là m t h vecto tùy ý c a W.

ộ ệ ủ {wi}i(cid:0)

(cid:0) ạ ỏ ọ ớ ạ Khi đó ánh x f : V W th a , v i m i là ánh x TT.

Ví dụ

3 (cid:0) ơ ở 1 = (1,1,2); e2 = (2,1,5); e3 = (1,1,1)}. Tìm ánh x tuy n tính f : R

ế ạ R3

1) = (1,1,1) ; f(e2) = (1,1,0) ; f(e3) = (1,0,0).

ỏ Trong R3 cho c s {e th a mãn f(e

Gi iả

1, x2, x3) (cid:0)

ấ B1 : L y x = (x R3 tùy ý.

B2 : Tìm (cid:0) 1, (cid:0) 2, (cid:0) 3 theo x1, x2, x3 sao cho : x = (cid:0) 1e1 + (cid:0) 2e2 + (cid:0) 3e3

B3 : f(x) = (cid:0) 1(1,1,1) + (cid:0) 2(1,1,0) + (cid:0) 3(1,0,0)

1 – 3x2 + 2x3; 3x1 – 2x2 + x3; 4x1 – 3x2 + x3), (cid:0)

= (4x1 – 3x2 + x3).(1,1,1) + (x1 + x2)(1,1,0) + (3x1 – x2 + x3)(1, 0, 0)

x = (x1, x2, x3) (cid:0) R3 là AXTT

ậ V y f(x) = (6x ầ c n tìm.

Ấ Ẳ II. Ả NH, NHÂN VÀ Đ NG C U

1. Ả ạ nh và h t nhân.

Cho AXTT f : V (cid:0) W. Khi đó ta g i ọ

Th.S Thân Văn Đính Page 28

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0) Ả ủ ạ ậ nh c a ánh x f là t p

Imf = f(X) = {w = f(v) : v (cid:0) V} (cid:0) W

ủ ạ (cid:0) Nhân c a ánh x f là t p ậ

Kerf = f1(0) = {v (cid:0) V : f(v) = 0} (cid:0) V

ậ Nh n xét

ỉ ế ế ạ (cid:0) Ánh x f là toàn ánh n u và ch n u Imf = W

ỉ ế ạ ơ (cid:0) Ánh x f là đ n ánh n u và ch n u Kerf = {0} ế

Ví dụ

a. Cho f : R2 (cid:0) R3, f(x,y) = (x,y, x + y). Ta có

Kerf = {(x,y) : f(x,y) = 0 } = {(x,y) : x = 0, y = 0, x + y = 0} = {(0,0)}

Imf = { f(x,y) : (x,y) (cid:0) R2 } = {f(x(1,0) + y(0,1)) : (x,y) (cid:0) R2}

= {xf(1,0) + yf(0,1): (x,y) (cid:0) R2} = {x(1,0,1) + y(0,1,1) : (x,y) (cid:0) R2} = <(1,0,1);(0,1,1)>

ở là không gian vecto con sinh b i (1,0,1) và (0,1,1).

b. Cho f : Kn[x] (cid:0) Kn[x], f(P) = P’

Ta có

Kerf = {P (cid:0) Kn[x] : P’ = 0} = {P (cid:0) Kn[x] : P = const} = K

ặ ằ ứ ậ ơ Imf = f(Kn[x]) = Kn1[x] là không gian các đa th c có b c bé h n ho c b ng (n – 1).

ậ Nh n xét

ủ ừ ấ ấ T tính ch t 3 và tính ch t 4 c a AXTT, ta có

(cid:0) ế ủ ủ N u f : V W là AXTT thì Kerf là không gian con c a f và Imf là không gian con c a W

ệ ữ (cid:0) Liên h gi a dim(Imf) và dim(Kerf)

Th.S Thân Văn Đính Page 29

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0) ị ế ộ : Cho f : V (cid:0) W là m t AXTT. Khi đó n u dimV < thì Đ nh lí

dim(Imf) + dim(Kerf) = dimV.

Ví dụ

ị Cho AXTT f : R3 (cid:0) R3 , f(x1, x2, x3) = (x1 – x2, x1 – x3, x2 + x3). Xác đ nh Imf.

Gi iả

3 là e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1). Khi đó

ọ ơ ở ắ ủ Ch n c s chính t c c a R

Imf = < f(e1), f(e2), f(e3) > = < (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) > = < (1,1,0), (1,0,1) >.

ủ ế ạ ạ (cid:0) H ng c a ánh x tuy n tính

ượ ọ ủ ế ệ ạ ạ dim(Imf) đ c g i là h ng c a ánh x tuy n tính f, kí hi u : r(f).

ế ạ 2. Các phép toán trên các ánh x tuy n tính

ườ ậ ấ ả ệ ng K. Kí hi u L(V, W) là t p t t c các ánh

ừ Cho V và W là các không gian vecto trên tr ế ạ x tuy n tính t V vào W.

ị Trên L(V, W) xác đ nh hai phép toán : (f + g)(x) = f(x) + g(x) và ( (cid:0) f)(x) = (cid:0) f(x).

ấ ế Ta th y (f +g) và (cid:0) f là các ánh x tuy n tính. ạ

ớ ộ ọ không gian các

ừ L(V,W) cùng v i hai phép toán trên là m t không gian vecto trên K, g i là AXTT t V vào W .

(cid:0) (cid:0) N u f ế L(V,W) và g (cid:0) L(W,S) thì g(cid:0) f (cid:0) L(V,S)

ấ ẳ 3. Đ ng c u

(cid:0) ộ ượ ọ ộ ẳ ấ W là song ánh thì đ c g i là m t đ ng c u . Khi đó V và : M t AXTT f : V

(cid:0) ệ ẳ a. Đ nh nghĩa ượ ọ c g i là hai không gian đ ng c u ấ . Kí hi u : V W. ị W đ

b. Tính ch tấ

1 : W (cid:0)

(cid:0) ế ấ ẳ ấ ẳ . N u f : V W là đ ng c u thì f V cũng là đ ng c u ổ ề B đ 3.1

ỉ ế ế ấ ẳ . Hai không gian vecto V và W trên tr ng K đ ng c u n u và ch n u chúng có

ự ượ ơ ở ố ườ ầ ử ị Đ nh lí 1 ơ ở c s có cùng l c l ng ( c s có cùng s ph n t ).

ữ ạ ỉ ế ề ế ề ẳ ố ấ ả : Hai không gian h u h n chi u đ ng c u n u và ch n u chúng có cùng s chi u. H quệ

Th.S Thân Văn Đính Page 30

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0) ữ ạ ề . Cho V và W là hai không gian h u h n chi u, f : V W là AXTT. Khi đó ổ ề B đ 3.2

(cid:0) ỉ ế ế f là toàn ánh n u và ch n u r(f) = dimW

(cid:0) ỉ ế ế ơ f là đ n ánh n u và ch n u r(f) = dimV

(cid:0) ị ữ ạ ề . Cho V và W là hai không gian h u h n chi u, f : V W là AXTT. Khi đó Đ nh lí 2

(cid:0) ỉ ế ế ẳ ấ f là đ ng c u n u và ch n u dimV = dimW = n và r(f) = n.

(cid:0) ỉ ế ế ẳ ấ f là đ ng c u n u và ch n u dimV = dim W và Kerf = {0}

Ủ Ậ Ạ Ế III. MA TR N C A ÁNH X TUY N TÍNH

1. Đ nh nghĩa ị

(cid:0) ữ ạ ề Cho V và W là các không gian vecto h u h n chi u, f : V W là AXTT. Gi sả ử

ầ ượ ơ ở ủ t là các c s c a V và W. Khi đó ta có

ể ế ấ ộ E = {v1, v2, . . ., vn} và F = {w1, w2, . . ., wm} l n l th vi t m t cách duy nh t.

f(v1) = a11w1 + a21w2 + . . . + am1wm

f(v2) = a12w1 + a22w2 + . . . + am2wm

……………………………………

f(vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . + amnwm

ậ ọ Ta g i ma tr n

ố ớ ặ ơ ở ậ ủ là ma tr n c a AXTT f đ i v i c p c s (E, F).

ớ ơ ở ắ ươ ứ ng ng, ta có Ví d .ụ Xét các không gian vecto v i c s chính t c t

ể ễ ậ Rm, f(x) = (x, 0, . . . , 0) có ma tr n bi u di n là [f] = (1 0 . . . 0) a. f: R (cid:0)

ể ễ ậ R , f(x1, . . ., xn) = x1 có ma tr n bi u di n là [g] = (1 0 0. . .0) b. g: Rn (cid:0)

ể ễ ậ ậ ơ Rn , Id(x) = x có ma tr n bi u di n là ma tr n đ n v ị c. Id : Rn (cid:0)

ể ễ ậ R2, h(x,y) = (2x + y; 3x – 2y) có ma tr n bi u di n là d. h: R2 (cid:0)

2. Tính ch tấ

Th.S Thân Văn Đính Page 31

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ầ ượ ơ ở ủ . Cho AXTT f : V (cid:0) W, E và F l n l t là các c s c a V và W. Khi đó, (cid:0) x(cid:0) V, ta

ị Đ nh lí 1 có

[f(x)]F = [f ]E,F.[x]E

Th.S Thân Văn Đính Page 32

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

Ví dụ

ớ ơ ở ắ ả ử Trong R3 v i c s chính t c. Gi s và . Khi đó ta có :

1, v2, . . ., vn} và

ị ữ ạ ề Cho V và W là các không gian vecto h u h n chi u, E = {v Đ nh lí 2.

m(cid:0) n , t n t

ầ ượ ơ ở ủ ậ ọ ồ ạ t là các c s c a V, W. Khi đó, m i ma tr n A ấ i duy nh t

F = {w1, . . .,wm} l n l AXTT f : V (cid:0) W có [f ]E,F = A.

ứ Ch ng minh

ả ử ố ớ ơ ở ậ Gi s . Vì f có ma tr n đ i v i c s E, F là A nên

f(v1) = a11w1 + a21w2 + . . . + am1wm

f(v2) = a12w1 + a22w2 + . . . + am2wm

…………………………..

f(vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . + amnwm

ồ ạ ứ ỏ ấ ẳ AXTT f th a các đ ng th c trên là t n t i và duy nh t.

ị ệ ữ ậ ( Liên h gi a phép toán ma tr n và phép toán AXTT) Đ nh lí 3.

ầ ượ ơ ở ủ Cho E, F l n l ạ t là c s c a không gian V, W. Khi đó ánh x

(cid:0) : L(V, W) (cid:0) Mm(cid:0) n(K)

f [f ]E,F

ẳ ấ là m t ộ đ ng c u không gian vecto

ứ Ch ng minh

(cid:0) ướ ế ấ ậ ớ Tr c h t ta nh n th y, v i f, g L(V, W), (cid:0) (cid:0) K thì

[f + g ]E, F = [f ]E,F + [g]E, F

[(cid:0) f ]E,F = (cid:0) [f ]E,F

ộ Do đó, (cid:0) là m t AXTT

j) ≠ g(vj) nên [f ]E, F ≠ [g]E,F

(cid:0) ế ồ ạ N u f, g L(V,W) sao cho f ≠ g thì t n t i j sao cho f(v

ứ ( t c là (cid:0) (f) ≠ (cid:0) (g) ). V y ậ (cid:0) ơ là đ n ánh.

Th.S Thân Văn Đính Page 33

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0) ặ ỗ ở ị M t khác, m i M Mm(cid:0) n(K), xét f (cid:0) L(V,W) xác đ nh b i :.

ồ ạ ạ ư (Ánh x f nh trên là t n t ị i theo đ nh lí 2)

Khi đó, (cid:0) (f) = M, nghĩa là (cid:0) là toàn ánh.

ộ ẳ ấ V y ậ (cid:0) là song ánh và do đó là m t đ ng c u.

ị ầ ượ ơ ở ủ . Cho f (cid:0) L(V,W), g (cid:0) (W, U) và A, B, C l n l t là c s c a V, W, U. Khi đó Đ nh lí 4

[g(cid:0) f]A,C = [g]B,C . [f ]A,B

ậ ổ ơ ở ậ ồ ạ 3. Ma tr n đ i c s . Ma tr n đ ng d ng

a. ệ M nh đ ề

ơ ở ủ ọ

ổ ơ ở ừ ổ ơ ở ừ ậ ậ Cho B, B’ là hai c s c a không gian V và C, C’ là hai c s c a không gian W. G i P là ma tr n đ i c s t ơ ở ủ B sang B’. Q là ma tr n đ i c s t C sang C’. Khi đó

[f ]B’,C’ = Q1.[f ]B,C . P (*)

ị ử b. Đ nh nghĩa toán t ế tuy n tính

ượ ọ ử V vào chính nó đ c g i là m t ộ toán t ế tuy n tính ( hay m t ộ phép

(cid:0) M t AXTT f đi t ừ ổ ộ ế ế bi n đ i tuy n tính ) trên V.

(cid:0) ợ ấ ả ậ ử ế ệ T p h p t t c các toán t tuy n tính trên V kí hi u là L(V).

ậ Nh n xét

ổ ơ ở ừ ậ L(V), P là ma tr n đ i c s t E sang E’ thì ta có: Cho f (cid:0) [f ]E’ = P1.[f ]B .P (**)

ậ ồ ạ c. Ma tr n đ ng d ng

(cid:0) ượ ọ ế ồ ạ ạ ớ ồ c g i là đ ng d ng v i nhau n u t n t ả ậ i ma tr n P kh

ị ậ Hai ma tr n A và B ngh ch sao cho : Mn(K) đ B = P1.A.P.

(cid:0) ệ Kí hi u : A B

ậ Nh n xét

Th.S Thân Văn Đính Page 34

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ ủ ố ớ ơ ở ế ế

ệ ạ ậ ồ ổ ọ Theo (**) thì m i ma tr n c a phép bi n đ i tuy n tính f đ i v i các c s khác nhau là các ma tr n đ ng d ng. Kí hi u

3 (cid:0)

ử ế tuy n tính f : R R3 xác đ nh b i ở ị Ví d . ụ Cho toán t

1, e2, e3},

ậ ủ ơ ở f(x1, x2, x3) = (x1 – x2, x2 – x3, x3 – x1). Tìm ma tr n c a f trong c s E = {e

v i eớ 1 = (1,1,1), e2 = (0,1,1), e3 = (0,0,1).

Gi iả

Cách 1

Ta có : f(e1) = (0, 0, 0) = 0e1 + 0e2 + 0e3

f(e2) = (1, 0, 1) = e1 + e2 + e3

f(e3) = (0, 1, 1) = 0e1 – e2 + 2e3

ậ ủ ơ ở Do đó ma tr n c a f trong c s E là :

Cách 2

ậ ủ ắ ố ớ ơ ở Ma tr n c a f đ i v i c s chính t c là :

ổ ừ ơ ở ơ ở ắ ậ Ma tr n đ i t c s chính t c sang c s E là :

ượ Do đó tính đ c [ ở f ]E b i : .

ị 4. Vecto riêng và giá tr riêng

ư ứ ặ a. Đa th c đ c tr ng

ị ứ ặ ư ủ ấ ậ ứ ọ : Cho A là ma tr n vuông c p n. Ta g i đa th c đ c tr ng c a A là đa th c Đ nh nghĩa 1

ứ ậ fA(x) = det(xIn – A) ( fA(x) là đa th c b c n)

Ví dụ

Cho thì fA(x) =

ứ ặ ư ậ ồ ạ Tính ch tấ : Hai ma tr n đ ng d ng thì có cùng đa th c đ c tr ng

ị ứ ặ ư ủ ử ế ( Đa th c đ c tr ng c a toán t tuy n tính) Đ nh nghĩa 2

ộ ử ữ ạ ứ ặ ư ủ ề ế tuy n tính trên không gian h u h n chi u V. Đa th c đ c tr ng c a T là

Cho T là m t toán t ứ ậ đa th c b c n :

Th.S Thân Văn Đính Page 35

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ộ ơ ở ủ ậ ủ ố ớ ớ fT(x) = det(xIn – A) = fA(x) , v i A là ma tr n c a T đ i v i m t c s c a V.

ủ ộ ị ử ế b. Giá tr riêng và vecto riêng c a m t toán t tuy n tính.

ị ộ ế ử Cho V là không gian vecto trên K, f là m t toán t Đ nh nghĩa.

ủ ượ ọ ủ ộ ử ế ồ ạ khác không c a V đ c g i là m t vecto riêng c a toán t tuy n tính trên V. Vecto v ộ (cid:0) i m t K sao cho f n u t n t (cid:0)

f(v) = (cid:0) v

Khi đó ta nói

(cid:0) (cid:0) ủ ộ ị ử là m t giá tr riêng c a toán t f

(cid:0) (cid:0) ứ ớ ị v là vecto riêng ng v i giá tr riêng

ứ ủ ớ ộ ử ế ị ị . Các vecto riêng ng v i các giá tr riêng khác nhau c a cùng m t toán t tuy n tính

ế Đ nh lí 1 ộ ậ là đ c l p tuy n tính.

ị ữ ạ ề ộ ử ế tuy n tính trên V. Khi

ươ ươ . Cho V là không gian vecto h u h n chi u và f là m t toán t Đ nh lí 2 ề đó các đi u sau t ng đ ng.

ủ ộ (i). (cid:0) ị là m t giá tr riêng c a f.

(cid:0) ử ơ ấ ả ị (ii). Toán t (f .Id) không đ n c u (nên không kh ng ch).

f(x).

ứ ặ ủ ệ (iii). (cid:0) ư (cid:0) là nghi m c a đa th c đ c tr ng

ậ Nh n xét

(cid:0) ủ ứ ớ ị V là vecto riêng c a T ng v i giá tr riêng (cid:0) Tv = (cid:0) v (cid:0) (T (cid:0) I).v = 0.

Ví dụ

3, bi

ị ủ ử ế ế ể ễ tuy n tính T trên R ậ t T có ma tr n bi u di n

Tìm giá tr riêng và vecto riêng c a toán t là:

Gi iả

A(x) = det(xI A) = (x 1).(x 2) (cid:0)

ứ ặ ư ủ ị Đa th c đ c tr ng : f x = 1, x = 2 là hai giá tr riêng c a T

Tìm vecto riêng

ớ ị ứ ớ ị

ọ ủ ệ (cid:0) V i giá tr riêng x = 1 : G i v = (v ươ ằ b ng 1, khi đó v là nghi m c a ph ủ 1, v2, v3) là vecto riêng c a T ng v i giá tr riêng ng trình :

ơ ả ệ (T – 1.I)v = 0 có nghi m c b n là : (t, 0, 2t)

Th.S Thân Văn Đính Page 36

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ứ ủ ằ ậ ộ ị ớ V y m t vecto riêng c a T ng v i giá tr riêng b ng 1 là : (1, 0, 2)

ớ ươ ự ượ ộ ươ ứ (cid:0) V i giá tr riêng x = 2 . T ị ng t ta tìm đ c m t vecto riêng t ng ng là : (1, 1, 2).

c. Không gian con riêng

(cid:0) ả ử ử ế ị Gi s f là toán t tuy n tính trên không gian vecto V có giá tr riêng .

(cid:0) ợ ấ ả ữ ệ ề ậ ủ M nh đ : T p h p t t c nh ng vecto v V sao cho f(v) = (cid:0) v là m t không gian con c a V. ộ

(cid:0) = { v (cid:0)

(cid:0) ủ ứ ớ ị Kí hi u : Vệ V : f(v) = (cid:0) v } là không gian con c a V ng v i giá tr riêng .

ứ Ch ng minh

(cid:0) M i vọ 1, v2 (cid:0) V(cid:0) , (cid:0) K,

1 + (cid:0) v2 (cid:0)

f(v1 + (cid:0) v2) = f(v1) + (cid:0) f(v2) = (cid:0) v1 + (cid:0) (cid:0) v2 = (cid:0) (v1 + (cid:0) v2). V y vậ V(cid:0)

ậ Nh n xét

V(cid:0) = ker(f (cid:0) Id)

Ví dụ

Ở ụ ví d trên, ta có

ứ ằ ở ớ ị V1 = {(t, 0, 2t) : t (cid:0) R} sinh b i (1, 0, 1) là không gian con riêng ng v i giá tr riêng b ng 1

ứ ằ ở ớ ị V2 = {(t, t, 2t) : t (cid:0) R} sinh b i (1, 1, 2) là không gian con riêng ng v i giá tr riêng b ng 2

5. Chéo hóa ma tr nậ

a. Đ nh nghĩa ị

ọ ậ ị ượ ế ồ ạ c n u t n t ả i ma tr n P kh ngh ch sao cho

ậ (cid:0) Ma tr n vuông A c p n g i là chéo hóa đ ấ ậ P1AP là ma tr n chéo.

C = D, v i D

(cid:0) ử ế ượ ộ ơ ở ớ ọ tuy n tính T g i là chéo hóa đ c khi có m t c s C sao cho [T]

Toán t ậ là ma tr n chéo.

ệ ầ ề ậ ượ c) ị b. Đ nh lí ủ ể ộ ( đi u ki n c n và đ đ m t ma tr n chéo hóa đ

ử ế ậ ấ tuy n tính T ( hay Ma tr n vuông A c p n) chéo hóa đ

ượ ế ộ ậ ủ ế ậ ơ ỉ ế Toán t c n u và ch n u V có c ở ồ s g m n vecto riêng c a T ( hay ma tr n A có n vecto riêng đ c l p tuy n tính) .

Th.S Thân Văn Đính Page 37

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ứ Ch ng minh

1, c2 , . . ., cn} sao cho [T]C = D. ( v i ớ

ả ử ượ ồ ạ ộ ơ ở Gi s T chéo hóa đ c, nghĩa là t n t i m t c s C = {c

1, . . ., (cid:0)

n) )

(cid:0) ậ D là ma tr n chéo , D = diag(

j.cj , j = 1, 2, . . ., n.

Suy ra T(cj) = (cid:0)

1, . . ., (cid:0)

n là các giá tr riêng c a T v i các vecto riêng là c

1, . . ., cn.

ủ ớ ị Do đó (cid:0)

ề Đi u ng ượ ạ c l ể i là hi n nhiên.

Ví dụ

a. Chéo hóa ma tr n ậ

b. Tính A100

Gi iả

a. Chéo hóa ma tr n Aậ

ủ ị B c 1 ướ : Tìm giá tr riêng c a A

ứ ặ ư Đa th c đ c tr ng :

ậ ị Do đó ma tr n A có 3 giá tr riêng là : 1, 3, 4.

ươ ứ B c 2 ướ : Tìm các vecto riêng t ng ng

V i ớ (cid:0) = 1, gi ả ệ (cid:0) I – A)[x] = 0 i h : (

1 = (1,0,3)

ộ ọ Ta ch n m t vecto riêng là : v

2 = (3,2,1)

ươ ự ượ ộ = 3, t ng t ta tìm đ c m t vecto riêng là : v V i ớ (cid:0)

3 = (3,5,1).

ượ ộ = 4, ta tìm đ c m t vecto riêng là : v V i ớ (cid:0)

ế ượ ộ ậ Vì 3 vecto riêng v1, v2, v3 là đ c l p tuy n tính nên A chéo hóa đ c.

Đ t ặ

và thì ta có : D(cid:0) = P1AP

b. Tính A100

Ta có : D(cid:0) = P1AP (cid:0) A = P.D(cid:0) .P1 (cid:0) A100 = P(D(cid:0) )100.P1

Th.S Thân Văn Đính Page 38

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ậ Nh n xét

ậ ậ ậ ọ (cid:0) Ma tr n P ở trên g i là ma tr n chéo hóa ma tr n A

n, ta tìm ma tr n chéo D

(cid:0) và ma tr n P. Khi đó :

ậ ậ (cid:0) Đ tính A ể An = P(D(cid:0) )n.P1

ả H quệ

ế ấ ậ ơ ị ượ (cid:0) N u ma tr n vuông A c p n có n giá tr riêng đ n thì A chéo hóa đ c

(cid:0) ườ ậ ượ ế ỉ ế ứ ộ ị ớ c n u và ch n u ng v i giá tr riêng b i m có

ng s ph c, ma tr n A chéo hóa đ ế ố ứ Trên tr ộ ậ m vecto rieng đ c l p tuy n tính.

(cid:0) ượ ế ỉ ế ị ậ ng s th c, ma tr n A chéo hóa đ c n u và ch n u A có n giá tr riêng ( tính theo

ố ự ứ ườ ộ ộ ậ ế ớ ộ ị Trên tr ố ầ s l n b i) và ng v i giá tr riêng b i m có m vecto rieng đ c l p tuy n tính.

Ậ Ơ Ả

Ạ

ƯƠ

CÁC D NG BÀI T P C B N CH

NG IV

ứ ạ ộ ướ ế ộ 1. Ch ng minh m t ánh x cho tr ạ c là m t ánh x tuy n tính.

ứ ủ ế ạ ị ế ả ộ ơ ở ủ ạ 2. Xác đ nh công th c c a ánh x tuy n tính khi bi t nh c a m t c s qua ánh x đó.

ề ủ ơ ở ủ ế ả ạ ố ộ 3. Tìm c s và s chi u c a nhân và nh c a m t ánh x tuy n tính.

ơ ấ ứ ế ấ ấ ẳ ạ ộ 4. Ch ng minh m t ánh x tuy n tính là đ n c u, toàn c u, đ ng c u.

ậ ủ ố ớ ế ạ ộ ộ ặ ơ ở 5. Tìm ma tr n c a m t ánh x tuy n tính đ i v i m t c p c s .

ủ ế ạ ả ế ộ 6. Tìm nhân, nh c a m t ánh x tuy n tính khi bi ậ ủ t ma tr n c a nó.

ậ ủ ế ạ ổ ặ ơ ở 7. Tìm ma tr n c a ánh x tuy n tính khi đ i c p c s .

ơ ủ ử ế ị 8. Tìm giá tr riêng, vect riêng, không gian con riêng c a toán t tuy n tính.

ử ế ậ 9. Chéo hóa ma tr n, chéo hóa toán t tuy n tính.

Th.S Thân Văn Đính Page 39

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ươ

Ạ

Ế

ƯƠ

Ch ng 5.

D NG SONG TUY N TÍNH – D NG TOÀN PH

NG

Ạ Ế I. D NG SONG TUY N TÍNH

1. Đ nh nghĩa ị

ộ ạ ế ộ ọ Cho X là m t không gian vecto. Ta g i m t d ng song tuy n tính trên X là m t quy t c đ t

(cid:0) (cid:0) ấ ỳ ớ ề ệ ỏ hai vecto b t k x, y ộ ố X v i m t s f(x,y) K th a mãn các đi u ki n sau, ộ (cid:0) x,y,z (cid:0) ắ ặ X, (cid:0)

(cid:0) K :

(1). f(x + z, y) = f(x,y) + f(z,y)

f((cid:0) x,y) = (cid:0) f(x,y)

(2). f(x,y + z) = f(x,y) + f(x, z)

f(x, (cid:0) y) = (cid:0) f(x,y).

ậ ủ ạ ế 2. Ma tr n c a d ng song tuy n tính

ộ ạ ế ộ ơ 1, e2, . . ., en} là m t c

Cho f là m t d ng song tuy n tính trên không gian vecto X và E = {e ở ủ s c a X.

ơ ở ệ ọ ộ ủ 1, x2, . . ., xn) , y = (y1, y2, . . ., yn) là t a đ c a vecto x và y trong c s E. Khi

Kí hi u x = (x đó :

i, ej) = aij, ta có : . (1)

ặ Đ t f(e

ố ớ ơ ở ậ ủ ạ ế ọ Ta g i ma tr n c a d ng song tuy n tính f đ i v i c s E là :

ư ậ ế ề i d ng (1) và ng c d ượ ạ c l i,

ể ế ượ ướ ạ t đ ắ ố ớ ơ ở ỗ ạ ạ ậ ị Nh v y, m i d ng song tuy n tính f đ u có th vi ế (1) xác đ nh d ng song tuy n tính f có ma tr n đ i v i c s chính t c là A.

T.A.[x]E

Ta có : f(x,y) = [y]E

ậ ủ ạ ơ ở ế ậ ổ ơ ở ố ớ Tìm ma tr n c a d ng song tuy n tính đ i v i hai c s khác nhau ( ma tr n đ i c s )

ố ớ ơ ở ủ ế ọ (cid:0) G i A là ma tr n c a d ng song tuy n tính f đ i v i c s E c a không gian X và F

ộ ơ ở ậ ủ ạ ủ là m t c s khác c a X.

ậ ọ (cid:0) G i P là ma tr n đ i c s t ổ ơ ở ừ E sang F.

Th.S Thân Văn Đính Page 40

ạ ố

ế

ả

ố ớ ơ ở ậ ủ ạ ế ọ

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính (cid:0) G i B là ma tr n c a d ng song tuy n tính f đ i v i c s F. Khi đó :

B = PT.A.P

Ví dụ

3 (đ i v i c s chính t c E = {e

1, e2, e3})

ế ạ ố ớ ơ ở ắ Xét d ng song tuy n tính trong R

f(x,y) = x1y1 + 2x1y2 – x2y2 + 3x3y3

ậ ủ ơ ở ơ ở ắ Tìm ma tr n c a f trong c s chính t c E và trong c s F = {(1,1,0), (1,1,1), (1,0,1)}

Gi iả

ậ ủ ơ ở ắ Ma tr n c a f trong c s chính t c E là

ể ơ ở ừ ậ Ma tr n chuy n c s t E sang F là .

T.A.P =

ậ ủ ơ ở Do đó ma tr n c a f trong c s F là : B = P

ố ứ ế ạ 3. D ng song tuy n tính đ i x ng

ế ạ ượ ọ ố ứ D ng song tuy n tính f trên X đ ế c g i là đ i x ng n u : f(x,y) = f(y,x), (cid:0) x,y (cid:0) X.

ậ Nh n xét

ộ ơ ở ậ ủ ố ứ ố ớ ạ

ậ ế N u f là d ng song tuy n tính đ i x ng thì ma tr n c a f đ i v i m t c s nào đó là ma ố ứ tr n đ i x ng và ng ượ ạ c l ế i.

Ạ ƯƠ II. D NG TOÀN PH NG

1. Đ nh nghĩa ị

ố ứ ế ạ Cho f là d ng song tuy n tính đ i x ng trên X. Khi đó ,

(cid:0) (x) = f(x,x)

ượ ọ ươ đ ạ c g i là d ng toàn ph ng trên X.

ố ứ ế ế ằ ạ ặ N u f là d ng song tuy n tính không đ i x ng thì b ng cách đ t

ố ứ ạ ta có (cid:0) ế là d ng song tuy n tính đ i x ng và

Th.S Thân Văn Đính Page 41

ạ ố

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0)

ế (x) = (cid:0) (x,x)

ươ ậ ủ ạ 2. Ma tr n c a d ng toàn ph ng

(cid:0) ươ ố ứ ở ạ ế ị ng (x) xác đ nh b i d ng song tuy n tính đ i x ng f(x,y). Khi đó ma

(cid:0) ạ Cho d ng toàn ph ơ ở ậ ủ ạ ậ ủ ươ ơ ở tr n c a f trong c s E cũng là ma tr n c a d ng toàn ph ng (x) tron c s E.

(cid:0) ả ử ậ ủ ạ ươ ơ ở Gi s A là ma tr n c a d ng toàn ph ng (x) trong c s E. Khi đó ta có :

ậ Nh n xét

ế ậ ủ ạ ươ Cách vi t ma tr n c a d ng toàn ph ng

i)2 trên đ

ế ệ ố ủ ườ Vi t các h s c a (x ng chéo chính, i = 1,2, . . ., n

ixj) đ

ượ ị ệ ố ủ Các h s c a (x c chia đôi vào các v trí (i,j) và (j,i).

Ví dụ

2 + 2x1x2 – x1x3 + x2

2 2 + x3

(cid:0) ậ ủ ạ ươ a. Tìm ma tr n c a d ng toàn ph ng (x) = x1

ươ ậ ạ b. Tìm d ng toàn ph ng có ma tr n là :

Gi iả

2 –x1x2 + 8x2x3 + 3x2

2 + 2x3

a. , b. (cid:0) (x) = 5x1

Ủ Ắ Ạ Ạ ƯƠ III. D NG CHÍNH T C C A D NG TOÀN PH NG

ắ ủ ạ ạ ị ươ 1. Đ nh nghĩa d ng chính t c c a d ng toàn ph ng

ạ ươ ươ Cho d ng toàn ph ng có ph ng trình :

ọ ộ ủ ơ ở ủ trong đó (x1, x2, . . ., xn) là t a đ c a x trong c s E c a không gian X.

ạ ươ ắ ế ạ ọ D ng toàn ph ng g i là d ng chính t c n u

ơ ở ể ạ ươ ắ ủ ạ ắ ọ ạ ươ C s đ d ng toàn ph ơ ở ng là d ng chính t c g i là c s chính t c c a d ng toàn ph ng.

Th.S Thân Văn Đính Page 42

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ư ạ ươ ề ạ ắ 2. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c.

ươ ộ ơ ở ể ạ ề ạ ắ ươ ng v d ng chính t c là đi tìm m t c s đ d ng toàn ph ng có

ắ ư ạ Đ a d ng toàn ph ạ d ng chính t c.

ươ 2.1. Ph ng pháp Lagrange

ạ ươ Xét d ng toàn ph ng :

ể ư ạ ươ ề ạ ườ Đ đ a d ng toàn ph ắ ng v d ng chính t c, ta chia làm 3 tr ợ ng h p sau

ườ ợ : aii ≠ 0 ( gi ả ử 11 ≠ 0), ta có s a Tr ng h p 1

ố ạ ữ nh ng s h ng không ch a x ứ 1)

ộ ạ ươ m t d ng toàn ph ng c a x ủ 2, . . ., xn)

trong đó

ố ớ ạ ự ư ệ ươ ữ ạ ướ ượ ạ ng sau h u h n b ẽ c ta s thu đ c d ng

ế ụ Ti p t c th c hi n nh trên đ i v i d ng toàn ph chính t c.ắ

ij ≠ 0 v i i ớ ≠ j, gi

ườ ư ợ : aii = 0 , (cid:0) i nh ng có a ả ử 12 ≠ 0. s a Tr ng h p 2

ặ Đ t

Ta có

2 là a12 ≠ 0, ta tr v tr

ừ ở ề ườ ệ ố ủ 1 T đó có h s c a y ợ ng h p 1.

(cid:0) ườ ọ ắ ớ ạ ớ ợ : aij = 0 v i m i i, j thì (x) = 0, (cid:0) x nên có d ng chính t c v i m i c s . ọ ơ ở Tr ng h p 3

ươ ề ạ ắ ng v d ng chính t c ư ạ Ví d .ụ Đ a d ng toàn ph

(cid:0) b. (x) = x1x2 + x1x3 + x2x3

Gi iả

2 + x2

2 + 4x3

2 + 2x1x2 – 4x1x3 – 4x2x3) + 4x2

2 – 8x3

2 + 4x2x3

(cid:0) a. (x) = (x1

= (x1 + x2 – 2x3)2 + 4(x2 + x3)2 – 9x3

ặ Đ t .

2 + 4y2

2 – 9y3

(cid:0) ượ ạ ắ ủ ạ ươ Khi đó ta thu đ c d ng chính t c c a d ng toàn ph ng trên là : (y) = y1

Th.S Thân Văn Đính Page 43

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ử ụ ế ổ b. S d ng phép bi n đ i

2 – y2

2 + (y1 + y2).y3 + (y1 – y2).y3 = (y1 + y3)2 – y2

2 2 – y3

(cid:0) ượ ta đ c (y) = y1

ế ụ ử ụ ế ổ Ti p t c s d ng phép bi n đ i

2 – z2

2, 2 – z3

Ta có : (cid:0) (z) = z1

trong đó

ươ 2.2. Ph ng pháp Jacobi

ậ ấ ọ ứ ủ ị đ nh th c con chính Cho ma tr n vuông A c p n. Ta g i các c a A là

D1 = a11, D2 = , . . ., Dn = |A|

j ≠ 0, (cid:0)

(cid:0) ươ ố ớ ơ ở ế ậ ả ử ạ s d ng toàn ph ng j thì

(cid:0) ươ (x) có ma tr n đ i v i c s E là A. Khi đó, n u D ể ư ượ ề ạ ắ ằ ươ ng (x) có th đ a đ c v d ng chính t c b ng ph ng pháp Jacobi

Gi ạ d ng toàn ph ư nh sau:

ở ấ n b i : , trong đó D ứ i1,j là đ nh th c con c p

ij, 1 (cid:0) ệ ố (cid:0) B1 : Tính các h s ừ ủ (i1) c a A t o b i các dòng t

ạ ở j < i (cid:0) ế ộ ừ ị 1 ,. . ., j1, j+1, . . ., i. 1 đ n (i1) và các c t t

ử ụ ế ổ B2 : S d ng phép bi n đ i

ạ Lúc đó, (cid:0) ắ (y), y = (y1, y2, . . ., yn) có d ng chính t c

ươ ắ ằ ề ạ ươ ng sau v d ng chính t c b ng ph ng pháp Jacobi ư ạ Ví d .ụ Đ a d ng toàn ph

2 + 2x1x2 x2

2 + x3

(cid:0) (x) = x1

Gi iả

ươ ậ ủ ạ Ma tr n c a d ng toàn ph ng là

1 = 1 ; ;

ứ ủ ị Các đ nh th c con chính c a A là : D

Th.S Thân Văn Đính Page 44

ạ ố

ế

ả 21, (cid:0)

31, (cid:0)

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính ệ ố (cid:0) B1 : Tính các h s

; ;

ử ụ ế ổ B2 : S d ng phép bi n đ i

ắ ủ ạ ạ ươ Khi đó ta có d ng chính t c c a d ng toàn ph ng trên là :

2 – 2y2

2 + y3

= y1

ạ ươ ị ươ ạ ươ 3. D ng toàn ph ng xác đ nh d ng và d ng toàn ph ị ng xác đ nh âm.

a. Đ nh nghĩa ị

(cid:0) ươ ượ ọ ị ươ ng (x) đ c g i là xác đ nh d ế (cid:0) ng (âm) n u (x) > 0 ((cid:0) (x) < 0),

ạ D ng toàn ph (cid:0) x≠0.

b. Đ nh lí 1 ị

(cid:0) ộ ạ ươ ị ơ ở ắ ng ng n u và ch n u trong c s chính t c,

2 , bi > 0, (cid:0)

(cid:0) ươ (x) là xác đ nh d ạ (cid:0) M t d ng toàn ph ủ (cid:0) ng trình c a ph (x) = b1x1 ế ươ ỉ ế 2 + . . . + bnxn 2 + b2x2 (x) có d ng : i=1,2,…,n.

(cid:0) ộ ạ ươ ị ơ ở ắ ng ng n u và ch n u trong c s chính t c,

2 , bi < 0, (cid:0)

(cid:0) ươ (x) là xác đ nh d ạ (cid:0) M t d ng toàn ph ủ (cid:0) ng trình c a ph (x) = b1x1 ế ươ ỉ ế 2 + . . . + bnxn 2 + b2x2 (x) có d ng : i=1,2,…,n.

ẩ ị c. Đ nh lí 2 (Tiêu chu n Sylvester)

ươ ậ ạ ươ ế ỉ ế ị

ng có ma tr n A là d ng toàn ph ủ ứ ạ ươ ươ ng xác đ nh d ng, là d ng toàn ph ng n u và ch n u ế ị ng xác đ nh âm n u

ề ươ ẽ ấ ạ D ng toàn ph ị ấ ả t t c các đ nh th c con chính c a A đ u d ủ ứ ị các đ nh th c con chính c a A có d u xen k nhau.

IV. KHÔNG GIAN EUCLIDE

ị ấ 1. Các đ nh nghĩa và tính ch t

ị a. Các đ nh nghĩa

(cid:0) ự ộ ọ ộ ướ ng trên X ngướ : Cho X là m t không gian vecto th c, ta g i m t tích vô h

(cid:0) Tích vô h ộ ắ ặ ấ ươ ứ ớ ố ự ề ỏ là m t quy t c đ t hai vecto b t kì x, y X t ệ ng ng v i s th c (x|y) th a các đi u ki n

(cid:0) ớ ọ sau v i m i x,y,z X, (cid:0) (cid:0) R

Th.S Thân Văn Đính Page 45

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(1). (x|y) = (y|x)

(2). ((cid:0) x|y) = (cid:0) (x|y)

(3). (x+y|z) = (x|z) + (y|z)

(4). (x|x) (cid:0) 0, (x|x) = 0 (cid:0) x = 0.

ự ộ ớ ướ ng trên X

ộ (cid:0) Không gian Euclide : Không gian vecto th c X cùng v i m t tích vô h ượ ọ đ c g i là m t không gian Euclide.

(cid:0) ủ ộ : Cho không gian Euclide X và vecto x (cid:0) X, đ dài c a x hay

ộ Đ dài vecto ố ẩ ủ chu n c a X là s

ộ ố ấ b. M t s tính ch t

(cid:0) ấ ẳ ứ B t đ ng th c Cauchy – Buniakovski

(cid:0) ọ Cho X là không gian Euclide, m i x, y X, ta có :

(x|y)2 (cid:0) |x|2.|y|2

ụ ế ả ấ ộ ỉ D u “ = ” x y ra khi và ch khi x, y ph thu c tuy n tính.

(cid:0) ủ ổ ộ ộ ổ Đ dài c a t ng hai vecto và t ng đ dài hai vecto

(cid:0) ớ ọ V i m i x, y X _không gian Euclide, ta có : |x + y| (cid:0) |x| + |y|

(cid:0) ữ ủ ị : Cho hai vecto x,y khác 0 c a không gian Euclide X, ta đ nh Góc gi a hai vecto

ủ ữ nghĩa cos c a góc gi a hai vecto x và y là

ượ ọ ự ế ướ ủ ệ Hai vecto x và y đ c g i là n u tích vô h ằ ng c a chúng b ng 0. Kí hi u : tr c giao x (cid:0)

ế ữ ằ N u x, y ≠ 0 thì x (cid:0) y (cid:0) góc gi a x và y b ng 90

ơ ở ự ơ ở ự ẩ 2. C s tr c giao, c s tr c chu n.

a. Đ nh nghĩa ị

Th.S Thân Văn Đính Page 46

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ề ị Cho không gian Euclide X n chi u. Ta đ nh nghĩa

ộ ệ ồ ủ ượ ọ ơ ở ự ộ ự ế c g i là c s tr c giao n u chúng đôi m t tr c

(cid:0) M t h g m n vecto khác 0 c a X đ giao.

ằ ằ ồ ộ ượ ọ ộ c g i là m t

(cid:0) M t c s tr c giao g m các vecto có đ dài b ng 1 ( modun b ng 1) đ ộ ơ ở ự ẩ ơ ở ự c s tr c chu n.

ậ Nh n xét

1, e2, . . ., en} là c s tr c giao thì là m t c s tr c chu n.

ộ ơ ở ự ơ ở ự ẩ (cid:0) N u {eế

ọ ơ ở ự ơ ở ủ ủ ề (cid:0) M i c s tr c giao c a không gian Euclide X đ u là c s c a không gian vecto X.

ộ ơ ở ủ ự ằ ươ b. Tr c giao hóa m t c s c a không gian Euclide b ng ph ng pháp Gram – Schmidt

ơ ở ự ơ ở ự

ừ ơ ở ứ Cho {x1, x2, . . ., xn} là c s trong không gian Euclide X. Khi đó ta xây d ng c s tr c giao {e1, e2, . . ., en} t c s trên theo công th c:

1 = (0,1,2), u2 = (1,1,0), u3 = (2,0,1)}

ệ Ví dụ. Trong R3, tr c giao hóa h {u ự

Gi iả

Ta có

ậ ố ứ ự 3. Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng

ự ậ a. Ma tr n tr c giao

T = I

ậ ượ ọ ế ậ (cid:0) Ma tr n vuông P đ ự c g i là ma tr n tr c giao n u : P.P

1 = PT.

ấ ủ ự ế ả ậ ả ị  Theo tính ch t c a ma tr n kh ngh ch, n u P tr c giao thì P kh ngh ch và P ị

Do đó ta có : PT.P = I.

ừ T đó :

T tr c giao.

 ự ế ự N u P tr c giao thì P

 ự ế ậ ự N u P, Q là các ma tr n tr c giao thì PQ cũng tr c giao

Th.S Thân Văn Đính Page 47

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

b. Tính ch tấ

ủ ủ G i Pọ 1, P2, . . ., Pn là các vecto dòng c a c a P. Ta có

, P2, . . ., Pn} là h tr c chu n.

ỉ ế ự ệ ế ậ ệ ự ẩ Ma tr n P là tr c giao n u và ch n u h {P

.  Đ nh lí 1 ị

TAP = P1AP là

ọ ậ ề ồ ạ ự ậ i ma tr n tr c giao P sao cho P

ự ố ứ M i ma tr n th c đ i x ng A đ u t n t ậ ma tr n chéo.

 Đ nh lí 2 ị

n t n t

ấ ồ ạ ộ ơ ở ự ẩ i m t c s tr c chu n

ữ ự ố ứ ậ Cho A là ma tr n th c đ i x ng c p n. Khi đótrong R ủ ồ g m nh ng vecto riêng c a A.

ậ Nh n xét

ố ứ ự ư ể ậ Đ chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng A ta làm nh sau

B1 : Tìm các vecto riêng c a Aủ

ủ ừ ự ẩ B2 : Tr c chu n hóa các vecto riêng c a A v a tìm

ự ậ ậ B3 : Ma tr n P là ma tr n có các dòng là các vecto tr c chu n ẩ ở ướ b c 2.

ố ứ ự ậ Ví dụ. Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng sau

Gi iả

= 1 (kép)

ơ (cid:0) 2 A có các vecto riêng là : (cid:0) 1 = 5 (đ n) và

1 = (1,1,1), tr c chu n hóa ta đ

ượ ộ ự ẩ ượ V i ớ (cid:0) = 5 ta tìm đ c m t vecto riêng là : v c

2 = (1,1,0) và v3 = (1,0,1). Tr c ự

ượ ộ ậ c hai vecto riêng đ c l p tuy n tính là : v

1, u2 ta đ

ượ ẩ V i ớ (cid:0) = 1 ta tìm đ giao hóa hai vecto này ta đ ế ự 1 = (1,1,0), . Tr c chu n hóa u c : u c:ượ

ừ ậ ậ T đó ta có ma tr n . V y

ư ạ ươ ế ổ ự ắ ằ ề ạ 4. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c b ng phép bi n đ i tr c giao.

(cid:0) ươ ơ ở ắ ậ ậ ng (x) trên Rn có ma tr n trong c s chính t c là ma tr n đ i ố

ấ ạ Cho d ng toàn ph ứ ij). x ng c p n, A = (a

ư ạ ươ ắ ằ ổ ự ề ạ ư ế Đ a d ng toàn ph ng trên v d ng chính t c b ng phép bi n đ i tr c giao nh sau :

Th.S Thân Văn Đính Page 48

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

(cid:0) ủ ứ ớ ị B1 : Tìm các vecto riêng c a A ng v i các giá tr riêng , i = 1,2, . . ., n

ự ủ ẩ B2 : Tr c chu n hóa các vecto riêng c a A

2 + (cid:0) 2x1

2 + . . . + (cid:0) nxn 2 ẩ ự

(cid:0) ạ ắ ủ ạ ươ B3 : D ng chính t c c a d ng toàn ph (x) = (cid:0) 1x1 ng trên là :

ậ ủ ổ ự ế ậ ộ

ớ ứ ng v i ma tr n c a phép bi n đ i tr c giao là ma tr n có các c t là các vecto tr c chu n ở ướ c 2. b

ươ ắ ằ ổ ự ề ạ ế ng sau v d ng chính t c b ng phép bi n đ i tr c giao ư ạ Ví dụ. Đ a d ng toàn ph

2 + x2

2 + 4x3

2 + 2x1x2 + 4x2x3 + 4x3x1

(cid:0) (x) = x1

Gi iả

ậ ủ ạ ươ Ma tr n c a d ng toàn ph ng là :

ủ ị Các giá tr riêng c a A là : (cid:0) 1 = 0 (kép), (đ n)ơ

1 = (1,1,0), v2 = (2,0,1). Tr c chu n

ộ ậ ế ự ẩ

ượ V i ớ (cid:0) 1 = 0, A có hai vecto riêng đ c l p tuy n tính là : v hóa ta đ c : .

3 = (1,1,2). Tr c chu n hóa ta đ

ự ẩ ượ V i ớ (cid:0) 2 = 6, A có m t vecto riêng là v ộ c :

(cid:0) ắ ủ ạ ậ ạ ươ V y d ng chính t c c a d ng toàn ph ng đã cho là : (x) = 6y3

ậ ủ ứ ế ổ Ma tr n c a phép bi n đ i là t c

Ậ Ơ Ả

Ạ

ƯƠ

CÁC D NG BÀI T P C B N CH

NG V

ứ ọ ộ ủ ộ ạ ể ế ạ ậ ậ ươ 1. L p ma tr n và bi u th c t a đ c a m t d ng song tuy n tính hay d ng toàn ph ng

ướ ộ ơ ở trong m t c s cho tr c.

ư ạ ươ ắ ằ ề ạ ậ 2. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c b ng thu t toán Lagrange và Jacobi.

ộ ệ ự ự ẩ ơ 3. Tr c giao hóa, tr c chu n hóa m t h vect trong không gian Euclide.

ố ứ ự ậ 4. Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng.

ư ạ ươ ắ ằ ổ ự ề ạ ế 5. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c b ng phép bi n đ i tr c giao.

Th.S Thân Văn Đính Page 49

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

Th.S Thân Văn Đính Page 50

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

Ề ƯƠ

Ậ

Đ C

NG ÔN T P

ươ Ứ Ậ Ị Ch ng 1. MA TR N. Đ NH TH C

ừ ậ ậ ộ 1. Các phép toán ma tr n : c ng, tr , nhân hai ma tr n.

ổ ơ ấ ế ậ ả ị ằ 2. Tìm ma tr n ngh ch đ o b ng các phép bi n đ i s c p.

ủ ạ ậ 3. Tìm h ng c a ma tr n.

ặ ộ ứ ứ ứ ể ằ ằ ị ị 4. Tính đ nh th c : B ng công th c Sarrus và b ng khai tri n đ nh th c theo dòng(ho c c t).

5. Gi ả ệ ươ i h ph ế ng trình tuy n tính Crame.

ươ Ch ng 2. KHÔNG GIAN VECTO

ể ộ ướ 1. Ki m tra m t không gian cho tr c là không gian con.

ự ộ ậ ộ ệ ứ ụ ủ ế ế ộ ệ 2. Ki m tra s đ c l p tuy n tính, ph thu c tuy n tính c a m t h vecto. Ch ng minh h

ể sinh.

ứ ộ ộ ơ ở ủ 3. Tìm và ch ng minh m t c s c a m t không gian vecto.

ọ ộ ủ ộ ơ ở ố ớ ậ ộ ổ ơ ở 4. Tìm t a đ c a m t vecto đ i v i m t c s . Tìm ma tr n đ i c s .

ươ Ệ ƯƠ Ế Ch ng 3. H PH NG TRÌNH TUY N TÍNH

ế ằ ươ 1. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình tuy n tính b ng ph ng pháp Gauss.

ộ ệ ươ ơ ở ủ ủ ệ ế ầ ấ 2. Tìm c s c a không gian nghi m c a m t h ph ng trình tuy n tính thu n nh t.

ươ Ạ Ế Ch ng 4. ÁNH X TUY N TÍNH

ế ể ạ 1. Ki m tra ánh x tuy n tính

ơ ở ủ ủ ế ạ ả ả ộ 2. Tìm nhân, nh và c s c a nhân, nh c a m t ánh x tuy n tính.

3. Chéo hóa ma tr n.ậ

ươ Ạ Ạ Ế ƯƠ Ch ng 5. D NG SONG TUY N TÍNH VÀ D NG TOÀN PH NG

ươ ắ ằ ề ạ ươ ươ 1. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c b ng : Ph ng pháp Lagrange và ph ng pháp

ư ạ Jacobi.

ộ ệ ự ự ẩ 2. Tr c giao hóa, tr c chu n hóa m t h vecto trong không gian Euclide.

ố ứ ự ậ 3. Chéo hóa tr c giao ma tr n đ i x ng

ư ạ ươ ắ ằ ổ ự ề ạ ế 4. Đ a d ng toàn ph ng v d ng chính t c b ng phép bi n đ i tr c giao.

Th.S Thân Văn Đính Page 51

ạ ố

ế

ả

Bài gi ng môn Đ i S Tuy n Tính

ờ

ấ

ủ ẻ ư i ờ

“Trên bư c ớ đư ng thành công, không có d u chân c a k l bi ngế ”_ L T n ỗ ấ

ọ ố

Chúc các em h c t

t !

Th.S Thân Văn Đính Page 52

Bài giảng về môn Đại Số Tuyến Tính

Chủ đề:

Đại số tuyến tính