intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu-Chương 5: BIẾN ĐỔI Z

Chia sẻ: Nguyendang Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

296
lượt xem
50
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến đổi Z: là phép chuyển tín hiệu sang miền Z để thuận tiên trong phân tích, xử lý. biến đổi Z có vai trò như phép biến đổi Laplace trong mạch tương tự. được dùng để tính toán đáp ứng của hệ thống LTI, thiết kế các bộ lọc,vv...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng: Xử lý số tín hiệu-Chương 5: BIẾN ĐỔI Z

  1. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z Nội dung: 5.1 Biến đổi Z 5.1.1 Định nghĩa biến đổi Z 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z 5.1.3 Giản đồ cực-không 5.2 Biến đổi Z ngược 5.2.1 Phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa 5.2.2 Phương pháp phân tích thành phân thức sơ cấp 5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z Bài tập 1 5/22/2010
  2. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z 5.1 Biến đổi Z: là phép chuyển tín hiệu sang miền Z để thuận tiên trong phân tích, xử lý. biến đổi Z có vai trò như phép biến đổi Laplace trong mạch tương tự. được dùng để tính toán đáp ứng của hệ thống LTI, thiết kế các bộ lọc,vv... 5.1.1 Định nghĩa: Biến đổi Z của một tín hiệu rời rạc x(n): +∞ (z: biến phức) ∑ x(n) z −n X (z) = n = −∞ X ( z ) = Z [ x ( n) ] x(n) ⎯⎯ X ( z ) → Z Ký hiệu: hay: Vùng hội tụ của biến đổi Z (ROC: Region Of Convergence) ROC là tập hợp những giá trị của Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn. {z ∈ | X (z) ≠ ∞} ROC = Phải chỉ rỏ ra khi nói đến biến đổi Z. 2 5/22/2010
  3. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1 Biến đổi Z (tt): Ví dụ 1: Xác định biến đổi z của các tín hiệu sau ImZ ROC a. x(n) = {1,2,5,7,0,1} b. x(n) = anu(n) ReZ c. x(n) = -anu(-n-1) a -1 0 1 d. x(n) = anu(n) - bnu(-n-1) Lời giải: a. Từ định nghĩa: ROC: z ≠ 0; z ≠∞ X(z) = z2 + 2z + 5 + 7z-1+ z-3 ; b. Ta có: +∞ +∞ +∞ +∞ ∑ ∑ ∑ ∑ −n −n −n ( a z −1 ) n X (z) = = = = n n x(n) z a u (n) z az n = −∞ n = −∞ n=0 n=0 Nếu: |az-1||a| thì: 1 X (z) = ROC: |z| > |a| 1 − a z −1 3 5/22/2010
  4. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1 Biến đổi Z (tt): c. Ta có: +∞ −1 +∞ 1 ∑ ∑ ∑ −a z = − ∑ ( a −1 z ) n −n −n −n X (z) = = −a z = n n x(n) z n = −∞ n = −∞ n=∞ n =1 Nếu: |a-1z|
  5. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1 Biến đổi Z (tt): Một số cặp biến đổi Z thông dụng: 5 5/22/2010
  6. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z: a. Tuyến tính: ⎧ x1 ( n ) ↔ X 1 ( z ) ⇒ a1 x1 ( n ) + a 2 x 2 ( n ) ↔ a1 X 1 ( z ) + a 2 X 2 ( z ), ∀ a1 , a 2 ⎨ ⎩ x2 ( n ) ↔ X 2 ( z ) Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau: x(n) = 3(0.8)n u(n) − 5(−1.2)n u(n) Áp dụng tính chất tuyến tính: ⎧ x1 ( n ) = (0.8) n u ( n ) ⎧ x2 ( n ) = ( − 1.2) n u ( n ) ⎨ &⎨ ⎩ a1 = 3 ⎩ a2 = −5 ⎧ 1 (0.8) n u (n) ↔ ,| z |> 0.8 ⎪ 3 5 ⎪ −1 1 − 0.8 z ⇒ X(z) = − ,| z |>1.2 ⎨ −1 −1 1−0.8z 1+1.2z 1 ⎪(−1.2) n u (n) ↔ ,| z |> 1.2 ⎪ −1 1 + 1.2 z ⎩ 6 5/22/2010
  7. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt): b. Dịch chuyển trong miền thời gian rời rạc: ⎧ x ( n − n0 ) ↔ z − n0 X ( z ) ⎪ x(n) ↔ X ( z ) ⇒ ⎨ ⎪ x ( n + n0 ) ↔ z 0 X ( z ) n ⎩ Ví dụ 3: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau: n ⎛ 1⎞ x(n) = ⎜ ⎟ u(n + 2) ⎝ 2⎠ Viết lại x(n): n+2 n ⎛1⎞ ⎛1⎞ x(n) = ⎜ ⎟ u(n + 2) = 4⎜ ⎟ u(n + 2) ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Áp dụng tính chất trên: 1 X(z) = 4z ,∞>| z |> 0.5 2 −1 1−0.5z 7 5/22/2010
  8. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt): c. Vi phân trong miền Z: dX ( z ) x(n) ↔ X ( z ) ⇒ nx(n) ↔ − z dz Ví dụ 4: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau: x (n) = na n u ( n) x (n) = nx1 (n), x1 (n) = a n u ( n) Viết lại x(n): Áp dụng cặp biến đổi cơ bản: 1 x1 (n) = a u ( n) ↔ X 1 ( z ) = , | z |>| a | n −1 1 − az Áp dụng tính chất trên: az−1 d⎛ 1 ⎞ dX1(z) X(z) = −z =−z ⎜ = ; | z |>| a | −1 ⎟ dz ⎝1−az ⎠ (1−az )−1 2 dz 8 5/22/2010
  9. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt): d. Tích chập: ⎧ x1 ( n ) ↔ X 1 ( z ) ⇒ x ( n ) = x1 ( n ) * x 2 ( n ) ↔ x ( z ) = X 1 ( z ) X 2 ( z ) ⎨ ⎩ x2 ( n ) ↔ X 2 ( z ) chuyển đổi phép tích chập trong miền thời gian sang phép nhân thông thường trong miền Z thuận tiện trong phân tích hệ thống. Ví dụ 5: Tính tích chập của hai tín hiệu sau: x1 (n) = {1, −2,1}; x2 (n) = u ( n) − u (n − 6) ROC: z ≠ 0; Ta có: X1(z) = 1- 2z-1 + z-2; X2(z) = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5; ROC: z ≠ 0; Áp dụng tính chất trên: X(z) = X1(z)X2(z) = (1- 2z-1 + z-2)(1+ z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5) = 1- z-1 - z-6 + z-7 Suy ra: x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1} 9 5/22/2010
  10. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt): e. Đảo thời gian: −1 x(n) ↔ X ( z) ⇒ x(−n) ↔ X ( z ) Ví dụ 6: Tìm biến đổi Z của tín hiệu sau: n ⎛1⎞ x ( n) = ⎜ ⎟ u ( − n) ⎝3⎠ −n ⎛ 1⎞ y (n) = x (− n) = ⎜ ⎟ u (n) = 3n u (n) Đặt: ⎝3⎠ Áp dụng cặp biến đổi cơ bản: 1 y ( n) ↔ Y ( z ) = , | z |> 3 −1 1 − 3z Áp dụng tính chất trên: 1 −1 X(z) =Y(z ) = ; | z |
  11. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất của biến đổi Z (tt): Tóm tắc một số tính chất quan trọng của biến đổi Z 11 5/22/2010
  12. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.3 Giản đồ cực-không: Biến đổi Z của các tín hiệu thực và các hệ thống LTI thường có dạng hữu tỉ, nghĩa là, ta có thể biểu diễn: N ( z ) A( z − z1 )( z − z2 )( z − z3 )......( z − z L ) X ( z) = = D ( z ) ( z − p1 )( z − p2 )( z − p3 )......( z − pM ) Các giá trị zi và pi được gọi lần lượt là các điểm không, các điểm cực. Đồ thị biểu diễn các giá trị điểm cực, điểm không trên mặt phẳng phức Z được gọi là giản đồ cực - không. ImZ Ví dụ 7: Vẽ giản đồ cực – không 1 z z1 x ( n) = u ( n) ↔ X ( z ) = = p1 ReZ * −1 1− z z −1 0 -1 ⎧ z1 = 0 ; Ta có: Ñieåm khoâng ⎨ ⎩ p1 = 1 Ñieåm cöïc 12 5/22/2010
  13. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.2 Biến đổi Z ngược: biến đổi tín hiệu từ miền Z trở về miền thời gian rời rạc, ký hiệu: x ( n ) = Z − 1 { X ( z )} 5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa: +∞ ∑ Cn z −n X (z) = Biểu diễn X(z) thành dạng lũy thừa sau: n+ ∞ ∞ =− So sánh với định nghĩa: ∑ x(n) z −n X (z) = Suy ra, chuỗi tín hiệu x(n): n = −∞ x ( n ) = {C n } , ∀ n Ví dụ 8: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau: 1 X (z) = R O C :| z | > 1 , −1 −2 1 − 1 .5 z + 0 .5 z Chia đa thức để có dạng lũy thừa: 13 5/22/2010
  14. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa (tt): Lời giải: Chia đa thức để có dạng lũy thừa: 1 3 −1 7 −2 X (z) = = 1+ z + z + ..... 1 − 1 .5 z − 1 + 0 .5 z − 2 2 4 Không cho dạng Suy ra giá trị chuỗi x(n): biểu thức khép kín ⎧37 ⎫ của x(n) x ( n ) = ⎨1, , ...⎬ , ⎩24 ⎭ 5.2.2 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp: N ∑a X (z) = Biểu diễn X(z) thành dạng sau: X k (z) k k =0 trong đó: Xk(z) là các biểu thức có biến đổi Z ngược xk(n) đã biết. Lúc đó: N ∑a x(n) = xk (n ) k k =0 14 5/22/2010
  15. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.2.2 Phương pháp khai triển thành các phân thức sơ cấp (tt): Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau: 1 X (z) = R O C :| z | > 1 , −1 −2 1 − 1 .5 z + 0 .5 z Lời giải: Đưa về dạng tổng các phân thức sơ cấp: 1 1 X (z) = = 1 − 1 .5 z − 1 + 0 .5 z − 2 (1 − z − 1 )(1 − 0 .5 z − 1 ) 2 1 = − 1 − z − 1 1 − 0 .5 z − 1 Mặc khác,áp dụng cặp biến đổi Z cơ bản: ⎧ 1 u (n) ↔ ,| Z |> 1 ⎪ ⎪ −1 1− z 1 a nu (n) ↔ , | z |>| a | ⇒ ⎨ 1 − az −1 1 ⎪(0.5) n u ( n ) ↔ ,| z |> 0.5 ⎪ −1 1 − 0.5 z ⎩ x(n) = 2u (n) − (0.5) n u (n) Suy ra: 15 5/22/2010
  16. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp: Giả sử X(z) có dạng hữu tỉ: N ( z −1 ) X ( z) = D( z −1 ) Trường hợp 1: (bậc tử số nhỏ hơn mẫu số) xét 2 khả năng D(z) chỉ có các nghiệm thực đơn, tức là có thể biểu diễn: N ( z −1 ) N ( z −1 ) X ( z) = = D( z ) (1 − p1 z −1 )(1 − p2 z −1 )(1 − p3 z −1 )....... −1 A3 A1 A2 = + + + .... −1 −1 −1 1 − p1 z 1 − p2 z 1 − p3 z trong đó, các hệ số được xác định như sau: Ai = ⎡(1 − p i z −1 ) X ( z ) ⎤ ⎣ ⎦ z = pi 16 5/22/2010
  17. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược của tín hiệu sau: 2 − 2 .0 5 z − 1 X (z) = 1 − 2 .0 5 z − 1 + z − 2 Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp: 2 − 2.05 z −1 2 − 2.05 z −1 A1 A2 X ( z) = = = + 1 − 2.05 z −1 + z −2 (1 − 0.8 z −1 )(1 − 1.25 z −1 ) (1 − 0.8 z −1 ) (1 − 1.25 z −1 ) Xác định các hệ số: ⎡ 2 − 2.05 z −1 ⎤ A1 = ⎡ (1 − 0.8 z ) X ( z ) ⎤ −1 =⎢ =1 ⎥ ⎣ ⎦ z = 0.8 1 − 1.25 z −1 ⎦ z =0.8 ⎣ ⎡ 2 − 2.05 z −1 ⎤ ⎡ ⎤ −1 A2 = ⎣ (1 − 1.25 z ) X ( z ) ⎦ z =1.25 = ⎢ =1 ⎥ 1 − 0.8 z −1 ⎦ z =1.25 ⎣ Các biến đổi Z ngược có thể có: ⎧(0.8)n u(n) + (1.25)n u(n), | z |>1.25 ⎪ x(n) = ⎨(0.8)n u(n) − (1.25)n u(−n −1), 1.25 >| z |> 0.8 ⎪−(0.8)n u(−n −1) − (1.25)n u(−n −1), | z |< 0.8 ⎩ 17 5/22/2010
  18. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp: D(z) có các nghiệm thực bội, tức là có thể biểu diễn: N(z−1) N(z−1) X(z) = −1 = D(z ) (1− pz−1)(1− p2z−1)...(1− pk z−1)h...... 1 ⎛ Ak ⎞ Ak A A A = + + + +...+ +... −1 ⎜ −1 h ⎟ 1 2 hk 1 2 −1 −1 −1 2 1− pz 1− p2z ⎝1− p3z (1− p3z ) (1− p3z ) ⎠ 1 trong đó, các hệ số được xác định như sau: Ai = ⎡(1 − p i z −1 ) X ( z ) ⎤ ;i ≠ k ⎣ ⎦ z = pi 1 dh− j ⎡(1− p k z−1)h X (z)⎤ Ajk = ; j =1,..., h (h − j)! dzh− j ⎣ ⎦ z= pk 18 5/22/2010
  19. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa về tổng các phân thức sơ cấp: Trường hợp 2: (bậc tử số bằng bậc mẫu số) N ( z −1 ) N ( z −1 ) X ( z) = = D( z ) (1 − p1 z −1 )(1 − p2 z −1 )(1 − p3 z −1 )....... −1 A3 A1 A2 = A0 + + + + .... −1 −1 −1 1 − p1 z 1 − p2 z 1 − p3 z trong đó, các hệ số được xác định như sau: A0 = [ X ( z )]z =0 ; Ai = ⎡(1 − p i z −1 ) X ( z ) ⎤ ⎣ ⎦ z = pi Ví dụ 10: Tìm tất cả các biến đổi Z ngược có thể có của X(z): − 1 + z + 1 0 z −2 X (z) = − 0 .2 5 + z − 2 19 5/22/2010
  20. Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 5 BIẾN ĐỔI Z (tt) Biểu diễn thành tổng các phân thức sơ cấp: −1 + z + 10 z 2 10 + z −1 − z −2 A1 A2 X ( z) = = = A0 + + 1 − 0.25 z −2 1 − 0.5 z −1 1 + 0.5 z −1 −0.25 + z 2 Xác định các hệ số: ⎡10 − z −1 − z −2 ⎤ A0 = [ X ( z ) ] =⎢ ⎥ =4 z =0 0.25 − z −2 ⎦ z =0 ⎣ ⎡ ⎤ A1 = ⎣ (1 − 0.5 z −1 ) X ( z ) ⎦ =4 z = 0.5 ⎡ ⎤ A2 = ⎣ (1 + 0.5 z −1 ) X ( z ) ⎦ =2 z =−0.5 Suy ra: 4 2 X ( z) = 4 + + 1 − 0.5 z −1 1 + 0.5 z −1 Các biến đổi Z ngược có thể có: ⎧4δ (n) + 4(0.5)n u(n) + 2(−0.5)n u(n); | z |> 0.5 x(n) = ⎨ 4δ (n) − 4(0.5)n u(−n −1) − 2(−0.5)n u(−n −1); | z |> 0.5 ⎩ 20 5/22/2010
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2