Bài tập Xử lý số tín hiệu

Chương 3: Các hệ thống thời gian rời rạc

Bài 3.1

 Xác định tính chất tuyến tính, bất biến của hệ thống 1. y(n) = 3x(n) + 5 2. y(n) = x2(n-1) + x(2n) 3. y(n) = ex(n) 4. y(n) = nx(n – 3) + 3x(n) 5. y(n) = n + 3x(n) Giải câu 1 (các câu còn lại tương tự)  Kiểm tra tính tuyến tính: - Gọi y1(n), y2(n) là đầu ra tương ứng với đầu vào x1(n), x2(n)

y1(n) = 3x1(n) + 5 y2(n) = 3x2(n) + 5

Bài 3.1

- Khi đầu vào là x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) thì đầu ra là

(1) y(n) = 3x(n) + 5 = 3(a1x1(n) + a2x2(n)) + 5 = a1.3x1(n) + a2. 3x2(n) + 5

- Tổ hợp của y1(n) và y2(n) là a1.y1(n) + a2.y2(n) = a1[3x1(n) + 5] + a2[3x2(n) + 5]

- So sánh (1) và (2) thì y(n) khác a1.y1(n) + a2.y2(n) nên hệ

= a1.3x1(n) + a2.3x2(n) + 5(a1 + a2) (2)

thống không có tính tuyến tính

Bài 3.1

 Kiểm tra tính bất biến - Cho tín hiệu vào là xD(n) = x(n – D), gọi đầu ra tương

ứng là yD(n):

- Đầu ra y(n) làm trễ đi D mẫu là

yD(n) = 3xD(n) + 5 = 3x(n – D) + 5

- yD(n) = y(n – D)  hệ thống có tính bất biến

y(n – D) = 3x(n – D) + 5

Bài 3.2

 Xác định đáp ứng xung nhân quả của hệ thống LTI có pt

I/O sau:

y(n) = 4x(n) + x(n – 1) + 4x(n – 3) Giải

Cho đầu vào x(n) = (cid:0) (n)  đầu ra y(n) = h(n) Vậy: h(n) = 4(cid:0) (n) + (cid:0) (n – 1) + 4(cid:0) (n – 3)

hay: h = [4; 1; 0; 4]

Bài 3.3

 Xđ đáp ứng xung nhân quả h(n) khi n ≥ 0 của hệ thống

LTI có: y(n) = - 0.81y(n – 2) + x(n)

Giải - Cho x(n) = (cid:0) (n) => y(n) = h(n) - Thay vào pt I/O suy ra: h(n) = - 0.81h(n – 2) + (cid:0) (n) - Nhân quả nên h(n) = 0 với n < 0 - h(0) = - 0.81h(-2) + (cid:0) (0) = 1 - h(1) = - 0.81h(-1) + (cid:0) (1) = 0 - h(2) = - 0.81h(0) = - 0.81 - h(3) = - 0.81h(1) = 0

…

Bài 3.3

 Tóm lại h(n) = 0 với n < 0 Với n ≥ 0 thì: h(n) = 0 h(n) = (-0.81)n/2

với n lẻ với n chẵn

Bài 3.4

 Xác định pt I/O đối với hệ thống LTI có đáp ứng xung

h(n) = (-0.6)nu(n)

Giải h(n) = [1 -0.6 (-0.6)2 (-0.6)3 … ] Áp dụng công thức tích chập: y(n) = h(n)*x(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + h(2)x(n – 2) + …

(cid:0)

y(n) = x(n) + (-0.6)x(n – 1) + (-0.6)2x(n – 2) + … = x(n) + (-0.6)[x(n – 1) + (-0.6)x(n – 2) +

(-0.6)2x(n – 3) + …]

Bài 3.4

Mà y(n – 1) = h(0)x(n – 1) + h(1)x(n – 2) + h(2)x(n – 3) + …

= x(n – 1) + (-0.6)x(n-2) + (-0.6)2x(n – 3) + …

(cid:0) y(n) = x(n) + (-0.6)y(n – 1)

Vậy phương trình vi sai I/O của hệ thống là:

y(n) = - 0.6y(n – 1) + x(n)