Bảng các tích phân cơ bản

Chia sẻ: HOA HUONG | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

870
lượt xem 98
download

Bảng các tích phân cơ bản

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bảng các tích phân cơ bản

Bảng các tích phân cơ bản ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự Hàm Cơ Bản Hàm Hợp u n +1 x n +1 +u du = n + 1 + C ( n ( +x dx = n + 1 + C n n ( n ( -1 ) -1 ) 1 1 =u du = ln u + C =xdx = ln x + C =eu du = eu + C =e x dx = e x + C au ax =a du = ln a + C =a dx = ln a + C u x = u.du = −cosu + C =sinx.dx = −cosx + C sin =cosu.du = sin u + C =cosx.dx = sin x + C du � 2u = �+ t an u ) du = tan x + C (1 2 dx =cos 2 x = tan x + C cos du � u = −�+ cot u ) du = − cot x + C (1 dx 2 =sin 2 x = − cot x + C 2 sin Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh: dx =sin x = ln tan 2 + C x 1. Chưng minh: x 1 1� x� t = tan � dt = dx = . �+ tan 2 � 1 dx 2x Đặt 2 2� 2� 2cos 2 1 dt = . ( 1 + t 2 ) dx 2 Ta có công thức lượng giác sau:
� x� x x � � 2sin .cos 2 tan 2t 2 2 2� � x= sin x = = , vi sin � � x �� 1+ t 2 2 2 2 � x� � x� sin �+ �os � 1 + � c tan �� 2� � 2� � 2 �� 2dt ( 1 + t 2 ) = dt = ln t + C = ln tan x + C dx � x = � 2t � 2 sin t 1+ t2 dx = ln tan ( 2 + π ) + C =cosx x 2. 4 Chứng minh: � π� Ta có cosx = sin � + x � � 2� Làm tương tự bài trên: Đặt � π� � π� 1� � x 1 x t = tan � + � dt = dx = . �+ tan 2 � + �dx � 1 � x π� 2� � 4� 2 2� � 4� 2 � 2cos � + � � 4� 2 1 dt = . ( 1 + t 2 ) dx 2 2dt ( 1 + t 2 ) = dt = ln t + C = ln tan � + π � C dx x �x =� � + � � 2t cos t 2 4� � 1+ t 2
a+x dx 1 −a 2 − x 2 2a a − x + C ( a = ln 3. ( 0) Chứng minh: dx 1 �1 1� � − x 2 2a � + x a − x � = − dx � a2 a � � 1 �+x� 1 a = ( ln ( a + x ) − ln ( a − x ) ) = + ln � �C 2a � − x � 2a a x−a dx 1 −x 2 − a 2 2a x + a + C ( a = ln ( 0) 4. Chứng minh: dx 1 �1 1� � − a 2 2a � − a x + a � = − dx � 2 x x � � x− 1 ( ln ( x − a ) − ln ( x + a ) ) = 2a ln x + a + C 1 = 2a a dx + = ln x + x 2 + a 2 +a , a C 0 5. x +a 2 2 Chứng minh: Đặt u = x + x2 + a2 � � + x2 + a2 � � x x du = �+ d =� � 1 dx �� 2 � x2 + a2 � � x +a 2 � � du dx = u x2 + a2 dx du �� = � = ln u = ln x + x 2 + a 2 + C u x2 + a2
dx − = ln x + x 2 − a 2 + C , x > a > 0 6. x2 − a2 Chứng minh: u = x + x2 − a2 Đặt � � + x2 − a2 � � x x du = �+ d =� � 1 dx �� 2 � � x +a � � x −a 2 2 2 � du dx = u x2 − a2 dx du �� = � = ln u = ln x + x 2 − a 2 + C u x2 − a2 x2 A + x 2 + Adx = x + A + ln x + x 2 + A + C 7. 2 2 Chứng minh: x u = x 2 + A , dv = dx � du = ,v = x Đặt x +A 2 x2 �x + Adx = x x + A − � 2 2 dx x +A 2 x2 + A − A = x x + A−+ 2 dx x +A 2 dx = x x 2 + A − � 2 + Adx + A� x x2 + A
2 + x 2 + Adx = x x 2 + A + A ln x + x 2 + A + C x2 A + x 2 + Adx = x + A + ln x + x 2 + A + C 2 2 Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến Đổi biến dưới dấu tích phân u = ϕ ( x) Cần tính tích phân f f ( x)dx . Giả sử có thể tìm được hàm khả vi f f ( x)dx và hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân có thể viết dưới dạng: �( x)dx = � f ( x)] .ϕ ( x)dx = �u ) du g[ ' f g( u =ϕ ( x ) u = ϕ ( x) Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến u = ϕ ( x) . dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới u = ϕ ( x) Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến là việc tính f f ( x)dx được đưa đến tí ch phân gg (u )du , thường đơn giản tích phân hơn tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u = ϕ ( x) vào kết quả tìm được. Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn. b b b u ( x ) v ( x ) dx = �( x ) v ( x ) � − �( x ) v ( x ) dx � ' u' u � � a a a Hay b b b � = u.v −� udv vdu a a a Giải thích:
dv = v ' dx , Ta có: du = u ' dx Một sô cách tính hay biến đổi tích phân Biến đổi lượng giác. a 2 − x 2 thì đặt x = asint, do đó Nếu tích phân có chứa căn thức dx = a cos tdt a 2 − x 2 = a cos t , x 2 + a 2 thì đặt x = atant, do đó Nếu tích phân có chứa căn thức a a.dt x2 + a2 = , dx = cos 2t a cos t

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD