Bảng các tích phân cơ bản

Chia sẻ: HOA HUONG | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 98
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bảng các tích phân cơ bản

Bảng các tích phân cơ bản ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự Hàm Cơ Bản Hàm Hợp u n +1 x n +1 +u du = n + 1 + C ( n ( +x dx = n + 1 + C n n ( n ( -1 ) -1 ) 1 1 =u du = ln u + C =xdx = ln x + C =eu du = eu + C =e x dx = e x + C au ax =a du = ln a + C =a dx = ln a + C u x = u.du = −cosu + C =sinx.dx = −cosx + C sin =cosu.du = sin u + C =cosx.dx = sin x + C du � 2u = �+ t an u ) du = tan x + C (1 2 dx =cos 2 x = tan x + C cos du � u = −�+ cot u ) du = − cot x + C (1 dx 2 =sin 2 x = − cot x + C 2 sin Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh: dx =sin x = ln tan 2 + C x 1. Chưng minh: x 1 1� x� t = tan � dt = dx = . �+ tan 2 � 1 dx 2x Đặt 2 2� 2� 2cos 2 1 dt = . ( 1 + t 2 ) dx 2 Ta có công thức lượng giác sau:
� x� x x � � 2sin .cos 2 tan 2t 2 2 2� � x= sin x = = , vi sin � � x �� 1+ t 2 2 2 2 � x� � x� sin �+ �os � 1 + � c tan �� 2� � 2� � 2 �� 2dt ( 1 + t 2 ) = dt = ln t + C = ln tan x + C dx � x = � 2t � 2 sin t 1+ t2 dx = ln tan ( 2 + π ) + C =cosx x 2. 4 Chứng minh: � π� Ta có cosx = sin � + x � � 2� Làm tương tự bài trên: Đặt � π� � π� 1� � x 1 x t = tan � + � dt = dx = . �+ tan 2 � + �dx � 1 � x π� 2� � 4� 2 2� � 4� 2 � 2cos � + � � 4� 2 1 dt = . ( 1 + t 2 ) dx 2 2dt ( 1 + t 2 ) = dt = ln t + C = ln tan � + π � C dx x �x =� � + � � 2t cos t 2 4� � 1+ t 2
a+x dx 1 −a 2 − x 2 2a a − x + C ( a = ln 3. ( 0) Chứng minh: dx 1 �1 1� � − x 2 2a � + x a − x � = − dx � a2 a � � 1 �+x� 1 a = ( ln ( a + x ) − ln ( a − x ) ) = + ln � �C 2a � − x � 2a a x−a dx 1 −x 2 − a 2 2a x + a + C ( a = ln ( 0) 4. Chứng minh: dx 1 �1 1� � − a 2 2a � − a x + a � = − dx � 2 x x � � x− 1 ( ln ( x − a ) − ln ( x + a ) ) = 2a ln x + a + C 1 = 2a a dx + = ln x + x 2 + a 2 +a , a C 0 5. x +a 2 2 Chứng minh: Đặt u = x + x2 + a2 � � + x2 + a2 � � x x du = �+ d =� � 1 dx �� 2 � x2 + a2 � � x +a 2 � � du dx = u x2 + a2 dx du �� = � = ln u = ln x + x 2 + a 2 + C u x2 + a2
dx − = ln x + x 2 − a 2 + C , x > a > 0 6. x2 − a2 Chứng minh: u = x + x2 − a2 Đặt � � + x2 − a2 � � x x du = �+ d =� � 1 dx �� 2 � � x +a � � x −a 2 2 2 � du dx = u x2 − a2 dx du �� = � = ln u = ln x + x 2 − a 2 + C u x2 − a2 x2 A + x 2 + Adx = x + A + ln x + x 2 + A + C 7. 2 2 Chứng minh: x u = x 2 + A , dv = dx � du = ,v = x Đặt x +A 2 x2 �x + Adx = x x + A − � 2 2 dx x +A 2 x2 + A − A = x x + A−+ 2 dx x +A 2 dx = x x 2 + A − � 2 + Adx + A� x x2 + A
2 + x 2 + Adx = x x 2 + A + A ln x + x 2 + A + C x2 A + x 2 + Adx = x + A + ln x + x 2 + A + C 2 2 Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến Đổi biến dưới dấu tích phân u = ϕ ( x) Cần tính tích phân f f ( x)dx . Giả sử có thể tìm được hàm khả vi f f ( x)dx và hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân có thể viết dưới dạng: �( x)dx = � f ( x)] .ϕ ( x)dx = �u ) du g[ ' f g( u =ϕ ( x ) u = ϕ ( x) Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến u = ϕ ( x) . dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới u = ϕ ( x) Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến là việc tính f f ( x)dx được đưa đến tí ch phân gg (u )du , thường đơn giản tích phân hơn tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế u = ϕ ( x) vào kết quả tìm được. Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn. b b b u ( x ) v ( x ) dx = �( x ) v ( x ) � − �( x ) v ( x ) dx � ' u' u � � a a a Hay b b b � = u.v −� udv vdu a a a Giải thích:
dv = v ' dx , Ta có: du = u ' dx Một sô cách tính hay biến đổi tích phân Biến đổi lượng giác. a 2 − x 2 thì đặt x = asint, do đó Nếu tích phân có chứa căn thức dx = a cos tdt a 2 − x 2 = a cos t , x 2 + a 2 thì đặt x = atant, do đó Nếu tích phân có chứa căn thức a a.dt x2 + a2 = , dx = cos 2t a cos t