1
TCH PHÂN
Tch phân bất định, xác định v
ng dng
Lecture 7
Nguyen Van Thuy
Tch phân bất định
𝑓(𝑥): đo hm ca 𝐹(𝑥)
(𝐹(𝑥))’ = 𝑓(𝑥)
𝐹(𝑥): 1 nguyên hm ca 𝑓(𝑥)
𝑥3
3+1 ′= 𝑥2⟹𝑥3
3+1 l mt nguyên hm
ca 𝑥2
𝑥3
3−5 ′=𝑥3
3+𝐶 ′= ⋯ = 𝑥2
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-2
Tch phân bất định
số nguyên hm của hàm 𝑥2?
dang tổng qut?
tch phân bất đinh cua hm 𝑥2
𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3
3+𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-3
Tch phân bất định
Vy
Tnh chất
𝐶𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐶
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ±
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
( ( ))' ( ) ( ) ( )F x f x f x dx F x C
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-4
Công thc tch phân cơ bản
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
ln | |
1
1
sin( ) cos( )
1
cos( ) sin( )
ax b ax b
dx x a C
xa
e dx e C
a
ax b dx ax b C
a
ax b dx ax b C
a


22
2
2
22
22
1a r c t a n
ar
1ln
2
l
cs
|
i
n|
n
d u u a C
u a a
d u u C
u a a
ua
du uu
a
d u u C
k
a
C
k
u
u
a




7-5
Tch phân bất định
Phương pháp đi bin s
Phương pháp tch phân tng phn
Tch phân hm hu t
Tch phân hm vô t
Tch phân hm lưng giác
Maple: int(f(x),x)
GG: Tichphan[f(x)]
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-6
2
Tch phân bất định
Câu 313. Tnh tch phân 𝐼 =
𝑑𝑥
𝑥(𝑥+1)
𝑎) 𝐼 = arctan 𝑥+𝐶 𝑏) 𝐼 = 2arctan 𝑥+𝐶
𝑐) 𝐼 = arcsin 𝑥+𝐶 𝑑) 𝐼 = ln 𝑥+𝐶
Câu 345. Tnh tch phân 𝐼 =
4𝑥3𝑑𝑥
1−𝑥8
𝑎) 𝐼 = 2 1−𝑥8+𝐶 𝑏) 𝐼 = ln 𝑥4− 1−𝑥8+𝐶
𝑐) 𝐼 = ln 𝑥4+ 1−𝑥8+𝐶 𝑑) 𝐼 = arcsin 𝑥4+𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-7
Tch phân bất định
Câu 387. Tnh tch phân 𝐼 = 4
𝑥cos 2𝑥𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥−2𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝐶 𝑏) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥+2𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝐶
𝑐) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝐶 𝑑) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝐶
Câu 393. Tnh tch phân 𝐼 =
ln 𝑥
𝑥3𝑑𝑥
𝑎) 𝐼 = −2𝑙𝑛𝑥−1
4𝑥2+𝐶 𝑏)𝐼 = −2𝑙𝑛𝑥+1
𝑥2+𝐶
𝑐) 𝐼 = 2𝑙𝑛𝑥+1
4𝑥2+𝐶 𝑑) 𝐼 = −2𝑙𝑛𝑥+1
4𝑥2+𝐶
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-8
Bài toán diện tch
Tnh diện tch hình phẳng S
{( , ) | ,0 ( )}S x y a x b y f x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-9
Bài toán diện tch
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-10
Bài toán diện tch
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-11
* * *
12
()lim[() () ()]
n
n
dtS fxxfxxfxx

Bài toán diện tch
V d
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-12
𝑦 = 𝑥2
S=?
3
Bài toán diện tch
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-13
𝑛 = 4,𝑝𝑕ả𝑖,𝐴 ≈ 0.46875 𝑛 = 4,𝑡𝑟á𝑖,𝐴 ≈ 0.21875
Bài toán diện tch
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-14
𝑛 = 10,𝑡𝑟á𝑖,𝐴 ≈ 0.285 𝑛 = 10,𝑝𝑕ả𝑖,𝐴 ≈ 0.385
Bài toán diện tch
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-15
𝑦 = 𝑥2
Định ngha tch phân xác định
Chia đoan [𝑎,𝑏] thnh 𝑛 đoan con
Lấy tùy ý 𝑐𝑖∈ [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖]
Lâp tổng tch phân
𝑆𝑛=
𝑓(𝑐𝑖)(𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)
𝑛
𝑖=1
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-16
𝑎 𝑏
𝑥0 𝑥1 𝑥𝑖−1 𝑥𝑛
𝑐𝑖 𝑥𝑖
Tch phân xác định
Định nghĩa
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎= lim
𝑛→∞
𝑓 𝑐𝑖
𝑛
𝑖=1 (𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)
Công thc Newton-Leibniz
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎= 𝐹 𝑏 −𝐹(𝑎)
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-17
Tnh chất
'
'
()
()
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( )]. '( ) [ ( )]. '( )
bb
aa
b b b
a a a
x
a
vx
ux
C f x d x C f x d x
f x g x d x f x d x g x d x
f t d t f x
f t d t f v x v x f u x u x









12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-18
4
Tnh tch phân xác định
Tương tư như tch phân bất đinh
Phương php đổi biến số
Phương php tch phân tưng phần
𝑢𝑑𝑣
𝑏
𝑎=𝑢𝑣
𝑏
𝑎−
𝑣𝑑𝑢
𝑏
𝑎
Tch phân hm hưu ty, hàm vô tỷ
Tch phân hm lương gic
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-19
Tnh tch phân xác định
Maple: int(f(x),x=a..b)
GG: Tichphan[f(x),a,b]
(406)
(409)
1
4 ln
e
I x xdx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-20
22
) 1 ) 1 ) 1 )a I e b I e c I d I e
1
0
2arccosI xdx
) 2 ) 2 ) 2 ) 1a I b I c I d I

V d
Tnh
(395)
(398)
0
2
0
sin
lim
x
x
tdt
Lx
2
0
2
10
0
( 1) ln(cos )
lim
t
x
x
e t dt
Lx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-21
1
) 0 ) ) 1 )
2
a L b L c I d I 
1 1 1 1
) ) ) )
10 10 20 20
a L b L c I d I
Diện tch gia đưng cong và trc hoành
{( , )
( ) (
| ,0 ( }
)
)
b
a
S x y a x b y f
A S f x d
x
x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-22
Diện tch gia 2 đưng cong
( ) [ ( )
{( , ) | , ( ) ( )}
( )]
b
a
S x y a x b g x y f x
A S f x g x dx
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-23
Diện tch gia 2 đưng cong
V d. Tnh diện tch phn hình phẳng đưc
tô đm sau
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-24
5
Diện tch gia 2 đưng cong
( ) [ ( )
{( , ) | , ( ) ( )}
( )]
d
c
S x y c y d g y x f y
A S f y g y dy
S
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-25
Diện tch gia 2 đưng cong
V d. Tnh diện tch phn hình phẳng đưc
tô đm sau
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-26
Diện tch gia 2 đưng cong
Tnh diện tch hình phẳng gii hn bi 2
đưng
2
1, 2 6y x y x
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-27
Th tch
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
()
b
a
V A x dx
7-28
Th tch
V d. Tnh th tch hình cu bán knh r
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
22
2 2 2
22
3
23
( ) ( )
( ) ( )
4
33
rr
rr
r
r
y r x
A x y r x
V A x dx r x dx
x
r x r








7-29
Th tch vt th trn xoay
12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy
2 ( )
b
y
a
V xf x dx
2
[ ( )]
b
x
a
V f x dx
7-30