Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 7 - Nguyễn Văn Thùy

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Lecture 7: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức về "Tích phân bất định, xác định và ứng dụng" bao gồm: Tích phân bất định, công thức tích phân cơ bản, bài toán diện tích, định nghĩa tích phân xác định,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 7 - Nguyễn Văn Thùy

Lecture 7 Tích phân bất định Nguyen Van Thuy 𝑓(𝑥): đạo hàm của 𝐹(𝑥)  (𝐹(𝑥))’ = 𝑓(𝑥) TÍCH PHÂN 𝐹(𝑥): 1 nguyên hàm của 𝑓(𝑥) ′ 𝑥3 𝑥3  3 +1 = 𝑥2 ⟹ 3 + 1 là một nguyên hàm Tích phân bất định, xác định và của 𝑥2 ứng dụng ′ ′ 𝑥3 𝑥3  −5 = +𝐶 = ⋯ = 𝑥2 3 3 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-2 Tích phân bất định Tích phân bất định  số nguyên hàm của hàm 𝑥 2 ?  Vậy ( F ( x)) '  f ( x)   f ( x)dx F ( x)  C  dạng tổng quát?  Tính chất  tích phân bất định của hàm 𝑥2  𝐶𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥3  𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 = +𝐶 3 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-3 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-4 Công thức tích phân cơ bản Tích phân bất định  Phương pháp đổi biến số du 1 u Phương pháp tích phân từng phần dx  x  a  ln | x  a |  C  u2  a2 a  a rc ta n  C a  du 1 ua  Tích phân hàm hữu tỷ e ax  b 1 ax  b dx  e C   u 2  a2 2a ln ua C a  Tích phân hàm vô tỷ 1 du  sin( ax  b ) dx   a cos( ax  b )  C   ln | u  u 2  k |  C  Tích phân hàm lượng giác u2  k 1  cos( ax  b ) dx  a sin( ax  b )  C du u  Maple: int(f(x),x)  a2  u2  a rc s in  C a  GG: Tichphan[f(x)] 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-5 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-6 1
Tích phân bất định Tích phân bất định  Câu 313. Tính tích phân 𝐼 = 𝑑𝑥  Câu 387. Tính tích phân 𝐼 = 4 𝑥cos 2𝑥𝑑𝑥 𝑥(𝑥+1)  𝑎) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶  𝑎) 𝐼 = arctan 𝑥 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = 2arctan 𝑥 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = 2𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = arcsin 𝑥 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = ln 𝑥 + 𝐶 ln 𝑥  Câu 393. Tính tích phân 𝐼 = 𝑥3 𝑑𝑥 4𝑥 3 𝑑𝑥  Câu 345. Tính tích phân 𝐼 = 1−𝑥 8 2𝑙𝑛𝑥−1 2𝑙𝑛𝑥+1  𝑎) 𝐼 = − 4𝑥 2 + 𝐶 𝑏)𝐼 = − 𝑥2 +𝐶  𝑎) 𝐼 = 2 1 − 𝑥 8 + 𝐶 𝑏) 𝐼 = ln 𝑥4 − 1 − 𝑥8 + 𝐶 2𝑙𝑛𝑥+1 2𝑙𝑛𝑥+1 𝑐) 𝐼 = ln 𝑥 4 + 1 − 𝑥 8 + 𝐶 𝑑) 𝐼 = arcsin 𝑥 4 + 𝐶  𝑐) 𝐼 = + 𝐶 𝑑) 𝐼 = − + 𝐶  4𝑥 2 4𝑥 2 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-7 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-8 Bài toán diện tích Bài toán diện tích  Tính diện tích hình phẳng S S  {( x, y) | a  x  b,0  y  f ( x)} 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-9 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-10 Bài toán diện tích Bài toán diện tích  Ví dụ 𝑦 = 𝑥2 S=? d t ( S) l i m[f (* x 1 ) xf (* x 2 ) x f (* x n ) x]  n 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-11 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-12 2
Bài toán diện tích Bài toán diện tích 𝑛 = 4, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.21875 𝑛 = 4, 𝑝𝑕ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.46875 𝑛 = 10, 𝑡𝑟á𝑖, 𝐴 ≈ 0.285 𝑛 = 10, 𝑝𝑕ả𝑖, 𝐴 ≈ 0.385 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-13 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-14 Bài toán diện tích Định nghĩa tích phân xác định  Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành 𝑛 đoạn con 𝑎 𝑐𝑖 𝑏 𝑥0 𝑥1 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑥𝑛  Lấy tùy ý 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] 𝑦 = 𝑥2  Lập tổng tích phân 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑓(𝑐𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-15 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-16 Tích phân xác định Tính chất b b Định nghĩa   C f ( x ) dx  C  f ( x ) dx a a 𝑏 𝑛 b b b 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑛→∞ 𝑓 𝑐𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )  [ f ( x )  g ( x )]dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx a a a 𝑎 𝑖=1 ' Công thức Newton-Leibniz  x    f ( t ) dt   f ( x )  𝑏 a  ' 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)  v(x)    f ( t ) dt   f [ v ( x )].v '( x )  f [ u ( x )].u '( x )   𝑎  u(x)  12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-17 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-18 3
Tính tích phân xác định Tính tích phân xác định  Tương tự như tích phân bất định  Maple: int(f(x),x=a..b)  Phương pháp đổi biến số  GG: Tichphan[f(x),a,b] e Phương pháp tích phân từng phần (406) I  4 x ln xdx   𝑏 𝑏 1 𝑏 a) I  1  e 2 b) I  1  e2 c) I  1 d )I  e 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 𝑎 𝑎 𝑎 1  Tích phân hàm hữu tỷ, hàm vô tỷ  (409) I   2 arccos xdx  Tích phân hàm lượng giác 0 a) I    2 b) I    2 c) I  2 d )I  1 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-19 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-20 Ví dụ Diện tích giữa đường cong và trục hoành x  Tính  sin tdt  (395) L  lim 0 x 0 x2 1 a) L  0 b) L  c) I  1 d ) I   0 2  (e  1) 2 ln(cos t )dt t S  {( x, y ) | a  x  b, 0  y  f ( x)} (398) L  lim 2 x  10 b x 0 x 1 1 1 1 A( S )   f ( x)dx a) L  b) L   c) I   d )I  a 10 10 20 20 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-21 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-22 Diện tích giữa 2 đường cong Diện tích giữa 2 đường cong  Ví dụ. Tính diện tích phần hình phẳng được tô đậm sau S  {( x, y ) | a  x  b, g ( x)  y  f ( x)} b A( S )   [ f ( x)  g ( x)]dx a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-23 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-24 4
Diện tích giữa 2 đường cong Diện tích giữa 2 đường cong  Ví dụ. Tính diện tích phần hình phẳng được tô đậm sau S S  {( x, y ) | c  y  d , g ( y )  x  f ( y )} d A( S )   [ f ( y )  g ( y )]dy c 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-25 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-26 Diện tích giữa 2 đường cong Thể tích  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường y  x  1, y  2 x  6 2 b V   A( x)dx a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-27 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-28 Thể tích Thể tích vật thể tròn xoay  Ví dụ. Tính thể tích hình cầu bán kính r y  r 2  x2 A( x)   y 2   (r 2  x 2 ) r r V r  A( x)dx    (r 2  x 2 )dx r r  x  3 b b 4   r 2 x     r 3 Vx    [ f ( x)]2 dx Vy  2  xf ( x)dx  3 r 3 a a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-29 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-30 5
Bài tập  308  448  508  547 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 7-31 6