Bất đẳng thức xoay vòng phần 7

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức xoay vòng phần 7', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức xoay vòng phần 7

www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 2.2 Trư ng h p t ng quát 2.2.1 M t s ki n th c liên quan B t đ ng th c Cauchy đ i v i 2 s a2 + a2 1 2 Cho 2 s không âm a1 , a2 ta luôn có a1 a2 ≤ 2 D u b t đ ng th c x y ra khi và ch khi: a1 = a2 B t đ ng th c Bunhiacopxki Cho 2 dãy s không âm a1 , a2 , · · · , an ; b1 , b2 , · · · , bn ta luôn có n (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a2 + a2 + · · · + a2 )(b2 + b2 + · · · + b2 ) 1 2 n 1 2 n .v a1 a2 an D u c a b t đ ng th c x y ra khi và ch khi: = = ··· = (N u ∃i sao b1 b2 bn cho bi = 0 đó ch là m t cách ký hi u hình th c h H ng đ ng th c bình phương 4 2 (a1 + · · · + an )2 = a2 + · · · + a2 + 2a1 a2 + · · · + 2an−1 an 1 n c 2.2.2 Nh n xét đ c bi t o ih Cho n s không âm a1 , · · · , an khi đó ta luôn có nh ng đánh giá sau mà vi c xây d ng b t đ ng th c d a trên đánh giá này. u ♣ V i trư ng h p 3 s n = 3 Đ t A = a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 và (a2 + a2 + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: V 1 2 3 2 a 2 + a 2 a 2 + a 2 a 2 + a2 1 2 1 3 2 3 A≤ ( + + ) 2 2 2 2 Nh n xét 1: Ta nh n th y r ng trong A các s h ng a1 , a2 , a3 đ u có m t 3 3.2 l n, s các ph n t c a A là 3 = . Trong đánh giá A đư c gi nguyên còn v ph i 2 chia c p ghép đôi tương ng đư c chia cho 2 b ng s xu t hi n c a m i s a1 , a2 , a3 trong A. ⇒ 3A ≤ (a2 + a2 + a2 ) + 2A 1 2 3 ⇔ 3A ≤ (a1 + a2 + a3 )2 1 ⇔ A ≤ (a1 + a2 + a3 )2 3 D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 53 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 ♣ V i trư ng h p 4 s n = 4 Đ t B = a1 a2 + · · · + a3 a4 và (a2 + a2 + a2 + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 2 3 4 3 a2 + a2 1 2 a2 + a2 3 4 B≤ ( + ··· + ) 2 3 3 Nh n xét 2: Ta nh n th y r ng trong B các s h ng a1 , a2 , a3 , a4 đ u có m t 4.3 4 l n , s ph n t c a B là 6 = . Trong đánh giá B đư c gi nguyên còn các ph n 2 t v ph i chia c p ghép đôi tương ng đư c chia cho 3 b ng s xu t hi n c a m i s h ng (a1 , a2 , a3 , a4 ) trong B. ⇒ 8B ≤ 3(a2 + a2 + a2 + a2 ) + 6B 1 2 3 4 ⇔ 8B ≤ 3(a1 + a2 + a3 + a4 )2 3 ⇔ B ≤ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 n 8 D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 .v ♣ V i trư ng h p 5 s n = 5 Đ t C = a1 a2 + · · · + a4 a5 và (a2 + · · · + a2 ) Ta có đánh giá so sánh sau: 1 5h 4 a2 + a2 a2 + a2 C≤ ( 1 2 + ··· + 4 5 ) 2 4 4 4 Nh n xét 3: Ta nh n th y r ng trong C các ph n t a1 , · · · , a5 đ u có m t 4 5.4 2 l n , s các ph n t c a C là 10 = . Trong đánh giá thì C đư c gi nguyên còn các 2 c ph n t v ph i chia ghép đôi tương ng đư c chia cho 4 b ng s xu t hi n c a các s h ng (a1 , · · · , a5 ) trong C. o ⇒ 5C ≤ 2(a2 + · · · + a2 ) + 4C ih 1 5 ⇔ 5C ≤ 2(a1 + · · · + a5 )2 2 ⇔ C ≤ (a1 + · · · + a5 )2 u 5 D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = a5 V ♣ V i trư ng h p 6 s n = 6 Đ t D = a1 a2 + · · · + a5 a6 và (a2 + · · · + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 6 5 a2 + a2 1 2 a2 + a2 5 6 C≤ ( + ··· + ) 2 5 5 Nh n xét 4: Ta nh n th y r ng trong D các s h ng a1 , · · · , a6 đ u có m t 5 6.5 l n, s ph n t c a D là 15 = . Trong đánh giá D đư c gi nguyên còn các ph n t 2 v ph i chia c p ghép đôi tương ng đư c chia cho 5 b ng s xu t hi n c a các ph n t (a1 , · · · , a6 ) trong D. ⇒ 2D ≤ 5(a2 + · · · + a2 ) 1 6 ⇔ 12D ≤ 5(a2 + · · · + a2 ) + 10D 1 6 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 54 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 5 ⇔D≤ (a1 + · · · + a6 )2 12 D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = a6 ♣ V i trư ng h p 7 s n = 7 Đ t E = a1 a2 + · · · + a6 a7 và (a2 + · · · + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 7 6 a2 + a2 1 2 a2 + a2 6 7 E≤ ( ··· + ) 2 6 6 Nh n xét 5: Ta nh n th y r ng trong E các s h ng a1 , · · · , a7 đ u có m t 6 7.6 l n, s ph n t c a E là 21 = . Trong đánh giá E đư c gi nguyên còn v ph i các 2 ph n t ghép đôi đư c chia cho 6 b ng s xu t hi n c a (a1 , · · · , a7 ) trong E. ⇒ E ≤ 3(a2 + · · · + a2 ) 1 7 n ⇔ 7E ≤ 3(a2 + · · · + a2 ) + 6E 1 7 ⇔ 7E ≤ 3(a1 + · · · + a7 )2 .v 3 ⇔ E ≤ (a1 + · · · + a7 )2 7 D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = a7 h ♣ V i trư ng h p n s h ng 4 Đ t F = a1 a2 + · · · + an−1 an và (a2 + · · · + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 n 2 n − 1 a2 + a2 a 2 + a2 F ≤ ( 1 2 · · · + n−1 n ) 2 n−1 n−1 c Nh n xét 6: Ta nh n th y r ng trong F các s h ng a1 , · · · , an đ u có m t (n − 1)n o 2 n − 1 l n, s ph n t c a F là = Cn . Trong đánh giá F đư c gi nguyên còn 2 v ph i các ph n t ghép đôi đư c chia cho n − 1 b ng s xu t hi n c a (a1 , · · · , an ) ih trong F . n−1 2 ⇒F ≤ (a1 + · · · + a2 ) u n 2 2 ⇔ 2F ≤ (n − 1)(a1 + · · · + a2 ) V n ⇔ 2F + 2(n − 1)F ≤ (n − 1)(a1 + · · · + an )2 n−1 ⇔F ≤ (a1 + · · · + an )2 2n D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = an 2.2.3 Trư ng h p t ng quát n s h ng Ta phân tích là t i sao l i có th xây d ng đư c b t đ ng th c phân th c như v y. Ta s đi xây d ng ma tr n h s có n hàng và n − 2 c t như sau : GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 55 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 ♣ Trư ng h p n=3 s   a1 a2      a2 a3    a3 a4 Các ph n t a1 a2 , a1 a3 , a2 a3 ch xu t hi n trong 1 c t duy nh t c a ma tr n và ch có 1 l n. Trong trư ng h p này ta ch xây d ng đư c m t d ng b t đ ng th c phân th c. ♣ Trư ng h p n= 4 s   aa a1 a3 n  1 2     a2 a3 a2 a4  .v      a3 a4 a3 a1    a4 a1 a4 a2 h 4 Nh n th y r ng các ph n t C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 2 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n trong chính c t 2 c D ng bài toán t ng quát 4 ch s này là: o Cho 4 ch s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , s th c α > 2 và các s th c r13 , r24 , r31 , r42  ih r13 + r31 T ng a1 a3  th a mãn: α= r24 + r42 T ng a2 a4  u thì V a1 a2 a3 a4 8 + + + ≥ a1 + αa2 + r13 a3 a2 + αa3 + r24 a4 a3 + αa4 + r31 a1 a4 + αa1 + r42 a2 2 + 3α Ch ng minh Ta có: a1 a2 a3 a4 B= + + + a1 + αa2 + r13 a3 a2 + αa3 + r24 a4 a3 + αa4 + r31 a1 a4 + αa1 + r42 a2 a21 a22 ⇔B= 2 + 2 a1 + αa1 a2 + r13 a1 a3 a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 a23 a24 + 2 + 2 a3 + αa3 a4 + r31 a3 a1 a4 + αa4 a1 + r42 a4 a2 ⇒ B[(a2 + αa1 a2 + r13 a1 a3 ) + (a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 ) 1 2 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 56 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 +(a2 + αa3 a4 + r31 a3 a1 ) + (a2 + αa4 a1 + r42 a4 a2 )] ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 3 4 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki đ i v i 4 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇒B ≥ 2 (a1 + αa1 a2 + a1 a3 ) + · · · + (a2 + αa4 a1 + a4 a2 ) 4 (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a3 a4 ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (α − 2) 3 (a1 + a2 + a3 + a4 )2 8 1 8 8 ⇔B ≥ 3 = = 1 + 8 (2α − 2) 8 + 3(α − 2) 2 + 3α D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Trong bài toán t ng quát này ta ch n các đi u ki n: r13 = r24 = r31 = r42 = α n còn α = 2α ta đư c Bài 2 ♣ Trong trư ng h p n=5 s .v   aa a1 a3 a1 a4  1 2 h  a2 a3 a2 a4 a2 a5    4      a3 a4 a3 a5 a3 a1    2   a4 a5 a4 a1 a4 a2    c a5 a1 a5 a2 a5 a3 o Nh n th y r ng các ph n t : ih C t 1 xu t hi n duy nh t 1 trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 3 u hay c t 2 và c t 3 là gi ng nhau. V D ng bài toán t ng quát c a trư ng h p 5 s này là: Cho 5 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , s th c α > 2 và các s th c r13 , r14 , r24 , r25 , r35 , r31 , r41 , r42 , r52 , r53 th a mãn h  th c:  r + r (T  13  31 ng a1 a3 ) = r14 + r41 (T ng a1 a4 )   α = r24 + r42 (T ng a2 a4 ) = r25 + r52 (T ng a2 a5 )     r35 + r53 (T  ng a3 a5 ) thì a1 a2 a3 C= + + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 a3 + αa4 + +r35 a5 + r31 a1 a4 a5 5 + + ≥ a4 + αa5 + r41 a1 + r42 a2 a5 + αa1 + r52 a2 + r53 a3 1 + 2α GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 57 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ch ng minh. Ta có: a1 a2 a3 C= + + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 ) a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 ) a3 + αa4 + r35 a5 + r31 a1 a4 a5 + + a4 + αa5 + r41 a1 + r42 a2 a5 + αa1 + r52 a2 + r53 a3 a21 a22 ⇔C= 2 + 2 a1 + αa1 a2 + r13 a1 a3 + r14 a1 a4 a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 + r25 a2 a5 a23 a24 + 2 + 2 a3 + αa3 a4 + r35 a3 a5 + r31 a3 a1 a4 + αa4 a5 + r41 a4 a1 + r42 a4 a2 a25 + 2 a5 + αa5 a1 + r52 a5 a2 + r53 a5 a3 ⇒ C[(a2 + αa1 a2 + r13 a1 a3 + r14 a1 a4 ) + (a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 + r25 a2 a5 ) + (a2 + αa3 a4 + 1 2 3 n r3 r35 a3 a5 +r31 a3 a1 )+(a2 +αa4 a5 +r41 a4 a1 +r42 a4 a2 )+(a2 +αa5 a1 +r52 a5 a2 +r53 a5 a3 )] ≥ 4 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 .v (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 5 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇒C ≥ 2 h (a1 + αa1 a2 + a1 a3 + a1 a4 ) + · · · + (a2 + αa5 a1 + r5 a5 a2 + s5 a5 a3 ) 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 4 ⇔C ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a4 a5 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 2 ⇔C ≥ 2 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (α − 2) 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 c 1 5 5 ⇔C ≥ 2 = = 1 + 5 (α − 2) 5 + 2(α − 2) 1 + 2α o D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 ih Trong bài toán này n u ta ch n các đi u ki n: N u r13 = r31 = r24 = r42 = r35 = r53 = r41 = r14 = α còn α = 2α ta s đư c u Bài 3 V N u r13 = r24 = r35 = r41 = r52 = α; r31 = r42 = r53 = r41 = r52 = 0 còn α = α ta s đư c Bài 4 ♣ Trư ng h p n= 6 s   aa a1 a3 a1 a4 a1 a5  1 2   a2 a3 a2 a4 a2 a5 a2 a6        a 3 a 4 a3 a5 a3 a6 a3 a1      a4 a5 a4 a6 a4 a1 a4 a2      a5 a6 a5 a1 a5 a2 a5 a3    a6 a1 a6 a2 a6 a3 a6 a4 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 58 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Nh n th y r ng các ph n t : C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong 2 và m t l n trong 4 hay c t 2 và c t 4 là gi ng nhau. C t 3 thì m i ph n t xu t hi n 2 l n. Trong trư ng h p 6 s này ta xây d ng bài toán t ng quát là: Cho 6 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 s th c α > 2 và các s th c r13 , r14 , r15 , r24 , r25 , r26 , r35 , r36 , , r46 , r41 , r42 , r51 , r52 , r53 , r62 , r63 , r64 th a mãn: r31  r + r (T ng a a ) = r + r (T ng a a ) = r + r (T ng a a )  13  31 1 3 14 41 1 4 51 15 1 5   n α = r24 + r42 (T ng a2 a4 ) = r62 + r26 (T ng a2 a6 ) = r25 + r52 (T ng a2 a5 )    .v  r35 + r53 (T ng a3 a5 ) = r46 + r64 (T ng a4 a6 ) = r36 + r63 (T ng a3 a6 )  thì: a1 h a2 E= + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 + r15 a5 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 + r26 a6 a3 a4 4 + + a3 + αa4 + r35 a5 + r36 a6 + r31 a1 a4 + αa5 + r46 a6 + r41 a1 + r42 a2 a5 a6 12 2 + + ≥ a5 + αa6 + r51 a1 + r52 a2 + r53 a3 a6 + αa1 + r62 a2 + r63 a3 + r64 a4 2 + 5α Ch ng minh. c Ta có: o a1 a2 E= + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 + r15 a5 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 + r26 a6 ih a3 a4 + + a3 + αa4 + r35 a5 + r36 a6 + r31 a1 a4 + αa5 + r46 a6 + r41 a1 + r42 a2 a5 a6 + + u a5 + αa6 + +r51 a1 + r52 a2 + r53 a3 a6 + αa1 + r62 a2 + r63 a3 + r64 a4 ) a21 a22 ⇔E= 2 + 2 V a1 + αa1 a2 + r13 a1 a3 + r14 a1 a4 + r15 a1 a5 a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 + r25 a2 a5 + r26 a2 a6 a23 a24 + 2 + 2 a3 + αa3 a4 + r35 a3 a5 + r36 a3 a6 + r31 a3 a1 a4 + αa4 a5 + r46 a4 a6 + r41 a4 a1 + r42 a4 a2 a25 a26 + 2 + 2 a5 + αa5 a6 + r51 a5 a1 + r52 a5 a2 + r53 a5 a3 a6 + αa6 a1 + r62 a6 a2 + r63 a6 a3 + r64 a6 a4 ⇒ E[(a2 +αa1 a2 +r13 a1 a3 +r14 a1 a4 +r15 a1 a5 )+(a2 +αa2 a3 +r24 a2 a4 +r25 a2 a5 +r26 a2 a6 )+ 1 2 (a2 + αa3 a4 + r35 a3 a5 + r36 a3 a6 + r31 a3 a1 ) + (a2 + αa4 a5 + r46 a4 a6 + r41 a4 a1 + r42 a4 a2 ) + 3 4 (a2 +αr56 a5 a6 +r51 a5 a1 +r52 a5 a2 +r53 a5 a3 )+(a2 +αa6 a1 +r62 a6 a2 +r63 a6 a3 +r64 a6 a4 )] ≥ 5 6 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 6 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇒E≥ 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + α(a1 a2 + · · · + a5 a6 )] 2 3 4 5 6 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 59 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔E≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a5 a6 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔E≥ 5 (a1 + · · · + a6 )2 + (α − 2) 12 (a1 + · · · + a6 )2 1 12 12 12 ⇔E≥ 5 = = = 1 + 12 (2α − 2) 12 + 5(α − 2) 2 + 5α 2 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 Trong bài toán này n u ta ch n các đi u ki n: N u r13 = r14 = r15 = r24 = r25 = r26 = r35 = r36 = r31 = r46 = r41 = r41 = r51 = r52 = r53 = r62 = r63 = r64 = α và α = 2α thì ta có Bài 5 N u r15 = r26 = r31 = r42 = r53 = r64 = 0; r14 = r25 = r36 = r41 = r52 = r63 = α n và r13 = r24 = r35 = r46 = r51 = r62 = 2α thì ta có Bài 6 ♣ Trư ng h p n= 7 s .v   aa a1 a3 a1 a4 a1 a5 a1 a6  1 2 h  a2 a3 a2 a4 a2 a5 a2 a6 a2 a7    4   a3 a4 a3 a5 a3 a6 a3 a7 a3 a1      2   a4 a5 a4 a6 a4 a7 a4 a1 a4 a2      a5 a6 a5 a7 a5 a1 a5 a2 a5 a3  c     a6 a7 a6 a1 a6 a2 a6 a3 a6 a4  o   a 7 a1 a7 a2 a7 a3 a7 a4 a7 a5 ih Nh n th y r ng các ph n t : u C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 V C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 5 hay là c t 2 và c t 5 là gi ng nhau nhau. C t 3 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong côt 3 và m t l n trong c t 4 hay hai c t 3 và c t 4 là gi ng nhau. Trong trư ng h p này ta xây d ng bài toán t ng quát v i 7 s như sau: Cho 7 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 s th c α > 2 và s th c r13 , r14 , r15 , r16 , r24 , r25 , r26 , r27 , r35 , r36 , r37 , r31 , r46 , r47 , r41 , r42 , r57 , r51 , r52 , r53 , r61 , r62 , t63 , r64 , r72 , r73 , r74 , r75 th a mãn: GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 60 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48  r13 + r31   (T ng a1 a3 ) = r14 + r41 (T ng a1 a4 ) = r15 + r51 (T ng a1 a5 )      r + r  16  61 (T ng a1 a6 ) = r24 + r42 (T ng a2 a4 ) = r25 + r52 (T ng a2 a5 )   α = r26 + r62 (T ng a2 a6 ) = r27 + r72 (T ng a2 a7 ) = r35 + r53 (T ng a3 a5 )     r36 + r63   (T ng a3 a6 ) = r37 + r73 (T ng a3 a7 ) = r46 + r64 (T ng a4 a6 )     r47 + r74  (T ng a4 a7 ) = r57 + r75 (T ng a5 a7 ) thì a1 a2 M= + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 + r15 a5 + r16 a6 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 + r26 a6 + r27 a7 a3 a4 + + a3 + αa4 + r35 a5 + r36 a6 + r37 a7 + r31 a1 a4 + αa5 + r46 a6 + r47 a7 + r41 a1 + r42 a2 a5 a6 n + + a5 + αa6 + +r57 a7 + r51 a1 + r52 a2 + r53 a3 a6 + αa7 + r61 a1 + r62 a2 + r63 a3 + r64 a4 ) a7 7 .v + ≥ a7 + αa1 + r72 a2 + r73 a3 + r74 a4 + r75 a5 1 + 6α Ch ng minh. Ta có: h 4 Tương t cách ch ng minh trên ta có: (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 M≥ 2 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + α(a1 a2 + · · · + a6 a7 )] 2 3 4 5 6 7 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔M ≥ c (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a6 a7 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 o ⇔M ≥ (a1 + · · · + a7 )2 + (α − 2) 3 (a1 + · · · + a7 )2 7 1 7 7 ih ⇔M ≥ 3 = = 1 + 7 (α − 2) 7 + 3(α − 2) 1 + 3α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 u Trong bài toán t ng quát v i 7 s này ta ch n các đi u ki n c th : V N u l y các rij = α và α = 2α ta đư c Bài 7 N u l y r16 = r27 = r31 = r42 = r53 = r64 = r75 = 0; r13 = r24 = r35 = r46 = r57 = r61 = r72 = 2α và còn lai rij = α thì ta đư c Bài 8 N u l y r15 = r26 = r37 = r41 = r52 = r63 = r74 = r16 = r27 = r31 = r42 = r53 = r64 = r75 = 0 và còn l i rij = α thì ta đư c Bài 9 Trư ng h p t ng quát GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 61 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ta xây d ng ma tr n h s c n.(n − 2)   a a a a · · · a1 an−1  1 2 1 3   a2 a3 a2 a4 · · · a2 an     . . .    . . .. .   . . . .   an a1 an a2 · · · an an−2 Trong trương h p này ta s d ng đư c bài toán t ng quát sau đây: Cho n s không âm ai , i = 1, n (n ≥ 3); s th c α > 2 và rij i, j = 1, n th a mãn rij + rji = α thì n a1 a2 an 2n P = + +· · ·+ ≥ .v n n−1 n−2 2 + (n − 1)α a1 + αa2 + r1i ai a2 + αa3 + r2i ai an + αa1 + rn ai i=3 i=4 i=2 Ch ng minh h 4 Có th vi t l i bi u th c c a P như sau: a2 a2 a2 2 1 2 n P = n−1 + n +· · ·+ n−2 a2 + αa1 a2 + 1 r1i a1 ai a2 + αa2 a3 + 2 r2i a2 ai a2 + αan a1 + n rni a2 ai c i=3 i=4 i=2 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i n c p s ta đư c: o (a1 + · · · + an )2 P ≥ (a1 + · · · + an )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + an−1 an )2 ih (a1 + · · · + an )2 ⇔P ≥ (a1 + · · · + an )2 + (α − 2) n−1 (a1 + · · · + an )2 2n 1 2n u ⇔P ≥ = 1 + (α − 2) n−12n 2 + (n − 1)α V V y bài toán t ng quát đã đư c ch ng minh. Ta chia n thành 2 trư ng h p, ng v i n ch n và l . V i trư ng h p ch n n = 2m thì ta có:   aa a1 a3 ··· a1 am+1 · · · a1 a2m−1  1 2  ··· a2 am+2 · · ·    a2 a3 a2 a4 a2 a2m     ··· ··· ··· ··· ··· ···      a2m a1 a2m a2 ··· a2m am ··· a2m a2m−2 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 62 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Nh n th y r ng các ph n t : C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 2m − 1 hay là c t 2 và c t 2m − 1 là gi ng nhau. ··· C t i thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t i và m t l n trong c t 2m − i hay là c t i và c t 2m − i là gi ng nhau. ··· Duy nh t c t th m là các ph n t trong c t xu t hi n 2 l n trong chính c t m. Vi c xây d ng b t đ ng th c xoay vòng d a trên cơ s đánh giá s có m t đ y n đ c a a1 a2 , · · · , an−1 an khi c ng t ng m u c a t t c các phân th c b t đ ng th c .v sao cho chúng có cùng t l . Ta ch ra m t trư ng h p đ c bi t c a bài toán t ng quát v i n = 2m b ng cách h α l y rij = 0 n u nó n m bên ph i c t th m trong ma tr n; rij = n u nó n m trên 2 4 c t th m c a ma trân và rij = α t i các v trí còn l i bên trái c t th m 2 Cho n = 2m s không âm ai , i = 1, n, n ≥ 3 và α > 2 a1 a2 c P1 = + + ··· + a1 + α(a2 + · · · + am + 2 am+1 ) a2 + α(a3 + · · · + am+1 + 1 am+2 ) 1 2 an 2n o + ≥ an + α(a1 + · · · + am−1 + 1 am ) 2 2 + (n − 1)α ih V i trư ng h p l n = 2m + 1 thì ta có: u   aa a1 a3 ··· a1 am+1 a1 am+2 ··· a1 a2m  1 2 V  ··· ···    a2 a3 a2 a4 a2 am+1 a2 am+2 a2 a2m+1     ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···      a2m+1 a1 a2m+1 a2 ··· a2m+1 am+1 a2m+1 am+2 · · · a2m+1 a2m−1 Nh n th y r ng các ph n t : C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 2m − 1 hay là c t 2 và c t 2m − 1 là gi ng nhau. ··· C t i thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t i và m t l n trong c t GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 63 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 2m − i + 1 hay là c t i và c t 2m − i + 1 là gi ng nhau. ··· C t m thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t m và m t l n trong c t m + 1 hay là c t m và c t m + 1 là gi ng nhau. Băng phương pháp xây d ng trên ta ch ra m t trư ng h p đơn gi n. B ng cách ch n các rij = 0 t hàng th m + 1 sang ph i; còn l i rij = α thì Cho n = 2m + 1 s không âm ai , i = 1, n, n ≥ 3 và α > 2 thì: a1 a2 P2 = + 3 + ··· + a + + a1 + α(a2 + · · · + am+1 ) a2 + α(a m+2 ) an 2n + ≥ an + α(a1 + · · · + am ) 2 + (n − 1)α n Tóm l i đ xây d ng m t bài toán cùng lo i c n ph i đánh giá s có .v m t đ ng th i cùng t l c a các a1 a2 , · · · , an−1 an dư i m u s c a b t đ ng th c. B ng phương pháp đánh giá này ta có th xây d ng vô s các bài toán h cùng lo i, và xây d ng đư c nhi u d ng b t đ ng th c khác. 4 2 c o ih u V GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 64 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 K t lu n Tóm l i qua khóa lu n này em đã xây d ng đư c m t d ng bài toán b t đ ng th c xoay vòng, gi i quy t tr n v n đư c bài toán t ng quát. Đ t cơ s cho vi c xây d ng các d ng bài toán lo i này, c th là: 1. Xây d ng d ng t ng quát c a trư ng h p b t đ ng th c xoay vòng các trư ng h p đ c bi t v i n = 3, 4, 5, 6, 7 + T bài toán t ng quát v i trư ng h p c th này ta có th t o ra vô s các bài toán. + B ng phương pháp quy n p xây d ng đư c d ng t ng quát v i n s h ng. 2. Trong bài toán t ng quát em đã đưa ra đư c d ng t ng quát c a b t đ ng th c n xoay vòng. Xét bài toán t ng quát trư ng h p đ c bi t: .v + n ch n n = 2m (m ∈ N) + n l n = 2m + 1 (m ∈ N) h - Cũng t bài toán t ng quát v i n s này ta có th suy ra đư c d ng t ng quát c a 4 các bài toán trư ng h p đ c bi t còn l i, là cơ s đ xây d ng vô s các bài toán 2 cùng lo i. Cơ s đ phân tích xây d ng nhi u bài toán khác. c o ih u V GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 65 Sinh viên: Nguy n Văn Cương