YOMEDIA

ADSENSE
Bất đẳng thức xoay vòng phần 7
59
lượt xem 11
download
lượt xem 11
download

Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức xoay vòng phần 7', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bất đẳng thức xoay vòng phần 7
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 2.2 Trư ng h p t ng quát 2.2.1 M t s ki n th c liên quan B t đ ng th c Cauchy đ i v i 2 s a2 + a2 1 2 Cho 2 s không âm a1 , a2 ta luôn có a1 a2 ≤ 2 D u b t đ ng th c x y ra khi và ch khi: a1 = a2 B t đ ng th c Bunhiacopxki Cho 2 dãy s không âm a1 , a2 , · · · , an ; b1 , b2 , · · · , bn ta luôn có n (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a2 + a2 + · · · + a2 )(b2 + b2 + · · · + b2 ) 1 2 n 1 2 n .v a1 a2 an D u c a b t đ ng th c x y ra khi và ch khi: = = ··· = (N u ∃i sao b1 b2 bn cho bi = 0 đó ch là m t cách ký hi u hình th c h H ng đ ng th c bình phương 4 2 (a1 + · · · + an )2 = a2 + · · · + a2 + 2a1 a2 + · · · + 2an−1 an 1 n c 2.2.2 Nh n xét đ c bi t o ih Cho n s không âm a1 , · · · , an khi đó ta luôn có nh ng đánh giá sau mà vi c xây d ng b t đ ng th c d a trên đánh giá này. u ♣ V i trư ng h p 3 s n = 3 Đ t A = a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 và (a2 + a2 + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: V 1 2 3 2 a 2 + a 2 a 2 + a 2 a 2 + a2 1 2 1 3 2 3 A≤ ( + + ) 2 2 2 2 Nh n xét 1: Ta nh n th y r ng trong A các s h ng a1 , a2 , a3 đ u có m t 3 3.2 l n, s các ph n t c a A là 3 = . Trong đánh giá A đư c gi nguyên còn v ph i 2 chia c p ghép đôi tương ng đư c chia cho 2 b ng s xu t hi n c a m i s a1 , a2 , a3 trong A. ⇒ 3A ≤ (a2 + a2 + a2 ) + 2A 1 2 3 ⇔ 3A ≤ (a1 + a2 + a3 )2 1 ⇔ A ≤ (a1 + a2 + a3 )2 3 D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 53 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 ♣ V i trư ng h p 4 s n = 4 Đ t B = a1 a2 + · · · + a3 a4 và (a2 + a2 + a2 + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 2 3 4 3 a2 + a2 1 2 a2 + a2 3 4 B≤ ( + ··· + ) 2 3 3 Nh n xét 2: Ta nh n th y r ng trong B các s h ng a1 , a2 , a3 , a4 đ u có m t 4.3 4 l n , s ph n t c a B là 6 = . Trong đánh giá B đư c gi nguyên còn các ph n 2 t v ph i chia c p ghép đôi tương ng đư c chia cho 3 b ng s xu t hi n c a m i s h ng (a1 , a2 , a3 , a4 ) trong B. ⇒ 8B ≤ 3(a2 + a2 + a2 + a2 ) + 6B 1 2 3 4 ⇔ 8B ≤ 3(a1 + a2 + a3 + a4 )2 3 ⇔ B ≤ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 n 8 D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 .v ♣ V i trư ng h p 5 s n = 5 Đ t C = a1 a2 + · · · + a4 a5 và (a2 + · · · + a2 ) Ta có đánh giá so sánh sau: 1 5h 4 a2 + a2 a2 + a2 C≤ ( 1 2 + ··· + 4 5 ) 2 4 4 4 Nh n xét 3: Ta nh n th y r ng trong C các ph n t a1 , · · · , a5 đ u có m t 4 5.4 2 l n , s các ph n t c a C là 10 = . Trong đánh giá thì C đư c gi nguyên còn các 2 c ph n t v ph i chia ghép đôi tương ng đư c chia cho 4 b ng s xu t hi n c a các s h ng (a1 , · · · , a5 ) trong C. o ⇒ 5C ≤ 2(a2 + · · · + a2 ) + 4C ih 1 5 ⇔ 5C ≤ 2(a1 + · · · + a5 )2 2 ⇔ C ≤ (a1 + · · · + a5 )2 u 5 D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = a5 V ♣ V i trư ng h p 6 s n = 6 Đ t D = a1 a2 + · · · + a5 a6 và (a2 + · · · + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 6 5 a2 + a2 1 2 a2 + a2 5 6 C≤ ( + ··· + ) 2 5 5 Nh n xét 4: Ta nh n th y r ng trong D các s h ng a1 , · · · , a6 đ u có m t 5 6.5 l n, s ph n t c a D là 15 = . Trong đánh giá D đư c gi nguyên còn các ph n t 2 v ph i chia c p ghép đôi tương ng đư c chia cho 5 b ng s xu t hi n c a các ph n t (a1 , · · · , a6 ) trong D. ⇒ 2D ≤ 5(a2 + · · · + a2 ) 1 6 ⇔ 12D ≤ 5(a2 + · · · + a2 ) + 10D 1 6 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 54 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 5 ⇔D≤ (a1 + · · · + a6 )2 12 D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = a6 ♣ V i trư ng h p 7 s n = 7 Đ t E = a1 a2 + · · · + a6 a7 và (a2 + · · · + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 7 6 a2 + a2 1 2 a2 + a2 6 7 E≤ ( ··· + ) 2 6 6 Nh n xét 5: Ta nh n th y r ng trong E các s h ng a1 , · · · , a7 đ u có m t 6 7.6 l n, s ph n t c a E là 21 = . Trong đánh giá E đư c gi nguyên còn v ph i các 2 ph n t ghép đôi đư c chia cho 6 b ng s xu t hi n c a (a1 , · · · , a7 ) trong E. ⇒ E ≤ 3(a2 + · · · + a2 ) 1 7 n ⇔ 7E ≤ 3(a2 + · · · + a2 ) + 6E 1 7 ⇔ 7E ≤ 3(a1 + · · · + a7 )2 .v 3 ⇔ E ≤ (a1 + · · · + a7 )2 7 D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = a7 h ♣ V i trư ng h p n s h ng 4 Đ t F = a1 a2 + · · · + an−1 an và (a2 + · · · + a2 ) ta có đánh giá so sánh sau: 1 n 2 n − 1 a2 + a2 a 2 + a2 F ≤ ( 1 2 · · · + n−1 n ) 2 n−1 n−1 c Nh n xét 6: Ta nh n th y r ng trong F các s h ng a1 , · · · , an đ u có m t (n − 1)n o 2 n − 1 l n, s ph n t c a F là = Cn . Trong đánh giá F đư c gi nguyên còn 2 v ph i các ph n t ghép đôi đư c chia cho n − 1 b ng s xu t hi n c a (a1 , · · · , an ) ih trong F . n−1 2 ⇒F ≤ (a1 + · · · + a2 ) u n 2 2 ⇔ 2F ≤ (n − 1)(a1 + · · · + a2 ) V n ⇔ 2F + 2(n − 1)F ≤ (n − 1)(a1 + · · · + an )2 n−1 ⇔F ≤ (a1 + · · · + an )2 2n D u ” = ” x y ra khi a1 = · · · = an 2.2.3 Trư ng h p t ng quát n s h ng Ta phân tích là t i sao l i có th xây d ng đư c b t đ ng th c phân th c như v y. Ta s đi xây d ng ma tr n h s có n hàng và n − 2 c t như sau : GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 55 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 ♣ Trư ng h p n=3 s a1 a2 a2 a3 a3 a4 Các ph n t a1 a2 , a1 a3 , a2 a3 ch xu t hi n trong 1 c t duy nh t c a ma tr n và ch có 1 l n. Trong trư ng h p này ta ch xây d ng đư c m t d ng b t đ ng th c phân th c. ♣ Trư ng h p n= 4 s aa a1 a3 n 1 2 a2 a3 a2 a4 .v a3 a4 a3 a1 a4 a1 a4 a2 h 4 Nh n th y r ng các ph n t C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 2 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n trong chính c t 2 c D ng bài toán t ng quát 4 ch s này là: o Cho 4 ch s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , s th c α > 2 và các s th c r13 , r24 , r31 , r42 ih r13 + r31 T ng a1 a3 th a mãn: α= r24 + r42 T ng a2 a4 u thì V a1 a2 a3 a4 8 + + + ≥ a1 + αa2 + r13 a3 a2 + αa3 + r24 a4 a3 + αa4 + r31 a1 a4 + αa1 + r42 a2 2 + 3α Ch ng minh Ta có: a1 a2 a3 a4 B= + + + a1 + αa2 + r13 a3 a2 + αa3 + r24 a4 a3 + αa4 + r31 a1 a4 + αa1 + r42 a2 a21 a22 ⇔B= 2 + 2 a1 + αa1 a2 + r13 a1 a3 a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 a23 a24 + 2 + 2 a3 + αa3 a4 + r31 a3 a1 a4 + αa4 a1 + r42 a4 a2 ⇒ B[(a2 + αa1 a2 + r13 a1 a3 ) + (a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 ) 1 2 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 56 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 +(a2 + αa3 a4 + r31 a3 a1 ) + (a2 + αa4 a1 + r42 a4 a2 )] ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 3 4 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki đ i v i 4 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇒B ≥ 2 (a1 + αa1 a2 + a1 a3 ) + · · · + (a2 + αa4 a1 + a4 a2 ) 4 (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a3 a4 ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2 ⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (α − 2) 3 (a1 + a2 + a3 + a4 )2 8 1 8 8 ⇔B ≥ 3 = = 1 + 8 (2α − 2) 8 + 3(α − 2) 2 + 3α D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 Trong bài toán t ng quát này ta ch n các đi u ki n: r13 = r24 = r31 = r42 = α n còn α = 2α ta đư c Bài 2 ♣ Trong trư ng h p n=5 s .v aa a1 a3 a1 a4 1 2 h a2 a3 a2 a4 a2 a5 4 a3 a4 a3 a5 a3 a1 2 a4 a5 a4 a1 a4 a2 c a5 a1 a5 a2 a5 a3 o Nh n th y r ng các ph n t : ih C t 1 xu t hi n duy nh t 1 trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 3 u hay c t 2 và c t 3 là gi ng nhau. V D ng bài toán t ng quát c a trư ng h p 5 s này là: Cho 5 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , s th c α > 2 và các s th c r13 , r14 , r24 , r25 , r35 , r31 , r41 , r42 , r52 , r53 th a mãn h th c: r + r (T 13 31 ng a1 a3 ) = r14 + r41 (T ng a1 a4 ) α = r24 + r42 (T ng a2 a4 ) = r25 + r52 (T ng a2 a5 ) r35 + r53 (T ng a3 a5 ) thì a1 a2 a3 C= + + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 a3 + αa4 + +r35 a5 + r31 a1 a4 a5 5 + + ≥ a4 + αa5 + r41 a1 + r42 a2 a5 + αa1 + r52 a2 + r53 a3 1 + 2α GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 57 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ch ng minh. Ta có: a1 a2 a3 C= + + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 ) a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 ) a3 + αa4 + r35 a5 + r31 a1 a4 a5 + + a4 + αa5 + r41 a1 + r42 a2 a5 + αa1 + r52 a2 + r53 a3 a21 a22 ⇔C= 2 + 2 a1 + αa1 a2 + r13 a1 a3 + r14 a1 a4 a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 + r25 a2 a5 a23 a24 + 2 + 2 a3 + αa3 a4 + r35 a3 a5 + r31 a3 a1 a4 + αa4 a5 + r41 a4 a1 + r42 a4 a2 a25 + 2 a5 + αa5 a1 + r52 a5 a2 + r53 a5 a3 ⇒ C[(a2 + αa1 a2 + r13 a1 a3 + r14 a1 a4 ) + (a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 + r25 a2 a5 ) + (a2 + αa3 a4 + 1 2 3 n r3 r35 a3 a5 +r31 a3 a1 )+(a2 +αa4 a5 +r41 a4 a1 +r42 a4 a2 )+(a2 +αa5 a1 +r52 a5 a2 +r53 a5 a3 )] ≥ 4 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 .v (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 5 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 ⇒C ≥ 2 h (a1 + αa1 a2 + a1 a3 + a1 a4 ) + · · · + (a2 + αa5 a1 + r5 a5 a2 + s5 a5 a3 ) 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 4 ⇔C ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a4 a5 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 2 ⇔C ≥ 2 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 + (α − 2) 5 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 )2 c 1 5 5 ⇔C ≥ 2 = = 1 + 5 (α − 2) 5 + 2(α − 2) 1 + 2α o D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 ih Trong bài toán này n u ta ch n các đi u ki n: N u r13 = r31 = r24 = r42 = r35 = r53 = r41 = r14 = α còn α = 2α ta s đư c u Bài 3 V N u r13 = r24 = r35 = r41 = r52 = α; r31 = r42 = r53 = r41 = r52 = 0 còn α = α ta s đư c Bài 4 ♣ Trư ng h p n= 6 s aa a1 a3 a1 a4 a1 a5 1 2 a2 a3 a2 a4 a2 a5 a2 a6 a 3 a 4 a3 a5 a3 a6 a3 a1 a4 a5 a4 a6 a4 a1 a4 a2 a5 a6 a5 a1 a5 a2 a5 a3 a6 a1 a6 a2 a6 a3 a6 a4 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 58 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Nh n th y r ng các ph n t : C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong 2 và m t l n trong 4 hay c t 2 và c t 4 là gi ng nhau. C t 3 thì m i ph n t xu t hi n 2 l n. Trong trư ng h p 6 s này ta xây d ng bài toán t ng quát là: Cho 6 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 s th c α > 2 và các s th c r13 , r14 , r15 , r24 , r25 , r26 , r35 , r36 , , r46 , r41 , r42 , r51 , r52 , r53 , r62 , r63 , r64 th a mãn: r31 r + r (T ng a a ) = r + r (T ng a a ) = r + r (T ng a a ) 13 31 1 3 14 41 1 4 51 15 1 5 n α = r24 + r42 (T ng a2 a4 ) = r62 + r26 (T ng a2 a6 ) = r25 + r52 (T ng a2 a5 ) .v r35 + r53 (T ng a3 a5 ) = r46 + r64 (T ng a4 a6 ) = r36 + r63 (T ng a3 a6 ) thì: a1 h a2 E= + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 + r15 a5 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 + r26 a6 a3 a4 4 + + a3 + αa4 + r35 a5 + r36 a6 + r31 a1 a4 + αa5 + r46 a6 + r41 a1 + r42 a2 a5 a6 12 2 + + ≥ a5 + αa6 + r51 a1 + r52 a2 + r53 a3 a6 + αa1 + r62 a2 + r63 a3 + r64 a4 2 + 5α Ch ng minh. c Ta có: o a1 a2 E= + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 + r15 a5 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 + r26 a6 ih a3 a4 + + a3 + αa4 + r35 a5 + r36 a6 + r31 a1 a4 + αa5 + r46 a6 + r41 a1 + r42 a2 a5 a6 + + u a5 + αa6 + +r51 a1 + r52 a2 + r53 a3 a6 + αa1 + r62 a2 + r63 a3 + r64 a4 ) a21 a22 ⇔E= 2 + 2 V a1 + αa1 a2 + r13 a1 a3 + r14 a1 a4 + r15 a1 a5 a2 + αa2 a3 + r24 a2 a4 + r25 a2 a5 + r26 a2 a6 a23 a24 + 2 + 2 a3 + αa3 a4 + r35 a3 a5 + r36 a3 a6 + r31 a3 a1 a4 + αa4 a5 + r46 a4 a6 + r41 a4 a1 + r42 a4 a2 a25 a26 + 2 + 2 a5 + αa5 a6 + r51 a5 a1 + r52 a5 a2 + r53 a5 a3 a6 + αa6 a1 + r62 a6 a2 + r63 a6 a3 + r64 a6 a4 ⇒ E[(a2 +αa1 a2 +r13 a1 a3 +r14 a1 a4 +r15 a1 a5 )+(a2 +αa2 a3 +r24 a2 a4 +r25 a2 a5 +r26 a2 a6 )+ 1 2 (a2 + αa3 a4 + r35 a3 a5 + r36 a3 a6 + r31 a3 a1 ) + (a2 + αa4 a5 + r46 a4 a6 + r41 a4 a1 + r42 a4 a2 ) + 3 4 (a2 +αr56 a5 a6 +r51 a5 a1 +r52 a5 a2 +r53 a5 a3 )+(a2 +αa6 a1 +r62 a6 a2 +r63 a6 a3 +r64 a6 a4 )] ≥ 5 6 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki v i 6 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇒E≥ 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + α(a1 a2 + · · · + a5 a6 )] 2 3 4 5 6 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 59 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔E≥ (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a5 a6 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 )2 ⇔E≥ 5 (a1 + · · · + a6 )2 + (α − 2) 12 (a1 + · · · + a6 )2 1 12 12 12 ⇔E≥ 5 = = = 1 + 12 (2α − 2) 12 + 5(α − 2) 2 + 5α 2 + 5α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 Trong bài toán này n u ta ch n các đi u ki n: N u r13 = r14 = r15 = r24 = r25 = r26 = r35 = r36 = r31 = r46 = r41 = r41 = r51 = r52 = r53 = r62 = r63 = r64 = α và α = 2α thì ta có Bài 5 N u r15 = r26 = r31 = r42 = r53 = r64 = 0; r14 = r25 = r36 = r41 = r52 = r63 = α n và r13 = r24 = r35 = r46 = r51 = r62 = 2α thì ta có Bài 6 ♣ Trư ng h p n= 7 s .v aa a1 a3 a1 a4 a1 a5 a1 a6 1 2 h a2 a3 a2 a4 a2 a5 a2 a6 a2 a7 4 a3 a4 a3 a5 a3 a6 a3 a7 a3 a1 2 a4 a5 a4 a6 a4 a7 a4 a1 a4 a2 a5 a6 a5 a7 a5 a1 a5 a2 a5 a3 c a6 a7 a6 a1 a6 a2 a6 a3 a6 a4 o a 7 a1 a7 a2 a7 a3 a7 a4 a7 a5 ih Nh n th y r ng các ph n t : u C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 V C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 5 hay là c t 2 và c t 5 là gi ng nhau nhau. C t 3 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong côt 3 và m t l n trong c t 4 hay hai c t 3 và c t 4 là gi ng nhau. Trong trư ng h p này ta xây d ng bài toán t ng quát v i 7 s như sau: Cho 7 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 s th c α > 2 và s th c r13 , r14 , r15 , r16 , r24 , r25 , r26 , r27 , r35 , r36 , r37 , r31 , r46 , r47 , r41 , r42 , r57 , r51 , r52 , r53 , r61 , r62 , t63 , r64 , r72 , r73 , r74 , r75 th a mãn: GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 60 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 r13 + r31 (T ng a1 a3 ) = r14 + r41 (T ng a1 a4 ) = r15 + r51 (T ng a1 a5 ) r + r 16 61 (T ng a1 a6 ) = r24 + r42 (T ng a2 a4 ) = r25 + r52 (T ng a2 a5 ) α = r26 + r62 (T ng a2 a6 ) = r27 + r72 (T ng a2 a7 ) = r35 + r53 (T ng a3 a5 ) r36 + r63 (T ng a3 a6 ) = r37 + r73 (T ng a3 a7 ) = r46 + r64 (T ng a4 a6 ) r47 + r74 (T ng a4 a7 ) = r57 + r75 (T ng a5 a7 ) thì a1 a2 M= + a1 + αa2 + r13 a3 + r14 a4 + r15 a5 + r16 a6 a2 + αa3 + r24 a4 + r25 a5 + r26 a6 + r27 a7 a3 a4 + + a3 + αa4 + r35 a5 + r36 a6 + r37 a7 + r31 a1 a4 + αa5 + r46 a6 + r47 a7 + r41 a1 + r42 a2 a5 a6 n + + a5 + αa6 + +r57 a7 + r51 a1 + r52 a2 + r53 a3 a6 + αa7 + r61 a1 + r62 a2 + r63 a3 + r64 a4 ) a7 7 .v + ≥ a7 + αa1 + r72 a2 + r73 a3 + r74 a4 + r75 a5 1 + 6α Ch ng minh. Ta có: h 4 Tương t cách ch ng minh trên ta có: (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 M≥ 2 2 (a1 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 + a2 ) + α(a1 a2 + · · · + a6 a7 )] 2 3 4 5 6 7 (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 ⇔M ≥ c (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + a6 a7 ) (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 )2 o ⇔M ≥ (a1 + · · · + a7 )2 + (α − 2) 3 (a1 + · · · + a7 )2 7 1 7 7 ih ⇔M ≥ 3 = = 1 + 7 (α − 2) 7 + 3(α − 2) 1 + 3α D u b ng x y ra khi a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a7 u Trong bài toán t ng quát v i 7 s này ta ch n các đi u ki n c th : V N u l y các rij = α và α = 2α ta đư c Bài 7 N u l y r16 = r27 = r31 = r42 = r53 = r64 = r75 = 0; r13 = r24 = r35 = r46 = r57 = r61 = r72 = 2α và còn lai rij = α thì ta đư c Bài 8 N u l y r15 = r26 = r37 = r41 = r52 = r63 = r74 = r16 = r27 = r31 = r42 = r53 = r64 = r75 = 0 và còn l i rij = α thì ta đư c Bài 9 Trư ng h p t ng quát GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 61 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Ta xây d ng ma tr n h s c n.(n − 2) a a a a · · · a1 an−1 1 2 1 3 a2 a3 a2 a4 · · · a2 an . . . . . .. . . . . . an a1 an a2 · · · an an−2 Trong trương h p này ta s d ng đư c bài toán t ng quát sau đây: Cho n s không âm ai , i = 1, n (n ≥ 3); s th c α > 2 và rij i, j = 1, n th a mãn rij + rji = α thì n a1 a2 an 2n P = + +· · ·+ ≥ .v n n−1 n−2 2 + (n − 1)α a1 + αa2 + r1i ai a2 + αa3 + r2i ai an + αa1 + rn ai i=3 i=4 i=2 Ch ng minh h 4 Có th vi t l i bi u th c c a P như sau: a2 a2 a2 2 1 2 n P = n−1 + n +· · ·+ n−2 a2 + αa1 a2 + 1 r1i a1 ai a2 + αa2 a3 + 2 r2i a2 ai a2 + αan a1 + n rni a2 ai c i=3 i=4 i=2 Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i n c p s ta đư c: o (a1 + · · · + an )2 P ≥ (a1 + · · · + an )2 + (α − 2)(a1 a2 + · · · + an−1 an )2 ih (a1 + · · · + an )2 ⇔P ≥ (a1 + · · · + an )2 + (α − 2) n−1 (a1 + · · · + an )2 2n 1 2n u ⇔P ≥ = 1 + (α − 2) n−12n 2 + (n − 1)α V V y bài toán t ng quát đã đư c ch ng minh. Ta chia n thành 2 trư ng h p, ng v i n ch n và l . V i trư ng h p ch n n = 2m thì ta có: aa a1 a3 ··· a1 am+1 · · · a1 a2m−1 1 2 ··· a2 am+2 · · · a2 a3 a2 a4 a2 a2m ··· ··· ··· ··· ··· ··· a2m a1 a2m a2 ··· a2m am ··· a2m a2m−2 GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 62 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 Nh n th y r ng các ph n t : C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 2m − 1 hay là c t 2 và c t 2m − 1 là gi ng nhau. ··· C t i thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t i và m t l n trong c t 2m − i hay là c t i và c t 2m − i là gi ng nhau. ··· Duy nh t c t th m là các ph n t trong c t xu t hi n 2 l n trong chính c t m. Vi c xây d ng b t đ ng th c xoay vòng d a trên cơ s đánh giá s có m t đ y n đ c a a1 a2 , · · · , an−1 an khi c ng t ng m u c a t t c các phân th c b t đ ng th c .v sao cho chúng có cùng t l . Ta ch ra m t trư ng h p đ c bi t c a bài toán t ng quát v i n = 2m b ng cách h α l y rij = 0 n u nó n m bên ph i c t th m trong ma tr n; rij = n u nó n m trên 2 4 c t th m c a ma trân và rij = α t i các v trí còn l i bên trái c t th m 2 Cho n = 2m s không âm ai , i = 1, n, n ≥ 3 và α > 2 a1 a2 c P1 = + + ··· + a1 + α(a2 + · · · + am + 2 am+1 ) a2 + α(a3 + · · · + am+1 + 1 am+2 ) 1 2 an 2n o + ≥ an + α(a1 + · · · + am−1 + 1 am ) 2 2 + (n − 1)α ih V i trư ng h p l n = 2m + 1 thì ta có: u aa a1 a3 ··· a1 am+1 a1 am+2 ··· a1 a2m 1 2 V ··· ··· a2 a3 a2 a4 a2 am+1 a2 am+2 a2 a2m+1 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· a2m+1 a1 a2m+1 a2 ··· a2m+1 am+1 a2m+1 am+2 · · · a2m+1 a2m−1 Nh n th y r ng các ph n t : C t 1 xu t hi n duy nh t 1 l n trong chính c t 1 C t 2 thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t 2 và m t l n trong c t 2m − 1 hay là c t 2 và c t 2m − 1 là gi ng nhau. ··· C t i thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t i và m t l n trong c t GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 63 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 2m − i + 1 hay là c t i và c t 2m − i + 1 là gi ng nhau. ··· C t m thì các ph n t xu t hi n 2 l n: m t l n trong c t m và m t l n trong c t m + 1 hay là c t m và c t m + 1 là gi ng nhau. Băng phương pháp xây d ng trên ta ch ra m t trư ng h p đơn gi n. B ng cách ch n các rij = 0 t hàng th m + 1 sang ph i; còn l i rij = α thì Cho n = 2m + 1 s không âm ai , i = 1, n, n ≥ 3 và α > 2 thì: a1 a2 P2 = + 3 + ··· + a + + a1 + α(a2 + · · · + am+1 ) a2 + α(a m+2 ) an 2n + ≥ an + α(a1 + · · · + am ) 2 + (n − 1)α n Tóm l i đ xây d ng m t bài toán cùng lo i c n ph i đánh giá s có .v m t đ ng th i cùng t l c a các a1 a2 , · · · , an−1 an dư i m u s c a b t đ ng th c. B ng phương pháp đánh giá này ta có th xây d ng vô s các bài toán h cùng lo i, và xây d ng đư c nhi u d ng b t đ ng th c khác. 4 2 c o ih u V GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 64 Sinh viên: Nguy n Văn Cương
- www.VNMATH.com Khóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 K t lu n Tóm l i qua khóa lu n này em đã xây d ng đư c m t d ng bài toán b t đ ng th c xoay vòng, gi i quy t tr n v n đư c bài toán t ng quát. Đ t cơ s cho vi c xây d ng các d ng bài toán lo i này, c th là: 1. Xây d ng d ng t ng quát c a trư ng h p b t đ ng th c xoay vòng các trư ng h p đ c bi t v i n = 3, 4, 5, 6, 7 + T bài toán t ng quát v i trư ng h p c th này ta có th t o ra vô s các bài toán. + B ng phương pháp quy n p xây d ng đư c d ng t ng quát v i n s h ng. 2. Trong bài toán t ng quát em đã đưa ra đư c d ng t ng quát c a b t đ ng th c n xoay vòng. Xét bài toán t ng quát trư ng h p đ c bi t: .v + n ch n n = 2m (m ∈ N) + n l n = 2m + 1 (m ∈ N) h - Cũng t bài toán t ng quát v i n s này ta có th suy ra đư c d ng t ng quát c a 4 các bài toán trư ng h p đ c bi t còn l i, là cơ s đ xây d ng vô s các bài toán 2 cùng lo i. Cơ s đ phân tích xây d ng nhi u bài toán khác. c o ih u V GV hư ng d n: TS Nguy n Vũ Lương 65 Sinh viên: Nguy n Văn Cương

ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:

Báo xấu

LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
