BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG TOÁN 3

TR NG Đ I H C K THU T CÔNG NGHI P ƯỜ Ệ

Ậ Ọ Ơ Ả

Ỹ Ạ Ọ KHOA KHOA H C C B N B MÔN TOÁN

Ộ

BÀI GI NGẢ

Ch

ươ

ng I: Hàm s nhi u bi n ố

ề

ế

S ti t: 10 lý thuy t + 5 bài t p, th o lu n ố ế ế ậ ả ậ

1.1. Khái ni m m đ u ệ ở ầ

1.2. Đ o hàm và vi phân c a hàm s nhi u bi n s ủ ố ề ế ạ ố

1.3. C c tr c a hàm s nhi u bi n s ị ủ ự ố ề ế ố

1.1. Khái ni m m đ u ệ ở ầ

ị ề ố ố ế

ị

ố ủ

ị

1.1.1. Đ nh nghĩa hàm s nhi u bi n s Đ nh nghĩa ệ Ta g i hàm s c a n bi n s xác đ nh trên D, ký hi u ế ố ọ f: D ﬁ

R, là quy lu t cho ng m i x = (x

ỗ

1, x2, ..., xn) ˛

D v i u = f(x

ớ

ậ ứ 1, x2, ..., xn) ˛ R.

)

(

)

( f x

x x , 1 2

+ +

x 1 2 x 1

x 2 x 2

(cid:0) Ví d :ụ

Mi n xác đ nh

c a hàm s u = f(M), ký hi u D

ề

ủ

ị

ệ

f, là t p ậ

ố các đi m M đ f(M) có nghĩa. ể

ể

1.1.2. Mi n xác đ nh c a hàm s nhi u bi n s ủ ố ề ế ề ị ố

thì

- -

Ví dụ . Trong R2, v i f(x, y) =

1 ớ Df = {(x, y): x2 + y2 £

1}. x

thì

Trong R3, v i f(x, y, z) = ớ

1 x

Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}.

- - -

Gi s M(x ả ử

1, x2, ..., xn) và N(y1, y2, ..., yn) ˛

1.1.3. T p h p trong ậ ợ

: d(M, N) =

• Kho ng cách ả

y ) k

= k 1

•

e (M) = {N ˛ Rn : d(M, N) < e }.

e - lân c nậ c a M t p U ủ

ậ

• Lân c nậ c a M, ký hi u U(M), là m i t p h p ch a m t ộ

ọ ậ ợ

ứ

ệ đi m trong

c g i là

c a t p E n u t n t i U

e (M)

ế ồ ạ

ủ ậ

- (cid:229)

ủ Ue (M) nào đó c a Mủ • M đ ượ ọ ể n m tr n trong E. ằ ọ •T p E đ ượ ọ ậ đi m trong. là ể

c g i là t p mậ ở n u m i đi m c a nó đ u ể ủ ế ề ọ

ả ầ

ở tâm M0 bán kính r là t p:ậ

• Ta g i ọ qu c u m

E = {N ˛ Rn : d(M0, N) < r}

ặ ầ tâm M0 bán kính r là t p ậ

• Ta g i là ọ m t c u ¶ E = {N ˛ Rn : d(M0, N) = r}

ả ầ

• Ta g i ọ qu c u đóng

tâm M0 bán kính r là t pậ r}

E = {N ˛ Rn : d(M0, N) £

c g i là

b ch n

ượ ọ

ị ặ n u t n t i qu c u nào

ế ồ ạ

ả ầ

• T p h p E đ ậ ợ đó ch a nóứ

ﬁ

1.1.4. Gi i h n c a hàm s nhi u bi n s ớ ạ ủ ố ế ề ố

Đ nh nghĩa 1:

Hàm f(M) có gi i h n là L khi M

ị

M0 khi ớ ạ " e > 0, $ d = d (e , M0) > 0 sao cho d(M0, M) < d

và ch khi ỉ thì |f(M) – L| < e . Đ nh nghĩa

2:

ị

+¥

khi M ﬁ

ớ ạ

M0 khi và ch ỉ Hàm f(M) có gi i h n là khi " e > 0, $ d = d (e , M0) > 0 sao cho d(M0, M) < d thì |f(M)| >e . Đ nh nghĩa

3:

ị

khi M ﬁ

ớ ạ

- ¥

M0 khi và ch ỉ Hàm f(M) có gi i h n là khi " e > 0, $ d = d (e , M0) > 0 sao cho d(M0, M) < d thì |f(M)| > -e .

i h n ớ ạ

2 x y + 2 y

lim x 0 y 0

(cid:0) • Ví d : Tính gi ụ a) (cid:0)

2 x y + 4 y

lim x 0 y 0

b) (cid:0) (cid:0)

1.1.5. Tính liên t c c a hàm s nhi u bi n s ụ ủ ố ế ề ố

. Gi s f(x) xác đ nh trong lân c n c a đi m

ậ ủ

ể

ị

ế ồ ạ

ớ ạ

ụ ạ

0 n u t n t i gi i h n

lim f ( M )

Đ nh nghĩa ả ử M0 ˛ D. Ta nói f(x) liên t c t i M = f(M0).

M M

V i Mớ

0(x0, y0), khi đó:

 s gia c a đ i:

ố

ủ ố D x = x – x0, D y = y – y0,

 s gia riêng theo bi n x:

ế

ố

 s gia riêng theo bi n y:

ế

ố

D xf = f(x0 + D x, y0) – f(x0, y0 ), D yf = f(x0, y0 + D y) – f(x0, y0 ),

 s gia toàn ph n:

ố

ầ D f = f(x0 + D x, y0 + D y) – f(x0, y0 ).

ﬁ

ụ ạ ọ ể

ụ

ế

ộ

• f(M) liên t c trong D n u nó liên t c t i m i đi m thu c D

Ví d : ụ Xét tính liên t c c a hàm

ụ ủ

(cid:236)

xy +

„ (cid:239)

f(x, y) =

(cid:237)

(cid:239)

(cid:238)

ạ ủ ố ề ế ố

Cho u = f(x, y) xác đ nh trong mi n D và M ị

0(x0, y0) ˛ D.

N u c đ nh y = y

ế ố ị

0) kh vi ả

ề 0 mà hàm m t bi n c a x là f(x, y ộ ế ủ c g i là đ o hàm riêng c a f

ượ ọ

ủ

ạ

0 thì đ o hàm đó đ

ố ớ

ạ

t i x = x ạ ạ 0. đ i v i x t i M

1.2. Đ o hàm và vi phân c a hàm s nhi u bi n s 1.2.1. Đ o hàm riêng ạ

, t c là ứ

¶ ¶

Ký hi u:ệ x

f '(x , y ), 0

(x , y ) 0 0

f x

u x + D

¶ ¶

f (x

f (x , y ) 0 0

(x , y ) 0 0

- ¶

lim x 0

f x

x, y ) 0 x

c ký hi u là

• Đ o hàm riêng c a f đ i v i y t i M ủ

ạ

ệ

D ﬁ ¶ D

ho c ặ

f '(x , y ) hay y 0

(x , y ) 0 0

¶ ¶

ố ớ f y

0 và đ ượ u y

¶ ¶

s hàm s f(x,y) kh vi t i (x • Đ nh lý: ị Gi ả ử ả ạ

0,y0) và có các đ o ạ 0,y0). Khi đó công th c đ o hàm toàn

ố i (xạ ứ ạ

(cid:0) (cid:0)

) (

)

(

)

(

u v ,

x y , 0 0

x y u 0 0

x y , 0

hàm riêng t ph n là: ầ (

f x

f y

(cid:0) (cid:0)

Cho j

: R2 ˚

D ’ (x, y) ﬁ

(u(x, y), v(x, y)) ˛ R2,

f: Rj ’ (u, v) ﬁ

f(u, v) ˛

: D ’ (x, y) ﬁ

f(j (x, y)) = f(u(x, y),v(x, y))

Khi đó foj

ượ ọ

ớ j c g i là hàm h p c a f v i

ợ ủ

ố ợ 1.2.2. Đ o hàm c a hàm s h p ủ ạ

Ví d :ụ

¶ ¶

Đ nh lý

: N u f có các đ o hàm riêng

ị

ế

ạ

liên t c ụ

f v

trong Dj và các hàm u, v có các đ o hàm riêng

f u ạ

¶ ¶

trong D, thì t n t i các đ o hàm riêng

ồ ạ

ạ

¶ ¶ ¶ ¶

v x

v y

¶ ¶ ¶ ¶

trong D và

¶ ¶

u x f x

u y f y

¶ ¶

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

f x f y

u f u x u f u y

v f v x v f v y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

u � = � v �

� � �

• Đ t g i là matr n ặ ậ ọ

Jacobic a u,v đ i v i x,y ố ớ ủ

2 + y2.

Ví d ụ Cho f = eulnv, v i u = xy, v = x

ớ

u e ln v,

2x,

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

f u

f v

1 v

u x

v x

u y

v y

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Do đó (

) u e ln v y

ln(x

2 y )

y ln(x

y )

(cid:230) (cid:246) ¶ (cid:230) (cid:246)

f x

1 v

2xe + 2 x

(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ¶ Ł ł Ł ł

(

) u e ln v x

ln(x

2 y )

x ln(x

y )

(cid:230) (cid:246) ¶ (cid:230) (cid:246)

f y

1 v

2ye + 2 x

(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ¶ Ł ł Ł ł

Ta nói f(x, y) kh vi t i (x

ể ể

ả

ễ ạ 0, y0) n u có th bi u di n

D f = AD x + BD y + a ằ

ữ

ế D y, D x + b ố ỉ ụ

ộ 0 và y0,

trong đó: A và B là nh ng h ng s ch ph thu c x a

i 0 khi c

d n t

và b

i 0.

ảD x và D y d n t ầ ớ

ầ ớ

và g i là vi phân toàn ph n c a f t i (x

Ký hi uệ : df = AD x + BD y, ọ

ầ ủ

ạ 0, y0).

Hàm f(x, y) đ

c g i là kh vi trong mi n D n u nó kh ả

ề

ế

ả

vi t i m i đi m thu c D.

Rõ ràng, n u f kh vi t i (x

ạ ọ ể ế

ượ ọ ộ ả

ạ 0, y0) thì nó liên t c t i (x

ụ ạ 0, y0).

1.2.3. Vi phân toàn ph nầ

ị

ạ

ế

ạ

ả

Đ nh lý (x0, y0) thì f(x, y) kh vi t i (x

: N u các đ o hàm riêng c a f(x, y) liên t c t i ủ ụ ạ 0, y0) và df = fx'(x0, y0)D x + fy'(x0, y0)D y.

arctg

Ví d ụ Tính g n đúng

ầ

1.02 0.95

1.2.4. Đ o hàm c a hàm s n ố ẩ ủ ạ

a) Khái ni m hàm n ệ

ẩ

Cho ph

ng trình F(x, y) = 0, trong đó F: R

2 ˚

ươ

N u v i m i giá tr x = x

U ﬁ I, có m t (hay nhi u) y

ế ớ

ỗ

ị

ề

ộ

0 ˛

0 sao ng trình F(x, y) = 0 xác

ươ

I. Nói khác đi,

ộ

cho F(x0, y0) = 0 thì ta nói ph đ nh m t (hay nhi u) hàm n y theo x ẩ ề ị I, (x, f(x)) ˛ U và F(x, f(x)) = 0. " x˛

Ví d ụ :

ng trình

1 x

ừ ươ

ượ

ườ

= , ta có y = 1 T ph T xừ y + yx = a (x > 0, y > 0, a > 0) ta không th tìm đ ể ể ồ ạ ng minh c a hàm n, m c dù nó có th t n t i. d ng t ặ ẩ ạ

ủ

– -

= -

0, ta có

= . Vì F'y „

+ F ' F ' x y

dy dx

F ' x F ' y

b) Đ o hàm hàm n ẩ ạ

F(x, y, z) = ez + xy + x2 + z3 – 1 = 0. Ta có Fx' = y + 2x, Fy' = x, Fz' = ez +3z2.

ươ

ng trình trên xác đ nh m t ộ

ị

Vì Fz' „ ẩ

0 " z, nên ph ụ

ạ

ớ

= -

= - ,z ' y

z ' x

hàm n z = f(x, y) liên t c cùng v i các đ o hàm riêng x + 3z

+ 2x y + z 2 3x e

Ví d :ụ

1.2.5. Đ o hàm theo h ng và gradien. ạ ướ

Cho u = u(x, y, z) xác đ nh trong D

ị

ng th ng đ nh

ẽ ộ ườ

Qua đi m Mể

ẳ

ị

ng có véc t đ n v là

R3. 0(x0, y0, z0) ˛ D, v m t đ  l . ơ ơ ị

ướ

:

Đ nh lý N u hàm s u = u(x, y, z) kh vi t i M

ị ế

ả

ạ

ố

ể

ạ

0(x0, y0, z0) thì t i đi m

đó nó có đ o hàm

theo m i h

 l , và

ạ u( M )

ướ ọ u( M )

ta có u( M )

b +

¶ ¶ ¶ ¶

cos

a +

cos

( M ) 0

u  l

l .

, trong đó cosa , cosb , cosg là các thành ph n c a ầ ủ 

¶ ¶ ¶ ¶

Građiên (gradient): Ta g i građiên c a u(x, y, z) t i M

ủ

ạ

ọ

0, ký

hi u ệ

 grad u(M ) 0

u(M ) 0

, là véc tơ  i

 j

 k

 grad u(M ) 0

¶ ¶ ¶

ươ ứ

ng ng là các véc t đ n v c a các tr c Ox, ơ ơ

ị ủ

ụ

   v i ớ i, j, k

Oy, Oz.

¶ ¶ ¶

Đ nh lý

1.2.8. ị

N u u(x, y, z) kh vi t i M

 ch grad u M

(

)

(

)

ế

ạ

ả

0 thì

 l

u  l

1.2.6. Đ o hàm và vi phân c p cao ấ ạ

Cho hàm z = f(x, y) và các đ o hàm riêng

c p m t f

ạ

ấ

ộ x', fy'.

ấ

Đ o hàm riêng c p hai: ạ

a) Đ o hàm riêng c p cao ấ ạ

(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:230) (cid:246)

f y

f 2 y

f 2 x 2

(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ł ł Ł ł

(cid:230) (cid:246) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (cid:230) (cid:246)

f x f x

f y x

f y

f x y

Các đ o hàm riêng c a các đ o hàm riêng c p hai đ

ủ

ạ

ấ

ạ

c ượ

ạ

ấ

g i là các đ o hàm riêng c p ba, vv... ọ

(cid:231) (cid:247) (cid:231) (cid:247) ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ł ł Ł ł

Ví d :ụ

ị

ế

ậ

ạ

ụ ạ

1.2.6. (Schwarz). N u trong lân c n nào đó c a ủ xy", 0(x0, y0), hàm z = f(x, y) có các đ o hàm riêng f 0 thì fxy"(x0, y0)

Đ nh lý đi m Mể fyx" và các đ o hàm riêng đó liên t c t i M ạ = fyx"(x0, y0).

b) Vi phân c p cao

ấ

ế ồ ạ

ầ ủ ữ

ầ ủ

ọ

ế ồ ạ ệ

ầ ấ

Xét hàm z = f(x, y). Vi phân toàn ph n c a nó là dz = fx'dx + fy'dy n u t n t i thì cũng là nh ng hàm c a x, y. ủ c g i Ta g i vi phân toàn ph n c a dz (n u t n t i), đ ượ ọ 2z, t c là là vi phân toàn ph n c p hai c a z, ký hi u là d ứ ủ d2z = d(dz) = d(fx'dx + fy'dy).

Vi phân c a vi phân c p hai là vi phân c p ba, vv...

ủ

ấ

ầ

t > 0.

ả ử ˝ Gi s D (x1, x2, ..., xn) ˛

(tx1, tx2, ..., txn) ˛ ế c g i là thu n nh t b c k n u

D " ấ ậ

ầ

ấ 1.2.6. Hàm thu n nh t Rn có tính ch t: ấ D (cid:222) Hàm f(x1, x2, ..., xn) đ

t > 0.

ượ ọ f(tx1, tx2, ..., txn) = tkf(x1, x2, ..., xn) "

Công th c Euler ứ

= kf.

ấ ậ

ầ

Hàm f(x1, x2, ..., xn) là thu n nh t b c k

(cid:219) (cid:229)

f x

= i 1

Ví d :ụ

1. 3. C c tr c a hàm s nhi u bi n s ị ủ ự ố ế ề ố

1.3.1. C c tr không đi u ki n c a hàm s nhi u bi n s ệ ự ủ ế ề ề ố ị ố

ị

ộ

R2 và U(M0) là m t lân c n ậ

nào đó c a Mủ

Cho z = f(x, y) xác đ nh trong D 0(x0, y0) ˛ D.

Ta nói,

• hàm f đ t c c đ i t i M

ạ ự ạ ạ

ế

• hàm f đ t c c ti u t i M

ạ ự ể ạ

ế

0 n u f(M) < f(M 0 n u f(M) > f(M

0) v i m i M ớ ọ 0) v i m i M ớ ọ

˛ U(M0). ˛ U(M0).

ị

ề

ạ ể ự

ị

ộ ủ

ế

ồ

1.3.1. (đi u ki n c n c a c c tr ). T i đi m c c tr Đ nh lý ị ệ ầ ủ ự M0, n u các đ o hàm riêng c p m t c a hàm z = f(x, y) t n ấ t i thì chúng b ng 0, t c f ạ

ạ ằ

ứ x’ = fy’ = 0 t i Mạ

Ta g i đi m t i h n c a hàm f là nh ng đi m mà t i đó,

ữ

ể

ọ

ho c không t n t i các đ o hàm riêng, ho c chúng t n t i và

ồ ạ

ặ

ớ ạ ủ ạ

ạ ồ ạ

ặ b ng 0. ằ

Đ nh lý

1.3.2. (d u hi u c a c c tr

ệ ủ ự

ị)

ấ

ị Gi s z = f(x, y) có các đ o hàm riêng đ n c p hai liên t c

ả ử

ụ

ạ

trong m t lân c n nào đó c a đi m M

ạ

ủ

ể

ậ

ộ

ế ấ 0(x0, y0) và t i đó

0, hàm f đ t c c ti u n u f

ạ ự ể ế xx” > 0, đ t ạ

ạ ự

ị ạ

fx' = fy' = 0. Đ tặ d = (fxy”)2 – fxx”fyy”, khi đó, • N u ế d < 0 thì t i Mạ ự ạ ế xx” < 0. c c đ i n u f • N u ế d > 0 thì f không đ t c c tr t i M • N u ế d = 0 thì t i Mạ

ể ạ ự

ặ

ị

0. 0, hàm f có th đ t c c tr ho c không.

TH d = 0, xét d u ấ D f.

ể

• N u ế D f < 0 thì M0 là đi m c c đ i ự ạ • N u ế D f > 0 thì M0 là đi m c c ti u, ự ể • N u ế D f không xác đ nh d u thì M

ấ

ị

ể

ự ị 0 không là đi m c c tr .

Ví d :ụ

Ta g i c c tr c a hàm z = f(x, y) v i x và y b ràng bu c

ọ ự

ị ủ

ộ

ớ

ị

ệ b i g(x, y) = 0 là c c tr có đi u ki n. ở

ự ị

ề

1.3.2. C c tr có đi u ki n c a hàm s nhi u bi n s ệ ủ ự ố ế ề ề ị ố

1.3.3. . (đi u ki n c n c a c c tr cho hàm hai bi n

Đ nh lý

ệ ầ ủ ự

ế )

ị

ề ị Gi s z = f(x, y) đ t c c tr t i M

ạ ự

ả ử

ị ạ

ệ

ớ

0(x0, y0) v i đi u ki n g(x, y) ề

= 0. Thêm vào đó,

ạ

ấ

ậ

ờ ằ

ạ

x', gy' không đ ng th i b ng 0. ồ

Khi đó t i Mạ

f ' y g ' y

• Các hàm s f(x, y) và g(x, y) có các đ o hàm riêng c p m t ộ ố liên t c trong lân c n M ụ 0, các đ o hàm riêng g • T i Mạ f ' x g ' x

Ví d :ụ

1.3.4. (đi u ki n c n c a c c tr cho hàm ba bi n

Đ nh lý

ị

ệ

ế ) ề

ạ ự

ả ử

ị ạ

0(x0, y0, z0) v i đi u ki n ớ

ệ ầ ủ ự ề ị Gi s z = f(x, y) đ t c c tr t i M g(x, y, z) = 0. Thêm vào đó,

ấ

ạ

ố ụ

ậ

ạ

ồ

x', gy', gz’ không đ ng th i ờ

• Các hàm s f(x, y, z) và g(x, y, z) có các đ o hàm riêng c p 0, m t liên t c trong lân c n M ộ 0, các đ o hàm riêng g • T i Mạ b ng 0. ằ

Khi đó t i Mạ

f ' x g ' x

f ' y g ' y

f ' z g ' z

Ví d :ụ

ng pháp nhân t

Ph

ử

ế Lagrange cho hàm hai bi n

ng trình

ươ Tìm l

ươ

ả

ệ + l

g '(x , y ) 0

(cid:236)

(cid:239)

g '(x , y ) 0

(cid:237)

, x0, y0 tho mãn h ba ph f '(x , y ) x 0 0 + l f '(x , y ) y 0 0 = g(x , y ) 0 0

(cid:239) (cid:238)

Ví d :ụ

1.3.3. Các giá tr max và min c a hàm s nhi u ố ề ị

bi n s trong mi n đóng b ch n ề ố ế ặ ủ ị

Ví d :ụ

Ch ng 2. ươ

NG D NG C A PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG Ứ Ủ Ụ

HÌNH H CỌ

S ti t: 04 lý thuy t + 02 bài t p, th o lu n ố ế ế ậ ả ậ

2.1. ng d ng trong hình h c ph ng Ứ ụ ẳ ọ

2.2. ng d ng trong hình h c không gian Ứ ụ ọ

2.1. ng d ng trong hình h c ph ng Ứ ụ ọ ẳ

2.1.1. Ti p tuy n c a đ ng cong ườ

Đi m chính quy:

ể

ồ

b ng 0 thì đi m M

c g i là đi m chính quy.

L đ

ằ

ể

Đi m kỳ d :

N u Fế x'(x0, y0) và Fy'(x0, y0) không đ ng th i ờ 0(x0, y0) ˛ ạ ọ

ể ượ ọ ị ị trái l i g i là đi m kỳ d .

ể

ng trình ti p tuy n c a đ

ng L t i

ế

ế ủ ườ

ạ đi m chính quy

ể

Ph ươ M0 là: (x – x0)Fx'(x0, y0) + (y – y0)Fy'(x0, y0) = 0

ế ủ (L): F(x, y) = 0. ế Đ ng cong ườ

Ví d :ụ

hình h c không gian: 2.2. ng d ng trong ụ Ứ ọ

2.2.1. Hàm véc t :ơ

R(cid:0) 3

2.2.1.1: Đ nh nghĩa: ị Cho X

r : X t

R  r( t )

Ánh x :ạ (cid:0)

c a bi n s t xác đ nh trên X g i là hàm véc t ọ ơ ủ ế ố ị

   i, j, k

ầ ủ

 r(t) ụ

đ n v t ớ



ị ươ ứ 

+ N u x(t), y(t), z(t) là ba thành ph n c a và ế ng ng v i các tr c Ox, Oy, Oz là các véc t ơ ơ thì   x(t)i y(t) j z(t)k r(t)

  = OM r(t)

ặ

ộ ườ

ng ọ ế ng cong trong ườ

(cid:0) (cid:0)

= = =

(cid:0)

x y z

(cid:0) Đ t thì M = (x(t), y(t), z(t)). Khi t bi n thiên trên X thì qu tích c a M là m t đ ủ ỹ  r(t) và ta nói đ R3, g i là t c đ c a hàm véc t ơ ố ồ ủ x(t) cong có pt tham s là:ố y(t) z(t) (cid:0)

2.2.1.2: Gi ớ ạ i h n, liên t c, kh vi: ụ ả

(cid:0) ơ

 a khi t i h n là  r(t)

 a- < e

 a

" e d n uế + Ta nói hàm véc t > 0, $

 r(t) có gi ớ ạ (e , t0) > 0 : |t – t0| < d (cid:222)  lim r(t) t 0

Ký hi u:ệ (cid:0)

 r(t) đ

X(cid:0)

0t i n u

c g i là liên t c t ơ ế ụ ạ

 r(t ) 0

+ Hàm véc t

(cid:0)

ượ ọ  lim r(t) t t  0 r(t) xác đ nh trên X, , cho t ơ

0t ủ ỉ ố

X(cid:0) i h n n u có c a t s : ớ ạ + D

D ộ ố

 r(t

- D ị ế  r(t ) 0 D (cid:0)

D D + Cho hàm véc t m t s gia . Gi  r t

 r(t)

khi  r (t ) 0

(cid:0) G i là đ o hàm c a t i t ủ ọ ạ 0. KH

 r(t) Và nói kh vi t

ạ  dr(t ) 0 hay ả i t ạ 0

+ D

Ta có:

x(t

t) x(t ) 0

+ D y(t 0

t) y(t ) 0

+ D y(t +

 i

 j

 k

- - - D

 r t

D D D D

 r(t) ạ 0 thì

i t ố ả

i t



ạ 0 và ta có: 

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

 x (t )i y (t ) j z (t )k 0

+ N u các hàm s x(t), y(t), z(t) kh vi t ế kh vi t ả  r (t ) 0

i ng cong t ạ ế ế ệ ủ ườ

ể ộ



ươ ườ

ng trình 

 x(t)i y(t) j z(t)k

0(x(t0), y(t0), z(t0)) ˛

c a nó là ố ng trình véc t ươ ơ ủ

ờ ằ L. 0), y'(t0) và z'(t0) không đ ng th i b ng 0, khi đó ồ

s đi m M ả ử ể  s x'(t ả ử 0(cid:0)

ằ

- - -

2.2.2. Ti p tuy n và pháp di n c a đ m t đi m: Trong không gian, cho đ ng cong L có ph tham s x = x(t), y = y(t), z = z(t).  Ph r(t) Gi  Gi r '(t)   r '(t) 0M M . Đi m M(x, y, z) n m trên ti p tuy n c a L t i ạ ế ủ ể ế M0 khi và ch khi véc t ng v i véc t đ ng ph ơ ơ ớ ươ ồ ỉ z(t ) z y y(t ) x x(t ) = 0 0 0 t c là ứ z '(t ) y '(t ) x '(t ) 0 0 0

i M g i là pt ti p tuy n c a (L) t ọ ế ủ ế ạ

ọ ườ

0 và vuông góc v i ti p ớ ế i pháp tuy nế c a L t ạ

ẳ i M c g i là ượ ọ ủ ạ ng th ng đi qua M 0 đ

*) M i đ tuy n c a L t ế ủ M0.

i M ế ế

ặ

0 thì nó có vô s pháp tuy n ố ẳ ộ 0, m t ph ng y đ ẳ

ấ ượ ọ

ệ ấ

(cid:0) ^ hay + N u L có ti p tuy n t ế ạ ế 0, chúng cùng n m trong m t m t ph ng vuông i Mạ t ằ c g i là i M góc v i ti p tuy n t ặ ế ạ ớ ế pháp di nệ c a L t i M 0. ạ ủ + Đi m M(x, y, z) n m trên pháp di n y khi và ch ỉ ằ ể   M M r (t ) khi 0

= z(t ))z '(t ) 0

+ (x x(t ))x '(t ) 0 0

+ (y y(t ))y '(t ) 0 0

- - -

ng trình pháp di n c a L t i M Pt trên g i là ph ọ ệ ủ ạ

ươ

t pt ti p tuy n và pháp di n c a đ ng: Ví d :ụ Vi ế ệ ủ ườ ế ế

(cid:0)

= = =

x y z

t t 3 t

(cid:0) (cid:0)

i tạ 0 = 3 t

2.2.3. Đ cong: ộ

ườ

ng trình ng ộ

Cho đ ng cong L trong không gian có ph x = x(t), y = y(t), z = z(t). Khi đó đ cong c a đ cong (L) t i M đ ươ ủ ườ ở c ký hi u và xác đ nh b i công th c: ị ượ ứ ệ ạ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

C(M)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

y (

ng Ví d :ụ Tính đ cong c a đ ộ ủ ườ

(cid:0)

(cid:0) -

(cid:0)

= e x = y e = z

t 2

(cid:0)

i đi m b t kỳ t ạ ể ấ

2.2.4. M t cong: ặ

0T đ ế

ng trình F(x, y, z) = 0 và đi m ể ươ

ộ ườ ế

c g i là ti p tuy n c a m t ế ủ ế ặ ng 0 c a m t đ ủ ế ạ 0.

ố ườ ể

ượ ọ 0 n u nó là ti p tuy n t ặ 0 trên m t S có vô s đ ố ế ậ ế

i M Cho m t S có ph ặ M0 thu c S. ộ Đ ng th ng M ẳ ườ i M i Mạ S t cong nào đó trên m t S và đi qua M ng cong T i m i đi m M ạ ặ ỗ thu c S đi qua, vì v y có th có vô s ti p tuy n v i ớ ể ộ m t s t ặ ạ

ộ ể ủ ặ

0 là

ờ ằ ặ ế ạ

ẳ ọ i M 0, m t ph ng đó g i là ti p ế

i M Đ nh lý: G/s M0 là m t đi m chính quy c a m t S ( t c ị ứ là t x, F’y, F’z không đ ng th i b ng 0). Khi đó i đó F’ ạ ồ t c các ti p tuy n c a m t cong S t t p h p t ậ ế ủ ợ ấ ả m t m t ph ng đi qua M ặ ẳ ặ ộ di n c a S t ạ ệ ủ

ườ ệ ủ

0 g i là pháp tuy n c a S t

0 vuông góc v i ti p di n c a S ớ ế 0. ế ủ

i M + Đ ng th ng qua M ẳ i Mạ t ạ ọ

(

 n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ

) F (M ), F (M ), F (M ) x 0   0(cid:0) n 0 là đi m chính quy thì và m i ti p

ọ ế ể + N u Mế

 n 0 đ u vuông góc v i ớ

tuy n c a m t S t i M ế ủ ặ ạ ề

*) Do đó pt m t ph ng ti p di n là: ế ệ ặ ẳ

F (M )(x x ) F (M )(y y ) F (M )(z x

+ 0

= z ) 0 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - -

0 là:

*) Pt pháp tuy n t i M ế ạ

x x

y y

- - -

0 F (M ) y 0

0 F (M ) z 0

0 F (M ) x 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

t ph ế ệ ủ ế

+ 2

= 2

Ví d :ụ Vi ươ m t cong S có ph ng trình ặ ng trình pháp tuy n và ti p di n c a ế ươ

0(2; 2; 3)

i Mạ t

 0n

˛ và g

ọ a , b S. N u g i ế  n pháp tuy n c a ế ơ ủ

ạ ạ ộ ớ ơ

a b g ụ (cos , cos , cos )

c g i là véc t i M Chú ý: Xét đi m M(x, y, z) ể ng ng là các góc t o b i véc t t ở ươ ứ i M v i ba tr c to đ Ox, Oy và Oz thì véc t S t ạ  = 0n đ ượ ọ pháp tuy n đ n v c a S t ơ ị ủ ế ạ

a , cosg ơ , cosb ượ ọ c g i là các cosine ch ỉ

F ' y

F ' x

a =

cos

b = , cos

F ' x

F ' z

F ' x

F ' y

F ' z

F ' y F ' z

g =

cos

F ' x

2 F ' y

F ' z

đ ng c a . Khi đó ta có ồ ươ Đ ng th i cos ờ  ph ủ 0n

c cho b i z = f(x, y) thì b ng cách đ t ế ượ ặ ằ ặ

N u m t S đ ở F(x, y, z) = z – f(x, y), ta có

= -

 n

( f , x

f ,1) y

(cid:0) (cid:0) -

f ' y

 n

1 2

f ' x + 2 1 f ' x

2 f ' y

+ 2 1 f ' x

f ' y

+ 1 f ' x

f ' y

� � � � �

- -

Chương III Chương III

1.1. 1.1. TíchTích phân phân phụphụ thuộc thuộc thamtham sốsố

1.2. TíchTích phân 1.2. phân képkép

1.3. TíchTích phân 1.3. phân bộibội baba

1.1 Tích phân ph thu c tham s 1.1 Tích phân ph thu c tham s

ụ ụ

ộ ộ

ố ố

1.1.1 Tr ng h p tích phân xác đ nh ườ ợ ị

I(t)

f (x, t)dx

Xét tích phân

ớ

trong đó f(x, t) xác đ nh trên [a, b] ế ộ ụ

· [c, d] thì I(t) liên t c ụ ụ

b = (cid:0) a [c, d] và kh tích theo x ị ả ọ ˛ [c, d]. V ph i ph thu c vào t, nên trên [a, b] v i m i t ộ ụ ả ta g i (1.1) là tích phân ph thu c tham s . ọ ố Đ nh lý 1.1.1 ị N u hàm s f(x, t) liên t c trên [a, b] ố ế trên [c, d].

• Đ nh lý 1.1.2

: N u hàm s f(x, t) liên t c trên

ị

ụ

ố

ế [a, b]· [c, d] thì

f(x,t)dx]dt

, t)dt]dx

= (cid:0) I(t)dt

d b [ c a

b d [ f (x a c

: Gi

• Đ nh lý 1.1.3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ị

ố ị

ọ

s v i m i t c đ nh trong ả ử ớ (c, d), hàm f(x, t) liên t c theo x trên [a, b] và ụ · [c, d]. Khi đó(1.3) ft’(x, t) liên t c trên [a, b] ụ

(cid:0)

I (t)

' f (x, t)dx t

b = (cid:0) a

J t ( )

Ví dụ 1: Tính tích phân

dx 2

(cid:0) -

)

( I a

Ví dụ 2: Tính

(

)

dx ) ( x 1

(cid:0)

(cid:0) v i a>0, a 1 ớ

• Xét tích phân suy r ngộ

(1)

I(t)

f (x, t)dx

1.1.2 Trường hợp tích phân suy rộng 1.1.2 Trường hợp tích phân suy rộng

+(cid:0) = (cid:0) a

[c, d].

ị

trong đó f(x, t) xác đ nh trên [a, + Khái ni m tích phân suy r ng h i t

ệ

ộ

]· ộ ụ

c g i là h i t n u i nghĩa là: ượ ọ ộ ụ ế (1) t n t ồ ạ Tích phân trên đ

(cid:0) +(cid:0)

b I(t)= lim f (x, t)dx a

(cid:0) v i b > a. ớ

+(cid:0)

< e

f (x, t)dx

e > 0, $ B = B(e , t) > 0 : " b > B

(cid:0) T c là: ứ " (cid:222) |I(t) – Ib(t)| =

đ u ộ ụ ề

đ u n u s t n t i c a B ế ự ồ ạ ủ

Khái ni m tích phân suy r ng h i t ệ Tích phân (1.7) đ ở ượ ộ ỉ ụ

f (x, t)dx

" e ộ c g i là h i t ộ ụ ề ọ e . T c là trên ch ph thu c vào ứ > 0, $ B = B(e ) > 0 : " b > B

+(cid:0) |I(t) – Ib(t)| = < e " b

(cid:0) (cid:222) t˛ [c, d].

: £ g(x) " (x, t) ˛ [a, + ¥ ]· [c, d] và ị ế

thì tích phân (1) h i t đ u trên [c,d]. • Đ nh lý 1.1.4 N u |f(x, t)| +(cid:0) g(x)dx h i t ộ ụ ộ ụ ề (cid:0)

+(cid:0)

J t ( )

dx + 2

+(cid:0)

• Ví d :ụ Xét s h i t c a tích phân: ự ộ ụ ủ (cid:0)

I t ( )

a x e

= (cid:0)

a >

- -

v i a > 0, ớ

1.2 Tích phân kép 1.2 Tích phân kép 1.2.1 khái niệm tích phân kép • Bài toán tính th tích v t th hình tr ể Gi

ụ ậ

ụ

i ủ ậ ề ể

ớ ặ ẳ ở

f(xk, yk)

z = f(x, y)

D Sk

ể s f(x, y) liên t c và không âm trong mi n đóng b ị ả ử ch n D v i biên L. Tính th tích c a v t th hình tr gi ụ ớ ể ặ h n b i m t ph ng Oxy, m t z = f(x, y) và m t tr có ặ ụ ặ ạ ng sinh song song v i Oz t a trên L (Hình 1.1). đ ườ ự ớ

f(xk, yk)

z = f(x, y)

D Sk

Hình .

ư ề ả ỏ

1, S2, ..., Sn D S1, D S2, ..., D Sn.

ọ

ả

ng ng c a chúng là ủ k l y đi m M ể ể ấ Ta làm nh sau: • Chia mi n D thành n m nh nh tuỳ ý là S • G i di n tích t ươ ứ ệ k(xk, yk) tuỳ ý. • Trên m i m nh S ấ ỗ Khi đó th tích V c a v t th x p x v i . ủ ậ ể n

= k 1

D (cid:0) ỉ ớ f (x , y ) S

ể ớ

S x p x càng chính xác n u n càng l n. Vì v y th tích V ế i h n (n u có) c a t ng trên khi ớ ạ ế

i h n đó không ph thu c cách chia ụ ậ ủ ổ ộ

ự ấ đ ằ n d n ra vô h n. Gi mi n D và cách l y các đi m M ấ ỉ c đ nh nghĩa b ng gi ượ ị ầ ớ ạ ạ ề ể

ị

ị ặ ề (cid:204) R2.

ẫ

k(xk, yk) ˛ Sk và ký hi u ệ D Sk = |Sk|

ị ỏ ¨ ...¨ Sn,

(cid:0) +(cid:0)

ớ (s đo di n tích c a S ệ ố Đ nh nghĩa tích phân kép • Cho hàm s f(x, y) xác đ nh trong mi n đóng b ch n D ố • Chia D thành n m nh nh không d m lên nhau, ả ¨ S2 D = S1 V i k = 1, 2, ..., n, l y tuỳ ý M ấ ủ k)

f (M ) S k

D (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= k 1

(h u h n) • N u ế ữ ạ

k)(1.10) i h n đó g i là tích phân kép c a f(x, y) trên mi n D, ký ề

ộ ể ọ

ọ

= �� D

(không ph thu c: cách chia D, cách ch n các đi m M ụ thì gi ớ ạ hi u là ệ ủ f (x, y)dS

• Trong đó: D là mi n l y tích phân ề ấ dS là y u t ế ố ệ f(x, y) là hàm d i d u tích phân, f(x, y)dS là bi u th c di n tích ướ ấ ứ ể

i d u tích phân.

dS�� D

t n u f(x,y)=1 thì I= là di n tích mi n D d ướ ấ • Đ c bi ặ ệ ế ề ệ

• Vì tích phân kép không ph thu c cách chia mi n D, nên ta ề ộ

ể ở ụ ọ ườ

f (x, y)dxdy

ng vi t có th chia D b i hai h đ tr c Ox và Oy, vì th dS = dxdy. V y ta th ế ng th ng song song v i các ườ ẳ ậ ớ ế ụ

f (x, y)dS

= �� D

thay cho .

•

Các tính ch t c a tích phân kép ấ ủ Tích phân kép cũng có các tính ch t t ng t nh tích phân ấ ươ ự ư

g(x, y)dxdy

ị

�� D

kf (x, y)dxdy

f (x, y)dxdy

xác đ nh nh : ư f (x, y)dxdy [f (x, y) g(x, y)]dxdy �� = + D

�� D

f (x, y)dxdy

�� 2) = k v i k là h ng s D f (x, y)dxdy

�� 2D

�� f (x, y)dxdy �� = + 3) 1D D v i Dớ

ằ ớ ố

£ ủ (x, y) ˛

1 và D2 là phân ho ch c a D. ạ g(x, y) " ế f (x, y)dxdy

�� D

£ D thì g(x, y)dxdy

4) N u f(x, y) �� D

1.2.2 Cách tính tích phân kép trong t a đ Đêcác 1.2.2 Cách tính tích phân kép trong t a đ Đêcác ọ ộ ọ ộ

a) Mi n l y tích phân là hình ch nh t có các c nh song ạ

ữ ậ song v i các tr c to đ D = [a, b] · [c, d].

ạ ộ s f(x, y) kh tích trên D = [a, b] ụ Gi · [c, ả ử ả ị

ề ấ ớ • Đ nh lý 1.2.1: d]. Khi đó:

• N u ế " x ˛ [a, b], hàm f(x, y) kh tích trên [c, d] thì ả

c f (x, y)dxdy

I(x)dx

( f (x, y)dy)dx

�� D

(cid:0) ả

b d = �� a c

(1.11) f (x, y)dy I(x) = kh tích trên [a, b] và b = (cid:0) a

f (x, y)dx

• N u ế " y ˛ [c, d], hàm f(x, y) kh tích trên [a, b] thì ả

J(y)dy =

(cid:0) J(y) = kh tích trên [c, d] và ả

f (x, y)dxdy =

d b ( f (x, y)dx)dy �� c a

�� D

(cid:0)

f (x, y)dxdy =

d b ( f (x, y)dx)dy �� c a

�� D

1(x)f2(y) thì

· [c, d] thì • H quệ ả: N u f(x, y) liên t c trên D = [a, b] ế

�� D

d b f (x)dx f (y)dy � � 1 2 c a

ụ b d ( f (x, y)dy)dx = �� a c • Chú ý: N u f(x, y) = f ế f (x, y)dxdy =

y = y2(x)

ề

ả ử

y = y1(x)

Hình .

Mi n l y tích phân là mi n b ch n ị ặ ề ấ s f(x, y) là hàm kh tích trên D. Đ nh lý ả ị Tr ườ : Gi ng h p 1: ợ

I(x)dx

f (x, y)dy)dx

Khi đó

(cid:0)

x = x2(y)

D = {(x, y) : a £ x £ b, y1(x) £ y £ y2(x)} y (x) b 2 = � � f (x, y)dxdy = ( �� a y (x) D 1

x = x1(y)

ườ ng h p 2: ợ

Hình .

f (x, y)dxdy =

J(y)dy =

f (x, y)dx)dy

Tr D = {(x, y) : c £ y £ d, x1(y) £ x £ x2(y)} Khi đó

�� D

x (y) d 2 ( � � c x (y) 1

(cid:0)

ả ượ ằ ạ

• Chú ý: N u mi n D có th mô t ề ế D = {(x, y) : a £ và D = {(x, y) : c £ ể x £ y £ c b ng c hai d ng ả y £ y2(x)} x £ x2(y)}

1(y)

đ b, y1(x) £ d, x1(y) £ ả trong đó y1(x) và y2(x) là các hàm kh tích trên [a, b] và x

f (x, y)dy)dx

f (x, y)dx)dy

ả

x (y) 2 = � � ( c x (y) 1

và x2(y) là các hàm kh tích trên [c, d]. Khi đó ta có công th đ i th t ứ ổ ứ ự f (x, y)dxdy = �� D tích phân: y (x) b 2 ( � � a y (x) 1

1.2.3 Đ i bi n trong tích phân kép 1.2.3 Đ i bi n trong tích phân kép ế ế ổ ổ

ổ ế

ả ớ ụ ạ

ộ ủ ủ ề ặ

ẳ

Xét phép đ i bi n x = x(u, v), y = y(u, v) tho mãn: • Các hàm x(u, v) và y(u, v) liên t c cùng v i các đ o hàm riêng c p m t c a chúng trong mi n đóng D’ c a m t ấ ph ng O’uv. ứ mi n D’ ề ừ ị

ẳ ủ • Các công th c (1.16) xác đ nh m t song ánh t ặ

ề ứ

x D(x, y) = „ D(u, v) y

' u ' u

f (x, y)dxdy

ộ sang mi n D c a m t ph ng Oxy. • Đ nh th c Jacobi khác không trong D’ ị J ” (u, v) ˛ 0 " D’. (1.17)

' v ' v f (x(u, v), y(u, v)) | J | dudv �� D '

�� D

• Khi đó = .

ụ ụ

ề ề

1.2.4 Tính tích phân kép trong t a đ c c ọ ộ ự 1.2.4 Tính tích phân kép trong t a đ c c ọ ộ ự )) ( ( Áp d ng khi mi n D là hình tròn hay m t ph n hình tròn Áp d ng khi mi n D là hình tròn hay m t ph n hình tròn ầ ộ ầ ộ

cos

r sin

j - j j (cid:0)

• Đặt

�

(cid:0)

= =

sin

r cos

x y

r cos r sin

j j j (cid:0)

Rõ ràng J ch b ng 0 t i m i g c O(0, 0). Theo công th c ỉ ằ ạ ỗ ố ứ

f (r cos , r sin )rdrd

f (x, y)dxdy =

j j j

�� D '

(1.18)

(1.17) ta có: �� D

• Chú ý: T cách đ t ta ph i tìm mi n D’ (r, ) t ng ng. ừ ề ả ặ ươ ứ

y dxdy

-�� 1 x {

x y ( ,

) :

} 1

- Ví d 1:ụ Tính I=

) y dxdy

V i D= ớ

( +�� x

Ví d 2: ụ Tính J=

{

x y ( ,

) :

2 ,

x x

} 0

(cid:0) (cid:0)

v i D= ớ

ể

1.2.5 ng d ng c a tích phân kép 1.2.5 ng d ng c a tích phân kép ụ ụ Ứ Ứ

c mô t ậ ề

ả ở ủ ậ ượ ể

ủ ủ a) Tính th tích v t th ậ ể V t th hình tr có đáy là mi n D, m t trên đ ể z = f(x, y), đ th này đ ể

ể + + = ụ i có ph ướ ươ ủ 4

b i ụ ặ ng sinh song song v i Oz. Th tích c a v t ớ ườ c tính theo công th c ứ ượ f (x, y)dxdy �� V = D Ví d :ụ Tính th tích c a hình tr có đáy trên có ph ng trình ươ + 2 x 2 z y ,đáy d ng trình

ệ

ệ c tính theo công th c ứ

ẳ dxdy�� D

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) b) Tính di n tích hình ph ng ẳ Di n tích hình ph ng D đ ượ S = Ví d 1:ụ Tính di n tích hình ph ng đ c gi ệ ẳ ượ ớ ạ i h n b i ở (cid:0) (cid:0)

)

x y ,

� �

x 2

y 4

� ( � �

(cid:0) Ví d 2:ụ Tính di n tích mi n D= ệ ề

c) Tính di n tích m t ặ ệ c) Tính di n tích m t ặ ệ

Gi c mô t b i ph ng trình z = f(x, ượ ả ở ươ

˛ ả ử ặ y) v i (x, y) ớ

Khi đó: Di n tích m t cong S là s m t cong S đ D. ặ ệ

+ 1 z

dxdy

�� D

(cid:0) (cid:0)

ằ

x y ( ,

) :

ủ 2 Ví d :ụ Tính di n tích c a ph n m t nón n m ầ = trong m t trặ ụ ệ { ặ } y

1.3 Tích phân b i baộ 1.3 Tích phân b i baộ ệ

(cid:204) 1.3.1 Khái ni m tích phân b i ba ộ Cho hàm s f(x, y, z) xác đ nh trên mi n đóng b ch n V ị ị ặ ề ố

R3.

ẫ

= k 1

D (cid:0)

ﬁ + ¥ sao cho max Vk

c g i • Chia V thành n m nh nh không d m lên nhau ỏ ả ¨ ...¨ Vn ¨ V2 V = V1 • Đ t ặ D Vk = |Vk| (th tích c a V k) ủ ể k(xk, yk, zk) ˛ Vk • V i k = 1, 2, ..., n, l y tuỳ ý M ấ ớ = f (M ) V S n k k • L p t ng ậ ổ Cho n ﬁ ộ ượ ọ

ﬁ 0 mà sn ể ọ f (x, y, z)dV

ộ I không ph ụ k thì I đ ệ thu c vào cách chia và cách ch n đi m M = �� là tích phân b i 3 c a f(x,y,z) trên V. Kí hi u: ủ V

th tích ề ấ ế ố ể

i d u tích phân ướ ấ

• Trong đó: V là mi n l y tích phân dV là y u t f(x, y, z) là hàm d N u tích phân (1) t n t i, ta nói hàm f(x, y, z) kh tích ồ ạ ả

ế trên V.

Vì không ph thu c cách chia, nên ta có th chia V b i ụ ể ộ ở

các ặ ẳ

ạ ộ ứ f (x, y, z)dxdydz ẳ ặ f (x, y, z)dV

= �� V

m t ph ng song song v i các m t ph ng to đ , t c là dV = dxdydz. Do đó

dV�� V

ớ �� V

t: n u f(x,y,z)=1 thì là th tích mi n V. ệ ề ế ể

Đ c bi ặ

1.3.2 Cách tính tích phân b i 3 trong t a đ Đ các 1.3.2 Cách tính tích phân b i 3 trong t a đ Đ các ọ ộ ề ọ ộ ề ộ ộ

T ng t

ự ư ộ nh tích phân kép, tính tích phân b i ba ta đ a v ư ề ng h p c ợ ụ ộ ố ườ ộ

ộ ươ tích phân b i 2 và b i.. Sau đây là m t s tr th .ể

f (x, y, z)dz

f (x, y, z)dxdydz

D (cid:204) Oxy, z1(x, y) £ z2(x, y)}

• V = { (x, y) ˛ �� V z £ z (x,y) 2 = �� dxdy z (x,y) 1 Th thìế

x £ z2(x, y)} z £ f (x, y, z)dz y, y1(x) £ f (x, y, z)dxdydz

z (x,y) y (x) b y2(x), z1(x, y) £ y £ 2 2 = � � � dy dx z (x,y) y (x) 1 1

• V = {a £ �� Th thìế V

• Ví dụ: Tính

xydxdydz

= �� = z

(cid:0)

xy + = y

với

= (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1.3.3 Đ i bi n trong tích phân b i ba 1.3.3 Đ i bi n trong tích phân b i ba ế ế ổ ổ ộ ộ

ổ

ụ

ề ấ ạ

• Đ nh th c Jacobi khác không trong V’ Xét phép đ i bi n: x = x(u, v, w), ế y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) tho mãn: ả • Các hàm x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) liên t c cùng v i ớ các đ o hàm riêng c p 1 c a chúng trong mi n đóng V’ ủ c a không gian O’uvw. ủ ị ứ

(

) u, v, w V '

D(x, y, z) D(u, v, w)

' u ' u ' u

' v ' v ' v

' w ' w ' w

(cid:0) " (cid:0)

• Khi đó:

f (x, y, z)dxdydz

�� V

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) | J |dudvdw

= �� V '

ế

c gi i h n b i m t nón, ượ ớ ạ ặ ở ọ ộ ụ ề

ổ ạ ặ ụ

M(x, y, z)

j (cid:0)

(cid:0)

j (cid:0)

(cid:0) j b) Đ i bi n trong t a đ tr ( Ph m vi áp d ng: Mi n V đ ụ m t tr , m t paraboleliptic) ặ Công th c đ i bi n: ứ ổ = x Đ t ặ = y = z ế rcos r sin z (cid:0)

p 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

r j

0 r

=� V chú ý r ngằ

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) +(cid:0) z

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ta có: j - j

cos sin

r sin r cos

0 = 0

dxdydz

j rdrd dz

�

j j

f (x, y, z)dxdydz

f (r cos , r sin , z) rdrd dz

�� V '

j j j

Do đó: �� V

y dxdydz

Ví d 1:ụ Tính

+�� x + x

= (cid:0)

(cid:0)

v iớ

(cid:0)

zdxdydz

= ��

Ví d 2:ụ Tính

= (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

x 0

V i ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ổ ế

c) Đ i bi n trong t a đ c u ọ ộ ầ (Áp d ng đ i v i mi n V có d ng hình c u hay m t ph n ề ố ớ ầ ạ ầ ộ

q j (cid:0) (cid:0)

r j

=� V

(cid:0) ụ hình c u)ầ Công th c: Đ t ặ ứ (cid:0) q j (cid:0) (cid:0)

= = =

x y z

r sin cos r sin sin rcos

M(x, y, z)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) q (cid:0)

Chú ý r ngằ (cid:0) (cid:0)

0 j

(cid:0) q (cid:0) (cid:0) (cid:0)

p 2 (cid:0) + p

N(x, y, 0)

j (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

• Ta có đ nh th c Jacobi ứ ị

sin cos

r cos cos

q j q j - q j

sin sin

r cos sin

r sin sin j = - r sin cos

2 r sin

q j q j q q

cos

r sin

f (x, y, z)dxdydz

q - q

f (r cos

sin , r sin sin , r cos ) r sin drd d

j q j q q q j q

Do v yậ �� V �� V '

2 z dxdydz

�� x

• Ví d :ụ Tính

(cid:0)

zdxdydz

= ��

trong đó V là Ví d 2:ụ Tính

v i ớ (cid:0)

(cid:0)

= (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

1.3.4 ng d ng tích phân b i ba 1.3.4 ng d ng tích phân b i ba Ứ Ứ ụ ụ ộ ộ

ể

ể ậ ở ề

a) Th tích v t th ể ậ Th tích v t th đ ể ượ V

i h n b i mi n V là: c gi ớ ạ = �� dV V

c gi i h n b i các m t sau: Ví dụ: Tính th tích v t th đ ể ể ượ ậ ớ ạ ặ ở

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

b) Tr ng tâm v t th b) Tr ng tâm v t th ậ ậ ọ ọ ể ể

c gi ố ượ ậ

, )

Xét v t th đ ể ượ ậ V t th có kh i l ể • Khi đó kh i l ng c a v t th là: ố ượ ể

i h n b i mi n V. ở ớ ạ ề r x y z ( , , ) ng riêng ủ ậ = �� r ( , x y z dxdydz

• Tr ng tâm c a v t th tính theo công th c: ủ ậ ứ ọ

(cid:0)

x y z dxdydz ( ,

, )

x G

r �� x

V ể 1 m

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

x y z dxdydz ( ,

, )

y G

r �� y

1 m

(cid:0)

x y z dxdydz ( ,

, )

z G

r �� z

(cid:0)

1 m

(cid:0) (cid:0)

ng 2

ươ

2.1. Tích phân đ ườ ng lo i m t ộ ạ

2.2. Tích phân đ ng lo i hai ạ

2.3. Tích phân m t lo i m t ộ ạ ườ ặ

2.4. Tích phân m t lo i hai ặ ạ

ng lo i m t ộ ạ

ẳ

ố

AB (cid:204) R2.

– Cho hàm s f(x, y) xác đ nh trên cung ph ng ị – Chia AB thành n cung nh không d m lên nhau,

AB = 

ỏ 1 2A A ¨ ...¨ 

ẫ A A- n 1 n

0 1A A ¨  A A- k 1 k

– Đ t ặ D sk = – Trên cung 

ch n tuỳ ý M

ọ

k(xk, yk)

A A- k 1 k n

ườ 2.1 Tích phân đ 2.1.1. Đ nh nghĩa ị

– L p t ng S ậ ổ

f (M ) s k

D (cid:229)

k kSD

= k 1 sao cho max

mà

c g i là tích phân đ

ớ ạ ọ

= (cid:242)

– Cho n ﬁ +¥ thu c: cách chia ộ đó đ ượ ọ theo AB, ký hi u là

nS không ph ụ AB , cách ch n các đi m M k thì gi i h n ể ọ ng lo i m t c a f(x, y) d c ạ ườ ộ ủ f (x, y)ds (2.1)

ệ

AB

ﬁ ﬁ

1.1.2 Cách tính 1.1.2 Cách tính

ng trình c a đ ươ

b, y =

s cung

AB

y(x)}.

Gi ả ử Th thìế

f (x, y)ds

ủ ườ = {(x, y): a £ ng cong AB x £ • Tìm ph a)

f (x, y(x)) 1 y ' (x)dx

AB

(cid:0) (cid:0)

c cho b i ph £ ươ t £ ng trình tham s ố b , x = x(t), y = y(t)},

b b) N u đ ở ượ ế AB = {(x, y): a Khi đó:

f (x(t), y(t)) x ' (t) y ' (t)dt

f (x, y)ds .

(cid:0) (cid:0)

AB

1.2.3 Tr 1.2.3 Tr ng h p đ ng h p đ ng l y tích phân thu c không gian ng l y tích phân thu c không gian ườ ườ ợ ườ ợ ườ ấ ấ ộ ộ

• Tích phân đ ườ ạ ộ ủ ọ

c đ nh nghĩa t ng ng lo i m t c a hàm f(x, y, z) d c theo ươ ượ ị

ẳ

cung AB trong không gian cũng đ t ặ ự ư ng trình tham s : N u AB có ph ố ế nh trong m t ph ng. ươ

£ t £ b

x = x(t) y = y(t) v i ớ a z = z(t

f (x, y, z)ds

Ta có: b

f (x(t), y(t)) x ' (t) y ' (t)

z ' (t)dt

(cid:0) (cid:0)

AB

2.2 Tích phân đ 2.2 Tích phân đ ườ ườ ng lo i 2 ạ ng lo i 2 ạ

2.2.1 Đ nh nghĩa ị

ị ố ẳ AB

AB

ẫ

k) ˛ , ký hi u ệ

 A A- k 1 k

 A A- n 1 n k(x k, h ụ

ớ

ế ủ Cho hàm s P(x, y) và Q(x, y) xác đ nh trên cung ph ng • Chia thành n cung nh không d m lên nhau, ỏ   = ¨ ¨ ...¨ 0 1A A 1 2A A • V i k = 1, 2, ..., n, l y tuỳ ý M ấ D xk, D yk là chi u c a lên 2 tr c 0x,0y. A A- k 1 k

[P(

+ ) x

) y ] k

= k 1

+(cid:0)

x h D x h D (cid:0) • L p t ng S ậ ổ

x , • Cho n sao cho max mà (h u h n) k

(cid:0) D D (cid:0) (cid:0)

ữ ạ

AB không ph thu c: cách chia ộ

, cách ch n các đi m ụ ể ọ

ượ ọ ớ ạ ườ

AB

ọ i h n đó đ = Mk c g i là tích phân đ ng lo i hai thì gi ạ c a hai hàm P(x, y) và Q(x, y) d c theo , ký hi u là ệ ủ + P(x, y)dx Q(x, y)dy (cid:0)

Chú ý: Tích phân đ ng lo i hai cũng có các tính ch t ườ ạ ấ

ng t ị

= -

ổ ấ • N u ta đ i chi u l y tích phân thì tích phân đ i d u, P(x, y)dx Q(x, y)dy (cid:0) nh tích phân xác đ nh. ự ư ề ấ ổ + P(x, y)dx Q(x, y)dy (cid:0)

AB

BA

t ươ ế t c là ứ

+ (cid:0)i ng l y tích phân L là kín, ta có th dùng ký ế ườ P(x, y)dx Q(x, y)dy L

ể ấ

• N u đ hi u ệ • .

ng h p

ườ

, y = y(x)}

ợ AB = {(x, y): x ˛ x

+ P(x, y)dx Q(x, y)dy

[P(x, y(x)) Q(x, y(x))y '(x)]dx

2.2 Cách tính

(2.8)

ng h p

AB • Tr

ườ

ợ AB = {(x, y): t ˛

, x = x(t), y = y(t)}

+ P(x, y)dx Q(x, y)dy

(cid:242) (cid:242)

+ [P(x(t), y(t))x '(t) Q(x(t), y(t))y '(t)]dt

AB (2.9)

(cid:242) (cid:242)

2.2.3 Công th c Green 2.2.3 Công th c Green

ứ ứ ề ể ồ

• Gi ớ ả ử ơ ừ

s D là mi n liên thông b ch n v i biên tr n t ng ế ụ ề ườ ộ ủ ấ

(cid:0) (cid:0)

)dxdy

+ P(x, y)dx Q(x, y)dy

= �� ( D

(cid:0) (cid:0) ị ặ khúc L (có th g m nhi u đ ng cong kín r i nhau). N u ờ các đ o hàm riêng c p m t c a P(x, y) và Q(x, y) liên t c ạ trong D thì (cid:0)i L

• H quệ ả: Di n tích S c a mi n b ch n D v i biên kín L ị ặ ề ệ ớ

đ ủ c tính theo công th c ứ ượ

xdy ydx

1 2

(cid:0)i L

xdx +

ydy +

(cid:0)i 1L

Ví d 1ụ : Tính

x 4 +

ng elip có pt: v i L là đ ớ ườ

xdx +

y y+ 9 ydy +

 AB

AB V i là ¼ đ

Ví d 2ụ : Tính (cid:0)

x 4

ớ ườ ộ

y+ ng elip : thu c 9 đi m A(-2, 0) đ n B(0, -3)

góc ph n t th 3, t ầ ư ứ ừ ể ế

2.2.4 Đi u ki n đ tích phân đ 2.2.4 Đi u ki n đ tích phân đ ng lo i hai không ng lo i hai không ườ ườ ạ ạ

ng l y tích phân ng l y tích phân ể ệ ệ ể ph thu c đ ộ ườ ph thu c đ ộ ườ ề ề ụ ụ ấ ấ

ị ế ụ

ề ấ

ng đ ng: ươ ươ ệ

(cid:0) (cid:0) N u hai hàm P(x, y) và Q(x, y) liên t c cùng Đ nh lý 2.2.1. v i các đ o hàm riêng c p m t c a chúng trong mi n ộ ủ ạ ớ đ n liên D thì b n m nh đ sau t ề ố ơ Q 1.

+ Pdx Qdy

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)i L

2. = 0 v i m i đ ng cong kín L n m trong D ọ ườ ớ ằ

+ Pdx Qdy ch ph thu c hai mút A và B, không ph ụ

AB

(cid:0) 3. ỉ ụ ộ

thu cộ

ầ ủ ộ

AB vào cung (cid:204) 4. Bi u th c Pdx + Qdy là vi phân toàn ph n c a m t hàm ứ ề

ể u(x, y) nào đ y trong mi n D. ấ

ầ ủ

ế

ệ ả : N u Pdx + Qdy là vi phân toàn ph n c a ộ

(cid:242)

H qu 1 m t hàm u(x, y) thì + Pdx Qdy

= u(B) – u(A), v i m i

ớ

ọ AB (cid:204)

AB

2 thì Pdx + Qdy là vi phân toàn

H qu 2 ệ ả : N u D = R ế ở ph n c a hàm u(x, y) cho b i ầ ủ y x

Q(x, y)dy

u(x, y) =

+ C (2.12)

P(x, y )dx 0

(cid:242) (cid:242)

P(x, y)dx

+ C (2.13)

ho c ặ u(x, y) =

Q(x , y)dy 0

(cid:242) (cid:242)

2 3 x y

4 x dx )

3 2 x y

Ví dụ: CMR bi u th c: ứ ể

ầ ộ ố

Là vi phân toàn ph n c a m t hàm s u(x,y) nào ủ đó, tìm hàm u(x,y)

ị

V i P(x, y, z), Q(x, y, z) và R(x, y, z) là các hàm xác đ nh trên ớ AB (cid:204)

R3, ta đ nh nghĩa tích phân đ

ng lo i hai ạ

ườ

ị

I =

(cid:242) P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz AB

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

Cách tính: Gi s ả ử AB = {(x, y, z) : t ˛ x = x(t), y = y(t), z = z(t)}. Khiđó

2.2.5 Tr ng h p đ ng l y tích phân thu c không gian ườ ợ ườ ấ ộ

AB

[P.x '(t) Q.y '(t) R.z '(t)]dt

(cid:242)

(cid:0)

ặ ặ

2.3 Tích phân m t lo i 1 ạ 2.3 Tích phân m t lo i 1 ạ • Cho hàm s f(x,y,z) xác đ nh trên m t cong S • Chia S thành n m nh nh d i nhau kí hi u b i ở

ặ ố

ị ỏ ờ ệ ả

S1,S2,...,Sn kSD • Đ t là di n tích c a m nh S ệ ủ ả ặ

k l y tùy ý đi m M

k(xk,’yk,zk)

• Trên m i m nh S ỗ ả ể

= k 1

D (cid:0) ấ f (M ) S k k

kSD

(cid:0) (cid:0) • L p t ng I n= ậ ổ +(cid:0) n (cid:0)

k thì I đ

ụ • Cho sao cho max 0 mà In I không c ượ ộ ọ

ộ ủ

ph thu c vào cách chia và cách ch n M g i là tích phân m t lo i m t c a f(x,y,z) trên S kí ạ ọ f (x, y, z)dS hi u là: ệ ặ = �� S

2.3.2 Cách tính:

= D ch S ( xoy )

ng trình z = z(x,y), N u m t S có ph ặ ế ươ

dxdy

(cid:0) (cid:0)

Khi đó:

dxdy

f x y z ds ( ,

, )

f x y z x y ( ,

, ( ,

)) 1

�� D

�� S

(cid:0) (cid:0)

ng trình x = x(y, ng t ườ ng h p m t S có ph ặ ợ ươ ự ươ

cho tr T z) và y = y(x, z)

4 )

y ds

z ( �� S

Ví dụ: Tính

ặ ủ ớ ạ i h n b i ở

ẳ ặ ặ ẳ

x 2

Trong đó S là các m t c a hình chóp gi các m t ph ng to đ và m t ph ng ạ ộ z + y+ 4

2.4. Tích phân m t lo i 2:

ặ

ạ

2.4.1. Khái ni m v m t đ nh h ng: ề ặ ị ệ ướ

2.4.2. Đ nh nghĩa tích phân m t lo i 2: ạ ặ ị

ễ

 G/s S là m t cong hai phía có pt bi u di n là z = z(x, y). Trên S ta c đ nh m t phía, ch ng h n phía ngoài. ặ ố ị ể ạ ẳ ộ

= D ch S xoy ) (

ỏ ả ẫ

)

(

)

D i

ch S ( -G i có di n tích t i ( xoy )

-Chia S thành n m nh nh tuỳ ý không d m lên nhau: (S1), (S2), ….,(Sn). = ươ ứ ệ ọ ng ng là D i

i(xi, yi, zi) tuỳ

ỗ

-Trên m i m nh (Si) l y m t đi m M n ý.

ả I ấ ộ ể f x y z D , ( ) i i

= (cid:0) i

= 1

-L p t ng ậ ổ

ấ

ở ượ l c i ạ ọ

ớ ụ -Quy c: Di mang d u (+) n u góc h p b i pháp ướ ợ ế tuy n t i Mi v i tr c oz là góc nh n. Ng ế ạ mang d u (-) ấ

-N u t n t i gi

)

f x y z D , ( i i

(cid:0)

= 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

(cid:0) (cid:0)

m ( -(di là đ

ế ồ ạ lim n axdi 0) ườ i h n h u h n ớ ạ ữ ạ n = lim n axdi 0) m ng kính c a m nh S ủ ả

ọ ộ ặ ụ

ọ ủ ạ

dxdy=

f x y z ( , , )

)

(1)

f x y z D ( , i i

(cid:0)

lim n

= 1

(cid:0) (cid:0)

Không ph thu c vào cách chia m t S và cách ch n i thì g/h đó g i là tp m t lo i 2 c a hàm s đi m Mể ố ặ f(x,y,z) l y theo phía ngoài m t S. ặ ấ Kí hi u:ệ �� S

T ng t : ươ ự

ặ ạ

dydz

+ N u m t S có pt x = x(y, z) thì ta có tp m t lo i 2 đ ượ

(2)

ng t là: ự f x y z ( , , )

ặ

dxdz

(3)

ặ ế c đ/n t ươ �� S ặ c đ/n t + N u m t S có pt y = y(x, z) thì ta có tp m t lo i ạ 2 đ ế ượ

ng t là: ươ ự f x y z ( , , ) �� S

T ng quát : N u có ba hàm s P(x, y, z), ổ ế ố

ặ

ặ ặ

dydz

dxdz+R(x,y,z)dxdy

P x y z , ) ( ,

Q x y z , ) ( ,

�� S

Q(x, y, z), R(x, y, z) xác đ nh trên m t S và có (1), ị (2), (3) thì tp m t lo i 2 l y theo phía ngoài m t S ấ ạ có d ng t ng quát là: ổ ạ

V(cid:0)

ộ ườ ị

R(cid:0) Chú ý: Ta nói trong mi n xác đ nh m t tr ng ề V véc t n u ng v i m i đi m M(x, y, z) có m t ơ ế ứ ể ộ ỗ ớ  i M v i các to đ P(M), Q(M), g c t véc t ạ ộ ớ ố ạ ơ F M ) ( R(M) là nh ng hàm s c a M. ố ủ

ữ

)

ng véc t ớ

 -Cho tr v i các thành ph n P(M), Q(M), ầ ơ ườ F M ( ng S: z = z(x, y). R(M) v i M( x, y, z) và m t m t đ nh h ớ Khi đó thông l

ướ

= �� ( os +Qcos +Rcos )ds Pc S

ặ ị ng véc t F qua m t S là: ng c a tr ủ ộ ườ ượ ặ ơ

g b c a os ,cos ,cos Trong đó là cosin ch h c a véc t pháp tuy n t i M ế ạ ơ ủ   g a ox), =( oy), n n ( , ,

 ( oz) , n

ng ỉ ướ

V i: ớ

-z y

b os = c

a os = c

-z x 2

(cid:0) (cid:0)

g os = c

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

dydz

dxdz+R(x,y,z)dxdy

P x y z ( , , )

Q x y z ( , , )

�� S =

dydz

dxdz

dydx

P x y z , ) ( ,

Q x y z , ) ( ,

R x y z ( , , )

�� S

�� S I 1

2.4.3. Cách tính:

dydz,

S: x=x(y,z)

P x y z , ) ( ,

]

dydz

P x y z y z ( , ),

(cid:0)

V i: . L y d u (+) n u pháp tuy n ớ ế ế ấ ấ

Trong đó: = I �� 1 S [ =� � I �� 1 D = D chS ( yoz )

ủ ợ ọ

t ươ ng ng ng c a S h p v i tr c ox m t góc nh n, ớ ụ ứ ng t c l ươ ượ ạ ấ i l y d u (-). T ấ ộ ự ớ 2, I3. v i I

dxdy

Ví d 1ụ : Tính

= �� xyz S ặ

ầ ị

Trong đó S là m t ngoài c a hình c u xác đ nh b i:ở

(cid:0) (cid:0) ủ 2 1 =

(cid:0)

x x

y y 0,

z 0

)dydz+(z-x)dxdz+(x-y)dxdy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ví d 2ụ : Tính : -�� ( y I S

ủ + ặ = (cid:0) (cid:0) S là phía ngoài c a m t nón: 2,0 2

2.4.4.Công th c Stokes

ứ

ướ

ng tr n t ng m nh có biên là ả hàm P(x, y, z),

ặ ị ơ ừ

ạ ặ

ạ

ớ

ộ ủ +

ng lo i 2 và ích phân m t lo i 2) ơ ừ ế

(Liên h gi a đ ạ ệ ữ ườ Gi s S là m t đ nh h ả ử nườ g kín L tr n t ng khúc. N u các đ Q(x, y, z) và R(x, y, z) liên t c cùng v i các đ o hàm riêng ụ c p m t c a chúng trên S thì ta có ấ (cid:242) Pdx Qdy Rdz L

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

(

+ )dydz

+ )dzdx (

)dxdy

- - - (cid:242) (cid:242)

R x

Q z

Q x

P y

R y S ề ấ

ề

ộ

i đi bên

ề ấ

ề ớ

ầ

ặ

ườ ở

P z chi u l y tích phân trên L là chi u sao cho m t ng d c theo chi u y nhìn th y ph n m t S k v i mình ấ ọ trái.

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Chú ý:

) có các thành

ườ ơ

  F F M= ( ườ

P x y z dx Q x y z dy R x y z dz

, )

( ,

(cid:0) L

 F

ng: ng véc t + Cho tr ph n P(M), Q(M), R(M). Ng ầ i ta g i tp đ ọ ườ

Là l u s c a tr ng véc t d c theo L ố ủ ư ườ ơ ọ

 F

xoáy hay rôta c a là véc t ký ơ ủ ơ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

- - - + Ta g i véc t ọ hi u là: ệ  rot F

Q P , z z

R Q , x x

P y

R y

� � �

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - -

(

)

R Q P z

R Q P y x

( M i liên h gi a tp m t lo i 2 và tích phân b i 3)

2.4.5 Công th c Ostrogradsky: ứ ộ ạ ệ ữ

s V là mi n gi

i n i trong R3 v i biên là

ề

ớ

ụ

ạ

Gi ớ ộ ả ử m t kín S . P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) là ba ặ hàm s liên t c cùng v i các đ o hàm riêng ớ c p m t c a chúng trong V. Khi đó ta có : ấ

ố ộ ủ

ặ ố

)dxdydz

Pdydz Qdzdx Rdxdy

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

P x

Q y

R z

( �� V

�� S

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

dydz+xzdxdy+yzdxdz

= �� xy S

Ví dụ: Tính:

ớ ạ i h n b i các ở

Trong đó S là phía ngoài hình chóp gi m t:ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x x

z y 0, + + = 1

0, y

(cid:0)

•Chú ý: N u véc t ế ơ

 F có các to đ là P(M), ạ ộ + R z

+ P Q Q(M), R(M) thì t ng g i là dive x c aủ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ổ  F  = divF P Q Ký hi u: ệ

Ch ng 3 ươ

3.1. Ph ng trình vi phân c p 1 ươ ấ

3.2. Ph ng trình vi phân c p 2

ươ 3.3. H ph ấ ng trình vi phân ệ ươ

3.1. Ph ng trình vi phân c p 1: ươ ấ

3.1.1. Đ i c

y Nghi m t ng quát d ng: y = y(x, C)

ho cặ ng trình vi phân c p 1: ấ (cid:0) = f x y ( , )

ng v ph ề ươ ạ ươ F x y y(cid:0) = ) 0, , ( , ạ ổ ệ

0),

Nghi m riêng d ng: y = y(x, C ạ ệ

= ) 0

Tích phân t ng quát d ng: ổ

x y C ( , , = ) 0 x y C ( , , 0

ạ f Tích phân riêng d ng:ạ

Đ nh lý 3.1.1

(s t n t

ị

ự ồ ạ

i và duy nh t nghi m) ấ

ệ

Cho ph

ng trình

y' = f(x, y). Gi

s f(x, y) liên

ươ

ả ử

t c trong m t mi n D nào đó c a m t ph ng ụ

ủ

ề

ặ

ẳ

ộ

Oxy và (xo, yo) ˛

Khi đó trong m t lân c n nào đó c a đi m x = x ậ

ủ

ể

ộ

i ít nh t m t nghi m y = y(x) tho mãn pt

t n t ồ ạ

ệ

ấ

ả

ộ

trên sao cho y nh n giá tr y

i x = x

ậ

ị

ạ

o t

ề

y(x, y) cũng liên t c trong mi n D thì ụ

N u f’ ế

nghi m y là duy nh t.

ệ ấ

ấ

3.1.2 Ph ươ ế : ng trình khuy t

- Ph ng trình khuy t y: F (x, y') = 0. ươ

ế i ra đ Ph ng trình gi c đ i v i y' ươ ả ượ ố ớ : y' = f(x).

(cid:242) Tích phân hai v , đ c y = ế ượ f(x)dx = F(x) + C, v i ớ

F(x) là m t nguyên hàm c a f(x). ủ ộ

Ph ng trình gi i ra đ x = f(y'). ươ ả ượ c đ i v i x: ố ớ

ng trình tham s c a đ ng ặ ượ ươ ố ủ ườ

c ph Đ t y' = t. Ta đ tích phân: x = f(t); y = (cid:242) tf'(t)dt = tf(t) – F(t) + C, trong

đó F(t) là m t nguyên hàm c a f(t) ủ ộ

ươ ng trình có th tham s hoá ể ố

ộ

: x = f(t), y' = g(t). – Ph y = (cid:242) g(t)f'(t)dt = h(t) + C, trong đó h(t) là m t nguyên hàm c a g(t)f'(t). ủ

y(cid:0) +

sinx = cosx

i ph ng trình : Ví d 1ụ : Gi ả ươ

(cid:0)+ y

+ - = 1 x

(cid:0) Ví d 2ụ : Gpt:

F y y(cid:0) = ( ,

) 0

(cid:0) =

f y ( )

- Ph ng trình khuy t x: ươ ế

+ D ng : ạ

f y(cid:0) (

)

+ D ng: ạ

t ( ),

g t ( )

(cid:0) + D ng tham s hoá: ạ ố

3.1.3 Ph ng trình phân li: ươ

Đ/n : f(x)dx = g(y)dy

i ph ng trình: Ví dụ: Gi ả ươ

2 +

2 =

(

2 yx )

+ y

(cid:0) =

(cid:0) -

(ax+by+c)

Chú ý: pt d ng:ạ

(cid:0) =

Đ t z = ax + by +c ặ

(

)

i pt: Ví dụ: Gi ả

(cid:0) =

3.1.4 Ph ươ ng trình thu n nh t ( pt đ ng c p): ấ ầ ẳ ấ

f x y ( ,

)

Đ/n: D ng:ạ

(cid:0) =

f x y ( ,

)

Cách gi iả : Đ a v d ng: ề ạ ư

= y u x .

= + u

�

du dx

= j

Đ t:ặ

u ( )

�

y x du dx

y j � � � � x � � dy � dx du dx

u ( )

0 ��

- + N u ế

du u ( )

= u

dx x

Là pt phân li bi n sế ố

u ( )

- = u

= ( ) u

j �

�

dy = dx

y x

y Cx

=�

+ N uế

+ +

+ a x b y 1 + a x b y 2

c 1 c 2

� � �

Chú ý: N u pt d ng: ế ạ � (cid:0) = � f �

D =

a 1 a 2

= +

Xét:

b 1 b 2 x u

(cid:0)

a b ,

c onst

= + v

D (cid:0) (cid:0) N u đ t: trong đó ế ặ

(cid:0)

0 =

(cid:0) Đ c xác đ nh t h : ượ ị ừ ệ

a a 1 a a 2

b b 1 b b 2

c 1 + c 2

dy dx

dv du

(cid:0)

c 1

D =

�

dy = dx

b = 1 b 2

+ a x b y ( ) 2 + + a x b y 2

c 2

l � � �

� � �

(

)

a = 1 a 2 + a x b y 2

N u: ế

Đ t z = a ặ ư ế ố

2x + b2y, đ a v pt phân ly bi n s ề x x

+ - y y

dy dx

3 1

i pt: Ví dụ: Gi ả - -

3.1.5 Ph ươ ấ

P(x), Q(x) liên t c trong (a; b) nào đó.

ụ

(cid:0) + y P x y

( )

-N u Q(x) = 0, ta có pt:

ế

G i là pt vp tt thu n nh t.

ấ

ầ

ọ

Đ/n: D ng: ng trình tuy n tính c p 1: ế (cid:0) + = y P x y Q x ( ) ( ) ạ

(cid:0) + y P x y

( )

= -

P x y ( )

P x dx ( )

(

�

dy dx

dy = -� y

Cách gi + B1: Gi : iả : ả i pt thu n nh t t/ ầ ấ ư

P x dx ( )

�

- (cid:0)

y C

(cid:0)

P x dx ( )

= y Ce

( )

�

- (cid:0) *

+ B2: Tìm nghi m t ng quát c a pt vptt c p 1 ấ ổ

y C x e ( )

- ủ P x dx ( ) (cid:0) ệ = d i d ng: ướ ạ

P x dx ( ) �

- -

(cid:0)= y C x e ( )

C x

( )( � Thay y và y’ vào pt vptt c p 1 ta đ

P x e ( )) c:

(cid:0) -

ấ ượ

P x dx ( ) �

- -

C x e ( )

C x P x e ( )

( )

(cid:0) -

P x dx ( )

P x C x e ( )

( )

Q x ( )

P x dx ( )

- (cid:0)

= C x Q x e ( )

( )

�

(cid:0) (cid:0)

P x dx ( )

C x ( )

+ dx C

�

* (cid:0)

Q x e ( )

(cid:0)

Thay vào (*) ta có nghi m t ng quát c a pt là: ệ ủ ổ

P x dx ( )

* �

P x dx ( ) �

y C e

Q x e ( )

- -

(cid:0)

Ví d 1ụ : Gi ả

i pt: (cid:0) + y

= x=0 1

V i đi u ki n: ề ệ ớ

i pt: Ví d 2ụ : Gi ả

c ( osy).y = x - siny

(cid:0)

ydx

(

= x dy

6 )

- i pt: Ví d 3:ụ Gi ả

ng trình Bernoulli ươ

ng trình luôn có nghi m y = 0.

3.1.6. Ph Đ/n: y' + p(x)y = q(x)ya , (a „ 0 và a „ 1)

ươ

iả : Ph

0, chia hai v cho y

ệ c ượ

ế

a , ta đ y' + p(x) y1- a = q(x).

1 – a , ta có z' = (1 – a )y – a y', ph

ặ

ươ

ng a )p(x)z = (1 –

ở

„

y '

2 4 x y

ấ ng trình: y x

i ph Cách gi V i y ớ y–a Đ t z = y trình trên tr thành: z' + (1 – a )q(x), là pt vptt c p 1. Ví d 1ụ : Gi ả ươ

2 3 (x y

= xy) 1

dy dx

i pt: Ví d 2:ụ Gi ả

ng trình vi phân toàn ph n ươ ầ

ụ ố

ớ ề ấ ạ ộ

3.1.7. Ph Đ/n: P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0 trong đó P(x, y), Q(x, y) là nh ng hàm s liên t c cùng v i ữ các đ o hàm riêng c p m t c a chúng trong m t mi n ộ ủ ệ đ n liên D tho mãn đi u ki n ả ơ ề

(cid:0) (cid:0)

P y

Q x

(cid:0) (cid:0)

ầ ủ ộ

Khi đó Pdx + Qdy là vi phân toàn ph n c a m t hàm s ố u(x, y) nào đó.

c cho R2, hàm s u(x, y) đ ố ượ

u(x, y)

Q(x, y)dy C

P(x, y )dx 0

u(x, y)

P(x, y)dx

Q(x , y)dy C

y � y 0 y � y 0

ở ứ

ể ạ i đó P và Q liên t c ụ Cách gi i:ả N u D = ế b i công th c: x � x 0 x � x 0 (x0, y0) là đi m t

ng trình: i ph ươ ả

Ví dụ: Gi (7x + 3y)dx + (3x + 5y)dy = 0

Chú ý : G/s cho pt P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, nh ngư

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

P y

Q x

(cid:0) (cid:0)

ề ằ

m ể ư ố ộ

(x, y)Q(x, y)dy 0

m Khi đó ta có th đ a pt trên v ptvp tp b ng cách (x, y) tìm m t hàm s sao cho pt: + m (x, y)P(x, y)dx

là pt vi phân toàn ph nầ

(x, y)

m Khi đó đ c g i là th a s tích phân ượ ừ ọ ố

2 + +

x y)dy 0

- Ví d :ụ Gi i pt: ả 2 + y)dx (y (2xy

(y)

m B ng cách tìm th a s tích phân có d ng ừ ằ ạ ố

3.1.8 Ph ng trình Clairaut:

f (y )

(cid:0) (cid:0) ươ = Đ/n: y

�

Cách gi

= +

t x

f (t)

�

dt dx

(cid:0)

(cid:0) = t + tx f (t) dt dx ]

= + t

x f (t)

dt dx

(cid:0) i:ả Đ tặ y = y dy dx [

[

]

x f (t)

�

= + t

dt dx

(cid:0)

[

(cid:0)+ x f (t)

�

] dt dx

= t C (C const)

�

dt dx

+ N uế

(cid:0)

y = Cx + f(C) ] +

[

x f (t)

f (t)

= -� x

(cid:0) (cid:0) + N u ế

ố ệ

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

= -

f (t) + tx f (t)

x y

+ tf (t)

f (t)

(cid:0) Nghi m có d ng tham s là: ạ = - = (cid:0)

i pt: Ví d :ụ Gi ả

(cid:0)

1 y

(cid:0)

y +

(cid:0) (cid:0)

i:ả Đ t ặ = 3.1.9 Ph Đ/n: y Cách gi �

+ f (t) xf (t)

g (t)

�

(cid:0) (cid:0)

dt dx

ng trình Lagrange: ươ + = xf (y ) g(y ) (cid:0) = t y f (t)x g(t) dy dx

[

]

f (t)

+ xf (t) g (t)

�

dt dx

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)+

[

]

xf (t) g (t)

= - t

f (t)

�

dt dx

(cid:0)

(cid:0)+

xf (t) g (t)

(cid:0)

dx =� dt

f (t)

(cid:0) (cid:0)

= x

�

(cid:0) -

t f (t) f (t)

g (t) f (t)

- -

Đây là pt vp tt c p 1 hàm x bi n t ấ ế

Nghi m tq d ng tham s ph thu c vào t ụ ệ ạ ố ộ

3.2. Ph ng trình vi phân c p 2: ươ ấ

3.2.1. Các khái ni m chung: ệ

Đ/n: F(x, y, y’, y”) = 0

Ho c: y” = f(x, y, y’) ặ

1, C2)

- Nghi m t ng quát c a pt d ng: y = y(x, C ủ ệ ạ ổ

ạ ệ

2)

- Nghi m riêng d ng: y = y(x, C 0 f ạ

= ) 0 2 = ) 0

- Tích phân t ng quát d ng: ổ f - Tích phân riêng d ng: ạ

1, C0 x y C C ( , , , 1 0 0 x y C C ( , , , 1

3.2.2 Ph ng trình khuy t:

(cid:0) = ) 0

a) Ph ươ ng trình d ng: ươ ạ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cách gi iả : Đ t ặ

�

p F x p ( , Là pt vp c p 1 hàm p bi n x ế

ế F x y(cid:0) ( , =� y (cid:0) = ) 0

ấ

+ ( , x C dx C ) 1 2 =� = y p y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả

- N u gi ế Ta đ ượ ố

= j � (cid:0) y ) yj ) ( i ra: đ t ặ c nghi m d ng tham s là: ạ t ( )

p(cid:0)=

(cid:0) i ra: - N u gi ả ế = j x C ( , 1 = x ệ x

)

(cid:0)

t C C ( , , 1

(cid:0)

i ph Ví d 1ụ : Gi ả ươ

y(cid:0)

(cid:0) - ng trình: = sinx

i ph Ví d 2ụ : Gi ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ = ng trình: +

(cid:0) = ) 0

(cid:0) b) Ph ng trình d ng: ươ ạ

F x y y(cid:0) ( , =� y , F x p p

p (cid:0) = ) 0

p ( ,

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cách gi i:ả

Là pt vp c p 1 hàm p bi n x ế ấ

i ph Ví dụ : Gi ả ươ

(cid:0)

(cid:0) =

(cid:0)

ng trình: y x

(cid:0) c) Ph ươ ạ

ng trình d ng: (cid:0) = Cách gi

(cid:0)

p p .

p dp dy dy dx

(cid:0) = F y y y(cid:0) ) 0 , ( , = p y p ( )) ( iả : Đ t ặ dy dp dx dy F y p p p(cid:0) = ,

) 0

( ,

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

Là pt vp c p 1 hàm p bi n y ế ấ

i ph Ví dụ: Gi ả

y y .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ng trình: ươ 2 + +

3.3 Ph

ng trình vi phân tuy n tính

ươ

ế

Là ph

ng trình có d ng: y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)

ươ

ạ

(1)

trong đó p(x), q(x), f(x) là nh ng hàm s liên

ữ

ố

t c. ụ

ng trình thu n nh t t

ng ng là:

ươ

ấ ươ ứ

ầ

y” +p(x)y’ +q(x)y = 0 (2)

i ph

ả

ươ

ng trình thu n nh t ấ

ầ

3.3.1 Gi Đ nh nghĩa

ượ ọ

ị

ế ị

ứ

ạ

( (

) x n u đ nh th c ) x

y 2 y '

ế c g i là đ c l p tuy n ộ ậ ( ) y x 1 ) ( x y ' 1

Hai hàm s yố 1(x) và y2(x) đ tính trên đo n [a, b] trên [a,b]

c g i là đ nh th c Wronsky

Đ nh th c trên đ ứ

ượ ọ

ứ

ị

(cid:0)

ị Đ nh lý:

ươ

ệ

ng trình (2) có 2 nghi m riêng ổ ộ ậ

ế

ệ

N u ph ế y1(x),y2(x) đ c l p tuy n tính thì nghi m t ng quát c a (2) là: ủ

y = C1y1(x) + C2y2(x)

ị

ế

ươ

ệ ầ

ể

ộ

1(x) „ 0 c a ủ ấ (2) ta có th tìm 2(x) đ c l p tuy n tính v i ớ ế

c m t nghi m riêng y ệ i d ng y

ướ ạ

2(x) = y1(x)u(x).

Chú ý: N u bi t m t nghi m riêng y ộ ng trình tuy n tính thu n nh t ph đ ộ ậ ượ y1(x) d Ta có th tìm nghi m y

ể ệ

2(x) thông qua công th c:ứ P x dx ( )

x ( )

(cid:0)

y x ( ) 1

x ( )

2 y 1

(cid:0)

Ví d :ụ

Gi ươ

ng trình. D th y y ễ ấ ủ ộ ươ i ph ng trình: y’’- 3y’+2y = 0 ả 1 =ex là m t nghi m riêng c a ph ệ

3.3.2 Ph ươ ng trình t ng quát ổ

Đ nh lý1: ị

ổ ệ

ng trình ng trình thu n nh t b ng ầ ủ ấ ằ ươ ươ ệ ổ

ủ ộ ớ ng ng Nghi m t ng quát c a ph nghi m riêng c ng v i nghi m t ng quát c a ph ệ thu n nh t t ầ ấ ươ ứ

ị ệ ấ ồ

Đ nh lý 2: Cho ba ph ng trình y” + p(x)y’ + q(x)y = f (nguyên lý ch ng ch t nghi m) ươ

y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) y” + p(x)y’ + q(x)y = f2(x)

ng ng là các nghi m riêng c a ươ ứ ệ

1(x) + f2(x) (12) (1) (2) ủ ệ

1(x) + y2(x) là nghi m riêng

ng trình (1) và (2) thì y = y

ươ N u yế 1(x) và y2(x) t ph ươ c a ph ủ ng trình (12).

i ph ả ươ

ầ ệ ng trình t ng quát: ổ ố ng pháp bi n thiên h ng s : ế s nghi m t ng quát c a ph ươ ổ

ố Cách gi Ph ằ ươ ng trình thu n nh t Gi ủ ả ử ấ (2) là: y = C1y1 + C2y2 (3) trong đó C1, C2 là h ng s tuỳ ý.

ấ ộ

1 1

ằ ệ i d ng (3) b ng cách xem C d (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ươ ng trình sau: Tìm m t nghi m riêng c a pt không thu n nh t (1) ầ ủ 1 và C2 là các hàm c a x.ủ ướ ạ ằ (cid:0)+ = C y C y 0 2 1 và ng trình (1) ta có C Tính y’, y’’ và thay vào ph ( = + C y C y f x ươ ệ ả ả

ng ế ệ ươ ị

ấ

ệ ng trình ả

C2 ph i tho mãn h hai ph Đ nh th c c a h luôn khác không. Vì th h ph ứ ủ ệ trình trên có m t nghi m duy nh t ộ i ph Ví d :ụ Gi ươ y’’-3y’+2y = x

Quy trình tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất

1(x) c a ủ

B ng cách nào đó tìm đ ằ ượ c m t nghi m riêng y ệ ộ

ph ươ ng trình thu n nh t ấ ầ

Tìm m t nghi m riêng c a ph ệ ủ ộ ươ ng trình thu n nh t d ng ầ ấ ạ

y2(x) = y1(x).u(x)

B ng ph ng pháp bi n thiên h ng s tìm m t nghi m ằ ươ ệ ế ằ ố ộ

ủ ươ ng trình không thu n nh t ấ ầ riêng yR(x) c a ph

Nghi m t ng quát c a ph ủ ệ ổ ươ ng trình không thu n nh t s ấ ẽ ầ

là:

y(x) = yR(x) + C1y1(x) + C2y2(x).

ệ ố ế

ng trình tuy n tính có h s không đ i ổ ươ ng trình tuy n tính có h s không đ i có d ng: ạ ệ ố ổ ế

ng trình thu n nh t t ấ ươ ứ ươ ầ

i ph 3.4 Ph Ph ươ y” + py’ + qy = f(x) (1) ng ng là: Ph y” + py’ + qy = 0 (2) trong đó p và q là các h ng s . ố ng trình thu n nh t Gi ấ ằ ầ ươ ả

Xét ph ng trình thu n nh t y” + py’ + qy = 0 trong đó p, ươ ấ ầ

q là hai h ng s . ố ằ

kx, trong đó k là

Tìm nghi m riêng c a nó d i d ng y = e ủ ệ ướ ạ

h ng s nào đó. ố ằ

c (k ng trình ượ ươ

2 + pk + q)ekx = 0 (cid:222) k2 + pk + q = 0 Ph ng trình đ c tr ng c a (1)

Ta đ đ c g i là ph ượ ọ ươ ủ ư ặ

Gi s k ủ ệ ươ ng trình đ c tr ng, có ặ ư ả ử 1 và k2 là hai nghi m c a ph

th x y ra ba tr ể ả ườ ng h p: ợ

2k xe 2k xe

„ Hai nghi m th c phân bi ự ệ t k ệ 1 k2:

1k xe 1k xe 1 + C2

Nghi m t ng quát c a (2) là: y = C ủ ệ ổ

1 = k2 = k:

1k xe

Nghi m kép k ệ

1 + C2x)

Nghi m t ng quát c a (2) là y = (C ủ ệ ổ

1 = a

+ ib – ib : Nghi m ph c liên h p k ứ ệ ợ

Nghi m t ng quát c a (2) là y = e ủ ệ ổ , k2 = a a x (C1cosb x + C2sinb x)

ấ ầ

ng trình không thu n nh t: ng trình ươ ươ

ằ

ng h p 1 ộ

Gi i ph ả Xét ph y” + py’ + qy = f(x) trong đó p, q là hai h ng s . ố a) Tr ườ th c b c n, ứ ậ N u ế a ư ủ ặ

không ph i là nghi m c a ptrình đ c tr ng ộ ạ

n(x) là m t đa th c b c n. ng trình đ c tr ng ặ

ộ

ứ ậ ư N u ế a

ơ ủ ạ

ứ ậ

ộ ng trình đ c tr ng ặ N u ế a ư ủ

ạ

n(x) là m t đa th c b c n.

ứ ậ ộ ợ : f(x) = ea x Pn(x), trong đó Pn(x) là m t đa là m t h ng s . ộ ằ ố ệ ả Ta tìm m t nghi m riêng d ng ệ y* = ea x [Qn(x)], v i Qớ là nghi m đ n c a ph ươ ệ Ta tìm m t nghi m riêng d ng ệ ộ y* = ea x [x.Q=(x)], v i Q=(x) là m t đa th c b c n. ớ là nghi m kép c a ph ươ ệ Ta tìm m t nghi m riêng d ng ệ ộ y* = ea x [x2.Qn(x)], v i Qớ

ng h p 2 ườ

ng ng là m và n, ợ : f(x) = cosb x.[Pm(x)] + sinb x.[Pn(x)], trong ứ ậ ươ ứ

b) Tr đó Pm(x) và Pn(x) là các đa th c b c t còn b

không là nghi m c a ph là h ng s . ằ ố ib ủ ệ ươ ng trình đ c tr ng: ặ ư N u ế –

Ta tìm m t nghi m riêng d ng: ệ ạ ộ

y* = Ql(x) cosb x + Rl(x)sinb x

l(x) và R l(x) là các đa th c b c l = max(m, n).

v i Qớ ứ ậ

ib N u ế – là nghi m c a ph ệ ủ ươ ng trình đ c tr ng: ặ ư

Ta tìm m t nghi m riêng d ng: ệ ạ ộ

v i Qớ

y* = x[Ql(x) cosb x + Rl(x) sinb x]

l(x) và Rl(x) là các đa th c b c l = max(m, n).

ứ ậ

3.5 Ph Là ph

ươ ươ

le ng trình Ơ ng trình có d ng ạ 2

)

x y +

'' axy'+by=f x

( Ho c (ax+b)y’’+c.(ax+b)y’+d.(ax+b)y=f(x) ặ Cách gi Ta có:

- -

y e '. t

iả : Đ t x=e ặ y '

= t

(

)

y t

'' t

dy dt

dy dy dx dt 2 � dy d d y � � = � � � 2 dx dx dt � � �

� e � �

- - - -

ng trình ban đ u ta đ c ph ng ầ ượ ươ

ươ trình tt h s h ng Thay y’, y’’ vào ph ệ ố ằ

i ph ng trình ả

ng trình ố ớ ươ

i ph ả

Ví d 1ụ : Gi ươ x2y’’-xy’+y=0 Ví d 2:ụ Gi ươ x2y’’-2xy’+2y=0 Chú ý: Đ i v i ph (ax+b)y’’+c.(ax+b)y’+d.(ax+b)y=f(x) Ta đ t: (ax+b)=e ặ t ng trình Ví dụ: Gi ươ (1+x)2y’’+(1+x)y’+y=0

ng trình vi phân chu n t c c p m t là h có ẩ ắ ấ ệ ộ

(cid:0)

ng trình vi phân 3.5 H ph ệ ươ 3.5.1 Đ i c ng ạ ươ H n ph ươ ệ d ng ạ

(cid:0)

y ' 1 y ' 2

f (x, y , y ,..., y ) 1 2 n f (x, y , y ,..., y ) 2 n

(cid:0)

1 ...

(cid:0)

y ' n

f (x, y , y ,..., y ) n n

(cid:0) (cid:0)

1, y2, ..., yn.

trong đó x là bi n đ c l p, các hàm ph i tìm là y ộ ậ ế ả

Đ nh lý: ( V s t n t i nghi m) ị ề ự ồ ạ ệ

ố i(x, y1, y2,…yn)

Cho h pt vi phân (1). G/s các hàm s f cùng v i các đ o hàm riêng ạ ệ ớ

,...,

n j ;

x y y ( , 1

(cid:0)

f y

n+1. . G/s

j ụ ,

(cid:0)

0 y 1

ộ

ệ

,...,

0 y 1

0 2

0 n

y 1

= x x 0

n x x 0

liên t c trong m t mi n D trong R ộ ề 0 0 D(cid:0) y y x )n ,..., , ( . Khi đó trong m t lân 2 0 0 h (1) có nghi m duy nh t c n nào đó c a đi m x ể ậ ủ ấ ệ tho mãn: ả

,...,

onst

ổ ủ ộ ồ ấ

x C C ( , 1

= C c i

* Nghi m t ng quát c a h pt vp c p 1 là b g m n ệ ệ hàm s ố j= y i

ủ ệ

ệ nghi m t ng quát b ng cách cho ấ ằ

* Nghi m riêng c a h pt vi phân c p 1 là nghi m ệ c t nh n đ ượ ừ ậ nh ng giá tr c th ữ ệ ị ụ ể. ổ 0 iC

i: ả

Cách gi • Ph ươ ử ng pháp kh :

ấ ề ẩ ắ

ề ộ ố ớ ộ

ế ằ ố

ủ ệ ả

ư ấ i thông t còn l t b ng cách kh nh ng hàm s ch a bi ữ nh ng pt c a h . Gi ư ữ ữ ế ố

M t h pt vi phân c p m t chu n t c đ u có th ể ộ ộ ệ đ a v m t pt vi phân c p cao đ i v i m t hàm s ố ấ ư t ch a bi ế ử ư i pt vi phân c p cao i t còn l ạ ừ đó, r i tìm nh ng hàm s ch a bi ạ ồ qua các pt c a h . ệ ủ

i h pt: Ví d 1ụ : Gi ả ệ

(cid:0) =

(1)

(cid:0) - (cid:0)

y (cid:0) =

(cid:0)

(2)

- (cid:0) (cid:0)

i h pt: Ví d 2:ụ Gi ả ệ

- (cid:0)

(cid:0) = y y 4 (cid:0) = + y z

(1) (2)

(cid:0)

ng pháp t ươ

ổ ợ ộ ơ

• Ph ổ ợ h p: - T h p các pt trong h thành m t pt đ n gi n, sau ệ đó k t h p v i các pt trong h đ tìm ra nghi m. ế ợ ệ ể ả ệ ớ

(cid:0)

(1)

i h pt: Ví d 1:ụ Gi ả ệ

x +

(cid:0)

(2)

(cid:0)

y +

dx dt dy dt

(cid:0) (cid:0)

i h pt: Ví d 2:ụ Gi ả ệ

(1)

(cid:0)

x +

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

y +

dx dt dy dt

(cid:0) (cid:0)

ố

ế ươ ng trình vp tuy n tính h s h ng s : ố

ệ ệ ệ ố ằ ệ

+ + ...

(cid:0)

a y 11 1

a y 12 2

a y 1 n n

(cid:0)

+ + ...

a y 2 n n

a y 22 2

a y 21 1

(cid:0)

( )

* (cid:0)

(cid:0)

3.5.2 H ph Đ/n: H pt vp tt h s h ng s là h pt có ệ ố ằ d ng:ạ dy 1 = dx dy 2 dx ............

(cid:0)

...

a y 1 1 n

a y n 2 2

a y nn n

(cid:0)

dy n dx

(cid:0) (cid:0)

= Il

i:ả Cách gi + L p pt đ c tr ng ặ ậ

ư :

...

... ... ...

a 1 n a n 2 ... a

a 12 a 22 ... a n

a � 11 � a � 21 � ... � a � n 1

� � � � � �

v i I là ma tr n đ n v t

ng ng v i A

ị ươ

ậ

ớ

ứ

ớ

= Il

...

a 12

�

a 1 n a n 2 ...

... ... ...

a 11 a 21 ... a n 1

a 22 ... a n

a nn

n 1, )

=� l i i (

l(cid:0)

i (

)

N uế

ườ

ớ

ượ

ặ ( a

ng h p 1: ợ l i riêng t

- ng v i thay vào pt đ c tr ng ta tìm đ Ứ ) ng ng véc t ứ

ươ

a ,...,

ư ,

a 1 i

ệ

-Khi đó h có n nghi m là: x x

= a

,...,

e 11

= a

21 y

l e 21 l e

,...,

a 1 n y

a 2

l e 1 n l 2

y 11 y 12 ......

= a

l e

a nn

l nn

y y ,..., 1 n 2 h trên g i là h nghi m c b n ệ ệ

n 1 ọ

ơ ả

2 ệ

(cid:0)

ệ : Khi đó nghi m t ng quát c a h là ổ

ủ

ệ

C y

(cid:0)

= y C y 1 = y

1 11 C y

+ + ... + + ...

1 21

2 12 C y 2

C y n 1 C y n

(cid:0)

2 ........ = y

+ + ...

(cid:0)

C y 1

n 1

C y 2

C y n

(cid:0)

i h pt:

Ví d :ụ Gi

ả ệ

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

dy dx dz dx

(cid:0) (cid:0)

N u pt đ c tr ng có các nghi m

ệ

ế

(

)

P x e ( ) 1

(cid:0)

Tr ng h p 2: ườ ợ ư ặ l l l , ,..., th c , l n l t b i ự ầ ượ ộ 1 2 s = + + m n m m m m m ,..., , ... 1 s 1 2 2 s i d ng: Ta tìm nghi m c a h d ệ ướ ạ ủ ệ l + + + x ... P x e ( ) P x e y ( ) 2 12 11 1 l + + ... P x e ( ) 22

P x e ( ) 21

P x e ( ) 2 s

(cid:0)

2 ........ =

+ + ...

(cid:0)

P x e ( ) n 1

P x e ( ) ns

n , ) 1

s i ,

l P x e ( ) 2 n = 1, Trong đó là các đa th c b c m

ứ

P x ( ) , ( ik k - 1 ậ

(cid:0)

i h pt:

Ví d :ụ Gi

ả ệ

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

= + y

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

dy dx dz x d

(cid:0) (cid:0)

N u pt đ c tr ng có các nghi m

ặ

ế

ng h p 3: ợ

ệ

ủ ệ ướ ạ

ổ

ụ

ự

i d ng ứ ầ ả

ệ ố ệ

ự

ầ

ấ

ng ng.

Tr ườ ph c,ứ - Mu n tìm nghi m t ng quát c a h d ố th c thì ta làm gi ng nh t/h 1, áp d ng công th c ư Euler l y các nghi m riêng là ph n th c , ph n o c a nghi m riêng ph c t ứ ươ ứ ủ

ệ

i h pt:

Ví d ụ : Gi

ả ệ

= - y

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

(cid:0) -

dy dx dz dx

(cid:0) (cid:0)

Chương 4

Chu i s d ng ỗ ố ươ

Chu i hàm s ỗ ố

Chu i Fourier ỗ

ng v chu i s ạ ươ ỗ ố ề

ể

c ượ

Cho dãy s uố 1, u2, …, un, … Bi u th c

ứ u1 + u2 + … + un + … đ

4.1 Đ i c 4.1.1. Đ nh nghĩa ị

g i là chu i s và đ

ỗ ố

ọ

ượ

c kí hi u là ệ

c g i là s h ng

= n 1 ọ

ượ

ố ạ

t ng quát th n ổ

ứ .

Các s uố n v i n = 1, 2, ... đ ớ

(cid:229)

n=u1+u2+...+un đ

c g i là t ng riêng th n c a  T ng S ổ ượ ọ ứ ủ ổ

ﬁ i h n h u h n S khi n , ta nói i m t gi ộ ớ ạ ữ ạ chu i ỗ  N u Sế ầ ớ

n d n t r ng chu i s ỗ ố h i t ằ phân kỳ.  Hi u Rệ

và có t ng S , ng ¥ i ta nói chu i ộ ụ ổ c l ượ ạ ỗ

c g i là ph n d th n c a chu i s . ỗ ố ủ

n = S – Sn đ ỗ ố ộ ụ

thì R N u chu i s h i t ầ ư ứ ¥ . 0 khi n ﬁ ế ượ ọ n ﬁ

Tính ch t:ấ (cid:0) (cid:0)

v n

= 1

n Khi đó:

(cid:0) (cid:0) Gi s và là 2 chu i h i t và có t ng là S và T. ả ử ỗ ộ ụ ổ

)

(cid:0)

v n

( Chu i s h i t = 1

(cid:0) và có t ng là S+T ỗ ố ộ ụ ổ

(cid:0)



l (cid:0) và c t ng là v i ớ

(cid:0) ỗ ố ộ ụ ố ổ

Chu i s h i t = 1 n

Đi u ki n c n đ chu i h i t ỗ ộ ụ ệ ầ ề ể

(cid:0)

n d n t

thì s h ng t ng quát u i 0 khi ế ộ ụ ỗ ố ạ ổ ầ ớ (cid:0)

= 1

+(cid:0)

N u chu i h i t n

(cid:0) n

(cid:0)

n (cid:0)

n=1 0 khi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ỗ

Ví d : Chu i phân kì vì u = 1 n

4.1.2 Tiêu chu n h i t c a chu i s ộ ụ ủ ỗ ố ( tiêu chu n Cauchy) ẩ ẩ (cid:0)

(cid:0) ỗ ố ộ ụ (cid:219) Chu i s h i t = 1 n

(cid:0)

= + 1

n q

e " > 0, $ p > q ‡ N ’ n0 >0 : |Sp – Sq| = < e , " n0 (cid:0)

(cid:0)

1 Ví d :ụ Chu i là phân kì n n = 1

ỗ

(cid:0)

0(cid:0)

= 1

(cid:0) 4.2 Chu i s d ỗ ố ươ 4.2.1 Đ nh nghĩa ị Chu i s d ỗ ố ươ ỗ ớ n ng là chu i có d ng v i u ạ

(cid:0) (cid:0)

v n

= 1

(cid:0) (cid:0) ng và ỗ ố ươ

ẩ : Cho hai chu i s d n £ vn, " n ‡ no ˛ N.

(cid:0) (cid:0)

v ỗ ố h i t n = 1

(cid:0) (cid:0) 4.2.2 Tiêu chu n so sánh Tiêu chu n 1ẩ tho mãn u ả Khi đó: ế ộ ụ ỗ h i tộ ụ N u chu i s n thì chu i = 1 n (cid:0) (cid:0)

v n

= 1

(cid:0) (cid:0) N u chu i s phân kỳ thì chu i phân kì ế ỗ ỗ ố n

(cid:0) (cid:0)

Tiêu chu n 2: ẩ Cho hai chu i s d

ỗ ố ươ

ng và v n

= 1

= > k

N u t n t

i gi

ế ồ ạ

(cid:0) (cid:0)

lim i h n h u h n ớ ạ ữ ạ n

ho c cùng phân

n u v n ộ ụ ặ

thì hai chu i s đ y cùng h i t ỗ ố ấ kỳ.

(cid:0) (cid:0)

c a các chu i s sau:

Ví dụ : Xét s h i t

ự ộ ụ ủ

ỗ ố

(cid:0) (cid:0)

1 n

= 1

(cid:0) (cid:0)

1 3n

1 n 2

= 1

� +� ln 1 �

� � �

(cid:0) (cid:0)

4.2.3 Các quy t c kh o sát tính ht c a chu i s

ỗ ố:

ủ

ắ

ả

Quy t c Đalămbe

ắ

(cid:0)

ng . G/s Ta có:

= 1

(cid:0)

Cho chu i s d ỗ ố ươ u + 1 lim n k thì: u n n

+ N u k < 1chu i h i t

. ỗ ộ ụ

ế

+ N u k > 1chu i phân kỳ.

ế

ỗ

(cid:0) (cid:0)

c a các chu i s sau:

Ví d :ụ Xét s h i t

ự ộ ụ ủ

ỗ ố

(cid:0)

+ n 3n

= 1

(cid:0)

= 1

n 4 � � ! � � n � �

(cid:0)

Quy t c Cauchy:

ắ

(cid:0)

Cho chu i s d

ng . G/s Ta có:

ỗ ố ươ

= 1

= thì:

(cid:0)

lim n n

+ N u k < 1chu i h i t + N u k > 1chu i phân kỳ.

. ỗ ộ ụ ỗ

ế ế

(cid:0) (cid:0)

c a các chu i sau:

Ví d :ụ Xét s h i t

ự ộ ụ ủ

ỗ

(cid:0)

1 n 2

= 1

+� � n 1 � �+� � n 2

(cid:0)

sin

(cid:0)

1 n 2

= 1

(cid:0)

Quy t c so sánh v i tích phân:

ắ

ớ

(cid:0)

Cho chu i s d

u ng .G/s n

ỗ ố ươ

f(x) là m t hàm ộ

= 1

∞) sao cho

đ n đi u gi m và liên t c trên [1, + ơ

ụ

ệ

ả

(cid:0)

f(n) = un, n = 1, 2,….Khi đó tích phân suy r ng ộ +(cid:0)

(cid:0)

f x dx ( )

ho c

ộ ụ ặ

= 1

và chu i s cùng h i t ỗ ố 1

cùng phân kỳ.

(cid:0) (cid:0)

c a chu i s sau:

Ví d :ụ Xét s h i t

ự ộ ụ ủ

ỗ ố

(cid:0)

1 n na

= 1

(cid:0)

1 2 ln

n n = 2

(cid:0)

4.2.4 Chu i có s h ng v i d u b t kỳ:

ớ ấ

ố ạ

ỗ

ấ

a) Chu i đan d u:

ấ

ỗ

Chu i đan d u là chu i s có d ng

ị

ỗ ố

ấ

ạ

ỗ

(cid:0) -

(

Đ nh nghĩa: ) 1 n

ấ

ố

trong đó un là các s cùng d u. Đ ể = n 1 đ n gi n ta luôn luôn xem ơ

ả

un > 0 v i m i n. ớ

- (cid:0)

(cid:0) -

ọ (

) 1 n

Đ nh lý Leibniz:

ị

Cho chu i đan d u ấ ỗ

= 1

N u dãy s {u

ế

ố

ệ

ả

- (cid:0)

lim n} là dãy đ n đi u gi m và n

thì chu i h i t

và có t ng nh h n

ỗ ộ ụ

ổ

ỏ ơ u1

(cid:0) (cid:0)

c a chu i sau:

Ví d :ụ Xét s h i t

ự ộ ụ ủ

ỗ

+ 1

(cid:0)

(

) 1

+ +

n 2 n n (

1 1)

= 1

- (cid:0)

b) Chu i có d u b t kì

ấ

ỗ

Chu i h i t

tuy t đ i và bán h i t

ỗ ộ ụ

ệ ố

: ộ ụ

(cid:0)

ỗ ố

ố ạ

ớ

n có

= 1

Xét chu i s v i các s h ng u n d u b t kỳ. ấ

ấ

Đ nh lý:

ị

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

N u chu i h i t ỗ

ộ ụ

ế

thì chu i ỗ

= 1

cũng h i t

ộ ụ

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

ị

ỗ ố

: Xét chu i s trong đó u = 1 n

Đ nh nghĩa có d u b t kỳ. ấ ấ

(cid:0)

c g i là h i t

ỗ

ượ

ộ ụ

ọ

tuy t đ i ệ ố

Chu i đ n

= 1

(cid:0)

ế

ộ ụ

(cid:0)

u n u h i t = 1

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

c g i là bán h i t

ỗ

ượ

ộ ụ ế

ọ

(cid:0) (cid:0)

Chu i đ n

= 1

u n u n n

= 1

(cid:0)

= 1

u nh ng phân kỳ

ộ ụ

h i t

(cid:0)

c a chu i s sau:

Ví d :ụ Xét s h i t

ự ộ ụ ủ

ỗ ố

(cid:0)

(

) 1 n

1 n

= 1

- (cid:0)

a (

const

)

(cid:0)

cos n

= 1

(cid:0)

tuy t

ệ

ộ ố

ỗ ố ộ ụ

(cid:0)

ế

c)M t s tính ch t c a chu i s h i t ấ ủ đ i:ố Tính ch t 1:ấ

ộ ụ

+ N u chu i s h i t ỗ ố = 1 n ỗ ố

ệ ố

ừ

nó các s h ng và b ng ằ i cũng h i t ộ ụ

ứ ự ộ ố ố ạ

ố ạ ạ

tuy t đ i và có t ng S thì chu i s suy t ổ b ng cách thay đ i th t ổ ằ cách nhóm tuỳ ý m t s s h ng l tuy t đ i và có t ng là S ổ

ệ ố

(cid:0)

thì ta có

+ Còn n u chu i s bán h i t ỗ ố

ộ ụ

ế

ủ

ằ

ể ể ộ ố ấ

c h i t ướ

ở

= 1 n c a các s h ng c a nó th thay đ i th t ố ạ ứ ự ủ ổ và có t ng b ng đ chu i s thu đ ổ ộ ụ ượ ỗ ố c ho c tr nên phân kỳ m t s b t kỳ cho tr ặ

(cid:0)

(cid:0) (cid:0)

Đ nh nghĩa:

ị

ỗ

v n

Cho hai chu i và , = 1 n

= 1

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

ườ

ỗ ố

ủ

ọ

w i ta g i tích c a chúng là chu i s n

= 1

= (cid:0)

trong đó

w n

u v - k n k

(cid:0)

Tính ch t 2:ấ

(cid:0) (cid:0)

v n

ế

ỗ

ộ ụ

= 1

N u hai chu i và h i t = 1 n

ệ ố

S1 và S2 thì tích c a ủ ỗ ộ ụ

tuy t đ i ệ ố

ằ

ổ

tuy t đ i và có t ng là ổ chúng cũng là m t chu i h i t ộ S1S2 và có t ng b ng

(cid:0) (cid:0)

4.4 Dãy hàm số

4.4.1 Mi n h i t ề ộ ụ

Đ nh nghĩa: Gi s f ị ữ ố ự ị

(cid:0)

trên t p X. V i m i x X, {f ậ ố ự ữ ỗ

N u dãy s th c {f(x)} h i t t ố ự ế ả ử 1, f2,..,fn là nh ng hàm s th c xác đ nh n( x)} là nh ng dãy s th c. ớ i ộ ụ ạ ta nói r ng dãy {f ằ ộ ụ

n} h i t ậ ấ ả

t c các ọ

x. Đi m x đ ể đi m h i t c a dãy. ượ c a dãy đ ộ ụ ủ c g i là đi m h i t ộ ụ ủ ể c g i là mi n h i t ượ ọ c a dãy. T p t ộ ụ ủ ề ể

ị Ví d :ụ Xét dãy hàm fn(x)= xn xác đ nh trên R.

4.4.2 Đ nh nghĩa ị 4.4.2 Đ nh nghĩa ị s f

ữ

ố

ị

• Gi

t p X. Ta nói r ng dãy hàm s {f ằ ậ

ả ử 1, f2, .., fn là nh ng hàm s xác đ nh trên đi m ộ ụ ể ( ) f x

ố n} h i t = f x lim ( ) n ề n

x X ế

ớ

" (cid:0) (cid:0) (cid:0)

đ n hàm f trên X n u v i ta đ u có ế e >0, " x˛

X, $ n0 ˛ N, " n‡ n0: Œ fn(x)– f(x)(cid:247) < e

Hay:

e ộ

• S nố 0 ph thu c vào và x, trong tr

ụ

Ta nói r ng dãy hàm s {f

ằ

ng h p ch ỉ ợ ườ ụ đ u: ph thu c vào thì ta có khái ni m h i t ộ ộ ụ ề ệ e >0, $ n0 ˛ N, " n‡ n0: Œ fn(x)– f(x)(cid:247) < e , " x˛ X đ u đ n hàm f ố n} h i t ế ộ ụ ề

trên X n u:ế

ố ộ ụ

4.4.3 Các tính ch t c a dãy hàm s h i t ấ ủ đ u:ề

ụ

i hàm

} { x ( ) G/s dãy các hàm s liên t c và ố f(x) thì f(x) là m t hàm s ố

ớ

ộ

Tính ch t 1:ấ h i t đ u trên X t ộ ụ ề liên t c trên t p X. ụ

ậ

{

} x ( )

nf G/s dãy hàm s liên t c và h i t

đ u Tính ch t 2:ấ ộ ụ ề ụ ố

i hàm f(x). trên đo n [a; b] t ạ ớ

t dt ( )

lim (cid:0) +(cid:0)

b =� f ( ) t dt a

b f � a

Khi đó

{

G/s trên [a; b] Tính ch t 3:ấ

ụ ả ố ộ ụ

} x ( )  Dãy hàm s kh vi liên t c và h i t t ớ

{

i hàm f(x),

} x(cid:0) nf ( )

đ u t ộ ụ ề ớ

f x ( )

g x ( )

 Dãy các đ o hàm h i t ạ (cid:0) g(x). i hàm =

Khi đó trên [a; b], hàm s ố f(x) kh vi và ả

(cid:0)

4.5 Chu i hàm s : ố ỗ a) Đ nh nghĩa

u x ( ) n

ị ạ ố ỗ ỗ

: Chu i hàm s là chu i có d ng = 1

ố ị trong đó un(x) là các hàm s xác đ nh trên X

)

(cid:0) (cid:0)

u x ( n 0

u x ( ) n

0 chu i hàm tr thành chu i s ỗ ố = 1 n

= 1

(cid:0) (cid:0) T i x = x ạ ỗ ở

)

(cid:0)

u x ( 0 n

(cid:0)

= 1

0 là

N u t i x thì ta nói x ộ ụ ế ạ 0 mà chu i s h i t ỗ ố n (cid:0)

u x ( ) n

(cid:0)

đi m h i t ộ ụ ủ ể c a chu i hàm ỗ = 1 n

)

(cid:0)

u x ( ế ạ 0 mà chu i s phân kỳ thì ta nói x 0 n

0 là

= 1

(cid:0) N u t i x (cid:0) ỗ ố n

u x ( ) n

= 1

(cid:0) đi m phân kỳ c a chu i hàm ủ ể ỗ

- T p h p t mi n h i t

c a chu i hàm g i là ể ỗ ọ

+ + ...

ợ ấ ả ộ ụ ủ t c các đi m h i t c a chu i hàm y. ỗ ộ ụ ủ ấ ậ ề

S x ( ) n

u x ( ) k

u x ( ) 1

u x ( ) 2

u x ( ) n

+ G iọ

= 1 là t ng riêng th n c a chu i hàm .

k ứ

(cid:0)

ủ ổ ỗ

(cid:0)

u x ( ) n

= 1

(cid:0) Khi đó: chu i hàm s đ c g i là h i t t i ỗ ố ộ ụ ạ

{ ố

ộ ụ ạ

X(cid:0) ượ X(cid:0)

0x đi m n u dãy hàm s h i t ể x0, và đ ộ ụ 0x m i đi m ể ọ

{

ế c g i là h i t trên t p X n u nó h i t ế ọ i đi m t ể i t ộ ụ ạ ượ ọ } nS x ( ) ậ

+ Gi

} nS x ( )

ớ ạ i h n S(x) c a g i là t ng c a chu i hàm ọ ủ ủ ổ ỗ

* Cách tìm mi n h i t

c a chu i hàm:

ộ ụ ủ

ề

ỗ

(cid:0)

u x ( ) n

(cid:0) b1: Xét chu i S d ng các d u hi u Đalămbe hay ử ụ ệ ấ ỗ

= 1 n c kho ng h i t ả ượ

Cauchy tìm đ c a chu i, g/s là (a; b) ộ ụ ủ ỗ

x = a, x = b bi t đ c t i đó chu i ạ ế ượ ạ ỗ

b2: Xét t h i t ộ ụ

i các mút hay phân kỳ.

c a chu i = kho ng h i t + ộ ụ ả ỗ

K t lu n : đi m h i t t ậ Mi n h i t ộ ụ ủ ề i các mút ( n u có) ế ộ ụ ạ ế ể

c a chu i hàm

ề

ộ ụ ủ

ỗ

Ví d :ụ Tìm mi n h i t sau:

(cid:0)

x n

= 1

(cid:0)

(cid:0) -

+ n 3 + n

1 2

1 1

x x

= 1

n n � ��

+(cid:0)

(cid:0)

= n 1

1 n 2

n -� � 2x 1 � �+� � x 1

(cid:0)

b) H i t

đ u:

ộ ụ ề

(cid:0)

Đ nh nghĩa:

ị

Chu i hàm s đ ố

ỗ

ượ

u x ( ) n

= 1 n i hàm

X t

đ u trên

ớ

S(x) n u ế

g i là h i t ọ dãy

ộ ụ ề } { nS x ( ) hàm s h i t

đ u trên

X t

i hàm

ố

ộ ụ ề

ớ

(cid:0)

" > $ e

< " ( ) S x

S(x), nghĩa là: N 0, � �

x X �

n 0

S x ( ) n

n � 0

* - "

* Tiêu chu n Cauchy: ẩ

(cid:0)

c g i là h i t

ượ

ộ ụ

ọ

u x ( ) n

= 1

Chu i hàm s đ ố ỗ đ u ề

(cid:0)

trên X khi và ch khi.

" > $ e

�

x X �

n 0

ỉ n

n m n � 0

< " > ( ) x N S x ( ) : m * Tiêu chu n Weierstrass:

ẩ

* - "

(cid:0)

ế

ộ

ỗ

u x ( ) Cho chu i hàm . N u có m t chu i s ỗ ố n

(cid:0) (cid:0)

sao cho

= 1 n a ng h i t ộ ụ n

ươ

= 1

(cid:0)

n N �

x X �

u x ( ) n

a � n

" "

(cid:0)

đ u trên X

ẽ ộ ụ ề

u x ( ) thì s h i t n

= 1

(cid:0)

c a chu i: ỗ

- (cid:0) -

x R

ự ộ ụ ủ ) 1 +

Ví d :ụ Xét s h i t ( n

= 1

" (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

] 1;1

[ -�

x n n

= 1

" (cid:0)

c) Tính ch t c a các chu i hàm h i t

đ u:

ấ ủ

ộ ụ ề

ỗ

(cid:0)

u x ( ) n

= 1

(cid:0) Tính ch t 1:ấ Cho chu i hàm s . N u ố ỗ ế un(x) là

(cid:0)

u x ( ) n

(cid:0)

= 1

nh ng hàm s liên t c trên t p X và h i t ộ ụ ữ ụ ậ ố

i hàm đ u trên X t ề ớ S(x) thì S(x) là m t hàm s liên t c ộ ụ ố

trên X. (cid:0)

u x ( ) Chú ý : N u ế S(x) không liên t c trên X thì chu i n

= 1

(cid:0) ụ ỗ

không h i t đ u trên X ộ ụ ề

Tính ch t 2:ấ

(cid:0)

u x ( ) Cho chu i hàm s . N u các s h ng n

(cid:0) ố ạ ế ỗ ố un(x) là

= 1 ụ

nh ng hàm s liên t c trên ố ữ [a; b] và n u chu i hàm s ố ế ỗ

đ u trên i hàm S(x) thì ớ

�

� u x dx ( )

= 1

� � � � S x dx ( ) � � = n 1

� u x dx ( ) � �

h i t ộ ụ ề b [a; b] t b (cid:0) (cid:0)

Tính ch t 3:ấ

(cid:0)

u x ( ) Cho chu i hàm s n

= 1

(cid:0) ố ỗ

Gi s : ả ử

 Chu i h i t trên (a, b) t i S(x) ỗ ộ ụ ớ

 Các s h ng ố ạ ớ ạ ủ ụ un(x) liên t c cùng v i đ o hàm c a

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) đ u trên (a; b) ỗ ộ ụ ề

S(x) kh vi trên (a; b) và ta có chúng trên (a; b) . u x ( ) Chu i h i t n = 1 Khi đó: T ng ổ (cid:0) (cid:0) (cid:0)

S x ( )

u x ( ) n

�

= 1

(cid:0) (cid:0)

� = � �

ả � � � � = n 1

Ví d :ụ Cho chu i hàm s

ỗ

ố

(cid:0)

1 +

)

n n n x ( = 1

ề

ả ể

ủ

ổ

c a nó trên mi n x>0. Có Kh o sát s h i t ự ộ ụ ủ th nói gì v s liên t c và kh vi c a t ng ả ụ ề ự chu i hàm s đó ố

ỗ

(cid:0)

4.2.2 Chu i lu th a: ỗ

ỹ ừ

a) Đ nh nghĩa:

ị

Chu i lu th a là chu i hàm có d ng

ỹ ừ

ạ

ỗ

+ + ...

...

(cid:0)

a x n

a 0

+ a x a x 1

a x n

trong đó an = const

ỗ

ườ

ợ

ủ

ộ ọ

ỗ

Chú ý: Chu i lu th a là m t tr ng h p ừ ỹ riêng c a chu i hàm nên m i t/c đúng cho chu i hàm thì cũng đúng cho chu i lu ỹ ỗ th aừ

(cid:0)

b) Đ nh lý Abel:

ị

(cid:0)

Chu i lu th a h i t

ỹ ừ

ỗ

ộ ụ ạ

a x n

thì nó h i t

x= 0 i x< i m i x tho mãn

ộ ụ

= n 0 tuy t đ i t ệ ố ạ

ả

ọ

(cid:0) (cid:0)

ỹ ừ

ỗ

i ạ

(cid:0)

ệ

a x n

(cid:0)

ả Chu i lu th a phân kỳ t n

H qu : x= x thì nó phân kỳ t

i m i x tho mãn

ạ

ả

ọ

Chú ý : T i x = 0 chu i luôn h i t

ộ ụ

ạ

ỗ

Nh n xét:

ậ

ấ ồ ạ

i m t ộ

ừ ị < +(cid:0)

s ố R sao cho chu i lu th a

ỹ ừ

ỗ

)

tuy t đ i trong kho ng

(-R; R), phân

h i t

T đ nh lý Abel ta th y t n t R(cid:0) ệ ố

ả

ộ ụ

kỳ trong các kho ng ả

(-∞; R) và ( R ;+ ∞) .T i ạ

ể ộ ụ

ỗ

ho c ặ

x = R và x = -R chu i có th h i t phân

c g i là bán kính h i t

ượ

ộ ụ

ọ

kỳ. S ố R nh v y đ c a chu i lu th a ỗ ủ

ư ậ ỹ ừ

Quy t c tìm bán kính h i t

ắ

ỗ

ỹ ừ

(cid:0)

: ộ ụ a x n

Cho chu i lu th a . Khi đó bán n c a chu i lu th a là:

kính h i t

= 0 ỹ ừ

ộ ụ ủ

ỗ

(cid:0)

lim n

a a

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

n+1 1

(cid:0)

R= lim n

(cid:0) (cid:0)

a n

(cid:0) (cid:0)

v i m i x thu c

ỗ ộ ụ ớ

ộ

ọ

+ N u ế R = ∞ thì chu i h i t (- ∞; + ∞) kho ng ả

+ N u ế R = 0 thì chu i ch h i t

ỉ ộ ụ ạ x = 0 t

ỗ

trong

ỗ ộ ụ x = R và x = -R

+ N u ế R ≠ 0 và R ≠ ∞ thì chu i h i t ( -R; R ). T i các mút kho ng ả ạ còn ph i xét thêm. ả

Mi n h i t

= ( -R; R ) + các mút (n u có)

ộ ụ

ề

ế

c a các chu i hàm:

ỗ

ề

(cid:0)

Ví dụ : Tìm mi n h i t ộ ụ ủ + 2 + 1)

n n n (

= 1

(cid:0)

) 2

(cid:0)

= 1

+� � - n 1 ( x � �+� � 2 n 1

(cid:0)

1 n

� sin � �

� - x ( � �

= 1

(cid:0)

ỗ ỹ ừ

đ u trên ộ ụ

ỹ ừ Chu i lu th a h i t ộ ụ ề ả

ỗ

ủ

T ng c a chu i lu th a là m t ộ ổ c a nó. ả ụ Có th l y tích phân t ng s ố

ủ

ạ

c) Các tính ch t c a chu i lu th a: ấ ủ Tính ch t 1:ấ ỗ m i đo n [a; b] n m trong kho ng h i t ằ ạ ọ c a nó. ủ Tính ch t 2:ấ ỹ ừ hàm s liên t c trong kho ng h i t ộ ụ ủ ố Tính ch t 3:ấ ừ ể ấ h ng c a chu i lu th a trên m i đo n [a; b] ỹ ừ n m trong kho ng h i t

ỗ ả

ộ ụ ủ

ạ ằ

ứ

b � � � � = � n 0 a

ọ c a nó. T c là: � � � �

b � � = � n n a x dx a x dx � � � n n � = � � 0 n a

(cid:0) (cid:0)

Có th l y đ o hàm t ng s ố ằ

ủ

ạ

ỗ

ừ i m i đi m n m ể c a nó. T c là:

Tính ch t 4:ấ ạ ể ấ h ng c a chu i lu th a t ỹ ừ ạ trong kho ng h i t ả

ộ ụ ủ

ọ ứ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

a x n

( � = 0 n

� � � = � 0 n

� = � �

Ví d :ụ Tính t ng:ổ + = + ( ) 1 2 S x

+ + ...

...

d) Khai tri n m t hàm s thành chu i lu th a: ố

ỹ ừ

ể

ộ

ỗ

ố

ế

ạ ủ

ượ

ể

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

) 2 +

) +

(

- N u hàm s y = f(x) có đ o hàm m i c p ọ ấ ở 0 thì hàm đó trong m t lân c n nào đó c a x ậ ộ c thành m t chu i d i có th khai tri n đ ỗ ướ ộ ể d ng:ạ = f x ( )

...

)

f x ( 0

x 0

x ( 0 2!

f x ( 0 1!

(

)

(

)

- -

)

x 0

n +

(cid:0)

(

)

(

)

= ....

) 1

x 0

( n !

...

- - (cid:0)

c a hàm s f(x)

ỗ

ọ

ố

Chu i (1) g i là i lân c n x = x t ậ ạ

chu i Taylor ỗ 0. N u xế

ủ 0 = 0 thì ta có:

(

)

f x ( )

(0)

......

....

(0) 1!

(0) 2!

(0) !

(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

)

(0) !

= (cid:0) n

chu i Macloranh

ỗ

ọ

ỗ

c a hàm s ố

ủ

Chu i (2) g ilà f(x)

(cid:0)

ề

ệ

ể

ế

ể

ậ

)

(cid:0)

) +

(

f x ( )

* Đi u ki n khai tri n: Theo công th c Taylor, n u hàm s f(x) có ế ố ứ 0 lân c n đi m x đ o hàm đ n c p (n + 1) ở ấ ạ thì f(x) = Pn(x) + Rn(x) trong đó: x ) 0

f x ( 0

f x ( 0 1!

(

)

x 0

2 +

(cid:0) (cid:0)

(

)

(

)

......