Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
-
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1,
( )
( )
( )
( ) ( )
20 20
18 3 2
2
tan 6 tan 6 1
.
os6 os6
os6
x x
D dx dx
c x c x
c x
= =
∫ ∫
( )
(
)
( )
3
20 2
1
tan 6 1 tan 6 . tan 6
6
x x d x
= +
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
20 22 24 26
21 23 25 27
1
tan 6 3 tan 6 3 tan 6 tan 6 tan 6
6
tan 6 3 tan 6 3 tan 6 tan 6
1
6 21 23 25 27
x x x x d x
x x x x
C
= + + +
= + + + +
∫
2,
( )
( )
( )
( )
( )
11 10 10
5
2
221 20 2
cot 3 cot 3 cot 3 1 os3
sin 3 sin 3 sin 3
sin 3 sin 3
x x x c x
D dx dx x dx
x x
x
x x
= = =
∫ ∫ ∫
( )
510 5
2 10
2
1 1 1 1 1
1 . 1
3 sin 3 sin 3 3
sin 3
d u u du
x x
x
− −
= − = −
∫ ∫
(
)
20 18 16 14 12 10
21 19 17 15 13 11
15 10 10 5
3
1 5 10 10 5
3 21 19 17 15 13 11
u u u u u u du
u u u u u u
C
−
= − + − + −
−
= − + − + − +
∫
3,
( )
( )
( )
( )
44 4
33 4 4 4
2
tan sin cos sin
. sinx
os os
osx 1 sin
xx x x
D dx dx d
c x c x
cx
= = =
−
∫ ∫ ∫
( )
(
)
(
)
( )
4 2 2
4
4 4
2 2
1 1
1 1
u u u
u
du du
u u
+ − − −
= =
− −
∫ ∫
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
-
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
( ) ( )
2
3 3 4
2 2
1
11 1
11 1
u
du du du
u u
u
u
+
= − −
− −
−
∫ ∫ ∫
Ta có:
( )
2
2
13 3 2 2
2
1 1
11
1 1 1 2 1
2
d u u
u
u
A du C C
u
u u u
u u u
+−
−
= = = − + = +
−
− − −
∫ ∫
( )
3
23
2
1 1 1 1
8 1 1
1
A du du
u u
u
= = −
− +
−
∫ ∫
( ) ( )
3 2 3
1 1 3 1 1 1
8 1 1
1
1 1
du
u u
u
u u
= − − −
− +
−
− +
∫
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 2
2 2
1 1
1 3 1 1
8 2
1 1 1 1
1 1 1 3 3
8 2 1 2 1
2 1 2 1
d u d u
du
u u u u
C
u u
u u
− +
= − − −
− + − +
−
= + + − +
− +
− +
∫ ∫ ∫
( )
4
34
2
1 1 1 1
16 1 1
1
A du du
u u
u
= = −
− +
−
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 1 6
16 1
1 1 1 1 1 1
du
u
u u u u u u
= + − + +
−
− + − + − +
∫
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
-
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 4
3 3 2 2 2
3 3 2 2
1 1
1
16 1 1
1 2 2 5 5 5
16 1 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1
16 3 1 3 1 1 1
5 1 1 1
ln
32 1 1 1
d u d u
u u
du
u u u u u
u u u u
uC
u u u
− +
= +
− +
−
+ + + + +
− + − + −
−
= − + +
− + − +
−
− + − +
− + +
∫ ∫
∫
Suy ra
3 1 2 3
...
D A A A
= − − =
(các em t
ự
tính)
4,
( )
( )
6
45 6
cot 2 1. os2
sin 2
cos2x
x
D dx c xdx
x
= =
∫ ∫
( )
6 5
1 1 1
sin2x
2
sin 2 10sin 2
d C
x x
= = +
−
∫
5,
( ) ( )
2
4 3
1
1 os6 os6 3cos 2
sin 3 os2 2 4
c x c x x
E x c x dx dx
− +
= =
∫ ∫
(
)
2 3 2
1os6 3cos 2 2cos 6 6cos 6 . os2 os 6 3cos 6 . os2
16
c x x x x c x c x x c x dx
= + − − + +
∫
( )
( )
1 sin 6 3sin 2 1
1 os12 3 os8 os4
16 6 2 16
x x
c x c x c x
= + − + + +
∫
1 os18 3cos 6 1 os12
3 . os2
16 4 2
c x x c x
c x dx
+ +
+ +
∫
1 sin 6 3sin 2 1 sin12 3sin 8 3sin 4
16 6 2 16 192 128 64
x x x x x
x
= + − − − −
( )
sin18 3sin 6 3sin 2 3 os14 os10
1152 384 64 64
x x x
c x c x dx C
+ + + + + +
∫
sin18 3sin14 sin12 3sin10 3sin 8 7 sin 6 3sin 4 9sin 2
16 1152 896 192 640 128 384 64 64
x x x x x x x x x
C
= + + − + − + − + +
Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
-
Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Trần phương
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
6,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 2 3 2 2
2sin os5 sin sin os5
E x c x dx x x c x dx
= =
∫ ∫
( )
( )
3sin sin 3 1 os2 1 os10
. .
4 2 2
1 os12 os8
3sin sin 3 1 os10 os2
16 2
13sin sin 3 3sin x.cos10 3sin os2 sin 3 os10 sin 3 os2
16
x x c x c x dx
c x c x
x x c x c x dx
x x x xc x xc x xc x dx
− − +
=
+
= − + − −
= − + − − +
∫
∫
∫
( )
1sin 3 . os12 sin 3 . os8 3sin . os12 3sin os8
32
x c x x c x x c x xc x dx
+ + − −
∫
T
ừ
ñ
ây ta áp d
ụ
ng công bi
ế
n
ñổ
i tích thành t
ổ
ng ta s
ẽ
tính
ñượ
c tích phân trên.
7,
( )
( )
( )
5 5
32 2
sin 8 sin 8
tan 3 tan 5 sin 3 sin 5
os3 os5
x x
E dx dx
x x x x
c x c x
= =
+
+
∫ ∫
( ) ( ) ( )
3 2 2
sin 8 . os3 . os5
x c x c x dx
=
∫
3sin 8 sin 24 1 os6 1 os10
. .
4 2 2
x x c x c x
dx
− + +
=
∫
T
ừ
ñ
ây ta áp d
ụ
ng công bi
ế
n
ñổ
i tích thành t
ổ
ng ta s
ẽ
tính
ñượ
c tích phân trên.
………………………..Hết………………………
Nguồn:
Hocmai.vn