Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
1
Các bài toán chọn lọc về số học
I) sơ đồ giải BT pec ma ;
BT1: tìm nghiệm nguyên dương của PT :
Xy =z2
BT2 : Tìm nghiệm nguyên dương PT :
X2 + y2= z2 .
BT 3 : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dương :
X4+y4 = z2 .
BT4 : : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dương:
X4+y4= z4.
BT 5 : cho pt : xn + yn =zn.(1) .
CMR : pt(1) vô nghiệm với mọi n )1(3 pt
vô nghiệm với mọi n là số
nguyên tố .3
II) Định nghĩa chuẩn : cho K là một trường số . khi đó
là một hàm số
trên K ĐGL một chuẩn trên K nếu tm các ĐK sau :
1)
(0) =0;
(a) >0 0
a.
2)
(a.b) =
(a).
(b).
3)
(a+b)
(a) +
(b) ( bđt tam giác ) .
Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
2
III) chuẩn phi csi mét : Cho trên trường K một chuẩn
.
đgl chuẩn phi acsi mét nếu :
(a+b)
Ma x (
(a) ;
(b) ).
IV ) Định lý Ma son :
K là một trường đóng đại số đặc số không. a,b,c là các đa thức khác hằng
số trên K và nguyên tố cùng nhau sao cho b + c =a . khi đó :
Ma x ( deg a ; deg b ; deg c )
n0(abc ) – 1.
Trong đó n0(a) : số nghiệm của đa thức a .
V) Hệ quả : khụng tồn tại các đa thức trong trường đóng đại số đặc số
không K ,khác hằng số , đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mạn PT :
aN+bn = cn .3
VI ) Định lý Dven port:
f và g là các đa thức trên trường K , nguyên tố cùng nhau , sao cho :
f3
g2 . khi đó ta có :
deg ( f3- g2 )
1deg
2
1f.
vII) giả thuyết ‘’abc’’:
Gs a,b,c là các số nguyên ,nguyên tố cùng nhau và a+ b =c . khi đó , o
,
tồn tại số C sao cho :
Max( |a|;|b|;|c|) < C.N 1
. Trong đó :
Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
3
N =
abcp
p
/.
VI ) Số giả nguyên tố :
b là một số nguyên dương cho trước .Nếu n là hợp số nguyên dương Và bn
b ( mod n), thì n đgl số giả nguyên tố cơ sở b .
VD : 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2 vì:
2561
1
( mod 561) .
VII) : Chẩn p- adic :
KH :
p :
Trong trường số hữu tỷ Q : ta biểu diễn :
Qa
, a = m
p
r
s.
(p) = p m. khi đó
p là một chuẩn phi ac si mét trên Q . đgl chuẩn
p – adic.
VIII ) Mở rộng hữu hạn :
I X) số đại số :
Cho mở rộng E/K ; u
E
đgl phân tử đai số trên K nếu tồn tại 0
][)( xKxf
: f(u) = 0 .
Líp CH pp to¸n
Häc viªn : NguyÔn V¨n Nho
4
Phân tử u
E
đgl siêu việt trên K nếu u không là phân tử đại số trên K
,tức là Nếu f(u) = 0 thì f(x) =0 , ].[)( xKxf
Bổ đề : các số e ,
là các số siêu việt .
B T : u2 là số đại số trên trường K
u là số đại số trên trường K .
X) Đa thức cực tiêu , đa thức đơn hệ :