ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN
YZ
CÁCH VIẾT CÂU HỎI
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG
Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian
Sinh viên : Nguyễn Khoa Minh
Giáo viên : Nguyễn Đăng Minh Phúc
Lớp : Toán 4T
Huế, 4/2017
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh
1
CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG
Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
0;1;1A
vuông
góc với đường thẳng
1
12
:311
xy z
d
và cắt đường thẳng
2
20
:10
xyz
dx
®
¯
Bài giải:
Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin được biết thể hiện thành
hình vẽ. Bước này liên qua đến các kiến thức cơ bản về hình học không gian tọa độ
và hiển thị đầy đủ về bài toán một cách trực tiếp bằng hình vẽ giúp học sinh từ đó
có thể suy nghĩ ra hướng đi của bài toán. Giả sử rằng học sinh có kiến thức này và
khả năng sẽ vẽ một hình như sau:
A
d
P
Q
(
d
1
)
(
d
2
)
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh
2
Gọi
d
là đường thẳng cần tìm. Do
d
đi qua A và vuông góc với
1
d
nên
d
nằm trong mặt phẳng
P
qua A và vuông góc với
1
d
.
d
qua A và cắt
2
d
nên
d
nằm trong mặt phẳng
Q
xác định bởi A và
2
d
.
Do đó d là giao tuyến của hai mặt phẳng
P
và
Q
.
Dựa theo hình vẽ thì ta có được đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng
P
và
Q
nên muốn lập phương trình chính tắc của đường thẳng d, học sinh cần
tìm phương trình của mặt phẳng
P
và
Q
.
Học sinh dựa vào giả thuyết
1
12
:311
xy z
Pd
A
suy ra được phương
trình mặt phẳng
P
có dạng:
30xyzd
. Và nhờ mặt phẳng
P
đi qua điểm
0;1;1A
nên ta tìm được số d:
011 0 2dd
. Vậy ta được phương trình
mặt phẳng
P
là
320xyz
.
Như vậy, ta đã có được phương trình mặt phẳng
P
nên việc còn lại là cần tìm
phương trình mặt phẳng
Q
. Do
Q
qua
2
20
:10
xyz
dx
®
¯
nên mặt phẳng
Q
thuộc chùm mặt phẳng
210xyz x
DE
. Vì vậy, ta có:
Q
qua
2
20
:10
xyz
dx
®
¯
nên phương trình mặt phẳng
Q
có dạng:
210xyz mx
.
Q
qua
0;1;1A
nên
0112 0 2mm
.
Suy ra phương trình mặt phẳng
Q
là
22 1 0 0xyz x xyz
.
Và do d là giao tuyến của hai mặt phẳng
P
và
Q
nên phương trình đường
thẳng d là
320
0
xyz
xyz
®
¯
. Mà yêu cầu bài toán là viết phương trình chính tắc
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh
3
của đường thẳng d nên ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Ta có vectơ
chỉ phương của đường thẳng d bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
P
và
Q
vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng
P
và
Q
.
Vậy
d
có vectơ chỉ phương
1;1; 2
qua
0;1;1A
nên
d
có phương trình
chính tắc:
11
11 2
xy z
.
Rõ ràng nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu tiên là không biết cách biểu diễn
bài toán thành hình vẽ thì không giải quyết được bài toán trên. Và câu hỏi tự luận
không thể cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của
câu hỏi, do đó chúng ta sẽ sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm có liên quan như sau:
Câu 1: Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng
1
12
:311
xy z
d
và
cắt đường thẳng
2
20
:10
xyz
dx
®
¯
. Nhận xét nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng
1
,dd
cùng nằm trong một mặt phẳng.
B. Đường thẳng
2
,dd
cùng nằm trong một mặt phẳng.
C. Đường thẳng
12
,,dd d
cùng nằm trong một mặt phẳng.
D. Cả A, B đều đúng.
*Phương án nhiễu: Nếu học sinh chưa nắm kỹ kiến thức cơ bản dẫn đến biểu diễn
bài toán bằng hình vẽ bị sai hoặc sau khi vẽ hình mà không quan sát cẩn thận thì khi
đó học sinh sẽ nhầm lẫn là
1
,dd
cùng nằm trong mặt phẳng
P
và
2
,dd
cùng nằm
trong mặt phẳng
Q
nên học sinh sẽ chọn câu D.
Trong khi đó, mặt phẳng
P
chỉ chứa đường thẳng
d
và vuông góc với đường
thẳng
1
d
nên câu A là một đáp án sai. Vì vậy, đáp án đúng là B.
Bước thứ hai của bài toán là cần định hướng đi của bài toán, ở phần này học sinh
phải nắm được các dạng phương trình của một đường thẳng trong không gian, từ đó
dựa trên hình vẽ mà xác định dạng phương trình cần viết và đi tìm những dữ kiện
cần thiết. Ta có thể xây dựng một câu hỏi để kiểm tra khả năng đó:
Sinh viên: Nguyễn Khoa Minh
4
Câu 2: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng trong
không gian?
A.
32
251
xyz
B.
350
20
xy
yz
®
¯
C.
2340xy
D.
1
3
4
xt
yt
z
°
®
°
¯
Bước thứ cuối cùng của bài toán là tìm các dữ kiện cần thiết và viết phương trình
đường thẳng d. Từ đó, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d. Như vậy.
chúng ta có thể viết những câu hỏi trắc nghiệm khách quan đến kỹ năng của học
sinh.
Câu 3: Phương trình của mặt phẳng
P
đi qua điểm
0;1;1A
và vuông góc với
đường thẳng
1
12
:311
xy z
d
là
A.
320.xyz
B.
320.xyz
C.
20.xyz
D.
20.xyz
Câu 4: Xác định tham số
,mn
để mặt phẳng
540xmy zn
thuộc chùm mặt
phẳng
38 3 8 250.xyz xyz
DE
A.
2; 1.mn
B.
5; 4.mn
C.
5; 11.mn
D.
1; 4.mn
Bài 2: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng:
221
341
xyz
lên mặt phẳng
2340xyz
.
Bài giải:
Tương tự Bài 1, nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các thông tin được biết
thể hiện thành hình vẽ. Bước này liên qua đến các kiến thức cơ bản về hình học
không gian tọa độ và hiển thị đầy đủ về bài toán một cách trực tiếp bằng hình vẽ và
