CẨM NANG CHO MÙA THI
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA)
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuu bienEmail: ng.huubien@gmail.com
NGUYỄN HỮU BIỂN
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2
x
x
x
x
1
4
.
+
−
≥
2 3 −
−
Bài 1: Giải bất phương trình
Hướng dẫn
0
1
41
2
x
x
0
.
−
≥
⇔
0 ⇔ ≤ ≤
- Điều kiện:
41
41
3 − + 8
x ≤ ≤
2
x
0
−
2 3 −
≥
x 0 ≤ ≤ − − 3 8
3 − + 8
≥ x 1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 3
2
4
)
3(
)
) 2 (
)(1
)
0
x 4 - Bất phương trình đã cho tương đương với (1 ⇔
≥ −
1 + −
+
−
−
+
(1 − −
+
+
−
≥
34
2
2
2
2
5 − + 9
x
x
3
2
9
10
⇔
+
1 0 − ≥ ⇔
≥ ⇔ +
1 0 − ≥ ⇔
x 1
x 1
x 1
1 3
x + x −
x + x −
x + x −
34
.
x ≥ ≤ x
5 − − 9
34
41
.
x ≤ ≤
- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là
5 − + 9
2
2
x
x
x
x
x
)
321
92
24
10
(,01
+−
+−
−
+
≥−
Rx ∈
3 − + 8
Bài 2: Giải bất phương trình
1≥x
2
2
x x x x x 3211 942 24 04
Hướng dẫn: Điều kiện: - Bất phương trình đã cho tương đương với −
x
x
x
x
x
(
)(22
6
+−−⇔
−
−
0)2 ≥
2
x
x
(
)1
0
+
⇔
+
−
−
9)(2 [ 3()2
− ] 3 ≥−
3(2 x 3
3(2)11 −− x )6 − 22 +−
2
x
)2
3(
)1
)1(0
x ( −⇔
+
+
−
−
x 2 − x 11 +−
3 ≥
x
22
3
6 +−
1 11 +−
2
2
x
x
)11.3(3
,013
1
+
+
−
>−
−
≥∀>=−
- Dễ thấy
( 3
) 1
.2
x - Hơn nữa (1)
+−− +−− + ≥+ 10 2
x 1 6 x 11 22 3 +− +− x x 02 ≥⇔≥−⇔ Bài 3: Giải bất phương trình sau:
x
x
log
log
6
1 log +
+
−
Kết hợp điều kiện thu được .2≥x ) x 2 > +
(
(
)
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
log
4
4
6
16
−
+
>
x 2 ⇔ +
>
− ⇔ +
−
> 36 0
)2
(
)2
( log 6 2
6x< < . ) 2
18
x < −
Hướng dẫn: ĐK: 0 ( x 2 ⇔ 2 hay 2
Vậy: x< So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 3
x< < . 6 2
x
9
71
−
(,1
)
>
Rx ∈
Bài 4: Giải bất phương trình
22 3 x
x +
x 19 + + 2 x x 2 2 +
x −− 4 −
x
1
≥
Hướng dẫn: Điều kiện
3
2
x
x
x
04
2
2
≠−
+
+
3
x
x
,0142214
1
2 2 x
≥∀>=−++≥−
+
+
.
2
3
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
19
22
2
9
2
811
4
24
17
02
71 >−−
−
+
−
+
x +−−⇔−
−
+
>−
- Nhận xét x 2 - Bất phương trình đã cho tương đương với x +
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 1
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2
x
x
x
x
x
2(2
)1
)1(0
(
8)(2
8
0)1
(
)2
+
−
−
−⇔>+
+
−
−
⇔
x
1 11 +−
2
2
x
x
x
x
2(2
)1
)12(21
,011
1
2
+
−
>−
−
≥∀>=−
02 >⇔>−⇔
nên (1)
- Rõ ràng
x
x 2 − x 11 +− 1 11 +−
x
x
x
2
−
≤ +
+
1 >
Bài 5: Giải bất phương trình:
) 1 + −
( log 7 2
)
( 1 log 3
)
( log 4 5
5
1 5
− < < x
Hướng dẫn: + Điều kiện:
x
x
2
−
+
⇔
)
)
+
≤
−
⇔
5
x
x
x
2
) 1 + + )( 1 3 +
≤
1 4 ( x log 3 5 ) 2 ( 5 7 2 −
7 2 ( 1 log 7 2 ≤ + 5 ) ( x log 5 7 2 )
2
x
( log 4 5 ( log 4 5 ( 4 ⇔ + 12
x + )( 1 3 x 21
⇔
+
−
x ) 33 0 ≤
1
⇔ −
x ≤ ≤
33 12
x
1
Giao với điều kiện, ta được:
− < ≤ . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
− < ≤ x 1
1 4
1 4
2
2
x
x
xx
x
)1
2
4
21
(2
)
(
−
−
5 ≥+
++
+
Rx ∈
Bài 6: Giải bất phương trình
2
2
2
x
x
x
x
2
2)(1
+
+
Hướng dẫn: Điều kiện: x ( +⇔ −
+
0)5 ≤
x .Rx ∈ Khi đó : x 2
2
x 2(2)5 x 4(2
− x 2
+ )5
1 −+ x 4 −+
2 −
2
2
2
x + x x 2)(1 2 )5 0 x ( +⇔ + − + + ≤ 2 5 +
2
x x 2 )1 − − 1 ++ xx + x x 2)(1 2 )5 0 x ( +⇔ + − + + ≤ x (2 2 x 3)(1 2 x x 2 2 5 +
2
2
2
2
2
2
2
x 1 ++ x 3(2 x x 2)(1 2 x ( +⇔ + − 5 ++ 0) ≤ x − )1 − 2 x x x 2 2 5 1 ++ − +
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
01
1
(
7
4
6
)2
x x x x x x x x 4 21 2 (25 2 )(1 5 4 ++ − ++ + − + 7)5 + + − 0 x ( +⇔ ≤ x x x 2 5 2 1 ++ + −
−
−
+
- Do
0 nên (2)
2
2
)1; −−∞∈⇔−≤⇔≤+⇔ )1 (5 =+
x x 5 x + + > + 1
1 >+ Bài 7: Giải bất phương trình : (
) x 1 −
x 1
Hướng dẫn: + ≤ : loại
2
x
2
2
2
x 1: x
x
5
x
x
+ >
5 + >
⇔
+ > +
⇔
5 x + − >
1 x 1 −
1 x 1 −
5
2
2
x
4x 5
5 x
x
5
>
+ + ⇔ − >
+
⇔
) ( 5 x 1 ⇔ − >
2
x 1 − + x 1 − 1 x 1 −
x
2
⇔
x ⇔ >
5 x + + 5 4 2 −
40x 20 0 +
>
x > 15x
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 2
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2
x
x
x
Bài 8: Giải bất phương trình:
5
4 1
x x (
2
4)
(x∈ R).
+
<
+
+
−
)
(
2
2
x
x
x
Hướng dẫn:
(*)
5
4 1
x x (
2
4)
+
<
+
+
−
)
(
5
0
x ≤ ≤
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔
x
5
1 ≥ − +
− − 1 2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
x x (
2
4)
5
4
x x (
2
4)
(
2
+
−
>
+
+
−
>
+
−
4) 3 +
(**)
- (*) ⇔
4 − ⇔
2
2
x
x
x
x
4
4
+
−
+
−
1
5
x ≥ − +
TH 1:
, chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒
4
>
3 +
2 x
2 x
2
x
x
4
+
−
t
t
Đặt
t ,
0
3 0
=
1
≥ , ta có bpt: 2 4 t−
+ <
t⇔ < < 3
2 x
2
2
x
x
7
4 0
−
− <
x
x
4
17
7
65
+
−
+
1
3
⇔
<
x < <
2
2 x
1 − + 2
2
x
4 0
+ − >
x
0
5
− −
TH 2: 1
≤ ≤ ,
4 0
< ⇔ x 2 5 x+ x
65
S
Vậy tập nghiệm BPT (*) là
5;0
1
= − −
1 − + 2
2
x
x
x
3
4
5
5 + +
x 1 + +
2 − >
− < , (**) luôn thỏa mãn 17 7 + ; ∪ Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2
− 6
Hướng dẫn:
BPT
x
x
x
x
2
4
3
0
5
⇔
5 + −
1 + +
2 − −
x
( 2
4)[
+
] 0 >
⇔ −
+
x
x
x
x
2
4
1
3
5
6
1 5 + +
+
6 − > 1 2 − +
−
2
x ⇔ <
2
2
3
x
x
Bài 10: Giải bất phương trình
x (
+
x 2)(
−
x 2 2
x + − ≤ + 5) 9 (
2)(3
2 + − − +
12)
5
x 5
+ 7
x ≥ −
Hướng dẫn: Điều kiện xác định:
. Khi đó ta có
3
3
2
2
2
x
x ⇔ +
+
+
−
+
+
+
(1)
x 3
x 14
15
x 2(
x 2) 2
+ − 5
x 3(
2)
+ − 5
x 5
7
≤ 0
3
2
2
2
x
x 3 ⇔ +
x − −
+
+
x 3
x − 18 2(
2)(
+ − 5
3) 3
x 5
+ ≤ 0
7
+ − 5
2
2
+ − x
−
+
−
−
x 2(
4)
)
5(4
2
x − 3) 3( x x 4) 3( 2)( −
+
+
≤
x ⇔ − (
x 2)(
x 5
+ − 9)
0
2
2
x
3
3
2
2
+ +
x 2)( 2 x + 2)(2 x 2
5 3
+ +
5 3
+
+
x 9 3 5
+ + 7
x 5
7
5 2
)
(
+
+
+
2)
2 2)
x 5(
2)
2
x
+
−
−
≤
x ⇔ − (
2)
x 5
+ − 9
0(*)
2
2
x 3( x
3
3
2
2
+ +
x 4( x 2
5 3
+ +
5 3
+
+
x 9 3 5
+ + 7
x 5
7
)
(
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 3
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
+
+
2)
2 2)
≤
+
+
<
x (
2);
x (
2 2)
2
x 3( x
x 4( x 2
+ + 5
x
- Ta có với
4 3 + 2)
3 x 5(
+ + 5 x 5(
3 5 2)
<
2
3 + 9
3
2
2
+
+
+
x 3 3 5
7
x 5
7
)
(
5 ≥ − ⇒ 2 + 9
+
+
+
x 5(
2)
2)
2 2)
x ⇒ + 2
−
−
>
x 5
+ − 9
2
2
x 3( x
3
2
2
x 4( x 2
+ + 5
3
+ + 5
3
+
+
+
+
9
x 3 3 5
7
x 5
7
)
(
2
x
+
+
x 18
127
0,
57 45
5 x > ∀ ≥ − 2
x
x
x ≥ −
- Do đó (*)
⇔ − ≤ ⇔ ≤ , kết hợp với điều kiện
ta suy ra bất phương
2
0
2
5 2
x
trình đã cho có nghiệm là
≤ 2
5 − ≤ 2
2
x
x
(2
)1
(76
)
+
+
≥
++
Rx ∈
Bài 11: Giải bất phương trình
x (2 x 2
)2 + 15 ++
−≥x
Hướng dẫn: Điều kiện:
5 2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
Bất phương trình đã cho tương đương với 215
4
2
2
(26
2
+−+
2 ≥+
⇔
+
76 ⇔++
5 −+
++
+
−
0)3 ≥
x
x
x
x
(2
)(1
0)3
(
)1
(2
)3
)1(0
+
−
+
−⇔≥
+
+
≥
x
x
x
2
6
2
6
1 5 ++
+
x 1 − 5 ++
x
x
x
(2
,0)3
1
+
+
x −≥∀>
01 ≥⇔≥−⇔
Chú ý rằng
nên (1)
5 2
x
x
2
5
x + 1 5 ++
+
1≥x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm
x
Bài 12: Giải bất phương trình
2 1
2x
− ≥
2 − + x
8 x
2
0
0
x
2
0
2 − ≥ x
⇔
⇔
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình:
− ≤ < x 2
≥
2
x
2
0
1
8 − ≥ x
x
0
≥ x x < ≥ x 2 − ≤ <
0x
x
x
x
x x
2
2)(
2)
2 − +
⇔
−
+
≥
- Với 2 - Với
− ≤ < ⇒ bất phương trình đã cho luôn đúng 2x ≥ ⇒ bất phương trình đã cho 2(
2
3
x
x
x
x
x
2 2) (
2)
4( ⇔ −
2) 2( +
−
4) 4 ( +
−
+
≥
3
2
3
2
x
x
x
x
x
2
4
16 4 2(
2
4
8)
x ⇔ −
−
+
−
−
−
+
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
2(
2
4
8) 8 2(
2
4
⇔
−
−
+
−
−
−
+
0 ≤ 8) 16 0 +
≤
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 4
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
2(
2
4
2(
2
4
8)
−
−
+
8) 4 −
0 ≤ ⇔
−
−
+
= 4
(
0
3
2
x
x
x
x
2
4
0
1
5
1
5
x ⇔ −
−
= ⇔ = + ⇔ = +
(do
x ≥ ) 2
x
5
1 = −
)2 = x
2; 0
5
−
)
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [
2
x
x
} 1) − ≥
Bài 13: Giải bất phương trình sau :
− . 1)
{ 1 ∪ + log ( 2
log ( 1 2
2
2
x
x
x
x
1) 0
1) − ⇔
1) − ≥
1) − +
− ≥
log ( 2
log ( 2
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT log ( log ( 2 1 2
2
x
1) 1
2
− ≥ x
x
1 1
x x (
1) 0
x 1)( ( ⇔ − 2 3 x x ⇔ −
− + ≥
− − ≥
⇔
5
1
x ⇔ ≥
(do x >1).
+ 2
1
5
S=
;
Vậy tập nghiệm của BPT là
.
+ 2
x
x
+∞ Bài 14: Giải bất phương trình
1)
1) − +
2 − ≤
2log ( 3
x
x
Hướng dẫn: ĐK:
1)
1x > . BPT
⇔
1) − +
log (2 3 2 − ≤
2log ( 3
1 2
x
x
x
x
log (2 3 1)(2
−
1) 1 − ≤
⇔
1) − +
1) 1 − ≤ ⇔ 2
⇔
x
x
x
(
1)(2
log (2 3 1) 3
2
3
− ≤ ⇔ −
log ( 3 2 0 − ≤
x
2
⇔ − ≤ ≤ . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là
S =
]1;2 (
2
x
x
x
x
(
)(3
2
)
(
2 (,)1
)
−
1 +−
≥
−
Rx ∈
log ( 3 x − 1 2 Bài 15: Giải bất phương trình
≥x
Hướng dẫn: Điều kiện:
1 2
x
x
2
≠−1
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó - Bất phương trình đã cho tương đương với 2
x
2
2
x
x
x
x
x
x
2(3
)
33
221
3 ≥−
x ≥−⇔
1 −−
x ≥−⇔
−−
−
2
( x
x
2(
)
)1 − 1 +−
3
13
3
13
+
−
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
1
2
1
3
01
,
⇔
≥−⇔+≥−
+
−⇔+
≥⇔≥−
≤
2
2
3
≥x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm
13 + 2
3
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
4(
12
)5
2
12
9
2
−
−
+
−
≤
−
+
Bài 16: Giải bất phương trình
x
2
≥
2
x
x
2
−
0 ⇔≥
Hướng dẫn: +) Điều kiện:
x
0
≤
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 5
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA +) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
3
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
12
9
4(2
12
)5
2
0
−
+
−−
−
+
−
≤
2
3
x
x
x
x
x
x
x
2)(1
5
)2
2(
2)(1
)5
2
0
2( −⇔
−
+
−
−
−
−
≤
2
2
x
x
x
x
x
x
xf
x
2)1
5
2(2
)5
2(
0
)1
2
2( −⇔
−
−+
−
−
−⇔≤
)1(0)( ≤
[
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
t
x
t
x
x
xf )(
2
5
2(2
)5
2
tx (;2
)0
2
=
−
−+
−
−
=
−
=⇒≥
−
] .Đặt
+) Với
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2(
t 2
2
−
=
−
−
−
−
x +−
2(2 −+ 2
=+− 2
5 − x
)5 x
x )2 − x
t )5 x
2 x
2( x
(2 x
)
2(
)5
2(8
4
20
25
8
16
4
12
2(
)3
=∆
−
−
−
=
−
+
+
−
=
−
9 =+
−
- Khi đó - Ta có
t )5 2
2
xf
0)(
⇔=
Do vậy phương trình
−=
2 − 2 x t t
x −= 1 2
Do vậy ta có phân tích
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xf )(
2
5
2(2
)5
2
(
2
2)(2
2
1
=
−
−+
−
−
=
−
x +−
−
+
2
2
x
x
x
x
x
)(1
2
2)(2
2
0)1
2( −⇔
−
x +−
−
≤+
Khi đó (1)
2
x
x
x
)(1
2
)2(,0)2
2( −⇔
−
x +−
≤
x
01
22 − x
>+
với mọi x thuộc miền xác định)
(Do 2 Ta xét một số trường hợp sau:
x
x
2
01
=⇔=−
+) TH1:
(không thỏa mãn)
1 2
x
2
2
x
x
x
2
2
x =⇔
−
2 ⇔−=
+) TH2)
(thỏa mãn)
≥ 2
2
x
x
x
x
2
4
4
−
=
−
+
x
2
01
>−
x
2
>
⇒
⇔
+) TH3
Hệ phương trình vô nghiệm
2
2
2
x
x
x
x
2
4
4
−
<
−
+
x
x
2
2
−
x −<
x
2
01
<−
x <⇔
+) TH4
2
1 2
x
2
−
x
x
x
2
−
≤ +
+
Bài 17: Giải bất phương trình:
x x 2 −> Kết hợp với đk ta được 0≤x Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x 0≤ ) 1 + −
( log 7 2
)
( 1 log 3
)
( log 4 5
5
1 5
Hướng dẫn: + Điều kiện:
− < < x
x
x
2
⇔
−
+
+ BPT
)
)
x
⇔
−
+
≤
5
x
x
x
2
) 1 + + )( 1 3 +
≤
1 4 ( x log 3 5 ) 2 ( 5 7 2 −
7 2 ( 1 log 7 2 ≤ + 5 ( ) log 5 7 2 )
2
x
( log 4 5 ( log 4 5 ( 4 ⇔ + 12
x + )( 1 3 x 21
⇔
+
−
x ) 33 0 ≤
1
⇔ −
x ≤ ≤
33 12
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 6
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x
1
Giao với điều kiện, ta được:
− < ≤ . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là
− < ≤ x 1
1 4
2
2
1 4
x
x
x
x
(4
7)
2 10 4
8
x − −
+ >
+
−
Bài 18: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
(4
7)
2 10 4
8
(4
7)
7)
2[(
+ >
+
−
⇔
x − −
x − −
>
+
2) 4] −
x − − 2
x
x
x
x
(4
7)(
2 2)
2(
2 2)(
2 2)
⇔
x − −
+ +
>
+ −
+ +
2 2(4 + +
2
2
x
x
x
x
x
4
7
2
2 4
2 2
2 1
⇔ − − >
x 4 + − ⇔ > + +
+ +
2
2
x
x
x
x
x
x (2 )
(
2 1)
(2
0
2 1)(2
2 1) 0
⇔
−
+ +
> ⇔ +
+ +
−
+ − >
x
x
x
x
2
1
2
1
2 + >
−
2 + > −
−
hoặc
x
x
x
x
2
1
2
1
2 + < −
−
2 + <
−
⇔
5
41
+
;
+∞
) 2; 1 − − ∪
Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = [
8
x
x
x
x
38 x
2
(4
1)(
−
≥
+
−
+
14 8 +
Bài 19: Giải bất phương trình
− . 1)
Hướng dẫn: Điều kiện :
1x ≥
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
(1)
2
(4
1)(
1 8
1 16 1)
8
2
(4
1)
(4
1) (2)
x 8 ⇔ −
≥
+
−
− +
− +
− ⇔ −
≥
+
−
−
+
−
2
f
t
t
t ( )
;
3 t = −
f
x
x
x
- Xét hàm số f (4
x (2 )
1)
1 [1;
2
4
≥
+
−
x+
x ⇔ ≥ +
f t t '( ) 3 = và 2 , 4
− > ∀ ≥ ⇒ f(t) đồng biến trên [1;+ ∞ ) mà (2) có 1 0 1 − ∈ +∞ nên (2) )
− 1
x
2
4 0
− ≥
2
x
x
2
4
1
x ⇔ − ≥
1 − ⇔
x ≥ −
(2 x
4) − 1 0 − ≥
2
2
17
17
⇔
⇔
x ⇔ ≥
17
17
17
17
+ 8
4 x
−
17 x 17 0 +
≥
x
x
;
≤
≥
≥ x 2
≥ x
− 8
+ 8
2
x
Bài 20: Giải bất phương trình:
x (
+
2)
x 2
+ − 3
2
x 2
+ + ≥ 1 3
x 5
(
) + + 1
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
2
b
a
a
2
x 2
2
x
ab
Đặt
.
x 2
3
+ = −
2
2
2
2
b
ab
a
x ≥ − 1 + = 3 + = ⇒ b 1 a b ≥ , 0 a (
b 2 )
a )(
b 2
+ + = 2 2 b 2 x x 5 a = − 1
2
2
2
b
b
b 2 )
b a (
0
− − + ≥ −
a − ( do a
b + − ) b 2 )
0 (
0)
≥
) b + >
− + a − − ( ≥
a )( b a )( b a 2 )(
1)
0
Bất phương trình trở thành: a 2 ⇔ − ( a ⇔ − ( a ⇔ − (
− b 2 ) b − − ≥
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 7
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
1
x
x
TH1:
+ − 3
2
+ ≤ 1
0
3
1 ⇔ − ≤ ≤ 2
x
1 1 2 x
+ − 3
+ − ≤
1
1
0
≥ − x 2 x 2
3
1
x
1
x
TH2:
+ − 3
2
+ ≥ 1
0
x ⇔ = −
1
x
x
≥ − x 2 x 2
+ − 3
+ − ≥
1
1
0
1 1 2 1;
≤ −
≥
3
x
≥ − x x ⇔ ≥ − − ≤ ≤ ≥ − x x ⇔ ≤ − x
S
Vậy bất phương trình có nghiệm
= − ∪ −
{ 1}
; 3
1 2
2
2
x
x
x
x
10
50
2
5
32
5
−
−
−+
−
x 3 ≥−
2
x
x
50
−
25
745
2
x
x
02
5
≥+
x ≥⇔
Hướng dẫn: Điều kiện
+ 10
2 x
− 5
≥
Bài 21: Giải bất phương trình 10 03 ≥−
2
x
x
14
47
−
+
2
x
x
x
2
5
32
0
−
−+
5 =−
>
- Nhận xét
2 2
x
x
x
2
32
5
−
++
−
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
92
10
50
45
5
2(6
)(1
)(2
)5
5 - Bất phương trình đã cho tương đương với 23 −
++
≥−
−
−
−
−
−
−
2
x
x
x
x
27
20
2(3
)(1
.)5
0
x 4 −⇔
+
+
−
−
2 ≥−
2
2
x
x
x
x
2(2
x 11
x 11
.5
0
⇔
−
+
(5)5 −
−
23)2 +
−
+
2 ≥−
a
x
b
;
ab (,
;0
)0
−
5 =+
2 =−
>
>
- Đặt
x 11 2
2 2 x 2 a
ba
a
ta thu được ba
2
b 5
ab 3
0
(
2)(
b 0)5
−
+
−⇔≥
+
≥⇔≥
6
22
6
22
−
+
2
2
x
x
x
x
x
x
2
x 11
2
2
12
07
;
⇔
−
5 ≥+
−⇔−
≥⇔≥+
≤
2
2
S
;
=
+
+∞
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm
22 2
3
2
3
2
x
x
x
x
x
3
12
2
−
5 ≤+
1 +−
−
x
05
12
≥+
2
x ≥⇔
Hướng dẫn: Điều kiện
0)2 ≥
Bài 22: Giải bất phương trình 3 2 x − x 1 ≥ xx ( −
2
3
2
2
Bất phương trình đã cho tương đương với x
x
x
x
x
x
x
xx
(21
12
2
3
)(1
()1
)1
5 ≤+
+−
−
+
−
−
x ++
−
3
2
2
x
x
x
x
x
x
2
10
(26
)(1
(.2
)1
0
x −⇔
+
+−
−
−
x ++
≥
3
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
3
.2
0
x ( +⇔
+
(3) −
−
+
2)2 +
−
+
2 ≥++
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 8
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2
.31
2
)1(0
−⇔
+
≥
3
x 2
3
x 2
x x
3 x
2 x
x x
3 x
2 x
− +
+ +
− +
+ +
2
tt (
)0
=
≥
Đặt
thì (1)
3
x 2
x x
3 x
2 x
− +
+ +
2
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
1
3
4
)2(02
t 31
t 2
0
−⇔
+
−⇒≤≤−⇔≥ t
2 ≤+
+
+⇔+
≥+
1 3
S
2≥x
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với
. Kết luận nghiệm
2
x
)+∞ 4
2 2 3
+
≥
+
Bài 23: Giải bất phương trình:
[ = ;2 x + + x 1 +
x 3 + x 1 +
2
x
4
3,
1
x ≥ ∀ > −
- Theo câu a ta có:
. (1)
Hướng dẫn: ĐK: x > -1 x + + x 1 +
x
=
1 + +
- Lại có
1
x 3 + x 1 +
2 x +
x
1,
+
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số
ta được:
1
2 x +
x
2 2,
1
1 + +
≥
x ∀ > −
(2)
2
x
4
2 2 3
+
≥
+
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
,
x∀ > − 1
x + + x 1 +
2 x 1 + x 3 + x 1 +
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là
S = − +∞ ) 1;
(
2
x
x
x
2
3
1
1 2 +
−
+
+
Bài 24: Giải bất phương trình sau:
1
>
2
x
1
1 2 −
x − +
0
2
x
Hướng dẫn: Điều kiện:
3
1 0
0
+ ≥
x ⇔ ≥
2
x
x
1
0
− + ≠
≥ x x + 1 2 −
2
2
2
x
x
x
x
x
- Ta có
⇒
2
1
2
0)
− + =
−
+
≥
3 1 ( >
x ∀ ≥
1 2 −
1 0 − + <
1 2
3 4
- BPT
2
2
x
x
x
x
1
3
1
⇔ +
− + <
+
+
x
x
1
3
1 ⇔ +
+ − <
+ + (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình)
1 x
x 1 x
x
t
- Đặt
2
x > . 0
+
= ⇒ ≥ vì t
1 x
t
t
t
t
- Ta có
1
1 3
3
2
+
1 − <
+ ⇔ − < ⇔ <
13 4
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 9
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x
t
- Suy ra
2
≤ < ⇒ ≤ + < 2
1 x
13 4
13 4
x
2
x
0
≥
−
13
105
13
105
−
+
⇔
⇔
⇔
x < <
2
8
8
x
x
4 0
)2 1 13 −
+ <
( 4
x
1 + ≥ x 1 + < x
13 4
2
2
x
x
x
x
3
2
x 11
12
10
+
<−+
+
−
Bài 25: Giải bất phương trình: 1≥x
2
x
x
x
xx (
)(1
(9
)2
x 11
12
10
Hướng dẫn: Điều kiện: Bất phương trình đã cho tương đương với 2 x −
6)2 +
x −+
+
−
<
+
−
2
2
2
2
x
x
x
x
x
(6
xx )(
)2
2
2
(3
xx )(
)2
4
⇔
−
+
<
+
8 ⇔+
−
+
<
x ++
2
2
x
x
x
x
x
3
.
(2
)2
⇔
−
2 <+
x +−
+
2
a
x
x
=
−
2
2
a
aba
ab 3
b 2
)(
(
ba ,(
)0
<
−⇔+
−
b 0)2 >
≥
Đặt
ta được BPT
x
2
=
+
b
5
57
+
x
>
2
2
x
x
x
x
x
2
2
02
+>−
−
>−
5
57
+
2
)1≥x
⇔
⇔
⇔
x >⇔
- TH1:
(do
2
2
b 2
>
2
ba > a
x
x
x
x
4
8
5
08
x >−
+
−
>−
5
57
−
x
<
2
2
2
x
x
x
x
x
2
2
02
−
<−
+<−
x
x
1≥x
3
1
1
3
1
3
1 −⇔
+<≤⇔+<<
⇔
⇔
(do
)
- TH2:
2
2
b 2
<
ba < a
x
x
x
x
4
8
5
08
−
<−
x <−
+
5
57
+
;
=S
+∞
Vậy bất phương trình có tập nghiệm
)3
x
x
x
1 +
Bài 26: Giải bất phương trình
.
log
4
4
2
3
log
+
−
−
≥
log 2 2
(
)
2 (
[ 1;1 +∪ )
1 2
1 2
x
x
x
1 +
log
4
log
3
2
≥
−
−
log 2 2
Hướng dẫn: ( 4 +
)
)
(
x
x
x
1 +
1 2 log
4
4
2
3
1 2 log
⇔
+
≥
−
+
(
)
)
(
1 2
log 2 1 2
1 2
x
x
x
2
1 +
log
4
4
log
2
3.2
⇔
+
≥
−
(
)
)
(
1 2
1 2
x
x
2
1 +
4 2
4
3.2
x ⇔ + ≤
−
x
x
3.2
4 ⇔ −
x
L
2
4 0 − ≥ ) ( 1 ≤ −
2
⇔
x ⇔ ≥
x
2
4
≥
) 2; +∞
Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 10
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x
x
x
3.49
4
+
−
Bài 27: Giải bất phương trình 2.14
≥ 0
x
x
2
2
3
1 0
⇔
+
− ≥
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4x được bpt
7 2
t
x
t
⇒ ≥ t
Đặt
(với t > 0). BPT trở thành 3t2 + 2t – 1 ≥ 0
=
7 2
1 3
⇔ ≥ t
7 2 1 ≤ − 1 3
x
S
⇔
≥
x⇔ ≥ −
log
;3
∞+
. KL: BPT có tập nghiệm
7 2
1 3
−=
log 3 7 2
7 2
3
2
x
x
x
x
x
4
2
45
75
30
(4
)
1 +−
−
+
<
Rx ∈
Bài 28: Giải bất phương trình
≥x
Hướng dẫn: Điều kiện
. Bất phương trình đã cho tương đương với
3
2
1 2 2
2
x x x x x x 41 45 75 34 04 4 −− + − + <−
2
x x x x 45)(1 ( + 0)4 < − ⇔
x x )1 0 ( − ⇔ − + x − [ 3(5)1 30 ] 1 <− 2(4 x x 2(4 x 2
2
x x )1 3(5 )1 )1(0 x ( −⇔ + − − )11 +−− )2 − 11 +− 1 < 2
2
2
- Nhận xét
nên (1)
x x x x x 3(5 )1 .3(51 )1 ,01 1 + − >− − ≥∀>− 01 <⇔<−⇔ 4 x 11 +− 1 2 1 2 11 2 4 x +−
- Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S =
x
x
1;
2)
log
−
+
1 < .
log ( 2
0,5
1 2 Bài 29: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện:
x > . 2
x
x
2
2
x
x
log
2
log
log
⇔
−
−
1 < ⇔
1 < ⇔
< 2
(
)
2
2
2
− x
− x
x
x
2 2
2
x ⇔ − < ⇔ > − .
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là
.
2> −x
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
Bài 30: Giải bất phương trình:
4
5
3
−
2 − >
−
+
−
−
4 + .
Hướng dẫn: Cách 1: BPT
2
x
x
x
x
x
2
1)
x ⇔ −
2 − >
−
+
−
−
+
.
(
)
(
2 ) 2 (
(
)0x ≥
1
x
x
x
x
. (1)
2)
(
|
2 |
2
1
x ⇔ − +
−
1 + >
+
−
+
(
)2
1
* *
(loại). (loại).
2 : (1) 0 : (1)
x = x =
0 2 2 ⇔ > 2 2 ⇔ − > −
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 11
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x
x
x
*
(1)
1
2
1
x ( ⇔ −
+
+
>
+
−
+
2 :
x >
(
)2
( 2) 1
)
1
1
- Chia 2 vế cho
.
2) 0
x x − .(
> ta được:
(1)
1
1
+
>
+
+
x
1 x
2
1 −
1 ⇔ + x
x
2
−
(
)2
t
2
f
t
t
f
t
đồng biến
- Xét hàm
f t⇒ ( )
t ( )
1
,
t '( ) 1
0
0
t = +
+
> ⇒ 0
= +
> ∀ >
2
t
1
+
2
x
x
x
x
x
x
(1)
2
5
4 0
4;
0
⇔ − > ⇔ −
+ > ⇔ >
1 < .
t∀ > ,
1 ⇔ > x
2
1 2x − > ⇒ > . x 4
x 2 :
- Kết hợp x< < * 0
x
x
x
.
(1)
1
2
1
x ( ⇔ −
−
+
>
+
−
+
(
)2
( 2) 1
)
1
1
- Chia 2 vế cho
.
2) 0
x x − .(
< ta được:
(1)
1
1
+
<
−
+
1 x
x
2
1 −
1 ⇔ − x
x
2
−
(
)2
2
t
t
t
1
+
2
f
t
t
f
t ( )
1
,
t '( ) 1
t = −
+
R ∈ ⇒
= −
t 0 > ∀
=
- Xét hàm
đồng
f t⇒ ( )
2
− 2
t
t
1
1
+
+
biến
. Trường hợp này vô nghiệm vì
.
(1)
0
t∀ . Từ đó
<
1 2x −
1 2x −
1 ⇔ < x
0 :
x >
2
x
x
5
−
+
+
x
x
(1)
2
+
>
Đáp số: x > . 4 Cách 2: ĐK 0x ≥ + 0x = không là nghiệm. Xét )(
( ⇔ −
) 1
3
2
2
4 3
x
x
x
4
5
3
4
−
+
+
+
− 1
x x −
x
.
f x ( )
4
0
⇔
=
−
+
>
(
)
3
2
3
2
x x
x 1 2
+ +
x
x
x
x
x
4
5
3
4
−
+
+
−
+
x
1
−
+ Xét
g x ( )
=
+
3
2
3
2
x
x
x
x
4
5
3
4
−
+
+
−
+
Nếu
x 1 + x 2 + x g x > . ( ) 0
1x ≥ thì
x
x
(1)
>
=
1 1
1 1
+ > ⇒ + > . Ta có:
+ Nếu 0
x< < 1:
1 2
x x
x x
1 2
2
+ +
1 + 2 +
3
x
x
x
x
x
23 x
2
2
1
2
−
4 + =
+
−
x = −
x 2 + > − = −
(
)( 1
)2
3
2
3
2
⇒
x
x
x
x
4
3
4
−
+
−
x 5 + x 1 −
⇒
<
=
<
=
3
2
3
2
x
x 2 + > − x 1 x 2
1 2
x 1 − x 2 2 + −
x 1 − x 2 2 −
x
x
x
x
4
3
4
−
+
−
+
x 5 x
+ 1 −
⇒
.
(2)
> −
3
2
3
2
− − 1 2
x
x
x
x
x
4
5
3
4
−
+
+
−
+
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 12
g x
( ) 0
0
f x
x
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Từ (1) và (2) suy ra +
x > ∀ > . x 4
( ) 0
4 0
> ⇔ − > ⇔ > . Kết hợp ĐK suy ra đáp số:
x > . 4
3
3
2
3
x
08
≥−
x
2
≥
3
2
x
3
09
≥−
x ≥⇔
⇔
x x x x 2 (1 ) 8 ≤− − 9 +− + Rx ∈
Hướng dẫn: Điều kiện:
2
x
x
)(3
−
x ++
0)3 ≥
(
x x
2 − 01 ≥+
Bài 31: Giải bất phương trình
Bất phương trình đã cho tương đương với
3
3
2
2
2
x x x x x x 2 (21 9 )(3 )(3 )1 8 ≤− − x +−+− − x ++ +
2 x ≤−⇔
2
2
2
2
x x x x 2 (2 )(3 .)1 3 − + x ++
2
2
2
2
2
x x x x x x x 2 23 2 .3 3 03 x −⇔ −− − − +++ ≤++
2
2
x x x x x x ( 2 )3 2 3 ⇔ − 3 −− x ++ 0 ⇔≤ − 3 =− x ++
2
x
.
x x x x 2 3 x −⇔ 3 =− 2 −=⇔++
Bài 32: Giải bất phương trình :
log
)
0 (
)
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm. >
−
x R ∈
log (2 2
1 2
2
2
x
x
x
Hướng dẫn: - Điều kiện:
)
0
−
log (2 2
x
> ⇔ − 1
1
1
x
1
2
x
) 1
- Khi đó ⇔
−
< ⇔
⇔
⇔
log (2 2
2
2
1 − < < x 0 ≠
x
0
>
1 1 > ⇔ − < < x − < <
Vậy tập nghiệm bpt là
2
x < (0;1)
S = −
1 2 1 − < < 2 − ( 1;0) ∪
2
2
x
x
x
Bài 33: Giải bất phương trình:
5
4 1
x x (
2
4)
(x∈ R).
+
<
+
+
−
)
(
5
0
x ≤ ≤
Hướng dẫn: ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔
x
5
1 ≥ − +
− − 1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
4
x x (
2
4)
5
4
x x (
2
4)
(
2
+
−
>
+
+
−
>
+
−
4) 3 +
(**)
⇔
4 − ⇔
1
5
+ TH 1:
, chia hai vế cho x > 0, ta có:
x ≥ − +
2
2
x
x
x
x
4
4
+
−
+
−
(**) ⇒
4
>
3 +
2 x
2 x
2
x
x
4
+
−
t
t
- Đặt
t ,
0
3 0
=
1
≥ , ta có bpt: 2 4 t−
+ <
t⇔ < < 3
2 x
2
2
x
x
7
4 0
−
− <
x
x
4
17
7
65
+
−
+
1
3
⇔
<
x < <
2
2 x
1 − + 2
2
x
x
4 0
+ − >
x
x
5
0
+ TH 2: 1
− −
≤ ≤ ,
< ⇔ − < , (**) luôn thỏa 4 0
2 5 x+
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
Trang 13
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
65
+
S
Vậy tập nghiệm bpt (*) là
1
5;0
17 7 ;
= − −
1 − + 2
2
∪
0; 1
Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
x
+
∈
3 :
2
( m x
x
x(
2
2
−
) 2 1 + + +
−
2
t x = − +
Hướng dẫn: Đặt
t ∈
x ) 0 ≤ ]1;2 [
+ 2x 2 3] nên
- Bất phương trình trở thành:
m ≤ do x [0;1 ∈ 2t 2 − t 1 +
- Khảo sát hàm số
với
t ∈
]1;2 [
2 2 − 1 t +
2
2
2
t g(t) =
t
t
+
0
g'(t)
=
>
- Ta có:
. Vậy
đồng biến trên [
]1 2;
+ 2
2 2 − 1 t +
(t
+
⇒
Maxg t ( )
(2)
g=
1 ) 2 = 3
(2)
m
m
g
t g(t) =
≤
- Từ đó:
có nghiệm t ∈ [1,2] ⇔
2 3
2t 2 − t 1 +
2 m ≤ 3
max ( ) g t [ ] 1;2 t ∈
≤ = = . Kết luận:
x x x 2 2 x 5 7 11 4 (9 ) + 6 ++ + < + Rx ∈
Bài 35: Giải bất phương trình
−≥x
Hướng dẫn: Điều kiện
2
x
x
x
x
x
x
2
2
5
)2
7
11
(
+ Bất phương trình đã cho tương đương với − +
(6 −+
4 +−
+
+
−
+
0)3 <
2
2
2
x
(2
)2
0
⇔
x −−
+
<
+
x − x 7
3
2
x 2 ++ x 11 ++
x
(
)(2
2 x −−⇔
+
−
)1(0)2 >
x
x
x x 2 ++ − x x 5 6 +++ 1 6
2
5
+ 1 11
7
3
+
6 5
x ++ 1
+ Nhận xét
x +++ 1 11
2
1 ,2 + < + x −≥∀< 6 5 x x x 5 2 7 1 6 3 +++ + x ++ 2 − 3 6 5 13 5
+ Do đó (1)
. Kết luận nghiệm -1 2 3 2 2 x x x x 2 1 02 ( 0)2 6
+−
5
<<−⇔< +⇔<−−⇔ − x x x x x x 2 2 ( 3)1 (6 ) +++ + x
≥+ + + Rx
∈ x
)(1
Bài 36: Giải bất phương trình 2 3 2 2 x x x x x x x 22 2 3)1 0 +−++ + (2
−++ + 6
≥+ NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 2 2 2 2 x x x x (22 )(1 3 6 x
+−++⇔ + 2
−+ + 2 2 x x 2 ( x
−+ 0 ≥ ⇔ + x
x )(1
+
2
++ x
)2
−+
x
6
3
+ x x 2
≥
2 1 x x x x ( )2 01 ,0 2 1 + + Ta có . 2 x 1
+
x
3 6 x
2
++ +
≥⇔≥−⇔−>∀>
2 2 x
x
+++
Kết luận
1≥x x 1 x )1(0 )(1 )2 + x
(
−⇔ + x 6 1
+
x
3 2
++ + 22
+++
x x 22 +++ x x x x 3 4 5 5
+ + 2
− > 1
+ + −
6 x x x x 2 4 3 5 0 ⇔ 5
+ − 2
− − x ( 2 4)[ ⇔ − + + ] 0
> x x x x 2 4 1 3 5 6 + − 1
+ +
1
5
+ + 6
− >
1
2
− + 2 . 2 2 1 x 3 1
− < x
⇔ <
Bài 38: Giải bất phương trình 1 1
x
− x 1 − x < . Bất phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 2 2 2 x x x 1 3 3 2 0 (1) > 1
− ⇔ − + > +
2
x x 1 x
−
1
− x
− x x 1 1 − − + Đặt , khi đó bất phương trình (1) trở thành: 2
t 2 1 x t t
3 = 2 0
− + > ⇔ 2 <
t
t
> x 1 − 2 + Với t < 1 thì 2 x x x 1 1 (2) < ⇔ < − x 1 − * 1 bất phương trình (2) đúng 2 x 0 : − < ≤ 2
x
⇔ < − ⇔ < < * 0 x x 1: (2) 1 0 x< < bất phương trình 2
2 Tập nghiệm của bất phương trình (2) là
= −
1; S
1 2
2 2 + Với t > 2 thì 2 0 ⇔ x
⇔ > * Bất phương trình (3) 2 2 5
5 x x 4(1 ) > − >
x
2
x x x 2 2 1 (3) > ⇔ > − x 1 − Tập nghiệm của bất phương trình (3) là 2
=
S ;1 2 5
5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 2
3 2 S 1; ;1 S
= ∪ = − ∪ S
1 2
2 2 5
5 x x x 3( )1 2 5 (1 ) + > + + Rx
∈ −≥x + Bất phương trình đã cho tương đương với
2
x
x x x x
2)21 3)(1 3( 5 xx
3(21 )1 −+ > + + −+ + 2 x x x x 3)(1 x
)21 4 3 1 3(
+⇔ −+ −> + + x x x x x 3)(1 x
)21 3( )(21 3 x
)21 3(
+⇔ −+ > −+ ++ x x x 3( 3 )1(0)1 1 ⇔ x
<−−+ + Ta có nên x x x 3 1 ,01
−≥∀>+++ (1) )(21
−+
1
3
xxx
()21
−+
x
x
1
3
+++ Xét hai trường hợp xảy ra x )1 3( − x xxx 3( ()21 )2(0)1 ⇔ 0
⇔> −+ >− 1 +) Với thì (2)
2
1 x
<< x 0 < x x 1 > < x 0 ≥ x x xx
( 0)1
⇔>− 1 21 3 ⇔>+⇔ ⇔ x
<⇔ x 0 0 1 < 0
x
<≤ x x 4 3 01 − <− x x 21 3 ⇔<+⇔ +) Với thì (2) x
φ∈⇔ 2 x x 4 3 01 − >−
0
x xx
( 0)1 0 1 <<⇔<− Kết luận nghiệm
−=
1;
S 1
3 x x x
3(2 )3 − x 15 25 (,9 ) + < + Rx
∈ 4
39 5
+−
x
2
++ ≥x . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với x x x x 5
3
2(5)3 x
3(2 4 )(39 2 )39 < 5
+− − ++ −+ 2 2 x x x x x
3(2 4 5 4 53 ⇔ 5
+− − 2.5)3
< x
3
+−⇔ <− x x x x x 28 7 12 29 15 2 12 29 15 33 7 x
+−⇔ − + 25
⇔< − + < − 2 2 2 x
≤≤ x
<≤ x
<≤ x 3 ⇔ ⇔ ⇔ 5
<≤⇔
3 5
3
x 343 3 > 33
7
x
<∪ x x 5
3
x 33
7
x 5
3
12(4 )15 33( x
)7 1029 0 33
7
29
− + < − − + >
Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là 2 2 3 <≤ x 346
5
3 x x 5 x
+ + > +
1 )
x 1
− + ≤ : loại NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 2 2 2 x x 1: x x x 5 x + > 5
+ > ⇔ + > + ⇔ 5 x
+ − > 1
x 1
− 1
x 1
− 2 2 )
(
5 x 1
⇔ − > 2 5 x 4x 5 5 x x 5 > + + ⇔ − > + ⇔ x 1
− +
x 1
−
1
x 1
− x 2 ⇔ x
⇔ >
x
>
15x
Vậy : x > 2 2 3 5 x
+ +
5
4
2
− 40x 20 0
+ > x x x x x . 2 2 − 1
+ ≤ − −
1 ) x 2 ( 2 1
≥ −
2
BPT x x x 2 2 1 0 ⇔ 1
+ − + + ≤ )
x )(
0
+ − ≤ ) x x 2 1 2 1 0 ⇔ + + ≥ ⇔ ∈ +
x
1
2; + + < + log (x 1) log (x 2) . 0,2 0,2 x
(
vi x
)
+∞
log x
0,2 0 (*). 2 + + < + < + x) log (x 2) log (x 1) log (x 2) ⇔
+ log (x
0,2 0,2 log x
0,2 0,2 0,2 > + 2x
⇔ + x x 2 ⇔ >x 2 (vì x > 0). Vậy bất phương trình có nghiệm >x 2 . 2 x x x x 20 2 + 4
+ + ≤ 4
+ + x > 0 chia 2 vế BPT cho x ta được:
2 x x 20 1 2
+ ≤ + 4
+ +
x 2
x - Đặt 2t 16 + ≤ 2t 1
− t x x t = + ⇒ + = −
4 4
x 2
x Bất phương trình thành: 2 2 3 ⇔ t
⇔ ≥
1
t
≥
2
+
16 4t
t
≤
− 4t 1
+ Với t S = Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là ∪ +∞
4
[ ;
] [ ]0;
1 2 x 3 x 4;0 + ≥ ⇔ ≥ 3≥ ta có: < ≤
x 1 2
x x x 300 40 − 3 10
− 0 ≤ x
1 10
1 2
− −
x
+ + x
1
− −
x
2
− − NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x≤ ≤ 1
10 - Ta có: (Theo BĐT Bunhia)
2,
− < ∀ ∈
2 x x 1 1 x
+ + 3
10
1
3
;
10 10 2 x x x x Bpt 300 40 10 0 ⇔ − 2
− − 1
− − 3 10
− ≥ x x 40 4 ⇔ − 1) 300
≤ − − x x (10 2)(30 2) ⇔ + ≤ − + 1 (*)
x x (10 2) 30 2 0 ⇔ − − − − ≤ x
1 1)
( 10
− − +
x
10
2
−
x
1 1
10
− +
x x 10 1 1
3 10
− + x f x
( ) 30 2 − = − − x x 1 1 1 10 x
( 3 10
−
x
2 10
−
x
3 10
+
−
1
1 1
− +
1
3 10
− + 1
− + 2 2 5 f x x
'( ) 30 0, ) ( = − − − < ∀ ∈ x x x x 5
1( 10 10 1 1) 1) − − + + − − - Mặt khác nên ⇒ [ [ ] ] f x liên tục trên
( ) f x nghịch biến trên
( ) 3 10 ( 3 10
3
1
;
10 10 1
3
;
10 10
3
1
;
10 10 f f ( ) f x
( ) ( ≤ ≤ < ( Hs có thể đánh giá)
) 0 3
10 1
10 - Do đó bất phương trình (*) x x 10 2 0 1
⇔ − ≥ ⇔ ≥
5 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 2 x x≤ ≤ 1
5 3
10 x
( + 2) x
2 + −
3 2 x
2 + + ≥
1
3 x
5 ( )
+ +
1 2 2 b a a 2 x
2 2 x ab Đặt . x
2 3 + = − 2 2 2 2 b ab a x ≥ −
1
+ =
3
+ = ⇒
b
1
a b
≥
,
0
a
( b
2 ) a
)( b
2 + + =
2
2
b
2
x
x
5
a
= −
1
2 2 2 b b b a
( b
2 ) 0 − − + ≥ − a
−
(
do a b
+ −
)
b
2 ) 0 ( 0) ≥ )
b
+ > a
)(
b a
)(
b a
2 )( 0 Bất phương trình trở thành:
a
2
⇔ −
(
a
⇔ −
(
a
⇔ −
( 1 x x TH1: + −
3 2 + ≤
1 0 3 1
⇔ − ≤ ≤
2 x 1
1
2
x ≥ −
x
2
x
2 + −
3 + − ≤ 1 1 0 1 3
x
− +
a
− −
( ≥ −
b
2 )
b
− − ≥
1)
≥ −
x
x
⇔ ≥ −
− ≤ ≤
NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 x TH2: + −
3 2 + ≥
1 0 x
⇔ = − 1 x x ≥ −
x
2
x
2 + −
3 + − ≥ 1 1 0 ≥ 3 ≤ − 1
1
2
1;
x
≥ −
x
x
⇔ ≤ −
x
S Vậy bất phương trình có nghiệm = − ∪ − { 1} ; 3 1
2 2 2 x x x x 1 4 .
+ − ≥ 2 3
− − 0 1 41 2 x x 0 . − ≥ ⇔ 0
⇔ ≤ ≤ Điều kiện: (*) 41 41 3
− +
8 x
≤ ≤ 2 x 0 2 3
− − ≥
x
0
≤ ≤
− −
3
8 3
− +
8 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x 2 3 (1 ) 3( ) ) 2 ( )(1 ) ≥ − 1
+ − − + − ⇔ + (1
− − + + − x
4
Bất phương trình đã cho tương đương với
x
4
2 ≥
0 34 2 2 2 2 x x 3 2 9 10 ⇔ + 1 0
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ + 1 0
− ≥ ⇔ x
1 x
1 x
1 1
3 x
+
x
− x
+
x
− x
+
x
− 34 .
x
≥
≤
x
5
− +
9
5
− −
9 34 41 . x
≤ ≤ Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5
− +
9 3
− +
8 2 3 2 x x x x x x x x . 5 5 10 2 6 13 6 32 − + 7
+ + + 2
+ ≥ + − + ( ) ) 2 2 3 2 x x x x x x x x x x (2 2 2 7 3 3(5 6) 6) 5 13 6 32 2
x + 10) 2(2
+ + − + − + + − + + ≥ − + ( ) ( 2 3 2 x x x x x x x x (5 5 7 3 (2 6) 2 2 2 5 10) ⇔ − + + − + + + − − + − + ≥
10 0 ( ) 2 x 5 2 x x ≥ − . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
)
10)
+ 2 5 0 + − − ≥ (
x
⇔ − ) )
2
x (
x
5
10
+
−
x
7 3
+ + x
6
+
2
+ +
+ Do và vì 2 x + >
6 0
1
2 2
1
2 2
+ + x x 2 2 2 2 ≥ − ⇒ + + ≥ ⇒ ≤ x ⇒ (1) x 6 2 3 ≤ x
= + x
+
2 2
x 6
+
2 2
+ + x 25
x 5 10 0 − + + Do và vì > ∀ ∈ ℝ
x 2 2 x 5 3 5 < 7 3
+ + ≥ + > ⇒ x ≥ − ⇒
2 x 1
7 3
+ + 2 2 ⇒ (2) 1
5
2
x x x x x x 5 5 5 10 − + x x x x 5 3 < = − + ⇒
2 − − < − − 5
5 5
10
+
−
x
7 3
+ + 2 ⇒ x x x 2 0 2 5 0 − + − < Từ (1) và (2) . Do đó (*) ⇔ − ≤ ⇔ ≤ 2
x 2 2 x
x
6
5
10
+
−
+
x
3
2
2
7
+ +
+ +
≥ − ⇒ − ≤ ≤ .
Kết hợp điều kiện
x
x
2 5
10
−
+
x
7 3
+ +
2
x
5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x x 2 1
+ + 8) log (24 2 − + − ) 0
≤ log (2
3 1
3 x 1
+ Điều kiện:
(1) x 1
+ x 2
+ 2 8 0 − >
x 2
+ 0 24 2
− > 3 (
log 2
3 ) (
log 24 2 ) x x x 1
+ 8 ⇔ − ≤ − x x 1
+ x 2
+
x 8 0 2 2 4 2 4 − > ⇔ ⇔ ⇔ >
x >
x 2 8 24 2 2.2 8 24 4.2 6.2 32 − ≤ − − ≤ − ≤ 2
2
x 4 2 log x 2 ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ 16
3 x x 2( x
3 2 ) 2 3 7 0 3
+ − − + + − ≥ 16
3
Bài 50: Giải bất phương trình Điều kiên : 2 3 x 3
− ≤ ≤
2 2 x 3 2 1 2x ⇔ + − + − + + 3x 5 0
− ≥ 3 2x
− ( ( )(
x 1 2x 5 ) )
)
3 2x
− (
1 − 3 2x
− 2 0 ⇔ + + + − ≥ x 3 4
+ −
x 3 2 1
+ + +
(
⇔ − )
x 1 (*) 0 + + 2x 5
+ ≥
x 3 2 1 2
+ + + 4
3 2x
− Do và 2x 5 3 2x 1 ≤ ⇒
9 ≥ + ≥ − nên
1 3
− ≤ ≤ ⇒ −
3 x
2 4
3 2x 1 −
+ > ∀ ∈ −
2x 5 0, x 3; + + 3
2 x 3 2 1 2
+ + + +
4
3 2x
− - Từ (*) T trình là x 1 ⇔ − ≥ ⇔ ≥ . Kết hợp với điều kiện ⇒ tập nghiệm của bất phương NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien x 1 0
1
;
=
3
2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubienHướng dẫn: Điều kiện
2−≥x
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
Trang 14
Bài 37: Giải bất phương trình sau 2
Hướng dẫn:
Hướng dẫn: Điều kiện
Trang 15
Hướng dẫn: Điều kiện:
Bài 39: Giải bất phương trình:
1
3
Bài 40: Giải bất phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện
Bài 41: Giải bất phương trình : (
Hướng dẫn:
x 1
Trang 16
Bài 42: Giải bất phương trình : (
Hướng dẫn: ĐK:
Bài 43: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: >x
Bài 44: Giải bất phương trình:
0 (*)
Hướng dẫn: Điều kiện: x
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
Bài 45: Giải bất phương trình:
Trang 17
Hướng dẫn: Điều kiện:
Bài 46: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện:
Trang 18
Bài 47: Giải bất phương trình
Hướng dẫn:
≥
x
1
Bài 48: Giải bất phương trình (
Hướng dẫn:
Điều kiện
5
(5
+
−
(*)
Trang 19
Bài 49: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Hướng dẫn:
Trang 20
