CẨM NANG CHO MÙA THI
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA)
NGUYỄN HỮU BIỂN
LỜI GIỚI THIỆU
Các em học sinh thân thân mến, trong đề thi ĐH môn Toán những năm gần đây
thường xuyên xuất hiện câu giải hệ phương trình, câu hỏi này thường là thuộc hệ thống
câu hỏi khó, có tính chất phân loại trong đề thi, mốc đạt điểm từ 8 đến 10. Phương
pháp suy luận để giải quyết đối với loại câu hỏi này cũng khá đa dạng, thầy có thể kể
ra một số phương pháp phổ biến như sau:
(1) Phương pháp rút - thế
(2) Phương pháp nhóm nhân tử chung
(3) Phương pháp dùng hàm số và đạo hàm
(4) Phương pháp dùng BĐT vec - tơ
(5) Phương pháp dùng số phức
(6) Phương pháp nhân liên hợp và đánh giá
(7) Phương pháp lượng giác hóa
Sự phân chia và liệt kê các phương pháp nói trên cũng chỉ mang tính chất tương
đối, vì trên thực tế trong đề thi chúng ta thường phải vận dụng kết hợp nhiều phương
pháp đan xen hợp lý để giải quyết bài tập (rất ít đề thi chỉ dùng 1 phương pháp độc
lập). Vậy câu hỏi đặt ra là “làm thế nào nhận biết được bài tập đã cho dùng phương
pháp nào?”, đôi khi có bài tập có một vài cách giải khác nhau tuy nhiên sẽ có cách hay
nhất, dễ hiểu nhất. Để giảm bớt “nỗi lo âu” của các em học sinh đối với loại bài tập
này, thầy biên soạn cuốn tài liệu TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, tài
liệu bao gồm 120 bài tập giải hệ phương trình - minh họa đầy đủ các kỹ thuật giải hệ
phương trình trong đề thi đại học, đặc biệt 24 bài tập đầu thầy không chỉ hướng dẫn
làm bài mà quan trọng hơn đó là đi sâu vào phân tích, tìm hiểu kỹ thuật giải tương
ứng, như vậy dần dần các em sẽ tích lũy được thành kinh nghiệm - “bí kíp” cho riêng
mình. Sau 24 bài tập, thầy sẽ đưa ra một loạt các bài tập tự luyện kèm hướng dẫn giải
bám sát cấu trúc ra đề theo xu thế mới hiện nay để các em tự thực hành và đối chiếu
hướng dẫn giải. Phương châm và mong muốn của thầy là học xong tài liệu này, các em
sẽ giải quyết tốt câu giải hệ phương trình trong đề thi sắp tới (nếu có).
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
2
2
2
2
+
+
−
=
+
+
(1)
x 4y
3y
5y
x
4y
8
( 2 y x
)
)
(
Bài 1 : Giải hệ phương trình
2
=
−
−
x +
(2)
− 12 2x
2y
2 y 4
2
Phân tích tìm lời giải 2 ≤
x
+ ĐK:
5y < ≤ 6
= ⇒ +
24
4
x
, bấm máy ta thấy phương trình này vô nghiệm,
2
=
+
− 5 x
y 1
12
x
x 7
, bấm máy giải phương trình này có x
- Từ (1) ta cho
2=
+ Trước hết quan sát ta thấy phương trình (2) có hình thức đơn giản hơn (1). Tuy rằng (2) có biến x và y cô lập ở từng vế nhưng ta không thể biến đổi để sử dụng “hàm đại diện” được. Vì vậy, ta sẽ “mò nghiệm” để tìm quan hệ của x và y. Thật vậy: - Từ (2) ta cho y = − 12 2x vì vậy ta bỏ qua việc suy luận từ (2) + Bây giờ ta chỉ còn cách quay về (1) để “nghiên cứu”. Ta thấy như sau: )2
2
2
+
+
=
y
24
= ⇒ 2
x 38
− 20 x
- Từ (1) ta cho
, bấm máy giải phương trình có x
4=
( 4 x
( = ⇒ + (
)
) = ⇔ −
x 2y
2y
0
Vậy với 2 giá trị ta nhận thấy dự đoán x
x 2y−
= , điều này khiến ta có suy luận rằng, nếu biến đổi (1) một cách khéo léo, ta sẽ ép được nhân tử chung là (
)
3
2
2
2
2
0 x ≥ y 0
( 2 y x
)
. Bây giờ ta sẽ “ép nhân tử chung” từ (1) như sau: )
(
3
2
2
2
2
4
+ + − = + + x 4y 4y 5y 3y x 8
2 x y
3
4
2
2
3
2
2
⇔ + − = + + x 8y
2 x y
)
)
(
3
2
2
2
2
⇔ − + − − + − − = 2xy 4y x 5y x xy + 4xy 2xy 8y 0 4xy ( + 3xy x 5y )
( 2y x 2y
)
)
)
⇔ − + − − + − = x y x 5y − 8y x y 0 4y ( ( + y 4x 2xy
)
3
( 2y x 2y
)
)( ( y x 2y 4 xy
)
2
2
( )( ( x x 2y x 2y − x
3
− + ⇔ − − + − + = 0 − 5y y
( ⇔ −
) x 2y 3y
( + y 4 xy
)
2
2
) +
( + x x 2y 5y
x 2y−
)
− + 0 − x y =
x 2y−
nhé. Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau:
+ Như vậy ta đã ép được nhân tử chung ( từ (1), tuy nhiên cái ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0. Có lẽ cách làm này vẫn không khả thi cho lắm. + Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết được = . Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh x 0 giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có (
)
= ⇔ − x 2y 2y
Trang 1
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
2
2
2
2
( 2 y x
)
)
(
3
2
2
2
4
2
+ + − = + + x 4y 3y 5y x 4y 8
2 x y
2
2
2
2
3
4
⇔ + − = + + 4xy + 3xy x 5y x 4y 8y
2
2
2
2
⇔ + − − = + − 3xy x 5y x 8y 4xy
2 x y (
2
2
2
⇒ +
−
−
− − = − 3xy x 5y x 8y 2y 4y 2 ) xy (3)
3xy x 5y
x
8y
22y
≥ 0
+ Nhận thấy (
2
− 0 xy ≥ , vậy từ (3) ⇔ + )2
2
⇔ + − − ≥ 3 5 8 0 x y x y x y
2
2
≤ ⇒ −
≤ ⇔ <
>
2 ≤ ⇔ 5y
8 3
x
5
0
5
0
+ Mặt khác, từ ĐK
, vậy BPT (4) có 2 vế
x y
x y
x y
không âm nên bình phương 2 vế và biến đổi ta được kết quả:
2
4
+
−
+
=
4
48
≤ 64 0
t
, đặt
≥ 0
x y
x y
x y
x y
2
2
2
−
≤ ⇔ −
+
+
≤
⇒ + 4 t
4t
48t 64 0
t 2
+ 4t 16
0
t
(
)
2
2
≤
+
+
) ( > ∀ ≥
⇔ − ≥ − (4) 5 8 3 x y x y x y
t 2
0
t
4t 16 0,
0)
t
( ⇔ −
)
2
= ⇔ = ⇒ = ⇔ =
t 2
0
2
2
x
t
2y
( ⇔ −
)
x y
2y=
+ Cuối cùng ta đã tìm được hướng làm đúng, bây giờ thì thay x
vào (2) ta có:
2
+
=
−
−
2y
− 12 4y
2y
2 y 4
2
⇔ − +
=
− −
3 y
y
y
y 2
2
2
y 2 0
2
2
2
− +
− −
=
(5)
3 y
y 2
y
y
≥ (do y 0) )
4
2
3
+ =
−
+
−
y ⇔ ( − 2y
y
3y
+ Từ (5) biến đổi ta được:
− − ≥ ⇔ ≥ y ) ( ( 4y 1 2 y 3 y (6)
)
−
−
⇒
−
2y
( − y 3 y
)
( − y 3 y
)
⇒ đoán nhân tử chung là (
) + . 3y 1
) − = 1
(
) − 1
−
( 2y ( − y 3 y
−
2y
) + : 3y 1
+ Phương trình (6) quả thật không dễ gì giải quyết được, nếu bình phương 2 vế tiếp tục, sẽ được phương trình bậc 8 (ghê gớm quá) nên không ai đi làm thế cả !!! + Bây giờ bạn hãy quan sát căn bậc 2 bên phải, ta đoán rằng sẽ tạo ra lượng thích hợp để nhân liên hợp rồi đoán nhân tử chung, vậy trước hết ta sẽ nghĩ đến việc tạo ra lượng ) + 3y 1 ( ) 1 + Vậy vấn đề là ta phải ép cho vế trái của (6) có được nhân tử chung là (
(do
Trang 2
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
4
3
2
−
−
+
−
y
2y
3y
− = 4y 1 2
( − y 3 y
)
(
4
3
2
3
2
2
−
−
−
−
+
⇔ + y
y
y
3y
3y
+ 3y y
) 1 + − = y 1 2
)
(
2
−
−
2
2
2
⇔
y
( 2 y y
) + − − y 1
( 3y y
) + − + y 1
(
) + − = y 1
+
( − y 3 y ( 2 y ( − y 3 y
) 1 ) + 3y 1 ) 1
2
−
2
−
=
2 ⇔ + − y
0
)( y 1 y
(
) + + 3y 1
+
( 2 y ( − y 3 y
) + 3y 1 ) 1
2
2
2
=
+ − + y 1
0
( ⇔ − y
) + 3y 1 y
+
1
( − y 3 y
)
2
2
2
>
⇔ − y
+ = 3y 1 0
do y
+ + + y 1
0
+
1
( − y 3 y
)
3
5
<
=
y
2
⇔
3
5
=
y
⇒ = + x
3
5
− 2 + 2
4
3
2
−
−
+
2y
3y
4y 1
− thành nhân tử với nhân tử
3y 1
4
2
−
−
+
−
3y
y
y + bằng 1 trong 2 cách sau: 3 4y 1 2
4
3
−
−
2y − cho đa thức 2 −
− =
+
+
+
2y
3y
y
4y 1
y
* Chú ý: các bạn có thể phân tích đa thức 2y chung là − - Cách 1: Chia đa thức 2y - Cách 2: Dùng hệ số bất định
− ⇒ m ?
+ 3y 1 ) )( 2 3y 1 y my 1
(
Vậy HPT có nghiệm
2
2
3 5 = (x; y) 5; + 2 + 3
= − + (1) x + + y 3 y 3x 7
Bài 2 : Giải hệ phương trình
2
2
+ + (2) − + y 1 2y + = 1 x x + xy 3y
+ ĐK
3x
Phân tích tìm lời giải 2y ≥ ≥ y 1 ≥ 0 x
2
+ Ở bài này ta sẽ không xuất phát từ (1), bởi vì có 2 số 3 và 7 rời nhau nên nếu giải thường sẽ cho nghiệm không phải số nguyên. + Xét phương trình (2) để “xử lý” ta thấy: ( - Nếu cho + x 1 x x x
)
2
= ⇒ + + = ⇔ + y 1 x x x 0 0 = ⇔ = x 0
x 1⇒ =
= ⇒ + + 2 y 2x x x
x 1
− − , bây giờ ta tìm cách ép nhân tử chung từ phương trình (2) như sau:
- Nếu cho + Như vậy đến đây ta dự đoán y (
) y x 1
= , bấm máy giải phương trình y x 1 0 4 = + ⇔ − − = , vậy nhân tử chung dự đoán sẽ là
Trang 3
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
2
2
+ + − + y 1 2y + = 1 x x + xy 3y
2
2
⇔ − − = + − + − y 1 x x xy 3y 2y 1
) y x 1
2
2
⇔ = + − + − x xy 3y 2y (3) 1 − − y 1 x − + y 1 x
+ Ta cần phân tích đa thức ở vế phải của (3) thành nhân tử với nhân tử chung là ( phương trình bậc 2 ẩn x:
− − , công việc này không hề đơn giản. Cách xử lý khéo léo là ta coi VP của (3) là ) − = 0 1
2
2
2
2
+ + x
∆ =
=
−
0
y
≥ , vậy phương trình
- Tính
( ( − 3y 2
(
) − = 0 1
( 4.1. 3y 2y
có 2 nghiệm là :
+ + x xy − 3y 2y − 3y 2y )2 xy ) − = 1
2
− + −
⇒ + 2 x
(
)( ) − x y 1 x 2y 1
(
) − = 1
= x = x
⇔ + − − + xy − 3y 2y + − − − + = x y 1 0 − = + x 2y 1 0
- Vậy (3)
y 3y 2 2 y 3y 2 2
(
) )( x y 1 x 2y 1
⇔ = − − − + − − y 1 x − + y 1 x
) y x 1
(
⇔ − − + + − = x 2y 1 0 1 − + y 1 x
- Ta thấy với ĐK
thay
2
2
vào (1) ta được: = + + + x 1
≥ ≥ ⇒ + + − > ⇒ − − = ⇒ = + x 0; y 1 x 2y 1 y x 1 0 x 1 y 0 1 − + y 1 x
, bấm máy thấy phương trình này có nghiệm x
x 2−
: Bình phương 2 vế và biến đổi ta
)
3 x x 7 (4) 2= ,
2
2
− =
−
+ −
+
x 2
7x
7x 7
3x
+ 3x 3
2
−
+
4x
⇔ − = x 2
10x 4 2
2
7x
+ 3x 3
3x −
⇔ − = x 2
2
2
−
+ + + − 7x 7 ) ( )( − 2 x 2 2x 1 + + + 7x 7
3x
7x
+ 3x 3
− 4x 2
=
−
0
( ⇔ −
) x 2 1
2
2
−
7x 7
7x
+ 3x 3
3x x 2−
+ , tuy nhiên đại lượng trong dấu
)
− 4x 2
ngoặc thứ hai là
ta không thể chứng minh cho nó 0≠ ,
2
2
+ +
−
+
+ + + Đến đây mặc dù đã xuất hiện nhân tử chung là (
− 1
+ 3x 3
7x 7
7x
3x
− + + x 1 vậy ta sẽ biến đổi để xuất hiện nhân tử chung là ( được:
Trang 4
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
− 4x 2
−
=
1
0
hơn nữa nếu xét phương trình
thì việc giải phương
2
2
−
+ +
+
7x
7x 7
3x
+ 3x 3
trình này là rất khó. + Bây giờ ta phải quay trở về phương trình (4) để đổi hướng làm bài như sau:
2
2
2
2
=
⇔
−
x
+ + + x 1
3
x
− + + x 1
7
x
+ + − x 1
x
− + = x 1
7
3
2= là nghiệm duy nhất của (5).
+ Ý tưởng làm bài lúc này là ta sẽ chứng minh cho VT của (5) là hàm đơn điệu để suy ra x - Xét hàm số :
2
2
(4) (5)
− = = f (x) x + + − x 1 x − + ⇒ x 1 f '(x) + 2x 1 2 − 2x 1 2 + + − + 2 x x 1 2 x x 1
(
(
⇔ = − f '(x) + + 3 3 + 2x 1 2 ) + 2x 1
=
∈ ⇒
=
f (t)
, t R
f '(t)
> ∀ t 0,
- Xét hàm số
t 2
2
2
+
t
3
+
t
3
(
)
+ >
− ⇒
+ >
− ⇒
>
2x 1 2x 1
g(2x 1) g(2x 1)
- Mặt khác ta có
+
+
3
3
+ 2x 1 2 ) + 2x 1
(
− 2x 1 2 ) − 2x 1
(
⇒
=
−
f '(x)
> ⇒ 0
f (x)
là hàm đồng biến.
+
+
3
3
+ 2x 1 2 ) + 2x 1
(
− 2x 1 2 ) − 2x 1
− 2x 1 2 ) − 2x 1 3 f (t)⇒ là hàm đồng biến
( 2= là nghiệm duy nhất của (5). KL: (x; y)
Vậy x
3
4
3
2
= (2;3)
) ( x y 1
+ − − + x x x + = 1 (1) 1
Bài 3: Giải hệ phương trình
3
2
2
4
2
3
3
3 2 x
( − 2y y 1 x
)
2
+ ≥
1 0
+ ĐK:
− + + + = + (2) x y x y x
Phân tích tìm lời giải 3 − x x ≥ y 1
+ Ở bài này đối với phương trình (1) trong căn là đa thức có 3 hạng tử nên ta loại trừ PP nhân lượng liên hợp, vậy ta xuất phát từ (2) để biến đổi mấy căn rắc rối kia xem hình dạng biểu thức thu được ra sao nhé ! + Từ (2) ta biến đổi:
3
2
2
4
2
3
3
3 2 x
( − 2y y 1 x
)
2
3
2
3
3
− + + + = + x y x y
3 2x. x
)
(
( − 2y y 1 x
2
2
3
3
+ + − + x y − = y 0 x
)
)
(
2
3
+ + − = − x y y 1 0 x x ) )
3
− = − y y 1 0 x
⇔ + x ( ⇔ + x ( ⇔ + x ⇔ + x
( − 2y y 1 x ) − = y y 1 0
− x
Trang 5
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
3
3
−
=
+
⇔
− +
x
x
3
3
3
3
+
⇔
−
=
+
x
y 1 (3)
− y 1
x
( (
) )
) y 1 1 . y 1 )
3
2
2
3
3
= = f '(t) 3t + ⇒ t f (t)
thay vào (1) ta được:
Vậy từ (3)
(
)
3
2
4
3
− ⇒ = = = y 1 y 1 x x x f f + > ⇒ là hàm đồng biến ( − ⇒ − 1 0 )3 y 1 t )
( ( + Như vậy sau khi biến đổi (2) thì kết quả thu được tự nhiên rất tốt, do đó đây là điều hết sức may mắn và ngẫu nhiên. + Đến đây ta xét hàm số f (t) ( ⇒ x
3
2
2
4
3
2
+ − + + = 1 x x x
) − = 1
)
(
3
2
4
⇔ − + − + − + x x 1 x x x x 0 1 (
4
3
2
(
) − = 1
3
2
2
4
3
2
− + − x x 1 x ⇔ + − + x x x 0 − + + x x 1 x
( ⇔ − x
3
2
) 1 1
3
2
4
+ − − = x x 0 1 2 − + + x x 1 x
2
2
3
+ − = − x x 1 0 x
2
− + + = x 1 x 1 x
2
2
2
3
≥ 0
( + = − 1 x
)
− x 1 x
y 2
⇔ = x 1 − 1 x ⇔ x 1 ⇔ =
x 0
KL: HPT có nghiệm (x; y)
2
2
2
2
(1; 2), (0;1)
(
)( y x y
)
+ − + + (1) 3y 6
Bài 4: Giải hệ phương trình
= − (2) 5 + − x y 13 − 3y 14 + x 1 + = 8 )( + xy x ) = ⇒ = = ⇒ = y 1 3x (
Phân tích tìm lời giải ≥ −
+ ĐK:
x
2
2
2
2
≥ y 1 14 3
+ Quan sát phương trình (1), nếu ta thực hiện mở dấu ngoặc và chuyển vế thì sẽ cô lập được x và y sang từng vế, thật vậy: + = 8
(
)( y x y
)
2
2
2
2
− + + + xy x 3y 3x 6
(
)
3
2
2
3
+ + ⇔ + 3x 3y + = 8 − y x y + xy x 6
( 6 y x
3
2
3
2
+ ) ( + − − ⇔ + 3x 3y + = 8 y x
) 6y (3)
+ + = − + ⇔ + x 3x 6x 8 y 3y
Trang 6
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (3) đã cô lập x và y sang từng vế, mặt khác mỗi vế đều có dạng đa thức bậc ba, với hình thức phương trình kiểu này, ta thường nghĩ đến phương pháp sử dụng “hàm đại diện”.
3
3
2
2
3
3
2
x 3x 6y 3 + +
) ( − 3 y 1 (4) + > ⇒ là hàm đồng biến 3 0
= + ) x 1 f (t) t f (t)
⇒ + = f (x 1) + − 3y ) ( − y 1 f '(t) 3t y − ⇔ + = − ⇔ = + thay vào (2) ta được: x 2
(
− − − − + = 3x 8 + x 1 = ⇔ 5 3x 8 x 1 + ( ⇔ + + Đến đây ổn rồi, xét hàm số Vậy từ (4) f (y 1) )( − 2x 11 + = y 6x 8 ) ( + = 3 x 1 + ⇒ = 3t x 1 y 1 ) 5 − 2x 11
⇔ − − + − 3x 8 x 1 =0 (5) ; ≤ ≠ x 5 − 2x 11 8 3 11 2
= 3; x 8 = , tuy nhiên việc giải phương trình (5) là rất khó. Trong trường hợp này ta sẽ
+ Ở phương trình (5) ta nhẩm thấy (hoặc dùng máy tính) phương trình có 2 nghiệm x dùng phương pháp đồ thị để chứng tỏ phương trình (5) chỉ có đúng 2 nghiệm x
=
− −
+ −
f (x)
3x 8
x 1
;
≤ ≠ x
+ Xét hàm số
11 2
10
= 3; x = . 8
=
−
+
f '(x)
2
−
+
3 2 3x 8
5 8 − 2x 11 3 1 2 x 1
(
) − 2x 1
10
⇔
=
+
≠
f '(x)
> ∀ ≥ 0, x
; x
2
11 2
8 3
− + − 3x 8 3 x 1 + − 2 3x 8. x 1
(
) − 2x 1
+ Ta có bảng biến thiên sau:
⇒
11
8
+∞
2
3
x
f'(x)
+
+
f(x)
=
= 8
=
(3;5); (8;10)
− −
3x 8
+ x 1
5
= bằng phương pháp
)( − 2x 11
)
=
− −
5
+ Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ có 2 nghiệm x 3; x KL: HPT có nghiệm là (x; y) Nhận xét: Nếu ta giải phương trình ( nhân liên hợp thì ta sẽ biến đổi như sau: (
−
−
=
+ − x 1 2
0
( 2 x 3
)
)
−
−
)
)
⇔
−
−
−
=
0
( 2 x 3
)
)( − 2x 11 3x 8 )( ( ⇔ − 2x 11 ) ( ( − 2x 11 .3 x 3 ) ( − + 3x 8 1
) + x 1 ) )( ( − − − − 2x 11 3x 8 1 ) ( ( − 2x 11 . x 3 ) ( + + x 1 2
Trang 7
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
−
(
−
−
=
x 3
2
0
( ⇔ −
)
) − 2x 11 + + x 1 2
) ( 3 2x 11 ) − + 3x 8 1
(
)
( + Tuy nhiên đến đây ta gặp khó khăn khi lý luận cho phương trình ở dấu ngoặc vuông kia có nghiệm duy nhất x 8=
−
(
−
−
=
2
0
) − 2x 11 + + x 1 2
) ( 3 2x 11 ) − + 3x 8 1
(
)
2
+
+
y
y
5
2
2
−
+
−
6 ln
+ xy y
(
)( x y x
) 1
2
+
+
x
x
5
(1) =
Bài 5: Giải hệ phương trình
4
2
−
+
4y
6y
− 2 3 4x
0
(
3 − = 4
(2)
Phân tích tìm lời giải
0
x
+ ĐK:
3 < ≤ 4
+ Nhận thấy (1) có dạng đặc biệt nên biến đổi (1) ta được: 2
2
3
3
⇔
+
+
−
+
+
=
−
−
6 ln y
y
5
6 ln x
x
5
x
y
+ 2x 2y
)
(
2
3
2
3
⇔
+
+
+
−
=
+
+
+
−
6 ln y
y
5
y
2y
6 ln x
x
5
x
2x (3)
)
( (
(
6
2
2
⇒
=
+
+
=
+
−
f (t)
6 ln t
t
5
3 + − t
∈ 2t, t R
f '(t)
3t
2
+ Xét hàm số
(
) ) )
2
+
t
5
+ Đến đây ta vẫn chưa chứng minh được f(t) là hàm đơn điệu, vậy ta sẽ tính f’’(t) và sử dụng PP “min - max”, thật vậy:
1
=
0
0
t
f ''(t)
, xét f ''(t)
= ⇔ = , ta có bảng biến thiên sau:
2
+
t
5
(
)3
⇒
− 6t 1
t
0
-∞
+∞
f''(t)
0
-
+
f'(t)
6
-2
5
≥
f '(t)
− > ⇒ 2 0
f '(t)
f (t)
0
> ⇒ là hàm đồng biến.
+ Từ BBT ta thấy
6 5
4
2
−
+
=
(4)
f (y)
x
y
4x
6x
− 2 3 4x
0
+ Vậy từ (3) f (x)
3 − = 4
⇒ = thay vào (2) ta có:
Trang 8
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Việc giải phương trình (4) cũng không hề đơn giản, bây giờ ta dùng đến máy tính và
x
thấy phương trình (4) chỉ có nghiệm duy nhất
= , do đó ta phải chứng minh cho hàm
1 2
số ở vế trái của (4) là hàm đơn điệu, thật vậy:
4
2
+ Xét hàm số
3
2
2
= − + − g(x) 4x 6x − 2 3 4x , x 0; 3 4
( 4x 4x
⇒ − − = − − = g '(x) 16x 12x 3 0; 3 4 ) < ∀ ∈ 0, x 3 4 4 − 3 4x ∈ 4 − 3 4x
⇒ = y
là hàm nghịch biến
⇒ = là nghiệm duy nhất của (4)
x g(x)⇒ 1 2
KL: HPT có nghiệm (
)
=
2
x; y 1 2 1 1 ; 2 2
+ = − 2x x 2
Bài 6: Giải hệ phương trình
3
2
(2)
(1) )
2
≥
0
⇔
+ ĐK:
0 0
≤ ≤ x 2 ≤ ≤ y 1
y 1
− − = x 3x + + 2 + y 2 1 y 0 y (
Phân tích tìm lời giải − 2x x ≤ ≤ 0
2
3
+ Nhận thấy phương trình (2) có thể cô lập được x và y sang từng vế, mặt khác VT là đa thức bậc 3 đối với x, VP chứa căn bậc hai của đa thức bậc nhất đối với y, đối với hình thức này, ta thường sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: (
2
3
− + + 2 3x x 0
) + y 2 (
3
2
3x + = − 2
( − 1 y
)
3
3
+ − 3 − 1 y 3x ⇔ − x ( ⇔ − x
( ⇔ −
) x 1
− − (3) − 3 1 y − 1 y
3
⇒ − ≤ ≤
, ta thấy
+ Xét hàm số
2
2
⇒
2 0 ⇔ − = 3t 1 t 1 f (t) t 0
[ − ≤ ∀ ∈ − 0,
) 1
( 3 3 t
= − = t f '(t) 3t 1 x 1 1 ≤ − ≤ y 1 0 1 y 1 f (t)⇒ là hàm nghịch biến. − = 1 y ) − + 1 y y 2 ) ) ( − = − − 3 x 1 3x 1 ) ( ) ( − = 3 x 1 − ≤ − ≤ ≤ ≤ x ≤ ≤ ] 1;1
+ Từ (3)
) ( − = f x 1
(
)
2
− ≥ x 1 0 )2 ( − x 1
2
2
x 1 − ⇒ − = − ⇔ ⇔ f 1 y x 1 1 y = − + = − y x 2x 1 y ≥
= − 2x x 2,1 x 2 ≤ ≤ , giải PT này x 1⇒ =
+ Thay vào (1) ta được: KL: HPT có nghiệm (x; y)
2
2
− 2x x = (1;1) +
(1) 3x
Bài 7: Giải hệ phương trình
5
2
− 3 1 x
− = + (2) 5x x − 2y 4 y + y 1 + ( − − = y 1 3 )
Phân tích tìm lời giải
Trang 9
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
− ≤ ≤
≥
1 x 1
0
2
2
y 1 0
+ ĐK:
− − ≥ ⇔ + ≤ y 1 3x ≥ − 1 y
− 1 x 3x + ≥ y 1 0
2
5
+ Quan sát thấy phương trình (2) cô lập được x và y sang mỗi vễ, hơn nữa đa thức trong căn bậc hai là bậc nhất nên ta sẽ nghĩ đến việc biến đổi (2) theo PP “hàm đại diện”. +
(
)
2
5
− = − 2y 4 + y 1 5x x y
(
5
5
− = 5 ⇔ − x 5x + y 1
(
) + y 1 )
5
= − + y 1 ⇔ − x 5x + 5 y 1 (3)
+ Xét hàm số
] 1;1
2
⇒ ∈ − t
1; 3
+ Ta cần tìm điều kiện của :
⇒ + ∈ y 1
0; 3
4
4
= − f (t) t 5t
+ Ta có
[ ∈ − x + ≤ y 1 3x + ≥ y 1 0 ) 1
( 5 5 t
∈ −
thì ta chưa thể xác định được hàm f(t) đơn điệu, điều này chứng tỏ ĐK của t tìm chưa sát (vẫn còn thiếu). Bây giờ ta phải nghiên cứu kỹ hơn để tìm ĐK cho t thật sát. + Xét (1) ta thấy:
2
2
= − = f '(t) 5t 1; 3 − , rõ ràng với t
2
2
− = + − − 3 3. 1 x 1. 3x y 1
2
2
+ − − ⇔ = 3 − 3. 3 3x 1. 3x y 1
+ − + − − ⇔ ≤ 3 3 1. 3 3x 3x y 1
+ Như vậy cuối cùng ta có
[ ⇒ ∈ − t
] 1;1
y 1
0;
3 2
[ ∈ − x
4
⇒
⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ⇔ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ 3 2 2 y y 1 y 0 y 1 1 4 3 4 3 2
] 1;1 + ∈ − ≤ ∀ ∈ − ⇒ là hàm nghịch biến. f (t)
] 1;1
[
) 1
( = f '(t) 5 t
0
⇒
=
f
y 1
x
y 1
+ Từ (3)
thay vào (1) ta được:
( f x
)
(
) + ⇒ =
2
2
≤ ≤ x 1 = + ⇒ =
−
x
y 1
y
x
1
+ ⇔
2
2
2
0, t
⇒ −
] [ X 0;1
= ⇒ ∈ + + 3 1 X X x = 2X 3 (4) 2x 3 = , đặt
− 3 1 x + Phương trình (4) giải bằng cách bình phương 2 vế 2 lần
KL: HPT có nghiệm là
= ± − (x; y) − (0; 1); ; 6 2 11
49 121 Qua bài này ta thấy việc tìm ĐK cho hàm “đại diện” f(t) sẽ lấy hợp các ĐK của 2 hàm số ở VT và VP, đôi khi chúng ta cần tìm thật sát ĐK của f để chứng minh hàm số f(t) đơn điệu.
Trang 10
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
4
4
(1)
x 1
y
+ = 2
y
Bài 8 (KA-2013): Giải hệ phương trình
2
2
+
−
(2)
x
y
+ = 6y 1 0
− − + + x 1 ) ( − + 2x y 1
Phân tích tìm lời giải + ĐK: x 1≥ + Ta thấy phương trình (1) có thể cô lập x và y sang từng vế, vậy rất có thể sẽ sử dụng được PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy: 4
4
+ +
− −
x 1
x 1
y
+ = 2
y
4
4
− =
x 1
y
+ + 2
y
4
4
4
⇔
− x 1
+ = 2
y
+ + 2
y (3)
)
4
⇔ + + x 1 ( + + , do y R, x 1
∈ = 2 t f (t) t ≥ ⇒ ∈ t R
, rõ ràng với t R∈ thì hàm số f(t) không đơn điệu, vậy ta cần tìm điều
+ Xét hàm số 3 2t 4
2
2
2
2
−
+
+ = ⇔ +
+
−
x
y
6y 1 0
x
− 2xy 2x y
⇒ = + f '(t) t + t
+ = 6y 1 0
) ( − + 2x y 1
2
2
2 kiện sát hơn đối với t như sau. + Xét (2)
= − y 4y
3
⇔ + − = ⇒ ≥ ⇒ ≥ 4y 0 4y y 0 ⇔ + x ( − + + 1 2xy 2x 2y 2 ) x y 1
+ Như vậy với
là hàm đồng biến.
4
4
4
⇒ = ⇒ ≥ t 0 f '(t) + ≥ ∀ ≥ ⇒ t 0, 0 t f (t) 2t 4 + t
+ Từ (3)
(
) ( f y = y
0
7
4
+
+ −
2y
y 4
0
( y y
)
7
4
+
+ − =
y
2y
y 4 0 (4)
= ⇔
7
3
6
4
⇒ 2 ⇒ − = ⇒ = = f y 1 − x 1 x 1 y x + thay vào (2) ta được: ≥ x 1 ≥ y 0 )
+ = = g(y) g '(y) 1 0 7y 2y 8y y
+ Ở phương trình (4) ta thấy có 1 nghiệm y 1= , mặt khác xét hàm số ở vế trái của (4) ta + − ⇒ + > nên g(y) là hàm đồng biến, vậy y 1= là có: + y 4 nghiệm duy nhất của (4). KL: HPT có nghiệm (x; y)
3
−
+ =
+ −
(1)
2y
2x 1 x
3 1 x
y
= (1; 0), (2;1)
Bài 9: Giải hệ phương trình
2
2
2
2
+
+
+ −
−
−
=
(2)
5x
2y
12x 7
x
y
19
5y
Phân tích tìm lời giải ≥ −
2
2
1 x
+ ĐK:
+ Nhận thấy phương trình (1) có thể cô lập x và y sang từng vế, hơn nữa đa thức trong căn là bậc 1, y bậc 3 nên ta sẽ nghĩ đến PP sử dụng “hàm đại diện”, thật vậy:
+ + ≥ + 12x 7 0 2y 2 − − y ≥ 19 0 x 5x 2
Trang 11
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
−
+ =
+ −
2y
2x 1 x
3 1 x
y
3 ⇔ + =
+
2y
y
3 ⇔ + =
+
+ +
+
2y
y
1 x 3 1 x
+ + 2x 1 x 3 1 x )
1
3
−
+
3 ⇔ + =
+ 1 x
+ 1 x
+ 3 1 x
2
y
2y
( 2 1 x (
− )
3
3 ⇔ + =
+
+
2y
y
2
+ 1 x
1 x (3)
3
2
=
2t
) + > ∀ ∈ t R
=
f
1 x
y
1 x
+ thay vào (2) ta có:
)
2
2
+ −
+
=
≥
( + ∈ ⇒ + Xét hàm số = f '(t) 6t f (t) t, t R ( ( f (t)⇒ là hàm đồng biến, từ (3) f y x
14x 9
5x
1 0, ) + ⇔ = − − x 20
+ 5 x 1, x
5
2
2
⇔
+ =
5x
14x 9
x
+
−
+
+ 22x
+ = 5x 2 5
− x 1 x 5 x 4
+ Bình phương 2 vế ta được:
(4)
5 x 1 (
+ + )(
− − x 20 )(
)
+ Đối với dạng phương trình (4) ta sẽ giải bằng PP đặt 2 ẩn phụ như sau:
2
2
−
+
≥
0
=
−
a
x
− 5x 5
(
)( x 1 x 5
)
⇒
- Đặt
thay vào (4) ta có:
2
= +
b
x 4
+ >
x 4
0
= a = b
2
1
2
2
⇔
⇔
+
+ =
−
2a
3b
= ⇔ 5ab
2
3 0
5
2a
3b
a b
a b
= b a =
a = b a = b
3 2
+
+
7
61
5
61
−
+
⇒ = y
⇒
⇔
2
2
−
=
+
)( ) ( x 1 x 5 )( ( + 4 x 1 x 5
= + x 4 ( ) 9 x 4
)
y 3
+
+
5
61
7
61
=
x; y
;
KL: HPT có nghiệm (
)
( ; 8;3
)
2
2
= x = ⇒ = x 8
1
2
2
+
+
=
(1)
y
( − 2 10 xy
)
)
2
− x y
(
)
Bài 10: Giải hệ phương trình
=
+
(2)
5
2x
1 − x y
( 3 x
2
2
1
1
2
2
+
=
+
+
+
+
=
− x y
20
y
( − 2 10 xy
)
( 2 x y
)
(
)
)
2
2
− x y
− x y
(
)
(
)
⇔
=
+
+
+
=
+ x y
− x y
2x
5
5
)
(
)
1 − x y
1 − x y
Phân tích tìm lời giải + ĐK: x y≠ + Nhận thấy dạng HPT trên sẽ nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để giải quyết, thật vây : ( 3 x
(
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 12
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+ x y
= ⇒ =
(
)
a
b
2
2
− = 2
20
⇒
⇔
+ Đặt
=
+
b
− x y
b
+ 2a b + = a b 5
(
)
1 − x y
3 1 = ⇒ = a 3
2 14 3
= a
+
−
−
+
8
10
8
10
=
x; y
10 1 ;
10 1 ;
KL: HPT có nghiệm là (
)
(
) 2;1 ;
3
3
3
3
;
2
2
+ +
+
+
= −
(1)
x
3 y x y xy
xy
5 4
Bài 11 (KA-2008): Giải hệ phương trình
4
2
+
+
= −
(2)
x
y
( + xy 1 2x
)
5 4
Phân tích tìm lời giải + HPT đã cho nếu biến đổi một chút ta sẽ thấy xuất hiện nhân tử chung:
2
2
2
2
+ +
+
+
= −
+
+
+
+
= −
x
3 y x y xy
xy
x
y
y
)
( xy xy x
)
5 4
5 4
⇔
2
4
2
2
+
+
= −
+
+
= −
x
y
x
y
xy
( + xy 1 2x
)
)
( (
5 4
2
= −
= ⇒ = −
+ + a b ab
b
a
a
b
0
2
+
x
y
5 4
5 = − − 4
5 4
⇒
⇔
+ Đặt
xy
2
3
2
= a = b
+
= − ⇒ = −
a
+ = − b
a
a
0
a
b
⇔
5 4
5 4
a + = 4
3 2
1 2
2
3
=
x
x
+ = y
0
5 4
=
⇔
a
0, b
+ Với
5 = − ⇒ 4
= −
xy
3
= −
y
5 4
= −
= − ⇒ =
a
; b
x 1; y
+ Tương tự với
1 2
3 2
25 16 3 = − 2
3
3
=
−
−
x; y
;
KL: HPT đã cho có nghiệm (
)
5 4
25 16
3 2
; 1;
3
2
3
2
−
−
=
+
−
x
3x
+ 9x 22
y
3y
9y
(1)
Bài 12 (KA-2012): Giải hệ phương trình
2
2
+
x
y
− + = x y
1 2
2
3
2
3
=
3x
x
3
−
−
+ 12 y 1 (3)
(2)
Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy (1) có x và y cô lập sang từng vế, hơn nữa bậc của đa thức với biến x và y đều là 3, vậy ta sẽ biến đổi (1) theo PP “hàm đại diện” − 9y 3 ( ⇔ −
+ 3y (
)
(
2
3
− ) x 1 ∈ ⇒
−
=
−
12t, t R
f (t)
4
t
+ Xét hàm số
− ) + y 1 ) , ta thấy f(t) không phải hàm đơn điệu,
+ 9x 22 y ) ( − = 12 x 1 ( = f '(t) 3 t
do đó ta cần đi tìm điều kiện sát hơn đối với biến t như sau: + Từ (2) ta biến đổi sẽ thấy:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 13
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
− ≤ − ≤
− ≤ − ≤
2
2
1 x
1
x 1
2
2
⇔
+
+
+
t
x
y
x y
x
y
= ⇒ 1
3 ⇒ − ≤ ≤ 2
3 2
1 − + = ⇔ − 2
1 2
1 2
− ≤ + ≤
− ≤ + ≤
1 y
1
y 1
1 2 1 2
3 2 1 2
1 2 3 2
− ≤ ≤ ⇒ t
f '(t) 0
f (t)
+ Như vậy với điều kiện của t là
< ⇒ là hàm nghịch biến.
3 2
x 2
y
3 2 x 1 y 1
+ Vậy từ (3)
+ ⇒ − = + ⇔ = − thay vào (2) và biến đổi ta
= ⇒ = −
x
y
2
) ( ⇒ − = f x 1 + = ⇔
−
4x
8x 3 0
được:
y
= ⇒ = − x
−
=
−
x; y
;
;
KL: HPT có nghiệm (
)
;
) ( f y 1 1 2 3 2 1 2
3 2 1 2 3 2
3 2
1 2
Nhận xét: Ta có thể giải HPT trên bằng PP đặt ẩn phụ như sau:
3
2
3
2
3
2
+
−
−
−
+
−
−
+
− x y
2xy
= 22 0
−
−
=
+
−
x
3x
+ 9x 22
y
3y
9y
)
( 3xy x y
)
( 3 x y
)
( 9 x y
)
⇔
2
2
2
+
x
y
− + = x y
+
−
=
− x y
2xy
− x y
)
(
)
1 2
( (
1 2
2
−
−
+
=
− 3ab 3a
6b 9a 22
0
= −
a
x y
⇒
+ Đặt
2
=
b
xy
+
− =
(1)
a
2b a
1 2
22a
⇒ = b
+ Từ (2)
thay vào (1) và biến đổi ta được:
+ 3 a − − 2a 1 4
= ⇒ =
2
b
a
3
2
−
+
−
2a
6a
+ 45a 82
= ⇔ 0
2
+
−
3 4 = 2a 41 0 (3)
a
=
+ =
= ⇒ = −
a
2
x y
2
x
y
⇒
+ Do phương trình (3) vô nghiệm nên với
=
=
b
xy
= ⇒ = −
x
y
3 4
3 4
⇔
3 2 1 2
1 2 3 2
=
−
−
x; y
;
;
KL: HPT có nghiệm (
)
;
1 2
3 2
3 2
1 2
2
2
(2)
x y
+ + 6
y x
+ = 3
7xy
(1)
Bài 13: Giải hệ phương trình
2
2
2
2
+ +
+ = +
+
x x
3 y y
2 x
6
y
y
0
(2)
Phân tích tìm lời giải + Nhận thấy HPT đã cho có thể giải bằng PP đặt ẩn phụ, tuy nhiên để đặt được ẩn phụ, ta = = không phải là nghiệm của HPT nên ta cần biến đổi một chút như sau: Nhận thấy x chia 2 vế của (1) cho xy
0≠ , còn (2) ta chuyển vế và nhóm nhân tử, ta sẽ được:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 14
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
)
(
2
2
+ y 6 + x 3 + = 7 x y + + 6 y x + = 3 7xy y x ⇔ + + + = + + 6 x x 2 x 3 y y y + − + + − = 3 x x x y y 6 y 2 (*)
(
)
( + Ở phương trình (*) ta biến đổi tiếp bằng cách “nhân liên hợp” (
)
+ − + − + = 6 y 3 x y x x y 2
2
2
3x 6y ⇔ + = 2 + + x 3 x y + + 6 y
2
2
2
3 6 ⇔ + = 2 + x 3 6 y + + 1 1 x + y
+ Đến đây ta đặt
2
+ y 6 + = = ⇒ = 7 a 5 b 2 y ⇒ ⇔ = = ⇒ = 2 a b + x 3 a b 3 + 6 + + b 1 a 1 7 2 7 2 = a = b x
+ Đoạn cuối bạn đọc tự giải, cuối cùng ta có đáp số (
)
3
3
2
x; y ; 4 15 8 15 1 2 = ; 1;
− − − = (1) x − 3x y 6y − + 9y 2 ln 0 − x 1 + y 1
Bài 14: Giải hệ phương trình
)
− + = + (2) x 1 log y 3 ( y log x 3 2
Phân tích tìm lời giải
+ ĐK:
3
+ Quan sát (1) ta thấy có thể cô lập được x và y sang từng vế, mặt khác x và y đều có mũ
cao nhất là 3, vì vậy ta sẽ sử dụng PP “hàm đại diện” để giải quyết, thật vậy:
3
3
2
0 > x > y
3
2
3
2
− − − = x − 3x y 6y − + 9y 2 ln 0 − x 1 + y 1
3
2
3
2
− + + + + + ⇔ − x 3x y 6y
( ⇔ −
) x 1
( ) − = 2 ln x 1 ) ( 3 x 1
) ( 9y ln y 1 ) ( 3 y 1
) ( − = ln x 1
(
) + y 1
)
(
+ + − + + + + ln y 1 (3)
2
3
2
+ Xét hàm số
, do
hàm đồng biến.
x 1 y 1
y
+ Từ (3)
+ ⇒ − = + ⇔ = − thay vào (2) ta được: x 2
) ( ⇒ − = f x 1
) ( f y 1
3 = + + = + f (t) t 3t ln t ⇒ > t 0 f '(t) 3t 6t 0, t + > ∀ > ⇒ f(t) là 0 0 1 t > x > y
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 15
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(
(
)
)
( log x 2
2
3
− − + − = + x 2 log x 3 x 1
( log x 3
)
( log x 2
)
2
3
) + x 1 − x 2
+ Nhận thấy phương trình (4) không dễ gì giải quyết được, vậy la dùng phương pháp hàm
số. Ta thấy (4) có 1 nghiệm là x
⇔ − + − − = (4) 0
5= , mặt khác ta xét hàm số:
( log x 3
)
( log x 2
)
2
3
= − + − − > g(x) , x 3 + x 1 − x 2
2
(
(
(
)
=
3 ⇒ = + + g '(x) > ∀ > 0, x 3 − − 1 ) x 3 ln 2 1 ) x 2 ln 3 − x 2
x; y
5;3
Vậy g(x) là hàm đồng biến
)
(
)
2
3
+
= 4y 8
x 5⇒ = là nghiệm duy nhất của (4). ĐS:(
Bài 15: Giải hệ phương trình
3
2
2
+
+
=
( y 3x 2 y x
) − + 2x 1 − 4y x 6y 5y
4
0= không phải là nghiệm của HPT nên:
Phân tích tìm lời giải + Ta nhận thấy hệ đã cho có thể cô lập được x và y sang từng vế để sử dụng PP “hàm đại diện” giải HPT. + Do y
2
3
2
2
3
3
3
2
2
3
( y 3x 2 y x
) − + 2x 1 − 4y x 6y 5y
( y 3x ( 2 y x
) − = − 2x 1 ) = +
+ Ta cộng vế của (1) và (2)
3
3
2
+ − = − (1) 2x 1 + 8 4y + = 4y 8 ⇔ ⇔ + + 4x 5 4 6y + + = 4 + + = + (2) x 4x 5 8 3 y 4 2 y 4 2 y 6 y 3x
(
) x 1
) ( 3 x 1
2
3
+ + = + ⇔ + + + = + (3) ⇒ + 3 x 3x 6x 4 3 6 6 2 y
+ Xét hàm số
8 3 y ∈ ⇒ = = 3 0, t R f '(t) 3t f (t) t 2 y + > ∀ ∈ ⇒ là hàm đồng biến f (t)
+ Từ (3)
thay vào (2) ta có:
( ) ⇒ + f x 1
2
= f ⇒ + = x 1 2 y + 3t, t R
3x
(
) + x 1
2
(1)
x
− − = x y
3
y − x y
⇒ + + = = + 4x 5 1 x (x; y) (1;1) + ⇔ = ± (với x 1= − không tìm được y) 2 y ) ( 3 x 1
Bài 16: Giải hệ phương trình
2
2
+
−
− =
(2)
y
3 2x 1 11
( 2 x
)
Phân tích tìm lời giải
− − ≥ x y 0
+ ĐK
− ≠ 0
2x x y 1 2
≥ x
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 16
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH + Ở phương trình (1) ta nhận thấy:
=
⇒ − − 2 y
0
- Nếu cho x
, bấm máy tính giải PT này ta có y 1=
3
=
⇒ − − 6 y
0
- Nếu cho x
2=
, bấm máy tính giải PT này ta có y
3
y − 2 y y − 3 y
3= 2=
− + = −
x 1 ⇒ = − ⇒ như vậy (1) sẽ có nhân tử chung là
(
y − − , bây giờ ta sẽ biến đổi (1) để ép nhân tử chung: ⇒ ta thấy y luôn kém x là 1 đơn vị ) x y 1 y x 1
2x
2x
+ Ta thấy
= < 0 x ⇒ = ⇒ x y x y 0 0 y − − ≠ vì : nếu 0 − − = thì theo (1) 1 2
= x 1
2
⇒ = x 0; y 0 = không là nghiệm của HPT, vậy từ (1) thực hiện nhân liên hợp ta có:
2
3
3
2
2
2
3
− − − y x x y y y ⇔ − = ⇔ − − = x − − = x y x y x y 1 − = 1 y − x y − − − − x x x y x x y
)
(
2
2
2
3
3
(
)
(
+ − + − − x y )( x y y 1 x ⇔ = + − − − − y x x y x x y + − + x y 1 − x y − − x y 1 )
(
)
) x y 1
(
2
2
2
3
3
(
)
(
)
+ Đến đây ta cần tìm cách chứng minh cho phương trình ở dấu ngoặc vuông vô nghiệm.
+ x y
(
)
1
+
≠
0
2
2
2
3
3
+
− −
− −
y
x
x y
x
x y
+
− x y
− + x y 1
(
)
)
(
1
>
0
3
3
+
− x y
− + x y 1
)2
(
2
+ Ta thấy
vậy ta chỉ còn chứng minh cho y
0>
x
− − > x y
0
2
− − > x y
0
0
x > x
3
x y 0
x y
y
0
x
+ Giả sử y 0< , vậy từ (1)
⇒ − < ⇔ − < ⇔ ≤ < (vô lý)
0⇒ > y
1 2
1
>
0
3
3
+
− x y
− + x y 1
(
)2
2
+ Như vậy với hàng loạt dữ kiện có được là
thì ta luôn có:
x
− − > x y
0
2
x
− − > x y
0
>
>
x
0, y
0
+ x y 1 ⇔ − − + = (*) 0 + − − − − y x x y x x y + − x y − + x y 1
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 17
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+ x y
(
)
1
>
+
y
0
, vậy từ (*) x y 1 0
− − = ⇔ = − x 1
2
2
2
3
3
+
− −
− −
y
x
x y
x
x y
+
− x y
− + x y 1
(
)
)
x 1
+ Thay y
( = − vào (2) ta được: 2
− = ⇔ −
+
−
3 2x 1 11
= − − 3 2x 1 10 0
(
)2 2x 1
( 2 2x
) + + 2x 1
4
=
− ⇒ +
−
2x 1
x
y
2
t
2x 1
t
3t 10 0
= ⇔ = ⇒ t
2
+ Đặt
3 − = ⇔ = ⇒ = 2
5 2
(1)
x y
− + = + x
2
y
)
(
) − − x y 1
Bài 17 (KB-2014): Giải hệ phương trình
2
−
−
+
−
−
−
(2)
2y
+ = 3x 6y 1 2 x 2y
4x 5y 3
− ( 1 y
− ≥
−
≥
≥
Phân tích tìm lời giải + ĐK: x y 0; y 0; x 2y 0; 4x 5y 3 0 (*) − − ≥ + Ta thử với phương trình (1) thì thấy quy luật sau:
0
= ⇒ −
− − +
x 1
1 y 1 y y
- Cho
( 1 y
)
= ⇔ 0
= ⇒ −
− +
0
y
x
2
2 y
= y = y 1 = ⇔ = y 1
- Cho
) − y 1
( 1 y
)
−
( x 1
Như vậy ta có quy luật y
= − , điều này chứng tỏ (1) sẽ có nhân tử chung là
(
) − − x y 1
−
(
) − − x y 1
− + = + x
x y
2
y
(
+ Bây giờ ta sẽ biến đổi (1) để ép nhân tử chung là ) ) − − x y 1
( − 1 y
=
+ − + − − 1 y x 2
y
0
(
) − − x y 1
− − x y 1
− −
−
( ⇔ − 1 y ( ) 1 y x y 1
+
− −
−
=
⇔
y
0
(
)( x y 1 1
)
− −
−
− −
−
x y 1 1 y
( ) 1 y x y 1
)
(
⇔
=
+
0
+
)( y
1
) )( − + x y 1 )( − + x y 1
+
=
− −
0
( ) ⇔ − 1 y x y 1
)(
1 − +
1 +
x y 1 1
y
0
= ⇔ = x 3
x 1
+ Với y 1= thay vào (2) ta có 9 3x + Với y
− = − thay vào (2) ta có
2
2x
2
⇔
− −
=
x 1
− 2 x
0
− − = x 3 ( 2 x
+
=
2 ⇔ − − x
0
(
) x 1 2
− 2 x ( ) − − + x 1
)
1 − +
− 2 x
x 1
5
1
2
⇔ − − ⇔ = x 1
x
x
± 2
5
5
=
x; y
3;1 ;
;
Kết hợp ĐK: (
)
(
+ 2
− + 1 2
) 1
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 18
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+
+
(1)
− + y 1 2y
+ = 1
x
x
+ xy 3y
Bài 18: Giải hệ phương trình
2
3
−
+
−
(2)
2x
= 11x 21 3 4y 8
≥
≥ 0
2
= ⇒ − +
= +
1 4y
x 1
Phân tích tìm lời giải + ĐK: y 1; x + Ở phương trình (1) ta làm phép thử sau: - Cho y 1 2y
, bấm máy tính giải PT này
2
= ⇒ − +
=
x
4
y 1 2y
+ 17 7y
, bấm máy tính giải PT này
2⇒ = y y 5⇒ =
x y 1 0
x 1
= + ⇔ − + = ⇒ (1) sẽ có nhân tử chung là
- Cho + Đến đây ta dự đoán quy luật y x y 1
− + , bây giờ ta biến đổi (1) để ép nhân tử chung:
2
2
+
+
x
+ xy 3y
2
2
−
⇔
+
+
+
−
x
− y 1
x
xy 3y 2y
0
x (
) − = 1
− + y 1 2y (
+ = 1 )
2
2
⇔
+
+
+
−
(3)
x
xy 3y 2y
0
(
) − = 1
− + x y 1 − + y 1 x
2
2
⇒ ∆ =
+
−
+
x
xy 3y 2y
1 0
− 3y 2
+ Ta coi
− = là phương trình bậc 2, ẩn x
(
)2
= −
x
2
⇒
⇔
−
+
− +
−
+
⇒ + 2 x
xy 3y 2y
− = 1
(
)( ) x y 1 x 2y 1
= −
− + = x y 1 0 − =
+
x
y 1 + 2y 1
x 2y 1 0
+ Vậy phương trình (3) tương đương với:
2
2
+
+
−
+
x
xy 3y 2y
0
(
) − = 1
− + x y 1 − + y 1 x
1
⇔ − +
+ +
−
=
(4)
x 2y 1
0
) x y 1
(
+
x
− y 1
1
+ +
− >
y
x 2y 1 0
+ Căn cứ vào ĐK của bài ta có :
, vậy từ (4)
⇔ = + x 1
+
x
− y 1
2
−
−
=
x 1
2x
3 11x 21 3 4x 4 (5)
3= (nhẩm hoặc bấm máy), vì vậy ta cần biến
x 3−
= + vào (2) ta được: + Thay y + + Ở phương trình (5) ta thấy có 1 nghiệm x đổi (5) để ép nhân tử chung là (
)
2
3
=
2x
+ 11x 21
2
3
3
⇔
− −
−
=
3
4x 4
2x
+ 11x 15
8
− (
−
)
⇔
=
−
−
(
)( x 3 2x 5
)
2
3
3
+
− +
− 4x 4
2 4x 4 4
− 4x 4 ) ( 12 x 3 )
(
12
−
=
(6)
x 3
− 2x 5
0
( ⇔ −
)
(
)
2
3
3
+
− +
− 4x 4
2 4x 4 4
(
)
+ Đến phương trình (6) ta lại gặp khó khăn khi xử lý phương trình trong dấu ngoặc vuông
12
12
−
=
(7)
− 2x 5
= ⇔ 0
− 2x 5
(
)
2
2
3
3
3
3
+
− +
+
− +
− 4x 4
2 4x 4 4
− 4x 4
2 4x 4 4
(
)
(
)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 19
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+
) ( 24 t 1
3
⇒
=
= −
=
f '(t)
f (t)
t
4x 4
+ Đặt
− ta xét hàm số
2
2
t
12 + + 2t 4
+
+ 2t 4
t
(
)2 + Ta cần phải tìm ĐK cho t để đánh giá hàm f(t), nhận thấy từ (5) ta có:
2
2
3
3
−
− ⇔
+
=
−
−
+
2x
= 11x 21 3 4x 4
3 4x 4
2 x
11 4
3
3
⇒
− ≥ ⇔
− ≥ ⇒ ≥ ⇒
<
3 4x 4
4x 4
t
f '(t) 0
47 8
47 24
47 8 47 24
12
⇒
=
f (x)
f (t)⇒ là hàm nghịch biến
là hàm nghịch biến, mặt
3
3
+
− +
− 4x 4
2 4x 4 4
(
)2
− là hàm đồng biến, hơn nữa nhận thấy phương trình (7) có 1
= 2x 5 3
3 x
x; y
3; 4
khác hàm số g(x) = ⇒ = là nghiệm duy nhất của (7). nghiệm x x ( 3⇒ = . ĐS: ( + Từ (6) =
)
)
−
−
(1)
y y 3
+ = − 2
)
( 2x x 3
Bài 19: Giải hệ phương trình
− =
+
(2)
( y y 8
)
3 x 2
3
3
2
−
−
Phân tích tìm lời giải + Quan sát hệ ta thấy (1) có thể cô lập được x và y sang từng vế, hơn nữa x có mũ 3, y nằm trong biểu thức chứa căn bậc 2 - đây là loại toán phổ biến - ta sẽ nghĩ ngay đến việc dùng “hàm đại diện” để làm. Cụ thể (1) biến đổi: ⇔ − x
+ = 2
+ y 3
+ y 3
3x
3
) ( − = 3 x 1
(
(
)
3
3
−
−
+
+ y 3
3 y 3
( ⇔ −
) x 1
) ( − = 3 x 1
) + ⇔ − x 1 y y 3 ) (
3
=
−
f (t)
3t
t
+ Đến đây thì ổn rồi, coi như là có lối thoát, ta xét hàm + Các bạn chú ý tìm điều kiện của t căn cứ vào ĐK của x và y nhé, cụ thể như thế này:
x
2
x 1 1
2
⇒ ≥
=
t 1
f '(t) 3t
3 0,
t 1
Do
, xét
− ≥ ∀ ≥ ⇒ f(t) đồng biến
≥ ⇒ − ≥ ≥ ⇒ + ≥
+ ⇔ − =
+ ⇔ = +
f
y 3
x 1
y 3
x 1
y 3
Vậy
+ thay vào (2) và bình
y 0 ) ( − = f x 1
2
) + =
+
y 1 1 ( 9 y 3
y
+ 8y 9 (*)
2
phương 2 vế ta được: + Phương trình (*) ta có thể dùng quy tắc giải phương trình cơ bản rồi bình phương 2 vế, tuy nhiên cách đó sẽ ra phương trình bậc cao, hơn nữa ta chỉ giải được nếu pt đó có nghiệm nguyên. + Bạn lấy máy tính bấm ta thấy pt (*) có nghiệm y = 1, vậy ta sẽ dùng cách thêm bớt rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử chung là y - 1 như sau: 2 +
+ =
⇔
=
+
(*)
9
+ − y 3 2
9 y 3
+ 8y 9
− 8y 9
y
y
(
⇔
=
−
+ ⇔ −
− −
=
9
y 9
0
(
)( y 1 y 9
) y 1
)
(
− y 1 + + y 3 2
9 + + y 3 2
)
− − <
y 9 0
+ Ta dễ thấy với y 0≥ thì
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;1)
9 + + y 3 2
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 20
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+
(1)
x
y
2
+
=
−
(2)
x
2 x y
+ = xy 1 4y )
+ )( 1 2 x
Bài 20: Giải hệ phương trình (
0≠ được
Phân tích tìm lời giải Nhận xét: Đối với pt (1) vế trái là đẳng cấp bậc 2, mà vế phải bậc 1, như vậy dạng toán này ta thường nghĩ đến việc khử ẩn bậc 1 nằm ở vế phải như sau: + Ta thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên chia 2 vế của (1) cho y
1
x y
4
phương trình :
+ + = (*)
2x + y
1
+ Ở phương trình (*) đã xuất hiện đại lượng
, điều này có nghĩa là ta sẽ biến đổi (2)
2x + y
1
để làm xuất hiện
và dẫn đến việc suy nghĩ sẽ giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ, trong
2x + y
1
=
a
đó có 1 ẩn phụ là
2x + y
3
2
−
x 2
2
2
2
2
2
⇔
+
− −
=
+
0
2 x x y 2x ( y 2 x
− = 2 0 ) 1
2
2
2
2
+ + ) + −
⇔
+
=
( x x y
x
y
)
+ Bây giờ ta thực hiện mở dấu ngoặc từ pt(2) sẽ được : ( + x y y )( 1 x y 2
) + + 1 ( = ⇔ +
( − x y 2 x ) ( + − 1 y x
= ⇔ 0 ) 1
) 1 ( 2 x
2
+
( x x ( x x ( x
) + + 1 ) + + 1 ) 1
⇔
=
+ − x y 2
(**) 1
(
)
y
1
+ Như vậy sau khi biến đổi pt(2) để làm xuất hiện đại lượng
, ta thấy xuất hiện
2x + y
+ − x y 2
, do đó từ (*) ta thêm bớt để thành như sau :
thêm một đại lượng nữa là (
)
1
⇔
+
=
x y
4
+ − x y 2
2
+ + = (*)
(
)
2x + y
+ 2x 1 y
2
x
+
=
+ − x y 2
2
(
)
+ Vậy cuối cùng thì hệ phương trình đã cho đã trở thành :
2
+
x
+ 1 y ) 1
=
+ − x y 2
1
(
)
y
(
1
=
x y 2
a
Bài toán đến đây sẽ giải bằng cách đặt ẩn phụ
, b
= + − quá dễ rồi nhé.
2x + y
x; y
Các bạn giải đoạn cuối sẽ có đáp số (
)
( = −
) ( 2;5 , 1; 2
)
3
3
3
+
−
= −
2xy
y
8 4y
Bài 21: Giải hệ phương trình
2
2
2
+
+
=
3 x y
− 4y x 6y 5y
4
2 3x y
Phân tích tìm lời giải + Trước hết, ta thấy mỗi PT của hệ đều có thể cô lập được x, y nên ta biến đổi như sau:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 21
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
2
3
3
3
+
8 4y
+
−
= −
2xy
y
8 4y
⇔
2
2
2
3
+
+
=
3 x y
− 4y x 6y 5y
4
+
+ 4x 5
4 6y
2 3x y
( y 3x ( 2 y x
) − = − 2x 1 ) = +
+ Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ nên ta biến đổi tiếp :
2
+
−
3
2
(1)
3x
) − = 2x 1
+
8 4y
⇔
3
3
+
+ 4x 5
4 6y
( y 3x ( 2 y x
) − = − 2x 1 ) = +
+
=
+
(2)
x
+ 4x 5
)
8 3 y 4 2 y
4 2 y 6 y
( (
+ Quan sát (1) và (2) rõ ràng ta cần phải cộng vế của chúng lại (sẽ làm mất đi lượng
)
4 2 y
2
+
+ =
⇒ + 3 x
3x
6x 4
+ (*)
8 3 y
6 y
3
3
3
2
+ ⇔ +
+ =
+
+
=
+
+
+
6x 4
3x
x
3
) ( 3 x 1
) x 1
(
2 y
6 y
2 y 2
3
∈ ⇒
=
=
+
f
+ Phương trình (*) nhận thấy VT và VP có “hình thức” gần giống nhau rồi, vậy chắc chắn đến đây sẽ dùng “hàm đại diện” để làm, vậy biến đổi tiếp tục nhé: 3 0,
f '(t) 3t
t R
3t, t R
(t)
t
8 3 y Ổn rồi nhé, giờ xét hàm số
+ > ∀ ∈ . Vậy f(t) là
+ =
f (x 1)
f
⇒ + = x 1
hàm đồng biến
thay vào (2) …(bạn tự làm đoạn cuối vì nó
2 y
=
2 y (1;1)
không khó). Cuối cùng có đáp số (x; y)
2
2
+
=
+
−
(1)
x
2y
8(x y) 3xy
Bài 22: Giải hệ phương trình
2
2
− +
− =
−
+
(2)
4 2 x
3 y
2x
y
5
≤
2
−
+
=
⇒ − 2 x
x(8 3y) 2y
Phân tích tìm lời giải + ĐK: x ≤ 2; y 3 + Ta thấy ở phương trình (1)
2
−
−
...
+ Ta coi (*) là phương trình bậc 2 với ẩn x, tính
≥ , 0
0 (*) 2 ) 8 3y
( = = −
) y 8
( 2 4.1 2y
) 8y
+
= −
− 8y ( ∆ = − − = x 2y 8 0
x
8 2y
⇔
⇔ +
+
−
từ đây tìm được 2 nghiệm
, vậy (*)
= (x 2y 8)(x y) 0
= −
+ =
x
y
0
=
x
2
x
2
⇒ +
≤ ⇒ +
= ⇔
x 2y 8
x 2y 8
+ Với x 2y 8 +
= ta thấy: với đk đề bài
x y ≤ ≤ ⇒ ≤
y 3
2y 6
= y 3
=
+
⇔ = − x
8 2y
thay vào (2) giải sẽ rất dài dòng)
2
+ =
− +
4 2 x
3 x
5
x
x= − thay vào (2) và biến đổi ta được :
+ (**).
(như vậy ta đã dùng cách đánh giá kết hợp với đk để có x = 2 ; y = 3, nếu bạn không biết kỹ thuật đặc biệt này thì từ x 2y 8 Bây giờ thay x = 2; y = 3 vào (2) ta thấy không thỏa mãn. Vậy loại bỏ trường hợp này ! + Với y Gặp dang phương trình (**), ta dùng máy tính để bấm nghiệm và thấy phương trình có 1 nghiệm là x = 1, như vậy ta sẽ nghĩ đến dùng PP “nhân lên hợp” để xuất hiện nhân tử chung là (x 1)− . Thật vậy, từ (**)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 22
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
+
=
−
+
⇔
+ −
=
(x 1)(x 1)
4
3 x
2
x
− ⇔ 1
4
(
) − − + 2 x 1
(
)
− 1 x − + 2 x 1
− x 1 + + 3 x
2
+ +
=
⇔ −
−
x 1
0
(1 x)
2
0
* TH1: 1 x
=
−
f (x)
+ + − ≤ ≤ x 1; 3 x
2
* TH2: Xét
1 4 + + − + 3 x 2 x 1 − = ⇔ = ⇒ = − 1 y x 1 4 − + 2 x 1
- Nhận thấy f(x) có 1 nghiệm x
1 + + 3 x 2 2= − , mặt khác:
2
1
=
+
>
x
f '(x)
0
⇒ f(x) là hàm đồng biến
⇒ = − 2
2
2
+
− 2 x
2 3 x
(
) − + 2 x 1
(
) + + 3 x 1
=
−
−
(1; 1); ( 2; 2)
là nghiệm duy nhất của f(x). Vậy HPT có nghiệm (x; y)
2
−
+ =
−
(1)
2x
11x 2y 9 0
Bài 23: Giải hệ phương trình
2
3
2
−
+
+
+
−
4x
(2)
+ 22x 21 y
3y
+ = y
(2x 1) 2x 1
x
+ ĐK:
2
=
−
(1)
11x
+ HPT
2
3
2
+
−
−
+
+
(2)
(2x 1) 2x 1
+ 21 y
+ = y
11x
3y
3
2
+ =
+
+
5y 3 (2x 1) 2x 1
3y
− (*)
3
+
2
− 2x 1
Phân tích tìm lời giải 1 ≥ 2 − 2x 2y 9 ⇔ ( ) 4 2x Thay (1) vào (2) ta có: + y - Nhận thấy (*) có vế trái là đa thức bậc 3, vế phải có căn bậc 2, hơn nữa x và y đều cô lập ở mỗi vế, do đó ta sẽ nghĩ đến PP hàm số để giải quyết tiếp, thật vậy từ (*) ) ( + = 2 y 1
( ⇔ +
) y 1
(
3
3
+
+
−
2. 2x 1
− 2x 1
( ⇔ +
) y 1
) ( + = 2 y 1
2
3
=
=
( f '(t) 3t
2 0
f (t)
t
+ ⇒ 2t
) − + 2x 1 ) + > ⇒ f(t) là hàm đồng biến
− ⇔ + =
2x 1
y 1
f
2x 1
− thay vào (1) ta có:
- Đến đây ổn rồi, ta xét hàm ( ) ( ⇒ + = f y 1
)
2
−
≥
2x
x 1
y
0
2
− =
−
+ ⇔
⇔
2 2x 1
2x
11x 11
2
2
= ⇒ = = ⇒ =
5
y
x
2
−
2x
) ( − = 4 2x 1
+ 11x 11 0 (
) + 11x 11
3
+
=
2x
3 3x y 1
Bài 24: Giải hệ phương trình
3
−
=
xy
2x
3
3
=
+ 2 3y
=
+ 2 3y
3
3
+
=
2x
3 3x y 1
y
2
⇒ + 3
⇔
⇔
=
⇒ − = 3
+
(*)
2 3y
y
2 3. 2 3y 3
3
3
− 3
y
2
−
=
3
2x
xy
3
− = 2
y
=
Phân tích tìm lời giải + Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của hệ nên sẽ biến đổi như sau:
− 3
1 3 x 3 x 3
3
3
− =
=
3y
2 3t
1 x 1 x + ⇒ = + ⇔ − = 2 3y
2 3y
2 3y
t
t
t
, mặt khác từ (*) có
+ Đặt ẩn phụ
.
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 23
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
− =
y
2 3t
Như vậy ta có HPT
, lấy (3) - (4) ta được:
3
− =
(3)
2 3y
3
3
2
2
2
−
=
− ⇔ −
+
+
+
+
3(t y)
y
t
(y t)(y
yt
t
3) 0
t
(y
t
3) 0
= ⇔ = (do y
> )
= − −
(x; y)
( 1; 1); 1;
Đến đây thì coi như bài toán giải quyết xong. ĐS:
+
+
yt 1 2
2
2
−
−
=
x
2y
7xy
6
t (4) 2
Bài 25: Giải hệ phương trình :
2
2
2
2
+
+ +
−
+ =
+
+
x
2x 5
y
2y 2
x
+ 2xy y
9
Hướng dẫn làm bài
2
2
2
2
2
+
=
+
+
+ x y
3
2
2 1
(*)
Từ (2)
( ⇔ +
(
(
)
=
+
=
) x 1 (cid:1) (x 1; 2), v
(cid:1) Xét u
+
−
Từ (*) ta có
thay vào (1) và giải hệ ta
(cid:1) u
= ⇔ + = x
y
|
|
|
|
|
2 2(
1)
− ⇒ + = (y 1;1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) + ≥ + ⇔ u v v | −
) + − y 1 (cid:1) (cid:1) u v x y
+ (x y;3) 2 1 1 1
= −
−
−
(x; y)
( 1;1);
;
có
7 2
1 4
− +
−
=
x 12 y
2 y(12 x ) 12
Bài 26 (KA-2014) Giải hệ phương trình :
3
−
− =
−
x
8x 1 2 y 2
2
⇔
−
=
x. 12 y
y. 12 x
12
Hướng dẫn làm bài Từ (1) − +
2
=
=
(cid:1) u
− ( 12 y; y )
(cid:1) ⇒ = u
(cid:1) 12, v
12
Xét
2
≤
≤
⇔
− +
−
≤
(cid:1) − (x; 12 x ), v (cid:1) (cid:1) u . v
(cid:1) (cid:1) u.v
= (cid:1) (cid:1) u.v
x. 12 y
y. 12 x
12
Ta có
2
2
⇔ =
−
=
y 12 x
Dấu “=” khi
thay vào (2) để giải hệ phương trình …
x − 12 y
− 12 x y
2
+
+
=
+ − y
( ) 8 1
)
)(
(
xy x y 1 1 4
Bài 27: Giải hệ phương trình:
3
3
+
+
=
−
4 x y
2 x y
( ) 14 2
−
>
−
+ − y
y
y
y
0
x x 3 2 26 2
Hướng dẫn làm bài ĐK: y ≥ 0 Ta có 4
= do đó từ phương trình (1) suy ra x>0; y>0
2
⇔
+
+
=
xy
x
+ − y
y
+ + y
y
+ + y
y
1
1
4
4
8
4
( ) 1
)(
)
(
(
2
2
⇔
+
+
=
+
=
+
xy
x
x
y
x
x
2
1
1
4
1
+ 1
)( (
) + + ⇔ + y
(
)
) 4 y
2 y
2 y
2
2
+
=
+
+
⇔ + x
(3)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
x x 1 1 2 y 2 y 2 y
Trang 24
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
t
2
2
+
+
+
f
t
t
f
= + t
t
t
'
= + 1
1
0;
0
1
Xét hàm số
( ) t
( > ∀ ∈ +∞
)
( ) t
trên (
) 0; +∞ . Có
2
+
t
1
0; +∞ .
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên (
)
=
Mà phương trình (3) có dạng
( f x
)
=
y
Thay
vào phương trình (2) ta có :
4 2 x
3
3
2
3
2
3
−
+
+ =
+
−
x
x
x
x
14
6
13
14
3
3
3
3
+
−
−
+
=
−
x
x
x
2
2
14
8 2 )
+ = x 4 ( ) 14 4
x (
− ⇔ − )
3
=
u
u
26 12 ( ( ) ⇔ − x + trên R
2
=
1 0
u 3
( ) g u + > ∀ ∈ u R
Xét hàm số ( ) g u '
Có Suy ra hàm số g(u) đồng biến trên R mà phương trình (4) có dạng:
1
2
)
3
3
3
3
2
−
=
− ⇔ − =
− ⇔ −
+
g
x
x
x
x
x
2
14
2
14
6
12
+ = ⇔ 6 0
( g x
)
(
)
loaïi
1
2
( (
nhaän )
= + x = − x
+
y =
− 12 8 2
− 2;12 8 2
⇒
)
2
2
+
− = −
−
−
f x y 4 2 x 2 y 2 ⇔ = ⇔ = y
2
2
4
2
x x y y
Bài 28: Giải hệ phương trình
2
+
−
=
− − y
6
11
− 10 4
2
0
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 1
2
+
x x x
Hướng dẫn làm bài y
4
+ ≥ 2
0
Điều kiện:
2
−
+
y
≥ 10 0
2
− 4 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
−
−
−
x
2 x 2 )
x
− 14 4
2
2
−
+
=
−
=
≤
y
x
x
x
6
11
− 10 4
4(10 4 2 2
2
+
−
≤
− ⇔ −
+
−
x
x
x
x
y
x
y
11) 14 4
2
10
2
4(
6
x 4 ≤ (3) 15 0
Rút gọn ta được: + Tương tự phương trình (1) :
2
−
−
y
y
2
2
2
2
2
+
− = −
−
+
+
x
x
y
y
x
y
y
2
2
4
− ≤ 2
⇔ + x 2
4
4
3 0
− ≤ (4)
− 4 2
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:
= x
2
2
2
2
−
+
+
+
≤ ⇔ −
+
+
x
x
y
y
x
y
3
6
6
12
3(
0
1)
(
3)
0
Kết hợp với điều kiện đề bài, suy ra nghiệm hệ phương trình là
1 ≤ ⇔ = − y 3 − S = (1, 3)
2
2
+
+
=
+
x
xy
y
y
2
2
x 2 (1)
x x
Bài 29: Giải hệ phương trình:
y x
y
x
− + + = 1
2. (2)
x
Hướng dẫn làm bài y− + ≥ ĐK:
1 0.
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 25
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
= x
2
2
2
+
−
+
−
= ⇔ −
+
−
⇔ − x
y
xy
y
y
x
x
y
(1)
2
2
0
(
y x )(
2
2)
y = −
x
(3) y 2 2 (4)
= ⇔ 0
• Từ (3) & (2) ta có x = y = 1.
=
=
x
y
2
= −
x
y
2 2
• Từ (4) & (2) ta có
=
x
;
.
=
y
y
y
− 3 3
2
⇔ = − y
0; 1 3
8 3
=
=
=
−
x y ;
x y ;
x y ;
;
.
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (
)
( ) ( 1;1 ;
)
(
) 2;0 ;
(
)
8 3
1 3
2
2
2
2
2
2
xy
y
xy
y
x
xy
y
x
3
7
4
5
6
3
2
)
+ − + + − = − −
Bài 30: Giải hệ phương trình:
2
2
xy
y
10
34
( 47
2
+ = x 4 + x 3
Hướng dẫn làm bài 2 y − ≥
−
xy 2
0
ĐK:
2
2
+
−
≥
xy 3
y 7
0
x 3 x 4
Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình ( )1 , ta được:
y
1
2
2
+
−
+ = ⇔
xy 5
y 6
0
4
( x
)
2
2
2
2
= −
y 6
y
+
−
+
−
x 4
xy 3
y 7
x 3
= x x
y
1
2
x
+ Với x
1
y= thay vào ( )2 , ta được:
1
2
x
+ Với
;
6
y= − thay vào ( )2 , ta được:
x ⇒ = − 6 47 82 y 82 = ⇔ 47
x ⇒ = 6 47 82 47 82 47 82
KL:
) 1; 1 ,
xy − 2 = ⇒ = x 1 = ⇔ = − ⇒ = − x y 1 = y = − y 47 82
3
+
y
x
− = x
− − x
y
2
2
1
3 1
S ; 6 = − − − ; 6 47 82 47 82 47 82 − ; ( ) ( 1;1 ,
Bài 31: Giải hệ phương trình sau
2
+ =
+
+
y
x
xy
x
1 2
2
1
Hướng dẫn làm bài Đk: 1 − ≤ ≤ 1x
3
−
+
−
+ = y
x
x
y
2
1
1
2
- Hệ phương trình
2
( +
x
xy
x
1 2
2
)3 + 1
≥
−
y
x
0
1
⇔ + = y ( ) 1 ,
=
(Do hàm
f
t
+ luôn đồng biến)
32 t
( ) t
2
+ =
+
+
y
x
xy
x
1 2
2
1
( ) 2
= y ⇔
2
2
⇔ − + =
+
−
x
x
x
x
1 2
1
2
1
- Ta có (2)
2
2
−
−
x
x
x
⇔ + x 2
1
1
2
− − = 1 0
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 26
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
=
= −
=
x
t
x
t
x
t
cos
cos
1 2s in
⇒ − = 1
2 sin
- Đặt
với
, ta có
[ ] π∈ 0;
t 2
t 2
2
+
−
t
t
c 2 os
t 2 cos sin
2 sin
- Nên phương trình (2) trở thành
− = 1 0
t 2
= −
+
∈
⇔
⇔
+
=
k t
2 sin
(
) ℤ
+
= t
π 3 π 5
π 4 3 π 4 5
k t 2 sin 2 k π 4 t 2
0;
] π
[
π 5
là nghiệm của hệ phương trình.
=
π = ∈ 5 π
c os t
=
2 sin
( ) l
⇔
= x ⇔
π 10
2
2
+
+
=
t y
1
x y xy 2 + y x
Bài 32: Giải hệ phương trình:
2
−
+ = y
x x y
Hướng dẫn làm bài
2
2
+
+
=
( ) 1 1
+ >
ÑK : x y
0 , ta có
2
−
x y xy 2 + y x
+ = y
( ) 2
2
3
−
+
− = ⇔ +
−
+
+
−
+
=
x x y
2
2
1 0
2
0
)
( ) 1
(
)
( xy x
)
(
)
+
+ − =
x
x
y
y
y
2
0
( ⇔ +
)
( xy x
) 1
+ + −
=
y xy x y y xy x y
2
0
) 1
( ⇔ + x ( ) ( ) ( ⇔ + − x 1
y y y xy xy 2 + x y ) 2 1 − − )( x
+ = y
1
2
2
+
+ x ( ) 3 + + = y
x
0
( ) 4
( ⇔
2
x x y
− = y
1
x
+ = y
1
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được =
y
⇒
Giải hệ
(nhận)
2
0 =
x x
y
2;
3
− = y
x
1
= 1; = − Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (-2;3).
x3 +12 y 2 + x + 2 = 8y3 + 8 y
x
Bài 33: Giải hệ phương trình:
x 2 + 8 y3 + 2 y = 5x
Hướng dẫn làm bài
3
Error! Objects cannot be created from editing field codes. x
(1)
3 ⇔ + = 3
x =
=
f (t)
2 f '(t) 3t
t
+ > . 1 0
=
− ⇒ =
x
− 2y 1
+ Ta có − + − (2y 1)(*) (2y 1) ⇒ + Xét hàm số + ∈ t, t R Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R. Từ (*) ta có: f (x) f (2y 1) + Thế x = 2y - 1 vào (2) giải ra được y = 1 hoặc y = 6 thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1), (11;6)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 27
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
+
xy
+ − x
y
− = y
y
3
5
4
Bài 34: Giải hệ phương trình
2
− − +
− = −
y
x
y
x
4
2
1
1
+ x
Hướng dẫn làm bài
2
y
− ≥ y
xy
+ − x
0
2
− − ≥
2 0
Đk:
x y 4 − ≥ y 1 0
−
+
−
⇔ − + x
y
x
y
y
y
3
4(
Ta có (1)
+ = 1) 0
(
)(
) 1
=
−
=
u
x
y
y v ,
Đặt
+ ( 1
≥ ) 0
= u
2
2
+
−
=
u v≥ 0,
4
0
Khi đó (1) trở thành :
4 (
)
⇔
−
y
y
y
u v uv 3 v = − u v vn
1
24 y
2
− + 3
− = 1
2
Với u
v= ta có
⇔
−
y
y
y
24 y
2
− − 3
2
(
) − + 1
+ , thay vào (2) ta được : ) − − = 0 1 1
(
−
y
2
2
2
⇔
+
=
+
=
y
0
2
0
( ⇔ −
)
2
2
y
− y 2 − + y 1 1
1 − + 1 1
−
− +
−
−
−
y
y
y
4
2
3 2
1
y
y
y
( 2
) − + 3 2
4
1
2
+
> ∀ ≥
x y= 2
0,
1
y⇔ = (vì 2
)
2
1 − + 1 1
−
− +
−
2
3 2
1
Với
y y y y y
4 5x = . Đối chiếu đk ta được nghiệm của hệ PT là (
)5; 2
3
+
+
+ =
−
−
x
x
y
y
2(2
1)
2
1 (2
3)
2
y = thì 2
Bài 35: Giải hệ phương trình
x
y
4
+ + 2
2
+ = 4
6
Hướng dẫn làm bài
≥ −
≥
x
y
- Điều kiện xác định:
,
2
3
=
+
f
t
1 2 t
- Xét hàm số:
t 2
∈ +∞ 0;
(
)
t ( ) 2
=
+ >
f
- Suy ra
nên đây là hàm số đồng biến
t 6
t '( )
1 0
−
f
x
f
y
x
y
- Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
(2
+ = 1)
(
− ⇔ + = 2
2)
1
2
y
- Thay vào phương trình thứ hai ta được: 4 4
2
+ = 4
6 (*)
4
=
+ −
y
y
y
- Xét hàm số
g y ( )
4
− + 8
2
4 6,
∈ +∞ 2;
− + 8 (
y )
=
+
> ∀ ∈ +∞ y
nên g(y) đồng biến
g y '( )
2;
0
(
)
4
−
+
1 y
1 y
4
8
2
4
- Hơn nữa g(6) = 0 nên (*) có duy nhất 1 nghiệm là y = 6
=x
Với y = 6 ta có
1 2
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 28
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+
=
+
1
x y
y x
7 xy
Bài 36: Giải hệ phương trình :
+
=
x xy
y xy
78
Hướng dẫn làm bài ĐK: x, y> 0.
xy
7
=
xy
. Đặt t
. (ĐK: t>0)
=
+
y
78
= −
t
) t
−
⇒ + 2 t
t
⇔ t = 6
7
= . 78 0
⇔
+
=
y
78
( ) 13 l ( 6 n
)
+ = + y x ⇔ ( xy x + = + y x 7 ⇔ ( ) t x
= t
= x y
4 9
13
. Vậy hệ pt có 2 nghiệm là : (4;9) ; (9;4)
+ = y =
x xy
36
9
⇔
y
=⇔ = x =
2
−
+
−
=
−
y
x
y
x
y x )(
3
3)
(
3 1) .
∈ x y R ( ,
)
Bài 37: Giải hệ phương trình
.
3
2
3
−
x
− + y
x
y
2
− = 4
2(
2)
4 − (1
2
2
≥
− ≥ y
y
x
⇔
ĐKXĐ:
≥
≥
x
y
1,
x
y 0, y≥ 1,
1y > thì pt (1) của HPT
1 2
2
Hướng dẫn làm bài x 0 ≥ ≥ x 1 1 = không là nghiệm của hệ. Xét - Nhận xét −
− −
+
−
−
+
x
y
y
x y (
x y (
1)
1)
1)
(
= 0
1) 3( 2
⇔
+
=
− + 3
0
x −
x −
x −
y
y
y
1
1
1
4
2
3
=
>
+
t
t
,
0
t
t
t
t
2 + + t
t
+ + − = ⇔ − 3 0
t 2
3
1.
0
. Khi đó, pt (1) trở thành:
= ⇔ = t
(
)( 1
)
x −
y
1
= ⇔ = + y
x
1
1
- Với t = 1, thì
, thế vào pt(2), ta được
x −
y
1
2
3
3
3
3
− − +
−
=
x
x
x
x
2 − ⇔ − − + x
x
x
x
1 2
− = 4
2
1 2
− − 4
0
(
) 1
(
) 1
2
x
− − x
1
2 ⇔ − − +
=
x
x
1 6
0
2
2
3
3
3
3
−
+ +
−
−
x
x
x
x
4
− + 4
(
) 1
(
) 1
(
)
2
x
− − x
6
1
+
=
2 ⇔ − − x
x
0
2
2
3
3
3
3
−
+ +
−
−
x
x
x
x
4
− + 4
(
) 1
(
) 1
(
)
1 1
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 29
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5
1
2
⇔ − − = ⇔ =
≥
x
x
x
x
1 0
.
(
) 1
+ 2
1
5
5
1
5
3
=
- Với
x
⇒ = y
x y ;
5 3 ;
.
.
Đối chiếu ĐK, HPT có nghiệm (
)
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
=
2
+
2
x
+ 1
1 2
−
=
−
2
8y 4
x
( 3 2 y
)
Bài 38: Giải hệ phương trình
2
+ x y
(
)
+
+ =
2
x y
3 2
7 2
≥
Hướng dẫn làm bài ≥ Điều kiện: x 0; y 0
4
4
x
+ 1
2 y
+ 1
(
)
(
)
⇔
=
+
⇔
=
+
(1)
2
2
f ( x )
f (2 y )
x
3
( 3 2 y
)
4
4t
+ 1
3
t
=
+
f (t) 2
3t, t
= f '(t) 4t .2
+ 1 + > .ln 2 3 0,
0
- Xét hàm số
≥ t 0
) ( ≥ có
2
(5 y)
=
+
=
f (2 y)
⇔ = x
4y
2
5y
(3)
Do đó: f ( x )
thế vào phương trình (2) ta có:
3 2
7 2
2
2
5y
5y
(
)
(
)
⇒
=
+
+
g(y)
2
5y
= g '(y) 50y.2
.ln 2
0, y
- Xét hàm số
> ∀ > 0
3 2
3 4 y
=
g
y
- Mà
; suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
1 = 5
1 5
7 2
=
=
x
; y
Do đó hệ có nghiệm
4 5
1 5
3
3
2
−
+
+ =
x
y
y
+ − x
y
3
4
2 0 (1)
Bài 39: Giải hệ phương trình:
3
+ − =
x
x
x
y
3 2
+ + 2
(2)
3
3
2
−
+
y
y
x
y
y
3
2
2
) 1
(
) − + . 1
3
f
t
t
( 2;− +∞ .
Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x ≥ − . 2 3 ⇔ + + = y x x (1) 2 ( ) t
3 + ⇔ + + = − x 4 = + + trên [ ) 2
2
=
f
t
f
t 3
'
1 0,
2;
- Ta có:
2;− +∞ .
- Xét hàm số ( ) t
) + > ∀ ∈ − +∞ . Suy ra hàm số
( ) t
)
[
đồng biến trên [
x
x
x
y
1
- Do đó:
y= − . Thay 1
x= + và phương trình (2) ta được:
x
x
2
2 2
2 2
+ + 2 1 )
(
2
3 ⇔ − =
+
+
=
x
x
x
x
x
8 2
2 2
2
2
4
(
)(
)
(
) + − ⇔ −
x
3 3 2 − = )( + + 2 2
+ + )
+ − (
−
x
2
2
2
2
2
+
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
+ − 4
0
( ⇔ −
( ⇔ −
)
)(
)
+ +
( x
x
) + + 2 2
2 2
)
(
(
)
x
x
y
0
2
2
*
− = ⇔ = ⇒ = 3
2
2
2
2
+
= ⇔ +
x
x
x
x
*
(*)
2
+ − 4
0
2
+ = 4
+ +
+ +
x
x
2 2
2 2
(
)
(
)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 30
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
=
+
+
+ ≥
=
VT
x
x
x
VP
x
2
+ = 4
3 3;
2;
1,
Ta có
(
) 1
)
[ ≤ ∀ ∈ − +∞
x
2 + + 2 2
2;3
Do đó phương trình (*) vô nghiệm.
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (
) x y = ;
(
)
−
=
1
x
2
12 + y 3x
Bài 40: Giải hệ phương trình
+
=
1
y
6
12 + y 3x
Hướng dẫn làm bài Điều kiện: x > 0 và y > 0.
−
=
−
=
1
x
2
(1)
12 + y 3x
=
(2)
+
=
1
y
6
12 + y 3x 12 + y 3x
2 x 6 y
1 ⇔ + 1
12 + y 3x
=
+
+
(1) + (2):
(*)
2
⇔ = 1
2 x
6 y
1 x
=
−
(*) ⇔
−
+
=
(2) – (1):
12 + y 3x
12 + y 3x
3 y
1 x
1 x
3 y
3 y
1 x
3 y
= y
2
2
⇔
=
−
=
⇔ + y
− 6xy 27x
0
3x = −
y
9x
12 + y 3x
9 y
1 x
⇔
⇒ =
+
So với điều kiện, nhận y = 3x 4 2 3 (*)
⇔ = + x
y 12 6 3
4 2 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm
=
+ y 12 6 3
= + x
6
2
3
2
+
+
+
x
x
y
y
y
3
6 (1)
Bài 41: Giải hệ phương trình:
2
−
+
+ + + =
y
x
x
y
x
2
8 7
(2)
3 (
− = 4 ) 1
2
x
y+ + ≥ 8 0
Hướng dẫn làm bài * Ðiều kiện:
3
3
3
6
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
⇔ + x
x
y
x
x
x
y
y
3
3
3
3
(
) 1
(
) + ⇔ 1
(
) 1
(
) + 1
(
)
* PT(1)
⇔
=
2( f x
)
( f y
+ với f(t) = t3 + 3t ) 1
t⇒ f ( )
t R∀ ∈
đồng biến trên R
* Ta có: f’(t) = 3t2 + 3 > 0
2
=
y
f x (
)
Do đó:
2 + ⇔ = + x 1
( f y
) 1
* Với y = x2 – 1 , pt (2) trở thành: https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 31
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
2
+
+
x
x
x
x
2 ⇔ + − x
x
x
+ − − = x
2(
− − 1)
2
7
2
7
2
2 0(*)
7
+ − + = 7 0
(
) 1
(
) 1
2
−
+
=
+
≥
t
x
t
x
t
22 x
t 7, (
7)
- Ðặt
, pt(*) trở thành:
− − = (**) 2 0
(
) 1
∆ =
- Ta có:
nên (**) có hai nghiệm: t = x + 2 hoặc t = -1 (loại)
(
)23x +
x
x
≥ − 2
≥ − 2
2
⇔
⇔
⇔
x
+ = + ⇔ x
2
7
2
- Với t = x + 2
2
2
2
= =
x x
1 3
+
+
−
+ =
x
x
x
x
x
2
+ = 7
4
4
4
3 0
* Với x = 1 ⇒ y = 0 (nhận)
y⇒ = (nhận) 8
* Với x = 3
Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)
2
+
xy
+ = 2
2
Bài 42: Giải hệ phương trình
2
2
2
+
+
+
−
y
x
x
x
x
2
2
+ = 3
2
x 4 .
(
y x ) 1
Hướng dẫn làm bài
∈ℝ
ℝ .
ĐKXĐ: x
; y∈
2
2
2
= ⇔ =
Ta có
xy
y x
y
x
x
y
+ = 2
+ ⇔ 2
+ − 2
2
)
(
2
x
x
+ − 2
2
⇔ = y
x
x (1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
+ + 2
2
2
2
2
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
+ + 2
2
2
+ = 3
2
4
(
) 1
)
(
2
2
+ +
+
+
+
x x
x
x
x
x
.
⇔ + 1
2 2
2
+ = 3
0
(
) 1
2
2
+
+
+
−
+
+
x
x
x
(*)
2
2
( ⇔ + x
(
) 1
( = −
)
(
)
) 1 1
1
2
=
+
+
f
t
t
- Xét hàm số
với ∈ ℝt
. Ta có :
t ( )
1
2
)
(
2
2
ℝ
= +
f
t
> ∀ ∈ ⇒ t
f
đồng biến trên ℝ .
t '( ) 1
+ + 2
0,
t ( )
t 2
+
t
2
+
=
− ⇔ + = − ⇔ = −
.
- Mặt khác, phương trình (*) có dạng
f
x
x
x
x
f x (
1)
(
1
)
1 2
Thay
vào (1) ta tìm được
.
= −x
1=y
1 2
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 32
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+
+ =
+
2 x y
x
x x y
1 2
2
Bài 43: Giải hệ phương trình:
x y ∈ R . ( ,
)
6
2
2
− +
−
+ =
y x
y
3 y x (
1) 3 (
+ 2) 3
4 0
Hướng dẫn làm bài
2 −≥yx 2
Điều kiện:
. Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2)
3
3
2
+
=
−
+
+−
−
6 yx
2 yx
y
y
y
y
⇔)2(
3
3
3
(31
)1
3
3
+
=
−
+
−
⇔
2 yx
2 yx
y
y
(
)
3
(
)1
(3
)1
(3)
2
=
3 +
+ > ∀ ∈ R
f
t
t
f
t
= t '( ) 3
t )(
t 3
- Xét hàm số
có
⇔
=
≥ −
2 − ⇔ = − x y
y
y
(3)
2 f x y (
)
f y (
1)
1, (
1).
- Do đó
Thế vào (1) ta được:
2
2
+
+
⇔
−+
−+
=+
2 yx
x
yx
x
y
yx
yx
yx
212 =+
1
(
2)1
⇔=++ 011
(
)11
⇔= 0
11
- Do đó hệ đã cho tương đương với :
2
2
+
=
2 yx
x
y
x
1
−= 2
=+
yx
11
2
2
2
⇔
⇔
−
+
=
−= y
x
x
1
)
)4(1
2 yx
−= y
1
2 yx > x
x x
0
2( > 0
4
2
2
2
2
2
2
−⇔=+
−
=−+
−⇔ x
x
x
x
x
x
x
)4(
3
01
(
)1
−−⇔= x (
0
)(1
)1
0
5
1
=
3 0,
5
5
⇔
=x
=x
hoặc
. Do x > 0 nên
1+ 2
1+− 2
5
=
x
± 2 ±− 1 2
5
1
5
1
5
5
1
=
=
x
=⇒ y
=⇒ y
- Với
. Với
.
+ 2
− 2
+− 1 2
+ 2
1
5
1
5
5
1
5
=
=
x x
)
;
)
;
Vậy hệ đã cho có nghiệm
,
+ 2
− 2
+− 1 2
+ 2
6
2
3
2
+
+
+
x
x
y
y
y
3
6
yx ;( yx ;(
Bài 44: Giải hệ phương trình sau:
2
−
+
+ + + =
y
x
x
y
x
2
8 7
3 (
− = 4 ) 1
Hướng dẫn làm bài
Đáp án:
2
Điều kiện:
3
3
3
6
2
2
2
=
+
+
+
=
+
+
⇔ + x
x y+ + ≥ 8 0
3
3
3
3
* PT(1)
(
) 1
(
) + ⇔ 1
(
) 1
(
) + 1
(
)
⇔
=
2( f x
)
( f y
+ với f(t) = t3 + 3t ) 1
t⇒ f ( )
t R∀ ∈
đồng biến trên R
* Ta có: f’(t) = 3t2 + 3 > 0 https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
x y x x x y y
Trang 33
2
=
y
f x (
)
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Do đó:
2 + ⇔ = + x 1
( f y
) 1
2
2
+
x
x
x
x
2(
− − 1)
2
7 0
7
* Với y = x2 – 1 , pt (2) trở thành:
+ − + =
(
) 1
2
2
+
x
x
x
+ − − = x
2
+ − 7
2
2 0(*)
7
(
) 1
2
−
+
=
+
≥
t
x
t
x
22 x
7)
Đặt
, pt(*) trở thành:
− − = (**) 2 0
(
) 1
∆ =
Ta có:
nên (**) có hai nghiệm: t = x + 2 hoặc t = -1 (loại)
(
)23x +
x
x
≥ − 2
≥ − 2
2
⇔
⇔
⇔
x
+ = + ⇔ x
2
7
2
Với t = x + 2
2
2
2
= =
x x
1 3
+
+
−
+ =
x
x
x
x
x
2
+ = 7
4
4
4
3 0
* Với x = 1 ⇒ y = 0 (nhận)
* Với x = 3
y⇒ = (nhận) 8
Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)
3
2
−
+
−
=
t t 7, (
6
3
5
14
(
)
ℝ
∈
y y x y x y ,
Bài 45: Giải hệ phương trình :
(
)
3
2
+
−
− + x
3
+ = 4
5
− 3 x
y x y
Hướng dẫn làm bài
Đkxđ
y
3 ≥ − 4
≤ x
3
2
3
2
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
x
x
y
y
x
y
x
y
3
2
3
2
2
2
2
0
Từ (1) ta có
(
)
(
( + ⇔ − −
)
)
( x y
)
(
)
3
x⇔ = − y
. Thế (3) vào (2) ta được
( ) 2 3
2
3
3
−
−
x
− = x
x
+ + − 2 1
3
0
1
x −
3 x
− + − x 4 2 4 = 0
+ + x 2 ( ⇔ − x 2
)(
+ − = x x x ) )( + − + x 1 2
4 x +
x
2
2
1
+
+
=
x
x
2
2
0
( ⇔ − x
)(
) + − 1
+
+
+
−
) (
x
2 − ⇔ + x − x 2 2 + − + + x 3 1 1 x 3
2
1
2
+
+
+
+
−
−
=
x
x
x
2
2
1
0
( ⇔ −
)(
)
1 3
1 3
+
+
+
−
) (
1 x
x
2
2
1
1 3
x
x
+
+
=
x
x
2
2
0
( ⇔ − x
)(
) + + 1
+
+
+ +
+
−
+
−
x
x
x
x
2
3
3
2
( 3 2
+ 1 )(
) 2 1
( 3 1
)
+ 1 )(
) (
+
+
+
+
=
x
x
2
2
0
( ⇔ − x
)(
)
+
+
+ +
+
−
+
−
x
x
x
x
2
3
2
3
( 3 2
1 )(
) 2 1
( 3 1
)
1 )(
) ( 1
x
x
≥ − ⇒ ≥ − ⇒ + +
+
>
y
x
x
4
2
2
0
Vì
+
+
+ +
+
−
+
−
x
x
x
x
2
3
3
2
( 3 2
+ 1 )(
) 2 1
( 3 1
)
+ 1 )(
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 34
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
−
x
x
2
Từ đó phương trình trên tương đương với (
)(
) 1
= x x
2 = − 1
+ = ⇔ 0
= ⇒ =
x
y
x
0;
1
3
2
= − ⇒ = − . y
Với Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình.
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là
{ ( S = − −
2
2
=
+
+
+
y
x
y
1
2
4
} ) ( ) 1; 3 ; 2; 0 . )
)(
∈
Bài 46: Giải hệ phương trình:
x y ( ;
ℝ )
2
3
3
−
+
y
x
y
10
+ = 2
2
1
( + x 12
Hướng dẫn làm bài
2
2
+ + −
⇔ + x
x
y
(1)
+ = 4
− y ( 2 )
4 ( 2 ) (*)
.
- Ta có:
2
+
t
t
+
+
t
4
2
=
=
>
≥
f
t
+ + ⇒ t
f
t ( )
4
t '( )
+ = 1
0.
- Xét hàm số đặc trưng
t 2
t 2
2
+
+
+
t
t
t
4
4
4
=
f
x
y
f x ( )
− ⇒ = − y ( 2 )
2
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra:
.
- Thay vào phương trình (2) ta được:
3
3
3
2
3
3
3
+
+
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
3
5
+ = 2
2
1
2
2
1 (**)
( + ⇔ +
) 1
(
) 1
(
) + + 1
3
=
+
t
g t ( )
t 2
- Xét hàm số
ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra :
= x
3
3
x
x
+ = 1
1
− ( 1;
); (0;0)
. Vậy hệ có hai nghiệm là
.
0 = −
x
1
1 2
+ ⇔
2
2
2
2
+
+
+
+
xy
y
x
y
y x )(
= 3) 3(
+ ) 2
Bài 47: Giải hệ phương trình
,x y ∈ ℝ .
(
)
2
=
+
y
x
x
+ + 2
− 16 3
8
4
− x (
≥ −
≤
x
y
2,
Hướng dẫn làm bài: ĐK:
16 3
3
3
=
y
x
y
(1)
⇔ − x (
1)
(
1)
2
+ ⇔ = − Thay y = x - 2 vào (2) được:
−
2
=
=
−
+
+
x
x
x
x
x
4
+ + 2
− 22 3
+ ⇔ 8
(
2)(
2)
4( x
2) + x
− x 2) + + 2 2
x 3( − 22 3
4
= x
+
+
+
=
x
(
2)
0(*)
⇔
+
x
x
2 − 4 + + 2 2
3 − 22 3
4
2;
Xét f(x) = VT(*) trên
, có f’(x) > 0 nên hàm số đồng biến. suy ra x = - 1 là
21 3
nghiệm duy nhất của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)
−
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 35
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+ + + + =
+
x
x
y
y
x
y
2
2(
)
Bài 47: Giải hệ phương trình:
+
=
+
1 x
1 y
1 2 x
1 2 y
Hướng dẫn tìm lời giải
x
.
Điều kiện:
+ ≥ − y 2 ≠
xy
0
- Ta thấy x + y = 0 không là nghiệm của hpt. Do đó ta có thể xét hai trường hợp sau:
y
x
* TH1: 2
− ≤ + < 0
2
−
+
−
=
pt
(2)
2 .
0 (3)
- Từ pt (2) ta suy ra xy < 0.
.
1 x
1 y
1 x
1 y
1 1 x y
⇔ +
- Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm x, y.
+ ⇒ +
xy
xy
1 8 .
8
0
- Khi đó phương trình (3) có nghiệm
≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − . 8 0
1 x
1 y
1 1 x y
2
2
=
+ + ⇒ ≤ <
+
≥
≥
x
y
xy
t
x
y
t
2
0
2
2
16
- Khi đó ta có
. Đặt
.
2
2
+ − ≥ ⇔ + −
t
t
t
t
2 32
34 0
- Từ pt (1) ta có
≥ điều này vô lí .
Vậy TH1 hệ phương trình vô nghiệm.
* TH2: x + y >0.
- Từ (2) suy ra xy > 0, do đó x và y đều dương.
2
2
x
y
x
y
(
)
(
)
2
2
2
2
+
≥
≤
=
+
x
y
xy
x
y
(2)
⇔ + x (
y xy )
- Ta có
. Do
và
nên ta có :
+ 2
+ 4
2
2
x
y
x
y
(
)
(
)
2
2
≤
+
=
+
≤
+
x
y
x
x
y
x
(
y xy )
(
)
⇒ + ≥ y 2
+ 2
+ 4
=
t
x
y
t
2
2
- Đặt
+ + ⇒ ≥ .
2
2
4
2
3
2
− ⇔ −
+
≤
⇒ + − ≥ 2 t
t
t
t
− − t
t 2 (
2)
t 5
− − ≤ ⇔ − 6 0
t (
t 2)(
t 2
3) 0 (4)
Từ (1)
.
+
t
t
t
t
22 t
3 0
⇒ − ≤ ⇔ ≤ 2 0
2.
Ta có 3 t
− − > ∀ ≥ , do đó, từ (4) 2
x
x
2
1
Từ đó suy ra: t = 2
y⇒ + = , thay vào hpt ta có xy=1
y⇒ = = .
1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là
.
1
= x = y
3
2
2
+ +
+
=
x
y
x
x
(4
1) 2(
1)
6
Bài 48: Giải hệ phương trình:
2
2
+
+
+
2 x y
y
= + x
x
2 2 4
1
1
)
(
Hướng dẫn làm bài
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 36
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐK:
0x ≥
⇒ + x
x
* Do x = 0 không phải nghiệm nên x > 0
2 1 0 + > .
2
+
y
y
+ (2 2 4
1)
0
Từ pt (2) ⇒
> . Chia hai vế pt (2) cho
2x , ta được :
2
2
+
+ = +
=
y
y
y
f
f
2
2
2
1
+ ⇔ 1
y (2 )
(3)
(
)
(
)
(
)
1 x
1 x
1 x
1 x
2
f
= + t
t
t
t ( )
* Xét hàm số :
+ trên khoảng ( 1
) 0; +∞
2
t
2
= +
f
t
> ∀ > ⇒ t
t '( ) 1
+ + 1
0,
0
hàm số đồng biến trên khoảng (
) 0; +∞ (4).
2
+
t
1
Từ (3) và (4)
1 ⇒ = 2 y x
3
2
+
x
+ + x
x
x
2 y
2
6
* Thay
= vào pt (1), ta được :
= (5).
(
) 1
1 x
3
2
=
+
+ + x
x
x
x
f x ( )
2
- Xét hàm số :
trên khoảng (
) 0; +∞
Ta thấy x = 1 là nghiệm pt (5). (
) 1
2
+
x
1
2
+
f
x
x
+ + x
x x
x
= '( ) 3
4
0,
0
- Có
> ∀ > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (
) 0; +∞ (6).
x
- Từ (5) và (6)
1x⇒ = là nghiệm duy nhất của pt (5)
x
y
1
2
1;
*
= ⇒ = . Vậy nghiệm của hệ :
1 2
2
−
+
−
=
−
y
x
y
x
y x )(
3
3)
(
3 1) .
∈
Bài 49: Giải hệ phương trình
x y ( ,
ℝ . )
3
3
2
−
− + y
x
y
x
2
− = 4
2(
2)
− (1
Hướng dẫn làm bài
2
2
⇔
ĐKXĐ:
≥ ≥
≥
x x
y
x x
y y
− ≥ y 0 ≥ ≥ 1
0,
1,
1
x
y≥ 1,
1
- Nhận xét
= không là nghiệm của hệ. Xét
1y > thì pt (1) của hệ :
2
2
2
+
− −
−
+
−
⇔
+
=
x
y
y
x y (
1) 3(
1)
(
1)
x y (
1)
− + 3
0
− = 0
x −
x −
x −
y
y
y
1
1
1
4
2
2
3
+
+ − = ⇔ −
+
+
+
= ⇔ =
=
>
t
t
t
t
t
t
t
. Khi đó, pt (1) trở thành:
t
t
3 0
t 2
3
0
1.
,
0
(
)( 1
)
x −
y
1
= ⇔ = + y
x
1
1
- Với t = 1, thì
, thế vào pt(2), ta được
x −
y
1
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 37
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
3
3
3
3
− − +
−
=
x
x
x
x
2 − ⇔ − − + x
x
x
x
1 2
− = 4
2
1 2
− − 4
0
(
) 1
(
) 1
2
x
− − x
1
2 ⇔ − − +
=
x
x
1 6
0
2
2
3
3
3
3
−
+ +
−
−
x
x
x
x
4
− + 4
(
) 1
(
) 1
(
)
2
x
− − x
6
1
+
=
2 ⇔ − − x
x
0
2
2
3
3
3
3
−
+ +
−
−
x
x
x
x
4
− + 4
(
) 1
(
) 1
(
)
1 1
5
1
2
≥
x
x
x
x
⇔ − − = ⇔ = 1
0
.
(
) 1
+ 2
5
1
5
3
=
x
⇒ = y
.
Với
+ 2
+ 2
1
5
x y ;
5 3 ;
Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm (
)
+ 2
+ 2
=
.
2
−
− +
−
−
=
2 x y
xy
x
y
xy
2
4 3
2
4
0
∈
x y ,
Bài 50: Giải hệ phương trình
(
) ℝ .
y
x
2
+ =
+
2.4
+ 1 1 2
2 log
2
x y
3
2
2 x y +
+ xy
x
y
y
− x 3 ) = ) 0
3
2
− = 4 0
Hướng dẫn làm bài x y > . Khi đó (1) Điều kiện 0 , + − ⇔ x xy y xy 3 ( 1) 2 ( x y , 0
+ xy (2 ⇔ + xy ( x= y 3
(vì
⇔ (3 + − 1) 4(1 > ⇒ + > ) . Do đó 2 xy 1 0
= + − y xy (4 4 ) 0 2 ) = ⇔ − − − x 4) 0 2 1)(3 − (a) 4
y
x
x
2
2
⇔
+ =
+
−
=
+
x
y
y
x
2.4
1 2.2
2 log
2 log
y ⇔ + 4
log
2
log
(2)
2
2
2
2
1 − 2
y
x
y
x
2
2
2
+ =
+
+ ⇔ +
=
+
y
x
y
x
⇔ + 4
log
1 2
log
2
2
log
2
(*)
2
2
log 2 2
2
1 2
t
=
+
+
f
t
f
t
t t '( ) 2 ln 2
)
0 ,
(0;
= t ( ) 2
log
Xét hàm số
trên (0;
)+ ∞ . Có
2
⇔
=
f
t f
y
x
x
y (2 )
⇔ = 2
2
⇒ f(t) đồng biến trên (0;
)+ ∞ . Do đó (*)
(b)
1 .ln 2 ( 2
> ∀ ∈ + ∞ )
x
x
− = 4
2
Từ (a) và (b) ta có 3
(điều kiện
4 x ≥ ) 3
+
= ⇔
x
⇒ − 29 x
26
16 0
(loaïi)
= x = x
2 (thoûa maõn) 8 9
Với x = 2 ⇒ y =1 , suy ra hệ phương trình có một nghiệm (2;1)
2
2
+
+
=
x
y
1
xy 2 + y x
∈
x y ( ,
Bài 51: Giải hệ phương trình:
ℝ )
2
−
x
+ = y
x
y
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 38
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y > 0
2
−
+
+
u
v
3 = ⇔ − − u
u
v
2
1
uv 2
2
- Đặt u = x + y, u > 0 và v = xy. Pt (1) trở thành:
= 0
v 2 u
= u
1
+ −
⇔ − u (
u u 1)[ (
v 1) 2 ] 0
2
=
+ − u
v
2
0
= ⇔
u * TH1: Với u = 1 hay x + y = 1 (thỏa đk), thay vào 2 được:
= x
2
2
=
= ⇒ =
x
y
x
y
x
x
x
x
1
)
(1
2
0
1
0;
2
= − ⇒ = 3
1 = −
x
2
2
2
2
2
+ + −
= ⇔ +
+
y
xy
x
y
x
y
+ − u
x
u
y
x
2
0
0
(
0
)
+ + = ⇒ vô nghiệm
− − ⇔ + − = ⇔ = hay
3
2
−
+ + +
x
x
x
y
2 x y
2
− = 2
0
Bài 51: Giải hệ phương trình
2
+
+ + =
x
x
y
2
5
7
* TH2: Với v 2 do đk . Vậy hệ pt có 2 nghiệm (1; 0); (−2; 3).
Hướng dẫn làm bài
2
2
+ >
⇔ + x
x
+ − y
⇔ + − = y
x
do x
1
2
2 0
1 0
= 0
)
( ) 1
)
(
)(
x
y
2
( = − vào (2) ta được 2 x
Thay
+ = 7 = ⇒ = y
7 2
0
2
2
=
⇔
x
x
+ + 7
(thỏa mãn điều kiện)
−
+
⇔ +
1 2
1 2
=
x
⇒ = y
x+ x
1 2 7 2
3 2 7 2
−
+
x y ,
Vậy hệ có nghiệm (
) ( : 2; 0 ;
2
2
) 1 2 7 3 2 7 ;
2
4
+
+
=
y
y
y
y x )(
4
+ ) 3
0
∈
x y ( ,
Bài 52: Giải hệ phương trình
ℝ ).
2
2
+
+ + =
x
y
y
y
2
+ − 1
1 0
+ x (
x
22 y+
+ ≥ 1 0.
2
2
2
2
=
y
y
x
y
)(
3
)
+ x 4( 2 = y
+ y ) + + y
y
Hướng dẫn làm bài Điều kiện: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 4 + + + + y y x y y ( 3 ) 0 hay *) = − − x y x 0,
= ⇔ + + x ( 0. 2. Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2
y
y
− + = − 1
1 (ktm)
±
1
13
2
2
2
⇔ − − = ⇔ =
− + −
y
y
y
y
y
y
y
3 0
.
1
+ + = ⇔ 1 0
2
2
− + =
y
y
1
2.
+
−
1
13
1
13
=
=
x = − +
x = − −
4
13
4
13.
y
y
Với
thì
và với
thì
2
=
x
+ + y
= − − y
0,
23 . y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2 23 y 2
hay x 2
2
2
−
− + −
− + =
y
y
y
y
y
y
y
1
+ + = ⇔ − 1 0
1
*)
− − y 1
2
2
− − ≥
− − ≥
y
y
y
y
1 0
1 0
⇔
⇔
⇔ = − y
1.
Suy ra
x = − 2.
2
2
2
2
−
− + =
+
+
=
y
y
y
− − y
y
y
1 (
y y (
1)(
3)
0
−
+
1
13
1
13
− −
− + 4
13;
− − 4
13;
,
Vậy nghiệm (x; y) của hệ là
(
) 2; 1 .
2
2
1)
− 3 ,
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 39
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
−
y
x
x
− = 1
27
)
Bài 53: Giải hệ phương trình:
( ,
x y ∈ R .
4
−
x
y
2
+ = 1
− − 2 )
(
4
2
−
= − ⇒ − =
−
x
y
y
x
2
1
1
2
thay vào phương trình
Hướng dẫn làm bài Từ phương trình (2) ta có (
)
(
)
3
2
3
2
−
+
−
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
− + 2
4
31 0
− = 2
27
4
+ ⇔ 4
( )1 ta được
= ( )*
3
2
=
−
+
−
x
x
x
x
− + 2
4
31,
Xét hàm số
với mọi
x ≥ 2
( ) f x
'
2
⇒
=
+
−
+ > ∀ >
f
x
x
x
3
2
4 0
2
( ) x
−
1 x
2
f
x
0
3
= ⇒ = là nghiệm duy
( )3
2 ) ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ mặt khác nhất của (*) thay vào phương trình (2) ta được y = . 2 ; x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (
)
( ;=
) 3 2
3
3
2
+
+
−
+
=
x
y
xy x
y
x
x
7
3 (
− ) 12
6
1 (1)
Bài 54: Giải hệ phương trình
∈
x y ( ,
ℝ )
3
+ + +
+
=
x
y
x
y
4
1
3
2
4 (2)
x
3
3
3
2
3
2
2
3
y+ 2 +
−
+
=
− ⇔ − = − ⇔ = −
x
x
x
x y
xy
x
y
x
x
y
y
x
x
y
Hướng dẫn làm bài ≥ . 0 Giải: ĐK 3 ⇔ − − = x 1 8
(3)
12
6
3
3
2
1
1
2
) 1
(
)
+ Với
x
x
x
1y
( − ⇔ − + + 2
= − thay vào (4) ta được : 3 3
+ = 4
2
=
+
=
+
≥
Đặt
a
x
b
x
3 3
2,
2 (b 0)
3
+ =
a b
4
x
3
+ = 2
2
⇒
⇔
Ta có hệ pt
⇔ = x
2
3
2
= =
=
−
2 2
a
b 3
4
a b
2
+
= ⇒ = − . Vậy nghiệm của hệ là:
x
y
1
2
y
1
+ = x 2 = x 2 = −
2
2
−
+ +
−
x
y
y
x
5
3 6
7
+ = 4
0
)
Bài 55: Giải hệ phương trình :
( ,
x y R∈ .
=
+
− + x
x
y y (
2)
3
3
+
−
−
x
(2
x y )
3
3 0
− = được xem là phương trình bậc hai theo ẩn
Hướng dẫn làm bài Phương trình thứ (2) ⇔ 2 y
x
x
2
4
=
y
= − 3
2
∆ =
+
x
(
4)
y có
. Phương trình có hai nghiệm:
x
x
2
4
= + x
1
= y
− − − 2 − + + 2
- Thay y = -3 vào pt thứ nhất ta được pt vô nghiệm
2
2
−
− +
−
y
x
x
x
1+= x
x
5
2 6
5
5
- Thay
vào pt thứ nhất ta được:
+ = (3) 0
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 40
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
= t
tm
1
x
2 ⇔ + t
2 5 x−
5
t 6
7
- Giải (3): đặt
+ = t , điều kiện t ≥ 0 . Từ( ) 3
= −
t
) ktm
( 7 (
)
− = ⇔ 0
x
y
1
2
x
5
- Với t = 1 ⇔ 2 5 x−
+ =1 ⇔
( thỏa mãn)
= ⇒ = = ⇒ =
x
y
5
)2;1(
4 Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là:
và (4;5)
+ + = −
x
y
y
2
6 1
Bài 56: Giải hệ phương trình
2
+
=
+ + x
xy
y
9
0
9 1
6 0
Đk:
x x +) Nếu
y≥ ≥ .
Hướng dẫn làm bài + + ≥ y ≥ − 1 y ≥ , để hệ có nghiệm thì 1 0
0
=
+ + ≥
VT
x
y
(1)
2
6
2 5
⇒
>
VT
VP
hệ vô nghiệm.
(1)
(1)
= − ≤
y
(1) 1
VP 1 +) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0
2
2
2
+
+
+ + x
xy
y
y
y
9 1
9
= ⇔ 0
9
(3)
9
( = −
)
( + −
)
3 x
3 x
2
+ t 9 2
2
=
+
>
=
> ∀ >
f
t
t
t
f
t
Xét hàm số
t ( )
9
,
0;
t '( )
0
0
2
+
t
9
⇔
=
− ⇔ = − ⇔ =
f
f
y
x
y
(3)
(
)
9 2 y
3 x
3 x
=
y
y
Thế vào pt(1) ta có phương trình
+ + = − (4). Hàm số y
6 1
2
g y ( )
2
+ + 6
9 2 y
9 2 y );0−∞ ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến trên (
);0−∞ và phương trình có
đồng biến trên ( ngiệm y=-3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y=-3. Vậy, hệ có nghiệm duy nhất (1;-3).
+
−
x
x
x
y
y
y
+ + 2
+ = 4
− + 1
− + 3
5
Bài 57: Giải hệ phương trình:
2
2
+
=
x
+ + y
x
y
44
=
+
f
t
t
+ + 2
4
Hướng dẫn làm bài Xét hàm số t
) 0; + ∞ , có :
( ) t 1
′
=
+
+
> ∀ ∈ + ∞
f
t
0;
0,
( ) t
(
)
t
1 + t
2
2
2
2
4
−
⇔ +
−
−
x
y
x
x
x
y
y
5
5
+ + 2
+ = 4
+ + 4
5
+ + 2
5
Nên (1)
y⇔ = − (*)
+ trên [ 1 + t (
)
(
)
y
y
+ − 3
Thay (*) vào (2):
− = 2 1
(3)
y
2
− (4)
y
y
3
6
Nhân (3) với lượng liên hợp: 5 ⇒ + = ⇔ = . 3
(3), (4)
= ĐS: (
+ − y 3 )1; 6
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 41
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
− − y
y
− = x
x 11
2
Bài 58: Giải hệ phương trình
−
=
y
− + x
y
x
3
5
2
=
−
x
y
− + y
y
x
2
Hướng dẫn làm bài ⇔ − 12
2
x 11
(1)
−
⇔
) x
0
( − = x
− + y
y
y
6
x 11
(*)
(vì
x
⇒ − = y
x
x =
3
1
(*), (1)
− − (**), thay vào (2):
y= = không là nghiệm hệ) y 5 4
3 − 2
22 13
−
=
−
y⇔ =
2
Thay vào (**):
1x⇒ =
3 2
y 4
y 13 4
11 2
=
−
y
y
− 24 4
22
( 13
)2
x y 2 ≥ y ⇔
2
3
2
4
2
3
3
3
+
−
+
+
=
−
+
y
x
x
y
y
x x
y
y
2
2
1
(
)
Bài 59: Giải hệ phương trình
3
4
3
2
+
−
−
+
y
y
y
+ = 1
1
( y x
) 1
2
2
3
3
+
=
+
−
−
−
+
y
y
x x
x x
y
x x
y
y
1
2
1
1
− (a)
Hướng dẫn làm bài (1)
3
3
3 ⇔ + =
( ⇔ + y 3 y=
u
) v
( x=
u
( + = u
u
v
v
u
v
1
,
Đặt
+ v
(b)
3
′
=
=
f
f
t
t
f
( 1 0,
23 t
+ , có
) = ⇔ 3 0 ) 2 1 + + > ∀ ∈ ℝ nên t
đồng biến.
) − , (a) thành ( ) t
( ) t
( ) t ⇔ = 3
y
x
1
Xét hàm số Vậy ( )b
− (*), thay vào (2), ta có :
3
2
−
y
y
4
3
3
4
3
4
3
2
3
+
−
+
+
−
+
=
y
y
y
y
⇔ − y
y
y
y
⇔ − y
y
2 1 1 0 + − =
0
+ = 1
1
3
2
−
+ +
y
y
1 1
0
1
3
2
3
2
−
=
y
y
y
⇔ − y
y
0
= 0
(vì từ (*) suy ra
0y ≥ )
⇔
(
)
3
2
1
= y = y
−
+ +
y
y
1 1
⇔ +
3
3
2
−
+
+ −
+ =
x
y
3y
x 4y 2 0
Bài 60: Giải hệ phương trình
3
+ − =
+ +
x
x 3 2 x 2
y
3
2
3
3
−
+
y
3 + ⇔ + + = x
y
x
y
y
y
3
2
2
(
) 1
(
) − + . 1
3
t
f
t
2;− +∞ .
4 )
Hướng dẫn làm bài ⇔ + + = − x x (1) 2 = + + trên [ ( ) t 2
2
=
f
t
f
'
t 3
1 0,
2;
- Ta có:
2;− +∞ .
( ) t
)
- Xét hàm số ( ) t
) + > ∀ ∈ − +∞ . Suy ra hàm số
[
đồng biến trên [
x
x
x
y
1
- Do đó:
y= − . Thay 1
x= + và phương trình (2) ta được:
x
x
2
2 2
2 2
+ + 2 1 )
(
2
3 ⇔ − =
+
+
=
x
x
x
x
x
8 2
2 2
2
2
4
(
)(
)
(
) + − ⇔ −
x
3 3 2 − = )( + + 2 2
+ + )
+ − (
−
x
2
2
2
2
2
+
+
=
+
=
x
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
+ − 4
0
( ⇔ −
( ⇔ −
)
)(
)
+ +
( x
x
) + + 2 2
2 2
)
(
(
)
x
x
y
2
2
0
*
− = ⇔ = ⇒ = 3
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 42
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
2
2
+
= ⇔ +
x
x
x
x
*
(*)
2
+ − 4
0
2
+ = 4
+ +
+ +
x
x
2 2
2 2
(
)
(
)
2
2
=
+
+
+ ≥
=
VT
x
x
x
VP
x
2
+ = 4
3 3;
2;
1,
Ta có
(
) 1
)
[ ≤ ∀ ∈ − +∞
2 + +
x
2 2
2;3
.
Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (
) x y = ;
(
)
+
+ −
=
+
x
y
y
x
2
3
2 3
2
∈
x y ,
Bài 61: Giải hệ phương trình:
(
) ℝ
2
− + −
=
y
x
x
− − 1
4
8
0
x
.
Điều kiện:
1
Hướng dẫn làm bài − ≤ ≤ 2 4 ≥ y
+
+ +
+
= + +
+
+
x
y
x
y
x
y
x
y
2
3
2 3
3
2
2 9
6
2
(1)
( ⇔ + 4
)
( y x
)
2
y
⇔ + − x
= ⇔ = + y
x
2
0
( ) 2 3
⇔ (
+ = 2 )
2
− + −
=
≤ ≤
x
x
x
+ − 1
4
8
0 (4), ( -1 x
4)
2
−
⇔ + − x
x
x
1 2
4
+ − 9
(4)
= 0
)
- Thay (3) Vào (2) ta được: ( ( + − 1
)
= ⇒ =
x
y
3
5
−
−
⇔
+
+
−
=
x
9
0
(
)2
+
= + x
( ) 3 5
x 3 + + x
x 3 − + x
1 2
4
1
⇔
1 + +
x
1 − + x
1 2
1
4
≤
1 2
x
⇒
+
≤
∀ ∈
, x
-1;4
Xét (5). Ta có :
[
]
3 2
x
1 − + x
1 + + 1 1
1
4
≤
1
x + ≥
Mặt khác
3;5
1 + + 1 2 1 − + x 4 1 [ ∀ ∈ 3 2, x -1;4 Nghiệm của hệ là: (
] . Vậy phương trình (5) vô nghiệm. ) x y = ;
)
(
2
+
+
−
+
=
x
xy
x
y
y
9
5
9
7
Bài 61: Giải hệ phương trình
2
− + + =
−
+
−
x
y
x
y
x
y
2 1 9
7
7
)
4 (
9
0y≥ ≥ . Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y
Hướng dẫn làm bài Đk : x
x
y−
7x
(2) ⇔
+ 1 – [3(x- y )]2 = 0
+
6
+
−
=
x
y
x
y
3
+ 1 3
3
0
⇔
( + − 1 3
)(
)
−
y− + - 7 2 − y x 2 6 − + + x y
x
y
7
2
7
+
−
=
x
y
x
y
− 1 3
3
3
0
⇔ (
)
( + + 1 3
)
2 − + +
−
y
x
x
y
2
7
7
−
x
y
3
- Với x > y ≥ 0 nên
> 0 suy ra 1–3x + 3y =0
( + + 1 3
)
2 − + +
−
y
x
x
y
2
7
7
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 43
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
- Thay y = x –
vào phương trình (1) ta được:
1 3
9x2 + 9x(x -
) + 5x – 4(x -
) + 9
1 3
1 3
1 x − = 7 3
⇔ 18x2 – 8x + 6x -
+ 9
x − - 3 = 0
8 3
1 3
⇔ 2x(9x – 4 ) +
(9x – 4 ) +3( 9
3x − - 1 ) = 0
2 3
x
2
⇔ (9x – 4 )
= 0 ⇔ x =
vì x > 0
4 9
2 + + 3
3 − +
x
3 1
9
Với x =
thì y =
. Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (
;
)
4 9
4 9
1 9
1 9
3
+
− −
−
y
x
y
x
x
3
2 7
8
(
)
ℝ
∈
x y ,
.
Bài 62: Giải hệ phương trình
(
)
2
2
3
−
+
+
=
+
+
+
−
y
x
y
x
y
y
x
y
7
8
12
3
2
13 ) 1
= (
) 1 )
(
) 1
( (
Hướng dẫn làm bài
= y
1
2
2
−
−
y
x
y
y
- Trừ vế với vế của (1) và (2) ta được: (
) 1
+ = ⇔ 0
2
x
= y
−
x
x
1 7
1
13
= + − ⇔ = x
2
x=
- Với - Với
3
2
2
3
2
2
3
3
−
+
+
−
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
8
13
2
2
7
3
(
) 1
(
)( 1 2
) − + 1
(
) 1
1y = thay vào (1) ta được 8 x thay vào (1) ta được y ) ( − ⇔ − 1
(
) − − 1
(
) − − = 1
3
2
=
−
x
x
3
2
2
− ta được
3
2
−
+
a
x
x
x
b
= a b
3
+
−
+
=
⇒ − 3 a
b
0
(
)( a b x
) 1
2
2
3
2
+
+ + =
a
+ ab b
x
1 0
−
+
⇔
b
x
x
x
a
= ( (
) 1 ) 1
b 1, ) − − = 1 ) − − = 1
- Đặt a ( (
x
y
1
1
3
2
3
2
− ⇔ −
+
a
b
x
x
x
x
x
= ⇒ − = 2
1
3
2
8
15
6
+ = ⇔ 1 0
y
= ⇒ = 1 = − ⇒ = x 8
1 64
2
2
2
2
2
2
+
+ + =
+
+
−
+ + =
+
+
−
a
+ ab b
x
b
x
x
b
x
x
+ > ∀ x
1
2
1
3
2
0,
(
) 1
a 2
3 4
a 2
7 4
=
x y ;
Vậy hệ có nghiệm (
)
( ) 1;1 ,
−
1 1 ; 8 64
2
2
+ −
=
+
−
x
y
x
y
1 2
2
1
4
ℝ
∈
x y ,
.
Bài 63: Giải hệ phương trình
(
)
4
2
+
+
=
) 1 2 x y
y
1
( x
Hướng dẫn làm bài
2
2
+ −
=
+
−
x
y
x
y
1 2
2
1 (1)
4
I ( )
4
2
+
+
=
) 1 2 x y
y
1
(2)
( x
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 44
−
−
+
x
t
y
t
y
22 t
4
2
1
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Đặt
+ = ≥ ⇒ phương trình (1) có dạng: 2 1
− = 1 0
(
) 1
=
−
t
y
1
2
2
∆ =
−
−
−
=
−
y
y
y
4
4
3
(
) 1
( 8 2
) 1
(
)
l ( )
⇒ = t
2 1 2
≥ y
1
2
=
− ≥ ⇔ + =
t
y
x
y
1
2
1 1
1 2
+) Với
thay vào (2) ta được
2
2
=
−
x
y
y
4
4
− ⇔
2
2
2
2
−
+
y
y
y
y
y
16
4
1 0
1
− = ⇔ = (do y
1y ≥ )
(
) 1
(
) − + 1
0x⇒ = . Vậy, hệ (I) có nghiệm (0;1)
2
+
xy
+ = 2
2
(với
)
; ∈ ℝ x y
Bài 64: Giải hệ phương trình
2
2
2
+
+
+
−
y
x
x
x
x
2
2
+ = 3
2
x 4 .
(
y x ) 1
Hướng dẫn làm bài
∈ℝ
ℝ .
ĐKXĐ: x
; y∈
2
2
2
= ⇔ =
Tacó
xy
y x
y
x
x
y
+ = 2
+ ⇔ 2
+ − 2
2
)
(
2
x
x
+ − 2
2
⇔ = y
x
x (1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :
+ + 2
2
2
2
2
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
+ + 2
2
2
+ = 3
2
4
(
) 1
)
(
2
2
+ +
+
+
+
x x
x
x
x
x
.
⇔ + 1
2 2
2
+ = 3
0
(
) 1
2
2
+
+
+
−
+
+
x
x
x
(*)
2
2
( ⇔ + x
(
) 1
( = −
)
(
)
) 1 1
1
2
=
+
+
f
t
t
Xét hàm số
với ∈ ℝt
. Ta có
t ( )
1
2
)
(
2
2
ℝ
= +
f
t
> ∀ ∈ ⇒ t
f
đồng biến trên ℝ .
t '( ) 1
+ + 2
0,
t ( )
t 2
+
t
2
+
=
− ⇔ + = − ⇔ = −
Mặt khác, phương trình (*) có dạng
.
f
x
x
x
x
f x (
1)
(
1
)
1 2
Thay
vào (1) ta tìm được
.Vậy hệ đã cho có nghiệm là
= −x
1=y
1 2
1 2
1.
= − x = y
2
2
+
+ =
+
2 x y
x
x x y
1 2
2
Bài 65: Giải hệ phương trình:
x y ∈ R . ( ,
)
6
2
2
− +
−
+ =
y x
y
3 y x (
1) 3 (
+ 2) 3
4 0
2 −≥yx 2
Hướng dẫn làm bài Điều kiện:
. Gọi hai phương trình lần lượt là (1) và (2)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 45
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
3
2
+
=
−
+
−
+−
y
)1
3 3
6 yx 3 +
y +
y − y
⇔)2( 2 ⇔ yx (
)
3
(3
)1
(31 (3)
2
f
t
f
t
t ≥ −
3 + =
2 y yx 3 3 2 − = y yx ( )1 + > ∀ ∈ R 3 0, y y 1).
= t )( 2 f x y (
(3)
+
+
có t 3 f y ( 2 yx
yx
x
= t '( ) 3 2 − ⇔ = − x y 1) 212 =+
1
Xét hàm số Do đó ⇔ ) Thế vào (1) ta được
1, (
2
2
⇔
−+
−+
=+
x
y
yx
yx
yx
(
2)1
⇔=++ 011
(
)11
⇔= 0
11
Do đó hệ đã cho tương đương với
2
2
=
+
x
2 yx
y
x
1
−= 2
=+
yx
11
2
2
2
⇔
⇔
−
+
=
−= y
x
x
1
)
)4(1
2 yx
−= y
1
2 yx > x
x x
0
2( > 0
2
2
2
2
2
2
4
−⇔=+
−
=−+
x
x
x
x
x
x
−−⇔= x (
0
01
(
)1
)(1
)1
0
)4(
3
5
1
=
x
5
5
⇔
=x
=x
hoặc
. Do x > 0 nên
1+ 2
1+− 2
5
=
x
−⇔ x
± 2 ±− 1 2
5
1
5
1
5
1
5
=
=
x
=⇒ y
x
=⇒ y
Với
. Với
.
+ 2
− 2
+− 1 2
+ 2
1
5
1
5
5
1
5
=
=
yx ;(
)
;
yx ;(
)
;
Vậy hệ đã cho có nghiệm
,
+ 2
− 2
+− 1 2
+ 2
4
=
2
2
2
x +
y +
y
x
y
1
Bài 66: Giải hệ phương trình sau:
2
x
y
4
+ + 5
+ = 8
6
Hướng dẫn làm bài
3
2
4
6
+
=
+
(1)
y
y
x
xy
Hệ pt đã cho tương đương:
2
+ +
4x 5
+ = 8
6
y
x
(2) 0⇒ = Thay x = 0; y = 0 vào pt (2) ta được:
+
NX: Nếu y = 0 thì từ pt (1) 6
8
5
= (vô lý). Vậy y = 0 không thỏa mãn bài toán
3
3
=
+
+
y
y
*) y
0≠ chia cả 2 vế của pt (1) cho
3y ta được:
x y
3
2
=
=
f (t)
t
f '(t) 3t
1 0,
t
Xét
x y + > ∀ . Vậy f (t) đồng biến trên R.
2
⇒
=
f
f (y)
⇒ = ⇒ = y
x
y
Từ (*)
+ . Có x y
x y
t
+ +
x 8
6
Thay vào pt (2) ta được 4x 5
+ = ⇔ = ⇒ = y 1 x 1
Vậy hpt có cặp nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)
(*)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 46
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
2
2
−
+
+
+
+
=
+
x
xy
y
x
xy
y
x
y
2
6
5
2
2
13
2(
)
Bài 67: Giải hệ phương trình
+
+ −
=
−
+
x
x
y
y
y
x
(
y 2 )
2 2 4 .
4 y 8 .
2
2
Hướng dẫn làm bài
≥ − 2
Điều kiện:
0
x ≥ y 0 + ≥ x y
Xét y = 0, hệ vô nghiệm nên y khác 0 . Chia cả 2 vế của (1) cho y ta được:
2
2
−
+
+
=
+
2
6
+ + 5
2
2
13
2(
1)
x y
x y
x y
x y
x y
=
> −
t
1
Đặt
x y
2
2
−
+
+
=
+
PT
t : 2
t 6
+ + 5
t 2
t 2
13
t 2(
1)
3
2
−
+
+ =
4 ⇔ − t
t 2
t 3
t 4
4 0
= −
loa
1(
i)
2
2
−
t
2
( ⇔ + t
) ( 1
)
t m
2( /
)
t = ⇔ 0 = t
+ −
−
+
y
y
y
y
y
Với t = 2 ⇒ x = 2y, thế vào (2) ta được: = y 4
2 2 4 .
2
4 y 8 .
2 2
2
⇔
+ +
+
y
y
y
y
y
4
2
2 2 2
+ = 2
4 y 8 .
2 y 4 .
3
⇔
+
y
y
4
+ + 2
+ = 2
8
4
2 y
2 y
2 y
3
+ +
+
y
y
(3)
+ = 2
2 2
2
2
( 2. 2
)
)
(
2 y
2 y
⇔ +
2 y Xét hàm số f(u) = u3 + 2u với u > 0; có f’(u) = 3u2 + 2 > 0, mọi u > 0 ⇒ hàm số đồng biến
3
⇒
+
=
− = ⇔ =
f
f
y
y
y
y
y
2
2
⇔ + = ⇔ − 2
2
4
2
2 0
1
Từ (3)
(
)
2 y
2 y
Hệ có nghiệm duy nhất (2;1)
2
+
xy
+ − x
y
− = y
y
3
5
4
Bài 68: Giải hệ phương trình
2
− − +
− = −
y
x
y
x
4
2
1
1
+ x
2
y
− ≥ y
xy
+ − x
0
2
− − ≥
2 0
Hướng dẫn làm bài: Đk:
+
−
−
y
⇔ − + x
y
x
y
y
3
4(
Ta có (1)
+ = 1) 0
y x 4 − ≥ y 1 0 )(
) 1
(
=
−
=
u
u
x
y
v≥ 0,
y v ,
Đặt
+ ( 1
≥ ) 0
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 47
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
= u
2
2
+
−
=
u
v
uv 3
4
0
Khi đó (1) trở thành :
v = −
u
v vn
4 (
)
⇔
−
x
y
y
y
1
24 y
2
− + 3
− = 1
2
Với u
v= ta có
+ , thay vào (2) ta được :
⇔
−
y
y
y
24 y
2
2
− − 3
) − + 1
y= 2 (
(
) − − = 0 1 1
−
y
2
2
2
+
=
+
=
y
0
2
0
( ⇔ −
)
2
2
y
− y 2 − + y 1 1
1 − + 1 1
−
− +
−
−
−
y
y
y
4
2
3 2
1
y
y
y
( 2
) − + 3 2
4
1
2
⇔
+
> ∀ ≥
y
0
1
y⇔ = ( vì 2
)
2
y
1 − + 1 1
−
− +
−
y
y
y
4
3 2
2
5
y = thì 2
1 x = . Đối chiếu ĐK ta được nghiệm của hệ PT là (
)5; 2
Với
+
+
− − =
x
y
x
y
2
3
5
Bài 69: Giải hệ phương trình:
(
) ,x y ∈ ℝ
− − −
+
y
x
x
y
2 3
2
3
+ = 4
2
3
2
2
2
+
y
2
+
=
=
+
−
x
y
u
y
u
v
2
3
2
2
⇒
⇒
−
+
y
u
v
⇒ + x 2
3
+ = 4
7
Đặt
2
2
2
− − =
−
x
y
v
x
u
v
= − 6
2
=
− − x
y
v
3
Hướng dẫn làm bài: x 3
= u
+ =
5
thế v = 5 – 3u vào phương trình
Khi đó hệ ban đầu trở thành:
2
2
−
−
u
v
v
+ = 7
2
2
u v 3
( ) * (*) giải tìm được u = 1, từ đó v = 2, suy ra x = - 3, y = 2
6
2
3
2
+
+
+
x
x
y
y
y
3
6
Bài 70: Giải hệ phương trình:
2
−
+
+ + + =
y
x
x
y
x
2
8 7
3 (
− = 4 ) 1
2
3
3
3
6
2
2
2
=
+
+
=
+
+
⇔ + x
x
y
x
x
y
y
3
3
3
3
+ PT(1)
) + ⇔ 1
(
(
) 1
(
) + 1
(
⇔
=
)
Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: y+ + ≥ x 8 0 ( ( f y
đồng biến trên R
2
=
f x (
) ) + x 1 + với f(t) = t3 + 3t ) 2( f x 1 + Ta có: f’(t) = 3t2 + 3 > 0 Do đó: )
t⇒ t R∀ ∈ f ( ) 2 + ⇔ = + y x 1
( f y
) 1
2
2
+
x
x
x
x
2(
− − 1)
2
7 0
7
+ Với y = x2 – 1 , pt (2) trở thành:
+ − + =
(
) 1
2
2
+
x
x
x
+ − − = x
2
+ − 7
2
2 0(*)
7
(
) 1
2
−
+
=
≥
t
x
t
x
t
7)
+ Đặt
, pt(*) trở thành:
− − = (**) 2 0
(
) 1
∆ =
+ Ta có:
nên (**) có hai nghiệm: t = x + 2 hoặc t = -1 (loại)
22 x (
+ t 7, ( )23x +
x
x
≥ − 2
≥ − 2
=
x
1
2
⇔
⇔
⇔
x
+ = + ⇔ x
2
7
2
+ Với t = x + 2
2
2
2
=
x
3
+
+
−
+ =
x
x
x
x
x
2
+ = 7
4
4
4
3 0
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 48
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Với x = 1 ⇒ y = 0 (nhận) y⇒ = (nhận) - Với x = 3 8 Kết luận: hệ có hai nghiệm (x;y) là (1;0), (3;8)
2
2
+
+
+
=
x
y
y
4
1
2
)
)(
∈
Bài 71: Giải hệ phương trình:
x y ( ;
ℝ )
2
3
3
−
+
y
y
x
10
+ = 2
2
1
( + x 12
2
2
+ + −
⇔ + x
x
y
(1)
+ = 4
− y ( 2 )
4 ( 2 ) (*)
.
Hướng dẫn làm bài: Ta có:
2
+
t
t
+
+
t
t
t
4
2
=
=
>
≥
f
t
+ + ⇒ t
f
t ( )
4
t '( )
0.
+ = 1
Xét hàm số đặc trưng
2
2
2
t
=
f
x
4 f x ( )
+ t t 4 − ⇒ = − y ( 2 )
+ 4 . y 2
3
3
3
2
3
3
3
+ Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên R. Từ (*) suy ra: Thay vào phương trình (2) ta được: +
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
+ = 2
5
3
2
1
2
2
1 (**)
( + ⇔ +
) 1
) 1
) + + 1
(
3
=
+
t
g t ( )
t 2
Xét hàm số
( ta thấy g(t) đồng biến trên R nên từ (**) suy ra
= x
3
3
x
x
+ = 1
1
− ( 1;
); (0;0)
. Vậy hệ có hai nghiệm là
.
0 = −
x
1
1 2
+ ⇔
2
2
+
x
y
x
2
+ = 5
2 2
Bài 72: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
2
+
+
x
xy
+ − x
y
− = y
y
3
5
4
Hướng dẫn làm bài:
2
2
+
x
y
x
2
+ = 5
2 2
(1)
2
xy
+ − x
y
y
. Điều kiện:
− ≥ và 0
y ≥ 0
2
+
+
xy
y
− = y
y
3
5
4 (2)
+ − x x - Với điều kiện trên:
2
⇔
+
=
−
−
3
0
x
y
2
(
) 1
− − −
( ) 2
xy
y
y
(
) 1
+
3
y
+
⇔
=
−
0
x
y
2
(
2
− + +
xy
+ − x ( + − x
y
y ) 1 y
y
1
⇔ − x
y
2
) 1 − 1 − = 1 0
+
3
y
2
+
>
xy
+ − x
y
y
1
0
(Vì với x,y thỏa mãn
− ≥ và 0
y ≥ thì 0
)
2
− + +
( + − x
xy
) 1 y
y
y
1
y
1
Thế 2
x= − vào (1) ta có
2
−
4
2
2
⇔
=
+
−
+
x
x
x
2
+ = 5
2
− + 1
x
x
2
2
(
2)(
2)
x 2
x
5 3
+
x
2)
)
(
−
+
+
(
)
⇔
=
(3)
0
+
x
2
−
x
2
2( 2
x
+ + 2 − + 1 1
+ +
− x 2 − + x 1 1
x
5 3
Ta thấy :
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 49
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+
x
2)
2
(
)
−
+
+
=
+
+
−
>
1x∀ ≥ ,
,
x
0
(
+
x
2
2( 2
2
x
x
2 − + 1 1
+ +
+ +
) 2 1
x
x
5 3
5 3
2 − + 1 1 ⇒ (3) có nghiệm duy nhất x = 2.
x y ;
2;
.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (
)
=
1 2
3
3
2
−
+
−
− =
x
y
y
x
3
3
2 0 (1)
Bài 73: Giải hệ phương trình :
2
2
2
+
−
−
−
+ =
x
x
y
y
1
3 2
2 0 (2)
2
≥
x
⇔
Điều kiện:
2
− ≤ ≤ x 1 ≤ ≤ y
1 2
0
−
≥
y
y
0
2
Hướng dẫn làm bài: − 1 0
Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2. Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
2
2
−
−
(1) ⇔ y = t ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔
x
x
2 1
+ = 2 0
2
−
=
Đặt
x
v
1
= v
2 ⇔ + v
.
3 0
v 2
v
− = ⇔
2
+
+
=
xy
y
9
1
1
⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 =2 (t/m) 1 = − (loai) 3 Với v = 1 ta có x = 0 ⇒ y = 1. Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (0;1) )
(
x
x
1 −+ 1
Bài 74: Giải hệ phương trình:
3
2
2
++
+
=
x
y
x
x
9(
(4)1
)1
10
3
0x ≥ . NX: x = 0 không TM hệ PT
Hướng dẫn làm bài: ĐK: - Xét x > 0 thì PT (1)
2
x
x
1
1
1
2
2
+
+
⇔
+
y
y
y
y
y
3
3
y )3(
=+ 1
1
3
3
9
=+ 1
⇔
(3)
++ 1 x
+
x
x
x
12 +t
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0. Xét hàm số f(t)= t + t.
, t > 0.
2
t
2
t
++ 1
>0. Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
Ta có: f’(t) = 1 +
2
+
t
1
1
1
3
2
+
+
+
=
x
x
x
(4 2 x
).1
10
⇔ 3y =
PT(3) ⇔ f(3y)= f
3
2
+
+
+
−
x
x
x
).1
10
Đặt g(x)=
x x (4 2 , x > 0. Ta có g’(x) > 0 với x > 0 x ⇒ g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)
Ta có g(1) = 0. Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1. Với x =1 ⇒ y =
1 3
. Thế vào pt(2) ta được PT:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 50
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;
).
1 3
3
2
+
−
− =
y
y
x
3
3
2 0
Bài 75: Giải hệ phương trình :
2
2
2
+
−
−
−
+ =
x
x
y
y
1
3 2
2 0
− 3 x
− ≤ ≤
Điều kiện:
x 1 ≤ ≤ y
0
Hướng dẫn làm bài: 1
3
3
−
− =
−
−
x
x
y
y
3
2 (
1)
3(
1) 2
− − (*)
3
t
[ 1;1]
− , 2 t∀ ∈ −
f
. Suy ra: f nghịch biến trên đoạn [-1;1] 1
2 Phương trình (1) của hệ tương đương với: Xét hàm số − = t t f ( ) 3 2 − ≤ , Ta có: t= t 3 0 '( ) 3 Do đó: (*) ⇒ f(x)=f(y-1) ⇔
t∀ ∈ − [ 1;1] y= − . Thế vào pt (2) của hệ ta có: x
2
2
2
−
−
−
−
y
y
y
y
y−
2
1
) 2 2
(2
= ⇔ 1y =
+ = ⇔ y 3 0 Vậy: hệ phương trình có nghiệm (x = 0;y = 1)
2
+
xy
+ − x
y
− = y
y
3
5
4
Bài 76: Giải hệ phương trình
2
− − +
− = −
y
x
y
x
4
2
1
1
+ x
Hướng dẫn làm bài:
2
y
− ≥ y
xy
+ − x
0
2
− − ≥
2 0
Đk:
x y 4 − ≥ y 1 0
−
+
−
=
−
=
u
⇔ − + x
y
x
y
y
y
u
x
y
v≥ 0,
3
4(
1) 0
y v ,
Ta có (1)
+ = . Đặt
+ ( 1
≥ ) 0
(
)(
) 1
= u
2
2
+
−
=
u
v
uv 3
4
0
Khi đó (1) trở thành :
v = −
u
v vn
4 (
)
⇔
−
x
y
y
y
y= 2
1
− = 1
2
2
Với u
v= ta có
+ , thay vào (2) ta được :
⇔
−
y
y
y
24 y
2
− − 3
2
(
) − + 1
24 y (
− + 3 ) − − = 0 1 1
−
y
2
2
2
+
=
+
=
y
0
2
0
( ⇔ −
)
2
2
y
− y 2 − + y 1 1
1 − + 1 1
−
− +
−
−
−
y
y
y
4
2
3 2
1
y
y
y
( 2
) − + 3 2
4
1
2
⇔
+
> ∀ ≥
y
0
1
y⇔ = ( vì 2
)
2
y
1 − + 1 1
−
− +
−
y
y
y
4
2
3 2
1
5
Với
y = thì 2
x = . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là (
)5; 2
2
2
+
+
−
xy
x
y
x
y
2
5
+ = 3
2
Bài 77: Giải hệ phương trình :
− +
−
−
x
y
y x
x
x
y
2
+ − 2
− = 1
1 2
2
2
Hướng dẫn làm bài:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 51
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
≥ − 1
ĐK :
1
y ≥ x
x
+ + y
y
− + x
x
y
3
3 0
2
0
= ⇔ − + = (do đk)
)( 1 2
)
+
+ +
y
y
y
y
+ − 2
2
3
+ = 2
2
2 2
+ 4
Pt đầu của hệ tương đương với ( Thay vào pt thứ hai, được: (
)
+ −
y
y
y
2
2
2 2
= ⇔ 0
2
2 2 0
1
+ − = ⇔ = (thỏa đk ) y
y ( ⇔ +
2 )(
=
x
y
5,
Hệ pt có nghiệm duy nhất :
y 2 ) = 1
2
+
xy
+ − x
y
− = y
y
3
5
4
Bài 78: Giải phương trình
2
− − +
− = −
y
x
y
x
4
2
1
1
+ x
Hướng dẫn làm bài:
2
y
− ≥ y
xy
+ − x
0
2
− − ≥
2 0
Đk:
x y 4 − ≥ y 1 0
−
+
−
⇔ − + x
y
x
y
y
y
3
4(
Ta có (1)
+ = 1) 0
(
)(
) 1
=
−
=
u
u
x
y
v≥ 0,
y v ,
Đặt
+ ( 1
≥ ) 0
= u
2
2
+
−
=
u
v
uv 3
4
0
Khi đó (1) trở thành :
v = −
u
v vn
4 (
)
⇔
−
x
y
y
y
y= 2
1
24 y
2
− + 3
− = 1
2
Với u
v= ta có
⇔
−
y
y
y
24 y
2
− − 3
2
(
) − + 1
+ , thay vào (2) ta được : ) − − = 0 1 1
(
−
y
2
2
2
+
=
+
=
y
0
2
0
( ⇔ −
)
2
2
y
− y 2 − + y 1 1
1 − + 1 1
−
− +
−
−
−
y
y
y
4
2
3 2
1
y
y
y
( 2
) − + 3 2
4
1
2
⇔
+
> ∀ ≥
y
0
1
y⇔ = ( vì 2
)
2
y
1 − + 1 1
−
− +
−
y
y
y
4
2
3 2
1
5
Với
y = thì 2
x = . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là (
)5; 2 .
y
2
− 1
−
+
x
2
+ = 2
1
∈
x y ( ,
Bài 79: Giải hệ phương trình .
ℝ )
3 x
x 2
− 1
−
+
y
y
2
+ = 2
3
1
+ x + y
Hướng dẫn làm bài:
2
+ =
u
1
v 1 3
. Hệ PT ⇔
- Đặt
2
v
= − x = − y
1
u
+
+ =
v
v
u 1 3
+ u
2
2
2
⇒
+ =
=
+
f
+ + t
t
+ + u
u
+ + v
v
u 3
v 1 3
+ ⇔ 1
f u ( )
t = t ( ) 3
1
f v , với ( )
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 52
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
+
+
t
t
1
′
=
+
>
f
t t ( ) 3 ln 3
0
- Ta có:
⇒ f(t) đồng biến với
t∀
2
+
t
1
2
2
+
+
=
u
u
u
u
u + = ⇔ − 1 3
1) 0 (2)
⇒ =u
v ⇒
log ( 3
2
u (
>
+
u
+ ) + ⇒ 1
g u '( )
log
⇒ g(u) đồng biến u∀
3
0
= − u u 0 u = là nghiệm duy nhất của (2).
- Xét hàm số: g u ( ) = ⇒ - Mà g 0 (0) là nghiệm duy nhất của hệ PT. KL: = = y x 1
6
=
3 x y
x
y
3
Bài 80: Giải hệ phương trình
2
6
6 x y
x
) = 5
( + 1 2 + 1 4
Hướng dẫn làm bài: - Nhận xét x = 0 thay vào hệ tâ thấy vô lý
=
z
0
x ≠ ,chia 2 vế của hai pt trong hệ cho
6x và đặt
- Xét
1 3 x
2
+
=
y
2
3
( yz z
)
+
=
yz
2 y z
2
3
⇔
- Ta có
2
2
2
+
=
z
y
4
5
+
−
=
y
yz
z
2
4
5
)
=
3
y
= + z
2
- Đặt
ta có hệ
2
−
=
S
P
4
5
S = P yz
( SP
2
3
1
- Giải hệ ta được
suy ra
hoặc
1
1
= S = P
= z = y
1 2
3
Hệ có 2 cặp nghiệm (
,x y là ( )
)1,1 và
1 1 , 2 2
= z = y
3
3
2
2
−
−
−
+
=−−
x
y
x
y
x
y
8
4
01
Bài 81: Giải hệ phương trình :
2
2
+
−
=−
x
y
y
4
3
01
8
3
3
2
2
− − = 4x y 1
0
−
−
−
8x 8x y y
Hướng dẫn làm bài: + Biến đổi phương trình thứ 1:
+ ⇔ 8x3 - 8x2 + 4x = y3 + y2 + y + 1 ⇔ (2x )3 - 2(2x)2 + 2(2x) + 1 = ( y + 1 )3 - 2(y + 1)2 + 2(y+1) + 1 ( *)
Rt ∈∀
⇒ hàm f(t) luôn luôn đồng biến trên R
+ Xét hàm f(t) = t3 - 2t2 + 2t + 1 ⇒ f'(t) = 3t2 - 4t + 2 > 0 với Mà từ ( *) ta có f(2x ) = f(y + 1 ) ⇔ 2x = y + 1 ⇔ y = 2x - 1 + Thay vào phương trình thứ 2 : x2 + 4(2x -1 )2 - 3( 2x - 1 ) - 1 = 0
11
19
=
x 1
⇒
⇔ 17x2 - 22x + 6 = 0
11
19
=
x
2
− 17 + 17
11
19
19
⇒
+ Với
=x 1
=y 1
− 25 17
− 17
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 53
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
11
19
19
+ Với
⇒
=x 2
=y 2
+ 17
+ 25 17
11 −
19
19
11 +
19
19
Vậy hệ có 2 nghiệm : (
;
) ; (
;
)
17
25 − 17
17
25 + 17
2
+
=
+
x
+ + y
y
y
y
2
2
( x x
)
Bài 82: Giải hệ phương trình:
2
+
x
y
x
y
4
− + = 3 1
3
− + 2
Hướng dẫn làm bài:
≥
x
y
,
≥ 0
Đk:
2 3
2
+
=
+ ⇔ + −
+
−
+
=
x
+ + y
y
y
y
x
y
y
x
y
x
y
2
2
2
2
0
Xét phương trình pt(1):
(
)(
)
( x x
)
≥
≥ ⇒ + +
>
x
y
x
y
y
,
0
2
0
Do
2 3
⇔
+
−
+
= ⇔ −
= ⇔ =
x
y
x
y
x
y
+ + x
y
y
x
2
0
2
0
Pt(1)
(
)(
(
)
)
− y x + + y
x
y
1 + + y
x
y
2
2
2
+
x
y
x
4
− + = 3 1
3
− + 2
Thay y = x vào phương trình
y ta được
2
2
+
− + ⇔ −
+
−
=
− + −
x
x
x
x
x
x
x
x
4
− + = 3 1
3
2
2
3
2
1
Pt(2):
(
) 1
( 2 3
)
− = ≥
− = ≥
x
a
x
b
1
, 3
2
0
Đặt
. Pt có dạng :
− 1 3
2
2
=
−
≥
=
a
2
0
b
0
)
+
= +
a b
⇔
⇔
=
a ≥
b
0, a
2
0
0
b a 2 + ≥
a b
0
( b b + ≥ a b
y
= = x
- Với b = 0, ta có
(loại)
2 3
1
t m
( 2 /
)
− ≥ ⇔
⇔
x
x
3
− = 2
2
0
- Với b = 2a, ta có phương trình
(
) 1
2
−
+ =
x
4
x 11
6 0
≥ x
loai
(
)
≥ x 1 = x = x
3 4
=S
2; 2
- Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là
{ (
} )
2
2
+
+
+
=
x
y
y
2015
2015
2015
.
)
) (
∈ x y R
( ,
)
Bài 83: Giải hệ phương trình sau : (
−
+
+
x
x
xy
xy
x
6
2
+ = 1
4
6
1
+ x
−
x
2
2
2
+
+
+
+
=
x
y
x
y
2015
2015
2015
)
Hướng dẫn làm bài: + Điều kiện : 6 xy + Ta có : (
+ ≥ 1 0 )(
2015
2
2
+
=
+
⇔ + x
x
= − + y
y
2015
2015
2
+
+
y
y
2015
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 54
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+
+
+ −
⇔ + x
x
y
y
2015
= − (
)
2015 (
)
(1)
2
+
f
= + t
t
t ( )
2015
Xét hàm số :
là hàm số xác định và liên tục trên R
2
+
t
t
+
+
t
t
t
2015
'
= +
=
>
≥
f
t ( ) 1
0
2
2
2
+
+
+
t
t
t
2015
2015
2015
⇒
f
t R
'( ) t
0,
> ∀ ∈ :
−∞ +∞ ; )
=
y
y
f
(
)
t là hàm số luôn đồng biến trên ( ( ) − ⇔ = − x f x ( )
f + Khi đó pt(1) được viết lại : - Thay y
x= − vào phương trình thứ hai của hệ, được :
2
2
2
2
2
⇔
+
+
+ −
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(2
6
+ − 1)
2
6
1 6
6
2
+ = − 1 4
6
1
= (2) 0
= u
2
2
−
−
=
+
+
u
x
u
u
xu
x
6
22 x
6
1 ,
0
- Lại đặt :
≥ ; pt(2) thành
u
x
x 3 = − 2
= ⇔ 0
≥
≥
x
x
0
0
2
+
+ = ⇔
⇔
u
x
x
x
= ⇒ x 3
2
6
1 3
* Với
2
2
2
+
+ =
−
− =
x
x
x
x
x
2
6
1 9
7
6
1 0
3
1
1x⇔ = suy ra
y = − : thỏa đk
−
≥
≤
x
x
2
0
0
2
+
⇔
u
x
x
x
= − ⇒ x 2
2
6
+ = − ⇔ 2
1
* Với
2
2
2
+
+ =
−
− =
x
x
x
x
x
2
6
1 4
2
6
1 0
−
3
11
11
=
⇔ = x
y
suy ra
: thỏa đk
2
− + 3 2
−
3
11
11
;
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : (1; 1)− ,
2
− + 3 2
− +
2y 1
x
− = y
5
y
.
Bài 85: Giải hệ phương trình:
2
+ =
+
y
2 xy y
+ + x
x
y
≥ ≥
- Điều kiện
=
=
Hướng dẫn làm bài: 1 2 − ≥ 2y 1 0, b
x y
- Đặt a
2
2
+ + = 2 2
=
− ≥ 0 + a 2 2 a b
b + a
3(4)
- Phương trình thứ nhất trở thành - Phương trình thứ hai trở thành
2
= +
=
S
+ − S
P
2
4
(5)
≥
0)
- Giải hệ (3), (4) đặt
ta được :
2
2
+
−
=
S = P a b .
P
S
P
2
3
(6)
a b 4(3) + b
2
2
2
4
3
2
= ⇒ = =
+ −
+
+
+
a b S P ( ,
− S P 22 P
1 P 1 2
S P 3
+ 1 ⇔ − P (
1)(
4
2)
- Trừ (5) cho (6) ta được + - Thay vào (6):
= 0
+ P P = P 1
Kết hợp điều kiên
0P ≥ ta được P=1; S=2
2
3
+ =
+
P
P
2 0
4
⇔
=
+ P - Giải hệ P = 1; S = 2 ta thu được a = b =1 - Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x = 2; y 1)
P P P
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 55
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
xy
2 x y
3 x y
xy
5
7
−
=
x 5 − +
ℝ
x y ( ,
)
∈
Bài 86: Giải hệ phương trình
2
2
2 x y
x
y
2 x y
x
1
1 + − + =
−
+ x
Hướng dẫn làm bài:
0
.
Điều kiện
−
≥
xy
0
≥ x 5
2 x y + Vì x = 0 không là nghiệm của ( )2
2
2
+
+
−
y
y
− = y
0
1
1
2 x > ta được
⇒ Chia hai vế của ( )2 cho
1 x
1 x
1 x
2
=
+
y
t
t
t
- Xét hàm số
− là hàm đồng biến trên ℝ .
2
+
−
x
− = x
x
x
y
5
5
+ 7
- Do đó ( ) 2
⇔ = . Thay vào ( )1 :
1 1 x
+
⇔ −
+
− − −
+
=
x
x
x
x
5
0
1 3
1 3
7 3
2 3 2
2
+
−
−
−
−
x
x
x
x
9
2
7
( 9 5
)
+
⇔
=
0
( − − +
) x
x
7
5
= ⇒ =
(thỏa điều kiện)
y
( ) + + x x 2 2 5 + = ⇔ − x x 4 0 y x 1 1 ⇔ 1 = ⇒ = x 4 4
2
2
+
+
x
y
xy
)
Bài 87: Giải hệ phương trình:
, ( ,
x y ∈ R .
2
+ = 2
+
=
y +
y
x
1 4 + y
y x (
)
2
7
2
2
x
1
+ + =
y
x
4
2
2
+ y
⇔
0
.
y ≠ , ta có:
- Với
2
2
+ +
+ =
y +
xy x
y y
+ = 1 4 2 + y 7
x y x (
2
2
)
x
1
2
−
=
y
)
2
7
+ y
Hướng dẫn làm bài: + Nhận xét: hệ không có nghiệm dạng (x0 ; 0) + x (
+ =
=
=
v
u
x
⇔
⇔
=
u
v
x
y
,
Đặt
= + ta có hệ:
2
u v 2 −
4 =
u +
= − 4 −
v 3, = −
1 =
v
v
v
u
7
= 15 0
5,
9
2 1 + y
2
2
2
y
x
=
⇔
⇔
⇔
u
v
3,
1
+) Với
= ta có hệ:
.
y y
= x 1, = − x 2,
= 2 = 5
x x
x y
+ = 1 + = y
y x
2 0 x
y
3
+ = 1 = − 3
+ − = x = − 3
v 2
u 2 Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5).
+ =
+ =
+
+
2 x
y
y
2 x
⇔
⇔
= −
v
u
5,
9
+) Với
= ta có hệ:
,
x y
y
y
1 9 + = − 5
1 9 = − − x 5
x 9 = − − 5
2 x
= 46 0 x −
x y = ) {(1; 2), ( 2; 5)}.
Hệ này vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ;
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 56
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
+
+
−
=
x
x
y
y
4
3
− 5 2
0
(
)
) 1
Bài 88: Giải hệ phương trình sau
2
2
+
+
−
=
x
y
x
2 3 4
7
( 4
Hướng dẫn làm bài:
+ ĐK :
≤ x ≤ y
3 4 5 2
+
=
x
y
y
24 x
− 5 2
( ) 1
(
2
2
′
) 1 + ⇒ =
=
t
f
t
f
f
+ > ⇒ 1 0
t ( )
t ( )
t 3
+ Phương trình thứ nhất trong hệ tương đương với phương trình: ) ( 1 2 + Xét hàm số :
đồng biến trên R
− 5 2 (
+ ) 1 - Phương trình (1) trong hệ tương đương với phương trình
0
2
=
5 2
2
5 2
(
) − ⇔ =
≥ x − ⇔ y = y
− 5 4 2
- Thay vào phương trình (2) trong hệ ta có phương trình:
2
4
−
+
+
−
=
f f y x x (2 ) x
6
4
2 3 4
7 (*)
25 4
4
2
2
=
−
−
=
−
+
+
−
x x x
3)
4
6
2 3 4
0;
* Xét hàm số
trên
,
< 0
25 4
3 4
4 − 3 4
=
⇔
=
⇔ =
f x x x x x '( ) x 4 (4 f x ( ) x
7
Mặt khác :
nên (*)
1 2
1 2
1 2
2
2
+
+
x
y
= + x
y
y
2
2
xy 3 (1)
)
ℝ
∈
f f f x ( ) x ⇒ y = 2. (thỏa mãn)
Bài 89: Giải hệ phương trình
x y ,
(
)
2
2
+
=
−
x
y
y
x
y
+ + 1
2
2
(2)
− ( 1
2
2
+
−
+
y
xy
y
y
x
2
3
2
2
=
+
≥
x
t
t
- Đặt
Hướng dẫn làm bài: ĐK: y ≥ -1 - Xét (1): ( ) = + x 1 22 y
0
(
2
2
2
−
−
−
− − x
xy
y
y
x
t
) Phương trình (1) trở thành:
= 0
2
2
3
( + − 1
) y t ∆ = (1 - y)2 + 4(x2 + 2y2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1)2
2
2
+
x
y
= − − − x
y
2
1
1
⇒
⇔
2
2
t t
= − − − x = + x
y y
2
+
x
y
= + x
y
2
2
2
+
x
x
y
- Với
= − − − , thay vào (2) ta có:
22 y
1
≥ −
y
+ =
y
y
⇔ = y
1 3
+ ⇔ 1
0
2
+
=
y
y
1 3 5
0
9
2
x
⇒
x= − − (vô nghiệm)
1
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 57
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5
y
x
+ = − 1 2
2
− − 1 4
+
⇔
x
= + x
y
- Với
, ta có hệ:
22 y
2
2
2
1
5
+
x
y
= + x
y
2
2
= x = y
+ 2
5
x y ;
5 1 ;
Vậy hệ phương trình có nghiệm (
)
− − 1 4
+ 2
=
− +
− −
− =
− −
(1)
x 1 2x x 1
y 1 2y y 1 0
Bài 90: Giải hệ pt:
+
=
(2)
x y
y x
16
+−
−
+−
xx
y
yy
x
, ≥yx
1
=− 1
21
1
Hướng dẫn làm bài: - Từ PT (1): 21
, ĐK:
+
+
≥
)1
,
0
- Đặt f(t)=
+
1
t t t t (2
)1
⇒
=
+
+
⇒>∀> t
2
,0
0
hàm số f(t) đồng biến
2
=
−
2 − ⇒ = y x
) ( f y 1
) f x 1
=⇔=
t (2 f t t )(' t t
y
2
16
y= vào (2) ta được:
⇒ ( - Thế x
= = 4
2
2
2
−
−
+
y
x
y
x
− y x
2
2
2
2
=
+ 2 9
.5
(1)
xx x
Bài 91: Giải hệ phương trình :
x
−
+
, vậy hệ có nghiệm x ) ( + 4 2
+ = 4
4
4
2
4(2)
4 + 2 9.3
=
x x y
2 2 −
y t y x− + ≥ , đặt 2 0
Hướng dẫn làm bài: + ĐK:
+
t
2
+
−
t
2
2
⇔ +
=
+
⇔
=
=
t
f
t 2 3
2
t 2
+ Từ (1)
(3)
( ⇔ + f
)
(
)
(
t + 2 3 + t 2 5
2 + 2 3 t 2 5
x
x
x
=
=
+
2.
2
- Xét
là HS nghịch biến / R nên từ (3) suy ra
x ) t 2 9 .5
( ) f x
+ 2 3 x 5
1 5
3 5
x
2
2
+ =
+
−
t =
x
x
x
⇔ = 2
2
4
4 4
4
2
− thế vào pt (2) :
+ 2
x
2
−
x
s
s
x
s + ⇔ = + 4
1
1
4
1
+ (4)
(
)2 1
2
2
2
+
+
− = s
y x
s
s
1
1
+ − 1
4
1
= nên
+ − (5)
s
s
−
−
x
x
x
−
=
−⇔ = − + 1 ) )( −− 4 / f
− → x
2 ln 4 2
− ≥ 2
2
4
4
− > 0
− ( ) x
= (*) s 0 2 ( + = ln 4 4
)
Do ( - Lấy (4) trừ (5) ta có 4 ⇒ ( ) x f x 4 ⇒ Hàm số nghịch biên, suy ra s = 0 là nghiệm duy nhất của pt (*)
=
s s s s
⇒ Hệ có nghiệm (
)
− 1;
1 2
2
3
−
=
+ +
(1)
+ 3x 3
y 2
+ + y 3 1
( x x
)
x y ;
Bài 92: Giải hệ phương trình:
2
3
− −
−
+ =
(2)
x
6x 6
+ + y 2 1
+ x 3 x 1
Hướng dẫn làm bài:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 58
2
+
−
≥
0
3
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH )
+≥ 3
3
( xx 3 ≥+ y
03
⇒
( )*
+ ĐK:
−≤≤
x x
3
3
≥−
01
−≥
1 y
3
2
−
x x
6
≥+ 6
0
3
3
=
=+⇒−≥+
+
a
y
y
a
2
3
1
1
+ Đặt
. Khi đó , phương trình ( )1 trở thành
3
3
=
++
−≥
−
x x
x
x
a
a
13
,
1
(
(
) 1
++ 1
) =− 1
++ 1
( )3
( ) tf
. Xét hàm số
.
2
t t t
'
=
⇒∀>+
,01
⇒ ( ) f t
( )tf
là hàm đồng biến trên R.
3
=−⇔ x
a
1
) 1
( ) af
+ 2 1 Khi đó ( ) ( =−⇔ xf 3
2
2
⇔
−
t 3 t t
3
−− 1
6
6
=+ 6
3
−− 1
( ) 2
≥−−
x x x x x x x x
1
⇔
2
2
−
−
−
x x
6
=+ 6
9
6
0 (
− ⇔=+ 6 ( ) ** ) +− 1
( ) 31
3
=
x x x x xx
1
=− 1
0
≥
⇔
⇔
0
2
=− 1
( ) 3
( 5
) ⇔− 1
=− 1
2
2
5
−
+
=
4
25
25
0
=
x x x xx x x x x x
1
=
x
1
≥
0
⇔
⇔
=
x x
5
=
5
=
x x
=
5 4
5 4
5=x
62
thỏa mãn
.
Đối chiếu với (**) và ( )* thấy
=⇒=⇒ y 4 )62;5 ( ) =yx ;
x x
3
3
2
−
=
−
+
3 x y
a Vậy hệ có nghiệm là (
9
(2
)(4
3) (1)
y xy y xy
Bài 93: Giải hệ phương trình:
2
2
2
−
+
=
2 x y
4
2
3 (2)
16
xy y
0
= ⇒ = không thỏa mãn hệ phương trình.
y
Hướng dẫn làm bài: - Xét 0, - Xét 0
3
− =
−
+
y = thay vào (2) ta được: 0 3 y ≠ ta có:
9 (2
1)(4
) (3)
3
3
2
−
=
−
+
3 x y
9
(2
)(4
3)
3 2 y
⇔
2
2
2
2
−
+
=
2 x y
x x x y xy y xy
4
2
3
16
−
2
+ = 1
(4)
4
3 2 y
3
2
16 +
−
−
+ ⇔ =
xy y x x
4
16
1)(4
2
1)
1
1
- Thay (4) vào (3) ta được:
- Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là:
x x x x x y⇒ = ±
1
− = x 9 (2 = x 1 = ±
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
y
Trang 59
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+
x
x
y
+ + y
y
2
+ = 2
2
2
1
Bài 94: Giải hệ phương trình
2
+
−
+ − =
x
x
y
+ + x 22 y
2
2 0
Hướng dẫn làm bài:
x
≥ − 2
+ Điều kiện:
≥ −
x
= −
+
− + ; thay vào phương trình
x
y
22 y
2
2
1 2 + Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có: 2 x thứ nhất của hệ, ta được:
2
2
2
+
y
x
− + y
+ + x
x
y
+ + y
y
x
+ − 2
2
2
+ = 2
2
2
+ 1
(
2
+
+
+
2 ⇔ + x
x
+ + + + x
x
y
y
y
2
1
1
+ = 1
4
2
2
+ 1
) (
) 1
2
2
+ + +
+
+
+
+ (*).
1
2
2
1
2
+ = 1
(
)
) 1 2
=
+ Xét hàm số
+ , với
) ( 1 t ≥ − . 1
f
t
+ + t
t
1
( ⇔ + x ( ) t
1
1
/
//
//
+ Ta có:
;
=
= ⇔ = −
f
t 2
+ + 1
f
f
t
= − 2
;
0
( ) t
( ) t
( ) t
+
t
3 4
2
1
+
t
4
(
3 ) 1
+ Bảng biến thiên: + Từ bảng biến thiên suy ra:
t
− +∞
1−
/
≥
f
t
1;
0;
( ) t
f ''(t)
1 2
đồng biến trên
f
'(t)
( ) > ∀ ∈ − +∞ ( ) t f ) 1;− +∞ .
3 4 − 0 + ց ր 1 2
.
y
y
1 2
)
+ x
( f 2 − vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 1
2
2
−
−
+
y
y
y
2
2
+ − = 0 2
+ Do đó: Hàm số nửa khoảng [ + Suy ra phương trình (*) ( ) ⇔ + = = ⇔ f x x 1 y= 2 + Thay (
) 1
y
x
) − 1 = ⇒ = 1
1
2
y
⇔ − y 6
7
+ = ⇔ 1 0
x
( y 2 2 = ⇒ = − y
1 6
2 3
.
=
x y ;
* Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (
)
( ) 1;1 ,
−
2 1 ; 3 6
+
+ −
=
+
x
y
y
x
2
3
2 3
2
∈
x y ,
x x y y y
Bài 95: Giải hệ phương trình:
(
) ℝ
2
− + −
=
y
x
x
− − 1
4
8
0
4
.
+ Điều kiện:
1
x
Hướng dẫn làm bài: − ≤ ≤ 2 ≥ y
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 60
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+
+ +
+
= + +
+
+
x
y
x
y
x
y
x
y
2
3
2 3
3
2
2 9
6
2
(1)
( ⇔ + 4
)
( y x
)
2
⇔ + − x
= ⇔ = + y
2
0
( ) 2 3
⇔ (
2
=
≤ ≤
y x
0 (4), ( -1 x
4)
4
8
- Thay (3) Vào (2) ta được:
2
−
⇔ + − x
x x
1 2
4
+ − 9
(4)
= 0
− + − )
⇔
+
+
−
=
x x
9
0
(
)2
+ = 2 ) + − x 1 ( ) + − 1 − x 3 − + x
1
( − x 3 + + x 1 2 = ⇒ = y x 3
4 5
+
= + x
( ) 3 5
1 + +
x
1 − + x
1 2
1
4
≤
1 2
x
⇒
+
≤
∀ ∈
, x
-1;4
Xét (5). Ta có :
[
]
3 2
x
1 − + x
1 + + 1 1
1
4
≤
1
∀ ∈
1 3 2, x
-1;4
⇔ 1 + + 1 2 1 − + x 4 Mặt khác x + ≥
. Vậy phương trình (5) vô nghiệm.
[
]
2
+ + =
+
+
+
x
y
x
y
x
y
2
1
6
3
( 4 2
)
x
Bài 96: Giải hệ phương trình:
2
2
+
− + +
+
=
x
x
x
x
xy
2
4 8
4
4
(
) 1
+ 1
x
Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: 2 y+ ≥ 0
⇔ −
+
+
+ + −
+
2
1
6
3
(1)
= 0
( 1 4 2
)2
2
+
−
+
=
x
y
x
y
2
− 1 4
2
0
( ⇔ + 1 4
)(
)
+
− − 1 4 + + + y
x
x
x 1
y 6
2
3
−
+
+
=
x y x y x y
2
+ 1 4
2
0
( ⇔ − 1 4
)
+ + +
+
2
6
3
1 1
) (
>
+
+
+
x y x y x y x
x
y
0
- Do điều kiên 2
( 1 2 2
)
+ + +
+
x
x
y
1 1
6
+
x y+ ≥ nên 0
1
2
⇒ 4
2
4
3 2 = thế vào phương trình (2) ta được
2
2
− + +
+
= ⇔ +
− + +
+
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
− = 0
(
) 1
)
(
2
=
+
− + +
x
x
x
2
4
- Đặt
− = ⇔ + 1 0 ( ) 1 )
) 1
(
( f x
2
+
−
y x y x
x 2 (
) 1
+ + x
8
7
2
=
− + +
> ∀ ∈
'
2
4
+ = 2
0,
ℝ
( ) x
2
2
− 4 )( 1 4 − − x
− − x
4
2 2
4
=
x x x f x x x x
0
⇒ hàm số đồng biến trên R mà
nên
2 1 2
1 2
=
−
f x = là nghiệm duy nhất x
;
Với
= ⇒ = − (thỏa đk). Vậy hệ phương trình có nghiệm (
)
1 2
1 2
1 2
1 2
x y x y ;
Trang 61
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
3
3
2
−
+
+ − x
3
4
+ = 2
0 (1)
ℝ
∈
)
x y y y x y ( ,
Bài 97: Giải hệ phương trình
.
3
+ − =
3 2
+ + 2
(2)
3
3
−
+
x x x y
2
3
2
2
(
) 1
(
) − + . 1
3
f
t
t
2;− +∞ .
)
x y x y y x ≥ − . 2 2 3 + ⇔ + + = − x y 4
Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: 3 ⇔ + + = x y (1) = + + trên [ ( ) t 2
2
=
f
t
f
'
t 3
1 0,
2;
Ta có:
2;− +∞ .
Xét hàm số ( ) t
) + > ∀ ∈ − +∞ . Suy ra hàm số
( ) t
)
[
đồng biến trên [
1
Do đó:
x x x y y= − . Thay 1 x= + và phương trình (2) ta được:
2
2 2
2 2
+ + 2 1 )
(
2
3 ⇔ − =
+
+
=
8 2
2 2
2
2
4
(
)(
)
(
) + − ⇔ −
3 3 2 − = )( + + 2 2
+ − (
+ + )
−
x x x x x x x x
2
2
2
2
2
+
+
=
+
=
2
2
4
2
2
+ − 4
0
( ⇔ −
( ⇔ −
)
)(
)
+ +
( x
) + + 2 2
2 2
)
(
(
)
x x x x x x x x
2
0
2
*
− = ⇔ = ⇒ = x 3
2
2
2
2
+
= ⇔ +
x y
2
+ − 4
0
2
+ = 4
*
(*)
+ +
+ +
2 2
2 2
(
)
(
)
2
2
=
+
+
+ ≥
=
x x x x x x
2
+ = 4
3 3;
2;
1,
Ta có
(
) 1
)
[ ≤ ∀ ∈ − +∞
2 + +
2 2
2;3
Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (
) x y = ;
(
)
2
2
+
+
+
=
−
x
y
xy
x
y
xy
12
24
2
2
0 (1)
9
)
ℝ
∈
x y ,
.
VT x x x VP x x
Bài 98: Giải hệ phương trình
(
)
2
2
−
+
=
x
y
xy
7
( 15 (2)
3 5
0≥xy
Hướng dẫn làm bài: + ĐK
2
+
=
+
xy
y
x
y
xy
2
4
3
2
(3)
( ⇔ + x
(
)
) 0>xy
(1) 2 + Ta có x = 0 hoặc y = 0 không là nghiệm của hệ nên
.
+
x
+
=
+x
2
3(4)
xy ta được
+ Chia hai vế của (3) cho(
)2 y
xy 2 2 + y x 2
y 2 xy
2
+
x
=
≥
t
t
t
2
+ = ⇔ = 3
2
+ Đặt
ta được
2 t
y 2 xy
2
+
x
= ⇔ =
t
x
y
= ⇒ 2
2
2
1
y 2 y 2x
=
x y ;
Thay 2=x Vậy hệ có nghiệm (
)
(
2 1 = ⇔ = y ) 2;1 .
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
y y vào (2) ta được
Trang 62
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
−
=
x
1
2
x
y
12 + 3
Bài 99: Giải hệ phương trình:
+
=
y
1
6
x
y
12 + 3
Hướng dẫn làm bài:
−
=
−
=
1
x
2
(1)
12 + y 3x
+ Điều kiện: x > 0 và y > 0.
=
(2)
+
=
1
y
6
12 + y 3x 12 + y 3x
2 x 6 y
1 ⇔ + 1
12 + y 3x
+
+
=
- Lấy (1) + (2):
(*)
2
⇔ = 1
6 y
2 x
1 x
=
−
=
(*) ⇔
−
+
- Lấy (2) – (1):
12 + y 3x
12 + y 3x
3 y
1 x
3 y
1 x
3 y
1 x
3 y
= y
2
2
2
2
=
− ⇔ +
=
⇔
=
y
− 6xy 27x
0
⇔ + y
− 6xy 27x
0
3x = −
y
9x
12 + y 3x
9 y
1 x
⇔
- So với điều kiện, nhận y = 3x
⇒ =
+
(*)
4 2 3
y 12 6 3
4 2 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm
=
+ y 12 6 3
⇔ = + x = + x
2
2
+
+
=
3
x xy y
Bài 100: Giải hệ phương trinh
2
+
−
−
2
7
5
+ = 9
0.
x xy x y
Hướng dẫn làm bài: Cộng hai vế pt ta được : (x + y – 2 )2 + x( x + y – 2 ) – (x + y – 2 ) = 0
+ − =
⇔ + − x
+ − y
3
(
) ( 2 . 2
)
2
3 0
= ⇔ 0
+ − =
x
y
2 0
⇔
- Với x + y – 2 =0 , ta có hệ :
2
2
= =
x y
1 1
+
+
=
x
xy
y
0
1
=
+ − =
x y x y 2 0 + − = y x
1
2
3 0
- Với 2x + y – 3 =0 , ta có hệ :
2
2
+
+
=
y x y
0
x xy y
2 = − 1
= x ⇔ = x
3
2
2
+ +
+
=
y
(4
1) 2(
1)
6 (1)
x y x x
Bài 101: Giải hệ phương trình:
2
2
+
+
+
2 x y
= + x
2 2 4
1
1 (2)
)
(
0x ≥
y x
Hướng dẫn làm bài: ĐK:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 63
⇒ + x
x
2 1 0 + > .
2
+
+ (2 2 4
1)
0
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Do x = 0 không phải nghiệm nên x > 0 Từ PT (2) ⇒
> . Chia hai vế pt (2) cho
2x , ta được :
2
2
+
+ = +
=
y y
2
2
2
1
+ ⇔ 1
(3)
(
)
(
)
(
)
1 x
1 x
1 x
1 x
2
y y y f f y (2 )
= + t
* Xét hàm số :
+ trên khoảng ( 1
) 0; +∞
2
2
⇒
= +
f t t t ( )
> ∀ > ⇒ t
+ + 1
0,
0
hàm số đồng biến trên khoảng (
) 0; +∞ (4).
+
1
Từ (3) và (4)
1 ⇒ = 2 y x
3
2
+
f t t '( ) 1 t 2 t
+ + x
2 y
2
6
* Thay
= vào pt (1), ta được :
= (5).
(
) 1
1 x
3
2
=
+
+ + x
x x x
2
trên khoảng (
) 0; +∞
) 1
2
Ta thấy x = 1 là nghiệm pt (5). ( Xét hàm số : x f x ( ) +
x
1
2
+
f
x
x
+ + x
x x
x
= '( ) 3
4
0,
0
Có
> ∀ > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (
) 0; +∞ (6).
x
Từ (5) và (6)
1x⇒ = là nghiệm duy nhất của pt (5)
x x
1
2
1;
*
= ⇒ = . Vậy nghiệm của hệ :
1 2
2
2
−
−
+
+ =
x
y
x
y
2
7
2
6 0
x y
Bài 102: Giải hệ phương trình:
,x y ∈ ℝ .
(
)
3
2
3
+
−
+
−
+
=
x
2 x y
xy
y
x
y
− 7
12
6
2
2
0.
2
3
3
2
+
−
−
+
=
2 x y
xy
y
x
y
−
−
+
−
+
=
Hướng dẫn làm bài: Ta có: + − x 7
12
6
2
2
0
y
x
x
x
y
x
2
2
2
0
( )2
( ⇔ −
)
( x y
)
(
)2
2
2
2
−
−
+
−
−
−
+ >
∀
+
x
x
y
x
y
x
+ Vì
nên:
2
2
+ = 2
2
2 0,
x y ,
( x y
)
(
)
(
)
x 2
x
y⇔ − = hay x
23 x 4 y= .
0
( )2
x
⇒ Hệ tương đương:
2
2
−
−
+
+ =
+ =
x
x
y
x
y
x
= x y 2 5 −
2
7
2
6 0
6 0
⇔
= y
2 3.
= y x ⇔ = x = x .
2;2
3;3
) x y = ;
(
)
hoặc (
) x y = ;
(
)
2
2
+
+ − y
4
9
3
5
8 (1)
x y x x x
Bài 103: Giải hệ phương trình:
2
−
=
− + y
12
12 (2)
+ − − = x ( 12
+ + 1 )
Vậy hệ có 2 nghiệm (
x y x
Hướng dẫn làm bài:
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 64
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1 3 12
+ Điều kiện:
( ) *
2
−
≥
0
2
+
x
) + − ≥ y
5
8 0
≥ − x ≤ y ( y 12
Ta có :
x
− ≤ y
12
12
2
⇔
−
=
−
y
x
x
y
12
12
( ) 2
( 12
)
2
−
−
x
x
− + y
y
24
12
( 12 12
)
− ⇔ 12
2
−
x x
12
− ≤ y
12
⇔
⇔
2
− ≤ ≤
x
≤ ≤ y
2 3; 0
12
−
−
=
12
0
x (
− + =
x x y
12 ) 23 x
= y 1 3 3
3
+ + 1
5
+ 4
2
⇔
+
−
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
3
+ − 1
3
1
+ − 2
5
4
0
(
Thay vào phương trình ( )1 ta được: (
x x
)
1
1
2
+
=
+
x
3
0
( ⇔ − x
)
)
)
+
x
x
3
+ + 2
5
4
2
x x
+ + 1 0
+ ⇔ − = ⇔ = hoặc
x (
x 1 1x = . ) 1;11 .
+ +
=
+
+
+
x
y 3
(x
2 y)
2 x
y (1)
x x 0 ;x y là ( ) Khi đó ta được nghiệm (
Bài 104: Giải hệ phương trình:
.
2
+ + + +
−
=
y 2
x
x
y
3 (2)
x
0;12 và ( ) + + y x
0
(*)
x
Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:
+ ≥ y − ≥ y
0
+
=
+
=
x
0
+ Đặt
= + ≥ , từ (1) ta có: +
t
2 t
t
+ − 3
2 t
0
t
t
3
+2 t
2 t ⇔ −
3
− 3(1 t)
⇔ −
+
=
⇔ −
+
=
(1 t) t
0
t(1 t)
0
t
+ + 3
2 t
t
+ + 3
2 t
3
> ∀ ≥
t x y
1
1
) ⇒
+ = ⇔ = − (3). y
⇔ =t
1 (Vì +
t
0,
t
0
t
+ + 3
2 t
− =
+ Thay (3) vào (2) ta có:
2x
+ + 3
2x 1
3
2
−
x
1
− 2x 2
2
⇔
+
− −
=
⇔
+
=
( x
+ − 3
2)
( 2x 1 1)
0
0
2
− + 2x 1 1
x
+ + 3
2
+ x 1
2
⇔ −
+
=
(x 1)
0
2
− +
2x 1
1
x
+ + 3
2
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
x x y
Trang 65
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+ x 1
2
+
>
≥
).
⇔ =x
1 (Vì
0, x
2
1 2
− + 2x 1 1
x
+ + 3
2
⇒ (x = 1; y = 0), thoả mãn (*).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 1; y = 0). 2
2
+
−
y
x
y
xy x (
− = ) 2 (
2 ) (1)
Bài 105: Giải hệ phương trình
−
+
=
−
4 x y
y
x
xy
6
2 x y x (
+ ) 4
3 x 3 . 81
8 (2)
3
2
2
2
2
2
2
+
+
y
y
x
2
2
y 2
2
+
x − =
xy
y
xy
)(
1) 2(
+ − y xy 2 − = 1) 0
2
Hướng dẫn làm bài: Xét phương trình (1): xy x ( 2 + − x ) ( 2 + + y
y x
− = ) 2 ( + xy ) 2 xy
⇔ xy x ( ⇔ − xy (
1)(
2 0 1
2 − = − ⇔ xy x ) 2 ) ( 2 − + ⇔ + x y ( = ⇔ = thay vào (2) ta được : 2) 0
3
3
3
−
8
3
2
3
+
−
=
+
−
+
−
x
x
x
x
⇔ − x (
3(
)
3.
2
− = 2
x 81
8
(*)
32 ) 3
2 3
x 81 3
x 81 3
4 3
− 8
f
3 = + t
t ( )
t 3
Xét
, f(t) đồng biến trên R. Khi đó PT (*) trở thành:
0
3
3
−
−
8
3
24
3
−
=
− ⇔ =
f
⇔ − = x
⇔ − = x
x
f x (
)
2
3
x 81
8
2 3
x 81 3
2 3
x 81 3
3
− 8
+
3
24
= x = x
3
+
−
⇒ hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:
,
3 2 6 3 3
3 2 6 3 3
= x = y
+
−
3 2 6
3 2 6
2
−
+
−
=
−
y
x
y
x
y x )(
3
3)
(
3 1) .
(1)
Bài 106: Giải hệ phương trình
.
3
2
3
−
x
− + y
x
y
2
− = 4
2(
2) (2)
= x = y − (1
2
2
⇔
+ ĐKXĐ:
≥ ≥
≥
y
x x
1
x
1
Nhận xét
1y > thì pt (1) của hệ (I)
Hướng dẫn làm bài: − ≥ y x 0 ≥ ≥ x 1 y≥ 1, 2
y y 0, 1, = không là nghiệm của hệ. Xét 2 − +
− −
−
+
−
y
y
x
x y (
x y (
1)
1)
(
1)
= 0
1) 3( 2
⇔
+
=
=
>
,
,
0
− + 3
0
1
1
1
4
3
2
2
+
+ − = ⇔ −
+
+
+
t
t
t
t
t
t
Khi đó, pt (1) trở thành
= ⇔ = t 0
1.
3 0
t 2
3
t t x − x − x − y y y y
)( 1
)
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
x − 1 (
Trang 66
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
= ⇔ = + y
1
1
- Với t = 1, thì
, thế vào pt(2), ta được
1
2
3
3
3
3
− − +
−
=
x x − y
2 − ⇔ − − + x
1 2
− = 4
2
1 2
− − 4
0
(
) 1
(
) 1
2
x x x x x x x
− − x
1
2 ⇔ − − +
=
1 6
0
2
2
3
3
3
3
−
+ +
−
−
x x x
4
− + 4
(
) 1
(
) 1
(
)
2
x x x x
− − x
6
1
+
=
2 ⇔ − − x
0
2
2
3
3
3
3
−
+ +
−
−
x x
4
− + 4
(
) 1
(
) 1
(
1 1
1
5
2
≥
x
x
x
x
⇔ − − = ⇔ = 1
0
.
(
) 1
) + 2
5
1
5
3
1
5
=
Với
x
⇒ = y
.
x x x x
5 3 ;
Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm (
)
+ 2
+ 2
+ 2
+ 2
=
.
2
+
+
−
+
=
x
xy
x
y
y
9
5
9
7 (1)
x y ;
Bài 107: Giải hệ phương trình
2
− + + =
−
−
+
x
y
x
y
x
2 1 9
7
y 7 (2)
)
4 (
9
0y≥ ≥ . Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y, vậy từ (2)
Hướng dẫn làm bài: Đk : x
⇔
x
y−
+ 1 – [3(x- y )]2 = 0
+
+
−
=
3
+ 1 3
3
0
⇔
( + − 1 3
)(
)
−
y− + - 7 7x 2 − y x 2 6 6 − + + x y
2
7
7
+
−
=
x y x y x y
− 1 3
3
3
0
⇔ (
)
( + + 1 3
)
2 − + +
−
2
7
7
−
x y x y y x x y
3
+ x > y ≥ 0 nên
> 0 suy ra 1–3x + 3y =0
( + + 1 3
)
2 − + +
−
2
7
7
+ Thay y = x –
vào phương trình (1) ta được
1 3
9x2 + 9x(x -
) + 5x – 4(x -
) + 9
1 3
1 3
1 x − = 7 3
⇔ 18x2 – 8x + 6x -
+ 9
x − - 3 = 0
8 3
1 3
⇔ 2x(9x – 4 ) +
(9x – 4 ) +3( 9
3x − - 1 ) = 0
2 3
x y y x x y
2
⇔ (9x – 4 )
= 0 ⇔ x =
vì x > 0
4 9
2 + + 3
3 − +
3 1
9
Với x =
thì y =
. Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (
;
)
4 9
4 9
1 9
1 9
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
x x
Trang 67
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
+ + = −
x
y
y
2
6 1
(1)
Bài 108: Giải hệ phương trình
2
+
=
+ + x
xy
y
9
0 (2)
9 1
Hướng dẫn làm bài: 6 0
+) Đk:
+ + ≥ y ≥ − 1
x x y ≥ , để hệ có nghiệm thì 1 +) Nếu
0
=
+ + ≥
VT
x
y
(1)
2
6
2 5
⇒
>
VT
VP
hệ vô nghiệm.
(1)
(1)
= − ≤
y
(1) 1
1
y≥ ≥ . 0
VP +) Nếu y < 0, từ (2) suy ra x > 0
2
2
2
+
+
+ + x
xy
y
y
y
9
9 1
9
= ⇔ 0
9
(3)
( = −
)
( + −
)
3 x
2
3 x + t 9 2
2
=
+
>
=
> ∀ >
f
t
t
t
f
t
Xét hàm số
t ( )
9
,
0;
t '( )
0
0
2
+
t
9
⇔
=
− ⇔ = − ⇔ =
f
f
x
y
y
(3)
(
)
9 2 y
3 x
3 x
=
y
y
Thế vào pt(1) ta có phương trình
+ + = − (4). Hàm số y
6 1
2
g y ( )
2
+ + 6
9 2 y
9 2 y );0−∞ ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến trên (
);0−∞ và phương trình có
đồng biến trên ( ngiệm y = -3 nên pt(4) có nghiệm duy nhất y = -3. Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;-3).
2
2
+
+ =
+
2 x y
x
x x y
1 2
2 (1)
Bài 109: Giải hệ phương trình:
x y ∈ R . ( ,
)
6
2
2
− +
−
+ =
y x
y
3 y x (
1) 3 (
+ 2) 3
4 0 (2)
Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:
3
2
=
+
+−
⇔
)1
3
3 +
⇔
y y
(
t
)1 f
) f
y
t ≥ −
3 = t )( 2 f x y (
− y (31 (3) − )1 + > ∀ ∈ R 2 3 0, y y 1).
+
+
. Từ (2) − y 3 = − y ( có t 3 f y ( 2 yx
x
yx
(3 = t '( ) 3 2 − ⇔ = − x y 1) 212 =+
1
2 −≥yx 2 6 3 2 + yx yx 3 2 2 3 + yx yx 3 + - Xét hàm số - Do đó = ⇔ (3) ) - Thế vào (1) ta được
1, (
2
2
⇔
−+
−+
=+
x
y
yx
yx
yx
(
2)1
⇔=++ 011
(
)11
⇔= 0
11
2
2
+
=
2 yx
x
y
x
1
−= 2
=+
yx
11
2
2
2
⇔
⇔
−
+
=
−= y
x
x
1
)
)4(1
Do đó hệ đã cho tương đương với
2 yx
−= y
1
2 yx > x
x x
0
2( > 0
4
2
2
2
2
2
2
−⇔=+
−
=−+
−⇔ x
t
)4(
3
01
(
)1
−−⇔= x (
0
)(1
)1
0
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
x x x x x x
Trang 68
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5
1
=
5
5
⇔
=x
=x
. Do x > 0 nên
hoặc
1+ 2
1+− 2
5
=
x
± 2 ±− 1 2
5
1
5
1
5
1
5
=
=
x
=⇒ y
=⇒ y
Với
. Với
.
+ 2
− 2
+− 1 2
+ 2
1
5
1
5
5
1
5
=
=
x x
)
;
)
;
Vậy hệ đã cho có nghiệm
,
+ 2
− 2
+− 1 2
+ 2
+ + +
yx ;( yx ;(
+ − y
2
= + 2
(1)
)
(
) 1
∈
∈
,
y x x y y x y ℝ ℝ x y
Bài 110: Giải hệ phương trình:
(
)
2
4
2
3
+
+
−
=
2
2
4 (2)
− ( 1
2
2
=
=
−
y x y y
= x u
0;
0
.
)
2
2
2
2
2
− ⇔ −
−
−
+
−
+ +
u v v y v ;
= + 2
2
= 0
(
)( 1
)
) 1
(
u u v v v u v
)( ≥ ) + v u u 1
y y x x
Hướng dẫn làm bài: ( - Đặt + ≥ x y u - Pt (1) của hệ trở thành: ( 1 * TH 1 : u = 1 1
)( v 1 2 ⇒ + = ⇒ = − . Thế vào pt thứ hai của hệ ta được:
2
4
2
2
4
2
3
3
+ −
+
−
= ⇔ −
+
−
−
2 2
2
4
2
2
2
= 0
)
(
4
2
−
−
y y y y y y y y
2
8
⇔
−
+
=
2
0
( y y
)
2
4
4
2
3
3
−
+
−
+
y
2
2
2
4
(
2
+
+
y y y y y )
2
2
)
(
)(
+
= ⇔ =
2
0
2
( ⇔ −
)
2
4
4
2
3
3
−
+
−
+
y y y y y
2
2
2
4
(
)
Khi đó x = -1. * TH 2: v = 1. Suy ra y = 1; x = 2. * TH 3: u + v + 2 = 0: Vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (
) ( ) 1; 2 , 2;1
4
2
3
2
+
−
y y y y
Bài 111: Giải hệ phương trình:
với x, y ∈ ℝ
1)y 4 −
1) +
(x 2 xy (3xy
+ = 1 2xy (y 4 + = xy (x 2y) 1
2)
( ) x y = − ;
5
4
2
4
+ Hpt
= 5
1(1) =
− −
− −
2 x y 2 4 x y
xy 2 2 6 x y
y xy
1(2)
2
Hướng dẫn làm bài: xy 2 ⇔ 2 xy 3 2
− − Lấy (2) trừ (1) ta được: 3x2y6 – 4xy5 + y4 = 0.
4
=
⇔
1
2
+ =
−
1 0
4
3
0 )
=
1 3
= y 0 ⇔ = xy + Với y = 0 thay vào pt (1) không thỏa mãn. Suy ra hệ vô nghiệm.
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
xy xy y ( xy
Trang 69
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5
1
4
2
=
+ ⇔ =
(
1)
+ Với xy = 1 thay vào pt (1). Ta được:
± 2
−
5
1
5
1
=
=
y y y
⇒ = x
⇒ = x
+ Với
;
− 5 1 2
− 2
− 5 1 2
+ 2
+ Với
y y
1 3
−
5
5
;
;
và
Vậy hệ có 2 nghiệm
− 5 1 1 2
+ 2
− 5 1 1 2
− 2
2
2
+
+ −
−
+ = −
−
(1)
x
2x 5
y
2y 5
y 3x 3
xy = thay vào pt (1) ta được: 3y4 + (y + 3)2 = 0 vô nghiệm
Bài 112: Giải hệ phương trình:
2
2
−
−
(2)
y
+ = 3y 3 x
x
2
2
−
+
x
y
+ − 4
4
+ = y2 - x2 - 2y - 2x
phương trình (1) ta có:
) 1
(
Hướng dẫn làm bài: Phương trình (2) ⇔ y2 - 3y + 3 = x2 - x ⇔ y - 3x - 3 = y2 - x2 - 2y - 2x thế vào (
) 1
2
2
+
−
x
y
+ − 4
4
+ = (y-1)2-(x-1)2
⇔ (
) 1
(
) 1
x +
y −
4
4
+ +(y-1)2 (*)
⇔ (
)21
+ +(x+1)2= (
)21
Xét hàm số f(t) =
4t + +t trên [0;+ ∞ ), f’(t) > 0 ∀ t≥0 ⇒ f(t) đồng biến trên [0;+ ∞ )
2
⇒ phương trình (*) ⇔ f((x+1)2) = f((y-1)2) ⇔ (x+1)2 = (y - 1)2 ⇔
= − y = −
x
= −
=
x y
;
- Với x = y - 2, thế vào (2) giải được:
1 2
3 2
= −
=
x y
;
- Với x = - y, thế vào (2) giải được:
3 4
3 4
−
−
Vậy (x;y) ∈
,
1 3 ; 2 2
3 3 ; 4 4
3
2
−
+ + =
+
+
+ − +
y
x
y
x
y x
xy
y
1
3 (
1) 1 (1)
x y
Bài 113: Giải hệ phương trình :
2
+
−
=
y
y
x
5
5 (2)
Hướng dẫn làm bài:
( vì y = 0 không thỏa HPT), từ (1)
Điều kiện :
1
> y
2
⇔
=
+
− + +
+
x
x
y x
x
x
+ − y
(
1)(
1) 3 (
1)(
1)
0 + ≥ − y − + x 1) ( + + + y x
y
1
2
2
+
−
x
− + x
xy
y
y
⇔ + x (
1)[
3
3
3
+ + 1
]
+
1 x
y
1
2
2
+
−
+
−
x
y
x
y
y
⇔ + x (
1)[
(3
1)
3
3
+ + 1
] (3)
+
+ + y 1 x
y
+ + y
1
≥ ∀
x
2
+
y
y
+ = 5
5
Xét A = x2 + (3y – 1 )x + 3y2 – 3y + 1. ∆ = -3(y - 1)2 0 ≤ ∀ ∈x R ⇒ 0 - Vậy từ (3) ⇔ x = -1 ,thay x = -1 vào (2) ta có :
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
A x y R ∈ ,
Trang 70
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
17
= y
17
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - 1 ;
)
− + 1 2
17
⇔ = y
− + 1 2 − − 1 2
2
4
3
+ + =
+
+
x x
y
y
x
x
x
(1)
l ( )
Bài 114: Giải hệ phương trình
(x,y R∈ )
+
+
−
=
x
y
x
− + 1
y x (
1)
(2)
9 2
1
, từ (1)
Hướng dẫn làm bài: Đk:
0
≥ x ≥ y
2
2
⇔
+
+
−
=
+ − y
(
)
(
)
0
−
x x x x x y
2
2
⇔
+ + y
+ − x
+ − = ⇔ − 0
(
)(
= ) 0
2
2
+
+ + y
+
+
−
=
y x x x x y y x x x x x x
− + 1
1)
+ Do đó x = y thay vào pt (2) :
9 2
2
=
+
−
≥ ⇒ =
− +
x
x
t
x
t 1(
0)
2
1 2
x x (
− 1)
+ +
+
⇒ − + x
x x x x x (
2t
1 2t
9
0
1
+ Đặt t PT trở thành 2t
= hay
− = chỉ lấy t = 2
= 2
⇔
−
= − ⇔
x
⇔ = x
2
1)
5 2
25 16
2
2
5 2 −
=
+
x x x (
4
4
− 25 20
4
2t 8 ≤ x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (
)
25 25 ; 16 16
3
2
3
2
−
+
x
x
y
y
3
+ = 2
3
x x x x
Bài 115: Giải hệ phương trình:
2
+
x
y
y
− = 2
8
3
3
2
≥
+
y
y
0
3
2
Hướng dẫn làm bài: Điều kiện:
≥ ⇔ 0
2 0
≥ x ≥ y
+ y y 8 − ≥ x 2 0
3
2
3
2
−
−
+
−
Khi đó:
x
x
y
x
y
y
y
x
3
+ = 2
3
3
3
+ 3
3
3 ) 1
(
(
) − = 1
)3
3
⇔
+
với hàm số
y
f
t
f
3
t ( )
( f x
) − = 1
3
2
2
− =
- Xét hàm số
t
f
t
f
3 3
= t t '( ) 3
[ 1;
( = − t 3 (
) − ≥ 0 1
3
- Hàm số
f
t 3
t ( )
+ ⇔ − ) ) t ∈ +∞ có ) 1;+∞
⇒
+ ⇒ − = x
y
f
y
y
1
3
2
3
( f x
) − = 1
2
2
2
−
=
⇔
+
+
- Từ
x
y
y
y
y
y
y
x
2
9
8
8
8
3
− = 2
( = − với t t ( ) 3 = − đồng biến trên [ t ) ( + ⇒ ( y 9
)
+ ⇔ − = x (
+ − 3 1 ) + − = 3 1
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 71
2
+
+ . Với điều kiện
y
9
+ = 3
9
8
0y ≥ , bình phương 2 vế của phương trình và
3
2
4
3
2
+
+
+
−
+
+
+
y
y
y
y
y
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ⇔ y y biến đổi thành: y y 16
= 162 0
63
72
17
99
162
= 0
( ⇔ − y
)( 1
)
Suy ra
1y = và
3x = . Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất:
3 1
= x = y
2
2
+ + + +
Bài 116: Tìm m để hệ sau có nghiệm
= = = = 8 = = = =
y + + + +
+ + + + + + + + x y x + + + + xy(x 1)(y 1) m
2
+ + + + + + + +
Hướng dẫn làm bài: 2 + = + = + = + = y x
+ Hệ
x y 8
2
2
+ + + +
+ + + +
(x x)(y
= = = = y) m
⇔⇔⇔⇔
2
8
= = = = u x
+ ≥ − + ≥ − + ≥ − + ≥ − x
+ Đặt
khi đó ta có hệ :
2
y
+ ≥ − + ≥ − + ≥ − + ≥ − y
= = = = v
≥≥≥≥
u; v
-
1 4 1 4
u
⇒⇒⇒⇒ = − = − = − = − v
8 u
8 u
)
(Do v
Từ (1)
thay vào (2) ta có :
+ =+ =+ =+ = u v (1) u.v = m (2) 1 4 33 4
1 − ≥ − ⇒⇒⇒⇒ ≤≤≤≤ ≥ − ⇒⇒⇒⇒ − ≥ − ≥ − − ≥ − − ≥ − ≥ − ≥ − 4
1 4
2
− − − −
+ + + +
u
= = = = 8u m
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ u
(*);-
.
1 4
33 4
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ u
Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn -
1 4
33 4
2
+ + + +
= − = − = − = −
− ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤
u
8u;
u
⇔⇔⇔⇔ 2 đồ thị
phải cắt nhau
1 4
33 4
f (u) ==== y m + + = − = − + = − + = − 2u 8;f '(u)
0
= ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = u 4
- Có f '(u) Ta có BBT:
4
-
u
33 4
1 4
-
f'(u)
+ 0 16
f(u)
-
-
33 16
33 16
− − − −
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤ m 16
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là :
33 16
+ + + + + + + + + + + +
= = = =
x
y
5
1 x
1 y
Bài 117: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm
3
3
+ + + +
+ + + +
+ + + +
= = = =
x
y
− − − − 15m 10
1 3 x
1 3 y
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 72
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Hướng dẫn làm bài: * ĐK: x, y
0≠≠≠≠
+ + + + + + + + + + + +
= = = =
+ Hệ
x y 5 1 x 1 y
3
3
+ + + +
− − − −
+ + + +
+ + + +
+ + + +
− − − −
+ + + +
= = = =
x y
− − − − 15m 10
1 x 1 x 1 y 1 y
3 x
3 y
⇔⇔⇔⇔
= + = + = + = +
≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥
+ =+ =+ =+ =
u x , u 2 u 2
u v
5
(1)
Đặt
thay vào hệ ta có :
3
3
− − − −
− − − −
= = = =
u
+ + + + 3u v
3v
− − − − 15m 15
(2)
≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥
, v 2 v 2 1 x 1 y
= + = + = + = + y v
⇒⇒⇒⇒
⇔⇔⇔⇔
v 5 u
⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − v
+ Từ (1)
,
≤ − ≤ − ≤ − ≤ − 2 ≥ ≥ ≥ ≥
v
− ≤ − − ≤ − − ≤ − − ≤ − 2 − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ 5 u 2
≥ ≥ ≥ ≥ u 7 ≤ ≤ ≤ ≤ u 3
2 u 3 u 7
2
− − − −
+ = + = + = + = 5u 8 m, u
5 u Do 2 ≤ − ∪ ≥ ⇒⇒⇒⇒ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ , thay v = 5 - u vào (2) ta được: ≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ − ∪ ≥ 2 u 2 u ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ (*). ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ 2 u 3 u 7 2
kết hợp với u 2u + Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u
2
≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥
= = = =
+ + + + 5u 8,u
2 u 3 u 7
2
phải cắt nhau
⇔⇔⇔⇔ 2 đồ thị
≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ ≤ − ∪ ≤ ≤ ∪ ≥ 2 u 3 u 7 2 − − − − f (u) u ==== y m
- Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = 0
5 ⇔ =⇔ =⇔ =⇔ = u 2
5
7
+∞
-2
2
3
-∞
u
2
f'(u)
0
+∞
+∞
f(u)
2
2
22
22
7
4
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤ m 2
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là
7 4 ≥≥≥≥ m 22
3
2
− − − −
+ + + +
2x
+ + + + (y 2)x
= = = = xy m
(*)
Bài 118: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm
2
+ − = − + − = − + − = − + − = −
x
x y
1 2m
2
2
2
3
2
+ + + +
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ −
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
− − − −
− − − −
− − − −
− − − −
2x
xy m x (2x y) x(2x y) m (2x y)(x
= = = = x) m
⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − 2x
− − − −
yx 2
− − − − (2x y)(x
= = = = x) m
Hệ
2
− + − + − + − +
− = − − = − − = − − = −
x 2x y
x
1 2m
Hướng dẫn làm bài: + Từ (*) − − − − ⇔⇔⇔⇔
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 73
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
==== u.v m
(1)
2
= = = = u x
− ≥ − − ≥ − − ≥ − − ≥ − x
2
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = −
1 2m
u
(2)
+ Đặt
khi đó hệ
1 4
− − − − 2x y
= = = = v
≥ −≥ −≥ −≥ − u
v 1 4
2
− − − −
⇒⇒⇒⇒ = − = − = − = − v
1 2m u
Từ (2)
2
+ + + +
= − = − = − = −
+ + + +
= = = =
≥ ≥ ≥ ≥
m(2u 1)
u
u,u
m
(**), u -
thay vào (1) có : 2 + − + − + − + − u 1 u ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − ⇔ ++++ 2u 1 4
1 4
u
+ Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn
1 ≥ −≥ −≥ −≥ − 4
= = = =
= = = =
≥ ≥ ≥ ≥
m
, u
-
⇔⇔⇔⇔ 2 đồ thị
phải cắt nhau.
2u + − + − + − + − u ++++ 2u 1
1 4
f (u) ==== y m
3
2
− − − −
= = = =
f '(u)
,f '(u)
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0
- Có
+ − + − + − + − 2u 1 2u 2 ++++ (2u 1)
3
(lo¹i)
==== u ==== u
− +− +− +− + 1 2 − −− −− −− − 1 2
-1- 3
-1+ 3
1
1
-
-
+∞
-∞
u
2
2
4
2
f'(u)
-
-
+
+
+
0
0
2- 3
f(u)
2
5
-
-∞
8
3
2
≤≤≤≤
m
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là
−−−− 2
+ + + + + + + +
− = − = − = − =
x 1
7 y
4
(1)
Bài 119: Giải hệ phương trình
+ + + + + + + +
− = − = − = − =
y 1
7 x
4
(2)
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
x;y
≤ ≤ ≤ ≤ 7
+ − + − + − + −
− − − − − − − −
7 x
Hướng dẫn làm bài: * ĐK: 1 - Lấy (1) - (2) ta có : x 1
x 1
+ + + + y 1
x 1
+ + + + y 1
7 y
− − − − 7 x
7 y
− − − − 7 x
+ + + + + + + + y 1 ))))
))))
((((
7 y ((((
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ + + +
= = = =
0
))))(((( + + + + + + + +
− = − = − = − = 0 ))))(((( − + − + − + − +
x 1
+ + + + y 1
7 y
− − − − 7 x
+ − + − + − + − ((((
+ + + + + + + + ))))
− − − − − − − − ((((
− + − + − + − + ))))
⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ −
+ + + +
= ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ =
(x y)
0
x
y
1 + + + + + + + +
1 − + − + − + − +
x 1
+ + + + y 1
7 y
− − − − 7 x
+ + + + + + + +
− = ⇔ + + − = ⇔ + + − = ⇔ + + − = ⇔ + +
+ − = + − = + − = + − =
+ + + +
− − − −
7 x
x 1 2 (x 1)(7 x) 7 x 16
4
- Thay y = x vào (1) có : x 1
⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ +
− − − −
(x 1)(7 x)
3
4
= ⇔ = = = ⇔ = = = ⇔ = = = ⇔ = = x y
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
Trang 74
TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
2
2
+ + + + = = = = x y m y (1)
2
2
Bài 120: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
= = + + = = + + y x m x (2) <<<< m 0
0 x y
3
2
− − − − − − − − + + + + x (*)
Hướng dẫn làm bài: + Lấy (1) - (2) ta có : (x y)(xy y x) = ⇔ = (do m < 0 nên xy + y + x > 0) = ⇔ = + + + + + + = ⇔ = = ⇔ = + + Thay y = x vào (1) có : > = > = > = > = x m, x 0 - Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (*) phải có nghiệm duy nhất
3
= − = − = − = −
+ + + +
> > > >
x
2 x , x
0
⇔⇔⇔⇔ 2 đồ thị
phải cắt nhau tại duy nhất 1 điểm
f (x) ==== y m
0
2
- Có
= − = − = − = − + + + + f '(x) 3x 2x,f '(x) = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0
==== x ==== x (ktm) 2 3
2
-∞
x
0
+∞
3
f'(x)
-
0
-
0
+
4
f(x)
27
-∞
0
Từ BBT suy ra giá trị m cần tìm là m < 0
NGUYỄN HỮU BIỂN
Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien Nhóm ôn thi đại học online: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien
https://www.facebook.com/luyenthipro.vn
