Cẩm nang cho mùa thi: Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác

CẨM NANG CHO MÙA THI

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA)

https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Email: ng.huubien@gmail.com

NGUYỄN HỮU BIỂN

LỜI GIỚI THIỆU

Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội

dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác

các em được học trong chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với các công thức và kiến thức nền

tảng của lớp 10. Để giải phương trình lượng giác, điều đầu tiên các em cần là phải biết cách

học thuộc các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, tiếp theo các em cần học tập siêng năng,

chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, từ đó biết phân chia các dạng toán và kỹ

thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với mọi loại bài về giải phương trình lượng giác trong đề

thi.

Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

GIÁC được chắt lọc, đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp

11, học sinh ôn thi đại học môn Toán và quý thầy cô giáo dạy Toán THPT. Tài liệu được biên

soạn tỉ mỉ, phân chia dạng toán rõ ràng, công thức đầy đủ, mỗi phần đều có ví dụ minh họa và

hướng dẫn. Học sinh bị mất gốc kiến thức về lượng giác cũng có thể học lại từ đầu không mấy

khó khăn. Hy vọng rằng với cuốn tài liệu hữu ích này, các em học sinh sẽ có một “cẩm nang”

để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử.

Tài liệu rất có thể vẫn còn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em

học sinh và độc giả.

Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN

Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien

Email: ng.huubien@gmail.com

ÔN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Hàm số y = sinx

+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)

+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ]

− ≤

≤ )

(Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1 s inx 1

+ Hàm y = sinx là hàm số lẻ

x D

(Vì x D

∀ ∈ ⇒ − ∈ và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O).

+ π =

s inx

- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị hàm

+ Chu kỳ T = 2π (Vì sin(x 2 )

số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ thị

được thuận tiện) + Bảng biến thiên trên đoạn [

]0;π (trên nửa chu kỳ)

π

0 x

2 y = sinx

1

0 + Đồ thị hàm số

Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do đó muốn khảo

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị ]0;π (nửa chu kỳ) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta được đồ thị hàm số trên đoạn [

trên đoạn [

];−π π (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang phải

theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ;...

π π π

*Nhận xét:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

1 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π k.2 ;

k.2

+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng

  

  

π − + 2

π 2

π k.2 ;

k.2

∈ , k Z

+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng

  

  

π 2

π 3 2

2. Hàm số y = cosx

+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y)

+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa

− ≤

là 1 cosx 1

≤ )

x D

∀ ∈ ⇒ − ∈ và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua

+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì x D

trục tung Oy).

+ π =

cos x

- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2π thì giá trị

+ Chu kỳ T = 2π (Vì cos(x 2 )

hàm số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2π - tính chất này giúp vẽ đồ

thị được thuận tiện: ) + Bảng biến thiên trên đoạn [

]0;π (trên nửa chu kỳ)

π

0 x

2 y = cosx

1 -1

+ Đồ thị hàm số

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2π . Do đó, muốn

khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị ]0;π (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta được đồ hàm số trên đoạn [

thị trên đoạn [

];−π π (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang

π π π

phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ;...

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

2 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. Hàm số y = tanx

+ π ∈

k / k Z

+ TXĐ: D R \

(Vì cos x

0≠ ).

  

π   2

+ Tập giá trị: R

x D

∀ ∈ ⇒ − ∈ và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua

+ Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì x D

gốc tọa độ O).

+ π = )

tan x

- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm π thì giá trị hàm số

+ Chu kỳ T = π (Vì tan(x

trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ π )

+ Bảng biến thiên trên đoạn 0;

(nửa chu kỳ)

  

π   2

π

0 x

2 y = tanx

+∞

1 0

+ Đồ thị hàm số

+ π ∈

k / k Z

Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \

, tuần hoàn với chu kỳ π .

  

π   2

Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo

sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;

(nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc

  

π   2

tọa độ O ta được đồ thị trên đoạn

(1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu

 − 

  

π π ; 2 2

π π π

;2 ;3 ;...

được sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài

y = tanx

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

3 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *Nhận xét:

− + π k. ;

+ π k.

∈ , k Z

+ Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng

  

  

π 2

+ Hàm số không có khoảng nghịch biến.

+ π

k. ;0

+ Mỗi đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm

gọi là 1 đường

  

π   2

+ π k.

tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x

π 2

làm 1 đường tiệm cận)

4. Hàm số y = cotx

+ TXĐ:

0≠ ) .

} { π ∈ (Vì sin x D R \ k / k Z

+ Tập giá trị: R

x D

∀ ∈ ⇒ − ∈ và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua

+ Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì x D

gốc tọa độ O).

+ π = )

cot x

- Cứ mỗi khi biến số cộng thêm π thì giá trị hàm số

+ Chu kỳ T = π (Vì cot(x

trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ π )

+ Bảng biến thiên trên đoạn 0;

(nửa chu kỳ)

  

π   2

π

0 x

2 +∞

y = cotx

0 + Đồ thị hàm số

Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên

π ∈ , tuần hoàn với chu kỳ π . Do đó,

} R \ k / k Z

{

muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số trên đoạn 0;

(nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O

  

π   2

(1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang

ta được đồ thị trên đoạn

 − 

  

π π ; 2 2

π π π

;2 ;3 ;...

trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

4 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

y = cotx

*Nhận xét:

+ Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng (k. ;

π π + π ∈ k. ) k Z

+ Hàm số không có khoảng đồng biến biến.

k.= π làm 1 đường tiệm cận

+ Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng:

+ Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R

+ Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R

+ π ∈

k / k Z

+ Hàm số y = tanx có TXĐ: D R \

(Vì cos x

0≠ )

  

π   2

+ Hàm số y = cotx có TXĐ:

0≠ )

} { π ∈ (Vì sin x D R \ k / k Z

BÀI TẬP: Tìm tập xác định của các hàm số sau

1).

2).

− 5cos x s inx 7 − 1 s inx

− 2 cos x s inx 2 cos x

3).

4).

+ −

1 s inx 1 cos x

− 1 cos x 2 cos x

= +

−

2 sin 3x 3cos

= y sin

5cos

5).

6).

+ x 3 − x 2

2x + x 3

2x − 2x 1

tan(2x

)

+ t anx c otx

7). y

8). y

π 4

+ 2 sin

cos

9).

10).

+ x 1 cos x x .sin

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

5 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

tgx 2

3cot

11).

12)

  

  

π 3

+ tgx 3 + 1 sin

HƯỚNG DẪN

−

≠ ⇔ ≠

≠ ⇔ 0

s inx 1

1). Hàm số

xác định khi 1 s inx

π ∈ k.2 (k Z)

π 2

− 5cos x s inx 7 − 1 s inx

π ∈ k.2 , k Z

Vậy TXĐ: D R \

  

π   2

≠ ⇔ ≠

2) Hàm số

xác định khi cos x

+ π ∈ (k Z)

− 2 cos x s inx 2 cos x

π 2

+ π ∈

, k Z

Vậy TXĐ: D R \

  

π   2

≥

3). Vì 1 s inx 0 +

≥ và 1 cos x 0 −

≥ với mọi x nên

với mọi x thỏa mãn điều kiện

+ −

1 s inx 1 cos x

−

≠ ⇔ ≠

1 cos x

k.2

≠ . Vậy hàm số

xác định khi 1 cos x

≠ hay cos x 1

π .

+ −

1 s inx 1 cos x

Vậy TXĐ:

} { π ∈ D R \ k.2 , k Z

≥ và

cos x 0≥ với mọi x nên

≥ với x thỏa mãn điều kiện

4). Vì 1 cos x 0 −

− 1 cos x 2 cos x

≠ ⇔ ≠

+ π ∈

cos x

, k Z

+ π . Vậy TXĐ: D R \

π 2

  

π   2

= +

2 sin 3x 3cos

x 2

5). Hàm số

xác định

⇔ − ≠ ⇔ ≠ . 0

+ x 3 − x 2

Vậy TXĐ:

{ } D R \ 2

≠ −

−

⇔

= y sin

5cos

6). Hàm số

xác định

≠

2x + x 3

2x − 2x 1

+ ≠ x 3 0 − ≠ 2x 1 0

  

   

1 2

= D R \

Vậy TXĐ:

 − 

  

1 2

≠

, k Z

7). tanx xác định khi và chỉ khi x

+ π ∈ , cotx xác định khi và chỉ khi

π 2

, k Z

≠ π ∈ .

y x

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

6 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

≠

+ π k.

∈

≠

+ t anx c otx

(k Z) hay x

∈ (k Z)

Vậy y

xác định khi và chỉ khi

π k. 2

 π   2  ≠ π x k. 

= D R \

∈ , k Z

TXĐ:

  

π k.   2

≠

+ π k.

hay x

(k Z)

8). y

xác định khi và chỉ khi

∈ .

π 4

π 2

π 8

π k. 2

 tan 2x  

  

π 4

= D R \

∈ , k Z

Vậy TXĐ:

  

  

π 8

π k. 2

9). Biểu thức

có nghĩa khi và chỉ khi: x.s inx

≠ ⇔ ≠ π x

+ x 1 cos x x .sin Vậy tập xác định của hàm số là:

+ 2 sin

cos

} { π ∈ D R \ k / k Z > 0

10). Do

( = + 1 sin

)

( + + 1 cos +

) x

cos

+ 2 sin

Do đó hàm số

được xác định với mọi x. Vậy tập xác định của

hàm số là: D = R

tgx

11). Biểu thức

có nghĩa khi và chỉ khi:

≠

x π 2

⇔

⇔ ≠ x

≠ −

+ 3 + 1 sin      

∈

= D R

π k π k π k π 2 π 2 ≠ − x 1 π 2     sin  π 2

Vậy tập xác định của hàm số là:

−

tgx 2

3cot

12). Biểu thức

có nghĩa khi và chỉ khi :

π k  ℕ  

≠

 π   2       π 3

⇔

≠

−

≠

π k π k

≠

D D A B \

x x /

∪ với

và

π k π 2 π 3 π 2 π π + k 2 6

              Vậy tập xác định của hàm số là:   π k        π 2  π π + k   6 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

7 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số

+ 1 cos x sin ≠ ⇔ ≠ x

kπ k ,

∈ ℤ .

ℝ

⇔ ∈

Hướng dẫn: Hàm số xác định kπ k , Tập xác định là

{

sin } ℤ .

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số

cos

sin (

x ) x π −

⇔

−

+ ⇔ ≠

∈ ℤ

≠ ⇔ − ≠ x

π k

cos

π k ,

Hướng dẫn: Hàm số xác định ) π

(

π 2

π 3 2

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π k ,

  

  

π 3 2

Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số

 tan 5  

  

π 2 3

Hướng dẫn: Hàm số xác định

ℤ

⇔

≠ ⇔ +

+ ⇔ ≠ −

∈

π k

 cos 5  

  

π 2 3

π π 2 ≠ 3 2

ℝ

ℤ

−

∈

Tập xác định là

  

π π + k 5 30   

π π + k 30 5

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số

+ x 2 cos − x 1 sin

⇔

≠ ⇔ ≠

∈ ℤ

Hướng dẫn: Hàm số xác định

sin

π 2 ,

π 2

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π 2 ,

  

 π   2

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số

x x

+ 2 cos − 2 sin

⇔

≠x

(luôn thoả với mọi x).

Hướng dẫn: Hàm số xác định

sin

= ℝD

Tập xác định là

Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số

+ ≥

− ≤

và cos

1 0

Hướng dẫn: Ta có 1 sin

+ x 2 sin + x 1 cos ≤x − ≤ nên 2 sin và 1 cos 1

≥

luoân thoaû

(

)

ℤ

⇔

∈

≠ − ⇔ ≠ + x

Hàm số xác định

cos

π π k ,

≤x + x 2 sin  +  x 1 cos  + ≠ x cos 1 0 

ℝ

∈

Tập xác định là

{ π π + k ,

} ℤ

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

8 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số

−

1 sin 2

  

x π 2

− ≤

5 3cos 2    >x

≤x

Hướng dẫn: Ta có 1 cos 2

− nên 5 3cos 2

−

≥

Mặt khác 1 sin 2

  

π 2

≥

luoân thoaû

(

)

−

x 1 sin 2

ℤ

   Hàm số xác định − x 5 3cos2   π     2

⇔

−

∈

x k

π 2

x 2

π ,

 sin 2  

 π   2

π π ≠ − ⇔ − ≠ − + ⇔ ≠ 2 2

−

≠

  

 π   2

   +     + 1 sin 2  

ℝ

∈

Tập xác định là

kπ k ,

{

} ℤ

+ 1 cot

  

π 3

Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số

−

tan

  

     

π 4

Hướng dẫn:

≠

+ ≠ x

π k

  

  

π 3

π ≠ − + 3

ℤ

⇔

−

≠ ⇔ −

+ ⇔ ≠

∈

π k

Hàm số xác định

≠

−

≠

π k

−

≠

tan

 π  3       

        

π π ≠ 4 2 π 4

π π + k 4 3 π π + k 3 12

 cos 3     

     

π 4 π 4

 sin        

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π k ,

  

  

π − + 3

π π π π , 3 3 12 4

−

Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số

1 tan 4 − x 2sin

x 2

Hướng dẫn:

≠

π k

≠

cos 4

ℤ

⇔

∈

Hàm số xác định

π 2

≠

   sin  

2 2

≠

π 2

    ⇔ ≠     

π 2 π 4 π 3 4

π π + k 8 4 π 4 π 3 4

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π 2 ,

  

 π π π k ,   8 4 4

π 3 4

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

9 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

= = = =

+ + + +

Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số

cot

x x

           

           

ππππ 6

++++ 1 cos −−−− 1 cos

− ≤

+ + + +

≥≥≥≥

≤x

≥x ≥ ≥ ≥

Hướng dẫn: Vì 1 cos

nên 1 cos

và

− − − − 1 cos

≥ ⇒⇒⇒⇒ ≥ ≥ ≥ 0

x x

++++ 1 cos −−−− 1 cos

+ + + +

≠ ≠ ≠ ≠

sin

≠ ≠ ≠ ≠

+ + + +

≠ − ≠ − ≠ − ≠ −

+ + + +

π π π π k

ℤ

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈

Hàm số xác định

π π π π k ,

≠ ≠ ≠ ≠

π π π π 6 π π π π k 2

π π π π 6 π π π π 2

ππππ 6 ≠ ≠ ≠ ≠

                   

            0

                         − − − − 1 cos 

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π π k k , 2 ,

  

  

π − + 6

= = = =

− − − −

Bài 11. Tìm tập xác định của hàm số

+ + + + 2 sin

−−−−

1 2 x

tan

− ≤

+ + + +

≤x

≥x ≥ ≥ ≥

nên 2 sin

luoân thoaû

≥ ≥ ≥ ≥

))))

≠ ± ≠ ± ≠ ± ≠ ±

+ + + +

ππππ 4

ℤ

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈

ππππ k ,

k m ,

≠ ±≠ ±≠ ±≠ ± 1 ≠≠≠≠

x x

tan cos

     

+ + + +

ππππ k

− ≠ − ≠ − ≠ − ≠ x ≠≠≠≠ x

tan cos

Hướng dẫn: Vì 1 sin Hàm số xác định ((((  + + + + 2 sin 0  1 0         0 

        ≠    ≠ ≠ ≠ x  

ππππ 2

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π k ,

  

  

π 4

π 2

+ + + +

+ + + + 1 tan

           

====

Bài 12. Tìm tập xác định của hàm số

++++

ππππ 3 x

            2 cot

luoân thoaû

+ ≠+ ≠+ ≠+ ≠

2cot

Hướng dẫn: Hàm số xác định )))) 1 0

+ + + +

≠ ≠ ≠ ≠

+ + + +

≠ ≠ ≠ ≠

ππππ k

ℤ

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

≠ ≠ ≠ ≠

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈

cos

π π π π 2

((((            

≠≠≠≠

π ππ ππ ππ π + + + + k 12 2 ππππ k

π π π π 3 x

ππππ k

          ≠≠≠≠    x 

             

ππππ 3 ≠≠≠≠

            x

sin

               

ℝ

ℤ

∈

Tập xác định là

π k ,

  

  

π π + k 12 2

Dạng 2: TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng:

+ Hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T 2= π= π= π= π

====

T

Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ:

ππππ 2 a

+ Hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T = π= π= π= π

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

10 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

====

Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T

ππππ a

+ f (x) g(x)

+ Nếu hàm số f(x) có chu kỳ

có

1T , hàm số g(x) có chu kỳ

2T thì hàm số y

chu kỳ

T k.BCNN(T ;T ) 2

Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ T = π= π= π= π , tức là:

f(x

+ π = + π = + π = + π = )

∀ ∀ ∀ ∀ f(x), x (*)

và T = π= π= π= π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*)

Hướng dẫn

HS y = f(x) = sin2x có TXĐ: D = R. x D

∀ ∈∀ ∈∀ ∈∀ ∈ , ta có:

+ π = + π = + π = + π =

= = = =

f(x

+ π = + π = + π = + π = )

sin 2(x

+ π = + π = + π = + π = )

sin(2x 2 )

sin 2x

f(x)

= = = =

< π và < π < π < π

∀ . ∀ ∀ ∀ f(x), x

Giả sử có số

0T sao cho:

< 0 T< < < 0

+ + + + f(x T ) 0

⇒⇒⇒⇒

====

+ + + +

= = = =

+ + + +

= = = =

sin 2(

sin 2.

sin(

sin

Cho x

, ta được:

= = = = 1

T ) 0

2T ) 0

π π π π 4

π π π π 2

ππππ 4

π π π π 4

= = = =

+ + + +

π ∈ ⇒⇒⇒⇒ = = π ∈ = = π ∈ π ∈ k.2 (k Z)

k.

(k Z)

π ∈ . Điều này trái với giả thiết π ∈ π ∈ π ∈

< π < π < π < π

2T 0

T 0

< 0 T< < < 0

π π π π ⇒⇒⇒⇒ + + + + 2

π π π π 2

+ + + +

= = = =

Nghĩa là T = π= π= π= π là số dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện f(x T)

∀ . ∀ ∀ ∀ f(x), x

Vậy y = sin2x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π= π= π= π .

Bài 2: Tìm chu kỳ của các hàm số sau

====

= = = =

+ + + +

= = = =

− − − −

y

2 2 sin 3x

y

2 4cos (5x

)

tan(3x 2)

1).

2).

3). y

ππππ 6

−

= = = =

+ + + +

− − − − cot( 5x

)

4). y

5).

6).

= y sin

tan

  

  

  

ππππ 4

π   3

x 3

−

2 tan 4x − os 1 c 8x + os 1 c 8x

Hướng dẫn

= = = =

= − = − = − = −

= = = =

y

2 2 sin 3x

1 cos6x

T

1).

. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ

π π π π 2 6

π π π π 3

= = = =

+ + + +

= + = + = + = +

+ + + +

y

2 4cos (5x

)

2 2cos(10x

)

. Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ

2).

π π π π 6

π π π π 3

= = = =

T

π π π π 2 10

π π π π 5

= = = =

− − − −

====

tan(3x 2)

3). y

là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T

ππππ 3

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

11 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

= = = =

+ + + +

= = = =

− − − − cot( 5x

)

4). y

là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T

ππππ 4

π π π π −−−− 5

π π π π 5

sin

g(x)

tan

5). Ta thấy hàm số f (x)

có chu kỳ

2= π . Hàm số

có chu kỳ

  

  

  

π −  3

x 3

3= π . Vậy hàm số y co chu kỳ T 6= π

6). Ta có :

2 .2 cos 4x

)

sin 4x os c 4x

tan 8x

( + tan 4x 1 c 8x os c 8x

os c 8x

2sin 4x.c 4x os c 8x

sin 8x os c 8x

2 tan 4x − + os 1 c 8x 1 c 8x os 1 c 8x

Vậy hàm số y có chu kỳ T

π 8

Dạng 3: XÉT TÍNH CHẴN - LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng:

+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x

thuộc D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = f(x)

+ Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc

D, ta có x cũng thuộc D (D là tập đối xứng) và f(-x) = -f(x)

BÀI TẬP: Xét tính chẵn - lẻ của các hàm số sau

2

= = = =

+ + + +

= = = =

x

cos5x

y

+ + + + 3 cos x sin x

1). y

2).

2

====

y

sin x. sin 2x

y

3).

4).

c otx 2 ++++ 1 cos x

−

inx

cos x

5). f (x) 3sin x 2 =

−

6). f (x)

anx

f (x)

inx os .c

+ x t

− sin 2x c 3xos

7).

8). f (x)

Hướng dẫn

= = = =

+ + + +

f(x)

x

cos5x

x D

1) Hàm số y

có TXĐ: D = R. Ta có x D

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ .

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

− − − −

= = = =

+ + + +

= = = =

x D, f( x)

= − + = − + = − + = − + x

− − − − cos( 5x)

x

cos5x

f(x)

. Vậy f(x) là hàm số chẵn.

2

= = = =

y

f(x)

+ + + + 3 cos x sin x

x D

có TXĐ: D = R. Ta có x D

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ .

2) Hàm số

2

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

− − − −

= = = =

− − − −

+ + + +

− − − −

= = = =

x D, f( x)

3cos( x)

2 sin ( x)

+ − + − + − + − 3 cos x ( s inx)

+ + + + 3 cos x sin x

f(x)

Vậy f(x) là hàm số chẵn.

2

====

y

sin x. sin 2x

x D

3) Hàm số

có TXĐ: D = R. Ta có x D

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ .

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

12

2 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

= − = − = − = −

= = = =

− − − −

= = = =

sin ( x). sin( 2x)

sin x. sin 2x

x D, f( x)

f(x)

y

f(x)

sin x. sin 2x

. Vậy

là

hàm số lẻ.

= = = =

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈

D R \ k.

x D

y

f(x)

4) Hàm số

có TXĐ:

. Ta có x D

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ .

{{{{

}}}} / k Z

c otx 2 ++++ 1 cos x

∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈

− − − −

= = = =

= − = − = − = −

x D, f( x)

f(x)

. Vậy f(x) là hàm số lẻ.

−−−− cot( x) 2 − + − + − + − + 1 cos ( x)

c otx 2 + + + + 1 cos x

≠

f (x)

= −

− f ( x)

3sin x 2

5). TXĐ: D = R. Ta có x D

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ . Xét x D

≠ −

− f ( x) − f ( x)

f (x)

 − ⇒  

Vậy f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

≠

f (x)

= −

−

inx

− f ( x)

cos x

6). TXĐ: D = R. Ta có x D

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ . Xét x D

≠ −

− f ( x) − f ( x)

f (x)

 ⇒  

Vậy f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

7). TXĐ: D = R. Ta có x D

= −

anx

− f ( x)

inx os .c

− x t

inx os .c

+ x t

f (x)

Xét

∈∈∈∈ ⇒⇒⇒⇒ − ∈− ∈− ∈− ∈ . x D (

)

Vậy f(x) là hàm số lẻ.

8). Vậy f(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

Dạng 4: TÌM MIN - MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng:

− ≤ − ≤ − ≤ − ≤

≤ ∀ ∈ − ≤ ≤ ∀ ∈ − ≤ ≤ ∀ ∈ − ≤ ≤ ∀ ∈ − ≤

+ + + +

sin(ax b) 1, x R, 1

Ta có: 1

≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ cos(ax b) 1, x R

BÀI TẬP: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

= = = =

+ + + +

====

2cos(x

4 sin x

1). y

+ + + + ) 3

2). y

ππππ 3

= = = =

+ + + +

y

= += += += + 3

sin x cos x

1 s inx

3).

4). y

− − − − 3

1 4

−

− 1 sin

sin

( 5). 7). f(x) = 2cos2x – cosx + 1

6). f(x) = 8). f(x) = sin2x – 4sinx – 2

Hướng dẫn

− ≤ − ≤ − ≤ − ≤

+ + + +

≤ ≤ ≤ ≤

1

1). x∀∀∀∀ , ta có: 1

nên

    cos x        

           

ππππ 3

+ + + +

≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤

+ + + +

+ ≤ ⇔ ≤ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤ + ≤ ⇔ ≤ ≤

− ≤ − ≤ − ≤ − ≤ 2

2cos x

2

1 2cos x

3

5

1 y

5

           

           

           

           

π π π π 3

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

13 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇒

= −

= ⇔ 1

os c

1, y

= ⇔ 5

os c

min

  

  

  

  

π 3

− ≤ − ≤ − ≤ − ≤

≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤

0 sin x

4

1 4 sin x

y

4

2). x

∀ ≥∀ ≥∀ ≥∀ ≥ , ta có: 1

≤ ⇔ − ≤ ≤ . ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 4

⇒

= −

= − ⇔ 4

sin x

1, y

= ⇔ 5

sin x

= 1

min

− ≤ − ≤ − ≤ − ≤

y

= + = + = + = + 3

sin x cos x

= + = + = + = + 3

sin 2x

1

3). Ta có:

. x∀∀∀∀ , ta có: 1

≤ nên: ≤ ≤ ≤

1 4

1 8

≤ + ⇔ ≤ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤

sin 2x

≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − ≤ + 3

3 sin 2x

3 y

1 8

1 − ≤ − ≤ − ≤ − ≤ 8

1 8

23 8

25 8

Vậy giá trị lớn nhất của y là

đạt được khi: sin2x = 1

25 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là

đạt được khi: sin2x = -1

23 8

4). x∀∀∀∀ , ta có:

− ≤

≤ ⇔ ≤ +

≤ ⇔ ≤

≤ ⇔ − ≤

− ≤

1 s inx 1

0 1 s inx 2

1 s inx

1 s inx 3

− 2 3

⇔ − ≤ ≤

3 y

− 2 3

Vậy giá trị lớn nhất của y là 2

3−−−− đạt được khi: sinx = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt được khi: sinx = -1

− 1 sin

5). Hàm số:

− có tập xác định là D R=

(

2 1

− ≤ 1

− 1 sin

− ≤ 1

Với mọi x R∈ ta luôn có:

− .

(

1= −

− 2 1

1= − ;

)2 xảy ra khi:

min

⇔ ( sin x

− ⇔ − ≤ ≤ 2 1 1 )2 ( sin x

)2 *) 6). Do 0 ≤ sin22x ≤1 ⇒ 9 – sin22x > 0, ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ℝ

−

sin

Vậy hàm số f(x) =

xác định với ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ℝ . Ta có 0 ≤ sin22x ≤1

⇒ 8 < 9 – sin22x ≤ 9, ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ℝ

⇒

= ⇔ 8

sin x 1, y

= ⇔ 3

2 s in x

= 0

min

7). Hàm số f(x) = 2cos2x – cosx + 1 xác định với ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ℝ . Đặt t = cosx, khi đó -1 ≤ t ≤ 1

Xét hàm số F(t) = 2t2 – t + 1 và có bảng biến thiên sau:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

14 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 t

-1

-∞

+∞

1

4

2

4 F(t)

7

8

⇒

= −

Từ đó ta có:

= ⇔ 4

cos x

1, y

cos x

min

7 = ⇔ 8

1 4

8).

≤ ≤ .

Hàm số f(x) = sin2x – 4sinx – 2 xác định với ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ ℝ . Đặt t =sinx, khi đó –1 t 1

Ta có: F(t) = t2 – 4t – 2

t

-1

1

2 -∞

+∞

F(t)

3 -5

⇒

= −

inx

= ⇔ 3

sin x

1, y

= − ⇔ 5

min

Dạng 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

====

s inx

Bài 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị của hàm số y

Hướng dẫn

1 x

O

-2π

-π

2π

π

≥≥≥≥

= = = =

≥ ≥ ≥ ≥

s inx

(y

0)

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có:

s inx nÕu sinx − − − −

0 < < < <

s inx nÕu sinx

0

  

====

s inx

Như vậy, đồ thị hàm số y

trên trục số được suy ra bằng cách như sau:

+ Phần đồ thị với s inx

0≥≥≥≥ thì lấy bằng chính nó (giữ nguyên) (Vì

= = = =

s inx

s inx nÕu sinx

≥ ) ≥ ≥ ≥ 0

+ Phần đồ thị với s inx

0<<<< thì lấy đối xứng qua trục hoành (Vì

= − = − = − = −

s inx

s inx nÕu sinx

< ) < < < 0

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

sin 2x

+ Suy ra đồ thị hàm số y

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

15 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm các khoảng đồng biên - nghịch biến của hàm số y = sin2x.

+ Tìm các khoảng để hàm số y = sin2x nhận giá trị dương - giá trị âm.

Hướng dẫn

* Ý 1: Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x

+ TXĐ: R

+ Chu kỳ

= π

π 2 2

+ Hàm số y = sin2x là hàm lẻ, đồ thị hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ

+ Xét BBT của hàm số y = sin2x trên nửa chu kỳ 0;

  

π   2

π

0 x

2

4 y = sin2x

0

1

0

(Hàm số y = sin2x trên nửa chu kỳ 0;

là hàm số y = sinx trên nửa chu kỳ [

]0;π )

  

π   2

+ Đồ thị hàm số

1 π

-

x

π

4

2 π

O

-π

π

-

2

4 -1

sin 2x

* Ý 2: Suy ra đồ thị hàm số y

sin 2x

+ Vì y

≥ nên đồ thị hàm số y

được suy ra từ đồ thị hàm số y sin 2x

bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y sin 2x

với y 0≥

- Lây đối xứng phần còn lại qua trục Ox

Ta có đồ thị như hình bên dưới:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

16 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 x

O

π

-π

π

-

4

2

4

2

* Ý 3:

− + π k ;

+ π k

∈ , k Z

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng

  

  

π 4

+ π k ;

+ π k

∈ , k Z

+ Hàm số nghịch biến trên các khoảng

  

  

π 4

π 3 4

* Ý 4:

+ π k

∈ , k Z

+ y 0≥ trên các khoảng k ; π

  

  

π 2

− + π π

k ; k

∈ , k Z

+ y 0≤ trên các khoảng

  

π   2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

17 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ

cot

(cid:2)c o t α M

} tan α

sin α {

cos

α (cid:1) cosα

tan

sin

1. Cách nhớ các trục lượng giác + cosin là trục nằm ngang + song song với nó có chàng cot + còn sin thì đứng thẳng băng + đối diện với nó có tan đứng chờ

• − ≤

1 sin

ℤ ℤ

≤ ∀ 1, ≤ ∀ 1, = =

• − ≤ 1 • sin( • cos(

k ∈ k ∈ ℤ ℤ

• •

α cos k + α π 2 ) k + α π 2 ) k α π = + ) k α π = + )

α α sin , α , cos k α ∈ tan , k α ∈ , cot

tan( cot(

2. Sáu công thức cơ bản

tan

sin

cos

α =

(1)

α +

1 α = (4)

tan

2 cot

(2)

(5)

α =

1 2 cos 1 2 sin

cot

(6) tan . cot

1 α =

(3)

α =

sin cos cos sin

α α α α

3. Công thức cộng - trừ:

cos thì cos cos sin sin sin thì sin cos cos sin rõ ràng cos thì đổi dấu hỡi chàng sin thì giữ dấu xin nàng nhớ cho tan tổng thì lấy tổng tan, chia một trừ tích với tan - dễ mà

cos a. cos b

sin a. sin b

(1)

−

cos a. cos b

sin a. sin b

(2)

(5)

( tan a

) b + =

sin a. cos b

sin b. cos a

(3)

−

(6)

( tan a

) b − =

sin a. cos b

sin b. cos a

tan a 1 − tan a 1

tan b tan a. tan b tan b tan a. tan b

(4)

−

( cos a ( cos a ( sin a ( sin a

) b + = ) b − = ) b + = ) b − =

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

18 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4. Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos + cos = 2cos.cos cos - cos = -2sinsin sin + sin = 2sin.cos sin - sin = 2cos.sin a

cos a

cos b

2 cos

. cos

(1)

+ 2 a

− 2 a

cos a

cos b

2 sin

. sin

(2)

−

= −

+ 2 b

− 2 b

sin a

sin b

2 sin

. cos

(3)

+ 2

− 2

sin a

sin b

2 cos

. sin

(4)

−

+ 2

− 2

Tình mình cộng với tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta Tình mình hiệu với tình ta, sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

tan a

tan b

(5)

−

tan a

tan b

(6)

−

( ) sin a cos a. cos b ) ( b sin a cos a. cos b

5. Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos a. cos b

(1)

−

) b + +

( cos a

Suy ra từ công thức tổng thành tích “cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ sin sin nửa cos-trừ, trừ cos-cộng sin cos nửa sin-cộng, cộng sin-trừ”. 1 2

 )  

sin a. sin b

(2)

= −

−

( cos a

) b + −

( cos a

   1 2

 )  

  

sin a. cos b

(3)

−

( sin a

) b + +

( sin a

 )  

  

cosa. sin b

(4)

−

( sin a

) b + −

( sin a

1 2 1 2

 )  

  

(có công thức (3), có thể không cần công thức (4) hoặc ngược lại)

6. Công thức góc nhân đôi:

2 sin a. cos a 2 cos a

2 sin a

2 cos a

2 sin a

(1) sin 2a cos 2a (2)

= =

−

− = −

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

19 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7. Công thức hạ bậc hai:

Suy ra từ công thức góc nhân đôi

−

2 sin a

2 cos a

(1)

(2)

cos 2a 2

8. Công thức góc nhân ba:

Nhân ba một góc bất kỳ sin thì ba bốn, cos thì bốn ba dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phương chỗ bốn, thế là ok.

sin 3a

3 sin a

4 sin a

cos3a

4 cos a

3 cos a

(2)

−

(1) = 9. Công thức hạ bậc ba:

3 sin a

s in3a

3 cos a

cos 3a

(2)

(1)

−

(

)

(

Suy ra từ công thức góc nhân ba. 1 4

1 4

t

tan

:

10. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tan x qua

=

  x        2

2 1 t−−−− ).

sin, cos mẫu giống nhau chả khác 2 ai cũng là một cộng bình tê ( 1 t++++ ) sin thì tử có hai tê (2t), cos thì tử có 1 trừ bình tê (

sin x

tan x

(1)

(3)

1 1

cos x

cot x

(2)

(4)

2t 2 t − 2 t − 2t

2t 2 t 2 t 2 t

1 1 1

+ − +

tan x

Nếu đặt t

=

sin 2x

tan 2x

(1)

(3)

1 1

cos 2x

cot2x

(2)

(4)

2t 2 t − 2 t − 2t

2t 2 t 2 t 2 t

1 1 1

+ − +

11. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:

cos đối , sin bù, phụ chéo, khác π tan (thì bằng nhau - còn lại đối nhau)

cos

sin

α cos

α sin

(2) Góc bù:

(1) Góc đối:

α tan

cot

( ) −α = ( ) −α = − α ( ) tan tan −α = − ( ) −α = − α

( ) π − α = ( ) π − α = − ( ) tan π − α = − ( ) π − α = − α

 cos  sin    cot 

 sin  cos    cot 

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

20 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

cos

π 2

tan

sin

α sin

(3) Góc phụ:

(4) Góc sai kém π :

cos

tan

cot

π 2

cot

( ) tan π + α = ) ( π + α = − α ( ) π + α = − ) ( π + α =

  sin  cos   cot 

tan

      π    2         π    2  

  − α =      − α =      − α =      − α =   

   sin     cos           cot    

Hai góc hơn kém nhau

π 2

•

= −

•

sin

cos

tan

cot

π 2

•

= −

•

cos

cot

sin

tan

π 2

(sin chéo - cos bằng, còn lại chéo đối)      

 α    α  

     

12. Công thức bổ sung:

2 sin

2 cos

(1) sin

cos α + α =

π 4

cos

2 sin

2 cos

(2) sin

α −

α =

π 4

2 cos

2 sin

(3) cos

sin α − α =

− α

π 4

                 

  α −       α +          

                 

135o

150o

120o

60o

90o

45o

30o

180o

270o

360o

2π

 π  α + =   4    π  α − =   4    π  α + =   4   13. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt: α HS

π 2 3

π5 6

π 3 4

π 2

π 4

π 3

π 6

π 3 2

sinα

1−

2 2

cosα

−

1−

3 2 1 2

3 2 1 − 2

3 2

2 2

3 2

tanα

−

3−

1−

3 3

cotα

−

3−

1−

3 3

1 2 1 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

21 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

0o 30o 45o 60o 90o

π 6

π 4

π 3

π 2

Quy tắc 5 ngón tay

s in c o s

0 1 2 3 4 4 3 2 1 0

2

0o 30o 45o 60o 90o

π 6

π 4

π 3

π 2

Đầu voi - đuôi chuột Ở giữa gấp ba

tan 0 3 9 27 cot

(cid:1) 27 9 3 0

(cid:1)

3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

22 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II. CÁC KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sinx = a.

a) Nếu a

1>>>> : Phương trình vô nghiệm

π π π π

x

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈ (k Z)

b) Nếu a

1≤≤≤≤ : Đưa phương trình về dạng: sinx = sin αααα

= α + = α + = α + = α + k.2 = π − α + = π − α + = π − α + = π − α +

π π π π

x

k.2

  

* Các trường hợp đặc biệt:

+ sinx = 0

⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ x k. (k Z)

+ + + +

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = x

+ sinx = 1

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k.2 (k Z)

ππππ 2

⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ = − + ⇔ = − +

x

+ sinx = -1

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k.2 (k Z)

ππππ 2

Ví dụ: Giải các phương trình sau

= −

sin

1).

  

  

+ π 5

1 2

= −

k10

π = − + 6

⇔

sin

+ Ta có

(k Z)∈

π 11 6 π

+ π 5

1 = − = 2

π 6

  

  

  

 − ⇔  

= π + +

k10

     

+ π 5 + π 5

π 6

29 6

= −

2). sin 2x 1

= α +

− ≤ −

−

α ⇒

⇔

3 1

sin

+ Ta thấy 1 1

≤ , đặt

k2 = π − α +

= x ... = x ...

  

−

sin

3). sin 2x

  

  

  

  

π 5

−

+ +

x k2

π 5

−

sin

 sin 2x  

  

  

 + ⇒ x  

π 5

−

= π −

  ⇔   

  

  

π 5 π 5

π 5

π 2 5 π 3

π 2 3

     

4).

( sin x 20

3 2

+ x 20

k.360

⇔

( sin x 20

)

3 = ⇔ 2

−

+ x 20

180

k.360

= x 100

k.360

   

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

23 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. Phương trình cosx = a

a) Nếu a

1>>>> : Phương trình vô nghiệm

π π π π

k.2

x

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈ (k Z)

b) Nếu a

1≤≤≤≤ : Đưa phương trình về dạng: cosx = sin αααα

= α + = α + = α + = α + = −α + = −α + = −α + = −α +

π π π π

x

k.2

  

* Các trường hợp đặc biệt:

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = x

+ cosx = 0

+ π ∈ + π ∈ + π ∈ + π ∈ k. (k Z)

ππππ 2

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

x k.2 (k Z)

+ cosx = 1

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈

⇔ = π + ⇔ = π + ⇔ = π + ⇔ = π +

x

+ cosx = -1

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k.2 (k Z)

Ví dụ: Giải các phương trình sau

cos

os c

1).

x 2

cos

os c

+ 2 k2

π ⇔ = ± x

+ 2 2 k4

x 2

x ⇒ = ± 2

os c

2).

  

  

π 18

2 5

α ⇒ +

= ±α +

− ≤ 1

os c

π ⇔ = ±α − x

+ Ta thấy

≤ , đặt

2 5

π 18

os c

− x 5

3).

(

)

3 2

⇒ − = ± +

π ⇔ = ± +

os c

− x 5

os c

x 5

(

)

3 2

π 6

os c

+ x 60

4).

(

2 2

 = − x

k.360

= ⇒ +

= ±

os c

+ x 60

x 60

0 45

k.360

)

(

2 2

= −

105

k.360

⇔  

2 cos x

5).

1 = 2

= ⇒ =

+ π ⇔ =

2 cos x

os c 2x

1 = ⇔ 2

os 1 c 2x 2

1 = ⇔ 2

π 2

π 4

π 2

2 sin x

6).

3 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

24 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

= −

∈ − ⇔ = ±α +

osα = −

2 sin x

os c 2x 1

π , với c

[

] 1;1

3 = ⇔ 2

os 1 c 2x 2

3 = ⇔ 2

≠ ≠ ≠ ≠

+ π ∈ + π ∈ + π ∈ + π ∈ k. (k Z)

3. Phương trình tanx = a. Điều kiện x

ππππ 2

= = = =

tan

x

+ Đưa phương trình về dạng: t anx

α ⇔ = α + π ∈ α ⇔ = α + π ∈ α ⇔ = α + π ∈ α ⇔ = α + π ∈ k. (k Z)

* Các trường hợp đặc biệt:

+ tanx = 0

⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ ⇔ = π ∈ x k. (k Z)

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = x

+ tanx = 1

+ π ∈ + π ∈ + π ∈ + π ∈ k (k Z)

ππππ 4

x

+ tanx = -1

ππππ ⇔ = − + π ∈ ⇔ = − + π ∈ ⇔ = − + π ∈ ⇔ = − + π ∈ k (k Z) 4

Ví dụ: Giải các phương trình sau

tan 3x

tan

1).

π 3 5

+ π ⇔ =

tan 3x

tan

⇒ = 3x

+ ĐK: cos 3x

0≠ ,

π 3 5

π 5

π 3

2).

= − tan(x 15 ) 5

3).

) ( − = tan 2x 1

tan

+ ĐS:

) ( − = tan 2x 1

π 3

1 ⇒ = + + 2

π 6

cos x

4). sin x

⇒

= ⇒ =

anx

cos x

+ sin x

+ π k

π 4

5). sinx + cosx = 0

⇒

anx

+ sinx + cosx = 0

= − ⇒ = − + π

π 4

≠ π ∈ 4. Phương trình cotx = a. Điều kiện x k. (k Z) ≠ π ∈ ≠ π ∈ ≠ π ∈

= = = =

cot

x

+ Đưa phương trình về dạng: cot x

α ⇔ = α + π ∈ α ⇔ = α + π ∈ α ⇔ = α + π ∈ α ⇔ = α + π ∈ k. (k Z)

* Các trường hợp đặc biệt:

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = x

+ cotx = 0

+ π ∈ + π ∈ + π ∈ + π ∈ k (k Z)

ππππ 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

25 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = x

+ cotx = 1

+ π ∈ + π ∈ + π ∈ + π ∈ k (k Z)

ππππ 4

x

+ cotx = -1

ππππ ⇔ = − + π ∈ ⇔ = − + π ∈ ⇔ = − + π ∈ ⇔ = − + π ∈ k (k Z) 4

Ví dụ: Giải các phương trình sau

1). cot 3x 1=

+ ĐK: cos 3x

0≠

= ⇒ =

+ π ⇔ =

+ cot 3x 1

π 12

π 3

π 4

cot 4x

cot

2).

π 2 7

+ ĐK: cos 4x

0≠

+ π ⇔ =

cot 4x

cot

⇒ = 4x

π 2 7

π 14

π 4

3). cot 3x

2= −

+ ĐK: cos 3x

0≠

= − ⇒ = α + π ⇔ =

+ cot 3x

, với cot

α = − 2

α 3

π 3

−

( cot 2x 10

1 3

os c

− 2x 10

+ ĐK:

≠ 0

(

−

= ⇒ −

2x 10

k.180

⇔ = x

k.90

( cot 2x 10

1 3

B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ SỞ

1. Phương trình cổ điển (phương trình bậc nhất đối với sin và cos)

2

+ + + +

a

b

asinx + bcosx = c (*) (a, b, c R∈∈∈∈ vµ

≠ ) ≠ ≠ ≠ 0

2

+ + + +

≥ ≥ ≥ ≥

a

b

c

+ §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm lµ:

+ C¸ch gi¶i trong tr−êng hîp tæng qu¸t:

2 a

b++++

- Chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh (*) cho

- Biến đổi để áp dụng công thức cộng

cos a. cos b

sin a. sin b

sin a. cos b

sin b. cos a

∓

;

( cos a

) b ± =

( sin a

) b ± =

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

26 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ minh họa: Giải các phương trình sau:

2

+ + + +

= = = =

sin

3 cos x

2 c os

VD1: KD-07:

x 2

           

           

Hướng dẫn:

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + + + + + + + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + + + + = = = = + + + + sin 2.sin .c 3 cos x = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 2 s 3 cos x 1 s cos x c os os inx inx 1 2 3 2 1 2 x 2 x 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = = .s cos x.sin sin sin c os inx x 2 π π π π 3 π π π π 3 π π π π 6 x 2 π π π π 3 π π π π 6     sin x                    

+ + + + = = = = + + + + π π π π π π π π x k.2 x k.2 π π π π 6 ππππ = − + = − + = − + = − + 6 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

= = = =

+ + + + = π − = π − = π − = π − + + + + π π π π = = = = + + + + π π π π x k.2 x k.2            π π π π 3 π π π π 3 π π π π 6 ππππ 2

− − − − 3.sin 7x c 7x

2 os

VD2:

Hướng dẫn:

− − − −

= = = =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

sin

sin 7x

sin 7x sin c 7x

c 7x os

c os

os

3 2

π π π π 6

2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 2

π π π π 6

π π π π 4

1 2

2 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 2

π π π π 6

    sin 7x        

           

− − − −

= = = =

+ + + +

π π π π

= = = =

+ + + +

7x

k.2

x

k

π π π π 4

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

− − − −

= π − = π − = π − = π −

+ + + +

π π π π

= = = =

+ + + +

7x

k.2

x

k

                       

π π π π 4

π π π π 6 π π π π 6

π π π π 2 7 π π π π 2 7

π π π π 5 84 π π π π 11 84

+ + + +

= + = + = + = +

2 2 cos x s

cos x

inx

3 c 2x os

VD3:

((((

))))

Hướng dẫn:

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = + = + = + = + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = + = + = + = +

2 2c

x 2 2 s

cos x

2 2

2 sin 2x

os

inx

3 c 2x os

1 c 2x os 2

           

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

− − − −

++++           

2 sin 2x

= − = − = − = − 3

2

((((

)))) os 2 1 c 2x

2

+ + + +

< < < <

− − − −

2 − − − − 2 1

3

2

nên phương trình vô nghiệm

+ Ta thấy ((((

))))

((((

))))

((((

))))

3

+ + + +

3 4sin x cos 3x 4cos x sin 3x 3 3c 4x

os

VD4:

= = = = 3

Hướng dẫn:

os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

4. sin 3x 3 3c 4x

c 3x 4. os

os

= = = = 3

− − − − 3sin x sin 3x 4

+ + + + 3 cos x c 3x 4

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

27 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

+ + + +

3 sin x.c 3x sin 3x cos 3x 3cos x sin 3x c 3x sin 3x 3 3c 4x

os

= = = = 3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= = = =

3 3c 4x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 3

3sin 4x 3 3c 4x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 3

sin 4x

3c 4x 1

x

os

(((( 3 sin cos 3x cos x sin 3x

))))

= = = =

+ + + +

x

k

π π π π 8

π π π π 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

− − − −

= = = =

π ⇔ π ⇔ π ⇔ π ⇔

sin 4x

4x

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − 4x

k2

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

c 4x os

c os

3 2

1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 2

π π π π 6

π π π π 3

π π π π 6

π π π π = ± + = ± + = ± + = ± + 3

1 2

           

           

= − = − = − = −

+ + + +

x

k

    

π π π π 24

π π π π 2

− = − = − = − =

− − − −

3 4sin x 1

3sin x

3c 3x os

VD5:

Hướng dẫn:

3

((((

))))

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = − − − − 3 sin x 4sin x = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 1 − − − − 3c 3x sin 3x 1 3c 3x os os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − − − − − = = = = sin 3x c 3x os c os c 3x sin sin 3x os 1 2 3 2 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 2 π π π π 6 π π π π 6 1 2

= = = = + + + + x k

VD6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong trường hợp đó

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = = π ⇔ π ⇔ π ⇔ π ⇔ 3x ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ + 3x k2 ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z c os c os π π π π 6 π π π π 3 π π π π 6 π π π π = ± + = ± + = ± + = ± + 3                         = = = = + + + + x k      π π π π 18 π π π π 6 π π π π 2 3 π π π π 2 3

2

+ + + +

= = = =

− − − −

+ + + +

2m cos x s

inx

))))

((((

3 + + + + 2

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

− − − −

= = = =

2m

inx

Hướng dẫn:

((((

)))) + + + + 2m 1 s

((((

)))) 2m 1 cos x

3 + + + + 2

Phương trình có nghiệm

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

≥ ≥ ≥ ≥

− − − −

− = ⇔ = ± − = ⇔ = ± − = ⇔ = ± − = ⇔ = ±

+ + + + 2m 1

− − − − 2m 1

2m

2 4m 1

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ 0

4m 1 0 m

((((

))))

((((

))))

((((

3 2

1 2

           

2     + ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔        

= ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ =

+ + + +

m

s

x

1 inx

TH1:

π ∈ ; π ∈ π ∈ π ∈ k2 ,k Z

ππππ 2

1 ==== ⇒⇒⇒⇒ 2

= − ⇔ = π + = − ⇔ = π + = − ⇔ = π + = − ⇔ = π +

m

x

1 c osx

TH2:

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k2 , k Z

1 = −= −= −= − ⇒⇒⇒⇒ 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

28 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích của sin-cos (Phương trình đối xứng)

(1): a(sinx + cosx) + b.sinxcosx + c = 0

− − − −

2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ t

2

Phương pháp: Đặt t = sinx + cosx; đk:

2 t

1

2

⇒⇒⇒⇒

= += += += +

====

t

1 2 sin x cos x

sin x cos x

−−−− 2

(2): a(sinx - cosx) + b.sinxcosx + c = 0

2

⇒⇒⇒⇒

====

− − − −

2 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ t

2 sin x cos x

Phương pháp: Đặt t = sinx - cosx; đk:

−−−− 1 t 2

* Chú ý:

cos x

2 sin x

2 cos x

+ sin x

−

π 4

     

 π   + =  4  

     

     

cos x

2 sin x

2 cos x

+ sin x

−

π 4

     

   − = −   

     

     

± ± ± ±

+ + + +

0

+ Với phương trình dạng a sin x cos x b sin x. cos x c

+ = , ta đặt + = + = + =

= = = =

± ± ± ±

t

sin x cos x , (0

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ t

2)

Ví dụ minh họa: Giải các phương trình sau

2

+ + + +

= = = =

+ + + +

2cos 2x sin x cos x c

x sin x

cos x

os

inx

VD1:

(((( 2 s

))))

Hướng dẫn:

+ + + +

= = = =

+ + + +

2(s

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2 cos 2x sin cos x(s inx + + + +

+ + + + − − − −

cos x) + + + +

= = = =

+ + + +

x )(cos x s

2(cos x s

inx sin cos x(s

)

cos x)

2(s

cos x)

inx

x

inx

2

= = = =

− − − −

+ + + +

2x

)(cos x s

))

inx

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

− − − −

+ + + +

− − − −

= = = =

s

cos x

sin cos x 2

0 inx

x

(Do cos ((((

c os ))))

− − − − x sin x (((( 2 cos x s

(cos x s ))))

       

       

= − = − = − = −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + + sin x cos x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0

s

cos x

t

x

1 inx

anx

TH1:

ππππ = − ⇔ = − + π ∈ = − ⇔ = − + π ∈ = − ⇔ = − + π ∈ = − ⇔ = − + π ∈ k , k Z 4

− − − −

+ + + +

− − − −

2(cos x s

)

sin cos x 2

− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ 0

2(s

cos x)

sin cos x 2

inx

x

inx

x

TH2:

+ = + = + = + = 0

2

= = = =

− − − −

====

t

s

cos x;

2 ≤ ≤ ⇒⇒⇒⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ t

2 inx

sin cos x x

+ Đặt

thay vào phương trình ta có:

−−−− 1 t 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

29 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1

− − − −

+ + + +

= = = =

t

= −= −= −= − ⇒⇒⇒⇒ 1

s

cos x

= − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − 1

2c

x

= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ 1

x

(1)

inx

os

c os

2 π π π π 4

           

           

           

           

2

+ + + +

t

4t 3

t

2; 2

    = − ∉ − = − ∉ − = − ∉ − = − ∉ − 3   

       

  + = ⇔  + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ 0  

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= = = =

π ⇔ π ⇔ π ⇔ π ⇔

x

⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ + x

k2

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

c os

Từ (1)

π π π π 4

π π π π = ± + = ± + = ± + = ± + 4

           

           

π π π π

k2

 π π = = π = π = x k2  ππππ  = − + = − + = − + = − + x  2

3

= = = =

+ + + +

+ + + + cos x sin x

sin 2x s

cos x

inx

VD2:

Hướng dẫn:

3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

− − − −

+ + + +

= = = =

+ + + +

s

cos x

2sin x cos x s

cos x

inx

((((

))))

(((( 3sin x cos x s

))))

2t

1

= = = =

+ + + +

− − − −

====

t

s

cos x;

2 ≤ ≤ ⇒⇒⇒⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ t

2 inx

sin cos x x

+ Đặt

thay vào phương trình ta có:

−−−− 2

2; 2

3

2

       

+ + + +

− − − −

t

2t

− − = ⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ + 0

t 2

1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0

…

((((

))))(((( t 2 t

))))

     = − ∉ − = − ∉ − = − ∉ − = − ∉ − 2 t      = ±= ±= ±= ± 1 t 

1 − − − − = = = = − − − − = = = = x 2c x 1 c os os s inx π π π π 4 π π π π 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + + + + + = = = = cos x 1 = − = − = − = − s cos x 1 inx 2 1    + + + + = − = − = − = − + + + + 2 sin x = − = − = − = − 1 π π π π 4 π π π π 4                 sin x                                                                                 2                                                

π π π π + + + + = = = = k2 x − − − − π π π π x k2

π ⇔ π ⇔ π ⇔ π ⇔ k2 ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z π π π π = ± + = ± + = ± + = ± + 4 π π π π = − + = − + = − + = − + 4 π π π π x k2

= π + = π + = π + = π + + + + + π π π π k2 ππππ 2 π π = = π = π = x k2 ππππ = − + = − + = − + = − + 2 = π + = π + = π + = π + π π π π π π π π 4 π π π π 4 π π π π 4 π π π π 4 x k2    ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − x    − − − − x           

2 sin x c++++

VD3:

Hướng dẫn:

otx=2sin2x+1

0≠≠≠≠

+ ĐK: sin x

2

+ + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = + ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ = = = = + + + +

2 sin x

(2 sin x cos x).2 1

+ + + + 2sin x cos x

4sin x cos x s

inx

2

+ + + + − − − − − − − − + + + + = = = =

s

(2sin x 1)

− − − − cos x(1 4 sin x)

0

inx

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

cos x 4sin x cos x − − − − − − − −

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0 = = = =

cos x s inx 2 − − − − 2 sin x s inx − − − − (2sin x 1)(s

cos x 2sin x cos x)

0

inx

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

30 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

= = = = + + + + π π π π

x

k2

= = = = = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

sin x

sin

TH1:

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

1 2

ππππ 6 = = = = + + + + π π π π

x

k2

     ππππ 6 ππππ 5 6

TH2: sin x cos x 2sin x cos x

− − − − − − − − = = = = 0

2 2; 2

2

    ∉ − ∉ − ∉ − ∉ −   

       

= = = =

− − − −

− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔

t

s

cos x;

2 ≤ ≤ ⇒⇒⇒⇒ − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ 2 x

t

2t 1 0

inx

+ Đặt

2  = + = + = + = + t 1   = −= −= −= − t 1 

− − − −

1

2

⇒⇒⇒⇒ = = = = − − − − = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + + + = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + + +

s

cos x 1

2 2c

x

1

2 x

inx os

c os

π π π π 4 π π π π 4                                                

2

− − − − − − − −

1

2

1

2

= ± = ± = ± = ± + + + + − − − − + + + + ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔ + x

arccos

k2

π ⇔ = ± π ⇔ = ± π ⇔ = ± π ⇔ = ± x

arccos

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k2 ;k Z π π π π 4 π π π π 4

2

                                                               

3

+ + + + − − − − + + + + + + + + + + + + − − − −

s

cos x

s

cos x

2

VD4: ((((

))))

inx inx = = = = 0

(((( 2 sin 2x 1

))))

Hướng dẫn:

3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + − − − − + + + + + + + + − − − − = = = =

s

cos x

s

cos x

2

0

))))

inx inx

3

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + − − − − + + + + + + + + + + + + − − − − = = = =

s

cos x

s

cos x

2

0

(((( ((((

)))) ))))

inx inx inx

(((( 2 2sin x cos x 1 (((( 2 s

+ Đặt :

+ + + + ))))

3

2

= = = =

+ + + +

− − − −

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ −

+ + + +

= ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ =

t

s

cos x;

2 ≤ ≤ ⇒⇒⇒⇒ − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ t 2

t

2.t

+ − + − + − + − t

2 (t

0 2 )(t

1)

0 t

2 inx

⇒⇒⇒⇒

+ + + +

= = = =

+ + + +

= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ +

= = = =

+ + + +

π ⇔ = π ⇔ = π ⇔ = π ⇔ =

+ + + +

s

cos x

2 sin x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 2

1 x

k2

x

π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k2 ;k Z

inx

π π π π 4

π π π π 2

π π π π 4

           

           

    sin x        

           

III. VẬN DỤNG GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHỔ BIẾN

DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP PHƯƠNG TRÌNH CƠ SỞ

Giải các phương trình sau

= = = = − − − − − − − − c 7x sin 5x os os

(1) .

(((( 3 c 5x sin 7x

))))

Hướng dẫn:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= = = =

+ + + +

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= = = =

+ + + +

3 sin 7x

sin 5x

sin 7x

sin 5x

c 7x os

3c 5x os

c 7x os

c 5x os

3 2

1 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= = = =

+ + + +

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

= = = =

− − − −

sin sin 5x c

7x

5x

c os

c 7x sin sin 7x os

os

c 5x os

c os

π π π π 3

π π π π 6

π π π π 3

π π π π 6

           

           

3 2            

           

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

31 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

= = = =

x

+ π + π + π + π k

= ± = ± = ± = ±

− − − −

+ + + +

π ⇔ π ⇔ π ⇔ π ⇔

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − 7x

5x

k2

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

π π π π 3

π π π π 6

           

           

+ + + +

    = = = = x 

ππππ 12 π π π π 24

π π π π k 6

2

− − − −

4sin

= + = + = + = + 3c 2x 1 2cos

os

(2)

x 2

ππππ 3 4

    − − − − x       

           

Hướng dẫn:

− − − −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

= + = + = + = +

− − − −

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

− − − −

= + = + = + = +

− − − −

4 3c 2x 1

2x

2 2 cos x

2 c

2x

os

3c 2x os

os

1 cos x 2

π π π π 3 2

           

           

           

           

           

    + + + + 1 c        

           

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

− − − −

= = = =

π − π − π − π −

− − − −

= = = =

− − − −

= = = =

2cos x

2 2x

2 cos x

− − − − sin( 2x)

3c 2x os

c os

3c 2x os

π π π π 2

           

    + ⇔ − + ⇔ − + ⇔ − + ⇔ −        

           

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= = = =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

= = = =

cos x

sin 2x

2 cos x

3c 2x os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

= = = =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

= = = =

s in 2x

2x

cos x

sin sin 2x c

cos x

c os

os

c 2x os

π π π π 6

3 2

1 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− − − −

= − = − = − = −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + + +

= − = − = − = −

= = = =

π − π − π − π −

cos x

2x

cos x

x

c os

c 2x sin sin 2x os

c os

((((

))))

π π π π 6

π π π π 6     π π π π     6    

           

= = = =

+ + + +

x

k

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

= − = − = − = −

+ + + +

x

k

    

π π π π 5 18 π π π π 7 16

π π π π 2 3 π π π π 2 3

2

+ + + +

− − − −

= = = =

tan

x

3 tan x

(4)

π π π π 2

− − − − x

c 2x 1 os 2 c os

           

           

Hướng dẫn:

≠≠≠≠

cos x

0 cos x

0

⇔⇔⇔⇔

+ ĐK:

+ + + +

≠ ≠ ≠ ≠

x

0 c os

≠≠≠≠ ≠≠≠≠

s

0 inx

     

ππππ 2

           

           

       

2

−−−−

2

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

− − − −

= = = =

= − = − = − = −

⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

− − − −

cot x 3 tan x

2 tan x

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0

3 tan x

= − = − = − = − 1

t

x

1 anx

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= − ⇔ = − + π ∈ = − ⇔ = − + π ∈ = − ⇔ = − + π ∈ = − ⇔ = − + π ∈

t

k ;k Z

1 x

anx

2sin x 2 c os ππππ 4

−−−−

))))

====

3 (5) KA-09:

− − − −

inx

(((( 1 2sin x cos x ))))(((( + + + + 1 2 sin x 1 s

((((

))))

Hướng dẫn:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

32 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

≠ −≠ −≠ −≠ −

s

inx

+ ĐK:

1 2

≠≠≠≠

s

1 inx

    

(((( ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

))))

= = = = − − − − + + + + 1 2sin x cos x inx

(((( 3 1 2sin x 1 s

)))) ((((

))))

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = − − − − − − − − cos x 2 sin x cos x 3 3 s 2 3 s inx

2 in x

inx

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = + + + + − − − − − − − − cos x sin 2x 3 3 s 2 3 inx 1 c 2x os 2 + + + + 2 3 s  −−−−                      

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = + + + + − − − − cos x sin 2x 3 s inx 3c 2x os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = + + + + cos x 3 s sin 2x inx 3c 2x os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = + + + + cos x s sin 2x inx c 2x os 1 2 3 2 1 2 3 2

++++ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = − − − − cos x sin s sin sin 2x c c os inx os c 2x os π π π π 3 π π π π 6 π π π π 6 π π π π 3

= = = = + + + + π π π π x k2 ππππ 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = = ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z x 2x c os c os π π π π 3 π π π π 6                             − ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔                     = − = − = − = − + + + + π π π π x k2      ππππ 18

− − − − − − − − 3c 5x 2sin 3x cos 2x s os inx

(6) KD-09:

= = = = 0

Hướng dẫn:

= = = = + + + + + + + + − − − − sin a.cos b

(

(((( sin a b

))))

(((( sin a b

))))

     )            1 2

((((

))))

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − + + + + − − − − = = = = 3c 5x 2. sin 5x s s = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0 − − − − 3c 5x sin 5x 2sin x os inx inx os 1 2

− − − − = + = + = + = + π π π π + + + + = = = = 5x x k2 x

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 5x s ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z inx              ππππ       3     − − − − = π − + = π − + = π − + = π − + π π π π 5x x k2 x                                                 π π π π 3 π π π π 3 π π π π 18 π π π π = − − = − − = − − = − − 6 π π π π k 3 π π π π k 2

3

+ + + + + + + + = = = =

s

cos x.sin 2x

+ + + + 2(c 4x sin x) inx

3c 3x os

(7) KB-09:

Hướng dẫn:

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + + + + +

s

+ + + + (1 2sin x) cosx.sin2x = = = = 3 cos3x 2cos4x

s

.c 2x cos x.sin2x

= = = = 3c 3x 2cos4x inx inx os os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = =

sin3x

= = = = 3c 3x 2cos4x

sin3x

3x

os = = = = c 3x cos4x os

c os

c 4x os

1 2

3 2

           

ππππ        6    

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

33 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π π π π

k2

π ⇔ π ⇔ π ⇔ π ⇔

3x

4x k2

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z ππππ ⇔ − = ± + ⇔ − = ± + ⇔ − = ± + ⇔ − = ± + 6 = = = = + + + +

k

 x    x 

ππππ = − + = − + = − + = − + 6 π π π π 42 π π π π 2 7

+ + + +

cot x s

+ + + + (1 t inx anx

(8) KB-06:

= = = = 4

x .tan ) 2

Hướng dẫn:

≠≠≠≠ ≠≠≠≠

0 0

+ ĐK:

≠≠≠≠

0 c os

      

s inx cos x x 2

++++

.cos x s

.sin

sin

c os

inx

x 2

= = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + + + + + + + + +

4 s

1 .

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 4

s

inx inx

s inx cos x

cos x s inx

cos x.c

c os

                   

                   

                   

                   

x 2

x 2 x 2

2 c os

x 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + + + + + = = = =

s

.

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 4 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 4

4

inx

c os s

cos x s inx

sin x c osx

++++ x sin x .cos x inx

cos x.c

x 2

= = = =

x

+ π + π + π + π k

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 4

cos x.s

sin 2x

sin

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z nx i

s

1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 4

1 2

ππππ 6

1 .cos x inx

+ π + π + π + π k

    = = = = x 

ππππ 12 ππππ 5 12

3

+ + + + + + + + = = = =

s

cos x.sin 2x

+ + + + 2(c 4x sin x) inx

3c 3x os

(9).

Hướng dẫn

)

⇔ − + + = inx s cos x.sin 2x os 3c 3x 2 cos 4x

( 1 2sin x inx os .c 2x cos x.sin 2x

⇔ + + = s os 3c 3x 2 cos 4x

⇔ + = sin 3x os 3c 3x 2 cos 4x

π x k2

⇔ − =   ⇔  os c 3x os c 4x    π   6 + k  = x  π = − + 6 π 42 π 2 7

+ + + +

cot x s

(10).

+ + + + (1 t inx anx = = = = 4

x .tan ) 2

Hướng dẫn

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

34 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐK:

inx s , cos x, c x os ≠ 0 2

sin ⇔ + + = inx s 1 4 cos x inx s os inx s . cos x c           x 2 x 2

+ os inx.sin cos x.c s x 2 x 2 ⇔ + = inx s 4 cos x inx s os cos x.c           x 2

os c x 2 ⇔ + = inx s 4 cos x inx s os cos x.c      x 2

= ⇔ + 4      inx s cos x

= ⇔ = ⇔ 4 sin 2x

+ = π = 2x k2 x + π k π 6 ⇔ ⇔

= = = =

= π π = 2x k2 x + π k      cos x inx s 1 x sin cos x       π − + 6 1 2 π 12 π 5 12

+ + + + sin x cos x

2c 9x os

(11)

Hướng dẫn:

= − = − = − = − + + + +

x

k

π π π π 4 π π π π 32 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2c

x

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z os

2c 9x os

c os

c 9x os

π π π π 4 π π π π 4                                                 = = = = + + + +

x

k

     π π π π 40 π π π π 5

= = = = + + + +

2 sin 4x

s

3 cos x

(12)

Hướng dẫn:

inx

= = = = + + + +

x

k

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

sin 4x

s

cos x

sin 4x

inx

1 2

3 2

    sin x             ππππ + ⇔ + ⇔ + ⇔ + ⇔     3     = = = = + + + +

x

k

     π π π π 9 π π π π 4 15 π π π π 2 3 π π π π 2 5

+ + + + = = = =

8cos x

(13)

s

1 cos x

3 inx

Hướng dẫn:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

35 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

0

+ ĐK:

≠≠≠≠ ≠≠≠≠ inxs cos x

0

  

2

+ + + + = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − 3 cos x s

2 8 cos x.s

3 cos x s inx inx inx inx

3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = = − − − −

(((( 8 1 sin x .s = = = =

− − − − 3 cos x s 8 sin x

)))) − − − − 6 sin x 8sin x

3 cos x s inx inx inx

3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = 3 cos x s 3 cos x s 2.sin 3x inx inx 8 s (((( − − − − 2 3sin x 4sin x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ))))

= = = = + + + + x k π π π π 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x s sin 3x sin x sin 3x ;k Z∈∈∈∈ inx 3 2 1 2 ππππ        3                 = = = = x + π + π + π + π k       π π π π 12 ππππ 3

====

3

(14)

Hướng dẫn:

−−−− c 2x cos x os ++++ sin 2x s inx

≠≠≠≠

s

0

inx

+ + + + = = = = + + + +

sin 2x s

s

2cos x 1

+ ĐK:

((((

))))

inx inx ≠ −≠ −≠ −≠ −

cos x

  ≠ ⇔  ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ 0 

1 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = + + + +

3 s

cos x

3 s

− − − − c 2x cos x os inx

c 2x os

inx inx

(((( 3 sin 2x s

))))

+ + + + π π π π = − = − = − = −

k2

x

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + + + + = = = =

2x

x

∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z

c os

π π π π 3 π π π π 3                                         − ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔        

    ==== x k ππππ 2 3 ππππ 2 3

++++

3

− − − − = = = =

cos 3x.c

x sin 3x.sin x

(15)

os3

2 3 2 8

Hướng dẫn:

+ + + +

os

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = =

sin 3x.

c 3x. os

+ + + + 3cos x c 3x 4 − − − − 3sin x sin 3x 4

2

+ + + + − − − − + + + +

c os

inx

2 3 2 8 ++++

((((

))))

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = =

3x sin 3x 3 c 3x.cos x sin 3x.s os 5

2 3 2 8

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = + = + = + = + + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = = = = = + + + + ∈ ∈ ∈ ∈ + + + + 3x sin 3x 3.c 4x 1 ⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ = ± x

k ;k Z

c os

os

c 4x os

c os

3 2 2

2 2

− − − −

π π π π 4 π π π π 16 π π π π 2

2

((((

)))) 3 cos x 2 sin

ππππ 4

    2 x − − − −    2    

           

====

1

(16)

−−−−

2cos x 1

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

36 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng dẫn:

≠≠≠≠

cos x

+ ĐK:

1 2

− − − − 1 c os ππππ 2             − − − − = = = = − ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − − − − − + − + − + − + − − − − = = = = − − − − 2cos x 1 2cos x 3 cos x 1 c x 2 cos x 1 os

(((( ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − 2

)))) 3 cos x 2.

    − − − − x        2 ππππ        2                

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − − + − + − + − + = = = = − ⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔ − − − − = = = = 2 cos x 3 cos x 1 s 2 cos x 1 s 3 cos x 0 inx inx

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − − − − − = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = 2. s cos x = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 0 2 sin x 0 x + π + π + π + π k inx π π π π 3 π π π π 3 1 2 3 2                                        

Kết hợp ĐK ta có:

= = = = + + + + x π ∈ π ∈ π ∈ π ∈ k2 ;k Z                 ππππ 4 3

(17)

Hướng dẫn:

+ ĐK: sin 2x

= = = = + + + + cot x t anx 2cos 4x sin 2x

0≠≠≠≠

(ktm)

2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − − − − = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x sin x ∈ ∈ ∈ ∈ ;k Z c os c 4x os c 2x os c 4x os s inx cos x 2cos 4x 2 sin x cos x cos x s inx x=k     = π= π= π= π x k ππππ 3

2

(18).

Hướng dẫn

− − − − 4sin = + = + = + = + 3c 2x 1 2cos os x 2 ππππ 3 4     − − − − x                   

− ⇔ − − os os 4 3c 2x 1 2x             1 cos x 2 π 3 2  = + + 1 c  

⇔ − − = + − = − os 2 2 cos x os 3c 2x 2 c 2x os c 2x                π 3 2

⇔ − − = π − − = + 2 cos x os 3c 2x os c 2 2x os c 2x       π 3 2    π 2 π 2

)

⇔ − − = − 2 cos x os 3c 2x sin 2x    (

⇔ + = 2 cos x os 3c 2x sin 2x

⇔ − = sin 2x os 3c 2x 2 c os x

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

37 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔ − = sin 2x os 3c 2x 2 cos x

⇔ − = sin 2x os c 2x cos x 1 2 3 2

⇔ − = os sin sin 2x c os c 2x cos x

⇔ − = − os c os c 2x sin sin 2x cos x π 6 π 6

(

)

⇔ + = π − os c 2x os c x π 6 π 6       π 6

+ = π − + π = + 2x x k2 x k π 2 3 ⇔ ⇔

( = − π −

)

+ + π = − + π 2x x k2 x k2             π 6 π 6 π 5 18 π 7 6

2

(19).

Hướng dẫn

+ + + + − − − − = = = = tan x 3 tan x π π π π 2 − − − − x c 2x 1 os 2 c os                        

ĐK:

≠ cos x 0 ≠ 0 ⇔ + ≠ ≠ os c x 0 cos x inx 0   s        π 2     

− ⇔ − = = − − cot x 3 tan x 2 tan x 2sin x 2 os c x

2 tan x

3 tan x

⇔ − − = − ⇔ = − + π anx = ⇔ 0 = − ⇔ 1 t k x 1 1 anx π 4 t

(20). ((((

+ + + + + + + + − − − − 1 1 inx = = = = 2

)))) 3 s

((((

)))) 3 cos x

Hướng dẫn

⇔ + + − = inx inx s 3 s cos x 3 cos x 2

⇔ + + − = inx inx s s cos x cos x 1 1 2 3 2 1 2 3 2

⇔ − + = inx inx os c osx+sin c s os c cos x 1 π sin s 6 π 6 π 3

⇔ − + + − = os c x os c x 1          π 3    π 6 π 3      

⇔ − − + = − os c x os c x 1             π 3 π 6

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

38 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔ − − = x 1    π 2sin .sin 4 π   12

⇔ − − = sin x sin x             2 2 π 12 1 = − ⇔ 2 π 12 1 2

= + π x k2

  ⇔ 

+ π k2  = x  π 6 π 5 6

DẠNG 2: NHÓM THỪA SỐ CHUNG

Giải các phương trình lượng giác sau

3 sin x

− = − 3 cos x sin x.cos x 3 sin x cos x

Bài 1: KB-2008:

Hướng dẫn

⇔

−

2 sin x(cos x sin x)

2 3 cos x(cos x sin x)

⇔

sin x cos 2x

3 cos x cos 2x

⇔

cos 2x(sin x

=⇔+

∈

π k

=⇔ 2

(

)

TH1: cos2x = 0

−=

π 2 ⇔= 0

= 3 cos x) ππ + k 4 2 cos

sin

cos

sin

TH2:

⇔

−=

−

tan

tan(

π ) 3

∈

−=⇔ x

π k (

)

−

π 3 − x

sin2)(1

cos

)

2sin

sin

Hướng dẫn: sin 2x

⇔

−

Bài 2: cos 2sin x cos x − x 2( cos

sin

cos

⇔

−

x +

x ) =

sin2)(1 x

cos

1 )(sin

cos

)

cos x

cos

⇔

∈ (k Z)

π 3

tan x

1 2 = − 1

−

2sin

sin

 ⇔  

Bài 3: KD-2011:

cos x  π = ± +  3  π  = − + π x k  4 + x cos +

tan

≠ −

tan x

* ĐK:

≠

cos x +

−

=−

Hướng dẫn     x

2sin

cos

sin

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

39 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔ + − =− x x x x sin2

⇔ 01 = x 2 )1 0

⇔ cos x (sin + sin + x (sin = − cos x 2 cos −+ )1 x (sin 2)(1 )1 0 cos

−=⇔−= + x x k 1 π 2 π 2

= = + x ±=⇔ x k cos π 2 cos  sin      1 2 π 3

(

loại )

−= + x k ( π 2

+ + + + = x x x x π 3 π 3 sin 1 cos 2sin cos 2 0

Bài 4: KB-2005:

Hướng dẫn

+ + =− + x x x x +⇔ 1 01

⇔ sin + x cos + x sin2 x cos 2 = x sin 2 ) 0 cos

⇔ cos + x cos + x = x (sin x x (sin cos cos + 21)( cos 0 )

x tan −= 1 −= + x π k = + x x 0 ⇔ ∈ ⇔ k Z ) cos −= x 2 cos 1 x cos cos  sin   ±= + x k ( π 2     1 =−= 2 π 2 3

+ − =       + x x x (sin 2 cos x )2 cos 2 cos sin 0 π 4 π 2 3 x 2

Bài 5: KB -2010:

Hướng dẫn

⇔

−

2sin

cos

sin

⇔

−

sin2

cos

(cos

sin

⇔ ⇔

x =

x +

x x

sin sin

cos x 2

(cos + )2

2( cos x

+− )1 2 cos x

cos

(sin

∈

=⇔+

(

)

=⇔ 2

TH1: cos2x=0

⇔ π 2

x cos 2 x x (cos + + = cos ππ + k 2 4

−<

2 1

)2(

TH2: sinx + cosx + 2 = 0 ⇔ phương trình vô nghiệm vì

π k

Bài 6: KD - 2008: 2sinx(1+co2x) +sin2x = 1 + 2cosx

Hướng dẫn

⇔

2cosx 2 sinx 2 cos x .

2sin x cos x(2 cos x 1)

2 cos x 1

⇔

− =

(2 cos x 1)(2 sin x cos x 1)

= ±

cos x

cos

π 2 3

⇔ π

∈ (k Z)

1 = − = 2

π 2 3

sin 2x 1

+ π k

2sinxcosx + = 1 +

π 4

 ⇔       

Bài 7: KB-2011: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

Hướng dẫn

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

40 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔ − + − − = 2sin x.cos x sin x cos x cos 2x sin x cos x 0

+ = + (c 2x cos x) 0

− − − os + = (c 2x cos x) 0

2 sin x(2 cos x cos x 1) + sin x(c 2x cos x) (s

⇔ ⇔ ⇔ os − os = inx os + 1)(c 2x cos x) 0

= ⇔ = + sin x 1 x π ∈ k2 , k Z π 2

= − π cos x k2 x

sin

)

cos

++ 1(

cos

sin)

+= 1

2sin

− + ⇔ + cos 2x cos x = ⇔ 0 2 cos x 1 cos x = ⇔ 0 ∈ (k Z) = = π cos x cos x k2                1 1 2 = π + π = ± + 3 π 3

Bài 8: KA-2007:

Hướng dẫn

cos

sin

cos

sin

cos

sin

2sin

⇔ + + + += 1

cos

)

+ + = +

sin +

x −

x x

cos x

x cos − x

cos (sin

sin cos

1)(

sin

) cos

(sin = x )

sin

⇔

−=⇔−=

∈

tan

⇔ ⇔ + +

)

TH1: sinx + cosx = 0

(sin x cos π 4

cos −

− x =

x x

TH2: 1 + sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 sin sin

−⇔ 1 −⇔ 1(

(sin x )

)1 0

cos

1)(

=⇒=

∈

π 2 (

)

=⇒=

π 2 k

π 2

cos

−

sin

cos

sin

cos

π k (

 sin    Bài 9:

Hướng dẫn

−

⇔

−

cos 2

⇔

−

8cos 2 +

−

cos 2 12

cos

−⇔

x −

10 x

cos 2 8cos = x

sin

⇔

9sin2 x

9sin2 = x

9sin

(sin

)

sin

π =⇔=⇔ k

TH1: sin9x = 0

6 x 3sin + x 3 π k 9

⇔

∈

TH2: sin3x = -sinx = sin (-x)

+−= π x k 2 π ++= k

π 2

 3  3 

, π k

     

π k 2 π 2

sin2

7sin

=− 1

sin

Bài 10: ĐHKB-2007 :

Hướng dẫn

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

41 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−=

⇔

−

7sin

sin

⇔

sin21 = x

cos

3sin

4 cos =

−

⇔

cos

=⇔+

π k

=⇔ 4

TH1: cos4x = 0

4 x 3sin2(4 ππ + k 8 4

π 2

∈

⇔

sin

)

TH2: sin 3x =

1 2

π 6

π 2

     

π 2  3    3  

π 18 π 5 18

π 6 π 5 6

)

(1 sin x cos 2x)sin(x

π 2 3 .( π 2 3 π 4

cos x

+ + + =

Bài 11: KA-2010:

1 tan x

1 2

≠

* ĐK:

tan

Hướng dẫn  x cos 0  −≠  * Phương trình

⇔ +

+ (1 sin x cos 2x).

+ (sin x cos x)

+ cos x(1 tan x)

2 2

⇔ +

2 2 + (cos x sin x)

⇔

− =

TH1: sinx + cosx = 0 TH2: sin x + cos2x = 0

−= x x

(1 sin x cos 2x)(sin x cos x) + + (sin x cos x)(1 sin x cos 2x 1) 0 (loại) 1 2 = −+ x 0 sin21 = = vì x (1 ) cos loai

−=

π 2

⇔

π 6

sin(

1 =−= 2

π ⇔− ) 6

π +=

π 2

     

+ ⇔ x tan ⇔ sin  sin    sin   

π 6

2 sin x sin 2x

Bài 12: KA-2011:

+ 2

1 sin 2x cos 2x 1 cot x

sin2

x sin2.

cos

Hướng dẫn * KĐ: sinx 0≠ + x 2sin cos 2 x cos x sin ⇔

sin x(1 sin 2x cos 2x)

2 sin x.2 cos x

⇔ +

1 sin 2x cos 2x

2 2 cos x

⇔ + ⇔

− = 2 =

2 1 sin 2x 2 cos x 1 2 2 cos x 2 2 cos x 2sin x cos x 2 cos x

⇔

−

cos x(sin x cos x

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

42 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

∈

=⇔ x

π k ,

TH1: cosx = 0

π 2 TH2: sinx + cosx = 2

⇔

−

= ⇔ −

π ⇔ =

2 cos(x

)

= ⇔ 2

cos(x

) 1

π ∈ k2 , k Z

π 4

π 4 1

−

sin(

)

Bài 13: KA - 08 :

1 sin

π 4 π 7 4

−

sin(

π 3 ) 2

−

sin(

sin

cos

x sin.

cos

Hướng dẫn * KĐ: * Ta có: π 3 ) 2

π 3 2

−

sin.

sin(

)

sin

cos

π 7 4

−=

−

cos

sin

2 2

−=

(cos

sin

)

π 7 4 2 2 2 2

⇔

−=

(cos

sin

)

Vậy phương trình:

−=

⇔

x x

(sin

cos

sin).

x .

cos

1 sin sin

1 cos cos

⇔

(sin

cos

1)(

⇔

−=⇔−=

π k

tan

TH1: sin x + cosx = 0

x )2sin2 π 4

π = − + 4

= −

⇔

sin 2x

sin(

∈ , k Z

TH2:

2 2

π − ⇔ ) 4

= π + +

+ π k

    

     

π 4

π = − + π 8 π 5 8

−

sin

(

tan

cos

Bài 14: KB-2003:

x π − 4 2

x 2

Hướng dẫn * KĐ: cosx 0≠

−

cos(

−

π ) 2

−

sin 2

(

x 2

π ) 4

−

sin 2 1

⇔

−

Phương trình:

2 sin 2

cos 2

x x

sin cos

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

43 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔

+− 1(

cos

)

1( −

sin). +

sin x

− sin

x 1)(

x x sin

)

⇔

)

cos +

+− 1( x

1)( x

sin

)

cos

1)(

cos

−

0 x 1)( =

cos x

cos

1)(

)

sin =

x cos + x

sin +− 1( ) −− 1 x

)

cos

sin −⇔ 1( +⇔ 1( +⇔ x ).(sin cos 1( +=⇔ ππ 2k x

TH1: cosx = -1

⇔

−=⇔−=

∈

tan

π k ,

TH2: sinx + cosx = 0

π 4

− =

−

cot x 1

2 sin x

sin 2x

Bài 15: KA- 03:

cos 2x + 1 tan x

1 2

≠

* ĐK:

≠ 0 −≠

Hướng dẫn  x sin  cos   tan 

x x * Phương trình đã cho:

cos

⇔

−

=− 1

sin

2sin

x x

cos sin

1 2

cos

(cos

sin

)

x 2 x sin x cos x cos

⇔

−

sin

x .

cos

− x cos

x sin )(cos + x x sin

cos

⇔

−

cos

(cos

sin

)

sin

(sin

cos

)

sin x sin x

− x sin − x sin

⇔

−

(cos

sin

)(

cos

sin

)

1 sin

=⇔ x

π k

TH1: sin x = cosx

π 4 2 =x

+ = ⇔ +

⇔

−

1 0

− 1 cot x cot x 1 0

+ = (vô nghiệm)

TH2: 1-sinxcosx + sin 1 2 sin x

cos x sin x

Bài 16: KD-10: sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0

Hướng dẫn

⇔

− −

− =

−

2sin x cos x (1 2 sin x) 3sin x cos x 1 0

− =

⇔ ⇔ ⇔

+ + +

− − −

+ +

(2 sin x 1) cos x 2 sin x 3sin x 2 0 − = (2 sin x 1) cos x (sin x 2)(2sin x 1) 0 (2 sin x 1)(cos x sin x 2) 0

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

44 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

  ⇔ 

sin x

sin

1 = ⇔ 2

π 6

 = x 

π 6 π 5 6 +

= −

< −

+ sin x cos x

2 2 (vônghiem)vì 1

2 1

( 2)

   ⇔    

Bài 17: sin2x + 2 cos2x + 4cosx - sinx-1 = 0

Hướng dẫn

⇔

−

+−

=−

sin2

cos

sin

2(2

cos

4)1

cos

x −

x x

=− 3 0 + = 0 )3

⇔ ⇔ ⇔

sin sin 2(

4 2)(1 + x )3 −<

cos cos cos 2 + 1

)3(

+− 2( cos 4)1 +− )1 2( cos 2( − + x x cos 1 )(sin 2 2 TH1: sinx + 2cosx = -3 (vô nghiệm) vì 1

cos cos = 0 2

∈

±=⇔ x

cos

π .(2

)

TH2: cosx =

1 2

π 3

Bài 18: 2sin2x -cos2x = 7sinx + 2 cosx - 4

Hướng dẫn

⇔

−−

−

sin4

cos

sin21(

sin7)

cos

=+ 4

⇔

−

x x x x x

sin4

cos

sin2

sin7

cos

=+ 3

⇔

−

x x x x x

cos

sin2(

⇔

x x x

−

cos

⇔

x − x x

)(1 =

sin2( − x

+− )1 +− )1 x

sin2( + x

sin2(

2)(1

cos

sin

sin7 sin 0

x −

∈

⇔

x k π 2

sin

1 2

, π 2

     

−

k Z x π ⇔= 6 x k π 6 π 5 6

sin

tan

=+ 1

x x

Bài 19:

cos

Hướng dẫn * ĐK: cosx 0≠ * PT

−

⇔

+ = 1

(2 sin 2x).sin 3x 4 cos x 2 −

⇔

4 sin x 4 cos x 4 + sin x cos x

(2 sin 2x).sin 3x

−

⇔ − 1

2 sin 2x

(2 sin 2x).sin 3x

1 2

⇔ −

−

2 sin 2x

2 2(2 sin 2x).sin 3x

x 3sin).2 4 x

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

45 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

⇔ −

− = ⇔

⇔

(2 sin 2x)(2 sin 3x 1)

sin 3x

sin

∈ , k Z

π 6

π 2

    = x 

π 2 3 π 2 3

π 18 π 5 18 Bài 20: 3 - tan x (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0

sin

cos

−⇔ 3

(

+ 6)

cos

* PT

⇔

Hướng dẫn * KĐ: Cosx 0≠ x sin x cos 2 − x

cos

sin

cos

sin2 x cos − sin2

⇔

−

cos

+ 21(

cos

)

sin

+ 21(

cos

)

−

+⇔

)

cos

−

x 1.(

cos

(Phương trình bậc 2 ẩn là cosx …)

x cos 21( 3)( ....⇔ TH1: 1 + 2cosx = 0 2 2 TH2: = x cos ) 0

)

1(3

−

tan3

tan

cos

)

x x x x

Bài 21:

x 2

sin 2 x

+ cos

±≠

cos

⇔≠ 0

sin

Hướng dẫn * ĐK: x * PT

⇔

+−

−

π ( 4

 = 

⇔

++−

x x x x x tan tan3( 1(3)1 sin ) tan cos( ) 1(4 sin ) π 2

⇔

++−

x x x x x tan tan3( )1 1( sin 1(4 sin ) 0

 14   ] −−− 4)1 ] −+− 441

⇔

++−

−

x x x x tan tan3( )1 1( sin 0

⇔

−

x x x x x 1).( [ tan3() [ tan3) tan3)( tan tan3( )1 1( sin )1 0

++ 1

±=⇔±=

x x x tan3( 1 )(tan sin ) 0

⇔=− 01

TH1:

⇔

x x x π k tan3 tan 3 3 π 6

++ 1

⇔= 0

TH2: tanx +1 + sinx = 0 x x

−

x x x x x sin sin cos sin cos 0 sin cos

≤≤ t

- Đặt t = sinx + cosx =

x 2 sin( ); 2 .2 π 4

 ∉ − 

 

⇒

− = ⇔

π 4

− 2 1 2

−

2 2; 2 1±≠t ....t 2t 1 0 sin(x ) sin 2

 = − − t 1   = − + t 1  π 4

⇔

∈

⇔

α x k x πα k π 2 2

+−

+−=

k Z

     

παπ , πα k x k x 2 2 π 4 π 4 π 3 4

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

46 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

x x x x x sin2 sin 2 cos cos cos 2

Bài 22:

−

Hướng dẫn ⇔ − x (sin

cos

)

(sin

cos

)

(cos

sin

)(cos

sin

)

−

cos

)

(sin

cos

)(sin

cos

)

)(sin +

− ) =

⇔ ⇔ ⇔

x − −

(sin 0 =

(sin x x

cos x x

2sin + x

cos +− 1 + x

sin + x x

2 (sin (sin

cos cos

2)( )(sin

cos

sin sin2

x cos x cos ) + x cos

−

= ⇔ =

inx

(chú ý: s

+ π ) k

π 4

cos x 0 x

⇒

⇔

−x

π k x

- Đặt t = sinx + cosx =

…

… ĐS:

 t  t 

−=

π 3 4 ππ += k x 2 cos( 2 0 −= 1 π ) 4

      

x k π 2 π 2

x x x x x x x x sin sin sin sin cos cos cos cos

Bài 23:

−

=⇔=

∈

x x x x x x x x cos ) (sin cos ) cos ) (sin cos ) 0

⇔= 0

π k ,

⇔

cos tan 1

++ 1

Hướng dẫn ⇔ (sin  sin   1 

−

≤≤ t

(sin π 4 x sin cos sin cos cos )2(0 sin

Xét (2): đặt

π ) 4

−=

sin cos 2 cos(

+⇒ 2 t

t 4

⇔=+ 0

…

−=

loai

 t  t 

ππ k

1 3 (3 )

⇔

−

−=

⇔

∈

+ với t = -1

−=

π ) 4

π 3 4

π 2

2 1 cos( cos , π 2 2

    Bài 24: 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2 cosx

Hướng dẫn

⇔

x x cos +−+

sin2 2(

cos = cos x sin2) x 21 x sin2 2( cos ) cos 0

±=⇔−=

21( − = )1 x cos + x cos sin2)(1 cos )1 0

π 2

TH1:

⇔ 2( π 2 3

⇔

−=⇔=

cos 1 2

TH2: 2sinxcosx -1 = 0

π k

π 4

−

2sin 1 2

sin ( ). tan cos 0

Bài 25:

x π − 4 2

x 2

Hướng dẫn * ĐK:

cos ≠x 0

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

47 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * PT

−

1 cos(x

⇔

−

π ) 2 .

1 cos x 2

−

⇔

−

2 2

− 1 cos 2 cos x + 1 sin x (1 cos x)(1 cos x) 1 cos x 2 cos x +

−

⇔ −

(1 sin x)(1 cos x)(1 cos x) cos x(1 cos x)

⇔ +

−

(1 cos x) (1 sin x)(1 cos x) cos x

 

 

⇔ +

−

− −

− (1 cos x) (1 sin x)(1 cos x)

(1 sin x)

 

 

⇔ +

− −

−

(1 co

− s x)(1 sin x)(1 cos x 1 sin x)

⇔ +

−

(1 cos x)(1 sin x)(cos x sin x) 0

sin x 1

π 2

∈ , k Z

= −

cos x anx

 ⇒   

   = − ⇔ = π +    

π = − + 4

∈

−=⇒ x

+= πππ k ,2

;

+ Kết hợp đk:

3cot x 2 2 sin x

(2 3 3) cos x

π 4 Bài 26:

sin ≠x 2

sin22

)232(

cos

Hướng dẫn * ĐK: cos sin

x x ⇔

cos

4sin22

cos

⇔

−

x x x x x sin. x sin.

cos

(cos

sin2

sin2)

sin2(

cos

)

⇔

−

x x x x x x

(cos

sin2

3)(

cos

sin2

)

+±=

x x x x

cos

−

cos

1(2

cos

)

+− 1 2

⇔

±=

x πα k α x x x

−

cos

1(2

cos

)

   3 

   

cos

     

1 2

x k π 2 x x x π 3

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

48 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 3: BIẾN ĐỔI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2, BẬC 3, TRÙNG PHƯƠNG

−

(cos

)

cos

Bài 1: KA-06:

sin −

sin x

sin2

Hướng dẫn

sin ≠x

* ĐK:

2 2 s

−

(cos

sin

)

sin

cos

−

⇔ − 2(1

2 sin 2x)

3 4

⇔

sin 2x 2 − =

3sin 2x sin 2x 4 0

= ⇔ =

+ π ∈

sin 2x 1

k , k Z

π 4

= −

sin 2x

(loai)

  ⇔   

4 3

∈

x x x x

+ Kết hợp đk: ⇒

−

x k k Z π ,2 π 5 4

cos

sin

cos(

sin( 3

x x x x

Bài 2: KD-05:

3 2

Hướng dẫn

−

⇔ − 1

+ sin 2x sin(3x

).cos(x

)

π 4

−

⇔ − 1

2 sin 2x

+ sin 2x sin(4x

  

  

1 2 1 2

1 2

π 4 π 2

3 − = 2 3 − = 2

⇔ −

− =

−

2 sin 2x sin 2x cos 4x 3 0

⇔ −

− =

− − 2 sin 2x sin 2x (1 2sin 2x) 3 0

= −

sin 2x

⇔

− = ⇔

sin 2x sin 2x 2 0

= ⇔ =

+ π ∈

sin 2x 1

k , k Z

   

−

2(vôlý) π 4 = x

π 4 π ) 4

cos

x x .3

Bài 3: KA-05:

Hướng dẫn

⇔

−

=−

cos

⇔= 0

cos

⇔

−

=−

x x x x x .6

cos 2 cos

cos

−=

x x x ).2

cos

)

⇔

−

cos

⇔=− 01

±=

x loai ( x x

1 4 ⇔= 1

cos

    

∈

=⇔ x

x x

(Hoặc sin2x = 0

)

cos 2 π k 2

k Z

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

49 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

cot x tan x 4 sin 2x

Bài 4: KB-03:

2 sin 2x

≠

* ĐK:

−

2sin4

≠ x x

Hướng dẫn  x sin  x cos  sin cos

cos sin

x x x

2 x 2sin 2 2 (cos

x ) ⇔ + = x 2sin4 x 2 2sin

⇔ = − x 2sin + x x sin x sin2 cos 2 2 1

⇔ + − x x cos 2 1(2 cos =− 01)2

+ ∈ x ±=⇔ x k Z cos 2 cos π k , ⇔ π 2 3 π 6 = x 1 =−= 2 loai cos 2 (1 )    

Kết hợp đk: ⇒

±= + x π k π 6

− x x x sin5 =− 2 tan3 1( sin )

Bài 5: KB-04:

Hướng dẫn * Đk: cos ≠x

* 5sinx - 2 = 3

− x 1.( sin ) x 2 sin − x sin 1( )

⇔ x sin5 =− 2 3

⇔ − x x sin + 1 + sin x x sin = x ) sin5( 1)(2 sin3

⇔ + x x sin2 sin3 =− 2 0

−= + = x (2 ) k x π 2

⇔ ⇔ = = x sin + = k x π 2  sin   sin  1 2 vônghiem π 6 π 6 π 5 6

x + = + x x (sin5 ) cos 2 3

Bài 6:KA-02:

Hướng dẫn

3cos +       3sin x + x 2sin21

* ĐK:

−≠x 2sin

* 5(sinx +

− − 1 2 3 x x x 4 cos sin4 3 = + x ) cos 2 3 sin3 x

x (cos + ⇔ + x x 5 cos 2 3  = x + x cos + 2sin21 − + x x )2sin21)( sin + 2sin21

 sin  Chú ý:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

50

− − − = + − − −

− − + 4(cos x sin x)(cos x sin x sin x cos x) 3(cos x sin x) = + (cos x sin x)(4 4 sin x cos x 3) ....)

+ − = + x x x x

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (4(cos x sin x) 3(cos x sin x) = Bài này nên biến đổi: cos3x + sin 3x trước rồi thay vào) ⇔ cos

(sin5 cos sin 2 3 )

= x loai cos (2 )

⇔ = x x 5 cos 2( cos ⇔+− 3)1 = = ∈ + x ±=⇔ x k Z k cos cos π ,2

−

Hướng dẫn ⇔ + cos

cos

=− 2

⇔

(cos

+ = x x π 3 2 π 3 x sin. 2 cos cos 4 cos 2 1 2 x 2     Bài 7:

cos 1

2)(2 1 ⇔= 2

− x )1 2 x cos 4 2

0 1 ⇔= 2

(nếu làm:

sẽ có 4 họ nghiệm)

+ ⇔ =⇔= =⇔+ x x x π k x cos 2 2 cos 4 4 0 . π 2 ππ + k 2 8 1 ±=x cos 2

Hướng dẫn

⇔

−

=−

2 Bài 8: KD-06: cos3x - cos2x - cosx - 1 = 0

−− 1

⇔

−

x x x x 4 cos 3 cos 2 cos cos 01

=− 2

⇔

−+

x x x 4 cos 2 cos 4 cos 0

⇔

−

x x x 2 cos 2( cos 2(2)1 cos )1 0

−=

x x 2( cos 1 )(cos )1 0

±=

⇔

∈

⇔

x cos x k k Z π 2 ,

π 2 3 π k x x cos 1 2 1         

Bài 9: KD-02: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0; x

]14;0∈ [

Hướng dẫn

cos

2(4

cos

3)1

cos

⇔ − − +− =− 4

cos

(cos

⇔ − − = ⇔= 0

cos

π k ,

x π 2

⇔ =⇔= + ∈

π k

3;2;1;0

;

[ 14;0

]

π 2

ππππ 5 7 ; 2 2 2

3 2

∈ + =⇔≤ =⇒ x ≤⇒ 0

cos

sin8(2

).1

cos

+ − =

Bài 10:

x 5 2

x 3 2

Hướng dẫn

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

51 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

+ − = + ⇔ + − 16sin x cos x 8cos x 5 4. cos( ) cos( )    1 2 5x 2 5x 2 3x 2

+ ⇔ + = − 8sin 2x 8cos x 5

⇔ =  3x   2 [ ] 2 cos 4x cos x + 2 cos 4x 8sin 2x 5

⇔ − − = + 2(1 2sin 2x) 8sin 2x 5 0

⇔ − − = + 4sin 2x 8sin 2x 3 0

= + π = = 2x k2 sin 2x (loai) x + π k ⇔ + = ⇔ − ⇔ ⇔ 4sin 2x 8sin 2x 3 0 ∈ , k Z

= = = + π = sin 2x sin 2x k2 x + π k                 3 2 1 2 π 6 π 12 π 5 12

− 2 cos 2 8 cos =+ 7

Bài 11:

π 6 π 5 6 1 cos

cos

Hướng dẫn * ĐK: * 2(2

− + = cos ≠x 2 − x cos 0 ).1 8 cos 7 cos 1

= = cos x 1 x

⇔ − = ⇔ − − ⇔ 4 cos x 8cos x 5 cos x 1 0 π = x k2 cos x         π k2 π = ± + 3 1 2

+ − = sin sin 3 3 cos 2 0

Bài 12:

Hướng dẫn

− − 1 2 1 6 ⇔ + − = 3 cos 2 0

− − = cos 2 cos cos 2 cos −⇔ 2 2 4( 2 3 cos − 6)2 cos 2 0

⇔ + − =− 2 cos 2 3 cos 2 cos 2 01

−= cos 2 ±= +

∈ ⇔ ⇔

π k , π k

π 3 α 2

±= + = = cos 2 cos             1 2 − 15 2

− + − 48

Bài 13:

= .(1 cot 2x.cot x) 0 1 4 cos x 2 2 sin x

* ĐK:

≠ 0

Hướng dẫn  x sin  cos 

* PT

≠ 0

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

52 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

+ − .(1 = ) 0 ⇔ − 48 cos 2x cos x . sin 2x sin x

− .( = ) 0 ⇔ − 48 + sin 2x.sin x cos 2x.cos x sin 2x.sin x

cos x − = ⇔ − 48 . 0 2 2 sin x 2 2 sin x 2 2 sin x sin 2x.sin x

cos x − = ⇔ − 48 . 0 2 3 sin x 2sin x.cos x

− = ⇔ − 48 0 1 4 cos x 1 4 cos x 1 4 cos x 1 4 cos x 1 4 cos x

⇔ = + 1 4 sin x − 48cos x.sin x (s in x cos x) 0

⇔ − − = 3sin 2x (1 sin 2x) 0 1 2

⇔ − = + 6 sin 2x sin 2x 2 0

2 sin 2x

= = sin 2x sin = − (loai) π 4 2 3 ⇔ ⇔

2 sin 2x

= − = − = sin 2x sin( )      π 4 1 2       1 2 1 2

+ π = + π = + π ∈ ⇔ = x k ; x k ; x k ; x k , k Z π 3 8 π = − + π 8 π 8

inx

+ − + + = (s 3).sin (s 3).sin 1 0

Bài 14:

Hướng dẫn

π 5 8             x 2 x 2

inx

(

⇔ + − + = s sin 1 0             x 2 x 2  ) 3 sin     

inx

) 3 .sin

(

⇔ + − + = s sin 1 0             x 2 x 2     1  

inx

) 3 .sin

(

⇔ + − + = s 1 0             x 2 x 2  − 1 c    1  

inx

os c

) 3 .sin

(

⇔ − + + = s 1 0             x 2 x 2

inx

) 3 .

(

⇔ − + + = s sin x 1 0 1 4

inx

= ⇔ = + s x 1 π ∈ k2 , k Z ⇔ + sin x 3sin

[ = − ∉ − 2

4 sin x c

s π 2 ] 1;1   − = ⇔  x 4 0 

ot2x-

x = c

Bài 15:

(ĐK: …)

Hướng dẫn

+ os 5sin 2x 1 2 1 8sin 2x

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

53 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

2 sin 2x

⇔

−

⇔

+ =

1 . os 1 c 2x 2 sin 2x

= − 2x 1 c

1 2 5sin 2x 2 − os 1 8sin 2x (sin os 4c 2x 20 cos 2x 9 0 2x)

[ = ∉ −

] 1;1

= ⇔ = ± + π ∈

os c 2x

π 6

os c 2x k , k Z x   ⇔    9 4 1 2

+ + cos 2x c

Bài 16:

(

) 2 2 tan x 1

Hướng dẫn: ĐK cos x

= 2

0≠

2 sin x 2 os x c

= + ⇔ 2 1 + os c 2x cos x 2.   

− = + + ⇔ cos x 2 0 os c 2x 2.

)

− − + ⇔ + − = os x os c x 2 cos x 0

( 3 2 cos x c

( x 3cos x 2 0

− + = − ⇔

] 1;1

cos x 2

   2 sin x cos x ) 2 cos x 1 cos x 2 1 c os [ = ∉ − = ⇔ cos x 1 ...  ⇔  

− +

Bài 17:

Hướng dẫn

+ = 3cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0

) ( + − os 3 c 4x 1

⇔ 0

⇔ − − 0

) ( − = 2 cos x 4 cos x 1 ) )( ( + = 3.2 cos 2x 2 cos x 2 cos x 1 2 cos x 1 os

(

⇔ − 0

) + = 6 cos 2x 2 cos x.c 2x 2 cos x 1 ) ( 2 x 2 cos x 1

⇔ = − + 0    

⇔ = os os 2c − x c x 0 os os c 2x 3cos 2x c ) ( − − os c 2x 3 2 cos x 1  

)

⇔ − + = os c 2x 2 cos x 5 cos x 3 0   (

= os c 2x 0 = π + π x k2 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ os c = x 1 π os c 2x = inx s 0 x k2        π = ± + 3 = > x 1 os c        3 2

+ inx os os s .c 2x c 2 sin x

Bài 18:

) ( 2 − + x tan x 1

Hướng dẫn

= 0

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

54 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

( inx os

)

) ( 2 − = x tan x 1

⇔ + s + c 2x 2sin x os c 0

( inx os

)

2 sin x 2 os x c

⇔ + − = os s + − c 2x 1 c 2x os c x. os c x 0

⇔ + − = inx os s 0 x

2 sin x

)

2 sin x c ( − − 1 sin x − =

⇔ + = inx s 0

2 2sin x s

+ ⇔ inx 1 0

π k2 x π = − + 2 = − inx s 1

+ π k2 = inx s  ⇔   1 2 + π k2     ⇔ = x    = x  π 6 π 5 6

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẲNG CẤP

Khi gặp phương trình lượng giác đẳng cấp bậc n (mọi hạng tử trong phương trình đều có n bậc n) hoặc có dạng tương tự như đẳng cấp thì ta chia 2 vế của phương trình cho cos x

2 3cos x 4 cos x.sin x sin x

− +

Bài 1:

= 0

4 cos x

⇒ s inx 1 cos x ≠ 0

Hướng dẫn + Ta thấy cos x = ⇔ 0 + Chia 2 vế của phương trình cho 2 = tan x 1

= ± không là nghiệm của phương trình 0≠ ta được:

2 3 4 tan x tan x

2 tan x

− + ⇔ = ⇔ 0 ... = 3

− + − cos x 4 sin x 3cos x.sin x s inx    Bài 2: = 0

3 cos x

⇒ s inx 1 cos x ≠ 0

= ± không là nghiệm của phương trình 0≠ ta được:

Hướng dẫn + Ta thấy cos x = ⇔ 0 + Chia 2 vế của phương trình cho s inx 3 cos x +

− + − = ⇔ − − + = 1 4 tan x 3 tan x 1 4 tan x 3 tan x tan x 0 0

2 1 4 tan x 3 tan x tan x 1 tan x

(

)

⇔ − + − − = + = ⇔ 0 1 2 cos x 2 3 tan x 3 tan x- tan x 1 0

= tan x 3 3

⇔ tan x ... 3 = − ⇔ 3 = − tan x 1

        

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

55 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

3sin x cos x sin x

Bài 3:

+ 3

) ( sin x tan x 1

(

)

Hướng dẫn + ĐK: cos x + Chia 2 vế của phương trình cho

0≠

2 cos x ) ( + = tan x tan x 1

(

)

+ + 0≠ ta được: 2 − 3 tan x 3 tan x 3 1 tan x

⇔ + − =

)

)( tan x 1 tan x 3 = − 1

⇔ − + = 0 − tan x tan x 3 tan x 3 0 (

tan x ⇔ ⇔ ... = ± tan x 3   

+ = 8 cos x cos 3x

Bài 4:

Hướng dẫn

      π 3

⇔ + = 2 cos x − 4 cos x 3cos x    π     3    

⇔ − = 2 cos x.cos sin x.sin − 4 cos x 3cos x       π 3 π 3      

⇔ − = 2 cos x sin x − 4 cos x 3cos x 1 2 3 2                

⇔ − − = + cos x 3 3 cos x sin x 9sin x cos x 3 3 sin x − 4 cos x 3cos x

2 2 s x sin x 9sin x cos x 3cos x

⇔ − − − + = 3cos x 3 3 sin x 3 3 co 0

)

⇔ − − + + − + = 3 3 3 tan x 3 3 tan x 9 tan x 3 1 tan x 0 + (

⇔ − + − = 3 3 tan x 12 tan x 3 3 tan x 0

= tan x

⇔ 3 = ⇔ tan x 0 ...

= tan x        1 3

= − 2 cos x 6sin x 5sin 2x.cos x

Bài 5:

Hướng dẫn

⇔ = 2 cos x x

⇔ = − + 10 tan x

⇔ − − 6 sin x 10sin x.c ) ( 2 6 tan x 1 tan x − = 6 tan x 4 tan x 2 0

anx

⇔ = ⇔ = + π ∈ t x 1 k , k Z π 4

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

56 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

inx +

s − cos x 4 cos x

Bài 6:

3 cos x

0≠ ta có

anx

( 1 tan x

+ + + t 1 tan x 4 0

anx

− = ⇔ + 3 0

anx

Hướng dẫn Chia 2 vế của phương trình cho ) 2 − = ⇔ + tan x tan x t π 4

= ⇔ = + π ∈ ⇔ k , k Z 1 x t

3 sin x

inx os .c

− = − 3c x s x 3 sin x.cos x

Bài 7 (KB-09)

Hướng dẫn Chia 2 vế của phương trình cho ⇔

3 0≠ ta có cos x 3 = − anx tan x

− 3 t 3 tan x

3 tan x

⇔ + − − = anx anx 3 t t 3 0

1 = + x k π 4 π 2 ⇔ anx anx t t 1

−

anx

inx

x k = − anx t 3       =  = − ⇔    π = − + π 3

Bài 8:

+ 3

( 2 sin x t

) 1

( 3sin x cos x s

)

Hướng dẫn: ĐK cos x

inx

2 sin x

( 3sin x cos x s

)

⇔ + = − + 1 3 0≠       sin x cos x 2 ⇔ + − + sin x sin x cos x

= Chia 2 vế của phương trình cho cos x

2 3 tan x 3 tan x 3 1 tan x

)

⇔ = 3sin x cos x 3sin x cos x 3cos x 0≠ ta có − + + + tan x tan x

anx

(

)( 2 1 tan x 3

)

−

= x m

k x ⇔ + −   = ⇔  t 0

Bài 9: Cho phương trình

( π = − + π 4 π  = ± + π x k  3 )

) sin x 2 m 1 sin cos x m 1 c

(

( Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm

sin x m m 1 = ⇒ = thì phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn * Với cos x * Với m 1

−

anx

= 0(1)

2 cos x + 2m 1

= ⇒ 0 ≠ ⇒ 0 cos x

( + =

) −

anx

(2)

( ⇒ −

)

0≠ ta có

⇔ ∆ ≥ ⇔ − ≤ 0 < 2 m 1

3 sin x c

)

Hướng dẫn

+ = + x x ≠ , chia 2 vế của phương trình cho ( ) ⇔ − − m 1 tan x 2 m 1 t ) ( + Đặt + − 2 m 1 t 2m 1 0 m 1 t + Phương trình (1) có nghiệm khi (2) có nghiệm KL: giá trị m cần tìm thỏa mãn yếu cầu bài toán là 2 m 1 ≤ 5 Bài 10: − ≤ ( 5 2 sin x c

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

57 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chia 2 vế của phương trình cho

0≠ ta có

3 tan x.

+ = + ⇔ x

) ( 5 2 tan x 1 ) ( 5 2 tan x 1

)

+ = ⇔ x ( + + 1 tan x 1 2 os c )

⇔ + = − tan x tan x tan x 1 0

⇔ 0

5 cos x 1 2 os c ( + tan x. 1 tan x − ) ( − − tan x tan x 1 (

( ) 2 − = tan x 1 ) )( − = tan x 1 tan x 1

− ⇔ 0

⇔ = ± ⇔ = + ∈ anx t 1 x k , k Z π 2

2 cos x

π 4 − = + 3 sin 2x 1 sin x

Bài 11:

Hướng dẫn

⇔ = + os c x 2 3 sin cos x 1 sin x

2 tan x

)

⇔ − + 1 2 3 t

anx − x Chia 2 vế của phương trình cho cos x 0≠ ta có ( = + anx 1 tan x = ⇔ = π x k 0 t

 ⇔  

anx t = − ⇔ = − + π x 3 k π 3

Bài 12: sin 2x 2 tan x

Hướng dẫn: ĐK cos x

= 3

0≠

2 cos x

Chia 2 vế của phương trình cho

⇔ + 2sin x cos x 2 = 3 inx s cos x

= + ⇔ . 2. 2.

)

x 2 inx s cos x + 3 2 os c = + ⇔ 2 tan x 2 tan x. 1 tan x

− + ⇔

= ⇔ = + π ∈ ⇔ anx k , k Z 1 x t 0≠ ta có inx 1 s 2 os x cos x c ( ( ) + 3 1 tan x − = 2 tan x 3 tan x 4 tan x 3 0 π 4

+ = sin x.sin 2x sin 3x 6 cos x

Bài 13: Hướng dẫn

= − +

3 cos x

+ Ta thấy khi cos x cho

2sin x cos x 3sin x 4sin x inx ⇔ s 1 6 cos x = ± phương trình vô nghiệm, chia 2 vế của phương trình

= ⇒ 0 0≠ ta được

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

58 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2 sin x 2 os c x 2

3 sin x 3 os c x −

− + ⇔ = . 2 4. 6 x

) − =

+ ⇔ = 2 tan x 3 tan x 1 tan x 4 tan x 6

− ⇔

− = ⇔ − anx 0 t 1 3sin x 2 os cos x c ( + − tan x 2 tan x 3 tan x 6 0 (

)( 2 2 tan x 3 = = 2

) x

anx tan t k

 ⇔  

anx t = ± ⇔ = ± + π x 3 k α ⇔ = α + π π 3

= − 6sin x 2 cos x

Bài 14:

Hướng dẫn: ĐK

− cos 2x ≠ ⇔ 0 os c t ≠ ⇔ 0 5sin 4x.cos x 2 cos 2x ≠ ± 1

⇔ = − 6 sin x 2 cos x anx x sin x 10sin 2x cos 2x cos x 2 cos 2x

⇔ = − 6 sin x 2 cos x 5sin 2x cos x

− ⇔

0≠ ta được

3 cos x − = 2 10 tan x

( 6 tan x 1 tan x

⇔ +

= 6 sin x 2 cos x 10sin x cos x + Chia 2 vế của phương trình cho ) − = ⇔

Phương trình vô nghiệm

− ⇔ anx t 0 − 3 tan x 2 tan x 1 0 ) )( ( + = + 1 3 tan x 3 tan x 1

3 sin x 4sin x cos x

+ −

Bài 15:

= 0

Hướng dẫn 3 + Chia 2 vế của phương trình cho cos x ( 2 + 1 tan x

⇔ − = anx t + + 4 tan x 1 tan x 0

− = ⇔ anx 1 0

− + ⇔ = anx t 0 0≠ ta được ) − − 3 tan x tan x t ) )( ( + 1 3 tan x 2 tan x 1

anx

− .sin x 2sin x

⇔ = ⇔ = anx t x 1 + π k π 4

Bài 16:

( + 3 c 2x sin cos x

)

Hướng dẫn + Chia 2 vế của phương trình cho

0≠ ta được

2 cos x 2 + x sin x sin cos x

)

( 3 c

( + 3 1 tan x t

)

− x os ⇔ = ⇔ = − anx − tan x 2 tan x − tan x 2 tan x

(

)( 2 1 tan x 3

)

⇔ + os c − = ⇔ + − = x anx − tan x tan x 3 tan x 3 0 t 0

⇔ = − ⇔ = − + π anx anx t k ; t x 1 = ± ⇔ = ± + π x k 3 π 4 π 3

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

59 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC (sưu tầm)

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của

phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa.

Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực.

Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp.

I. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG

Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng

bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất:

= 0 + ⇔= 0 = 0   

+ − − tan3 sin4 tan32 sin4 =+ 2 0

Bài 1. Giải phương trình:

Hướng dẫn 2 3 tan x 4 sin x 2 3 tan x 4sin x 2 0

+ = + − −

3 tan x 2 3 tan x 1 4 sin x 4sin x 1 0

⇔ + = + + − −

( 3 tan x 1)

(2 sin x 1)

⇔ − + − =

tan x

m, n Z

(

)

3 tan x 1 0 − =

2 sin x 1 0

   

= + π m = − = ⇔ ⇔ ⇔ ∈

     = x  

     sin x  

3 3 1 2

π k

(

ĐS

k ∈ Z )

π 6

II. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP

xf )(

xg )(

∈∀≥ xA ,

ba ),(

xf )(

Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình và

∈∀≤ xA ,

ba ),(

ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: thì khi đó: xg )(

+ π = π 6 π 6

xf )(

xg )(

x ∈∀

>)( xf

<)(

Nếu ta chỉ có

và

xf )( xg )( thì kết luận phương trình vô ngiệm.

+ x

cos

= = ⇔ =

x ≤≤−⇔≤ 1

⊂

cos

Hướng dẫn + x cos ≤− Vì 1 mà [ −

x cos ] 1,1

1 ] 1,1

[ −⇒−∈∀>

[ −∈∀< x

]1,1

2 >x

nên phương trình vô nghiệm.

−=⇔= x cos 0 2 ≤ nên ≤ x 1 x 0  −  ππ ⇒  ,   2 2 cos 5 < Do và − Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

   ),( ba Bài 2. Giải phương trình:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

60 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1996

sin

cos

Bài 3. Giải phương trình:

(1)

1996

= =

cos −

cos 1994 x

x x

x )1

sin cos

+ 1(

x 1994 cos

(2)

Hướng dẫn 1996 (1) ⇔ ⇔

+ x (sin 2

≥

1994

⇒

−

sin

(sin

∀≤ x ,0

Ta thấy

1994

≤

sin sin  sin    sin

≥

1994

⇒

−

cos

)

∀≥ ,0

Mà

1994

−

≥

cos

 cos    1

1994

x x

= 0 ±= 1

−

(sin

   

 sin  sin 

⇔

∈

⇔

Znm

π (

)

Do đó (2)

1994

−

cos

)

 sin    cos

π n

0 ±=

cos

  

      

= mx π 2 π 2 π n

   

        

∈

(

)

Vậy nghiệm của phương trình là:

π 2

∈

(

)

ĐS

π 2

Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây:

= =

ax bx

= 1 −= 1

1 1

sin

sin.

⇔= 1

sin

sin.

⇔−= 1

(2).

(1).

−= =

−= −=

ax bx

1 1

 sin  sin   sin  sin 

      

Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng:

cos

1 −= 1 =

bx bx

cos sin

ax . ax . cos ax . cos ax .

1 −= 1

sin

cos III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM

Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau: + Dùng tính chất đại số + Áp dụng tính đơn điệu của hàm số

∈= α

),( ba

=xf )(

và hàm f đơn điệu trong

Phương trình

=xf )(

thì

có 1 nghiệm có nghiệm duy nhất là α=x .

− )

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

61 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

xf )(

có 1 nghiệm

),( ba =

Phương trình )(xg

xg )( ),( ba

∈= α xf )(

, xg )(

giảm (tăng) trong

thì phương trình

)(xf có nghiệm α=x

tăng (giảm) trong là duy

, ),( ba nhất.

cos

−= 1

0>x

Bài 4. Giải phương trình:

với

2x 2

0=x

−

−=

xf )(

cos

x )('

sin

>∀>+ ,0

là biểu thức của hàm số có đạo hàm

Đặt

Hướng dẫn Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm 2 x 2

∀ x

sin

)

)+∞,0

=xf )(

có 1 nghiệm duy nhất trong (

0=x

(vì ⇒ Hàm f luôn đơn điệu tăng trong ( )+∞,0 ⇒ Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

−

CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG 2 − sin2

cos

=+ 2

Bài 1: Giải phương trình:

(1)

−

cos

sin2

Hướng dẫn Ta có (1)

x +

x −

−⇔ x cos 2 2 ⇔ − (x cos x)

+ + sin 2 = (sin x 1)

−

cos x

⇔

  sin x 1 0 

  sin x 1 

sin

cos

x 2

−

cos 2 x

x 1(

cos

)

(1)

x 2

cos = x − x − )1 13 x

= x 1 2 + x sin = cos )1 ∀≤ x ,0 ∀≥ x ,0

cos

)

x cos x − = Phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: Hướng dẫn Ta có: + x sin 4 15 ⇔ + sin cos ⇔ x sin (sin 2 2 Vì x sin (sin Và − x

= 0 ±=

x x

−

(sin

   

⇔

∈

Znm

π (

)

Do đó (1)

−

cos

)

 sin    cos

π n

= =

x x

cos cos

0 1

 sin  sin    

      

= mx π 2 π 2 π n 2

   

        

πk

π k

(

ĐS

hay

Zk ∈ )

π 2

Bài 3: Giải các phương trình:

sin

cos

(

(tan

cot

)

cos

sin

nx (

4,3,2

,...)

1).

(1)

2).

π ) 4

1 4

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

62 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng dẫn 1). Ta có:

cos(

−

x )2

 1  

  

π ) 2

⇔

(1)

1 4

4 x )2sin

cos 4 −⇔ 1( ⇔ cos

x cos )2 + x 2 2sin

−+ 1( = x 1

⇔

−

cos(

π ) 4

2 2

⇔

∈ Zk

)

( π k

   

π k π 4

x ≠

cot

2). Với điều kiện

ta có

tan và x

luôn cùng dấu nên:

π 2

≥

⋅

≥

tan

cot

tan

cot

tan

cot

⇒= 1

tan

cot

1 4

⇔

±=

tan

cot

tan

Dấu "=" xảy ra

1 2

1 ⇔= 4

1 4

2=n

tan

cot

: phương trình

có nghiệm cho bởi:

+ Với

2  = 

  

1 4

±=⇔±=

∈

tan

arctan

π k (

)

1 2

+ Với n x cos

, > ∈ nZn n + ≤ x sin

2 cos

sin

khi

x π 2

∈

⇔

Zmk ,(

)

Dấu bằng xảy ra

π k

hay

π k

khi

1 2 thì: 2 + x      

x ≠

(đều không thoả mãn điều kiện

của phương trình)

π 2 π 2

∈ Zn

> ,2

Vậy với

thì phương trình vô nghiệm.

±=

∈ Zk

arctan

π k (

)

ĐS

1 2

=−

cos

+− 1

3cos

Bài 4: Giải phương trình:

(1)

1 3cos

1 cos

cos

Điều kiện:

0 >

3cos

Hướng dẫn   

⇔

−

cos

3cos

cos

Khi đó (1)

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

63 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

−⇒≥

≤

+− a

(

)

Vì

1 4

1 2

1 4

−

≤

2 ≤ x

cos

Do đó

và

1 4

⇒

−

≤

−

≤

và

cos

1 2

−

cos

1 4

⇔

∅∈⇔ x

Dấu bằng xảy ra

−

cos

 cos    cos  

1 4

1 2 1 2

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

sin

cos

−= 2

sin

Bài 5: Giải phương trình:

Hướng dẫn

≤

∀ x

sin

≤

∀ x

cos

cos ⇒

sin

cos

∀≤ x ,1

−

sin

∀≥ x ,1

cos

∈

π k

(

)

Vậy phương trình tương đương:

. ĐS

π 2

−

sin

2  sin   

−

≤≤ x

sin

tan

Bài 6: Giải phương trình:

với

π 2

0=x

Hướng dẫn Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm

−

xf )(

sin

tan

Đặt

liên tục trên

  

  

π 2 −

−

(cos

cos

∈∀≥

x )('

Có đạo hàm:

 

  

π 2

x x

1 )(cos cos

⇒

−

<−

≤< 0

cos

<≤ 1

cos

− 2

f⇒ đơn điệu tăng trên

+ 2   

  

π 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

64 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP

x

sin(2

2 3.sin cos

2 20 sin (

+ ) 16

)

π 12

−

Bài 4: Giải phương trình:

− = − . x c x x Bài 1: Giải phương trình: sin 2 os2 1 2sin 2 − = − Bài 2: Giải phương trình: x x x 2 cos sin 2 cos 3sin + =− x x 2 cos 2 sin8 5 0 Bài 3: Giải phương trình: . π 17 2 2 3(2.cos

cos

− x 2cos

x sin 2 ) 1 4 sin (1 cos 2 )

−

sin 2 −

= 0

Bài 5: Giải phương trình:

2 + (3 2cos ).sin 2) + x 1 + = + + Bài 6: Giải phương trình: 2(cos x x x + + = Bài 7: Giải phương trình: sin 2 x x . cos 2 1 6 sin − = + − x x 0 2 cos 2 cos Bài 8: Giải phương trình: 3sin )( ( − − + − Bài 9: Giải phương trình : sin x cos x 1 2sin x cos x 3 sin 2x

)

= 0

+ x 2sin

cos

cos ( 3 cos 2 - sin

+ x ) + x

3 cos ( x

−

Bài 10: Giải phương trình lượng giác: Bài 11: Giải phương trình : x

cos

  

− x 3sin 3sin ) = . + x 0 1 1 2 4 cos

= . 3

)

   + x x

+ x

π 4 − x

2sin cos

 sin 2   x 2sin = cos

   4

Bài 12: Giải phương trình sau:

π 4 )( x 1 3cos 4 x sin .cos 3

+ =

Bài 13: Giải phương trình: ( Bài 14: Giải phương trình: 2

1 6sin

cos 2

Bài 15: Giải phương trình sin 2

= . 0

− − 2 − x

+ 3 sin 2

Bài 16: Giải phương trình: cos2x 2 sin x 1 2 sin x cos 2x

2cos − x 1

− x 2cos −x ++

2 2(s inx + cosx) = 5 =

−

cos

)(sin

cos

21(

)

Bài 17: Giải phương trình:

2 sin

3 sin 2

-1= 0.

Bài 18: Giải phương trình: sin 2 Bài 19: Giải phương trình x 2 2 Bài 20: Giải phương trình:

Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x

cos

21(

cos

2  −  )(sin

= +

Bài 22: Giải phương trình:

− = . 0  π   4 − cos  2 sin 2x  

−

Bài 23: Giải phương trình cos x cos3x 1

2sin

= )  π   4 = . 0

−

Bài 24: Giải phương trình: sin 3

2 sin

2sin

tan

3 cos 3   

+ π −   4

Bài 25: Giải phương trình :

2 sin

= +

−

cosx

sinx

cosx

2 2

Bài 26: Giải phương trình:

3 sin 2 ( 1

−

Bài 27: Giải phương trình

2 cos

3 cos 4

4 cos

  

− = . 0 )2 π   4

Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau:

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

65 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP

− x c

os2

2sin

Bài 1: Giải phương trình: sin 2

− . 1

− +

2s inx(cos

1) 2sin

Hướng dẫn BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng :

= 0

s inx

s inx(sin

cos

− =

sin

cos

1 0

 − = ⇔  0 

= ⇔ =

k π 2

+ Với sinx 0

+ Với

, k ∈Z

sin

cos

− = ⇔ 1 0

sin(

π ) 4

π 2

1 = ⇔ 2

= x   = x 

π k 2 π 2

π k ,

π 2

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

−

π 2 x

sin 2

2 cos

3sin

cos

Bài 2: Giải phương trình:

Hướng dẫn

−

− +

cos

= 0

2 2sin cos − +

2sin

cos

Phương trình đã cho tương đương ⇔

+ x = 0

2 sin (

)

cos

3sin )( 1 sin − = : Phương trình vô nghiệm

+ sin

= −

∈

2 sin

+ = ⇔ 1 0

π 2 (

π 2

0     = x 

π 6 π 7 6

= −

π 2 ,

π 2

(

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

∈ ℤ ).

π 6

ℤ )

Bài 3: Giải phương trình:

cos

=− 5

π 7 6 sin8

−⇔

sin21(2

sin8)

=− 5

+ 2

Hướng dẫn x 2 2 ⇔

cos

π 2

lo¹i

(

)

x k

⇔

∈

⇔

)

Z k

( π 2

sin4  sin    sin  

=− 0 5 =+ 03     = x 

π 6 π 5 6

k sin8 − x sin8 3 2 1 2

x

sin(2

+ ) 16

2 3.sin cos

2 20 sin (

)

Bài 4: Giải phương trình:

π 17 2

π 12

Hướng dẫn Biến đổi phương trình đã cho tương đương với

c

x

−

3 sin 2

c 10 os(

x os2

+ = ) 6 0

x π + 6

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

66 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

c

x

⇔

os(2

c ) 5 os(

+ = ) 3 0

x

⇔

c 2 2 os (

c ) 5 os(

+ = ) 2 0

π 3 π 6

c

os(

= − và os(

= − (loại)

Giải được

x π + ) 6

π 6 π 6 1 2

c

x

= −

os(

π 2

+ Giải

= − được nghiệm

và

x π + ) 6

1 2

−

kπ + 2 2 3(2.cos

cos

Bài 5: Giải phương trình:

2) x

kπ 5 + 6 + (3 2cos ).sin + 1

− x 2cos

Hướng dẫn ĐK:

Pt đã cho tương đương với pt:

Vậy pt có 2 họ nghiệm

hoặc

= +

x sin 2 ) 1 4sin (1 cos 2 )

Bài 6: Giải phương trình: 2(cos

= +

2sin 2

1 4sin 2 .cos

Hướng dẫn Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos ⇔ −

x (1 2cos )(2sin 2

1) 0

= ±

π 2

cos

( k Z∈ )

⇔

π k

sin 2

    

1 2 1 2

π k

− = π 3 π 12 π 5 12

    ⇔ =    = x 

= ±

π k

π 2

;

( k Z∈ )

Vậy pt có nghiệm là:

π k

π 5 12

π 3

π 12

+ =

1 6 sin

cos 2

Bài 7: Giải phương trình: sin 2

−

x 2

− +

Hướng dẫn x (sin 2 ⇔

−

2sin

cos

3 sin

2 sin

cos

2 sin

= 0

(

)

x 6sin ) (

= + − (1 cos 2 ) 0 ) = ⇔ 0

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

67 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

sin

kπ=

⇔ x

. Vậy nghiệm của PT là

∈ k Zπ= ,

sin

)

 ⇔  

−

+ −

−

cos

2 cos 2

sin 2

= 0

cos Bài 8: Giải phương trình: 3sin

+ +

−

= 0

Hướng dẫn + − sin x cos x 1 2sin x 2sin x 2sin x cos x ⇔ (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0

−

− s inx cos x

= − 1

−

sin(x

)

+ = k x π 2

⇔

s inx

   

s inx

− 1 2

+ k π 2

    

π 4 − 1 2

+ k π 2

⇔

−

sin 2x

π 7 6 π − 6 π 3 2 π k 2     = x    = x   = x

Bài 9: Giải phương trình :

= 0

(

)( sin x cos x 1 2sin x cos x 3

)

−

Hướng dẫn PT

(

)

) −

−

⇔

+ sin x cos x

⇔ (

+ sin x cos x )

− = 1 (

)( − sin x cosx 1 2 sin x cos x 3 )( ( = sin x cosx 1 2 sin x cos x 3

)

  1  

 1 

 

⇔

sin x cos x 1 =

− sin x 2 cos x

4(VN)

  

   

k2 π 2

−

cos

3 cos

3sin

= 0

Bài 10: Giải phương trình lượng giác: Hướng dẫn

−

⇔

−

2 cos x

3 cos x 3sin x 3sin x

cos x

3 sin x

3 2

  

  

  

  

−

cos x

3 sin x

+ 3 sin x cos x

0 (1)

3 2

− 3 sin x cos x

3 (2)

 ⇔  

= −

cos x

3 sin x

  ⇔   

3 2 3 2

3 2

⇔

= −

(1)

⇔ = − + π

tan x

π 6

1 3

⇔

−

  ⇔ 

(2)

sin

 sin x  

  

π 6

π 3

 = x 

π 2 π 5 6

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

68 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π .

Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x

= − + π hay x k

π 2

π 6

cos

2sin

Bài 11: Giải phương trình :

= . 0

( 3 cos 2 - sin

)

(

) 1

−

Hướng dẫn ⇔ sin 2

3 cos 2

3 sin

cos

⇔

−

sin 2

cos 2

sin

cos

1 2

⇔

−

x sin 2 cos

x cos 2 sin

x sin cos

x cos sin

3 2 π 3

π 6

= −

= − x

π 2

π 6

ℤ

⇔

∈

⇔

∈

⇔

−

)

π 2 (

sin(2

sin(

ℤ )

π ) 3

π ) 6

−

π = −

(

( π 2

    = x 

    

π 2 π 5 18

π 2 3

π 3 π 3

π ) 6

−

Bài 12: Giải phương trình sau:

cos

  

  

 sin 2  

  

π 4

1 2

Hướng dẫn

−

Pt đã cho

⇔ 2 cos

2 sin 2

cos

  

  

  

  

π 4

1 2

−

cos

sin −

= 0.

 π   4 ⇔ + − x x sin 2 ⇔ sin (1 2 cos ) + x x ⇔ (sin − + x x cos )(1 2 cos )

  π sin 2     4 = x x c os2 1 − x x cos (1 2 cos ) = 0.

= −

tan

π k

sin

⇔

∈

⇔

(

ℤ )

cos −

x =

cos

  1 2 cos 

π 2

 ⇔  

1 2

    = ± x 

π 4 π 3

= −

= ±

π k ,

π 2 , (

∈ ℤ . )

Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm:

−

π 3 x 2sin

4 cos

2sin

= . 3

π 4 )( 1 3cos 4

)

Bài 13: Giải phương trình: (

−

2sin

= 3

)

⇔

−

+ −

2sin

1 4sin

4 cos )

⇔

−

2sin

= 0

Hướng dẫn )( ( 1 3cos 4 )( 1 3cos 4 )( 1 3cos 4

2sin ( (

2sin ) 3

⇔ = − x

π 2

hay x

π 2

với k Z∈ .

π 6

π 7 6

cos

.cos

sin

cos

π 2 Bài 14: Giải phương trình: 2

Hướng dẫn

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

69 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x ⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0

= −

= −x

∈ k Z

sin

π 2 ;

π 2 , (

)

⇔ sinx = 1 hoặc

⇔

1 2

π 2

π 6

π 7 6

+ =

1 6sin

cos 2

Bài 15: Giải phương trình sin 2

Hướng dẫn

cos 2 + −

x sin 2 ⇔ (sin 2

= (1 cos 2 ) 0

⇔

−

cos

2 sin

= 0

+ x x 6sin ) )

− +

cos

2sin

3 sin

⇔

= 0

2 sin )

+ = 1 6sin − x ( ( =

sin

kπ=

k Zπ= ,

⇔ x

. Vậy nghiệm của PT là

∈

sin

cos

)

 ⇔  

− −

Bài 16: Giải phương trình: cos2x 2 sin x 1 2 sin x cos 2x

= . 0

−

Hướng dẫn + ⇔ PT

= ⇔ 0

c os2

)

(

)( − 1 1 2sin

)

( − c os2 1 2sin + Khi cos2x = 1 ⇔ x

s inx

π 2

+ Khi

hoặc

, k Z∈

1 = ⇔ 2

( ) − − 1 2sin , k Z∈ kπ= π 6

π 5 6

−

3 sin 2

Bài 17: Giải phương trình:

− x 2cos

2cos − x 1

≠

dk c

: osx

Hướng dẫn 1 2

⇔

−

2 cos

− = ⇔ 0

3 sin 2

os2x=2

⇔

= ⇔ =

π k

)

sin(2x-

3 sin 2 π 6

x π 3

∈ m Z

(

)

Đối chiếu đk , pt có nghiệm :

π 4 3

−x

2 2(s inx + cosx) = 5

Bài 18: Giải phương trình: sin 2

Hướng dẫn

t ≤

Đặt sinx + cosx = t (

). ⇒ sin2x = t2 - 1

t = −

⇔ 2 2 2 − t

− = ⇔ 6 0

(t/m)

−

2−

+ Giải được phương trình sinx + cosx =

… ⇔ os(

= − 1

π ) 4

π 2

Kết luận :

( k∈ Z )

+ Lấy nghiệm … π 5 4

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

70 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

−

cos

21(

cos

)(sin

cos

)

Bài 19: Giải phương trình

−

Hướng dẫn ++ x cos

21(

cos

)(sin

)

⇔= 0

cos

sin

=+ )1

) (cos

−

sin2

π k

−

cos

  

 = 

( sin π 4

⇔

−

0 =+

cos

sin

 sin  

πππ += ,2

−

sin2

     

  

π 4

cos      

π k ,

π π π = + 2 ,

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:

(

) ∈ Z

 =  π 4

π 4 π 2 π 2 +

2 sin

3 sin 2

Bài 20: Giải phương trình:

− = .

Hướng dẫn

−

2 sin

3 sin 2

− = ⇔ 2 0

3 sin 2

cos 2

= ⇔ 1

sin 2

cos 2

3 2

1 2

1 = 2

π k

⇔

−

⇔

∈

sin

(

) ℤ

 sin 2  

  

π 6

π k

    = x 

π 6 π 2

Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x

-1= 0.

 − 

  

π 4

−

− = ⇔

+ −

− =

cos

(sin

cos ) 1 0

x 2cos (sin

1) sin

1 0

Hướng dẫn PT đã cho tương đương: sin 2

⇔

x⇔ sin

cos =x

sin

= − hoặc

(

)( 1 2 cos

) − = 1

1 2

= − ⇔ = −

+ sin

π 2 .

= ⇔ = ±

c os

π. k

1 2

π 2 π 3

= −

= ±

π k

π 2

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:

;

( k Z∈ )

−

π 2 ++

π 3 x

cos

21(

cos

)(sin

cos

)

Bài 22: Giải phương trình:

−

21(

cos

)(sin

cos

)

cos

sin

=+ )1

( sin

) (cos

Hướng dẫn PT cos

−

sin2

π k

−

cos

 = 

  

π 4

⇔

−

0 =+

cos

sin

 sin  

πππ += ,2

−

sin2

     

π 4 π 2

 = 

π 4

⇔= 0      

π k ,

π π π = + 2 ,

VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm:

(

) ∈ Z

   π 4

π 2

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

71 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

= +

Bài 23: Giải phương trình cos x cos3x 1

 2 sin 2x  

  

π 4

Hướng dẫn

= +

cos x cos3x 1

 2 sin 2x  

  

π 4

⇔ ⇔ ⇔

− +

−

= 0 = 0

= + 2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x 2cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x ) )( cos x cos x s inx 1 s inx cosx

(

+ π k

⇔

(

) k ∈ ℤ

−

0 =

 = cos x  + cos x sinx   + 1 s inx cosx 

 π  2  π  = − + π x k ⇔ 4  π k2   π 3   2

+ π k

Vậy, phương trình có nghiệm:

(

) k ∈ ℤ

 π  2  π  = − + π x k  4  π k2  

−

Bài 24: Giải phương trình: sin 3

3 cos 3

2sin

= . 0

Hướng dẫn

−

⇔

sin 3

3cos3x 2sin

sin 3

cos3x

sin

1 2

3 2

  

π 3

π k

Suy ra phương trình có các nghiệm:

;

(với k ∈ ℤ )

π = − + 6

−

2sin

2 sin

tan

Bài 25: Giải phương trình :

 sin 3   π π + k 6 2   

π −   4

Hướng dẫn

≠ ⇔ ≠

cos

Đ/K

( π l

∈ Z ( )* )

π 2

⇔ −

−

⇔ −

−

1 cos 2

2sin

tan

1 sin 2

2sin

tan

Phương trình

  

  

π 2

⇔

−

2sin .cosx 2 sin

tan

− = ⇔ 1 0

2sin . cosx sinx

(

)

= −

cos

+ cosx sinx cos 1

tan

⇔

− = ⇔

⇔

cos

sin

sin 2

(

)(

) 1

x sin − =

sin 2

1 0

sin 2

  

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

72 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

= −

π k

∈

⇔

⇔ = x

Z ( Thoả mãn điều kiện ( )* )

π π + k 4 2

π k

    = x 

π 4 π 4

2 sin

3 sin 2

Bài 26: Giải phương trình:

− = .

Hướng dẫn

−

2 sin

3 sin 2

− = ⇔ 2 0

3 sin 2

cos 2

= ⇔ 1

sin 2

cos 2

3 2

1 2

1 = 2

π k

⇔

−

⇔

∈

sin

(

) ℤ

 sin 2  

  

π 6

π k

    = x 

π 6 π 2

−

= +

cosx

sinx

cosx

sinx

2 2

Bài 27: Giải phương trình

( 1

Hướng dẫn

⇔

−

− −

−

cosx

sinx

2 cos x

cosx

sinx

cosx

2 2

= ⇔ 0

(

2)(1

sin x 2 )

0 (*)

( 1

)

= − ⇔ = −

⇔ + 1

sin x 2

= ⇔ 0

sin x 2

π k .

cosx − ≠ nên (*) 0

π 4

−

2 cos

3 cos 4

4 cos

Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau:

  

π   4

Hướng dẫn Phương trình ban đầu tương đương:

−

+ 1 cos

3 cos 4

4 cos

  

π   2

⇔

−

sin 4

3 cos 4

4 cos

⇔

−

sin 4

cos 4

2 cos

1 2

⇔

−

cos 2

 cos 4  

3 2  π   6

π k

  ⇔ 

 = x 

π 12 π π k + 3 36

NGUYỄN HỮU BIỂN - Tel: 0134.170.323 (ng.huubien@gmail.com)

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

Cẩm nang cho mùa thi: Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác - Nguyễn Hữu Biển

CẨM NANG CHO MÙA THI

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA)

GIÁC được chắt lọc, đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sinx

π

π

0

x

2

y = sinx

1

0

0

+ Đồ thị hàm số

*Nhận xét:

1

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2. Hàm số y = cosx

π

π

0

x

2

y = cosx

1

-1

+ Đồ thị hàm số

Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien

2

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. Hàm số y = tanx

π

0

x

2

y = tanx

+∞

1 0

+ Đồ thị hàm số

3

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *Nhận xét:

4. Hàm số y = cotx

π

0

x

2

+∞

y = cotx

0

+ Đồ thị hàm số

4

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

*Nhận xét:

Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng:

5

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

6

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

7

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số

+ x 2 sin + x 1 cos ≤x − ≤ nên 2 sin và 1 cos 1

8

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số

9

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 11. Tìm tập xác định của hàm số

Bài 12. Tìm tập xác định của hàm số

Dạng 2: TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng: