CẨM NANG CHO MÙA THI
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA)
N G U Y Ễ N H Ữ U B I Ể N
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
x 1 x2 2 3x 4x2 .
Bài 1: Giải bất phương trình
Hướng dẫn
3 41
x 0
0 x 1
.
- Điều kiện: 1 x2 0
3 41
3 41 0 x
8
x
8
8
2 3x 4x2 0 - Bất phương trình đã cho tương đương với
x 1 x2 2 x(1 x2 ) 2 3x 4x2 3(x2 x) (1 x) 2 (x x2 )(1 x) 0
2
3
2
1 0
9x 10x 1 0
x2 x 1 x
x2 x 1 x
x2 x 1 x
1 3
.
5 34 9 5 34 9
x x
3
41
x
.
- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34
9
8
x 1 2 3x 2 9x 2 24x 2 10x 1 0,(x R)
Bài 2: Giải bất phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện: x 1 - Bất phương trình đã cho tương đương với
x 1 1 2 3x 2 4 9x2 24x2 10x 4 0 ( x 1 1) 2( 3x 2 2)(x 2)(9x2 6x 2) 0
(x 2)(3x 1)2 3 0 x 2 x 1 1 2(3x 6) 3x 2 2
2 (3x 1) 3 0(1)
6 3x 2 2
1 x 1 1 6
(x 2)
- Dễ thấy
- Hơn nữa (1) x 2 0 x 2. Kết hợp điều kiện thu được x 2.
1 3x 12 3 (3.11)2 3 1 0,x 1 x 1 1 3x 2 2
Hướng dẫn: ĐK: 0 x 6 .
Bài 3: Giải bất phương trình sau: 1 log2 x log2 x 2 log 2 6 x log2 2x 4x log2 6 x 2x 4x 6 x x 16x 36 0
2
2
2
2
2
Vậy: x 18 hay 2 x So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 x 6 .
3
2
1,(x R)
Bài 4: Giải bất phương trình 9x 22x 19x x 1 7
x3 2x2 2x 4
Hướng dẫn: Điều kiện
- Nhận xét x3 2x2 2x 4 1 2 2 4 1 0,x 1. - Bất phương trình đã cho tương đương với
x 1 x3 2x2 2x 4 0
9x3 22x2 19x x 1 7 x3 2x2 2x 4 x 1 1 8x3 24x2 17x 2 0
Trang 1
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2 2(2x 1) 1 0(1)
1
x 1 1
- Rõ ràng
(x 2)(8x 8x 1) 0 (x 2) x x 1 1 2 1 2(2x 1)2 1 2(2 1)2 1 1 0,x 1 nên (1) x 2 0 x 2 x 1 1
Bài 5: Giải bất phương trình: log 4x 1 log 7 2x 1 log 3x 2
5
5
1 5
x
Hướng dẫn: + Điều kiện:
7 2
1 4 log5 4x 1 log5 3x 2 1 log5 7 2x log5 4x 13x 2 log5 57 2x 4x 13x 2 57 2x 12x2 21x 33 0 33 x 1 12
Giao với điều kiện, ta được:
x 1 x 1. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 4 1 4
Bài 6: Giải bất phương trình (x 1) x2 2x 5 4x x2 1 2x 2(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện: x R. Khi đó :
(x 1)(2 x 2 2x 5) 2x(2 x2 1 x 2 2x 5) 0
2
2 x2 1 x 2 2x 5 2x(x 1)(3x 1)
2x(4x2 4 x2 2x 5) (x 1)(2 x 2x 5) 0
x 2 2x 5) 0 (x 1)(2
2
2
2
2 x2 1 x2 2x 5 2x(3x 1) (x 1)(2 x 2 2x 5 ) 0 2 x 21 x2 2x 5
(x 1)
- Do 7x 2 4x 5 (x 2)2 6x2 1 0 nên (2) x 1 0 x 1 x (;1)
4 x 2 1 2 x 2 2x 5 2 (x 1)(x 2x 5) 7x 4x 5 2 x2 1 x 2 2x 5 0
Bài 7: Giải bất phương trình : x 1 x2 5 x x2 1
Hướng dẫn: x 1 : loại
2
2
x2 5 x x2 5 x x 1: x 5 1 x 1 1 x 1
5 5x 1 x2 5 x 4x 5 x2 5 x x 1 x 1 1 x 1
x 2 x2 5 x 5 4 2 x 15x 40x 20 0
Trang 2
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bài 8: Giải bất phương trình: x2 5x 41 Hướng dẫn: x2 5x 41 x(x2 2x 4)(*)
x(x2 2x 4)(xR).
2
- ĐK: x(x + 2x − 4) ≥ 0
1 5 x 0 x 1 5
- (*) 4 x(x2 2x 4) x2 5x 4 4 x(x2 2x 4) (x2 2x 4) 3x (**)
TH 1: x 1 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) 4
3
x2 2x 4 x
x2 2x 4 x
Đặt t
, t 0 , ta có bpt: t2 4t 3 0 1 t 3
1
x
3
x2 2x 4 x x2 2x 4 x
1 17 2
7 65 2
x2 7x 4 0 x2 x 4 0 TH 2: 1 5 x 0 , x2 5x 4 0 , (**) luôn thỏa mãn
Vậy tập nghiệm BPT (*) là S 1
5;0
2
2
1 17 7 65 ;
Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2x 5 3x 2 4x 1 5x 6
Hướng dẫn:
BPT 2x 5 4x 1 3x 2 5x 6 0
] 0 (2x 4)[ 1 2x 5 4x 1 1 3x 2 5x 6
x 2
Bài 10: Giải bất phương trình (x +2)(x −2 2x +5)−9 ≤(x +2)(3 x2 +5 −x2 −12)+3 5x2 +7
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: x
5 . Khi đó ta có 2
(1) x 3 3x 2 14x 15 2(x 2) 2x 5 3(x 2) x2 5 3 5x 2 7 0
2
2 5(4 x )
2 (x 2)(x 5x 9)
x 3 3x2 x 18 2(x 2)( 2x 5 3) 3(x 2)( x2 5 3) 3 3 5x2 7 0
2
2 x 5 3
2(x 2)(2x 4) 3(x 2)(x 4) 0 2x 5 3 9 33 5x2 7 3 5x2 7
2 3(x 2)
2
2
2
3
3
2
2 5x 7
4(x 2) 5(x 2) (x 2) 0(*) 2x 5 3 x 5 3 9 3 5x 7
x 5x 9
Trang 3
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
3
5
2
3
3
2
2 5x 7
4 3(x 2) 3 (x 2); (x 2)2 2x 5 3 x 2 5 3 5(x 2) 5 2 5(x 2) 9 9 3 5x 7
4(x 2) - Ta có với x
2
3
3
2
2 5x 7
4(x 2) 3(x 2)2 5(x 2) x 2 5x 9 2x 5 3 x 5 3 9 3 5x 7
2
- Do đó (*) x 2 0 x 2 , kết hợp với điều kiện x
0, x 18x 2 57x 127 45 5 2
5 ta suy ra bất phương 2
trình đã cho có nghiệm là
5 x 2
2(x 1)2 x 6 7(x R) 2 Bài 11: Giải bất phương trình 2(x 2) 2x 5 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x
Bất phương trình đã cho tương đương với
5 2
1 2(x 3) 0(1)
2x 5 1 2x2 4x 2 x 6 7 2x 5 x 6 2(x 2 2x 3) 0
x 1 2(x 1)(x 3) 0 (x 1)
2x 5 x 6 2x 5 x 6
Chú ý rằng
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x 1
2 1 − 2 + 2x − 8 ≥x
2(x 3) 0,x 5 nên (1) x 1 0 x 1 2 1 2x 5 x 5
Bài 12: Giải bất phương trình
x
x
8 x
- Với 2 x 0 bất phương trình đã cho luôn đúng - Với x 2 bất phương trình đã cho 2 x 2 2(x 2)(x 2) x x
0 2 x 2 x 0 x 2 0 1 Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình: 2x x 2 x 0 x 2 2 x 0
4(x 2) 2(x2 4) 4 (x 2)2 (x 2) x3
x3 2x2 4x 16 4 2(x3 2x2 4x 8) 0
2(x3 2x2 4x 8) 8 2(x3 2x2 4x 8) 16 0
Trang 4
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2
3
2(x3 2x2 4x 8) 4 0 2(x3 2x2 4x 8) 4
5 x 1 5 (do x 2 )
5
5 x 0 x 2x 4x 0 x 1 x 1 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 2; 0 1
Bài 13: Giải bất phương trình sau : log2 (x 1) log (x 1).
2
1 2
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT log (x2 1) log (x 1) log (x2 1) log (x 1) 0
2
2
2
1 2 (x2 1)(x 1) 1 x3 x2 x 1 1 x(x2 x 1) 0 x (do x >1).
Vậy tập nghiệm của BPT là S=
1 5 2
2 1 5
; . Bài 14: Giải bất phương trình 2log3 (x 1) log 3 (2x 1) 2
Hướng dẫn: ĐK: x 1. BPT 2log3(x 1) log 1 (2x 1) 2
32
log3(x 1) log3(2x 1) 1 log3(x 1)(2x 1) 1 (x 1)(2x 1) 3 2x2 3x 2 0
1
x 2 . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là S 1; 2
2x 1 x)2 (x 1)2 ,(x R)
2 Bài 15: Giải bất phương trình (x 3)( 1
Hướng dẫn: Điều kiện: x
2
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó - Bất phương trình đã cho tương đương với
(x 1)2
2x 1 x
x 3 x 3 ( 2x 1 x )2 x 3 3x 1 2 2x2 x ( 2x 1 x )2
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm x
3 13 3 13 2x2 x x 1 2x2 x x2 2x 1 x2 3x 1 0 x , x 2 2 13 3
2
Bài 16: Giải bất phương trình 4x3 (4x2 12x 5) x2 2x 12x 2 9x 2
Hướng dẫn: +) Điều kiện: x2 2x 0
x 2 x 0
Trang 5
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với
4x3 12x2 9x 2 (4x2 12x 5) x 2 2x 0
- Khi đó 2x 2 5x 2 (2x 5) x2 2x 2(x2 2x) (2x 5)t x 2 2t 2 (2x 5)t x 2 - Ta có (2x 5)2 8(2 x) 4x2 20x 25 8x 16 4x2 12x 9 (2x 3)2
Do vậy phương trình f (x) 0
(2x 1)(2x3 5x 2) (2x 1)(2x 5) x2 2x 0 (2x 1)2x 2 5x 2 (2x 5) x 2 2x 0 (2x 1) f (x) 0(1) +) Với f (x) 2x2 5x 2 (2x 5) x2 2x .Đặt t x2 2x;(t 0) t2 x2 2x
Do vậy ta có phân tích
t x 2 t 1 2
Khi đó (1) (2x 1)( x2 2x x 2)(2 x2 2x 1) 0
f (x) 2x2 5x 2 (2x 5) x2 2x ( x2 2x x 2)(2 x 2 2x 1
(Do 2 x2 2x 1 0 với mọi x thuộc miền xác định) Ta xét một số trường hợp sau:
+) TH1: 2x 1 0 x
(2x 1)( x 2 2x x 2) 0,(2)
+) TH2)
1 (không thỏa mãn) 2
x 2 (thỏa mãn) x2 2x x 2
+) TH3
Hệ phương trình vô nghiệm x 2 x2 2x x2 4x 4 x 2 x2 2x x2 4x 4 2x 1 0 x2 2x x 2
+) TH4 2x 1 0 x2 2x x 2
Kết hợp với đk ta được x 0 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x 0
x 1 2
Bài 17: Giải bất phương trình: log 4x 1 log 7 2x 1 log 3x 2
5
5
1 5
x
Hướng dẫn: + Điều kiện:
+ BPT log5 4x 1 log5 3x 2 1 log5 7 2x log5 4x 13x 2 log5 57 2x 4x 13x 2 57 2x 12x2 21x 33 0
33
1 4 7 2
x 1 12
Trang 6
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Giao với điều kiện, ta được:
x 1 x 1. Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 4 1 4
Bài 18: Giải bất phương trình: (4x2 x 7) x 2 10 4x 8x2
Hướng dẫn: ĐK: x -2
(4x2 x 7) x 2 10 4x 8x2 (4x2 x 7) x 2 2(4x2 x 7) 2[(x 2) 4]
(4x2 x 7)( x 2 2) 2( x 2 2)( x 2 2)
(2x)2 ( x 2 1)2 0 (2x x 2 1)(2x x 2 1) 0
4x2 x 7 2 x 2 4 4x2 x 2 2 x 2 1
x 2 2x 1
x 2 2x 1
hoặc
x 2 2x 1 x 2 2x 1
Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = 2; 1
; 5 41 8
Bài 19: Giải bất phương trình 8x3 2x (4 x 1)(x 14 8 x 1) .
Hướng dẫn: Điều kiện : x 1
(1) 8x3 2x (4 x 1)(x 1 8 x 1 16 1) 8x3 2x (4 x 1)3 (4 x 1) (2)
- Xét hàm số f (t) t3 t; f '(t) 3t2 1 0t 1 f(t) đồng biến trên [1;+ ) mà (2) có f (2x) f (4 x 1) và 2x, 4 x 1 [1; ) nên (2) 2x 4 x1
x 2
x
17 17
17 17
17 17 8
4 x2 17 x17 0
x
; x
2x 4 x 1 (2x 4) x 1
8
8
2x 4 0 2 x 1 0 x 2
Bài 20: Giải bất phương trình: (x + 2)( 2x + 3 − 2 x + 1)+ 2x2 + 5x + 3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
x+ 2 = a2 −b2 2x + 3 = a
Đặt x + 1 = b a,b ≥ 0
⇒ 2x 2 + 5x + 3 = ab .
Bất phương trình trở thành:(a2 −b2)(a − 2b) + ab ≥ a2 − 2b2
1= a2 − 2b2
⇔ (a2 −b2)(a − 2b) +b(a +b) − (a2 −b2) ≥ 0 ⇔ (a −b)(a − 2b)−(a − 2b) ≥ 0 (do a +b > 0)
⇔ (a − 2b)(a −b −1) ≥ 0
Trang 7
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
TH1:
1 ⇔ − 2
x≥ −1 x ≥ −1 1 ≤ x ≤ 3 2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x≥ − 2 2x + 3 − x + 1 − 1 ≤ 0 −1 ≤ x ≤ 3
TH2: 2x + 3 − 2
Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪
x≥ −1 x ≥ −1 1 x + 1 ≥ 0 ⇔ x≤ − ⇔ x = −1 2 2x + 3 − x + 1 − 1 ≥ 0 x≤ −1; x ≥3
1 ; 3− 2
Bài 21: Giải bất phương trình 10x2 50x 3 2x2 5x 2 3 x 5
2
25 745 x
Hướng dẫn: Điều kiện 2x 5x 2 0
2
10 10x2 50x 3 0 x 5
- Nhận xét
- Bất phương trình đã cho tương đương với
2x 14x 47 x 5 0 2x2 5x 2 3 2x 2 5x 2 3 x 5
4x 2 27x 20 3 (2x 1)(x 5). x 2 0
10x 2 50x 3 2x2 5x 2 9x 45 6 (2x 1)(x 2)(x 5)
- Đặt
2(2x 2 11x 5) 5(x 2) 3 2x2 11x 5. x 2 0
2x2 11x 5 a; x 2 b,(a 0;b 0) ta thu được 2a2 5b2 3ab 0 (a b)(2a 5b) 0 a b
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm S 3
6 22 6 22 2x 2 11x 5 x 2 2x 2 12x 7 0 x ; x 2 2
22 2 ;
3x2 12x 5 x3 1 x2 2x
Bài 22: Giải bất phương trình
x 2
Bất phương trình đã cho tương đương với
3x2 12x 5 0 Hướng dẫn: Điều kiện x 1 x(x 2) 0
3x2 12x 5 x3 x 2 2x 1 2 (x 1)(x 2 x 1)x(x 1)
x3 2x2 10x 6 2 (x 1)(x 2. (x 2 x 1)x 0
(x3 x 2 x) 3(x2 3x 2) 2 x2 3x 2. x3 x 2x 0
Trang 8
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
2
2
Đặt
1 3. 2 0(1) x 3x 2 x3 x2 x x 3x 2 x3 x 2 x
t(t 0) thì (1) x 3x 2 x3 x 2 x
1 3t 2 2t 0 t 1 x2 3x 2 x3 x 2 x x3 4x 2 0(2) 1 3
Bài 23: Giải bất phương trình:
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với x 2 . Kết luận nghiệm S 2; x2 x 4 x 1
2 2 3 x 3 x 1
Hướng dẫn: ĐK: x > -1
- Theo câu a ta có:
(1)
x2 x 4 x 1
3,x 1.
- Lại có
x 1 x 3 x 1 2 x 1
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số
ta được:
x1, 2 x1
(2)
2 2,x 1 x 1
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có:
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình.
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là S 1;
2
1 2 x 2 x 3x 1
2 2 3 , x 1 x2 x 4 x 1 2 x1 x 3 x 1
Bài 24: Giải bất phương trình sau:
1
1 2 x2 x 1
x 0
x 0
Hướng dẫn: Điều kiện: x2 3x 1 0
1 2 x2 x 1 0
2
3
2
3 1 (x 0) 1 2 x x 1 0
- Ta có 2 x2 x 1 2
4
x
1 2
- BPT
x x2 x 1 x2 3x 1
1 x
1 x
3 (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình)
1 x
1 x
1
- Đặt x
t t 2 vì x 0 .
x
13
- Ta có 1 t 1 t 3 2 t 1 3 t
4
Trang 9
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
13
1
13
- Suy ra 2 t
2 x
4
x
4
1
x
2
x
13 105 8
13 105 8
2 x 1 0 4x2 13x 4 0
x 1 x
13 4
x
x 3 x2 x 2 11x2 12x 10
Bài 25: Giải bất phương trình:
Hướng dẫn: Điều kiện: x 1 Bất phương trình đã cho tương đương với
x 9(x 2 x 2) 6 x(x 1)(x 2) 11x2 12x 10
6 (x2 x)(x 2) 2x 2 2x 8 3 (x2 x)(x 2) x2 x 4
2
3 x2 x. x 2 x2 x 2(x 2)
x (a,b 0) ta được BPT 3ab a2 2b2 (a b)(a 2b) 0 x Đặt a b x 2
2
2
2 x
5 57 (do x 1)
- TH1: a b a 2b
5 57 x 2 x x x 2 x2 x 4x 8 x 2x 2 0 x2 5x 8 0 5 57 2 x
- TH2:
x2 x x 2 x2 x 4x 8 Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 5 57
1 3 x 1 3 1 x 1 3 (do x 1) a b a 2b
x2 2x 2 0 x2 5x 8 0
x
x
x 1
2
3 2 ; 1;1
Bài 26: Giải bất phương trình log 1 4 4 log 2
3 log 2 .
2
1 2
Hướng dẫn:
log 1 4 4 log 1 2
3 log2 2
x
x1
x
2
2
log 1 4 4 log 2
3 log 2
x
x1
x
2
1 2
1 2
log 1 4 4 log 2
3.2
x
2 x1
x
2
1 2
4x 4 22 x1 3.2x
x 2
4x 3.2x 4 0 2x 1 L 2x 4
Vậy BPT có tập nghiệm: S = 2;
Trang 10
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bài 27: Giải bất phương trình 2.14x 3.49x 4x 0
x
2 x
x
1 0 2
(với t > 0). BPT trở thành 3t2 + 2t – 1 0
Đặt
1 t t 7 2 3
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4x được bpt 2 7 3 7 2 t 1 1 3
x
x log 7 3 . KL: BPT có tập nghiệm S log 3 ;
t
2
7 2
7 2 1 3
Bài 28: Giải bất phương trình 4x 2x 1 45x3 75x2 30x 4(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện x
1 . Bất phương trình đã cho tương đương với 2
4x 2x 1 4x 45x3 75x2 34x 4 0
4x( 2x 1 1) (x 1)(45x2 30x 4) 0 4x(2x 2) (x 1)5(3x 1)2 10 2x 1 1
2 5(3x 1) 1 0(1)
(x 1) 4x 2x 1 1
- Nhận xét
5(3x 1)2 1 5(3. 1 1)2 1 0,x 2 1 nên (1) x 1 0 x 1 2 4x 2x 1 1
1 - Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S = 2 ;1 Bài 29: Giải bất phương trình: log2 (x 2) log0,5 x 1.
Hướng dẫn: Điều kiện: x 2 .
log
1
2
2
x 2 log x 1 log 2 2
x 2 x
x 2 x
x 2 2x x 2 .
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là x 2.
Bài 30: Giải bất phương trình: x x 2 x3 4x2 5x x3 3x2 4 .
2
2
x 0 .
Hướng dẫn: Cách 1: BPT x x 2 x x 2 1 x 2 (x 1)
2
(1)
(x 2) | x 2 |
x 1 x 1 x 2
1 .
* x 2 : (1) 0 2 2 (loại). * x 0 : (1) 2 2 (loại).
Trang 11
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
* x 2 : (1) (x 2)1 x 1 x 1
x 2 1
1
1
1
- Chia 2 vế cho
x.(x 2) 0 ta được: (1)
1
1
1 x
x
x 2
x 2 2 .
t
- Xét hàm f (t) t 1 t2 ,t 0 f '(t) 1
0 t 0 f (t) đồng biến
1 t 2
1
x 2 x x2 5x 4 0 x 4; x 1.
t 0 , (1)
x
1 x 2 - Kết hợp x 2 x 4 . * 0 x 2 :
2
(1) (x 2)1 x 1 x 1
x 2 1 .
1
1
x.(x 2) 0 ta được: (1)
1
1
- Chia 2 vế cho
1 x
1 x 2
x
x 2 2 .
1 t t 2
t
- Xét hàm f (t) t 1 t2 ,t R f '(t) 1
0 t f (t) đồng
1 t 2
1 t 2
biến t . Từ đó (1)
. Trường hợp này vô nghiệm vì
0.
1 x 2
1 x 2
1 x
Đáp số: x 4 .
2x 5x 4
x3 4x2 5x x3 3x2 4
Cách 2: ĐK x 0 + x 0 không là nghiệm. Xét x 0 : + (1) x 2 x 1 x 1
x 1
0 .
f (x) x 4
x 2
x3 4x2 5x x3 3x2 4
+ Xét g(x)
x 1 x 2
x 1 x3 4x2 5x x3 3x2 4
Nếu x 1 thì g(x) 0 .
x 1
x 1
+ Nếu 0 x 1: x 1 1 x 1 1. Ta có:
(1)
1 2
x 2
2 x 2
x 1 x 2 2 x
x3 3x2 4 x 1x 22 x 2
1 x
x3 4x2 5x x3 3x2 4 2 x 1 x 2 x
1 x 2 2x x
1 x 2 2x
1 2
x3 4x2 5x x3 3x2 4 x 1
(2).
1 2
x3 4x2 5x x3 3x2 4
Trang 12
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Từ (1) và (2) suy ra g(x) 0 x 0 . + f (x) 0 x 4 0 x 4 . Kết hợp ĐK suy ra đáp số: x 4 .
x3 8 x3 2x2 9 x 1(x R)
Bài 31: Giải bất phương trình
x3 8 0 x 3
Hướng dẫn: Điều kiện: x3 2x 2 9 0
Bất phương trình đã cho tương đương với
x 2 (x 3)(x2 x 3) 0 x 1 0
x3 8 x3 2x2 9 x 1 2 (x 3)(x2 x 3)(x 1)
2x 2 x 2 (x 3)(x 1). x2 x 3
x2 2x 3 2 x 2 2x 3. x 2 x 3 x 2 x 3 0
Đối chiếu điều kiện, kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm.
2
( x2 2x 3 x 2 x 3)2 0 x2 2x 3 x2 x 3 x2 2x 3 x2 x 3 x 2
Bài 32: Giải bất phương trình : log log (2 x ) 0 (x R) .
2
1 2
2
2
Hướng dẫn: - Điều kiện: log2 (2 x ) 0 2 x 1 1 x 1
1 x 1
2
- Khi đó log (2 x ) 1 2
x 0
1 x 1 2 x2 2
1 x 1 x2 0
Vậy tập nghiệm bpt là S (1;0) (0;1)
Bài 33: Giải bất phương trình: x2 5x 41 x(x2 2x 4)(xR).
2
Hướng dẫn: ĐK: x(x + 2x − 4) ≥ 0
5
1 5 x 0 x 1
4 x(x2 2x 4) x2 5x 4 4 x(x2 2x 4) (x2 2x 4) 3x (**)
+ TH 1: x 1 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có:
(**) 4
3
x2 2x 4 x
x2 2x 4 x
- Đặt t
, t 0 , ta có bpt: t2 4t 3 0 1 t 3
x
1
3
x2 2x 4 x x2 2x 4 x
1 17 2
7 65 2
x2 7x 4 0 x2 x 4 0
+ TH 2: 1 5 x 0 , x2 5x 4 0 , (**) luôn thỏa
Trang 13
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA
Vậy tập nghiệm bpt (*) là S 1
5;0
2
2
1 17 7 65 ; Bài 34: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 0; 1 3 : m x2 2x 2 1 x( 2 x ) 0 Hướng dẫn: Đặt t x2 2x 2 dox[0;1 3] nên t 1;2
- Bất phương trình trở thành: m
- Khảo sát hàm số g(t)
với t 1;2
t2 2 t 1
- Ta có: g'(t)
t 2 2 t 1
2 2 t đồng biến trên 1;2 t 1
2 t 2t 2 (t 1)2 2
0 . Vậy g(t)
3
- Từ đó: m
có nghiệm t [1,2] m max g(t) g(2) . Kết luận: m
Maxg(t) g(2)
2 3
t1;2
2 3 t2 2 t 1
Bài 35: Giải bất phương trình 2x 2 5x 6 7x 11 4x 9(x R)
Hướng dẫn: Điều kiện x
+ Bất phương trình đã cho tương đương với
6 5
2
2
2
2x 2 2x 4 5x 6 (x 2) 7x 11 (x 3) 0
2(x x 2) 0 x x 2 5x 6 x 2 x x 2 7x 11 x 3
+ Nhận xét
+ Do đó (1) x2 x 2 0 (x 1)(x 2) 0 1 x 2 . Kết luận nghiệm -1 (x2 x 2)( 2) 0(1) 1
5x 6 x 2 1
7x 11 x 3 6 1 1 2,x 5 1
5x 6 x 2 1
7x 11 x 3 2 3 6
5 13
5 6
5 x2 x 2 x3 2x 2 x (x2 1) 3x 6(x R) x2 x 2 2 x3 2x2 x 2 (x 2 1) 3x 6 0 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 2 x 2 x 2 2 (x 2 1)(x 2 3x 6 2
(x 1)(x x 2) x x 2 0 x2 x 2 2 x 2 3x 6
1 x 1
2
0(1) x2 x 2 2
(x 1)(x 2)
1
x2 x 2 2 x 2 3x 6
2
x 1
0, x 2 x 1 0 x 1.
x 2 3x 6
Ta có (x 2)
Kết luận x 1 2x 5 3x 2 4x 1 5x 6 2x 5 4x 1 3x 2 5x 6 0 (2x 4)[ ] 0 1
2x 5 4x 1 1
3x 2 5x 6 x 2 3x . 1 1
1 x2 1 x2 3x 3x 1 2 0 (1) 1 x2 x2
1 x2 x2
1 x2 1 x2 1 x2 + Đặt t , khi đó bất phương trình (1) trở thành: t 2 3t 2 0 x 1 x2 t 1
t 2
+ Với t < 1 thì * 1 x 0 :bất phương trình (2) đúng * 0 x 1: bất phương trình (2) x2 1 x2 0 x x 1 x 1 x2 (2) 1 x2 Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S1 1; 2
2 2
2 + Với t > 2 thì x 2 x 2 1 x2 (3) 1 x2 * Bất phương trình (3) x 2 5
5 x 0
x2 4(1 x2 ) 2 5 Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S2
5
;1
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S S1 S2 1; 5 2 5
2
2
;1
(3x 1)3 2x2 5x 1(x R) + Bất phương trình đã cho tương đương với (3x 1)( 3x 1 2x) 4x2 3x 1 (3x 1)( 3x 1 2x) 2x 2 5x 1 2x(3x 1) (3x 1)( 3x 1 2x) ( 3x 1 2x)( 3x 1 2x) ( 3x 1 2x)( 3x 1 x 1) 0(1) + Ta có (1) 3x 1 x 1 0,x 1 nên
3 Xét hai trường hợp xảy ra 0 ( 3x 1 2x)x(x 1) 0(2) ( 3x 1 2x)x(x 1)
3x 1 x 1 +) Với x(x 1) 0 2 x 1 x 0
thì (2) 3x 1 2x x 0 x 1
x 0 x 0
0 x 1 4x 3x 1 0
+) Với x(x 1) 0 0 x 1 thì (2) 3x 1 2x x 0 x 1
2
4x 3x 1 0 2x( 3x 5 4x 3) 1
Kết luận nghiệm S
; 1
3 15 5 2x 9,(x R) 2x 9 3 5 . Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với
3 2x( 3x 5 4x 3) 5( 2x 9 3)( 2x 9 3) 2x( 3x 5 4x 3) 5.2x 3x 5 4x 3 5 7x 8 2 12x2 29x 15 25 2 12x2 29x 15 33 7x 2 2 2 5 x x x 33
7 33
7 33
7 x 3 3 x 343 x 3 4(12x 29x 15) (33 7x) x 346x 1029 0 5
3
5
3
5
3
x 3 x 1 : loại TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2 2 x 1: x 5 x2 5 x x2 5 x 1
x 1 1
x 1 5 5x 1 x2 5 x 4x 5 x2 5 x x 1
x 1
1
x 1 x 2 x2 5 x
5
4
2 x
15x 40x 20 0
Vậy : x > 2 1
2
BPT 2x 1 x x2 2x 1 0 2x 1 x 0vi x2 2x 1 0
x 1 2; x log (x 1) log (x 2). 0,2 0,2 0,2 log x log (x 1) log (x 2) log (x2 x) log (x 2) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 x2 x x 2 x 2 (vì x >0). Vậy bất phương trình có nghiệm x 2 . x2 20x 4 x 2x 4 x 20 1 2 x + x > 0 chia 2 vế BPT cho x ta được: 4
x
2
x
- Đặt t x x 2
t 16 2t 1 t2 4 4
x 2
x Bất phương trình thành: 1
2 2 2 t
t 16 4t 4t 1
t 3 Với t 3 ta có: Kết hợp với điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S 0;1[4;] 2 x 3 x 4;0 x 1 x 0 300x2 40x 2 10x 1 310x
1 x 1 x 2 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 3 x - Ta có: 10
1 x 1 x 2,x 1 3 (Theo BĐT Bunhia)
;
10 10 Bpt 300x2 40x 2 10x 1 3 10x 0 ( 10x 1 1) ( 3 10x 1) 300x2 40x 4 10x 2 2 10x (10x 2)(30x 2) 10x 1 1 1
3 10x 1 (10x 2)
30x 2 0 (*)
f (x) 30x 2 1
10x 1 1 3 10x 1
1
10x 1 1
1
3 10x 1 - Mặt khác f ( x) liên tục trên [ f ( ) f ( x) f ( ) 0 ( Hs có thể đánh giá) 3
10 1
10 f '( x) 30 0, x ( ) 5
10x 1( 10x 1 1)2 5
310x ( 3 10x 1)2
3 1 3
1
;
10 10
3 1 ] ] nên f ( x) nghịch biến trên [ ;
10 10 ;
10 10 - Do đó bất phương trình (*) 10x 2 0 x 1 5 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: 1
5 x 3
10 x+ 2 = a2 −b2 2x + 3 = a Đặt x + 1 = b
a,b ≥ 0 ⇒ 2x 2 + 5x + 3 = ab . Bất phương trình trở thành:(a2 −b2)(a − 2b) + ab ≥ a2 − 2b2 1= a2 − 2b2 ⇔ (a2 −b2)(a − 2b) +b(a +b) − (a2 −b2) ≥ 0
⇔ (a −b)(a − 2b)−(a − 2b) ≥ 0 (do a +b > 0) ⇔ (a − 2b)(a −b −1) ≥ 0 TH1: x≥ −1 x ≥ −1 1 2x + 3 − 2 x + 1 ≤ 0 ⇔ x≥ − ≤ x ≤ 3 2 1
⇔ −
2 2x + 3 − x + 1 −1 ≤ 0 −1 ≤ x ≤ 3 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 1 x≥ −1 x ≥−1 TH2: 2x + 3 − 2 Vậy bất phương trình có nghiệm S = {−1} ∪ x + 1 ≥ 0 ⇔ x≤ − ⇔ x = −1 2 2x + 3 − x + 1 −1 ≥ 0 x≤ −1; x ≥ 3 x 1 x2 2 3x 4x2 . 1
; 3−
2 3 41 x 0
. (*) Điều kiện: 1 x2 0 3 41 0 x 0 x 1
3 41 8 x
8 8
2 3x 4x2 0 Bất phương trình đã cho tương đương với x 1 x2 2 x(1 x2 ) 2 3x 4x2 3(x2 x) (1 x) 2 (x x2 )(1 x) 0 5 34
9 2 3 2 1 0 9x 10x 1 0 x2 x
1 x x2 x
1 x x2 x
1 x 1
3 . 5 34
9
x
x
x . 3 41
8 9 (5x2 5x 10) x 7 3 (2x 6) x 2 2 x3 2x2 5x 10 0 2 2
x 2 và vì 2x 6 0 + Do x 2 x 2 2 2 2x 6 x 7 3 5x 5x 10
x 5 0 (*)
1 2 x 2 2
1
x 2 2 + Do x 2 x 7 3 5 3 5 2 2 2 2 2 Từ (1) và (2) x 5 0 . Do đó (*) x 2 0 x 2 5x 5x 10
x 7 3 2x 6
x 2 2 Kết hợp điều kiện x 2 2 x 2. x 3 (1) 2x 6
2 2x 6
x 2 2 1 và vì 5x2 5x 10 0 xℝ 1
x 7 3 5
2 x x 2 x 5 x 3 (2) 5x 5x10
5 5x 5x10
x 7 3 5x 5x10
x 7 3
2 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA x1 ) 0 x
2 8) log1 (24 2
3 Điều kiện: (1) 2x 1 8 0
24 2x2 0 x2 x1 log3 2 8 log3 24 2 2x1 8 0
2x1 8 24 2x2 2x 4
2.2x 8 24 4.2x 2x 4
6.2x 32 2
4 2x 16
3 2 x log 16
3
Điều kiên : 3 x 2 x 1 2x 5 0 2
x 3 2 1 3 2x 2x2 3x 5 0
2
1 3 2x
x 3 4
x 3 2 1 3 2x
4
2 3 2x 5 x 3 2 1 3 2x
0 (*)
x 1
Do 3 x 3 3 2x 9 1 và 2x 5 1 nên 2 - Từ (*) x 1 0 x 1. Kết hợp với điều kiện tập nghiệm của bất phương trình là T 1; 2 4
3 2x 1
4 2x 5 0,x 3; 3
2
x 3 2 1 3 2x
3
2Bài 36: Giải bất phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện x 2
+ Nhận xét x = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho
+ Xét trường hợp x >-2 thì bất phương trình đã cho tương đương
Trang 14
Bài 37: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Bài 38: Giải bất phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện x 1. Bất phương trình đã cho tương đương với:
Trang 15
Hướng dẫn: Điều kiện: x
Bài 39: Giải bất phương trình:
1
3
Bài 40: Giải bất phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện x
Vậy bất phương trình ban đầu có nghiệm là 5
3
Bài 41: Giải bất phương trình : x 1 x2 5 x x2 1
Hướng dẫn:
Trang 16
Bài 42: Giải bất phương trình : x2 x. 2x 1 x3 2x 1
Hướng dẫn: ĐK: x
Bài 43: Giải bất phương trình: log
Hướng dẫn: Điều kiện: x 0 (*).
Bài 44: Giải bất phương trình:
0 (*)
Hướng dẫn: Điều kiện: x
+ x = 0 là nghiệm bpt (1)
Bài 45: Giải bất phương trình:
Trang 17
Hướng dẫn: Điều kiện: 1
10
Bài 46: Giải bất phương trình: (x + 2)( 2x + 3 − 2 x + 1)+ 2x2 + 5x + 3 ≥1
Hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ −1
Trang 18
Bài 47: Giải bất phương trình
Hướng dẫn:
Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34
Bài 48: Giải bất phương trình 5x2 5x 10 x 7 2x 6 x 2 x3 13x2 6x 32.
Hướng dẫn:
Điều kiện x 2 . Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5x2 5x 10) x 7 3 (2x 6) x 2 2 3(5x2 5x 10) 2(2x 6) x3 13x2 6x 32
Trang 19
Bài 49: Giải bất phương trình sau log3 (2
Hướng dẫn:
Bài 50: Giải bất phương trình 2( x 3 3 2x ) 2x2 3x 7 0
Hướng dẫn:
Trang 20
