intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

Chia sẻ: Tran Manh Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
248
lượt xem 58
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho hàm số y = f(x) xác định tại x0, cho số gia x sao cho hàm số xác định tại x0 x. Khi đó số gia của hàm số tại điểm x0 được ký hiệu và xác định như sau...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

  1. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14    ng 3.   §¹o hµm vµ vi ph©n Ch¬   3.1. §Þnh nghÜa ®¹o hµm vµ vi ph©n. 3.1.1. §Þnh nghÜa ®¹o hµm vµ vi ph©n. Cho hµm sè  y = f(x) x¸c ®Þnh t¹i x0, cho sè gia ∆ x sao  cho hµm sè x¸c ®Þnh t¹i  x0  +   ∆ x. Khi ®ã sè gia cña hµm sè  t¹i   ®iÓm  x0  ®îc   ký   hiÖu   vµ   x¸c   ®Þnh   nh  sau:  ∆ f 0 = f(x0 +  ∆ x) − (x0), x  f hoÆc  ∆ y(x0) = y(x0 +  ∆ x) − (x0).  y §Þnh nghÜa 3.1.  §¹o hµm cña hµm y = f(x) t¹i  ®iÓm x0  (ký   hiÖu lµ: y′   (x0) hoÆc f′   (x0)) lµ  giíi h¹n (nÕu cã) cña tû   sè gi÷a sè gia cña hµm sè t¹i ®iÓm x0 vµ sè gia ®èi sè khi   sè gia ®èi sè dÇn tíi 0. VËy f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) f′  (x0) =  l m  hay  y′  (x0) =  i ∆x ∆ x →0 y( x0 + ∆ x ) − y( x0 ) lm i . ∆x ∆ x →0 f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) §Þnh nghÜa 3.2.    NÕu tån t¹i   l m − i   th×  hµm   ∆x ∆ x →0 f(x)  ®îc gäi lµ  cã   ®¹o hµm bªn tr¸i t¹i  ®iÓm x0  vµ   ®îc ký   − hiÖu lµ f′  (x0 ). VËy 
  2. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) − f′  (x0 ) =  l m − i . ∆x ∆ x →0 T¬ng tù, ®¹o hµm bªn ph¶i cña hµm f(x) t¹i ®iÓm  x0  ®­ + îc   ký   hiÖu   vµ   x¸c   ®Þnh   nh  sau:                         f′   (x0 )   =  f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) lm + i . ∆x ∆ x →0 NhËn xÐt 3.1. Tõ c¸c ®Þnh nghÜa 3.1, 3.2 vµ ®Þnh lý 2.2 ta  cã ®Þnh lý sau: §Þnh lý  3.1.  §iÒu kiÖn cÇn vµ   ®ñ   ®Ó  hµm f(x)  cã   ®¹o hµm   t¹i x0 lµ  tån t¹i c¸c  ®¹o hµm tr¸i,  ®¹o hµm ph¶i cña f(x)  − + t¹i x0 vµ f′  (x0 ) = f′  (x0 ). Khi ®ã, − + f′  (x0) = f′  (x0 ) = f′  (x0 ). §Þnh nghÜa 3.3.    Gi¶ sö  hµm f(x)  x¸c   ®Þnh  trong mét l©n   cËn cña ®iÓm x0. Víi ∆ x  ®ñ nhá, sè gia ∆ f x0) = f(x0  + ∆ x) − ( f(x0) biÓu diÔn ®îc díi d¹ng: ∆ f x0) =  A∆ x +  o(∆ x) ( trong  ®ã  o(∆ x) lµ  v« cïng bÐ  bËc cao h¬n  ∆ x    khi ∆ x→ 0, A   lµ  mét sè  h÷u h¹n chØ phô  thuéc x0  vµ  hµm f mµ  kh«ng phô   thuéc ∆ x.  Th× A∆ x ®îc gäi lµ vi ph©n cña hµm f(x) t¹i x0 vµ   ký  hiÖu lµ  df 0  .  VËy vi ph©n cña hµm f(x)  t¹i x0  lµ  v«   x cïng bРt¬ng ®¬ng víi ∆ f x0) khi ∆ x→ 0 ( df 0 = A∆ x. x Hµm f(x) cã vi ph©n t¹i ®iÓm x0 th× ®îc   gäi lµ kh¶ vi t¹i x0.
  3. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 §Þnh lý  3.2.  (vÒ  mèi liªn hÖ  gi÷a tÝnh kh¶ vi vµ  sù  tån   t¹i ®¹o hµm cña hµm sè t¹i mét ®iÓm).  §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hµm sè f(x) cã vi ph©n t¹i ®iÓm   x0 lµ  t¹i  ®iÓm  ®ã  hµm sè  cã  ®¹o hµm f′   (x0) h÷u h¹n vµ  khi   ®ã df 0 = f′  (x0)∆ x. x §Þnh nghÜa 3.4. +  Hµm f(x) ®îc gäi lµ  cã   ®¹o hµm trªn (a;  b) (a, b lµ c¸c sè thùc), nÕu f(x) cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm   thuéc (a; b).     +   Hµm f(x)  ®îc gäi lµ  cã   ®¹o hµm trªn  [a;  b] (a, b lµ   c¸c sè  h÷u h¹n), nÕu f(x) cã   ®¹o hµm trªn (a; b) vµ  t¹i a   cã ®¹o hµm bªn ph¶i, t¹i b cã ®¹o hµm bªn tr¸i. VÝ  dô  3.1.  (i)  TÝnh c¸c  ®¹o hµm mét phÝa vµ   ®¹o hµm (nÕu  cã)   t¹i   x   =   2   cña   hµm:  3x − 1 khi x < 2; f(x) =   2  x + 1 khi x ≥ 2. f( 2 + ∆ x ) − f( 2) 3( 2 + ∆ x ) − 1 − 5 − Gi¶i. Ta cã: f′  (2 ) =  l m − i  =  l m − i   ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x →0 = 3. f( 2 + ∆ x ) − f( 2) +                f′  (2 ) =  l m + i  =  ∆x ∆ x →0 ( 2 + ∆ x ) 2 + 1 − 5  = 4. lm i ∆x ∆ x → 0+ − + Nh vËy   f′  (2 ) ≠  f′  (2 ) do ®ã kh«ng tån t¹i f′  (2).
  4. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 (ii) TÝnh ®¹o hµm (nÕu cã) t¹i x = 0 cña hµm f(x) =  3 x . f( 0 + ∆ x ) − f( 0) 1 3∆ −0  =  ∆ x m 0 3 2   l i Gi¶i. Ta cã: f′  (0)= l m x i  =  l m i → ∆x ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x →0 = +∞ . (iii) TÝnh ®¹o hµm (nÕu cã) t¹i x =0 cña hµm f(x) = 3 x2 . f( 0 + ∆ x ) − f( 0) 3 ∆2 − 0 − Gi¶i. Ta cã: +  f′  (0 ) =  l m − i x  =  l m  =  i− ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x →0 f( 0 + ∆ x ) − f( 0) 1 3 ∆2 − 0 lm − i +  = −∞ +  f′  (0 ) =  lm + i x  = l m  =  i+ 3∆ ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x →0 ∆ x →0 x 1 lm + i  = +  ∞ . 3∆ ∆ x →0 x − + Nh vËy   f′  (0 ) ≠  f′  (0 ) do ®ã kh«ng tån t¹i f′  (0). VÝ dô 3.2. (i) TÝnh vi ph©n cña  f(x) = x2 +  3x +  1 t¹i x =  4.                   (ii) Cho y = x víi x lµ biÕn sè ®éc lËp.  TÝnh dy . x Gi¶i.  (i) Ta cã df  = f′  (4)∆ x = 11∆ x. 4  (ii)  Ta cã dy = dy  = y′  (x)∆ x = ∆ x. x  MÆt kh¸c y = x ⇒ dy = dx. ⇒ dx =∆ x.  VËy nÕu x lµ biÕn sè ®éc lËp th×  dx =∆ x. ChÝnh v× vËy  mµ  trong trêng hîp x lµ  biÕn sè   ®éc lËp th×  biÓu thøc cña  vi ph©n cña hµm  f(x) cßn  ®îc thay   ∆ x  bëi  dx. Hay  df 0  =  x f′  (x0)dx.
  5. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 Chó   ý  3.1.    KÕt qu¶ cña vÝ  dô  3.2 vÉn  ®óng khi x lµ  biÕn   sè  trung gian. KÕt qu¶ nµy cßn  ®îc gäi lµ  “tÝnh bÊt biÕn   cña vi ph©n cÊp 1”. 3.1.2. ý nghÜa h×nh häc cña ®¹o hµm vµ vi ph©n. Cho hµm sè y = f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0. (vÏ h×nh) Gäi M0, M lµ  c¸c  ®iÓm n»m trªn  ®å  thÞ  hµm y = f(x) cã  to¹  ®é t¬ng øng lµ (x0; f(x0)) vµ (x0  +∆ x; f(x0+∆ x)). §iÓm T  n»m trªn tiÕp tuyÕn (Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn lµ  y  =  t(x))  víi ®å thÞ hµm y = f(x) t¹i ®iÓm x0, th× T cã to¹ ®é lµ (x0  +∆ x; t(x0+∆ x)). Gäi  A   lµ   giao   ®iÓm   cña   c¸c   ®êng    x  =  x0  +∆ x  vµ  y  =  f(x0); B lµ giao ®iÓm cña ®êng  th¼ng ®i qua hai ®iÓm M vµ  M0 víi ®êng th¼ng y = f(x0). Gäi    β ,  α   lÇn   lît   lµ   gãc   gi÷a   chiÒu   d¬ng   cña   trôc  uuuuuu uuuuu r r hoµnh vµ c¸c ®êng th¼ng  M 0M , M 0T . NÕu ∆ x  → 0 th×  β   →  α.  Theo ®Þnh nghÜa ta cã: f( x0 + ∆ x ) − f( x0 ) MM = lm 0 = lm t β = t α . f′  (x0) =  l m i i ig g ∆x β→α M A ∆ x →0 β→α 0 Chøng tá   ®¹o hµm cña hµm sè  t¹i mét  ®iÓm lµ  hÖ  sè  gãc  cña tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm ®ã. M 0T df 0 = f′  (x0) ∆ x = tg α  ∆ x =  M A = M0T = ∆ t 0. x x M 0A 0 VËy vi ph©n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm lµ sè gia cña tiÕp  tuyÕn  víi  ®å  thÞ  hµm sè  t¹i  ®iÓm  ®ã.  VËy, nÕu  ∆ x  ®ñ  nhá  th×: 
  6. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 ∆ f 0 ≅  df 0 ⇔ f(x0+∆ x) ≅  f (x0) +  f′  (x0) ∆ x. x x C«ng thøc trªn  ®îc sö  dông  ®Ó  tÝnh gÇn  ®óng gi¸ trÞ  cña mét hµm sè t¹i mét ®iÓm. VÝ dô 3.3.   TÝnh gÇn ®óng sè:   3 8, . 25 Gi¶i.  Ta cã  f (x) =  3 x  cã  ®¹o hµm t¹i  x0 = 8,  f′   (8) =  1 ; f(8) = 2. ¸p dông c«ng thøc tÝnh gÇn ®óng  víi  ∆ x =  33 64 0,25 ta cã: 1 +∆ x) ≅  f (x0) +  f′  (x0) ∆ x = 2 +   0,25 ≅ 3 8,  = f(x 25 0 3 3 64 2,02. 3.1.3. TÝnh chÊt cña hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mét ®iÓm. §Þnh lý  3.3.  (vÒ  mèi liªn hÖ  gi÷a tÝnh liªn tôc vµ  tÝnh   kh¶ vi cña hµm sè  t¹i mét  ®iÓm).  §iÒu kiÖn cÇn  ®Ó  hµm sè   cã ®¹o hµm h÷u h¹n t¹i mét ®iÓm lµ t¹i ®iÓm ®ã hµm sè liªn   tôc. Chøng   minh.  Gi¶   sö   hµm  f(x)   cã   ®¹o   hµm   h÷u   h¹n   t¹i  x0.  NghÜa lµ: ∆f = f′ ( x0 )  h÷u h¹n. x0 lm i ∆x ∆ x →0 Theo ®Þnh lý c¬ b¶n ta cã:  ∆f = f′ ( x0 ) + α ( ∆ x ) , trong ®ã α(∆ x)  lµ VCB khi α(∆ x) → 0. x0 ∆x f′ ( x0 ) ∆ x + ∆ xα ( ∆ x ) . Suy ra   ∆f x0 =
  7. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 l m f′ ( x0 ) ∆ x + l m ∆ xα ( ∆ x ) = 0 . l m ∆f x0 = i i i ∆ x →0 ∆ x →0 ∆ x→ 0 Do ®ã hµm sè liªn tôc t¹i x0. (®pcm) Chó   ý  3.2.    (i)  §Þnh lý  3.3 chØ lµ   ®iÒu kiÖn cÇn mµ  kh«ng   ph¶i   ®iÒu   kiÖn   ®ñ   ®Ó   hµm   sè   cã   ®¹o   hµm   h÷u   h¹n   t¹i   mét   ®iÓm.  Ch¼ng h¹n, hµm  f(x) = |  x|  lµ  hµm sè liªn tôc t¹i x = 0, nhng kh«ng cã ®¹o hµm x = 0 v×:   f( 0 + ∆ x ) − f( 0) ∆ = l m − x = −1 ; − f′  (0 ) =  l m − i i ∆x ∆ x→0 ∆ x ∆ x →0 f( 0 + ∆ x ) − f( 0) ∆ = l m + x = 1. + f′  (0 ) =  l m + i i ∆x ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 (ii)  §Þnh lý  3.3  ®óng cho  ®¹o hµm h÷u h¹n mµ  kh«ng  ®óng   cho ®¹o hµm v« 1 khi x ≠ 0,   h¹n.  Ch¼ng h¹n, hµm  f(x) =     x   lµ hµm sè cã    0 khi x = 0;  ®¹o hµm x = 0,  nhng kh«ng liªn tôc t¹i x = 0.  (iii)  §Þnh lý  3.3  ®∙ kh¼ng  ®Þnh  ®iÒu kiÖn cÇn  ®Ó  hµm sè   kh¶ vi t¹i mét ®iÓm lµ t¹i ®ã hµm sè liªn tôc. V× vËy, mét   hµm kh«ng liªn tôc t¹i mét ®iÓm th× kh«ng kh¶ vi t¹i ®ã.
  8. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 2x khi x < 1;   ¸p dông: Hµm sè  f(x) =   2 ( ) x + 5 + a khi x ≥ 1, 2  lµ hµm gi¸n ®o¹n t¹i x = 1 nªn víi mäi gi¸ trÞ cña a, f(x)  kh«ng kh¶ vi t¹i x =1. (b¹n ®äc tù chøng minh).  2x + a khi x < 1;  Ý dô 3.4   Cho hµm f(x) =   2 V  . bx − 1 khi x ≥ 1. Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× hµm f(x) cã ®¹o hµm  trªn (−∞;+∞ )? Gi¶i.   §Æt h(x) = 2x +  a, g(x) = bx2 − 1. Th×  h(x) vµ g(x)  lµ  c¸c hµm cã   ®¹o hµm t¹i mäi  ®iÓm, nªn   f(x) cã   ®¹o hµm  t¹i mäi x ≠   1. §Ó  hµm sè   ®∙ cho cã  ®¹o hµm trªn (−∞ ;+∞ ) th×  nã  ph¶i  cã ®¹o hµm t¹i  − + x = 1. Tøc lµ cã:  f′  (1 ) = f′  (1 ) = f′  (1).  f( 1 + ∆ x ) − f( 1) b ( 1 + ∆ x ) − 1 − ( b − 1) 2 + Mµ: f′   (1 ) =  l m + i =  l m +   =  i ∆x ∆x ∆ x →0 ∆ x →0 2b . VËy  ®Ó    f(x) cã   ®¹o hµm t¹i    x =  1 th×    f′   (1) = 2b   h÷u h¹n. Do  ®ã,  f(x) liªn tôc t¹i    x =  1. Hay   l m− f( x)   =  i x→1 l m f( x)  = f(1) = b − 1. i x→ + 1 ( ) ⇔  x→1− ( 2x + a)  =  l m+ bx − 1   = b − 1  ⇔ 2 +  a = b − 1. 2 lm i i x→1
  9. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 f( 1 + ∆ x ) − f( x) 2( 1 + ∆ x ) + a − ( b − 1) − Khi ®ã, f′  (1 ) =  lm + i =  l m + i   ∆x ∆x ∆ x →0 ∆x→0 = 2. VËy  ®Ó  f(x) cã   ®¹o hµm t¹i  x = 1 th×   2 = 2b ⇔  b =  1. ⇒ a = −2. VËy    víi    a=  −2 vµ  b= 1  th×  hµm  f(x) cã   ®¹o hµm trªn  (−∞;+∞ ). 3.2. C¸c phÐp tÝnh vÒ ®¹o hµm  3.2.1. C¸c phÐp tÝnh vÒ ®¹o hµm. §Þnh lý  3.4.  NÕu c¸c hµm  f(x),  g(x)  lµ  nh÷ng  hµm kh¶ vi   t¹i   x0.  Th×   c¸c   hµm  f(x)  ±   g(x),  f(x)  g(x),  f(x):  g(x)  còng   kh¶  vi t¹i  x0  (víi  phÐp   chia  th×  ph¶i  cã   ®iÒu  kiÖn   g(x0) ≠  0) vµ    [f(.) ±  g(.)]′  0 = f′  (x0)  ±  g′  (x0), x [f(.) g(.)]′  0 = f′  (x0) g(x0)  +  f(x0) g′  (x0),   x ′  f( .  ) f′ ( x0 ) g ( x0 ) − f( x0 ) g′ ( x0 ) = .  )  ( 0) g( .  x g2 ( x0 )  §Þnh lý 3.5.  NÕu hµm u =  f(x) kh¶ vi t¹i x0, y =  g(u) kh¶   vi t¹i ®iÓm u0=f(x0) .Th× hµm y =g[f(x)] kh¶ vi t¹i x0 vµ y′ (x0) =g′  [f(x0)] f ′ (x0).  §Þnh lý 3.6.  NÕu hµm y =  f(x) x¸c  ®Þnh, t¨ng (hoÆc gi¶m),   liªn tôc trªn miÒn X; cã  miÒn gi¸ trÞ  Y; kh¶ vi t¹i x0 vµ   y′   (x0)  ≠   0  . Th×  tån t¹i vµ  duy nhÊt hµm ngîc x = g(y) 
  10. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 x¸c  ®Þnh, t¨ng  (hoÆc gi¶m), liªn tôc trªn miÒnY;  cã  miÒn   gi¸ trÞ X vµ kh¶ vi t¹i y0  = f(x0). §ång thêi 1 x′  [f(x0)] = ′ . y ( x0 ) 3.2.2. B¶ng ®¹o hµm vµ vi ph©n c¬ b¶n. y = c (c lµ h»ng sè) ⇒ y′  = 0 ⇒ dy = 0. α α− α− y = x  (α lµ h»ng sè) ⇒ y′  = α  x  1 ⇒ dy =α x  1 dx. y = a x (0 
  11. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 −1 −1 y = arccotg x   ⇒ y′  =  2   ⇒ dy =   dx. 1+ x 1 + x2 y = u ±  v ⇒ y′  = u′  ±  v′   ⇒ dy = du ±  dv. y = u v ⇒ y′  = u′  v +  uv′   ⇒ dy = v du +  udv. u′v − uv′ vdu − udv u ⇒ y′ = y= ⇒ dy = . v2 v2 v y =f(u)  ⇒ y′  = f′  (u) u′    ⇒ dy = f′  (u) u′  dx. VÝ  dô  3.5.          Sö  dông b¶ng  ®¹o hµm vµ  vi ph©n c¬  b¶n  tÝnh ®¹o hµm vµ vi  ph©n cña c¸c hµm sè sau:(b¹n ®äc tù gi¶i) (i)      f(x) = sin 3x; (ii)     f(x) = cos2x − 2x+3;  5  3x) − 3 ( 2x + 5) ;  (iii)    f(x) = arcsin (x2 −    (iiii)  f(x) = tg 3x.log2(1− 3). 2x 3.3. §¹o hµm vµ vi ph©n cÊp cao  §Þnh nghÜa 3.5.    Cho hµm y = f(x) cã ®¹o hµm trong mét l©n   cËn nµo ®ã cña ®iÓm a. (i)  NÕu hµm f′   (x)  cã   ®¹o hµm t¹i  ®iÓm a th×  ta nãi   r»ng hµm f(x)  cã   ®¹o hµm  ®Õn cÊp hai t¹i  ®iÓm a. Ký  hiÖu   ®¹o hµm cÊp hai cña hµm f(x)  t¹i  ®iÓm a lµ   f′ ′ (  a)  hoÆc   f(2)(a). VËy f′ ( a + ∆ x ) − f′ ( a) f(2)(a) =  l m i . ∆x ∆ x →0 (ii) Gi¶ sö  hµm f(x) cã   ®¹o hµm  ®Õn cÊp n−1 trong mét   l©n cËn nµo ®ã cña  ®iÓm a (ký hiÖu ®¹o hµm cÊp n−1 cña hµm  
  12. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 f(x) t¹i  ®iÓm a lµ  f(n­1)(a)) vµ  hµm f(n­1)(x) cã   ®¹o hµm t¹i   ®iÓm a th×  ta nãi r»ng hµm f(x)  cã   ®¹o hµm  ®Õn cÊp n t¹i   ®iÓm a. Ký  hiÖu  ®¹o hµm cÊp n cña hµm f(x)  t¹i  ®iÓm a lµ  f(n −1)( a + ∆ x ) − f(n −1)( a) f(n)(a). VËy  f(n)(a) =  l m . i ∆x ∆ x →0 (iii)   Gi¶ sö  hµm f(x)  cã   ®¹o hµm  ®Õn cÊp n t¹i  ®iÓm   a. Khi  ®ã, vi ph©n cña hµm f(x) t¹i  ®iÓm a  ®îc ký  hiÖu vµ   x¸c ®Þnh nh sau:  dnf = f(n)(a)(dx)n = f(n)(a)dxdx...dx. a  VÝ  dô  3.6.   TÝnh  ®¹o hµm vµ  vi ph©n  ®Õn cÊp n cña c¸c hµm  sè sau: f(x) = xn,  g(x) = sin x,  h(x) = ln  x. ∗ f(x) = xn. ⇒ f′  (x) = n xn­1; f′ ′  (x) = n(n− ) xn­2;...;  1 f(n) (x) = n!  ⇒ dn f(x) = n!(dx)n. ∗  h(x)  = ln  x.     ⇒  h′   (x) =   1x   =  x 1  ;  h′ ′   (x)  =  − −   − x 2;...;  − − − − h(n) (x) = (− n 1(n−1)! x n.  dn h(x) = (− n 1(n−1)! x n (dx)n. 1) 1) ( ) ∗ g(x)= sin x ⇒ g′  (x)= cos x= sin x + π 2 , g(2)(x)= cos ( x + π 2) = sin ( x + 2π 2) ,... (x) = sin  ( x + n π 2) ; d  g(x) = sin  ( x + n π 2) (dx) . ⇒ g(n) n n 3.4. TÝnh chÊt cña hµm sè kh¶ vi.
  13. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 Trong phÇn nµy chóng ta lu«n gi¶ thiÕt a, b lµ c¸c sè h÷u   h¹n vµ a 
  14. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 ∆f − x2 Suy ra:                         f′  (x2 ) =  l m ≥ 0 ,  i− ∆x ∆ x →0 (3.2) +                                      f′  (x2 ) =  ∆f x2 ≤ 0.                     (3.3) lm + i ∆x ∆ x →0 Tõ (3.1), (3.2), (3.3) suy ra f′  (x2) = 0. Chän c = x2 th×  c ∈ (a; b) vµ f′  (c) = 0. NÕu  x1  ∈(a;  b). Chøng minh   t¬ng tù  nh  trêng   hîp  x2  ∈(a; b) ta cã c = x1∈ (a; b) vµ f′  (c) = 0.   nghÜa h×nh häc cña ®Þnh l     ý ý: (i)  Tõ   ®Þnh lý  Rolle ta thÊy: NÕu hµm  f(x) liªn tôc trªn  [a; b], kh¶ vi trªn  (a; b) vµ f(a) = f(b).  Th×  tån t¹i  Ýt  nhÊt mét  ®iÓm  c  ∈  (a;  b)  ®Ó  tiÕp tuyÕn cña  ®å  thÞ  hµm sè  t¹i ®iÓm ®ã song song víi trôc hoµnh.(VÏ h×nh minh ho¹). (ii)  Tõ  chøng minh  ®Þnh lý  Rolle ta thÊy nÕu hµm  ®¹t cùc  trÞ  t¹i mét  ®iÓm mµ  t¹i  ®ã  hµm sè  cã   ®¹o hµm th×   ®¹o hµm  cña hµm sè t¹i ®iÓm ®ã b»ng 0. V×  vËy, ta chØ cÇn t×m cùc trÞ  cña hµm sè  t¹i nh÷ng   ®iÓm mµ t¹i ®ã hµm sè kh«ng cã ®¹o hµm hoÆc t¹i ®ã ®¹o hµm  cña hµm sè b»ng 0. VÝ dô 3.7.  (i) Cho f(x) = x3 +  6 x2 +  11x +  6. Sö dông ®Þnh  lý   Rolle,  chøng  minh  r»ng ph¬ng tr×nh  f′   (x) = 0 cã  hai  nghiÖm x1, x2 tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn: −3 
  15. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 a b c + + = 0 . Chøng minh r»ng ph¬ng  (ii) Cho m > 1 vµ   m + 2 m +1 m tr×nh: ax2 +  bx +  c = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong (0; 1). Gi¶i.  (i) Hµm sè    f(x) = x3  +  6 x2  +  11x +   6 liªn tôc trªn  c¸c ®o¹n [−3; −2], [−2; −1]; kh¶ vi trªn c¸c kho¶ng (−3; −2),  (−  − 2; 1) vµ  f(−3) =  f(−2) =  f(−1) = 0.  Theo  ®Þnh lý  Rolle  tån t¹i c¸c ®iÓm x1∈ (−3; −2), x2 ∈ (−2; −1) sao cho:  f′  (x1) = f′  (x2) = 0.(®pcm) a b c xm + 2 + xm +1 + xm . (ii) XÐt hµm sè  f(x) = m +2 m +1 m V×  m  >   1   nªn  f(x)   liªn   tôc   trªn  [0;1],   kh¶   vi   trªn  (0;1) vµ a b c + + = 0. f(0) = 0, f(1) =  m + 2 m +1 m Theo  ®Þnh lý  Rolle tån t¹i c¸c  ®iÓm  x0∈(0;1) sao cho:  f′  (x0)= 0. Mµ  f′   (x) = (ax2  +   bx  +   c)xm­1 nªn   f′   (x0)= (ax02  +   bxx  +   c)x0m­ ⇒ ax02 +  bxx +  c =0. 1  (®pcm) 3.4.2. §Þnh lý Lagrange. 
  16. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 §Þnh  lý   3.8.  NÕu   hµm   f(x)  liªn   tôc   trªn  [a;  b],  kh¶   vi   f( b) − f( a) trªn (a; b). Th× tån t¹i c ∈ (a; b) ®Ó  f′  (c) =  b− a . f( b) − f( a) Chøng minh.  §Æt  h(x) = f(x) − (x − ).    a b− a V×  f(x) liªn tôc trªn  [a;  b], kh¶ vi trªn  (a;  b) nªn  h(x)   còng   liªn   tôc   trªn  [a;  b],   kh¶   vi   trªn  (a;  b)   vµ  h(a) =  h(b) =  f(a). VËy hµm  h(x) tho¶ m∙n  ®Þnh lý  Rolle  trªn [a; b].  ¸p dônh  ®Þnh lý  Rolle cho hµm h(x) trªn [a;  b], ta ®îc: tån t¹i c ∈ (a; b) ®Ó  h′  (c) = 0. Mµ  f( b) − f( a) h′  (x) = f ′  (x) −  ⇒ h′  (c) = 0 ⇔ f ′  (c) =    b− a f( b) − f( a)  . (®pcm) b− a     nghÜa   h×nh   häc   cña   ®Þnh   l      Tõ   ®Þnh   lý   Lagrange   ta  ý ý: thÊy: NÕu hµm  f(x) liªn tôc trªn  [a;  b], kh¶ vi trªn  (a;  b).  Th×  tån t¹i  Ýt nhÊt mét  ®iÓm c ∈ (a; b) ®Ó  tiÕp tuyÕn  cña  ®å  thÞ  hµm sè  t¹i  ®iÓm  ®ã  song song víi  ® êng th¼ng  ®i  qua hai  ®iÓm cã  to¹   ®é   ( a;f( a) )  vµ   ( b;f( b) ) .(VÏ  h×nh minh   ho¹).   ó   ý  3.3  NÕu trong  ®Þnh lý  Lagrange ta bæ sung thªm gi¶  Ch  . thiÕt  f(a) = f(b). Th×   ®Þnh lý  Lagrange trë  thµnh  ®Þnh lý  Rolle. Hay ®Þnh lý Lagrange tæng qu¸t h¬n ®Þnh lý Rolle. VÝ dô 3.8.  Chøng minh r»ng:
  17. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 (i) sin x − sin y≤ x − y ∀x, y);    ( (ii) cos x − cos y≤ x − y ∀x, y);    ( x− y x− y  
  18. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 §Æt f(x) = log3x. Th×  f(x)  liªn tôc trªn  [x;y], kh¶ vi  trªn (x;y). Theo ®Þnh lý Lagrange  tån t¹i c ∈ (x; y) ®Ó: f( y) − f( x) l 3 y− l 3 x og og 1 ⇔ =                   f′  (c) =  .  y− x y− x cl 3 n (3.5) V× x  0  nªn tõ (3.5) suy ra:  y x− y x− y  
  19. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 Th×  hµm   h(x) tho¶ m∙n  ®Þnh lý  Rolle trªn [a;  b], do  ®ã  tån t¹i  c ∈ (a; b) ®Ó   h′   (c) = 0. §iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt h′   (x) ≠  0 (∀x ∈ (a; b). f( b) − f( a) §Æt  g(x) = f(x) − [h(x) − (a)].    h h ( b) − h ( a) V× f(x) vµ h(x)  liªn tôc trªn [a; b], kh¶ vi trªn (a;  b) nªn  g(x) còng liªn tôc trªn [a; b], kh¶ vi trªn  (a; b)  vµ    g(a)   =  g(b)   =  f(a).   VËy   hµm  g(x)   tho¶   m∙n   ®Þnh   lý  Rolle   trªn   [a;  b].     ¸p   dônh   ®Þnh   lý   Rolle   cho   hµm  g(x)  trªn [a; b], ta ®îc: tån t¹i c ∈ (a; b) ®Ó  g′  (c) = 0. f( b) − f( a) Mµ  g′  (x) = f ′  (x) −  h′  (x).   h ( b) − h ( a) f( b) − f( a) ⇒ g′  (c) = 0 ⇔ f ′  (c) =   h′  (c) . ⇒ (®pcm) h ( b) − h ( a) Chó   ý  3.4.  Trong  ®Þnh lý  Cauchy hµm h(x)  = x th×   ®Þnh lý   Cauchy trë thµnh ®Þnh lý Lagrange. Hay ®Þnh lý Cauchy tæng   qu¸t h¬n ®Þnh lý Lagrange. 3.5. Ứng dông cña ®¹o hµm.  ′  Hospital  3.5.1.   nh lý L    §Þ    .    §Þnh lý  3.10.  NÕu f(x),  h(x)  ®Òu lµ  c¸c VCB  (hoÆc  ®Òu lµ   ∗ ∗ c¸c VCL ) khi x→  a , liªn tôc trªn ®o¹n ∆  chøa ®iÓm a   (cã  
  20. Trần Thiện Hùng CQ46/11.14 ∗ thÓ   kh«ng   chøa   ®iÓm   a ),  kh¶   vi   trªn   kho¶ng  ∆   chøa   ®iÓm   ∗ ∗ a (cã thÓ kh«ng chøa ®iÓm a ), h′  (x) ≠  0 trong mét l©n cËn   f′ ( x) ∗ ∗ ®ñ nhá cña a  (cã thÓ lo¹i bá ®iÓm a ) vµ tån t¹i  l m • i . h′ ( x) x→ a f( x) f′ ( x) Khi ®ã,                            l m • i = lm • i . h ( x) x→a h′ ( x) x→a 4x + 1 − 3 VÝ dô 3.9.  TÝnh  l m . i x− 2 x→ 2 Gi¶i.  C¸c hµm f(x) =  4x + 1 − 3, h(x) = x −  ®Òu lµ c¸c VCB    2 khi x→ 2, liªn tôc trªn [1; 3]kh¶ vi trªn (1; 3),  h′  (x) =   1 ≠  0 (∀x ∈ (1; 3)) vµ  f′ ( x) 2 2 = lm =. lm i i x→ 2 h′ ( x) x→ 2 4x + 1 3 2 2 4x + 1 − 3 =  =  l m i ¸p dông ®Þnh lý 3.10 ta cã:  l m i x→ 2 4x + 1 3 x− 2 x→ 2 . Chó   ý  3.5.  (i)   Khi tÝnh giíi h¹n cã  thÓ  ¸p dông  ®Þnh lý   L′  Hospital  ®Ó khö  ∞ 0 d¹ng v« ®Þnh hoÆc . C¸c d¹ng v« ®Þnh kh¸c  ®a vÒ hai d¹ng   ∞ 0 trªn. (ii)  Khi tÝnh giíi h¹n cã  thÓ  ¸p dông  ®Þnh lý  L′  Hospital   ∞ 0 nhiÒu lÇn cho ®Õn khi hÕt d¹ng v« ®Þnh   hoÆc  . ∞ 0
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2