1
Chương 5
THIẾT KẾ LỌC FIR
Lọc là hệ thống điển hình và thường đựợc sử dụng nhất trong hệ thống rời rạc thời gian. Lọc thay đổi
đặc tính biên độ-tần số, hoặc pha-tần số của tín hiệu ra theo cách mà ta muốn. Một ứng dụng điển hình
của lọc là tách tín hiệu mong muốn ra khổi nền nhiễu. Lọc số là những thuật toán tính toán được tiến
hành bằng phần cứng hoặc phần mềm, ngược lại lọc tương tự là tổng trung bình của tín hiệu vào tại
một vài thời điểm.
Lọc số vượt trội hơn so với lọc tương tự trong nhiều lĩnh vực xử lý tín hiệu: âm thanh, hình
ảnh, video, nén dữ liệu, sinh học….Điểm thuận lợi chính của lọc số là:
- Chúng có thể được thiết kế để có đáp ứng pha tuyến tính
- Chúng có thể được thiết kế sử dụng sự cải tiến của kỹ thuật VLSI
- Chúng có thể dễ dàng lập trình và lập trình lại với những chức năng khác nhau
- Chúng ít nhạy với sự thay đổi môi trường (nhiễu, nhiệt độ, nguồn công suât)
Tuy nhiên lọc số cũng có một số điểm bất lợi như chúng có thể bị ảnh hưởng từ hiệu ứng
chiều dài từ vô hữu hạn. (xem chương 7).
Lọc số được phân loại như đáp ứng xung hữu hạn (FIR), nó cũng là lọc không đệ qui, và đáp
ứng xung vô hạn (IIR), lọc đệ qui. Chương này ta thảo luận về lọc FIR và sự thiết kế chúng. Nội dung
chính của chương này là lọc lựa chọn tần số lý tưởng, lọc FIR pha tuyến tính, và ba phương pháp của
thiết kế lọc: cửa sổ, tối ưu, và lấy mẫu tần số
5.1 LỌC FIR
Phương trình tín hiệu vào ra của lọc FIR là (công thức (2.20a))
M
Mk
knxkhny )()()(
(5.1)
Với h(k) là những hệ số, hay đáp ứng xung của lọc (công thức (2.19)), x(n – k) là tín hiệu vào x(n) bị
trễ k mẫu. Với lọc FIR nhân quả công thức trở thành
M
k=0
y(n)= h(k)x(n-k)
= h(0)x(n) + h(1)x(n-1) + h(2) ( 2) +...+ h(M)x(n-M)xn
(5.2)
Trong hình thức này bậc lọc là M, chiều dài lọc (tổng số hệ số lọc ) là
1M
. Một số tác giả sử dụng
N thay vì M, và viết ngưỡng trên như
1N
để chiều dài lọc là N (cách viết này thấy trong matlab).
Ta nên đánh dấu để tránh nhầm lẫn.
Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) của đáp ứng xung:
0
)()(
n
nj
enhH
(5.3)
Biết đáp ứng tần số
)(H
ta lấy biến đổi ngược DTFT để có đáp ứng xung
)(nh
. Để phân tích, thiết
kế và tiến hành hệ thống, hàm truyền (hàm hệ thống) thì quan trọng hơn. Nó là biến đổi z của đáp ứng
xung (công thưc 4.4).
M
M
n
nzMhzhhznhzH
)(...)1()0()()( 1
0
(5.4a)
Nhắc lại (phần 4.25) đáp ứng tần số
()H
có được từ hàm truyền
bằng cách thay z bằng
j
e
.
Để tìm cực không của lọc FIR, ta diễn tả H(z) thành những thành phần mũ dương của z bằng
cách nhân tử và mẫu với zM , kết quả là
M
MM
z
MhzMhzhzh
zH )()1(...)1()0(
)(
1
(5.4b)
Trong hình thức này, lọc FIR có cùng số cực và không và những cực thì nằm tại gốc, hệ thống ổn định
2
5.1.1 Ƣu điểm và khuyết điểm của lọc FIR
F
Lọc FIR có một số ưu điểm hơn lọc IIR, hai điểm nổi bật nhất là:
- Lọc FIR có để được thiết kế để có pha tuyến tính (phần 5.2) để dạng sóng của tín hiệu vào
được giữ lại, như được yêu cầu trong nhiều lĩnh vực ứng dụng: xử lý ảnh, y khoa…..
- Lọc FIR thì ổn định. Hàm truyền của chúng không phải là hàm hữu tỉ và vì vậy chỉ có
không. Sự đảm bảo ổn định làm lọc FIR rất hữu ích trong lọc thích nghi.
Ngược lại, lọc FIR cũng có một số nhược điểm như:
- Lọc FIR yêu cầu nhiều hệ số để đạt tới cùng chất lượng của đáp ứng tần số, vì vậy đòi hỏi nhiều thời
gian tính toán và cất dữ lớn.
- Lọc FIR không giống lọc tương tự, vì vậy ta không thiết kế nó bằng những kỹ thuật tương tự
5.1.2 Lọai của lọc lựa chọn tần số lý tƣởng
Dựa vào đặc điểm tần số(hoặc đáp ứng tần số) lọc được phân lọai thành: thông thấp, thông cao, dải
qua, dải chặn (hình 5.1). Lọc lý tưởng có biên độ băng thông là hằng số, biên độ dải chặn bằng không,
và sự truyền gián đoạn (thời gian truyền bằng với không). Chú ý rằng sự phân loại không dựa trên đặc
điểm pha. Để chi tiết, lọc có thể được phân loại như trơn, băng hẹp, notch, comb, dải qua, pha cực
tiểu…
Ta nên nhớ rằng phổ, tần số và pha của hệ thống và tín hiệu rời rạc thời gian có chu kỳ
2
-
với chu kỳ trung tâm thƣờng lấy
,
hoặc
2,0
.
Phần tiếp theo, nó thích hợp để đề cập hai lọc mà có thể tham khảo đến một vài lần, vi phân số
và định nghĩa hàm Hilbert, tƣơng ứng nhƣ sau
3π
(a) Lowpass
(b) Highpass
(c) Bandpass
(d) Bandstop
(Bandsuppress)
c
H(
)
0
2
0
2
0
2
0
2
Hình.5.1: Những loại cơ bản của lọc lựa chọn tần số lý tưởng
-
-
-
-
passband
stopband
passband
passband
stopband
H(
)
H(
)
H(
)
l
u
u
-c
-
c
-
l
-u
3
3
3
-u
-
l
3
-
l
1
1
1
1
c
3
Hω = jω
,
(Vi phân lý tưởng) (5.5)
Và
Hω = -j
,
0
(Hàm Hilbert lý tưởng) (5.6)
j ,
0
Với vì phân lý tưởng, đáp ứng lọc là
)(H
)(
Với biến đổi Hilbert1,
1)( H
)(
2
,
0
2
,
0
Kết quả chỉ trong hình 5.2.
5.1.3 Sự quan hệ giữa những lọc lý tƣởng căn bản
Từ hình 5.1 chú thích
)(nhLP
và
)(
LP
H
đặc trưng thời gian và tần số của lọc thông thấp lý tưởng.
Sau đó, sự quan hệ trong đáp ứng tần số với giả sử cùng những tần số cắt là:
- Cao qua:
)(1)( LPHP HH
(5.7a)
- Dải qua:
( ) ( ) ( )
ul
BP LP LP
H H H
(5.7 b)
- Dải chặn:
)(1)( BPBS HH
(5.7c)
H()
–
–
0
H()
0
–
1
0
–
()
/2
0
–
/2
()
–/2
(a) Vi phân lý tưởng
(b) Biến đổi Hilbert
Hình.5.2: Đáp ứng tần số của vi phân số và biến đổi Hilbert.
4
Với
u
là tần số cắt trên, và
l
là tần số cắt dưới. Bằng cách lấy biến đổi ngược DTFT ta có sự liên hệ
giữa đáp ứng xung như sau:
- Cao qua:
)()()( nhnnh LPHP
(5.8a)
- Dải qua:
( ) ( ) ( )
ul
BP LP LP
h n h n h n
(5.8b)
- Dải chặn:
( ) ( ) ( )
BS BP
h n n h n
(5.8c)
Ví dụ đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt c được tìm thấy trong ví dụ
3.7.3 là
sin sin
( ) ( ) , 0
,0
c c c
LP
c
c
nn
h n n
nn
n
(5.9)
Với
n
. Thì
sin
( ) ( ) c
HP
n
h n n n

(5.10a)
Nghĩa là
sin
( ) , 0
1 , 0
c
HP
c
n
h n n
n
n

sin sin
( ) , 0
,0
ul
BP
ul
nn
h n n
nn
n





(5.10b)
sin sin
( ) ( ) , 0
ul
BS
nn
h n n n
nn





(5.10c)
Nghĩa là
sin sin
( ) , 0
1 ( ) , 0
lu
BS
ul
nn
h n n
nn
n




Chú ý rằng, cùng tần số cắt
c
lọc thấp qua và cao qua có sự bù trừ trong độ nhạy mà tổng của đáp
ứng xung của nó là mẫu đơn vị
)(n
. Và vì vậy cùng tần số giới hạn
l
và
u
, dải qua và dải chặn
cũng có sự bù trừ.
5.1.4 Biến đổi lọc thông thấp thành những lọc khác
Trong phần trước ta đề cập sự quan hệ chung giữa các lọc. Trong phần này ta thảo luận sự biến đổi của
một lọc thông thấp, đáp ứng xung của nó được biết, sau đó bằng cách sử dụng thuộc tính dich tần số
của DTFT (phần 3.5) ta có thể chuyển lọc thông thấp thành những lọc khác có cùng đặc tính chính.
Đáp ứng tần số của lọc thông cao có được từ thông thấp bằng cách dịch về quá khứ bởi
radians, i.e. thay
bằng
:
)()( LPHP HH
(5.11a)
Trễ tần số của đáp ứng tần số bởi
radians tương ứng với nhân đáp ứng dụng với
nj
e
, vì vậy đáp
ứng xung của lọc thông cao là
5
( ) ( )
jn
HP LP
h n e h n
Hoặc
( ) ( ) ( ) (cos ) ( )
n
HP LP LP
h n = -1 h n n h n
(5.11b)
Kết quả này nghĩa rằng ta giữ dấu những mẫu tại thời điểm chẵn
...)4,2,0( n
của
)(nhLP
, và đảo
dấu những mẫu tại thời điểm lẻ
...)5,3,1( n
of
).(nhLP
Biến đổi ngược thì cũng đúng như vậy:
( ) ( ) ( ) (cos ) ( )
n
LP HP HP
h n = -1 h n πn h n
(5.11c)
Bên trên,
n
)1(
là
ncos
, ta có thể viết đáp ứng xung trong cả hai hình thức.
Nếu phương trình tín hiệu trình bày một lọc thông thấp, (công thức 2.21) là
N
k
M
Mk
kk knxbknyany
1
)()()(
(5.12a)
Thì công thức của cùng lọc thông cao là
N
k
M
Mk
k
k
k
kknxbknyany
1
)()1()()1()(
(5.12b)
Ví dụ lọc thông thấp có phương trình tín hiệu
)(5.0)1(8.0)( nxnyny
Thì tương ứng lọc thông cao có phương trình
)(5.0)1(8.0)( nxnyny
Bây giờ xem cách chuyển một lọc thông thấp sang một lọc thông qua. Ta biết trong DTFT
nhân trong miền thời gian tương ứng nhân chập trong miền tần số (phần 3.72) và DTFT của sinusoid
0
cos n
gồm hai xung tại tần số
0
(phần 3.7.2 ). Vì vậy khi ta nhân đáp ứng xung của lọc thông
thấp bởi
n
0
cos
ta sẽ có một lọc thông qua tƣơng ứng có tần số giữa
0
và băng thông gấp đôi
băng thông của lọc thông thấp. Thuộc tính nhân chập tần số (3.51) của DTFT nói rằng sự nhân trong
miền thời gian tương ứng với nhân chập trong miền tần số. Ta cũng biết rằng DTFT của
n
0
cos
là
hai mẫu đơn vị tại
0
.
Ví dụ hình. 3.29 vẽ đáp ứng biên độ của một lọc thông thấp với đáp ứng xung là 21 mẫu (từ
1010 nton
) với biên độ bằng 1/21, nghĩa là,
otherwise
n
N
nh
,0
1010,
21
1
12
1
)(
Đáp ứng xung của một lọc thông qua có tần số trung tâm tại
3/
0
là
otherwise
nnnhBP
,0
1010,cos
21
1
)( 3
Từ kết quả này ta có đáp ứng biên độ như hình 5.3.
1.0
0.5
-
-
n
n
/3
0
H()
0