Chương ba: Ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số

Chia sẻ: Nguyễn Hữu Việt | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

0
588
lượt xem
167
download

Chương ba: Ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương ba: Ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số

  1. Chương ba ứng dụng biến đổi Fourier phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số Giáo trình lý thuyết mạch đã nghiên cứu biến đổi Fourier của tín hiệu liên tục. Chương ba trình bầy biến đổi Fourier của dãy số và ứng dụng của nó để phân tích phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1 biến đổi Fourier của dãy số 3.1.1 Biến đổi Fourier thuận 3.1.1a Định nghĩa : Nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện : ∞ ∑ x ( n) n=−∞ < ∞ [3.1-1] thì sẽ tồn tại phép biến đổi Fourier như sau : ∞ X (e jω ) = ∑ x ( n) e n=−∞ − jω .n [3.1-2] ω Biến đổi Fourier đã chuyển dãy số x(n) thành hàm phức X(ej ), [3.1-2] là biểu thức biến đổi Fourier thuận và được ký hiệu như sau : FT [ x(n)] = X (e j∞ ) [3.1-3] hay : x(n) → X (e j∞ ) FT [3.1-4] (FT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Fourier Transform). ω Ký hiệu X(ej ) để phân biệt phép biến đổi Fourier của dãy số x(n) FT [ x(n)] = X (e j∞ ) với phép biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t) : • ∞ ∫ x(t ).e − jω t FT [ x(t )] = X (ω ) = dt . −∞ Biểu thức biến đổi Fourier của dãy số x(n) [3.1-2] là suất phát từ biểu thức biến đổi Fourier của hàm liên tục x(t), vì khi hàm dưới dấu tích phân là dãy rời rạc thì phải thay dấu tích phân bằng dấu tổng . ω ω Do tính chất tuần hoàn của hàm mũ ej , nên X(ej ) là hàm tuần hoàn của biến ω với chu kỳ 2π : ∞ ∞ X (e j (ω + k .2π ) ) = ∑ n=−∞ x(n) e − j (ω + k .2π ).n = n=−∞ ∑ x( n) e − jω .n = X (e jω ) ω Điều đó có nghĩa là chỉ cần nghiên cứu hàm tần số X(ej ) của các dãy rời rạc x(n) với ω ∈ (-π , π ) hoặc ω ∈ ( 0 , 2π ). Sử dụng biến đổi Fourier cho phép nghiên cứu phổ của tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. Nếu x(n) là tín hiệu số thì FT [ x(n)] = X (e j∞ ) là phổ của tín hiệu x(n), còn với h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số thì FT [h(n)] = H (e j∞ ) là đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1.1b Sự tồn tại của biến đổi Fourier Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [3.1-2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện khả tổng tuyệt đối [3.1-1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện [3.1-1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ hội ω tụ về hàm X(ej ), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại, nếu dãy x(n) không thoả mãn điều kiện [3.1- ω 1] thì chuỗi [3.1-2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(ej ) không tồn tại và x(n) không có biến đổi Fourier. Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn : ∞ ∑ x ( n) 2 Ex =
  2. d. δ (n) e. δ (n − k ) f. rect N (n) ∞ ∞ Giải : a. ∑ u ( n) = ∑ 1 = ∞ n = −∞ n =0 Hàm u(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier. ∞ ∞ b. ∑ n= −∞ 2 n u ( n) = ∑2 n=0 n =∞ Hàm 2nu(n) không thoả mãn [3.1-1] nên không tồn tại biến đổi Fourier. ∞ ∞ 1 c. ∑ n=−∞ 2 − n u (n) = ∑2 n = −0 −n = 1 − 2 −1 =2 Hàm 2-nu(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier : ∑ (2 ) ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ n FT [ 2 − n u ( n)] = 2 − n u ( n).e − jω .n = 2 − n e − jω .n = .e − jω −1 n=−∞ n =0 n =0 1 1 Vậy : FT [ 2 − n u (n)] = − jω = [3.1-6] 1 − 2 .e−1 1 − 0,5e − jω ∞ d. ∑ δ (n) n=−∞ = 1 Hàm δ (n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier : ∞ FT [δ (n)] = ∑ δ (n).e n = −∞ − jω .n = 1.e − jω 0 = 1 [3.1-7] e) Chuỗi [3.1-1] đối với δ (n - k) hội tụ nên nó có biến đổi Fourier : ∞ FT [δ (n − k )] = ∑ δ (n − k ).e n=−∞ − j ωn = e − jkω [3.1-8] ∞ N −1 f. ∑ rect n=−∞ N ( n) = ∑1 n=0 =N < ∞ Hàm rect N(n) thoả mãn [3.1-1] nên tồn tại biến đổi Fourier, : 1 − e − jω N ∑ (e ) ∞ N −1 FT [rect N (n)] = ∑ n=−∞ rect N (n).e − jωn = n =0 − jω n = 1 − e − jω [3.1-9] Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn luôn tồn tại biến đổi Fourier, còn các dãy có độ dài vô hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [3.1-1] của nó hội tụ. ω 3.1.1c Các dạng biểu diễn của hàm X(ej ) ω Vì X(ej ) là hàm phức, nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng, phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha. 1. Dạng phần thực và phần ảo X (e jω ) = X R (ω ) + j X I (ω ) [3.1-10] Theo công thức Euler có : ∞ ∞ X (e jω ) = ∑ x( n) e n=−∞ − jω .n = ∑ x(n) [ cos(ω .n) − j sin(ω .n)] n= −∞ [3.1-11] ∞ jω Hàm phần thực : X R (ω ) = Re[ X (e )] = ∑ x(n). cos(ω .n) n=−∞ [3.1-12] ∞ jω Hàm phần ảo : X I (ω ) = Im[ X (e )] = − ∑ x(n). sin(ω .n) n=−∞ [3.1-13] 2. Dạng mô đun và argumen X (e jω ) = X (e jω ) .e jϕ (ω ) [3.1-14] jω ) = X R (ω ) + X I (ω ) 2 2 Mô đun : X (e [3.1-15] Argumen : [  X (ω )  ϕ (ω ) = Arg X (e jω ) = arctg  I  ] [3.1-16]  X R (ω )  120
  3. ω ω  j ) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung :  j ) X(e- X(e X(e = jω ) ϕ (ω ) được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ độ : ϕ (ω ) = - ϕ(-ω ). 3. Dạng độ lớn và pha X (e jω ) = A(e jω ).e jθ (ω ) = A(e jω ) .e jϕ (ω ) [3.1-17] ω Hàm độ lớn A(ej ) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và : A(e jω ) = X (e jω ) [3.1-18] Còn : Arg[ A(e jω )] + θ (ω ) = ϕ (ω ) [3.1-19] Hàm pha : θ (ω ) = ϕ (ω ) − Arg[ A(e jω )] [3.1-20] Với Arg[ A(e jω )] phụ thuộc vào dấu của hàm A(e jω ) như sau :  0 Khi A(e jω ) ≥ 0 Arg[ A(e jω )] =  π  Khi A(e jω ) < 0 Một cách tổng quát, có thể viết :   π  jω A(e )  π   jω   Arg[ A(e jω )] = 1− =  1 − Sign  A(e )  2  jω  2    A(e )   Theo [3.1-20] , có thể biểu diễn hàm pha θ (ω ) dưới dạng như sau :   jω  π  ) A(e θ (ω ) = ϕ (ω ) − 1 −  [3.1-21] 2  jω A(e )      Ví dụ 3.2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và pha của hàm tần số X (e jω ) = cos(2ω ).e − jω Giải : Theo [3.1-11] có : X (e jω ) = cos( 2ω ). cos(ω ) − j cos( 2ω ). sin(ω ) Hàm phần thực : X R (ω ) = cos(2ω ). cos(ω ) Hàm phần ảo : X I (ω ) = − cos(2ω ). sin(ω ) Mô đun : X (e jω ) = cos 2 (2ω ). cos 2 (ω ) + cos 2 (2ω ). cos 2 (ω ) = cos(2ω )  cos(2ω ). sin(ω )  Argumen : ϕ (ω ) = − arctg   = −ω  cos(2ω ). cos(ω )  Hàm độ lớn : A(e jω ) = cos(2ω ) π  cos( 2ω )  Hàm pha : θ (ω ) = − ω − 1 − . 2   cos( 2ω )   3.1.1d Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z Theo biểu thức định nghĩa [2.1-1] của biến đổi Z có : ∞ ZT [( x(n)] = X ( z ) = ∑ x ( n) z n=−∞ −n , với RC[ X ( z )] : R x − < | z | < R x + ω Biểu diễn số phức z theo tọa độ cực : z = r.ej với |z|= r và arg [z] = ω ∞ ∞ jω Vậy : X ( z ) = X (r.e ) = ∑ x(n).(r.e ω ) n= −∞ j −n = ∑ x(n).r. n=−∞ −n e − jω . n ω Khi |z|= r = 1 thì z = ej , nên nhận được : ∞ X ( z) z = e jω = X ( e jω ) = ∑ x(n).e n = −∞ − jω . n [3.1-22] Theo [3.1-22] thì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z khi z nằm trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 , nghĩa là biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z. 121
  4. a. R x − < | z | = 1 , tồn tại FT b. R x − ≥ | z | = 1 , không tồn tại FT Hình 3.1 : Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z Từ hình 3.1a thấy rằng, nếu hàm X(z) hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 thì chắc chắn dãy x(n) tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại. Từ hình 3.1b, nếu hàm X(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z| = 1, thì dãy x(n) sẽ không tồn tại biến đổi Fourier, và ngược lại. Hàm bậc thang đơn vị u(n) là một ví dụ : Hàm ZT [(u (n)] = U ( z ) có RC[U ( z )] : | z | > 1 , do U(z) không hội tụ trên vòng tròn đơn vị | z | = 1 nên u(n) không có biến đổi Fourier, câu a ví dụ 3.1 đã chứng minh điều đó. 3.1.2 Biến đổi Fourier ngược ω Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ej ). Để tìm biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [3.1-2] : ∞ X (e jω ) = ∑ x ( n) e n=−∞ − jω .n [3.1-23] ω .m Nhân cả hai vế của [3.1-23] với ej rồi lấy tích phân trong khoảng (-π , π ) , nhận được : π π ∞ ∞ π ∫ −π X (e jω ).e jω .m dω = ∫∑ −π n = −∞ x(n).e − jω .n .e jω .m dω = ∑ n=−∞ ∫ x(n) .e jω .( m − n ) dω −π π  2π khi m = n ∫π e jω ( m − n ) Vì : dω =  −  0 khi m ≠ n π ∫π X (e ).e jωn dω = 2π .x( n) jω Nên : − Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược : π 1 ∫π X (e jω x(n) = ).e jω .n dω [3.1-24] 2π − Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau : IFT [ X (e jω )] = x ( n) [3.1-25] X ( e jω )   → x ( n ) IFT Hay :  [3.1-26] (IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform). Biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-23] và biểu thức biến đổi Fourier ngược [3.1-24] hợp thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n). Ví dụ 3.3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là X (e jω ) = cos(ω ).e − j 2ω . π 1 ∫π cos(ω ).e − j 2ω Giải : Theo [3.1-24] có : x(n) = .e jω .n dω 2π − π π ∫ [e ] 1 (e jω + e − jω ) 1 ∫ .e − j 2ω .e jω .n dω = j ( n −1)ω x ( n) = + e j ( n −3)ω dω 2π −π 2 4π −π 1  1 π 1 π  x ( n) =  e j ( n −1)ω | + e j ( n −3)ω |  4π  j (n − 1) −π j ( n − 3) −π  122
  5. 1  e j ( n −1)π − e − j ( n −1)π e j ( n −3)π − e − j ( n −3)π  x ( n) =  +  4π  j (n − 1) j (n − 3)  j ( n −1)π − j ( n −1)π 1 [e −e ] 1 [e j ( n −3)π − e − j ( n −3)π ] x ( n) = . + . 2(n − 1)π j2 2(n − 3)π j2 1 sin[(n − 1)π ] 1 sin[(n − 3)π ] x(n) = + 2 (n − 1)π 2 (n − 3)π sin[(n − k )π ]  1 khi n = k sin[(n − k )π ] Vì : = ⇒ = δ (n − k ) (n − k )π  0 khi n ≠ k (n − k )π 1 1 Nên : x ( n) = δ (n − 1) + δ (n − 3) 2 2 jω Vì X (e ) = X ( z ) z =e jω , nên để lập bảng biến đổi Fourier chỉ cần sử dụng bảng biến đổi z khi thay ω z = ej , và để tìm biến đổi Fourier ngược, ngoài cách tính trực tiếp tích phân [3.1-24], cũng có thể sử dụng các phương pháp giống như tìm biến đổi Z ngược. 3.1.3 Các tính chất của biến đổi Fourier Do biến đổi Fourier là một trường hợp riêng của biến đổi Z nên, biến đổi Fourier cũng có các tính chất giống như biến đổi Z. Dưới đây trình bầy các tính chất thường được sử dụng khi phân tích phổ tín hiệu số và đặc tính tần số của hệ xử lý số. 3.1.3a Tính chất tuyến tính : Hàm tần số của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm tần số thành phần. Nếu : FT [ xi (n)] = X i (e jω )   Thì : Y (e jω ) = FT  y ( n) = ∑ A .x (n) = ∑ A .X i i i i (e jω ) [3.1-27]  i  i Trong đó các hệ số Ai là các hằng số. Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có :   ∞ ∞ Y (e jω ) = FT  ∑ Ai .xi ( n)  = ∑∑ Ai .xi ( n).e − jω .n = ∑ ∑ x (n).e Ai i − jω .n  i  n = −∞ i i n=−∞ ∞ Vì ∑ x (n).e n=−∞ i − jω .n = FT [ xi ( n)] = X i (e jω ) , nên nhận được [3.1-27]. 1 1 Ví dụ 3.4 : Hãy tìm hàm phổ của tín hiệu số x( n) = δ (n − 1) + δ (n − 3) 2 2 Giải : Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier có : ∞ ∞ 1 1 1 1 X (e j ω ) = ∑ 2 δ (n − 1).e n=−∞ − jω .n + ∑ 2 δ (n − 3).e n =−∞ − jω .n = 2 e − jω + 2 e − j 3ω jω − jω (e +e ) X (e j ω ) = .e − j 2ω = cos(ω ).e − j 2ω 2 Các ví dụ 3.3 và 3.4 là hai bài toán ngược nhau, với kết quả là đồng nhất. ω 3.1.3b Tính chất trễ : Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần số j ) không thay đổi, chỉ có X(e hàm pha tần số ϕ(ω ) bị dịch đi lượng kω . Nếu : FT [ x( n)] = X (e jω ) = X (e jω ) .e jϕ (ω ) Thì : FT [ x (n − k )] = e X (e ) = X (e ) .e− jkω [3.1-28] jω jω j [ϕ (ω ) − kω ] Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu. Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∞ ∞ FT [ x( n − k )] = ∑ x(n − k ).e − jω .n = e − jω .k ∑ x(n − k ).e − jω .( n − k ) = e − jω .k X (e jω ) n =−∞ n=−∞ jω −n Ví dụ 3.5 : Hãy tìm : X (e ) = FT [2 rect N (n)] Giải : Có 2 − n rect ( n) N = 2 − n u ( n) − 2 − n u ( n − N ) Nên : X (e jω ) = FT [ 2 − n u ( n)] − FT [2 − N .2 − ( n − N ) u (n − N )] 123
  6. Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được : 1 1 X ( e jω ) = − jω − − jω .2 − N e − jω . N 1 − 0,5e 1 − 0,5e 1 − (0,5.e − jω ) N Vậy : X (e jω ) = FT [ 2 − n rect N (n)] = [3.1-29] 1 − 0,5e − jω 3.1.3c Tính chất trễ của hàm tần số : Khi nhân dãy x(n) với e jω 0 n , trong đó ω 0 là hằng số, thì hàm tần số ω X(ej ) không bị biến dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng ω 0 , theo chiều ngược với dấu của ω 0. Nếu : FT [ x( n)] = X (e jω ) Thì : [ ] FT e jω 0 n x(n) = X (e j (ω −ω 0 ) ) [3.1-30] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : [ ] ∑ x(n).e ∞ ∞ FT e jω 0 n x(n) = n=−∞ jω 0 n .e − jω .n = ∑ x(n).e n=−∞ − j (ω −ω 0 ).n = X (e j (ω −ω 0 ) ) jω Ví dụ 3.6 : Tín hiệu số x(n) có phổ tần số là X (e ) = FT [ x(n)] , hãy tìm phổ tần số của tín hiệu điều biên y ( n) = x ( n). cos(ω 0 n) e jω 0 n + e − jω 0 n Giải : Có : cos(ω 0 n) = 2 1  1  Do đó : FT [ x(n). cos(ω 0 n)] = FT  x(n).e jω 0 n  + FT  x(n).e − jω 0 n  2  2  Theo tính chất dịch của hàm tần số nhận được : 1 j (ω −ω 0 ) 1 j (ω +ω 0 ) FT [ x( n). cos(ω 0 n)] = X (e )+ X (e ) [3.1-31] 2 2 Biểu thức [3.1-31] chính là nội dung của định lý điều biên. 3.1.3d Tính chất biến đảo : Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp phức. Nếu : FT [ x( n)] = X (e jω ) = X (e jω ) .e jϕ (ω ) Thì : FT [ x(− n)] = X (e ) = X (e ) = X (e ) .e − jω [3.1-32] * jω jω − jϕ (ω ) Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∞ ∞ FT [ x (− n)] = ∑ x(−n).e − jω .n = ∑ x(−n).e − j ( −ω ).( − n ) = X ( e − jω ) n =−∞ n=−∞ Vì x(-n) là dãy thực nên X ( e − jω ) = X * ( e jω ) , do đó nhận được [3.1-32]. Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu. Ví dụ 3.7 : Hãy tìm X (e jω ) = FT [2 n u (− n)] Giải : Theo biểu thức [3.1-6] và tính chất biến đảo có : 1 FT [ 2 n u ( − n)] = 1 − 0,5.e jω 3.1.3e Hàm tần số của tích chập hai dãy : Hàm tần số của tích chập hai dãy bằng tích của hai hàm tần số thành phần. Nếu : FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) và FT [ x 2 ( n)] = X 2 (e jω ) Thì : Y (e jω ) = FT [ x1 ( n) * x 2 ( n) ] = X 1 (e jω ). X 2 (e jω ) [3.1-33] Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∞  ∞  Y (e jω ) = FT [ x1 ( n) * x 2 ( n)] = ∑  ∑ x (k ).x 1 2 (n − k ) .e − jω .n  n =−∞ k =−∞  ∞ ∞ Y ( e jω ) = ∑ ∑ x (k ).x n=− k =− ∞ ∞ 1 2 (n − k )e − jω .n .e jω .k .e − jω .k 124
  7. ∞ ∞ jω Hay : Y (e ) = ∑ x (k ).e k =−∞ 1 − jω .k ∑x n =−∞ 2 (n − k )e − jω .( n − k ) = X 1 (e jω ). X 2 (e jω ) Ví dụ 3.8 : Hãy tìm X (e jω ) = FT [2 − n u (n) * δ (n − 1)] Giải : Sử dụng các biểu thức [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-33] , tìm được : 1 FT [ 2 − n u (n)] = và FT [δ (n − 1)] = e − jω 1 − 0,5e − jω jω 1 e − jω Vậy : X (e ) = .e − jω = 1 − 0,5e − jω 1 − 0,5e − jω 3.1.3f Hàm tần số của tích hai dãy : Hàm tần số của tích hai dãy bằng tích chập của hai hàm tần số thành phần chia cho 2π . Nếu : FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) và FT [ x 2 ( n)] = X 2 (e jω ) π 1 Thì : FT [ x1 ( n).x 2 ( n)] = ∫π X 1 (e jω ′ ). X 2 (e j (ω −ω ′) )dω ′ [3.1-34] 2π − 1 Hay : FT [ x1 ( n).x 2 ( n)] = X 1 (e jω ) * X 2 (e jω ) [3.1-35] 2π Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∞ FT [ x1 (n).x 2 (n)] = ∑ [ x (n).x 1 2 ( n) ].e − jω .n n=−∞ Khi thay x1(n) bằng biểu thức biến đổi Fourier ngược của nó : π 1 ∫π X jω ′ x1 (n) = 1 (e ).e jω ′.n dω ′ 2π − ∞  1 π  Thì : FT [ x1 ( n).x 2 (n)] = ∑  ∫ X 1 (e jω ' ).e jω '.n dω '.x 2 (n).e − jω .n [3.1-36] n=−∞  2π  −π   π ∑ [x ]. dω ' ∞ 1 FT [ x1 ( n).x 2 (n)] = ∫π X 1 (e jω ' ). 2 ( n).e − j (ω −ω ').n 2π − n =−∞ π 1 1 FT [ x1 (n).x 2 ( n)] = ∫π X 1 (e jω ′ ). X 2 (e j (ω −ω ′) ).dω ′ = = X 1 (e jω ) * X 2 (e jω ) 2π − 2π 3.1.3g Công thức Parseval tính năng lượng của tín hiệu theo hàm phổ. ∞ π 1 ∑ 2 ∫π X (e 2 jω Ex = x( n) = ) dω [3.1-37] n = −∞ 2π − Chứng minh : Viết lại biểu thức [3.1-36] dưới dạng : ∞  1 π ∞  ∑ x1 ( n).x 2 (n).e − jω .n = n =−   x1 (n). ∞  2π −π ∑ X 2 (e jω ' ).e jω '.n dω '.e − jω .n  ∫ n=−∞  − jω . n Chia cả hai vế của biểu thức trên cho e , nhận được : π ∫π ∑ [ x (n).e ].X ∞ ∞ 1 ∑ x (n).x n=−∞ 1 2 (n) = 2π ω 1 j '.n 2 (e jω ' ). dω ' − n=−∞ ∞ π 1 Hay : ∑ x (n).x n=−∞ 1 2 (n) = 2π ∫π X 1 (e − jω ' ). X 2 (e jω ' ). dω ' − Khi cho x1(n) = x2(n) = x(n) thì theo [1.3-5], vế trái của biểu thức trên chính là năng lượng E x của tín hiệu số x(n) : ∞ π π 1 1 ∑ x( n) 2 ∫ ∫ 2 − jω jω Ex = = X (e ). X (e ).dω = X ( e jω ) d ω n=−∞ 2π −π 2π −π ∞ π 1 ∑ x( n) ∫S 2 Hay : Ex = = x( ω ).dω [3.1-38] n=−∞ 2π −π 2 Trong đó : S x (ω ) = X (e jω ) [3.1-39] 125
  8. S x (ω ) được gọi là hàm mật độ phổ năng lượng của tín hiệu số x(n), nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục tung. Về bản chất vật lý, hàm mật độ phổ năng lượng S x (ω ) chính là hàm phân bố năng lượng của tín hiệu trên trục tần số. Ví dụ 3.9 : Hãy xác định năng lượng của tín hiệu số x(n) = 2 − n u (n) theo cả hàm thời gian và hàm phổ, so sánh hai kết quả nhận được. Giải : Theo hàm thời gian có : ∞ ∞ ∞ 1 4 ∑ ∑ ∑4 2 Ex = 2 − n u ( n) = (2 − n ) 2 = −n = −1 = n=−∞ n =0 n=0 (1 − 4 ) 3 Để xác định năng lượng theo hàm phổ, trước hết tìm : ∞ 1 1 X ( e jω ) = n=−∞ ∑2 −n u (n).e − jωn = 1 − 0,5e − jω = 1 − 0,5 cos ω + j.0,5 sin ω 1 1 X ( e jω ) = = Vậy : 1,25 − cos ω (1 − 0,5 cos ω )2 + (0,5 sin ω )2 Tính năng lượng của x(n) bằng công thức Parseval [3.1-38] : π  ω  π 1  (1,25 + 1).tg ( 2 )  | 1 1 2 Ex = 2π −π 1,25 − cos ω .dω = 2π . ∫ 2 arctg  2  −π 1,25 − 1  1,25 − 1    1   π − π  1 π 4 Ex = arctg 3. tg − tg  = arctg (0) = = 0,75π   2 2   0,75π  0,75π 3 Kết quả tính năng lượng theo hai cách là giống nhau. [ ở đây, nếu lấy artg (0) = 0 thì E x = 0 , nên phải lấy artg (0) = π ]. 3.1.3h Đạo hàm của hàm tần số Nếu : FT [ x( n)] = X (e jω ) dX (e jω ) Thì : FT [ n.x( n)] = j [3.1-40] dω Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∞ dX ( e jω ) ∞ X (e jω ) = FT [ x(n)] = ∑ x(n).e − jω .n ⇒ = ∑ − j.n.x(n).e − jω .n n=−∞ dω n=−∞ Nhân cả hai vế của biểu thức trên với j , nhận được biểu thức [3.1-40]. Ví dụ 3.10 : Hãy tìm biến đổi Fourier của dãy x(n) = 2 − n n.u (n) 1 Giải : a. Có : FT [ 2 − n u ( n)] = 1 − 0,5e − jω d  1  0,5ω .e − jω Theo [3.1-40] có : FT [ 2 − n n.u (n)] = j  = dω  1 − 0,5e − jω  1 − 0,5e − jω  2       3.1.3i Phổ tần số của hàm tương quan rxy(m) Nếu : FT [ x(n)] = X (e jω ) và FT [ y (n)] = Y (e jω ) Thì : [ R xy (e jω ) = FT rxy ( m) = X (e jω ).Y (e − jω )] [3.1-41] Chứng minh : Hàm tương quan rxy (m) được xác định theo [1.8-1] ở chương một : ∞ rxy ( m) = ∑ x(n). y(n − m) n=−∞ Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [3.1-2] có : ∞ ∞  ∞  [ FT rxy (m) = ] ∑r xy ( m).e − jω .m = ∑ ∑  x(n). y ( n − m) .e − jω .m m= −∞ m=−∞  n = −∞  ] ∑  ∑ x(n). y(n − m).e ∞ ∞ [ FT rxy ( m) =   − jω .m .e − jω .n .e jω .n m= −∞ n=− ∞ 126
  9. ∞ ∞ [ FT rxy ( m) =] ∑ x(n).e − jω . n ∑ y(n − m).e − j ( −ω ).( n − m ) = X (e jω ).Y (e − jω ) n=−∞ m= −∞ Ví dụ 3.11 : Cho các tín hiệu số x(n) = 2 − n u (n) và y (n) = δ (n − 1) , hãy tìm hàm phổ R xy (e ) = FT [ rxy (m)] . jω Giải : Sử dụng [3.1-6] , [3.1-8] với k = 1 , và [3.1-41], tìm được : 1 e jω R xy (e jω ) = X (e jω ).Y (e − jω ) = .e jω = 1 − 0,5e − jω 1 − 0,5e − jω 127

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản