1
Chương I
PHƯƠNG PHÁP
ĐẾM
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.1. Định nghĩa:
Một tập hợp làmột bộ sưu tập các vật màta
còn gọi làcác phần tửcủa tập hợp đó.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009
2
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.2. Ký hiệu: Ta dùng
–các chữ in: A, B, C, ..., X, Y, Z, ... để chỉ
các tập hợp.
–các chữnhỏ: a, b, c, ..., x, y, z, ... để chỉcác
phần tử.
–ký hiệu x ∈ A để chỉx làmột phần tửcủa
tập hợp A. Ký hiệu x ∉ A để chỉx không
phải làmột phần tửcủa tập hợp A.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 3
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.3. Biểu diễn một tập hợp:
Để biểu diễn một tập hợp ta thường dùng một trong
hai phương pháp sau:
1)Liệt kê: Các phần tửcủa tập hợp sẽ được liệt kê đúng
một lần giữa hai dấu { }; giữa hai phần tửkhác nhau sẽ
códấu ngăn cách (thường làdấu phẩy, hay chấm phẩy ;)
nhưng thứtựgiữa các phần tửnày làkhông quan trọng.
Vídụ: A = {1, 2, 3, 4},
N = {0, 1, 2, 3, ...},
Z = {0, ±1, ±2, ...}, ...
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.3. Biểu diễn một tập hợp:
2) Nêu tính chất đặc trưng: Tập hợp sẽ được mô tả như
làmột bộ sưu tập gồm tất cảcác phần tửx thỏa mãn
tính chất đặc trưng p(x) nào đó dưới dạng:
A = {x |p(x)} hay A = {x ∈B |p(x)}.
Vídụ:
1) Tập hợp A = {x ∈R |x2–4x + 3 = 0} chính làtập
hợp A = {1, 3}.
2) Tập hợp các sốhữu tỉ được mô tả như sau:
Q = { Z, n ≠0}
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 5
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.4. Tập hợp rỗng:
Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi Φ, làtập hợp
không chứa phần tửnào.
Vídụ:
Các tập hợp A = {x ∈R |x2–4x + 5 = 0}
vàB = {x ∈Z |2x –1 = 0}
đều làcác tập hợp rỗng.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 6
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.5. Tập hợp con vàtập hợp bằng nhau:
Cho hai tập hợp A vàB. Ta nói:
1) A làtập hợp con của B, ký hiệu A ⊂B hay B ⊃A nếu
mọi phần tửcủa A đều làcác phần tửcủa B. Như vậy,
theo định nghĩa, ta có:
A ⊂B ⇔∀x ∈A, x ∈B.
Ký hiệu A ⊄B hay B A để chỉA không phải làtập con
của B.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 7
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.5. Tập hợp con vàtập hợp bằng nhau:
2) A bằng B, ký hiệu A = B, nếu A làtập hợp con của B và ngược
lại, i.e. nếu mọi phần tửcủa A đều làcác phần tửcủa B và
ngược lại. Như vậy, theo định nghĩa, ta có:
A = B ⇔(A ⊂B) và(B ⊂A).
⇔(∀x ∈A, x ∈B) và(∀x ∈B, x ∈A).
Ký hiệu A ≠Bđể chỉA không bằng B.
Vídụ: Xét các tập hợp
A = {x ∈R |x2–4x + 3 = 0}, B = {x ∈R |x(x –1)(x –3) = 0},
C = {0; 1; 2}, D = {0; 1; 2; 3}.
Ta thấy A ⊂B, B ≠C, C ⊂ D, nhưng B ⊄A, D ⊄C.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
KHÁI NIỆM VỀTẬP HỢP
1.6. Tập hợp các tập hợp con:
Cho tập hợp X. Tập hợp tất cảcác tập hợp con của X được ký
hiệu là P(X). Như vậy:P(X) = {A |A ⊂B}
Kết quảquen thuộc sau đây cóthể được chứng minh bằng
quy nạp theo n: “Nếu tập hợp X có đúng n phần tửthìtập hợp
tất cảcác tập hợp con P(X) của X sẽcó đúng 2nphần tử”.
Vídụ: Cho X = {a, b, c}. Ta có:
P(X) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}}.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 9
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Cho A vàB làhai tập hợp con của tập hợp X.
1.6 Phép giao:
Phần giao của A vàB, ký hiệu bởi A ∩B, làtập hợp tất
cảcác phần tửcủa X vừa thuộc A vừa thuộc B. Như vậy,
theo định nghĩa, ta có:
A ∩B = {x ∈X |x ∈A vàx ∈B}.
Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈A ∩B ⇔x ∈A vàx ∈B.
Suy ra ∀x ∈X, x ∉A ∩B ⇔x ∉A hay x ∉B.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 10
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1.7. Phép hợp:
Phần hợp của A vàB, ký hiệu bởi A ∪B, làtập hợp tất
cảcác phần tử(của X) thuộc A hay thuộc B. Như vậy,
theo định nghĩa, ta có:
A ∪B = {x ∈X |x ∈A hay x ∈B}.
Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈A ∪B ⇔x ∈A hay x ∈B.
Suy ra ∀x ∈X, x ∉A ∪B ⇔x ∉A vàx ∉B.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 11
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1.8. Phép hiệu:
Phần hiệu của A vàB, ký hiệu bởi A \B, làtập hợp tất cả
các phần tử(của X) thuộc A nhưng không thuộc B. Như
vậy, theo định nghĩa, ta có:
A \B = {x ∈X |x ∈A vàx ∉B}.
Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈A \B ⇔x ∈A vàx ∉B.
Suy ra ∀x ∈X, x ∉A \B ⇔x ∉A hay x ∈B.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1.9. Phép bù:
Với A làmột tập con của X, phần bùcủa A trong X, ký
hiệu bởi hay C
X
(A), làtập hợp X\A. Như vậy, theo
định nghĩa, ta có:
X\A = {x ∈X |x ∉A}.
Nói cách khác ∀x ∈X, x ∈ ⇔ x ∉A.
Suy ra ∀x ∈X, x ∉ ⇔ x ∈A.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 13
A
A
A
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
Vídụ:
Xét các tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6};
A = {0; 1; 2; 3};
B = {1; 2; 4; 5}.
Ta có:
A ∩B = {1, 2}; A ∪B = {0; 1; 2; 3; 4; 5};
A \B = {0; 3};
B \A = {4; 5}; CX(A) = {4; 5; 6}; CX(B) = {0; 3; 6}.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 14
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1.10. Định lý (tính chất của các phép toán):
Cho A, B, C làcác tập hợp con của tập hợp X. Khi đó
ta có:
1) Tính lũy đẳng:
A ∩A = A vàA ∪A = A
2) Tính giao hoán:
A ∩B = B ∩A vàA ∪B = B ∪A.
3) Tính kết hợp:
(A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C)
và(A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C)
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 15
CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP
1.10. Định lý (tính chất của các phép toán):
4) Tính phân phối:
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
vàA ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
5) Công thức De Morgan:
Suy ra:
A \(B ∩C) = (A \B) ∪(A \C)
vàA \(B ∪C) = (A \B) ∩(A \C)
6) Các công thức
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 16
BABABABA ∩=∪∪=∩ &
BABAAA ∩== \&
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5
ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ
1.11. Định nghĩa
Cho hai tập hợp X, Y ≠∅. Một ánh xạf từX vào Y làquy
tắc cho ứng với mỗi phần tửx của X một phần tửduy nhất y
của Y màta ký hiệu làf(x) vàgọi là ảnh của x qua ánh xạf.
Ta viết:
f : X →Y
x f(x)
1.12. Định nghĩa
Hai ánh xạf vàg từX vào Y được gọi làbằng nhau nếu:
∀x ∈X, f(x) = g(x)
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 17
a
ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ
1.13. Ảnh và ảnh ngược:
Cho ánh xạf từX vào Y vàA ⊂X, B ⊂ Y. Ta định nghĩa:
1) Ảnh của A qua f làtập hợp:
f(A) = {y ∈Y |∃x ∈A, y = f(x)}
Ta cũng viết:
f(A) = {f(x) |x ∈ A}
Như vậy theo định nghĩa, ta có:
∀y ∈Y, y ∈f(A) ⇔∃x ∈A, y = f(x);
∀y ∈Y, y ∉f(A) ⇔∀x ∈A, y ≠f(x).
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 18
ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ
1.13. Ảnh và ảnh ngược:
2) Ảnh ngược hay tạo ảnh của B bởi f làtập hợp:
f–1(B) = {x ∈X |f(x) ∈B}
Như vậy theo định nghĩa, ta có:
∀x ∈X, x ∈f–1(B) ⇔f(x) ∈B;
∀x ∈X, x ∉f–1(B) ⇔f(x) ∉B.
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 19
ĐỊNH NGHĨA VÀKÝ HIỆU ÁNH XẠ
1.13. Ảnh và ảnh ngược:
Chúý
:
1) Ta thường dùng ký hiệu Imf để chỉtập hợp f(X) vàcòn gọi
là ảnh của f.
2) Với y ∈B ta dùng ký hiệu f–1(y) thay cho f
–1({y}). Đó
chính làtập hợp các phần tửx ∈X thỏa f(x) = y (ta thường
gọi đây làtập hợp tất cảcác nghiệm x trong X của phương
trình f(x) = y). Lưu ý rằng tập hợp f–1(y) cóthểrỗng hay khác
rỗng (gồm một hay nhiều phần tử).
1. Nhắc lại vềtập hợp vàánh xạ
23/06/2009 20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com