BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN
1) dx
ln x C
x.
2)
2 2
dx dx 1 1 1 1 dx dx
. .dx .
x a x a x a 2a x a x a 2a x a x a
d x a d x a
1 1 1 x a
. . ln x a ln x a .ln C
2a x a x a 2a 2a x a
3)
2 2
2 2
2 2 2 2
d x a
x.dx 1 1
. .ln x a C
x a 2 x a 2
4)
d ax b
dx 1 1
. ln ax b C
ax b a ax b a
5)
n 1
n
n n
d ax b ax b
dx 1 1
. ax b .d ax b . C
a a
ax b ax b n 1
1. Tích phân dạng
P x
I .dx
Q x
- Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho
CHUYÊN ĐỀ 3.
TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ
Q(x).
- Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam
thức bậc hai.
- Trong nội dung chương trình phổ thơng ta chỉ tiếp xc với cc dạng sau của Q(x).
● Dạng 1.
1 2 n
Q x x a x a ... x a
- Ta phân tích :
1 2 n
P x P x
Q x x a x a ... x a
1 2 n
1 2 n
A A A
...
x a x a x a
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n
A , A ,..., A
.
● Dạng 2.
m
1 2 n
Q x x a x a ... x a x b
- Ta phân tích :
m
1 2 n
P x P x
Q x
x a x a ... x a x b
1 2 n 1 2 m
2 m
1 2 n
A A A B B B
... ...
x a x a x a x b
x b x b
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 2 n 1 2 m
A , A ,..., A , B , B ,..., B .
● Dạng 3.
2 2
1 2 n
Q x x a x a ... x a x px q , p 4q 0
- Ta phân tích :
2
1 2 n
P x P x
Q x
x a x a ... x a x px q
1 2 n
2
1 2 n
A A A Bx C
...
x a x a x a
x px q
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm 1 2 n
A , A ,..., A , B, C.
● Dạng 4.
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
Q x x p x q x p x q , p 4q 0; p 4q 0
- Ta phân tích :
1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
P x P x B x C B x C
Q x
x p x q x p x q x p x q x p x q
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
1 1 2 2
B , C , B , C .
2. Tích phân dạng
2 ,
dx
I a 0
ax bx c
Trong đó
2
ax bx c 0, ;
Xt 2
b 4ac
● Nếu
0
thì
2
2
b
ax bx c a x
2a
Khi đó :
2 2
dx 1 dx
I .
a
b b
a x x
2a 2a
===> Dạng cơ bản
n
dx
ax b
.
● Nếu
0
thì
2
1 2
ax bx c a x x x x
, với
1 2
x , x
là 2 nghiệm của phương
trình.
Khi đó :
1 2
1 dx
I .
a x x x x
===> Dạng cơ bản
2 2
dx
x a
.
● Nếu
0
thì
2
2
2
2
bΔ
ax bx c a x 2a 4a
Khi đó : 2
2
2
2
dx 1 dx
I .
ax bx c a bΔ
x2a 4a
=== > Dạng
2 2
dx
x a
.
BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân : 1
2
0
dx
x 2x 2
ĐS :
π
4
Bi 2. Tính tích phân : 1
2
0
dx
x 2x 2
ĐS :
π
4
Bi 3. Tính tích phân : 1
2
0
dx
x x 1
ĐS :
π 3
.
9
Bi 4. Tính tích phân : 0
2
1
dx
x 2x 4
ĐS :
π 3
18
.
3. Tích phân dạng
2 ,
mx n
I .dx a 0
ax bx c
Trong đó
2
mx n
x
ax bx c
f
liên tục trên đoạn
;
- Ta phân tích :
2 2 2
A. 2ax b
mx n B
ax bx c ax bx c ax bx c
- Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A, B.
- Khi đó 2 2 2
mx n 2ax b 1
I .dx A. .dx B. .dx
ax bx c ax bx c ax bx c
+ Tích phân
2
2
2 2
d ax bx c
2ax b
.dx ln ax bx c
ax bx c ax bx c
+ Tích phân 2
1
.dx
ax bx c
đ tính ở trn.
BÀI TẬP
Bi 1. Tính tích phân :
0
2
2
2x 2
dx
x 4x 8
ĐS :
π
ln 2 .
4
Bi 2. Tính tích phân : 1
2
0
4x 11
.dx
x 5x 6
ĐS :
9
ln .
2