A.MỘTSỐBÍQUYẾTTÌMNGUYÊNHÀMVÀTÍCHPHÂN
Rấtnhiềubạnkhákhókhănkhitìmnguyênhàmvàtíchphânmànguyênnhânchínhlà
thườngkhôngbiếtsửdụngphépbiếnđổiviphân.Cácbạnhãyđọcbàiviếtnàyvàtựrènluyện
theohướngdẫn,chắcchắncácbạnsẽthấy:tìmnguyênhàmvàtíchphânthậtlàkhôngđáng
ngại.
Địnhnghĩa:Viphâncủahàmsốy=f(x)làbiểuthứcf’(x).d(x).Nếukýhiệudyhayd[f(x)]làvi
phâncủayhayf(x)thìdy=f’(x).dxhayd[f(x)]=f’(x).dx.
Chúý:Nhiềubạnhiểusailà:đểtínhviphânf(x),tatínhf’(x)vàviếtthêmdx,sẽcóf’(x)dx.
Thựcrakhôngphảilà“viếtthêm”màlà“nhânvới”,nghĩalàf’(x)nhânvớid(x),viếtf’(x).dx.
Cácviphâncơbản:
1)
( )
( )
1
d u 1 .u .du
a+ a
= a +2)d(sinu)=cosu.du
3)d(cosu)= sinudu 4)d(tgu)= 2
du
cos u
5)d(cotgu)= 2
du
sin u
-6)d(e
u
)=e
u .du
7)d(lnu )= du
u ; d(lnu)= du
u . 8)
( )
d u v du dv a + b = a + b
9)d(u+c)=duvớiclàhằngsố.
Cácphépbiếnđổiviphâncơbản:
1)
1
u
u .du d 1
a+
a æ ö
= ç ÷
a +
è ø2)cosu.du=d(sinu)
3)sinu.du=d(cosu) 4) 2
du d(tgu)
cos u =
5) 2
du d( cotgu)
sin u = -6)e
u.du=d(e
u
)
7) du d(ln | u |)
u =
www.laisac.page.tl
ChuyênĐề:
N
N
NG
G
GU
U
UY
Y
YÊ
Ê
ÊN
N
NH
H
HÀ
À
ÀM
M
MV
V
VÀ
À
ÀT
T
TÍ
Í
ÍC
C
CH
H
HP
P
PH
H
HÂ
Â
ÂN
N
N
TS.LêThốngNhất
Cácthídụluyệnphépbiếnđổiviphân.
Thídụ1:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào?
1. x dx 2.(x+2)
5.dx 3.cosx.sin
4
x.dx
Giải:
1.
1 3 3
1
1 2 2 2
2 x 2x 2x
x dx x .dx d d d C
1 3 3
1
2
+
æ ö æ ö æ ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
= = = = +
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷
+ è ø è ø
è ø
2.(x+2)
5.dx=(x+2)
5.d(x+2)=
( ) ( )
6 6
x 2 x 2
d d C
6 6
é ù é ù
+ +
= +
ê ú ê ú
ê ú ê ú
ë û ë û
3.cosx.sin
4
x.dx=sin
4
x.d(sinx)=
5 5
sin x sin x
d d C
5 5
é ù é ù
= +
ê ú ê ú
ë û ë û
Thídụ2:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào?
1. x 1 .dx
x
+
æ ö
ç ÷
è ø2.(2x+1)(x
2 +x+1).dx
3. cosx sinx .dx
sinx+cosx
æ ö
ç ÷
è ø4. 2
xdx
x 1 +
Giải:
1. x 1 .dx
x
+
æ ö
ç ÷
è ø=
1 1
2 2
1
x .dx x x .dx
x
-
æ ö æ ö
+ = +
ç ÷ ç ÷ è ø è ø
=
3
1 1 1
2
2 2 2
2x
x dx x .dx d d 2x
3
- æ ö æ ö
ç ÷
+ = + ç ÷
ç ÷ è ø
è ø
=
3
1
2
2
2x
d 2x C
3
æ ö
ç ÷
+ +
ç ÷
è ø
2.(2x+1)(x
2 +x+1).dx =(x
2 +x+1).d(x
2 +x+1)
=
( )
2
2
x x 1
d 2
é ù
+ +
ê ú
ê ú
ë û
=
( )
2
2
x x 1
d C
2
é ù
+ + + ê ú
ê ú
ë û
Lưuý:d(x
2 +x+1)=(2x+1).dx
3.
( )
2
2 2
2 2
d x 1
x.dx 1 1 1
d ln(x 1) d ln(x 1) C
x 1 2 x 1 2 2
+ é ù
= = + = + +
é ù
ë û ê ú
+ + ë û
Lưu ý:d(x
2 +1)=2x.dxhayx.dx= 1
2d(x
2 +1)
Thídụ3:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào?
1. 3
x.dx
(x 1) +2. 2
dx
x 3x 2 - +3. dx
x.ln x
Giải:
1. 3
x.dx
(x 1) +=
( ) ( )
( )
3
x 1 1 d x 1
x 1
+ - +
+
=(x+1)
2 .d(x+1)– (x+1)
3 .d(x+1)
=
( ) ( )
1 2
x 1 x 1
d d
1 2
- -
é ù é ù
+ +
-
ê ú ê ú
- -
ê ú ê ú
ë û ë û
=
( )
2
1 1
d C
x 1
2 x 1
é ù
- +
ê ú
+
+
ê ú
ë û
2. 2
dx
x 3x 2 - += 1 1 dx
x 2 x 1
æ ö
-
ç ÷
- -
è ø
= dx dx
x 2 x 1
-
- -
= 2(x 2) 2(x 1)
x 2 x 1
- -
-
- -
=
[ ]
d ln | x 2 | ln | x 1| - - -
= x 2
d ln C
x 1
- é ù
+
ê ú
-
ë û
3.
( )
[ ]
d ln x
dx d ln(ln x) C
x.ln x ln x
= = +
Thídụ4:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào?
1.cosx.cos3x.dx 2.sin
5
x.dx
Giải:
1.cosx.cos3x.dx=
( )
1 cos4x+cos2x .dx
2
=
[ ]
1 cos4x.dx +cos2x.dx
2
= 1 1 1
cos4x.d(4x)+ cos2x.d(2x)
2 4 2
é ù
ê ú
ë û
= 1 1 1
(sin4x)+ d(sin 2x)
2 4 2
é ù
ê ú
ë û
= 1 1
d sin 4x sin 2x C
8 4
é ù
+ +
ê ú
ë û
Lưu ý:Cáccôngthứcbiếnđổitíchthànhtổngkhigặptíchcáchàmsốlượnggiác.
2.sin
5
x.dx=sin
4
x.sinx.dx= sin
4
x.d(cosx)
=(1–cos
2
x)
2.d(cosx)
=[1+2cos
2
x–cos
4
x].d(cosx)
=d(cosx)+2cos
2
x.d(cosx)– cos
4
x.d(cosx)
= 3 5
2 1
d cosx + cos x cos x +C
3 5
é ù
-
ê ú
ë û
Thídụdướiđâysẽsửdụngnhiềusaunày:
Thídụ5: Tính.
1. 2
d ln x k x
é ù
+ +
ë û2. x a
d lnx b
- é ù
ê ú
-
ë û
Giải:
1. 2
d ln x k x
é ù
+ +
ë û=
( )
2
2
d x k x
x k x
+ +
+ +
= 2 2
1 x
. 1 .dx
x k x x k
é ù
+
ê ú
+ + +
ë û
= 2
dx
x k +
Lưu ý:2
dx
x k += 2
d ln | x k x |
é ù
+ +
ë û
2. 2
x a
d
x a x b a b (a b).dx
x b
d ln . .dx
x a
x b x a (x b) (x a)(x b)
x b
-
æ ö
ç ÷
- - - -
é ù -
è ø
= = =
ê ú -
- - - - -
ë û -
Lưu ý:Nếu a b ¹thì dx 1 x a
d ln
(x a)(x b) a b x b
- é ù
= ê ú
- - - -
ë û
Thídụ6:Biểuthứcsauđâylàviphâncủahàmsốnào?
1. 2
dx
x 2x 3 - -2. 2
dx
x 2x 3 + +
Giải.
1. 2
dx
x 2x 3 - -= dx
(x 1)(x 3) + -
= 1 1 1 .dx
4 x 3 x 1
æ ö
-
ç ÷
- +
è ø
=
( )
d x 3
1 2(x 1)
4 x 3 x 1
-
é ù
+
-
ê ú
- +
ë û
= 1 x 3
d ln
4 x 1
- é ù
ê ú
+
ë û
= 1 x 3
d ln C
4 x 1
- é ù
+
ê ú
+
ë û
2. 2
dx
x 2x 3 + +=
( )
2
dx
x 1 2 + +
=
( )
2
d x 2
(x 1) 2
+
+ +
=
( )
2
d ln x 1 2 (x 1) C
é ù
+ + + + +
ê ú
ë û
Bàitậptựluyện.
Biểuthứcsauđâylàviphâncủahàmsốnào?
1.(2x+1)(x
2+x+5)
7 dx 2.sinx.cos
7
x.dx 3. ln x.dx
x
4.sin
3
x.cos
2
x.dx 5.tgx.dx 6.tg
2
x.dx
7.tg
3
x.dx 8.sin
2
x.dx 9.cos
3
x.dx
10.
2
x x 1 .dx
x
- +
æ ö
ç ÷
è ø11. dx
x. x 1 +12.
( )
2
2
3
x .dx
x 1 +