Chuyên đề III:
Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
1. Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ.
Lý huyết
- Ghi nhớ các phép toán với lũy thừa, mũ. (Với
0 1
a
)
.
x y x y
a a a
;
.
x x y y
a a a
x
x y
y
a
a
a
; 1
x
x
a
a
.
Ghi nhớ công thức khử cơ số:
f x g x
a a f x g x
1 0
f x
a f x
;
log
f x
a
a c f x c
Dạng 1: Phương trình mũ bậc hai 2
. . 0
x x
m a n a p
(1)
Cách giải:
Đặt
, 0
x
t a t
, khi đó
2
2 2
x x
t a a
.
Ta có p/trình
2
. . 0, 0
m t n t p t
(2)
Giải p/trình (2), tìm nghiệm
0
t
Giải p/trình
log
x
a
a t x t
Kết luận, nghiệm của (1)
Ví dụ: Giải các phương trình sau
1) 2 1
3 4.3 1 0
x x
2)
2. 3 2 2 2 1 1 0
x x
Lời giải :
1) 2 1
3 4.3 1 0
x x
2
3.3 4.3 1 0
x x
Đặt
3 , 0
x
t t
, khi đó
2 2
3
x
t
.
Ta có p/trình 2
3 4 1 0
t t
,
0
t
Giải p/trình này được
1
1;
3
t t
(thỏa mãn đ/k
0
t
)
Với
1
t
, ta có 0
3 1 3 3 0
x x
x
- Với
1
3
t
, ta có 1
1
3 3 3 1
3
x x x
Vậy p/trình đã cho có hai nghiệm
0; 1
x x
Chú ý:
2 1 2 1 2
3 3 .3 3.3
x x x
2) Để ý
2
2 1 2 2 2 1 3 2 2
Đặt
2 1
x
t
,
0
t
,
Khi đó
2
2
2
3 2 2 2 1 2 1
x
x x
t
P/trình đã cho trở thành 2
2 1 0
t t
,
0
t
Giải p/trình này ta được
1
t
(nhận); 1
0
2
t
(loại)
Với
1
t
, ta có
2 1 1 0
xx
Vậy p/trình đã cho có nghiệm duy nhất
0
x
.
Dạng 2:
. . 0
x x
m a n a p
hay
. 0
xx
n
m a p
a
Cách giải:
Đặt
, 0
x
t a t
, khi đó
1 1
xx
a
t
a
Thay vào p/trình đã cho, giải tìm nghiệm
0
t
. Rồi tìm x.
Kết luận.
Ví dụ : Giải các phương trình sau
1) 1
6 6 5 0
x x
2) 11
1
5 26 0
5
xx
Lời giải:
1) Ta có 1
6 6 5 0
x x
6 6.6 5 0
x x
Đặt
6
x
t
,
0
t
ta có
1 1
66
xx
t
Ta có p/trình 1
6. 5 0
t
t
,
0
t
2
5 6 0
t t
.
Giải p/trình này được
6
t
(thỏa);
1 0
t
(không thỏa)
Vậy ta có
6 6 1
x
x
.
Kết luận: P/trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
x
.
2) Để ý : 1 1
5 5 .5 5.5
x x x
; 1 1
1 1 5
5 5 .5 5
x x x
Ta có 11
1
5 26 0
5
xx
5
5.5 26 0
5
xx
Đặt
5 , 0
x
t t
ta có p/trình
5
5. 26 0, 0
t t
t
2
5 26 5 0
t t
Giải p/trình này được
1
5;
5
t t
(thỏa mãn đ/k
0
t
)
Với
5
t
, ta có
5 5 1
x
x
- Với
1
5
t
, ta có 1
1
5 5 5 1
5
x x x
Tóm lại, p/trình đã cho có hai nghiệm
1; 1
x x
Dạng 3: Bất phương trình mũ
f x g x
a a,
0 1
a
Cách giải:
Nếu
0 1
a
ta có
f x g x
(đổi chiều BPT)
Nếu
1
a
ta có
f x g x
.
Với BPT
f x
a c
- Nếu
0 1
a
, ta có
log
a
f x c
(Đổi chiều BPT)
- Nếu
1
a
, ta có
log
a
f x c
Ví dụ : Giải các bất phương trình
a) 23
1
2
4
x x b)
2
2 3
1
9
3
x x
Giải:
a) Ta có 23
1
2
4
x x2
3 2
2 2
x x
2
3 2
x x
2
3 2 0
x x
1 2
x
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm
1;2
T
Vì cơ số
2 1
a
nên 2
3 2
2 2
x x
2
3 2
x x
(hai BPT có cùng chiều). Để
giải BPT 2
3 2 0
x x
, ta tìm nghiệm tam thức 2
3 2
x x
và xét dấu rồi chọn
miền nghiệm.
b)
2
2 3
1 1
3 9
x x
2
2 3 2
1 1
3 3
x x
2
2 3 2
x x
(đổi chiều BPT do cơ số 1
1
3
a
)
2
2 3 2 0
x x
1
2
2
x
Vậy BPT đã cho có tập nghiệm
1
2;
2
T
Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình
2 2
2 9.2 2 0
x x
Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):
Giải phương trình 1
7 2.7 9 0
x x
Câu 3 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):
Giải phương trình 2 1
3 9.3 6 0
x x
Câu 4: Giải các bất phương trình sau
a)
2
3 2 6
1 1
2 2
x x x
b) 2
2 7 6
3 3
x x x
2. Hàm số, phương trình, bất phương trình lôgarit.
Lý huyết
Ghi nhớ: Với
0 1, 0, 0
a b c
khi đó
Tính toán: logaa
;
log log
a a
b b
1
log log
a
a
b b
Cộng, trừ logarit :
log log log .
a a a
b c b c
;
log log log
a a a
b
b c
c
Đổi cơ số:
log
log
log
a
c
a
b
b
c
;
1
log
log
a
b
b
a
Cách khử logarit:
0
log log
a a
f x
f x g x
f x g x
log
c
a
f x c f x a
Chú ý: 10
log log lg
a a a
;
log ln
e
a a
.
Dạng 1: Biến đổi về phương trình
log log
a a
f x g x
Cách giải: