Giáo án : Chuyên đ đ i s 10 ề ạ ố
1.B t ph ng trình đa th cấ ươ ứ
A-Lý thuy t :ế
Ph ng pháp gi i ươ ả :
*)Vân d ng đ nh lí d u tam th c b c 2(đ nh lí đ oụ ị ấ ứ ậ ị ả
d u tam th c b c 2 )ấ ứ ậ
*)Tính ch t c a hàm s b c nh t và b c 2ấ ủ ố ậ ấ ậ
B-Bài t p :ậ
Bài toán 1:
Tìm a đ b t pt :ể ấ
ax 4 0+ >
Đúng v i m i x th a mãn đi u ki n ớ ọ ỏ ề ệ
4x<
Bài gi i :ả
Đ t f(x) = ax +4ặ
Ta có :
( )
4;4
( ) ax 4 0
( 4) 0 4 4 0
(4) 0 4 4 0
1
1
x
f x
f a
f a
a
a
∈ −
= + > ∀
− ≥ − + ≥
⇔ ⇔
≥ + ≥
≤
⇔≥ −
V y giá tr c n tìm là :ậ ị ầ
1 1a
− ≤ ≤
Bài toán 2:
Cho bpt :
2 2
( 4) ( 2) 1 0m x m x− + − + <
(1)
1.Tìm m đ bpt vô nghi mể ệ
2. Tìm m đ bpt có nghi m x = 1ể ệ
Bài gi i :ả
1.TH1:
2
2
4 0 2
m
mm
= −
− = ⇔ =
* V i m = -2 :ớ
1
(1) 4 1 0 2
4
x x m⇔ − + < ⇔ > ⇒ = −
(ktm)
•V i m = 2 : ớ
th a mãnỏ
.
TH2:
2m≠ ±
(1) vô nghi m ệ
2 2
2
2 2
( 4) ( 2) 1 0,
4 0
( 2) 4( 4) 0
2 2
( 2)(3 10) 0
x
m x m x
m
m m
m m
m m
⇔ − + − + ≥ ∀
− >
⇔∆ = − − − ≤
< − ∪ >
⇔− + ≥
2 2 10
3
10 22
3
m m m
m m m
< − ∪ >
≤ −
⇔ ⇔
−
≤ ∪ ≥
>
T 2 tr ng h p trên ta th y giá tr c n tìm làừ ườ ợ ấ ị ầ
:
10 2
3
m m≤ − ∪ ≥
2.B t ph ng trình (1) có m t nghi m x = 1ấ ươ ộ ệ
2
2
( 4).1 ( 2).1 1 0
5 0
1 21 1 21
2 2
m m
m m
m
⇔ − + − + <
⇔ + − <
− − − +
⇔ < <
Bài toán 3:
Đ nh m đ bpt :ị ể
2 2
2 1 0x x m− + − ≤
(1) th a mãn ỏ
[ ]
1;2x∈
∀
Bài gi i: ả
Cách 1 :
2 2
(1) 2 1(2)x x m
⇔ − ≤ −
Xét f(x) = x2 – 2x trên [1;2]
(2) th a mãn v i m i x thu c [1;2] khi và chỏ ớ ọ ộ ỉ
khi Max f(x)
2
1m≤ −
(3)
L p b ng bt c a f(x) suy ra Maxf(x) = 0:ậ ả ủ
V y (3) ậ
2
1
0 1 1
m
mm
≤ −
≤ − ⇔ ≥
K t lu n :ế ậ
Cách 2 :
Đ t f(x) = xặ2 – 2x + 1 – m2,
Ta có :
f(x)
0
≤
[ ]
1;2x∈
∀
2
2
2
1. (1) 0 1 2.1 1 0
1. (2) 0 4 2.2 1 0
1
1 0 1
f m
fm
m
mm
≤ − + − ≤
⇔ ⇔
≤− + − ≤
≤ −
⇔ − ≤ ⇔ ≥
K t lu n :ế ậ
Bài toán 4:
V i giá tr nào c a a thì b t pt sau nghi m đúngớ ị ủ ấ ệ
v i m i giá tr c a x :ớ ọ ị ủ
2 2
( 4 3)( 4 6) (1)x x x x a+ + + + ≥
1
Giáo án : Chuyên đ đ i s 10 ề ạ ố
Bài gi i :ả
Bài toán 4:
Đ t :ặ
2 2
4 3 4 6 3t x x x x t= + + ⇒ + + = +
Ta có :
2
( 2) 1 1 1
( 3) (3)
t x t
t t a
= + − ≥ − ⇒ ≥ −
⇔ + ≥
Xét hàm s : f(t) = ố
2
3 , ( 1)t t t+ ≥ −
(3)
inf ( )M t a⇔ ≥
L p b ng bi n thiên c a f(t):ậ ả ế ủ
Suy ra Mìn(t) = -2 V y (3) ậ
2a≤ −
K t luân :ế
Bài toán 5:
Tìm m đ b t ph ng trình sau đúng v i m i x:ể ấ ươ ớ ọ
2
2
2
3 2(1)
1
x mx
x x
+ −
− ≤ ≤
− +
Ta có :
2
1 0,
x
x x− + > ∀
Do đó (1)
2 2
2 2
2
2
3( 1) 2
2 2( 1)
4 ( 3) 1 0(2)
( 2) 4 0(3)
x x x mx
x mx x x
x m x
x m x
− − + ≤ + −
⇔+ − ≤ − +
+ − + ≥
⇔− + + ≥
(1) đúng v i m i x ớ ọ
2
(2)
2
(3)
( 3) 16 0
( 2) 16 0
1 7 1 2
6 2
m
m
mm
m
∆ = − − ≤
⇔∆ = + − ≤
− ≤ ≤
⇔ ⇔ − ≤ ≤
− ≤ ≤
K t lu n :ế ậ
Bài t p v nhà :ậ ề
Bài 1:
Tìm m đ bpt sau nghi m đúng v i m i x th a mãnể ệ ớ ọ ỏ
đi u kiên : ề
2 1x
− ≤ ≤
2
( 1) 2( 1) 0m x m x x+ + − − >
(1)
Bài 2:
Tìm m đ bpt sau nghi m đúng v i m i x :ể ệ ớ ọ
2 2
2 1 0x x m− + − >
Bài 3:
Tìm a nh nh t đ bpt sau th a mãn ỏ ấ ể ỏ
[ ]
0;1x∈
∀
Bài t p v nhà :ậ ề
Bài gi i :ả
Bài 1:
2
(1) ( 2) 2 0(2)m m x m⇔ + − + + >
Đ t f(x) = (mặ2 + m – 2 )x + m + 2
Bài toán th a mãn:ỏ
2
2
2
2
( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0
(1) 0 ( 2)(1) 2 0
3
2 6 0 22
2 0 2 0
3
02
f m m m
fm m m
m m m
m m m m
m
− > + − − + + >
⇔ ⇔
>+ − + + >
− − + > − < <
⇔ ⇔
+ >
< − ∪ >
⇔ < <
Bài 2:
Do a = 1 > 0 V y bt tm :ậ
2
2
' 1 1 0
2
2 0
2
m
m
m
m
⇔ ∆ = − + <
< −
⇔ − < ⇔ >
Bài 3:
Đăt :
2
1t x x= + +
= f(x)
L p bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x)ậ
1 3t⇒ ≤ ≤
[ ]
[ ]
2
1;3
2
1;3
(1) ( 2)
2 0 (2)
t
t
a t t
t at a
∈
∈
⇔ − ≤ ∀
⇔ − + ≥ ∀
Đ t f(t) = tặ2 – at + 2a
2
Giáo án : Chuyên đ đ i s 10 ề ạ ố
2 2 2
( 1) ( 1)a x x x x+ − ≤ + +
(1)
Bài t p tuy n sinh:ậ ể
Bài 1:
Tìm a đ hai bpt sau t ng đ ng :ể ươ ươ
(a-1).x – a + 3 > 0 (1)
(a+1).x – a + 2 >0 (2)
Bài gi i :ả
Th1: a =
1±
thay tr c ti p vào (1) và (2) th yự ế ấ
không t ng đ ng.ươ ươ
Th2: a > 1 :
1
2
3
(1) 1
2
(2) 1
a
x x
a
a
x x
a
−
⇔ > =
−
−
⇔ > =
+
(1)
1 2
(2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ =
Th3: a < -1 :
1
2
(1)
(2)
x x
x x
⇔ <
⇔ <
Đ ể
1 2
(1) (2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ =
( lo i)ạ
Th4: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không t ng đ ng ươ ươ
K t lu n :ế ậ
a = 5 th a mãn bài toán .ỏ
Bài 2:
(ĐHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 .
Gi i BPT f[f(x)] < x (1) ả
Bài gi i :ả
Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x =
[2f2(x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x =
2[f2(x) – x2 ] + 2 [f(x) – x ] =
2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] =
= 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1)
V yậ (1)
2 2
2(2 2)(2 2 1) 0
1 3 1
2
1 3 1
2
x x x
x
x
⇔ − + − <
− − < < −
⇔− + < <
Bài toán 3: (ĐHKD-2009)
Tìm m đ đ ng th ng (d) : y = -2x + m c t đ ngể ườ ẳ ắ ườ
cong (C): y =
2
1x x
x
+ −
t i 2 đi m pb A ,B sao choạ ể
trung đi m I c a đo n AB thu c oyể ủ ạ ộ
2
2
2
8 0
8 0
(2) 1. (1) 0 1 9
1
2 2
8 0
1. (3) 0
3
2 2
a a
a a
f a
b a
a
a a
f
b a
a
∆= − ≤
∆= − >
⇔ ≥ ⇔− ≤ ≤
−
= <
∆= − >
≥
−
= >
Suy ra a c n tìm là : a = -1ầ
Bài gi i :ả
Xét pt hoành đ :ộ
2
1
2 (1)
x x
x m x
+ −
− + =
Đ (d) c t (C) t i 2 đi m pb ể ắ ạ ể
(1)⇔
có 2 nghi mệ
phân bi t xệ1 , x2 khác 0
2
(1) 3 (1 ) 1 0 ( )x m x f x⇔ + − − = =
Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 V y (1) luôn có 2ậ
nghi m phân biêt khác 0 .ệ
Đ I thu c oyể ộ
1 2
1
0 0 1
2 6
x x m m
+ −
⇔ = ⇔ = ⇔ =
Bài toán 4:(ĐHKB-2009)
Tìm m đ (d) : y = -x + m c t (C )y = ể ắ
2
1x
x
−
t i 2 đi m pb A , B sao cho AB = 4.ạ ể
Bài gi i :ả
Xét pt hoành đ :ộ
2
1x
x m x
−
− + =
(1)
Đ (d) c t (C ) t i 2 đi m pb ể ắ ạ ể
(1)⇔
có 2 nghi mệ
pb khác 0
2
2 1 ( ) 0x mx f x⇔ − − = =
có 2 nghi mệ
pb khác 0.
Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 V y (1) luôn có 2ậ
nghi m pb xệ1 , x2 khác 0.
Đ AB = 4ể
3
Giáo án : Chuyên đ đ i s 10 ề ạ ố
2 2 2
2 1 2 1
16 ( ) ( ) 16AB x x y y⇔ = ⇔ − + − =
2
2 1
2
2
2 1 1 2
2( ) 16
1
2 ( ) 4 2( 4.( )) 16
4 2
2 6
x x
m
x x x x
m
⇔ − =
⇔ + − = − − =
⇔ = ±
2.B t ph ng trình ch a tr tuy t đ i .ấ ươ ứ ị ệ ố
A-Lý thuy t ế
1.
2.
3. ( )( ) 0
A B B A B
A B
A B A B
A B A B A B
< ⇔ − < <
>
> ⇔ < −
> ⇔ − + >
Các tính ch t :ấ
,
,
1.
2. . 0
3. ,
4. ( ). 0
A B
A B
A B A B
A B A B A B
A B A B
A B A B A B B
+ ≤ + ∀
+ < + ⇔ <
− ≥ − ∀
− > − ⇔ − >
B-Bài t p :ậ
Bài 1: Gi i các bpt sau :ả
1. 3 2 1
2. 3 4 7
3. 4 2 1
x x
x x
x x
+ ≤ +
− ≥ +
+ ≥ −
Bài 2:Gi i các bpt sau :ả
2 2
2 2
2 2
2
(2) 3 2 2
3 2 2
3 2 2
12
2 5 2 0 2
2 0 2
1
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
xx
x
x
⇔ − + > −
− + > −
⇔− + < −
< ∪ >
− + >
⇔ ⇔
− >
>
<
⇔>
K t lu n :ế ậ
[ ] [ ]
2 2
2 2
(3) (2 5) (7 4 )
(2 5) (7 4 ) 0
(2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0
(12 2 )(6 2) 0
1
(6 )(3 1) 0 6
3
x x
x x
x x x x
x x
x x x
⇔ + > −
⇔ + − − >
⇔ + + − + − − >
⇔ − − >
⇔ − − > ⇔ < <
K t luân :ế
4. Đk: x
2≠ ±
4
Giáo án : Chuyên đ đ i s 10 ề ạ ố
2
2 2
2
2
1. 2 3 3 3
2. 3 2 2
3. 2 5 7 4
5 4
4. 1
4
x x x
x x x x
x x
x x
x
− − ≤ −
− + + >
+ > −
− + ≤
−
Bài gi i :ả
Bài 2:
2
2
2
2
2 3 3 3
(1) 2 3 3 3
6 0 3 2
0 5
5 0
2 5
x x x
x x x
x x x x
x
x x
x
− − ≥ − +
⇔− − ≤ −
+ − ≥ ≤ − ∪ ≥
⇔ ⇔
≤ ≤
− ≤
⇔ ≤ ≤
K t lu n:ế ậ
Bài gi i :ả
Bài 3 :
B ng xét d u :ả ấ
x
−∞
0
+∞
4 5
X2 – 4x + - + +
X - 5 - - - +
+) Xét :
0
4 5
x
x
<
≤ <
2
2
2
4 3
(1) 1
5
3 2 0
5
2
3
x x
x x
x
x x
x
− +
⇔ ≥
− +
+
⇔ ≤
− +
⇔ ≤ −
(do
2
5 0,
x R
x x
∈
− + > ∀
)
+) Xét
0 4x≤ <
:
2
2
2
4 3
(1) 1 2 5 2 0
5
12
2
x x x x
x x
x
− + +
⇔ ≥ ⇔ − + ≤
− +
⇔ ≤ ≤
2 2
2 2 2 2
2
(3) 5 4 4
( 5 4) ( 4)
(8 5 )(2 5 ) 0
8
05
5
2
x x x
x x x
x x x
x
x
⇔ − + ≤ −
⇔ − + ≤ −
⇔ − − ≤
≤ ≤
⇔
≥
Bài 3:Gi i các bpt sau :ả
2
2
2 2
4 3
1. 1
5
2. 1 2 8
x x
x x
x x x
− + ≥
+ −
− ≤ − +
Bài 4: Gi i và bi n lu n bpt sau :ả ệ ậ
2 2
3 4 (1)x x m x x m− − ≤ − +
v y ậ
9
02
9 9 9
02 2 2
t
x x
≤ ≤
⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Bài 4:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
(1) 3 4
2 7 2 0
2 7 2 0
x x m x x m
x x x m
x x x m
⇔ − − ≤ − +
⇔ − − ≤
⇔ − − ≤
Ta có :
7
(2 7)( 2 ) 0 2 0 2
x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ =
+) N u 2m < 0 :ế
Có tr c xác đ nh d u:ụ ị ấ
K t lu n :ế ậ
2
7
02
x m
x
≤
≤ ≤
N u 2m = 0ế
K t lu n:ế ậ
7
2
x≤
5