CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chia sẻ: Trinh Thu Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:109

Thêm vào BST

Báo xấu

213
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 1. Cho hàm số (C) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2/ Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm .

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

NỘI DUNG GỒM CÓ 1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan : 14 tiết 2. Bài toán tổng hợp: 4 tiết. 3. Phương trình, bất phương trình mũ và lôga: 8 tiết. 4. Tích phân và ứng dụng của tích phân: 10 tiết. 5. Hình không gian tổng hợp: 10tiết. 6. Phương pháp toạ độ trong không gian: 16 tiết. 7. Số phức: 6 tiết. 8. Phụ lục. 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Thời gian: 14 tiết Tiết 1: Bài 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 (C) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2/ Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương x 3 − 3 x + 2 = m . 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ( 2;4 ) . Giải: 1/ HS tự làm Đồ thị: y f(x)=x^3-3x+2 f(x)=4 x(t)=-1 , y(t)=t 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 2) Số nghiệm thực của phương trình x 3 − 3 x + 2 = m chính là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x + 2 và đừờng thẳng (d): y = m. Dựa vào đồ thị ta có: m4 m=0 +/ : (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm ( 1 đơn, 1 kép) m=4 +/ 0 < m < 4 : (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm 3) Gọi M(x0;y0) là toạ độ tiếp điểm x0 = 2; y0 = 4 y ' = 3x 2 − 3 y '(2) = 9 PTTT cần tìm là: y = 9(x – 2) + 4 y = 9x - 14 1 3 2 Bài 2: Cho hàm số y = − x + x − có đồ thị ( C ) 2 3 3 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) ,biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 3 3/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 . Lời giải a/ Đồ thị: y 2 3 x 1 2 -2 3 2
2 x0 = −1 y0 = 3 2/ Gọi M(x0;y0) là toạ độ tiếp điểm � y '( x0 ) = −3 � − x0 + 2 x0 = −3 � 2 2 x0 = 3 y0 = − 3 y ' = 3x 2 − 3y '(2) = 9 � 2� 2 7 − * PTTT tại � 1; � y − = −3( x + 1) � y = −3 x − là: � 3� 3 3 � 2� 2 25 * PTTT tại � − � y + = −3( x − 3) � y = −3 x + 3; là: � 3� 3 3 1 1 � 3 2� 5 3/ Từ hình vẽ, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là S = 2 � x − x + � = 2 dx 0� 3 3� 6 BTVN: Cho hàm số y = x3 – x2 + (m – 1)x – m2 + 2 (Cm) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2 ) của hàm số với m =2 2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số (C2 ) biết tung độ tiếp điểm bằng -2 3/ Tìm m để hàm số trên có cực trị. Tiết 2: Bài 1: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + 3(m2-1)x – 3m2 – 1 ( C m ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1 ) của hàm số với m = 0. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C1 ) tại giao điểm với trục Oy 3/ Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Giải : 1/ HS tự làm Với m = 1 ta có: y = -x3 +3x2 – 3x y f(x )=-x^3 +3x^2 -3x 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Đồ thị : 2/ C1 giao với Oy tại điểm M(0;0) y' (0) = -3 Vậy PTTT là : y = -3(x – 0) + 0 � y = −3x 3/ Ta có y' = -3x2 + 6x + 3(m2 - 1) HS có cực đại ,cực tiểu ⇔ pt y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ -3x2 + 6x + 3(m2 - 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt � 9 + 9(m 2 − 1) > 0 ⇔ ∆' > 0 � m2 > 0 ۹ m 0 3
Bài 2: Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 – 2m + 1 x (Cm) 2 ( ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) của hàm số trên với m = 2 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm có hoành độ bằng -2 3/ Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu. Giải: 1/ HS tự làm m=2 y = − x3 + 6 x 2 − 9 x 2/ Gọi (x0;y0) toạ độ tiếp điểm, ta có x0 = -2 ⇒ y0 = y( -2) = 50 f '(- 2) = -45 Vậy phương trình tiếp tuyến là : y – 50 = -45(x + 2) y = -45x - 40. 3/ y’ = -3x2 + 6mx – (2m2 + 1) HS có cực đại ,cực tiểu ⇔ pt y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ -3x2 + 6mx - (2m2 + 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > 0 � 9m 2 − 3(2m 2 + 1) > 0 � 3m 2 − 3 > 0 � m2 > 1 m >1 m < −1 Vậy với m > 1 hoặc m < -1 thì hàm số có cực đại, cực tiểu. BTVN: Cho hàm s ố y =-x3 +3(m+1)x2 -2 (Cm) 1/ KS sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) v ới m =0 2/ Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại, cực tiểu. 3/ Tìm m để hsố đạt cực đại tại x =2. Tiết 3 : Bài 1 : Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(1 ;3) 3/ Dùng đồ thị (C) xác định m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm duy nhất : 3x2 + 2 – x3 + m = 0 Giải : 1/ Hs tự làm y f(x)=-x^3+3x^2+1 9 f(x)=5 x(t)=2 , y(t)=t 8 7 6 5 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Đồ thị: -9 2/ Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm x0 = 1; y0 = 3 y ' = −3 x 2 + 6 x y '(1) = 3 4
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;3) là: y − 3 = 3( x − 1) � y = 3x 3/ Ta có 3 x 2 + 2 − x 3 + m = 0 (1) � − x 3 + 3 x 2 + 1 = − m − 1 Vậy số nghiệm của pt(1) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = -m-1 Từ đồ thị ta có: � m − 1 < 1 � > −2 − m �m − 1 > 5 � < −6 : d cắt (C) tại 1 điểm − m pt(1) có nghiệm duy nhất. � � m > −2 Vậy pt(1) có nghiệm duy nhất m < −6 Bài 2 : Cho hàm số y = x3 – (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (Cm) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1 (C1) 2/ Viết PTTT với đồ thị hàm số (C1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0 3/ Tìm m để hàm số trên có 2 cực trị Giải : 1/ HS tự làm m = 1 � y = x3 + x 2 + x + 3 y f(x)=x^3+x^2+x+3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 Đồ thị -9 1 2/ đường thẳng x + 2y + 1 = 0 có hệ số góc = − 2 Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0 nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm y '( x0 ) = 2 � 3 x0 + 2 x0 + 1 = 2 2 � 3 x0 + 2 x0 − 1 = 0 2 x0 = −1 y0 = 2 1 94 x0 = y0 = 3 27 * PTTT tại ( −1; 2 ) là: y − 2 = 2( x + 1) � y = 2 x + 4 � 94 � 1 94 1 112 * PTTT tại � ; �là: y + = 2( x − ) � y = 2 x − � 27 � 3 27 3 327 3/ Ta có : y = 3 x 2 − 2(1 − 2m) x + 2 − m y = 0 � 3 x 2 − 2(1 − 2m) x + 2 − m = 0(*) Để hàm số có 2 cực trị pt(*) có 2 nghiệm phân bịêt 5
� (1 − 2m) 2 − 3(2 − m) > 0 � 4m 2 − m − 5 > 0 m < −1 5 m> 4 5 Vậy với m < -1 hoặc m > thì hàm số đã cho có 2 cực trị 4 BTVN: Cho hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 1 có đồ thị là (C ) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số. 2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 3/ Dựa vào đồ thị (C ) , hãy tìm điều kiện của tham số k để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt: x 3 - 3x 2 + k = 0 Tiết 4 : 1 3 Bài 1: Cho hàm số y = x + ( m − 1) x 2 + x − 1 (Cm) 3 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) của hàm số trên với m = 2 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -3 3/ Tìm m để hàm số trên có cực trị Giải: 1/ HS tự làm 1 m=2 y = x3 + x 2 + x − 1 3 Đồ thị: y f(x)=(x^3)/3+x^2+x-1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 2/ Gs tiếp điểm là M0(x0;y0) ,ta có x0 = -3 ⇒ y0 = y( -3) = -4 y ' = x 2 + 2 x + 1 y '(−3) = 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 4 = 4(x + 3) y = 4 x + 8 3/ Hàm số có cực trị � y ' = 0 có nghiệm � x 2 + 2(m − 1) x + 1 = 0 có nghiệm 6
� ∆'�0 � (m − 1) 2 − 1 �0 � m 2 − 2m �0 m 2 m 0 Vậy HS có cực trị khi m 2 hoặc m 0 1 3 Bài 2 : Cho hàm số y = x − x (C) 2 3 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 khi quay quanh trục Ox. 1 3 3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x = m + 1 2 3 Giải : 1/ Đồ thị : y f(x )=x^3/3-x^2 x(t )=2 , y(t )=t f(x )=-4/3 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 1 � 3 2� 2 �7 x x5 � 416π 2 2/ V = π � x − x �dx = π � − 2.2 x 6 − � = 0� 3 � �63 5� 0 315 1 3 3/ x − x 2 = m + 1 (1) 3 Số gnhiệm PT (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = m + 1 Từ đồ thị ta có : �m + 1 > 0 � > −1 m +/ � � : (1) có 1 nghiệm duy nhất � +1 < − 3 m �
Tiết 5: Bài 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1 (C) 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1 3/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x4 – 2x2 + 2m = 0 Giải: 1/ HS tự làm y f(x)=x^4-2x^2+1 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 2/ Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm y0 = 1 x0 = 0 y '(0) = 0 x0 là nghiệm pt x − 2 x + 1 = 1 � x − 2 x = 0 � x0 = 2 � y '( 2) = 4 2 4 2 4 2 0 0 0 0 x0 = − 2 y '(− 2) = −4 2 * PTTT tại (0;1) là: y – 1 = 0(x – 0) � y = 1 * PTTT tại ( 2;1) là: y − 1 = 4 2( x − 2) � y = 4 2 x − 7 * PTTT tại ( − 2;1) là: y − 1 = −4 2( x − 2) � y = −4 2 x + 7 3/ Ta có: x4 – 2x2 + 2m = 0 (1) � x 4 − 2 x 2 + 1 = −2m + 1 Khi đó số nghiệm PT(1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = -2m + 1 Từ đồ thị ta có: 1 +/ −2m + 1 < 0 � m > : (1) vô nghiệm 2 1 +/ −2m + 1 = 0 � m = : (1) có 2 nghiệm kép 2 1 +/ 0 < −2m + 1 < 1 � 0 < m < : (1) có 3 nghiệm phân biệt 2 +/ −2m + 1 = 1 � m = 0 : (1) có 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 2 nghiệm đơn phân biệt) +/ −2m + 1 > 1 � m < 0 : (1) có 2 nghiệm phân biệt Bài 2: Cho hàm số y = -x4 + (2m + 1)x2 - 2 ( C m ) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C1 ) của hàm số với m = 1. 2/ Tìm điều kiện của a để phương trình x4 – 3x2 + a = 0 có 4 nghiệm phân biệt. 3/ Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Giải: 4 2 1/ m = 1 thì y = -x + 3x – 2 Đồ thị 8
y f(x)=-x^4+3x^2-2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 2/ x – 3x + a = 0 (1) � − x 4 + 3 x 2 − 2 = a − 2 4 2 Để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt thì đồ thị (C1) cắt đường thẳng y = a – 2 tại 4 điểm phân biệt 1 9 Từ đồ thị ta có : 0 < a − 2 < � 2 < a < 4 4 3/ Ta có y' = -4x3 + 2(2m + 1)x = -2x(2x2 - 2m -1) Để hs có CĐ,CT thì PT y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2x2 - 2m- 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 −2 m − 1 0 1 � 2m + 1 �m>− >0 2 2 1 Vậy m > − thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu 2 BTVN :Cho hàm số y = -x4 + 2x2 (C) 1.KS sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) 2.Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : x4 -2x2 – m =0 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có tung độ bằng 8 Tiết 6: 1 4 Bài 1 : Cho hàm số y = x − 2 x 2 (C) 4 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của tham số m để phương trình x 4 − 8 x 2 − m + 1 = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt 3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại điểm M(-2 ;-4) Giải : y f(x)=x^4/4-2x^2 f(x)=-4 x(t)=2 , y(t)=t 8 x(t)=-2 , y(t )=t 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 1/ Đồ thị 1 4 m −1 2/ x 4 − 8 x 2 − m + 1 = 0 (*) x − 2x2 = 4 4 9
PT (*) cã 4 nghiÖm thùc ph©n biÖt, m ph¶i tho¶ m·n m −1 -4 < 15 � m > 14 : (1) vô nghiệm +/ m + 1 = 15 � m = 14 : (1) có 2 nghiệm kép +/ −1 < m + 1 < 15 � −2 < m < 14 : (1) có 3 nghiệm phân biệt +/ m + 1 = −1 � m = −2 : (1) có 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 2 nghiệm đơn phân biệt) +/ m + 1 < −1 � m < −2 : (1) có 2 nghiệm phân biệt 3/ Ta có y = 4 x 3 − 4mx = 4 x( x 2 − m) y = 0 � 4 x( x 2 − m) x=0 x 2 = m (*) Đồ thị (Cm) có 3 cực trị khi & chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 � m > 0 BTVN: Cho hàm số y = - x4 – 3x2 + 4 (C) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs trên 2/ Viết PTTT của đồ thị hs trên tại điểm có hoành độ bằng -1 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. Tiết 7 : Bài 1 : Cho hàm số y = (2 – x2)2 (C) 10
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 – 4x2 + 4 = 2m 3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục tung. Giải : 1/ y = (2 – x ) � y = x − 4 x + 4 2 2 4 2 Đồ thị : y f(x)=x^4-4x^2+4 8 6 4 2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -4 -6 -8 2/ x 4 – 4x 2 + 4 = 2m (1) Khi đó số nghiệm (1) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2m Từ đồ thị ta có : +/ 2m = 0 � m = 0 : (1) có 2 nghiệm kép +/ 0 < 2m < 4 � 0 < m < 2 : (1) có 4 nghiệm phân biệt +/ 2m = 4 � m = 2 : (1) có 3 nghiệm (2 đơn, 1 kép) +/ 2m > 4 � m > 2 : (1) có 2 nghiệm phân biệt +/ 2m < 0 � m < 0 : (1) vô nghiệm 1 4 5 Bài 2 : Cho hàm số y = x − 3x + (C) 2 2 2 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : - x4 + 6x2 + m – 2 = 0 (1) 3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4 Giải : 1/ y f(x )=(1 /2)x ^4 -3 x^2 +5 /2 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 1 4 5 m+3 2/ (1) � x − 3x 2 + = 2 2 2 m+3 Khi đó số nghiệm ( 1) chính là số giao điểm của đồ thị hs trên và đường thẳng y = 2 m+3 5 +/ > � m > 2 : (1) có 2 nghiệm phân biệt 2 2 m+3 5 +/ = � m = 2 : (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép) 2 2 11
m+3 5 +/ −2 < < � −7 < m < 2 : (1 có 4 nghiệm phân biệt) 2 2 m+3 +/ = −2 � m = −7 : (1) có 2 nghiệm kép 2 m+3 +/ < −2 � m < −7 : (1) vô nghiệm 2 3/ Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm � y '( x0 ) = 4 � 2 x0 − 6 x0 = 4 3 3 x0 = 2 y0 = − 2 x0 = −1 y0 = 0 * PTTT tại ( −1;0 ) là: y − 0 = 4( x + 1) � y = 4 x + 1 � 3� 3 19 * PTTT tại � − � y + = 4( x − 2) � y = 4 x − 2; là: � 2� 2 2 1 4 BTVN : Cho hàm số y = x + x − 1 2 4 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) và trục hoành 3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết hoành độ tiếp điểm là -2 Tiết 8: x−2 Bài 1: Cho hàm số y = x −1 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3. Giải: 1/ HS tự giải 1 2/ Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm x0 = 3 y0 = 2 1 1 y’ = y '(3) = ( x − 1) 2 4 1 1 1 1 Vậy PTTT cần tìm là: y − = ( x − 3) � y = x − 2 4 4 4 2− x Bài 2: Cho hàm số y = 3x + 2 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2. Giải: � 2� 1.TX§: R\ � �− �3 −8 −2 SBT: y’ = < 0∀x ( 3x + 2 ) 2 3 12
2 2 HSNB/( −� − ) �(− ; +� ; ) 3 3 HS kh«ng cã cùc trÞ Giíi h¹n: lim y = + lim y = − 1 �2� + �2� − lim y = − x − � � �3� x − � � �3� 3 x −2 1 TC§ lµ ®êng th¼ng x = , TCN lµ ®êng th¼ng y = − 3 3 B¶ng biÕn thiªn x − -2/3 + y’ - - + 1 1 y − − − 3 3 y f(x)=(2-x)/( 3x+2) x(t )=-2/3 , y(t )=t f(x)=-1/3 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2. ViÕt PTTT t¹i ®iÓm sã tung ®é b»ng 2 −2 2− x x =2 3 −2 XÐt Pt 3x + 2 x= 2 − x = 2(3x + 2) 7 − � 2 � 49 � �− = y’ �7 � 8 49 1 PTTT lµ: y = − x+ 8 4 2x − 1 BTVN : Cho hàm số y = x +1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 3x + 2 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs trên và các trục tọa độ. Tiết 9 : 13
3x + 2 Bài 1 : Cho hàm số y = (C) 1− x 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tìm m để đường thẳng y = - 2x - m cắt đồ thị hàm số trên tại 2 điểm phân biệt Giải : 1/ HS tự làm 3x + 2 2/ Hoành độ giao điểm của (C ) và y = -2x – m là nghiệm phương trình : = −2 x − m (1) 1− x §k: x 1 (1) 3x + 2 = ( -2x-m) ( 1-x) 2x2 + (m-5)x –( m +2) = 0 (*) §Ó tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n PT (*) ph¶i cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1 ∆ = (m − 5) 2 + 8(m + 2) = m 2 − 2m + 41 > 0∀m §s: ∀m 2x +1 Bài 2 : Cho hàm số y = 2− x 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5 Giải : 2/ Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 5, ta cã: y’(x 0) = 5 5 x0 = 1 y0 = 3 ⇔ =5 ( 2 –x0 )2 = 1 x0 − 4 x0 + 3 = 0 2 ( 2 − x0 ) 2 x0 = 3 y0 = −7 TT thø nhÊt lµ y – 3 = 5(x- 1) y = 5x – 2 TT thø hai lµ y + 7 = 5(x – 3) y = 5x - 22 x −3 BTVN : Cho hàm số y = x−2 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d : y = mx + 1 cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt Tiết 10 : 3 − 2x Bài 1 : Cho hàm số y = (C) x −1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tìm m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị hàm số trên tại 2 điểm phân biệt Giải : 1/ - TXĐ: D = R \ {1} 14
- Sự biến thiên −1 + Chiều biên thiên: y = < 0; ∀x 1 ( x − 1) 2 Hsố luôn nghịch biến trên các khoảng (− ;1) & (1; + ) + Cực trị: Hsố không có cực trị + Tiệm cận: 3 − 2x Lim = −2 suy ra tiệm cận ngang là đường thẳng y=-2 x x −1 3 − 2x Lim = Suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng x=1 x 1 x −1 + Bảng biến thiên: x - 1 + y’ - - -2 + y - -2 - Đồ thị: 2/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) & đương thẳng d : y = mx +2 3 − 2x = mx + 2 � mx 2 − (m − 4) x − 5 = 0(*) x −1 Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi & chỉ khi pt(*) có 2 nghiệm phân biệt � m 0 � m 0 � �2 �m − 4) + 20m > 0 � + 12m + 16 > 0 2 ( m m 0 m < −6 − 2 5 m > −6 + 2 5 Bài 2 : Cho hàm số y = -x + 3x 3 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3 - 3x – 2m + 1 = 0 (1) 3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x - 3 Giải : 1/ Đồ thị : 15
y f(x)=-x ^3+3x 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 2/ (1) � − x 3 + 3 x = −2m + 1 Vậy khi đó số nghiệm pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = -2m+1. từ đồ thị ta có : 3 m= −2 m + 1 = − 2 2 +/ : (1) có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép) −2 m + 1 = 2 1 m=− 2 3 m> −2 m + 1 < − 2 2 +/ : (1) có 1 nghiệm duy nhất −2 m + 1 > 2 1 m
Tiết 11 : 2x −1 Bài 1 : Cho hàm số y = (C) x +1 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục tung Giải : 1/ HS tự làm 2/ (C) giao trục tung tại điểm (0 ;-1) Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm x0 = 0; y0 = −1 3 y'= y '(0) = 3 ( x + 1) 2 PTTT cần tìm là : y + 1 = 3(x – 0) � y = 3 x − 1 1 3 3 2 Bài 2 : Cho hàm số y = x − x +5 4 2 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt 3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại điểm M(2 ;-3) Giải : 1/ HS tự làm Đồ thị: y f(x)=(x^3)/4-3(x^2)/2+5 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 1 3 3 2 m 2/ XÐt ph¬ng tr×nh x3 - 6x2 + m = 0 x − x +5 = − +5 4 2 4 Ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm thùc ph©n biÖt m tho¶ m·n m -3
2/ Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số trên tại 2 điểm phân biệt 1 4 3 BTVN : Cho hàm số y = f ( x) = x − 3x 2 + 2 2 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0 3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 – 6x2 + 3 = m Tiết 12 : 2x +1 Bài 1 : Cho hàm số y = (C) x−2 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -5x + 7 3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1 quanh trục Ox Giải : 1/ HS tự làm 2/ Giả sử M(x0;y0) là tiếp điểm Theo bài ra ta có f ( x0 ) = −5 −5 � = −5 ( x0 − 2) 2 � x0 2 − 4 x0 + 3 = 0 x0 = 1 x0 = 3 Với x0=1 ta có y0= -3 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = -5x +2 Với x0= 3 ta có y0 = 7 Phương trình tuyến có dạng: y = -5x +22 2x +1 1 3/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) là: = 0 � 2x + 1 = 0 � x = x−2 2 Thể tích vât thể cần tìm là: 1 21 2 � x +1 � 2 � 12 9 � V =π�� dx =π � − �4 + �dx 1� −2 � x 1� x − 2 ( x − 2) 2 � 2 2 1 � 9 � � 3� = π � x − 12 ln x − 2 − 4 � = π � + 12 ln � 17 � x−2�1 � 2� 2 Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = -x + 3x + 9x + 2 3 2 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến có hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm phương trình f’’(x0) =-6 18
Giải: 1/ HS tự làm 2/ f’(x) = -3x2 + 6x + 9 f’’(x) = -6x + 6 f’’(x0) = -6 � −6 x0 + 6 = −6 � x0 = 2 � y0 = 24 Vậy PTTT cần tìm là: y – 24 = -6(x – 2) � y = −6 x + 36 BTVN : Cho hàm số: y = x 4 + (m + 1)x 2 - 2m - 1 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm trên (C ) có hoành độ bằng - 3. 3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị. Tiết 13 : x+m Bài 1 : Cho hàm số y = (Cm) x−2 1/ Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1 2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên với m = 1 3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục hoành Giải : −1 + m 1/ (Cm) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1 � = 0 � m =1 −1 − 2 x +1 2/ m = 1 y= x−2 Đồ thị y f(x)=(x+1)/(x-2) f(x)=1 x(t)=2 , y(t)=t 4 3 2 1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 3/ (C ) giao trục hoành tại điểm (-1 ;0) Gọi (x0;y0) là toạ độ tiếp điểm x0 = −1; y0 = 0 19
−3 1 y'= y '(−1) = − ( x − 2) 2 3 −1 1 1 PTTT cần tìm là : y = ( x + 1) � y = − x − 3 3 3 Bài 2 : cho hàm số y = -x3 + 6x2 – 9x (C) 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên. 2/ Tính diện tích hình phẳng giói hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng y = -x Giải : 1/ - TXĐ : D = R - Sự biến thiên : x =1 + chiều biến thiên : y’ = - 3x2 +12x – 9 = 0 x=3 Hs đồng biến trên khoảng (1 ;3) , nghịch biến trên khoảng ( − ;1) và ( 3; + ) + Cực trị : hs đạt cực đại tại x = 3, yCĐ = 0 , hs đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = -4 + Giới hạn : lim y = + ;lim y = − x − x + + Bảng biến thiên : x − 1 3 + y’ - 0 + 0 - + 0 y -4 − - Vẽ đồ thị : Giao Ox : (0 ;0) ; giao Oy : (0 ;0), (3 ;) y f(x)=-x^3+6x^2-9x f(x)=-4 x(t)=1 , y(t)=t 8 6 4 2 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -4 -6 -8 x=0 2/ hoành độ giao điểm của (C) và y = -x là nghiệm pt -x + 6x – 9x = -x � x = 2 3 2 x=4 20