Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009.
SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
b
+ + = c 3
Phương pháp 1: Kỹ thuật 1 : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a Chứng minh rằng:
3
3
3
+
+
≥
(1)
)
(
a
+
+
c
b
+
+
a
c
+
+
b
3 4
(
(
)
)
c )( a c
a )( b a
b )( c b
b
3
c
+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế
3
3
3
c
( a
)
(1)
⇔
+
+
≥
)
(
+
b
+
+
a
c
+
+
b
+ + b 4
( a
a )( b a
(
)
)
b )( c b
c )( a c
+ c Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3
3
Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a
3
)
)
(
(
a b a c a c 3 + + ≥ = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ a c + 8 a c ⎞+ b a +⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8 8 + 8 3a 4 + + + + a )( b a a )( b a ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠
3
3
Chứng minh tương tự ta cũng được:
3
(
)
(
)
3
3
b c b a b a 3 + + ≥ = ⎞⎛ c b ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + + + + b a + 8 + 8 b a + 8 + 8 3b 4 b )( c b b )( c b ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠
3
(
(
)
)
3
3
3
a
c
≥
=
+
+
a c b c c a c b + + ≥ = 3 ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ + + + + c b + 8 + 8 c b + 8 + 8 3c 4 c )( a c c )( a c ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠
)
(
+ + b 4
+
b
3 4
a
b
+
+
+
a
c
)
)
+ c a
+ c
b )( ( c b ⇔ = = = 1 b
1=
(đpcm) Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: c )( a c
a )( ( b a Đẳng thức xảy ra Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc Chứng minh rằng:
3
3
3
+
+
≥
+
+
c
+
+
a
+
+
b
3 4
)
( 1
)
( 1
b )( c 1
( 1
a )( b 1
)
c )( a 1
Bài 2:
+ + =
bc
ca
abc
2
2
2
b
+ + = c 3
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab Chứng minh rằng: a c + + ≥ a + a bc b ca c ab c + + + b 4 b +
3
3
3
Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a Chứng minh rằng:
)
)
)
+ + ≥ 1 (1) + a + b + c a ( b 2c b ( c 2a c ( a 2b
3
3
b c
)
)
)
a c (1) ⇔ + + ≥ b + + 3 b a c + + + + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế 3 c ( a 2b 3 b ( c 2a
3
3
3
Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a a ( b 2c + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
( 2c
)
) + = a
(
)( 3b 2c
)
)
+ ≥ b 3 a 3 9a + + b a a a 9 ( b 2c + a 9 ( 2c + ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
3
3
3
+ + 3c
3
9b
(
( 2a
) + ≥ b
)( 3c 2a
) + = b
b
b
b 9 ( + c 2a
)
b 9 ( + c 2a
)
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
3
3
3
3
9c
3a + +
(
( 2b
) c + ≥
)( 3a 2b
) c + =
c
c
c 9 ( + a 2b
)
c 9 ( + a 2b
)
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
Chứng minh tương tự ta cũng được:
3
3
3
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
( 6 a
)
( 9 a
)
)
)
)
3
3
3
b c c 9 + + + ≥ b + + + + a b c + + + a ( b 2c b ( c 2a c ( a 2b ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣
)
) a a
a c ≥ = 1 + + ⇒ + + b 3 + c + c ( a 2b
2
2
a
b
2 + + = 1 c
b ) ( + c 2a b ⇔ = = = 1 c b
3
3
3
+
+
≥
a +
b
2c
b +
c
2a
c +
a
2b
1 3
2
2
a
b
1
2 c
+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế
a ( b 2c Đẳng thức xảy ra Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:
Bài giải: Sử dụng giả thiết
3
3
3
2
2
a
c
+
+
⇔
≥
( ) 1
b +
c +
c
b
2c
2a
2b
2 + + b 3
3
3
2
( a b
)
( .a b
)
(
)
3
3
2
+
+
≥
+
=
2a
2
2a
6b
( b c
)
( .b c
)
a + a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 9 a + b Chứng minh tương tự ta cũng được: b 9 +
9b +
2a
c
2a
c
(
)
3
3
2
+
+
≥
+
=
2b
2
2ab
6c
( c a
)
( .c a
)
9c +
c 9 +
2b
a
2b
(
)
( a
)
3
3
3
2
2
c 2 + + ≥ 2 + 2c = 6a 2c 9a + c 2 b
2 + + b
( 3 ab
)
+ ≥ + + + + bc ca c 9
( 6 a
)
3
3
3
2
2
2
2
b + 2c 2a a c 2b ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
2 + + b
2 + + b
( 3 ab
)
≥ − ≥ + + c + + bc ca c
( 6 a
)
( 3 a
)
2
2
2 + + b 3
2a 2c c 2b ⎞⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ b + 3 c + a 3 a c ≥ = ⇒ + + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ⎛ c a ⎜ ⎜ ⎜ + + b ⎝ ⎛ a ⎜⇒ 9 ⎜ ⎜ + b ⎝ 3 a + b + c + 1 3 2a 2c b a c 2b
2
2
2
⇔ = = = b a c Đẳng thức xảy ra 3 3
3
3
3
a b + + = 1 c Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng:
bc
ca
+ + = 1
+ + ≥ a + a b b + b c c + c a 1 2
a
b
c
+
+
≤
(1)
2
2
2
3 2
1
+
a
1
+
b
1
+
c
bc
ca
1
+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế
Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab Chứng minh rằng:
a
a
=
=
≤
+
2
2
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
a +
a +
a +
a +
a
. b a
c
⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 2 a
b
c
a
+
+ + +
a
a
b
c
ca
ab 1 Chứng minh tương tự ta cũng được:
Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
b
+
2
⎛ 1 ⎜≤ ⎜ ⎜⎝ 2 b
b +
c
b +
b
1
b
+ c
+
2
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ a ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ 1 ⎜≤ ⎜ ⎜⎝ 2 c
a
b
c +
c +
1
c
a + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
c
a
b
+
+
≤
+
+
2
2
⎛ 1 a ⎜ ⎜ ⎜⎝ 2 a
b b
b b
c c
c c
3 2
+ +
+ +
⎞ + ⎟ a =⎟ ⎟ ⎠ a +
1
a
1
2 b
1
c
+
+
+
⇔ = = = b
a
c
3 3
b
+ + = c 2
=
+
S
+
Đẳng thức xảy ra
bc +
ab
2a
2c
bc
ac +
2b
ac
ab
=
=
≤
+
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
ab
2c
⎛ ab ⎜ ⎜ ⎜⎝ 2 c
a
b
c
ab +
1 +
1 +
(
c
ab
c
b
a
b
c
+
+
+
+
+
(
)
)
ab )( a c
bc
=
=
≤
+
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
bc
2a
⎛ bc ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 a
b
a
c
bc +
1 +
1 +
)
b
c
bc
c
+ + +
+
+
( a a
)
( a
bc )( b a
ca
=
=
≤
+
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2b
ac
⎛ ca ⎜ ⎜ ⎜⎝ 2 b
c
b
a
ca +
1 +
1 +
b
c
ca
b
a
+ + +
+
+
ca )( c b
( b a
)
(
)
Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab +
a
c
=
=
1
S ⇒ ≤
+
+
+ + b 2
+ +
bc 2 c (
ab a )
+ +
+ +
ab ) b
bc ( 2 a
ca ) b
a
b
Bài giải: Ta lần lượt có: ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎩
a c ( 2 c 2 = = = c 3
1= .
b
+ + = c 2
Đẳng thức xảy ra ⇔
+
+
≤
ab +
c
ab
bc +
a
bc
ac +
b
ac
1 2
0
> ta luôn có:
Vậy Max S Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a Chứng minh rằng:
∀ 1) x, y
Phương pháp 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ Dạng 1:
x
4
1 x
⎛ ⎜+ ) y ⎜ ⎜ ⎝
⎞⎟ 1 + ≥⎟ ⎟ ⎟ y ⎠ y=
∀
0
> ta luôn có:
(
y + +
x
x
9
Đẳng thức xảy ra ⇔ x 2) x, y, y
)
+ + ≥⎟
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
y
1 1 1 x y y = = z
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ Đẳng thức xảy ra ⇔ x
0
(
x
y y=
0
+ + ≥
1 y
1 z
z
9 x + + y = = z y
> ta luôn có: 4 1 1 + ≥ + y x Đẳng thức xảy ra ⇔ x > ta luôn có: ∀ 2) x, y, z 1 x Đẳng thức xảy ra ⇔ x
a
c
+
+
≤
Dạng 2: 1) x, y ∀
ab + + b
bc + + c
2a
2c
b
a
c
+ + b 4
2b
Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ca + + a
ab.
ab.
=
≤
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎝
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
)
(
a
2c
b
c
c
a
1 4
a
c
c
b
1 + + +
1 +
1 +
(
)
ab b + + Tương tự ta cũng được:
Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
(
)
)
(
= ≤ + bc. bc. 1 + + + 1 + 1 + bc + + c b 2a a c a b ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 4 b a a c
(
(
)
= ≤ + ca. ca. ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 + + + 1 + 1 + 2b c c a b ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 4 c b b a
a
c
+
+
≤
+
+
⎞ ⎟ =⎟ ⎟ ⎠
a
2c
c
⎛ 1 bc ⎜ ⎜ ⎜⎝ a 4
ca b
ca b
ab c
ab a
bc c
+ + b 4
2b
ab b + +
+ +
+ +
+ +
c
ca bc b 2a c a + + + + ⇔ = = > 0 b a
a
c
+
+
≤
2a
2c
b
a
c
2b
+ + b 6
ca ) + + b a Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
bc 3c + +
ca 3a + +
Dấu đẳng thức xảy ra Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab 3b + +
Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được:
=
≤
+
ab.
ab.
)
1 +
1 +
a
2c
c
c
a (
2b
⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 9 a
c
c
⎞⎟ 1 + ⎟ ⎟ ⎠ 2b
b
1 ( + + + + b
)
ab + + 3b Tương tự ta cũng được:
=
≤
+
bc.
bc.
)
1 +
1 +
bc + + 3c
b
2a
1 + + + + c (
a
a
2c
b
⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 9 b
a
a
c
)
(
≤
+
=
ca.
ca.
1 +
1 +
b
2a
⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 9 c
b
b
⎞⎟ 1 + ⎟ ⎟ ⎠ 2c ⎞⎟ 1 + ⎟ ⎟ ⎠ 2a
a
2b
c
c
1 ( + + + + a
)
)
(
ca + + b 3a Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
c a c ≤ + + + + + ⎞ ⎟ =⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 1 a ⎜ ⎜ ⎜⎝ 9 + + b 2 bc a ca b ca b ab c ab a bc c + + b 6 2b b + + + + + + ab 3b + +
ca c 3a + + ⇔ = = > 0 c b
bc 2a 3c 2c a + + a Dấu đẳng thức xảy ra Bài 3:
4 + + = .Chứng minh rằng: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 1 c 1 b
+ + ≤ 1 1 a 1 + + 2b 1 + + b 2a 2c a 1 + + b a c 2c
)
(
)
≤ = + ≤ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 a 2a b a c c c a b ⎛ 1 2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 16 a 1 + + b 1 c Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1 + 1 b + + 1 + 1 a + + ( +
)
(
)
(
≤ + ≤ = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ c a b b c ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 a a c b b ⎛ 1 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 16 a 2 + + b 1 c 1 2b + + 1 + + + 1 + 1 +
)
(
)
( b Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt
+
+
≤
+ + =
=
.4
1
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1 + + b
2a
2c
a
1 + + 2b
c
a
⎛ 1 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ 4 a
2c
1 b
1 c
1 4
≤ + ≤ = ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ c c ⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 4 a c c b ⎛ 1 1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 16 a 1 + + b 2 c 2c a a 1 b + + 1 + + + 1 + 1 +
1 + + b 3 ⇔ = = b 4
a Dấu đẳng thức xảy ra
3
2
2
2
3
3
+
+
+ + ab
b
2 b
( a
b
)
)( b a
Phương pháp 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba:
)
( a
)
a
b
a
≤
≥
≤
⎛ ⎜≤ ⎜ ⎜⎝
6
+ 2
3 ⎞+ b ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2
+
b
( a
3 )
( + ab a 2 a
⇔ = b
(1)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Dấu bằng xảy ra Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: c b a c b a + + ≤ 2 a + + c b + + a c + + b
)
)
+ ( 4 b + ( 4 c + ( 4 a
)
3
3
Bài giải:
+ c b Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ≥ + c
( 3 4 b
)
3
3
3
3
3
3
Do đó:
+ ≥ + ⇒ + c b a + c ≥ + + b a c c
( 4 b
( 4 b
)
3
3
3
3
3
3
c b ⇒ ≤ ⇒ ≤ 1 + + b c a b + c + + b c a a + + c + c a +
)
+ ( 4 b
)
) 1 ( 4 b
3
3
3
Chứng minh tương tự ta cũng được: a c ≤ a c c + a b + + b a + +
)
3
3
3
b a ≤ a b + + + b a c c + + b + ( 4 c + ( 4 a
)
)
b
a
c
b
a
2
+
+
≤
=
3
3
3
3
3
3
3
3
3
( 2 a a
b c + + c b + +
a
b
a
c
c
b
+
+
+
+
+
+
+ ( 4 c
)
+ ( 4 a
)
a
c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt c + ( ) 4 b ⇔ = = > 0 b
+
+
≤
3
3
3
1 3 + + b
a
abc
b
1 3 + + c
c
abc
1 3 + + a
abc
1 abc
3
a
3 + ≥ b
( ab a
) + b
Dấu đẳng thức xảy ra Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
3
a
3 + + b
abc
≥
+ + ⇒
b
c
≤
( ab a
)
3
1 3 + + b
a
abc
1 + + b
c
( ab a
)
Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có Do đó:
≤
3
b
abc
c
( bc a
)
≤
3
1 3 + + c 1 3 + + a
c
abc
1 + + b 1 + + b
c
( ca a
)
Chứng minh tương tự ta cũng được:
+
+
≤
+
+
3
3
3
⎞⎟ =⎟ ⎟ ⎠
a
b
abc
1 3 + + a
1 + + b
abc
a
c
⎛ 1 ⎜ ⎜ ⎜⎝ c ab
1 bc
1 ca
1 abc
c
1 3 c + + ⇔ = = > 0 b
3
3
3
3
3
2
+
+
≥
2
2
2
2
2
2
b
b
a
a
c
c
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt
1 3 abc + + b a Dấu đẳng thức xảy ra Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1= . Chứng minh rằng: 3 a c + ca + +
b a + ab + +
c b + bc + +
2
2
a
b
≥
Bài giải:
2
2
+ b a + + ab
b
+ 3
a
3
3
3
3
3
a
b
b
c
a
c
=
a
+ + ≥
b
c
3 3. abc
=
2
≥
+
+
+
+
(
)
2
2
2
2
2
2
2 3
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có
+ 3
+ 3
+ 3
2 3
c
a
b
c c
+ + a c c b bc ca + + + + ⇔ = = = 1 b a
9
9
9
9
9
+
+
≥
2
y 3
6
6
6
6
9
6
Suy ra: 3 + b a + + ab
a b Dấu đẳng thức xảy ra Bài toán tương tự: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1= . Chứng minh rằng: 9 z +
+ z 3 3 y z
+ 3 x y
x 3 +
+ 3 z x
x +
y +
+
+
y
y
x
x
z
z
1=
2
2
2
b
1
c
1
a
1
+
+
≥
3 3
2 + + a ab
2 + + b bc
2 + + c ca
3
3
3
3
3
1
+ + ≥
b
a
3 1.a .b
=
3ab
Bài 5: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc Chứng minh rằng:
3
b
1
3
3
3
3
3
1
b
a
3 1.a .b
3ab
≥
+ + ≥
=
⇒
Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3 a + + ab
3 ab
3
1
c
≥
Suy ra:
3 bc
3
a
1
≥
3 c + + ca
2
2
2
1
b
a
1
1
c
3
≥
+
+
+
+
≥
3
.
.
=
3 3
2 + + a ab
3 ab
3 bc
3 ca
3 ab
3 bc
3 ca
c
3 ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 2 + + + + c b bc ca ⇔ = = = 1 b a
Chứng minh tương tự ta cũng được: 3 b + + bc
+
+
≤
+
+
2
2
2
2 a 3 + b
a
2 b 3 + c
b
2 c 3 + a
c
1 2 a
1 2 b
1 2 c
3
3
2
a
2 + ≥ b
2 a b
=
2ab b
Dấu đẳng thức xảy ra Bài 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
3
3
2
a
2 + ≥ b
2 a b
=
2ab b
⇒
≤
Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2
2 a 3 + b
a
1 ab
Suy ra:
Chứng minh tương tự ta cũng được:
≤
2
b
≤
2
2 b 3 + c 2 c 3 + a
c
1 bc 1 ca
≤
+
+
≤
+
+
+
+
2
2
2
1 ab
1 bc
1 ca
1 2 a
c
1 2 b
1 2 c
2 a 3 + b a
b c
2 b 3 c + a ⇔ = = > 0 b Dấu đẳng thức xảy ra Giáo viên biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO. Sáng lập chihao.info Đơn vị: THPT Thành phố Cao Lãnh Tỉnh Đồng Tháp - Ngày soạn 28/04/2009.
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 c 3 + a
-------------------Hết------------------
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
