Nguyn Tt Thu http://www.toanthpt.net
Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa – ðng Nai
BT ðNG THC
I. LÝ THUYT
1. ðnh nghĩa :
Cho a ; b ∈R. Mnh ñ “ a > b” ; “a ≥ b” ; “a < b” ; “ a ≤ b” gi là bt ñng thc
2.Tính cht :
*
a b
>
và
b c a c
>⇒>
*
a b a c b c
> ⇔ + > +
*
a b
>
và
c d a c b d
>⇒+ > +
*
khi 0
ac bc c
a b ac bc c
> >
>⇒
< <
*
0
a b a b
> ≥ ⇒>
*
2 2
0
a b a b
≥ ≥ ⇔ ≥
*
0
n n
a b a b
> ≥ ⇒>
3. Bt ñng thc v giá tr tuyt ñi
*
| |
x a a x a
< ⇔ − < <
( V
i
0
a
>
)
*
| |
x a
x a
x a
>
> ⇔
< −
( V
i a > 0)
4
. B
t
ñ
ng th
c gi
a trung bình c
ng và trung bình nhân ( B
ñ
t Cauchy)
a) Cho
, 0
a b
≥
, ta có
2
a b
ab
+
≥ . D
u ‘=’ x
y ra khi và ch
khi a = b
H
qu
:*. Hai s
d
ươ
ng có t
ng không
ñ
i thì tích l
n nh
t khi 2 s
ñ
ó b
ng nhau
*. Hai s
d
ươ
ng có tích không
ñ
i thì t
ng nh
nh
t khi 2 s
ñ
ó b
ng nhau
b) Cho
, , 0
a b c
≥
, ta có
3
3
a b c
abc
+ +
≥ . D
u ‘=’ x
y ra khi và ch
khi a = b = c
5. Phương pháp chng minh bt ñng thc
I. Phương pháp bin ñi tương ñương
ð chng minh BðT dng
A B
≥
ta thưng dùng các cách sau :
Cách 1 : Ta chng minh
0
A B
− ≥
. ð
là
ñ
i
u này ta th
ư
ng s
d
ng các h
ng
ñ
ng
th
c
ñ
phân tích
A B
−
thành t
ng ho
c tích c
a nh
ng bi
u th
c không âm.
Chú ý :
M
t s
k
t qu
ta th
ư
ng hay s
d
ng
*
2
0
x x
≥ ∀
và
2
0 0
x x
= ⇔ =
;
| | 0
x x
≥ ∀
và
| | 0 0
x x
= ⇔ =
*
2 2 2
0
abc
+ + ≥
.
ð
ng th
c x
y ra
0
abc
⇔ = = =
.
Ví d 1 :
Cho hai s
th
c
,
a b
. Ch
ng minh r
ng :
2 2
2
a b ab
+ ≥
.
Gii :
Ta có
2 2 2 2 2
2 ( ) 0 2
a b ab a b a b ab
+ − = − ≥ ⇒+ ≥
. ðng thc có
a b
⇔ =
.
Ví d 2 : Cho ba s thc
, ,
a b c
. Chng minh rng :
2 2 2
a b c ab bc ca
+ + ≥ + +
(I).
Gii : Ta có :
2 2 2
( )
a b c ab bc ca
+ + − + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2 2 2
a ab b b bc c c ca a
= − + + − + + − +
Nguyn Tt Thu http://www.toanthpt.net
Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa – ðng Nai
2 2 2 2 2 2
1( ) ( ) ( ) 0
2
a b b c c a a b c ab bc ca
= − + − + − ≥ ⇒+ + ≥ + +
ðng thc xy ra
a b c
⇔ = =
.
Ví d 3 : Cho 5 s thc
, , , ,
a b c d e
. Cmr :
2 2 2 2 2
( )
a b c d e a b c d e
+ + + + ≥ + + +
.
Gii :
Ta có :
2 2 2 2 2
( )
a b c d e a b c d e
+ + + + − + + + =
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 4 4
a a a a
ab b ac c ad d ae e
= − + + − + + − + + − +
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
2 2 2 2
a a a a
b c d e
= − + − + − + − ≥ ⇒
ñpcm.
ðng thc xy ra
2
a
b c d e
⇔ = = = =
.
Nhn xét :
1) BðT Ví d 3 cũng ñúng vi n s thc
1 5
n
≤ ≤
, còn
6
n
≥
thì không còn ñúng
na, tc là BðT
2 2 2
1 2 1 1 1
... ( ... ... )
n i i i n
a a a a a a a a
− +
+ + + ≥ + + + + +
ñ
úng v
i n s
th
c
5
n
⇔ ≤
.
2) S
d
ng hàng
ñ
ng th
c 2 2 2 2
( ) 2 2 2
a b c a b c ab bc ca
+ + = + + + + +
thì ta có th
vi
t B
ð
T (1) d
ư
i các d
ng sau :
2 2 2 2
( ) 3( ) (II)
3( ) ( ) (III)
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
.
Các B
ð
T (I), (II), (III) có nhi
u
ng d
ng trong ch
ng minh B
ð
T, ta xét các bài toán
sau :
Bài toán 1.2 :
Cho ba s
th
c d
ươ
ng
, ,
a b c
. Ch
ng minh B
ð
T sau
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
(1) (
Vô dch Toán Canaña 2002)
Gii : BðT (1)
4 4 4
( )
a b c abc a b c
⇔ + + ≥ + +
(2)
Áp dng (I) hai l!n ta có :
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b c a b c a b b c c a ab bc ca
+ + = + + ≥ + + = + + ≥
. . . ( )
ab bc bc ca ca ab abc a b c
≥ + + = + + ⇒
ñ
pcm.
Nhn xét : * Nu ta cho
1
abc
=
thì (2) tr thành :
4 4 4
a b c a b c
+ + ≥ + +
ñây là bài
toán 3 ñ thi HSG tnh ð"ng Nai lp 11 năm 2005.
* Nu ta cho
1
a b c
+ + =
thì (2) tr thành :
4 4 4
a b c abc
+ + ≥
Bài toán 2.2 : Cho các s thc dương
, , 0
x y z
>
có tng bng 1. Chng minh rng
4 1 4 1 4 1 21
x y z+ + + + + ≤ .
Gii : Áp dng BðT (III) vi
4 1, 4 1, 4 1
a x b y c z
= + = = = +
ta có
2 2 2
3( ) 3(4 1 4 1 4 1) 21
VT a b c a b c x y z= + + ≤ + + = + + + + + =
ðng thc xy ra
1
3
x y z
⇔ = = =
.
Nguyn Tt Thu http://www.toanthpt.net
Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa – ðng Nai
Bài toán 3.2: Gi
p
là chu vi tam giác ABC. Cmr :
3
p a p b p c p
− + − + − ≤ .
Gii : Áp dng BðT (III) ta có :
3( ) 3
VT p a p b p c p
≤ − + − + − = ñpcm. ðng thc có khi
ABC
∆
ñu.
Ví d 4 : Cho
, 0
a b
≥
. Ch
ng minh r
ng :
3 3 2 2
a b a b b a
+ ≥ +
.
Gii :
Ta có :
3 3 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0
a b a b b a a a b b b a a b a b a b a b
+ − − = − + − = − − = − + ≥
3 3 2 2
a b a b b a
⇒+ ≥ +
. ðng thc xy ra khi
a b
=
.
Nhn xét : * Qua chng minh trên ta thy ch c!n ñiu kin
0
a b
+ ≥
thì Bð
T luôn
ñ
úng và ta còn có k
t qu
t
ng quát nh
ư
sau :
m n m n m n n m
a b a b a b
+ +
+ ≥ +
.
* S
d
ng k
t qu
bài toán trên ta có th
gi
i quy
t
ñư$
c m
t s
bài toán sau :
Bài toán 1.4 :
Cho
, , 0
a b c
≥
. Ch
ng minh r
ng :
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
+ + ≤
+ + + + + +
.
Gii :
Theo bài toán trên ta có :
3 3 2 2
( )
a b a b b a ab a b
+ ≥ + = +
3 3
3 3
1 1
( )
( ) ( )
c
a b abc ab a b c
ab a b c abc a b c
a b abc
⇒+ + ≥ + + ⇒≤ =
+ + + +
+ +
Tương t :
3 3 3 3
1 1
;
( ) ( )
a b
abc a b c abc a b c
b c abc c a abc
≤ ≤
+ + + +
+ + + +
Cng ba BðT trên li vi nhau ta có ñpcm.
Sau ñây ta xét bài toán ñư$c gii thiu trong kì thi IMO năm 1995.
Bài toán 2.4 : Cho
, , 0
a b c
≥
và
1
abc
=
. Ch
ng minh r
ng :
5 5 5 5 5 5
1
ab bc ca
a b ab b c bc c a ac
+ + ≤
+ + + + + +
.
Gii :
Ta có : 5 5 3 2 3 2 2 2 5 5
( )
a b c
a b a b b a a b a b a b ab ab
c
+ +
+ ≥ + = + ⇒+ + ≥
5 5
ab ab c
a b c
a b c
a b ab ab
c
⇒≤ =
+ +
+ +
+ + .
T
ươ
ng t
:
5 5 5 5
;
bc a ca b
a b c a b c
b c bc c a ac
≤ ≤
+ + + +
+ + + +
C
ng ba B
ð
T này l
i v
i nhau ta có
ñ
pcm.
Bài toán 3.4
: Cho
0
a b
+ ≥
. Ch
ng minh :
2 2 2
m n m n m m n n
a b a b a b
+ +
+ + +
≥
Gii :
Ta có B
ð
T2( ) ( )( )
m n m n m m n n m n m n m n n m
a b a b a b a b a b a b
+ + + +
⇔ + ≥ + + ⇔ + ≥ +
ð
ây chính là B
ð
T trong nh
%
n xét trên.
Nguyn Tt Thu http://www.toanthpt.net
Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa – ðng Nai
Bài toán 4.4 : Cho các s thc a,b. Chng minh rng :
2 2 8 8 10 10 20 20
( )( )( ) 4( )
a b a b a b a b
+ + + ≤ +
.
Gii : ðt
2 2
, , 0
x a y b x y
= = ⇒≥
và BðT tr thành :
4 4 5 5 10 10
( )( )( ) 4( )
x y x y x y x y
+ + + ≤ +
Áp dng bài toán 3 ta có :
4 4 5 5 5 5 5 5 10 10
2 2 2 2 2 2
x y x y x y x y x y x y+ + + + + +
≤ ≤ ⇒
ñpcm.
Bài toán 5.4 : Cho
0
a b
+ ≥
.Ch
ng minh r
ng :
( )
2 2
n n
n
a b a b
+ +
≥.
Gii :
Áp d
ng k
t qu
bài toán 3 ta có :
2 2 1 1
1
. ... . ... ...
2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n
n n
a b a b a b a b a b a b a b a b a b
− −
−
+ + + + + + + + +
≤ ≤ ≤ ≤

 
( )
2 2
n n
n
a b a b
+ +
⇒≤
ñ
pcm.
Ví d 5 : Cho
1
ab
≥
. Ch
ng minh r
ng :
2 2
1 1 2
1
1 1
ab
a b
+ ≥
+
+ +
.
Gii :
Ta có
2 2 2 2
112 11 12
( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1
ab ab ab
a b a b
+ − = − + −
+ + +
+ + + +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) .
1 1
( 1)(1 ) ( 1)(1 ) 1 1 (1 )(1 )
ab a ab b a b b a a b b a a b b a
ab ab
a ab b ab b a b a
− − − − − + −
= + = − =
+ +
+ + + + + + + +
2
2 2 2 2
( )( 1) ( ) ( 1)
0
1
(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )
a b a b ab a b ab
ab b a ab b a
− − − − −
= = ≥
++ + + + +
(Do
1)
ab
≥
.
Nhn xét :
N
u
1 1
ab
− < ≤
thì B
ðT có chiu ngư$c li :
2 2
1 1 2
1
1 1
ab
a b
+ ≤
+
+ +
.
Ví d 6 : Cho hai s thc x,y. Chng minh :
2
3( 1) 1 3
x y xy
+ + + ≥ .
Gii :
Vì ta có :
2
1
( )
4
xy x y
≤ + nên ta ch
ng minh :
2 2
3
3( 1) 1 ( )
4
x y x y
+ + + ≥ +
Th
%
t v
%
y :
2 2
(*) 12( ) 24( ) 16 3( )
x y x y x y
⇔ + + + + ≥ +
2 2
9( ) 24( ) 16 0 (3 3 4) 0
x y x y x y
⇔ + + + + ≥ ⇔ + + ≥
ñ
pcm
ð
ng th
c xay ra khi :
2
3
x y
= = −
.
Nguyn Tt Thu http://www.toanthpt.net
Trưng THPT Lê Hng Phong – Biên Hòa – ðng Nai
Cách 2 :
Xu
t phát t
&
m
t B
ð
T
ñ
úng ta bi
n
ñ
i
ñ
n B
ð
T c
!
n ch
ng minh
ð
i v
i cách này th
ư
ng cho l
i gi
i không
ñư$
c t
nhiên và ta th
ư
ng s
d
ng khi
các bi
n có nh
ng ràng bu
c
ñ
c bi
t
Ví d 1 :
Cho a,b,c là
ñ
dài ba c
nh tam giác. Ch
ng minh r
ng :
2 2 2
2( )
a b c ab bc ca
+ + < + +
.
Gii :
Vì a,b,c là
ñ
dài ba c
nh tam giác nên ta có :
2
a b c ac bc c
+ > ⇒+ >
. Tương t
2 2
;
bc ba b ca cb c
+ > + >
cng ba BðT này li vi nhau ta có ñpcm
Nhn xét : * ' trong bài toán trên ta ñã xut phát t& BðT ñúng ñó là tính cht v ñ
dài ba cnh ca tam giác. Sau ñó vì c!n xut hin bình phương nên ta nhân hai v ca
BðT vi c. Tương t thì xut phát t& BðT
| |
a b c
− <
r"
i bình ph
ươ
ng hai v
ta c
ũ
ng
có
ñư$
c k
t qu
.
* N
u gi
thi
t các bi
n
( 1;1)
a
∈ −
thì ta có :
(1 ), (1 ) 0
a a
− + >
…
Ví d 2 :
Cho
, , [0;1]
a b c
∈
. Ch
ng minh :
2 2 2 2 2 2
1
a b c a b b c c a
+ + ≤ + + +
Gii : Vì
2 2 2
, , [0;1] (1 )(1 )(1 ) 0
a b c a b c
∈⇒− − − ≥
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
a b b c c a a b c a b c
⇔ + + + − ≥ + +
(*)
Ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0;
a b c a b b c c a a b b c c a
≥ + + ≤ + +
nên t& (*) ta suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
a b c a b b c c a a b b c c a
+ + ≤ + + + ≤ + + +
ñpcm.
Ví d 3 : Cho các s thc a,b,c tha mãn :
2 2 2
1
abc
+ + =
. Chng minh :
2(1 ) 0
a b c ab bc ca abc
+ + + + + + + ≥
.
Gii : Vì
2 2 2
1 , , [ 1;1]
a b c a b c+ + = ⇒∈ −
nên ta có :
(1 )(1 )(1 ) 0 1 0
a b c a b c ab bc ca abc
+ + + ≥ ⇔ + + + + + + + ≥
(*)
Mt khác :
2
(1 )
0 1 0
2
abc a b c ab bc ca
+ + +
≥ ⇔ + + + + + + ≥
(**)
Cng (*) và (**) ta có ñpcm.
Bài tp : Chng minh các bñt sau:
1)
2
( )( ) ( )
ax by bx ay a b xy
+ + ≥ +
( vi
, 0; ,
a b x y R
> ∈
)
2)
2 2 7 7 10 10
( )( )( ) 4( )
a b a b a b a b
+ + + ≤ +
vi
0
a b
+ ≥
3)
1 1
n n n n
a b a b
+ +
+ ≤ +
v
i
a+b 2
≥
8)
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )( )
y x z x z
x z y x z
+ + + ≤ + −
v
i
0
z y x
≥ ≥ ≥
9)
2 2 2 2
c a c b
c a c b
+ +
≥
+ +
v
i 0;
a b c ab
> > >
10)
4
2 2
a b c b
a b c b
+ +
+ ≥
− − v
i
, , 0
a b c
>
và
1 1 2
a c b
+ =