intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 21: Khối cầu - Mặt cầu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST
Báo xấu
2
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 21: Khối cầu - mặt cầu" giới thiệu các dạng bài tập liên quan đến khối cầu và mặt cầu trong không gian. Các bài tập bao gồm tính thể tích khối cầu, diện tích mặt cầu, cũng như ứng dụng các công thức tính toán trong các bài toán thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để nắm vững các công thức về khối cầu và mặt cầu trong kỳ thi tốt nghiệp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 21: Khối cầu - Mặt cầu

  1. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 21. KHỐI CẦU - MẶT CẦU • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Dạng 1. Thể tích, diện tích … mặt cầu nội, ngoại tiếp Câu 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN . S A B M D C N a 93 a 37 a 29 5a 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 12 6 8 12 Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA1 . Gọi I là trung điểm AA1 . Mặt phẳng  BCI  chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó. 43 1 1 48 A. . B. . C. . D. . 51 2 4 153 Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong  ABC và 0 2SH=BC,  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 60 . Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho d  O ; AB   d  O ; AC   d  O;  SBC    1 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 256 125 500 343 A. . B. . C. . D. 81 162 81 48 Câu 4. Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C , BC  CD  a 3 , góc     900 , khoảng cách từ B đến  ACD  là a 2 . Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp ABC ADC ABCD là 4 3 3 A. 4 3a 3 . B. 12 a3 . C. 12 3a 3 . a . D. 3 Câu 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  3a 2 ,   SAB  SCB  900 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 2a 3 . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . A. 72 18 a3 . B. 18 18 a 3 . C. 6 18 a3 . D. 24 18 a3 . Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có AA  2a , BC  a . Gọi M là trung điểm của BB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M . ABC  bằng 3 3a 13a 21a 2 3a A. . B. . C. . D. . 8 2 6 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 7. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Mặt bên (SAC ) là tam giác cân tại 3   và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA  SC  . Gọi D là điểm đối xứng với B qua S 2 C . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD . 34 3 34 3 34 3 34 A. . B. . C. . D. . 8 4 16 8 Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 45 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là 4 a 2 3 a 2 2 a 2 9 a 2 A. B. C. D. 3 4 3 4 Câu 9.  Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , AB  a, AC  a 2, BAC  45 . Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC1B1 bằng  a3  a3 2 4 3 A. . B.  a3 2 . C. . D. a . 2 3 3 Câu 10. Trong không gian cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB  AD  2 , CD  1 , cạnh bên SA  2 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AB . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BCE. 14 41 A. Smc  41 . B. S mc   . C. S mc   . D. Smc  14 . 4 2 Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. a a 3 a 5 a 21 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 2 3 2 6 Câu 12.  Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC. ABC có AB  2a, BC  a, ABC  120 và AB tạo với đáy góc 30 . Diện mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. ABC bằng 32 a 2 16 a 2 116 a 2 A. . B. . C. 16 a 2 . D. . 3 3 3 Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh AB  3a , BC  4a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm ID . Biết rẳng SB tạo với mặt phẳng ABCD một o góc 45 . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD . 25 2 125 2 125 2 A. a . B. a . C. a . D. 4 a 2 . 2 4 2  Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy là  ABC có BAC  120 , BC  3a ; SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC bằng  a2 16 a 2 A. 12 a 2 . B. . C. . D. 16 a 2 . 3 3 Câu 15. Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh bằng 2a . Một mặt cầu  S  đi qua các đỉnh của hình vuông ABCD đồng thời tiếp xúc với các cạnh của hình vuông ABCD . Tính bán kính R của mặt cầu  S  ? a 3 a 41 a 43 a 41 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 4 4 9 8 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Câu 16. Cho điểm A nằm trên mặt cầu  S  tâm O, bán kính R  6 cm. I , K là hai điểm trên đoạn OA sao cho OI  IK  KA . Các mặt phẳng  P  ,  Q  lần lượt đi qua I , K cùng vuông góc với OA và r1 cắt mặt cầu  S  theo đường tròn có bán kính r1 ; r2 . Tính tỉ số . r2 r1 5 r 3 10 r 4 r 3 10 A.  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . r2 3 10 r2 4 r2 10 r2 5 Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1 , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho biết   120 . ASB 13 78 5 15 5 4 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 27 54 3 27 Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB  BC  1 , AD  2 . Cạnh bên SA  1 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AD. Diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE là A. S mc  5 . B. Smc  3 . C. Smc  11 . D. Smc  2 . Câu 19. Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2;3;3;2 (đơn vị độ dài) đôi một tiếp xúc với nhau. Mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu trên có bán kính bằng. 7 3 6 5 A. . B. . C. . D. 15 7 11 9 Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 6 , mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc   120  . Tính diện tích Smc của ASB mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . A. S mc  84 . B. S mc  28 . C. S mc  14 . D. S mc  42 .  Câu 21. Cho hình chóp S . ABC có AC  a , AB  3a , BAC  60 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM bằng 4 21 a 3 28 21 a 3 28 21 a 3 28 7 a 3 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 3 Câu 22. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  8 , BC  6 . Biết SA  6 và SA  ( ABC ) . Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S. ABC . 16 625 256 25 A. . B. . C. . D. . 9 81 81 9 Câu 23. Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có AB  2a , góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng  AA ' B ' B  bằng 30 . Gọi H là trung điểm của AB . Tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.HB ' C ' . a 3 a 2 a 66 a 30 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 6 2 4 6 Dạng 2. Bài toán tổng hợp nón – trụ - cầu Câu 1. Cho hình nón  N  có góc ở đỉnh bằng 60o , độ dài đường sinh bằng a . Dãy hình cầu  S1  ,  S2  ,  S3  ,...,  Sn  ,... thỏa mãn:  S1  tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón  N  ;  S2  tiếp xúc ngoài với  S1  và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  N  ;  S3  tiếp xúc ngoài với  S2  và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón  N  . Tính tổng thể tích các khối cầu  S1  ,  S2  ,  S3  ,...,  Sn  ,... theo a . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  a3 3 27 a 3 3  a3 3 9 a 3 3 A. . . B. C. . D. . 52 52 48 16 Câu 2. Cho mặt cầu  S  có bán kính bằng 2 và có một đường tròn lớn là  C  . Khối nón  N  có đường tròn đáy là  C  và thiết diện qua trục là tam giác đều. Biết rằng phần khối nón  N  chứa trong   mặt cầu  S  có thể tích bằng a  b 3  , với a, b là các số hữu tỉ. Tính a  b . 14 13 11 7 A. a  b  . B. a  b  . C. a  b  . D. a  b  . 3 3 3 3 Câu 3. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY . A. V   125 1 2   . B. V   125 5  2 2   . 6 12 C. V   125 5  4 2   . D. V   125 2  2   . 24 4 Câu 4. Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba 3 lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều 2 cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 54 3  dm  . Biết rằng khối cầu 3 tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây? 46 46 A. 3  dm3  . B. 18 3  dm3  . C. 3  dm3  . D. 18  dm3  . 5 3 Câu 5. Trong tất cả các hình nón nội tiếp trong hình cầu có thể tích bằng 36 , bán kính r của hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất là 3 2 3 A. r  . B. r  . C. r  2 2 . D. r  3 . 2 2 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Câu 6. Cho mặt cầu  S  bán kính R . Hình nón  N  thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  . Thể tích lớn nhất của khối nón  N  là 32 R 3 32 R3 32R3 32 R3 A. . B. . C. . D. . 27 27 81 81 Câu 7. Cho mặt cầu S  O; 4  cố định. Hình nón  N  gọi là nội tiếp mặt cầu nếu hình nón  N  có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu S  O; 4  . Tính bán kính đáy r của  N  để khối nón  N  có thể tích lớn nhất. 4 2 8 2 A. r  3 2 . B. r  . C. r  2 2 . D. r  . 3 3 Câu 8. Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn sau: Trước tiên tạo ra hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh 2  60 bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9cm . Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng 100 112 40 38 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 9. Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r  2m , chiều cao h  6m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Giá trị của V là: 32 32 32 32 A. V    m3  . B. V    m3  . C. V    m3  . D. V    m3  . 9 3 27 5 Câu 10. Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R  6 là 256 A. 96 2 . B. . C. 72 . D. 288 . 3 Câu 11. Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy; một viên bi và một khối nón đều bằng thuỷ tinh. Biết viên bi là khối cầu có đường kính bằng của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thuỷ tinh). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 4 2 1 5 A.. B. . C. . D. . 9 3 2 9 Câu 12. Một hình trụ  T  có chiều cao bằng đường kính đáy và một hình nón  N  có đáy là đáy của hình trụ T  , còn đỉnh là tâm của đáy còn lại của hình trụ T  . Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích xung S1 quanh của hình trụ T  và hình nón  N  . Tỉ số bằng S2 3 4 5 7 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 9 2 Câu 13. Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là 2 , trong đó ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón. 2 6 2 3 A. 1  3  . B. 1  3  . 3 3 2 6 2 6 C. 1  6  . D. 1  2  . 3 3 Câu 14. Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiệc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với các đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích của khối trụ là 120cm 2 , thể tích mỗi khối cầu bằng 3 A. 10cm . B. 20 cm 3 . 3 C. 30cm . D. 40 cm 3 . Câu 15. Một hình hộp chữ nhật có chiều cao là 90cm , đáy hộp là hình chữ nhật có chiều rộng là 50cm và chiều dài là 80cm . Trong khối hộp có chứa nước, mực nước so với đáy hộp có chiều cao là 40cm . Hỏi khi đặt vào khối hộp một khối trụ có chiều cao bằng chiều cao khối hộp và bán kính đáy là 20cm theo phương thẳng đứng thì chiều cao của mực nước so với đáy là bao nhiêu? A. 68,32cm . B. 78,32cm . C. 58,32cm . D. 48, 32cm . Câu 16. Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy là a và chiều cao 12 , được đặt vào trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy là a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ cho đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra. A. 11, 37 . B. 11 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12  37 C. 6 3 . D. . 2 Câu 17. Trong không gian cho mặt cầu  S  tâm O có bán kính R và một điểm A cho trước sao cho AO  2 R . Từ A ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu với tiếp điểm thuộc đường tròn  C1  . Trên mặt phẳng  P  chứa đường tròn  C1  ta lấy điểm E thay đổi nằm ngoài mặt cầu  S  . Gọi  N  là hình nón có đỉnh là E và đáy là đường tròn  C2  gồm các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E đến mặt cầu  S  . Biết rằng hai đường tròn  C1  và  C2  luôn cùng bán kính, khi đó quỹ tích các điểm E là một đường tròn, đường tròn này có bán kính R  bằng 3R R 15 R 17 R 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 4 Câu 18. Một bình đựng nước dạng hình nón đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 18 dm3 .Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. A. 27 dm3 . B. 6 dm3 . C. 9 dm3 . D. 24 dm3 . Câu 19. Lon bia Hà Nội có hình trụ còn cốc uống bia thì có hình nón cụt (như hình vẽ dưới đây). Khi rót bia từ lon ra cốc thì chiều cao h của phần bia còn lại trong lon và chiều cao của phần bia có trong cốc là như nhau. Hỏi khi đó chiều cao h của bia trong lon gần nhất là số nào sau đây? A. 9,18 cm . B. 8, 58 cm . C. 14, 2 cm . D. 7, 5 cm . Dạng 3. Min – max Câu 1. Cho mặt cầu  S  tâm O , bán kính R . Xét mặt phẳng  P  thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn C  . Hình trụ T  nội tiếp mặt cầu  S  có một đáy là đường tròn C  và có chiều cao là h h  0 . Tính h để thể tích khối trụ T  có giá trị lớn nhất. 2R 3 R 3 A. h  2 R 3 . B. h  . C. h  R 3 . D. h  . 3 3 Câu 2. Cho tứ diện OABC có OA  a, OB  b, OC  c và đôi một vuông góc với nhau. Gọi r là bán a kính mặt cầu tiếp xúc với cả bốn mặt của tứ diện. Giả sử a  b, a  c . Giá trị nhỏ nhất của là r A. 1  3 . B. 2  3 . C. 3 . D. 3  3 . Câu 3.  Trên mặt phẳng  P  cho góc xOy  60 . Đoạn SO  a và vuông góc với mặt phẳng   . Các điểm M ; N chuyển động trên Ox , Oy sao cho ta luôn có: OM  ON  a . Tính diện tích của mặt cầu  S  có bán kính nhỏ nhất ngoại tiếp tứ diện SOMN . 4 a 2  a2 8 a 2 16 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng 6 cm , AB  4 cm . Khi thể tích khối chóp S . ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD . A. 12 cm2 . B. 4 cm2 . C. 9 cm2 . D. 36 cm2 . Câu 5. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu đã cho, cạnh đáy của hình chóp có thể tích nhỏ nhất bằng. A. 2 6 . B. 6 . C. 3 . D. 4 6 . Câu 6. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng 6 cm, AB  4 cm. Khi thể tích khối chóp S . ABCD đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD ? A. 36 cm2. B. 4 cm2. C. 9 cm2. D. 12 cm2. Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 21. KHỐI CẦU - MẶT CẦU • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Dạng 1. Thể tích, diện tích … mặt cầu nội, ngoại tiếp Câu 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN . S A B M D C N a 93 a 37 a 29 5a 3 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 12 6 8 12 Lời giải S I A B H O N D M C Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CMN . Gọi H là trung điểm của AB nên SH  AB mà SAD   ABCD  Suy ra SH   ABCD  . Gọi CH  MN  O suy ra SH //OI . 1 a 2 1 a 2 Ta có MN  BD  nên OM  MN  ; 2 2 2 4 2 2 a a a 2 HM  HD 2  DM 2        . 2 2 2 2 2 2 2 a 2 a 3 2  a 2 a 2 2 2 Đặt IO  x , IS  IM  IS  IM  x      x   4   2   2   4             a 2 3a 2 a2 a2 3a 2 a2 5 3a 5 3a  x2    a 3x  x 2     a 3x   0  x  x 8 4 2 8 4 2 12 12 2 2  5 3a   a 2  a 93 R  IM      12   4        12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA1 . Gọi I là trung điểm AA1 . Mặt phẳng  BCI  chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó. 43 1 1 48 A. . B. . C. . D. . 51 2 4 153 Lời giải Gọi cạnh của tứ diện đều là a . Gọi K là trung điểm của CD và E  IK  AB . Qua A1 kẻ đường thẳng song song với IK cắt AB tại J . Ta có: BJ BA1 2 AE AI 1 a 3a   và   1 nên suy ra AE  AB  và BE  . BE BK 3 EJ IA1 4 4 4 Gọi M là trung điểm của BE , trong mặt phẳng  ABK  dựng đường trung trực của BE cắt AA1 tại O . Ta dễ dàng chứng minh được O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp EBCD . a 3 a 6 Ta có: BA1  , AA1  . Đặt BE  x . 3 3 Tam giác ABA1 đồng dạng với tam giác AOM nên suy ra AM OM AM .BH  x 1   OM   a   . AA1 BH AA1  2 2 Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy ra: 2 x2 1  x R  OB  OM 2  MB 2   a   . 4 2 2 2 3a 9a 2 1  3a  43 Với x  ta có: R   a    a . 4 64 2  8  128 a Tương tự với x  ta có bán kính R  của mặt cầu ngoại tiếp EACD là 4 2 a2 1  a 51 R   a    a . 64 2  4 128 R 43 Do đó  . R' 51 Phương pháp trắc nghiệm: Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Áp dụng công thức Crelle: Với mỗi khối tứ diện ABCD đều tồn tại ít nhất một tam giác mà số đo các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện đó. Hơn nữa nếu gọi V là thể tích, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì ta có công thức: S  6V .R . Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong  ABC và 2SH=BC,  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  một góc 60 0 . Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho d  O ; AB   d  O ; AC   d  O;  SBC    1 . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 256 125 500 343 A. . B. . C. . D. 81 162 81 48 Lời giải S A F C K H E D B O Giả sử E , F là chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB, AC . Khi đó ta có  HE  AB , HF  AC . Do OE  OF  1 nên HE  HF . Do đó AH là phân giác của góc BAC . Khi đó AH  BC  D là trung điểm của BC .  Do BC  AD  BC   SAD  . Kẻ OK  SD thì OK   SBC  . Do đó OK  1 và SDA  60 . a Đặt AB  BC  CA  2a  a  0  thì SH  a, HD  a.cot 60  . 3 Do đó AD  a 3  3HD nên H là tâm tam giác đều ABC  S . ABC là hình chóp tam giác đều và E , F là trung điểm AB , AC . OK Mặt khác trong tam giác SOK có : SO   2 . Do DEF đều có OH   DFE  nên sin 30 OE  OF  OD  1  K  D . Khi đó DSO vuông tại D và có DH  SO . Từ đó a2 3 3 DH 2  HS .HO   a  2  a   a   AB  3, SH  . 3 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ SA2 7 Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC thì R   . 2 SH 4 3 4  7  343 Vm / c   .   . 3 4 48 Câu 4. Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C , BC  CD  a 3 , góc ABC    900 , khoảng cách từ B đến  ACD  là a 2 . Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp  ADC ABCD là 4 3 3 A. 4 3a 3 . B. 12 a3 . C. 12 3a 3 . D. a . 3 Lời giải Chọn A Trong mặt phẳng  BCD  vẽ hình vuông BCDH . BC  BH  Ta có   BC   ABH   BC  AH (1). BC  AB  Tương tự ta có CD   ADH   CD  AH (2). Từ (1) và (2)  AH   BCDH  . Vì BH //CD  BH //  ACD   d  B,  ACD    d  H ,  ACD   . Ta có CD   ADH    ACD    ADH  theo giao tuyến AD . Kẻ HE  AD  E  AD   HE   ACD   d  H ,  ACD    HE  HE  a 2 . 1 1 1 1 1 1 Xét tam giác vuông AHD : 2  2  2  2  2  2  HA  a 6 . HA HE HD 2a 3a 6a BCDH là hình vuông cạnh a 3  HC  CD 2  a 6 . AH   BCDH   AH  HC  AC  AH 2  HC 2  6a 2  6a 2  2 3a . Vì     900  B, D nằm trên mặt cầu đường kính AC , suy ra bán kính mặt cầu ngoại ABC ADC 1 tiếp tứ diện ABCD là R  AC  a 3 . 2 4 4 3 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là S   R 3   . a 3 3 3    4 3a3 . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Câu 5. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  3a 2 ,   SAB  SCB  900 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 2a 3 . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC . A. 72 18 a3 . B. 18 18 a3 . C. 6 18 a3 . D. 24 18 a3 . Lời giải Chọn D Gọi I , H lần lượt là trung điểm của cạnh SB và AC Mặt khác, theo giả thiết ta có ΔSAB ,ΔSCB lần lượt là các tam giác vuông tại A và C  IA  IB  IC  IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC Mặt khác: ΔABC vuông tại B  H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC  IH   ABC  d  A; SBC  AC Ta có:   2  d  H ; SBC   a 3 d  H ; SBC  HC Gọi K là trung điểm của cạnh BC  HK  BC  HK / / AB , AB  BC  Lại có: BC  IH  IH   ABC   BC   IHK  Mặt khác: BC  SBC   SBC    IHK  theo giao tuyến IK Trong  IHK  , gọi HP  IK  HP  SBC  tại P  HP  d  H ; SBC   a 3 1 1 1 1 1 Xét ΔIHK : 2  2 2  2  HI  3a HP HI HK HI AB2 4 4 Xét ΔIHB : IB  IH 2  HB2  3a 2  R . Vậy V  πR 3  24 18πa 3 3 Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A BC có AA  2a , BC  a . Gọi M là trung điểm của BB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M . ABC  bằng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 3a 13a 21a 2 3a A. . B. . C. . D. . 8 2 6 3 Lời giải Chọn C B C O A M H I B' C' O' N A' Gọi O ; O lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ABC  . OO  AA  BB  2a  Vì ABC. ABC  là lăng trụ tam giác đều  OO   ABC  ; OO   ABC   .  BC  BC   a  Như vậy OO là trục đường tròn ngoại tiếp 2 mặt đáy.  tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M . ABC  nằm trên OO . Trong mặt phẳng  OBBO  , từ trung điểm H của MB , kẻ đường thẳng vuông góc với MB cắt OO tại I . Suy ra IA  IC  IB  IM  khối chóp M . ABC  nội tiếp mặt cầu tâm I , bán kính R  IB . Gọi N là trung điểm của AC  . Dễ dàng chứng minh được HIOB là hình chữ nhật. 2 2 2 2 2 2  BB   2 BC 3  2 Suy ra IB  IO  BO  HB   BN      .  3   4  3 2  2 2 a a 3 a 21  IB        . 2  3  6 Câu 7. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Mặt bên (SAC ) là tam giác cân tại 3   và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA  SC  . Gọi D là điểm đối xứng với B qua S 2 C . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABD . 34 3 34 3 34 3 34 A. . B. . C. . D. . 8 4 16 8 Lời giải Chọn C Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 S d K I D A H C B Gọi H là trung điểm của AC, do SAC là tam giác cân tại   và nằm trong mặt phẳng vuông góc với S 9 1 đáy nên SH  AC  SH  ( ABC ) và SH  SA2  AH 2    2. 4 4 1 Tam giác ABD có AC là đường trung tuyến và AC  BD nên ABD là tam giác vuông tại A, suy ra 2 C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Dựng trục (d) của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABD  I  d và IA  IS  ID  IB  R . 1 Kẻ IK  SH  IK  CH  2 1 Giả sử HK  x  SK  2  x  IS  SK 2  HC 2  ( 2  x ) 2  R 4 Mặt khác: R  IA  AC 2  IC 2  1  x 2 . 1 5 2 Ta có phương trình: ( 2  x )2   1 x2  x  4 16 3 2 3 34 Suy ra: R  1 R  x 2 1  . 16 16 Vậy phương án C đúng. Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 45 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là 4 a 2 3 a 2 2 a 2 9 a 2 A. B. C. D. 3 4 3 4 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ S N I A B K O D C Gọi O là tâm của đáy suy ra SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy đa giác. Từ O dựng OK vuông góc với BC , suy ra K là trung điểm BC . Xét tam giác SBC cân tại S có SK  BC  SK  BC  Từ đó ta có    Góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng đáy ABCD là góc SKO OK  BC   1 a Xét tam giác OBC vuông cân tại O có OK  BC  2 2  a Xét tam giác SKO vuông tại O có SO  OK . tan SKO  .tan 45  2 a 2   2 a a 2  2   2 2    Mặt khác SA  SO  OA       3a  SA  a 3  2 2 2  2      4 2   Gọi N là trung điểm SA . Trong mặt phẳng  SAO  vẽ đường trung trực của cạnh SA cắt SO tại I , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD SN SI Xét hai tam giác đồng dạng SNI và SOA có  SO SA 2 a 3        SN .SA SA2  2    3a R  SI     SO 2 SO a 4 2 2 2  3a  9 a 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là S  4 R  4.     2 4    4 Câu 9.  Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , AB  a, AC  a 2, BAC  45 . Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC1B1 bằng  a3  a3 2 4 3 A. . B.  a3 2 . C. . D. a . 2 3 3 Lời giải Chọn C Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 S C1 B1 C A I B  1 Xét tam giác ABC có BC 2  AB 2  AC 2  2.AB. AC.cos BAC  a 2  2a 2  2a.a 2.  a2 2  BC  a  Tam giác ABC có BA  BC  a, BAC  45 là tam giác vuông cân tại B  BC  AB Ta có   BC   SAB   BC  AB1  BC  SA  AB1  SB Khi đó   AB1   SBC   AB1  CB1  AB1C vuông tại B1  AB1  BC Gọi I là trung điểm của AC Vì tam giác ABC vuông tại B nên IA  IB  IC Vì tam giác AB1C vuông tại B1 nên IA  IC  IB1 Vì tam giác ACC1 vuông tại C1 nên IA  IC  IC1 1 a Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCC1B1 với bán kính R  AC  2 2 4  a3 2 Thể tích khối cầu đó là: V   R 2  3 3 Câu 10. Trong không gian cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB  AD  2 , CD  1 , cạnh bên SA  2 và SA vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm AB . Tính diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BCE. 14 41 A. Smc  41 . B. S mc   . C. S mc   . D. Smc  14 . 4 2 Lời giải Chọn D S A B E D C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ C M I E S N B Tứ giác AECD có AE // CD , AE  CD  1 và AD  AE nên tứ giác AECD là hình chữ nhật do đó CE  AB Lại có SA   ABCD   SA  CE  CE  SE CE  SE Ta có   CE   SEB  CE  EB Gọi N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ESB Từ E dựng đường thẳng d song song với CE  d   SEB  do đó d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ESB Gọi M là trung điểm của CE Trong mặt phẳng  CE; d  dựng đường trung trực của đoạn thẳng CE . Đường thẳng này cắt d tại I Vì I  d nên IE  IS  IB Vì I thuộc đường trung trực của đoạn CE nên IC  IE  IE  IS  IB  IC Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BCE. Tứ giác INEM là hình chữ nhật  IE 2  IN 2  NE 2  ME 2  NE 2 Xét tam giác SEB có SB  SA2  AB 2  2 2 ; SE  SA2  AE 2  5 ; BE  1  SE 2  EB 2  SB 2 1  2 cos SEB    sin SEB  2.SE.EB 5 5 SB 10 Theo định lí sin trong tam giác SEB ta có 2 EN   EN   sin SEB 2 CE 2 14 Do đó IE 2  EN 2  ME 2  EN 2   4 4 Vậy diện tích S mc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BCE là Smc  4 .IE 2  14 . Câu 11. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. a a 3 a 5 a 21 A. R  . B. R  . C. R  . D. R  . 2 3 2 6 Lời giải Chọn D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Gọi M là trung điểm của AB .  SAB    ABCD    SAB    ABCD   AM  SM   ABCD  .  SM  AB  Gọi O là giao điểm của AC và BD , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Dựng d qua O và d   ABCD  . Suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Dựng  qua G và    SAB  . Suy ra  là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB . Gọi I  d   , suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là: 2 2 2 a 3 a 2 2 a 21 R  IA  IO  OA    6   2   6 .         Câu 12. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC. ABC  có AB  2a, BC  a , ABC  120 và AB tạo với đáy góc 30 . Diện mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. ABC  bằng 32 a 2 16 a 2 116 a 2 A. . B. . C. 16 a 2 . D. . 3 3 3 Lời giải Chọn A  Gọi I , I  lần lượt là tâm đường trong ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ, O là trung điểm của II   O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.  AC a 7  Ta có AC  AB  BC  2 AB.BC.cos ABC  a 7  BI   2 2 . 2sin  ABC 3    2a .  Vì  AB,  ABC)     AB, AB  BAB  BAB  30o  BB  AB tan BAB  3 2 2  BB  2 2 2a 2  Bán kính mặt cầu là R  BO  IO  BI     BI  .  2  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 32 a22  Diện tích mặt cầu là 4 R  . 3 Câu 13. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh AB  3a , BC  4a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm ID . Biết rẳng SB tạo với mặt phẳng ABCD một o góc 45 . Tính diện tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD . 25 2 125 2 125 2 A. a . B. a . C. a . D. 4 a 2 . 2 4 2 Lời giải Chọn B Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc với  ABCD   d Là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . Gọi M  d  SB . S d M K O D A H I B C Mặt phẳng trung trực canh SB qua trung điểm K của SB cắt d tại O  OS  OB OS  OA  OB  OC  OD . Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABCD có bán kính là R  OS  Ta có SBH  45o  SHB, IBM vuông cân lần lượt tại H và I  KOM vuông cân tại K 2 BI BM 2 2 2 2 3  5a 2  OK  KM ;    BM  BS  BH 2  BS 2  2  BD   BH BS 3 3 3 3 4  2 15a 2 BS 5a 2 15a 2 5a 2  BS   KM  BM      KO 4 2 2 8 8 2 2 2  5a 2   15a 2  2 5a 5 OS  OK  KS    8   8   4        125a 2 125a 2 Diện tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là: S  4 OS 2  4  . 16 4  Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy là ABC có BAC  120 , BC  3a ; SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2a . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC bằng  a2 16 a 2 A. 12 a 2 . B. . C. . D. 16 a 2 . 3 3 Lời giải Chọn D Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
15=>0