Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Chuyên đề và phương pháp giải

ƯỜ Ặ

ƯƠ ƯƠ ề ề Ỉ ề ƯƠ NG TRÌNH VÔ T 3 .................................................................................................. Chuyên đ 1. PH Ỉ ƯƠ Ấ ề Chuyên đ 2. B T PH NG TRÌNH VÔ T 18 ....................................................................................... Ệ ƯƠ Ộ ề 29 NG G P ....................................................... NG TRÌNH TH Chuyên đ 3. M T VÀI H PH 45 ¬ng tr×nh ®èi xøng ............................................................................................................... I/ HÖ ph 49 ¬ng tr×nh ............................................................................................................ Bµi 3: Cho hÖ ph 81 IV/ HÖ ®¼ng cÊp bËc hai .................................................................................................................. Ỉ 110 NG TRÌNH VÔ T .............................................................................................. Ỉ 111 .............................................................................................. NG TRÌNH VÔ T Chuyên đ 4. PH Chuyên đ 5. PH

ề

ƯƠ

Chuyên đ 1. PH

Ỉ NG TRÌNH VÔ T

n (2

Ỉ Ả Ằ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ Ệ Ả NG Đ NG H QU NG TRÌNH VÔ T GI I B NG PHÉP BI N Đ I T ứ ầ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3. b a b ab a b a b )0 ,1 ba , (

�(cid:0)

a n ) ạ ƯƠ I. PH ớ ế 1. Ki n th c c n nh : n 1. 2. a a ơ ả 2. Các d ng c b n: (cid:0)xg )( 0 ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf )( xg )( ạ * D ng 1: (cid:0) (cid:0) 0 xg )(

)

( f x

( g x

( ) f x (cid:0)

(

)

( g x ( f x

(cid:0) (cid:0) ạ ề ệ ầ ặ * D ng 2: (Không c n đ t đi u ki n ) xf )( xf )( ) ) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xg xf )( 2)( xgxf )()( xh )( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf xf )( xg )( xh )( 0)( ạ ể ề ạ (chuy n v d ng 2) * D ng 3: (cid:0) (cid:0) xg 0)( (cid:0)

(cid:0) (cid:0) xf )( xg )( xh )( ạ * D ng 4: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xg xgxf xg xf )( 3)( 3 ()()( xf )( ))( xh )(

(cid:0) (cid:0) ậ ượ ươ ệ ả nh n đ c ph ng trình h qu xh )( xf )( xg )(

(cid:0) (cid:0) ươ ả ng trình: i ph Thay 3. Ví dụ Ví d 1.ụ Gi = 3 (x 4) x x 2 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 04 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ ươ ươ ớ ờ L i gi i. Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 2 (38 )4 x 11 28 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 4 (cid:0) (cid:0) ậ ươ ệ V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là x = 4; x = 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 7 (cid:0)

+ 2 x

x ta d d ng nh m đ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ng trình: [ĐH Kh i D – 2006] x 3 - ố ề ượ c: x 3 ế 4 ổ 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 - = - x 1 2 ễ ạ ẩ 01 1 ượ ặ ệ ệ ồ (*), đ t đi u ki n r i bình ph c nghi m x = 1 sau đó chia đa th c ta đ ế ươ ng 2 v ta đ ượ ứ c: x ả i ph ươ ng trình thành: 2 2 0

Ví d 2.ụ Gi Bi n đ i ph x x x 6 11 8 (*)(cid:0) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0. (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 x x 1 0 4 ả ươ i ph ng trình: Txđ: Ví d 3. ụ Gi x x x 4 1 21 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 21 0

xg )(

xf )(

xk )(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2/1 2/1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 1( x )21)( 2 1 2/1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 0 1( x )21)( 2( )1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 7 ườ ườ , ta th ng bình ph ế ng 2 v ,

ạ ng d ng ạ ặ ề ế ươ ặ

i g p khó khăn khi gi ươ ế ổ ề ạ Thông th đi u đó đôi khi l f(x)h(x)=g(x)k(x), thì ta bi n đ i ph (cid:0) (cid:0) (cid:0)

xh )( ả i. N u có f(x)+h(x)=g(x)+k(x) ho c ng trình v d ng: ả ươ

xf )(

xh )(

xk )(

xg )(

ươ ệ ả sau đó bình ph i ph ng, gi ng trình h qu

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ i ph ng trình: . Đkxđ: Ví d 4. ụ Gi x x x x 3 3 1 2 2 2

0(cid:0)x x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) PT x x x x x x x 3 1 2 2 4 3( 1 2 2 4 )3 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x 6 2 4 12 1

ử ạ 8 ỏ i x=1 th a mãn. Th l

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ i ph ng trình: . Đkxđ: (cid:0)x 1(cid:0) Ví d 5. ụ Gi x x x x 1 1 3 (cid:0) x x 1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) PT (cid:0) x x x x 3 1 1 (cid:0) x x 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x x x ( )3 ( 1 )1 1 2 02 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 1 1 1 3 (cid:0) x 1 3

(cid:0) x

3 ươ ươ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 3 23 ng trình ta có: x23 (cid:0) ) = ế ủ 3 1( x x + 3 2 x(cid:0) ươ + 3 2 x(cid:0)

3 2 x(cid:0) . 3

(cid:0) là nghi mệ 3 1 x(cid:0) ng trình: ng hai v c a ph x(cid:0) = 0. x 1(cid:0) (cid:0)x ử ạ Th l Ví d 6. ụ Gi ả i ph ậ ả ờ i. L p ph L i gi 3 13 2 1 Suy ra 3 3 1 x(cid:0) x . 3 2 x(cid:0) 23

(cid:0) ượ = 0 ho c ặ 3 = 0, ta tìm đ c x = 1 ; x = 2; x = x Do đó 3 1 x(cid:0) = 0 ho c ặ 3 2 x(cid:0) 23 3 2

ử ạ ấ ỏ Th l i th y x =1, x = 2, x = th a mãn 3 2 ề ậ ị Bài t p đ ngh ả ươ ng trình sau: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b. i các ph x Bài 1. Gi a. x 1 3 x x x 31 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c. d. x x x 2 x x 6 1 1 2 2 x 1 3 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) e. f. x x 2 x x x 3 2 4 3 5 4 3 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g. h. x 7 x 3 x 4 x 1 3 2 0 1 2 0 x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) i. k. x x x x 3 x 3 1 34 1 2 x 3 22 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) l. x x x 8 3 33 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ x 7 7 ể ươ ng trình sau có nghi m: Bài 2. Tìm m đ ph xm x 3 2 2

+ = 1

2 +

- - ể ươ ng trình x x có nghiêm.

m - = + x

22 x

ệ ng trình t.

ự ệ t:

Bài 3. Tìm m đ ph 2 ệ có hai nghi m phân bi Bài 4. Tìm m đ ph mx 3 ệ ể ươ ng trình có hai nghi m th c phân bi Bài 5. [ĐH Kh i B – 2006] Tìm m đ ph + ể ươ ố + = 2

1 ƯƠ

NG PHÁP Đ T N PH ố ớ Ặ Ẩ ể ặ ẩ ạ ơ ươ ng ể ặ ề ạ ặ ệ ươ ề ươ Ụ ụ ể ng trình có th đ t n ph đ quy v d ng đ n gi n. Tùy theo d ng ph ng trình ho c h ph ả ng trình.

ng pháp đ t n ph hoàn toàn ặ

mx x Ả Ằ II. GI I B NG PH ộ ố ươ Đ i v i m t s ph ộ ẩ trình có th đ t m t n, nhi u n, quy v ph ặ ẩ ươ 1. Ph ườ ộ ố ạ a. M t s d ng th

ề ẩ ụ ng g p

ế ặ N u có và f(x) thì đ t t = )(xf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ố ặ ằ N u có mà (h ng s ) đ t xf xf a t )(xf (cid:0))( xg ,)( xg )( .)( xf )( xg )( ta /

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế đ t ặ xg xgxf a t ,)( ,)()( xf )( xg )( xf )( xg )(

N u có ụ xf )( ụ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ả ng trình: =11. i ph x 4(4 xx )( )2 b. Ví d áp d ng Ví d 1.ụ Gi

(cid:0) (cid:0) ươ ở ả x x . Ph ng trình đã cho tr thành ặ i. Đ t t = , x 2 0(cid:0)t ) (4 ờ L i gi 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V . (cid:0) t 3

0(cid:0)t 4(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2)( 3(cid:0)t 1 ỏ ề đ u th a mãn x x thì = 1 . 4( 2)( ) x x x x x 2)( 1) 2 7 0 221

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x thì = 9 4( 2)( 2 01 1

V i ớ ậ x ) ệ , .

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ng trình có nghi m là ả ươ ng trình i ph (*). (cid:0)x x x x 3 x 4( 2)( 221(cid:0) x 6 x 9) 1(cid:0)x 3( 6)( ) 3 t t 4 03 ,1 (cid:0) t t Ta th y ấ 1(cid:0)t V i ớ 3(cid:0)t ươ V y ph Ví d 2.ụ Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 6 ả ề ệ ờ L i gi i. Đi u ki n (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 6 0 0

t 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cách 1: Đ t ặ . Pt đã cho có d ng:ạ x x 3( 6)( ) x t x 6 3 2 (cid:0) t 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t t loai t 3 3 t 2 03 (1 ) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ứ ặ ượ c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ươ ả ng trình: i ph V i t=3 thay vào bi u th c đ t đ Ví d 3.ụ Gi x x x 3(5 2 329 5 2

25t+6=0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ặ )1 4 ẫ ớ Đkxđ x ≥ 1 đ t t= x đ/k t ≥ 1d n t x i pt t x x 3 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ i ph ng trình: x x x 1(2 ) 13 1( )

ủ ệ ế ả không là nghi m c a pt đã cho. Chia c 2 v PT cho Ví d 4.ụ Gi (cid:0)x 1(cid:0) 0 1 x(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) đ t ặ t t 3 0 03 /1 t 2 t 2 t 3 01 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 1 1 ả ng trình 1 1 gi ệ ề ậ 1 1 ươ i ra có t = 1, t = 1/ 2 suy ra nghi m ph ị Bài t p đ ngh (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a. x x x x ( )(1 2)2 01 (cid:0) (cid:0) b. 3 (cid:0) (cid:0) 4 x x 21 x 1 x 4 21 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c. d. x x x x 7 1 6 13 x x x x 1 27 6 7 8

+ x

- = 2 x

- + 2 1

e. f. - + + + - x x x x x + + 4 3 13 + = 4 51 4

2)(

= 18) 168

x x

+ x

h. ( - g. 1 2 3 1 = x

+ 15

- - m. p. 2 x

x 15 +

x + 2

x+ + x

= 2 11 31 = + x ) 1 2 )(2

(

5)(2

x +

- = 2 5 = x ) 3 + 2

- - r. - q.

3 = 2 x

- - s.

+ 2

ươ ặ ẩ 2. Ph ụ ng pháp đ t n ph không hoàn toàn

- ả ươ

)

(

= + x

1 2

- +

i ph ng trình : Ví d 1.ụ Gi

(

) x t

= (cid:0) x

+ 2

3 3

+ , ta có :

=(cid:0) t 3 (cid:0) = - x t

+ 2

- (cid:0)

(

+ = x 3

) 1

(

- ả ươ i ph ng trình : Ví d 2.ụ Gi

) 1

x (

+ x

- (cid:0) ươ Đ t : ặ Khi đó ph ở ng trình tr thành :

t + - 2 1 ờ

� x Bây gi

+ 2

D ươ ậ ng trình b c 2 theo t có ch n :ẵ

+ x ) = t 1 0 ớ ể ượ ta thêm b t , đ đ (

(

�

( + x

( = x

+ - x 3

) + 1

) 1

=(cid:0) t 2 � (cid:0) = - t x

- - - - c ph ) 1 (cid:0)

ề ậ ị

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2. (4x1) 8x2+2x+1 Bài t p đ ngh 1. xx x x 21 2 4 2 (cid:0)x 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3. x x 2 0 (2

x 2 ặ ẩ )2 ụ ư ề ạ

1 =

- - ẳ uv

) ( 1 (

�

) = 0 1 ) ( ) = u b v a

� + ab vu

- -

ươ i ph x 3. Đ t n ph đ a v d ng tích ứ ử ụ S d ng đ ng th c ( + = + u v u + au bv B= 2 A Ví d 1. ụ Gi

+ = + 2 1 = x

+ -

�

+ + 31 ) + - = x 2 1

� (cid:0)

0 = -

+ +

(cid:0) ả ( ng trình : ) ( 1 1 Gi i:ả (cid:0)

ả ươ i ph ng trình :

ệ ả i:ả x = , không ph i là nghi m Ví d 2. ụ Gi Gi +

�

= � x

= + 1

) - = x 1

x (cid:0)

3 x :

� � 3 �

( � 3 � �

+ +

- ế + , ta chia hai v cho

x x

3 2

+ = 1

ươ ng trình:

+ -

) (

�

+ - x

3 2

) = 1 1

� (cid:0)

- Ví d 3. ụ Gi ả dk x (cid:0) : Gi i ph 1 (cid:0) i: ả ( pt (cid:0)

+ + 3

x +

4 x

ả ươ i ph ng trình : Ví d 4.ụ Gi

x (cid:0)

ả Gi i: Đk:

�

= x

3x + :

x 4 + x 3

� 1 � �

2 � = � �

- ế ả Chia c hai v cho

ề ệ ươ ặ ẩ ụ 4. Đ t n ph quy v h ph ng trình

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u a xf )( u v ba (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b c xf )( xf )( ạ ặ ụ ẩ đ t 2 n ph D ng 1: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) vu c v b xf )( (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 x u 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 2 ả ươ i ph ng trình: Ví d 1.ụ Gi vu 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u v 2 (cid:0) x v 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u x 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x u 2 u v 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x u x 2 1 1 1 1 ả ươ i ph ngtrình: Ví d 2. ụ Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) vu 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x v 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u x 2 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ộ ệ ạ ng trình thành m t h : ax b e mnx dxc (

ộ ẩ ả ươ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ể m t n ph chuy n ph ng trình: x i ph 2 x x x x dat y x x D ng 2: Ví d 3.ụ Gi 1 4 13 3 5 3 1 2( )3 4 2 3 3 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x y y x y x 2 3 2( )3 4 2( )3 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 2 25 (cid:0) (cid:0) y x y x 2( )3 3 1 2( )3 3 1

(cid:0) 15 97 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x x x )1 4 15 8 0 8 (cid:0) 11 73 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x x 2)2 25 4 x 11 03 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ (1) Ví d 4. ụ Gi x 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0(cid:0)y ệ ừ ươ Đ t ặ v i ớ . T đó ph ng trình (1) 5 x 5 0 .5 x y ng trình: i ph x ề iả : Đi u ki n : x Gi (cid:0) 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y )2(5 (cid:0) ệ ươ ở tr thành h ph ng trình : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x )3(5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ả c : . X y ra 2 x y x y x y 0 ( xy )( )1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 0(cid:0) ượ ươ ả ượ , thay vào (2) đ c ph ng trình : gi i ra đ c : Tr v v i v c a (2) và (3) ta đ ườ tr a) hay x (cid:0) x 5 0

(cid:0) (cid:0)x 1(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ế ớ ế ủ ợ ng h p : (cid:0) y 0(cid:0) x 1 2 x y x )21 01 (cid:0) 01 (cid:0) ả ượ , thay vào (2) cú : gi i ra đ c : b) hay x (cid:0) x 4 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0)x 1( )17

1, xx

ệ ư ệ ỏ ớ ề ệ ề th a mãn đi u ki n đ bài nên PT (1) có 2 nghi m nh trên .

A ể

Ca ư i nh sau :

(cid:0) y 1 2 ậ : V i 2 nghi m ư ề ệ ạ Đ a v h t m ỉ ươ ng trình vô t có d ng ố ể ạ ể

�

= B

�

= A C

A B A

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) , khi đĩ ta có h : ệ - - (cid:0) (cid:0) ế K t lu n ạ D ng 3: = = , mà : A B ế N u ph B C ứ ủ x . Ta có th gi ể ả ở dây C có th là hàng s ,có th là bi u th c c a = B C A = a B

ả ươ Ví d 5.ụ Gi

- + = + x 1 )

+ + x

x 2 - + 2 x x

2 ( + x

+ + + x ) = 1

- i ph ( ng trình sau : ( ấ i: Ta th y :

) ả không ph i là nghi m

ệ ả Gi x = -

x (cid:0)

�

= + x

+ + - x 9

- + = 2 x 1

- + 2 x

- ứ Xét ụ +

+ + - x 9

- + = 2 x 1

�

2 2

+ + = + 9

+ + +

- + = + x 1

8 7

Tr c căn th c ta có : x 2 + + - x 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ậ V y ta có h : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ử ạ ậ ỏ ươ ệ Th l i th a; v y ph ng trình có 2 nghi m : x=0 v x=

8 7 - + = x

1 3

ả i ph

2 - + 2 x

+ + + 1 ) + = 2 x 1

Ví d 6.ụ Gi ( ng trình : ( ư ậ ề ệ ươ ) + + - x 1 Ta th y : ấ ỏ , nh v y không th a mãn đi u ki n trên.

= thì bài toán tr nên đ n gi n h n ơ ở

ể ế ả ặ ả ơ Ta có th chia c hai v cho x và đ t

1 x Bài t p đ ngh

ề ậ ị

ả ươ Gi i các ph ng trình sau: (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2. x x 353 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1. x x x 1 1 121( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 31 4. x x 2 1(2 ) 2 1

221 )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5. (Đ t y=ặ 6. x x x 4 6

1 x

x 2 (cid:0)x 23

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7. x .11 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 8. 1 1 x 1 x

ế

ế ặ ẩ 5. Đ t n ph đ a v ph ả Chúng ta đã bi ụ ư ề ươ i ph t cách gi ng trình: ấ ậ ng trình thu n nh t b c 2 đ i v i 2 bi n : + b ươ uv ầ 2 u ố ớ = (1) b ng cách ằ 0

v (cid:0)

0v = th tr c ti p

u v

� � � � + b + a � � � � � � � �

ươ ử ự ế Xét ph ở ng trình tr thành: .

c (1)

)

u v ư ề ượ ng h p sau cũng đ a v đ ) ) ( ( + c A x B x

ườ ) ợ ( bB x Các tr ( a A x .

)

(

)

ứ ứ ể ể ẽ ở ỉ ậ ượ ươ c ph ng trình ạ ỉ Chúng ta hãy thay các bi u th c A(x) , B(x) b i các bi u th c vô t thì s nh n đ vô t theo d ng này .

) ( c A x B x

ươ ạ a. Ph ng trình d ng :

( a A x . ( ) Q x

( bB x ( ) P x

ể ả ằ ươ có th gi i b ng ph ế ng pháp trên n u

)

( aA x

( bB x

(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ng trình ) ( + (cid:0) ươ ư ậ Nh v y ph ) ( ) ( A x B x P x . ( ) ) Q x (cid:0)

ả ươ i ph ng trình : Ví d 1. ụ Gi

- + x

Gi i:ả Đ t ặ

v 2

(

)

uv 5

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ượ Ph ở ng trình tr thành : Tìm đ c: (cid:0) (cid:0)

+ 4 x

+ 2 x

+ = - x 1

3 3 - =

- ả ươ i ph ng trình : Ví d 2.ụ Gi

1 7

- ả ươ i ph ng trình sau :

1x (cid:0)

i: ả Ví d 3.ụ gi Gi Đk:

(

) - + 1

) = 1

) 1

- ậ ế Nh n xt : Ta vi t

) ( 1 (

(

+ + 2 x (

+ + 2 x

+ + 2 x x

x ) - + 1

) = 1

+ + 2 x x ) ( 1

) 1

- ứ ồ ượ ấ Đ ng nh t th c ta đ c:

u 9

u 3

= - x

= v

+ + > 2 x

1 0 ,

1 0

1 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ Đ t ặ , ta đ c: (cid:0) (cid:0)

x = (cid:0) 4

ượ Ta đ c :

(

) 3

+ x

+ 23 x

= x 6

- - ả ươ i ph ng trình : Ví d 4.ụ Gi

+ ta hãy bi n pt trên v ph ế

i:ả ậ ặ ố ớ ầ Gi Nh n xét : Đ t

+ 2

�

= x 6

+ xy 3

= 2

� (cid:0)

= -

ấ ậ ề ươ ng trình thu n nh t b c 3 đ i v i x và y : = (cid:0) - - - (cid:0)

2 2 3 = b+

x a

Pt có nghi m :ệ

ạ ươ b.Ph

mu ng khó “phát hi n “ h n d ng trên , nh g n u ta bình ph

u v d ng này th

+ 2 x

- = 1

ư ế ệ ạ ơ ươ ng ư ề ượ ạ ườ c d ng trên. 2 - ng trình d ng : ươ ở ạ Ph ng trình cho ế hai v thì đ a v đ ả i ph ng trình : Ví d 5. ụ gi

+ 3u v

2 1

+ 2

(cid:0) ươ = (cid:0) (cid:0) - ươ khi đó ph ở ng trình tr thành : Gi i: ả Ta đ t :ặ - (cid:0) (cid:0)

+ x

- = 1

ả ươ i ph ng trình sau : Ví d 6.ụ Gi

1 2

+ 2

ươ i :Đk . Bình ph

(

x (cid:0) ) (

(

)

�

+ 2 x

) = 1

) 1

- - - - ả Gi ( ế ng 2 v ta có : ( ) (

2 +

u v

2 1

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ể ặ Ta có th đ t : khi đó ta có h : ệ (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

u v (cid:0) ,

�

) 1

- Do .

2 ng trình :

+ 5

2 + - x 9

- - - ả ươ i ph

Ví d 7.ụ gi Gi

(

- - - ể ế ươ ượ . Chuy n v bình ph ng ta đ c: Đk i:ả 5x (cid:0)

) ( + 20 ( +

+ = x 2 5 (

x )

+ = x 2

+ 20

) 1 ) 1

- - - ậ ậ không t n t ồ ạ ố ,a b i s đ : ể v y ta không th ể

x = + x

(cid:0) - - Nh n xét : đ t ặ = u (cid:0) . (cid:0)

) (

(

) (

)

) ( + x

( + x

) = 1

) ( + 5

) 1

- - - - - ư ắ Nh ng may m n ta có :

(

)

( + x

+ 5

) = 4

5 (

+ 5)(

- - - - ươ ế Ta vi ế ạ t l i ph ng trình: . Đ n đây bài toán

c gi ế i quy t . ả Ụ Ứ Ử Ấ Ể

Ệ ử ệ chung

ng pháp

ộ ố ươ ượ ể ệ ẩ ỉ ươ ượ đ III. TR C CĂN TH C Đ XU T HI N NHÂN T CHUNG ụ ứ ể ấ 1. Tr c căn th c đ xu t hi n nhân t ươ a. Ph M t s ph c nghi m ư ề ng trình luôn đ a v

(

0x nh v y ph ư ậ ) ( A x = ho c ch ng minh 0 ặ

) x A x 0

- ng trình vô t ta có th nh m đ ( ) = ể ả ứ ươ ta có th gi i ph ng trình

ệ ủ ủ ệ ề ươ ể ể ệ chú ý đi u ki n c a nghi m c a ph ng trình đ ta có th đánh gía

ượ ạ đ c d ng tích ) ( A x = vô nghi m , ( ) A x = vô nghi mệ 0 b. Ví d ụ

(

- = 2 x

+ - x 1

) 1

- - - - - ả ươ i ph ng trình sau : Ví d 1 .ụ Gi

(

)

(

)

(

)

(

)

+ x

= - x

) 1

+ 3

= 4

Gi - - - - - - - - - i: ả ậ ấ Ta nh n th y : V(

+ x

- -

6 2

- + 2

+ x 3

- + 2 x

2 + + x 1

ứ ể ụ ế Ta có th tr c căn th c 2 v : - -

ấ ủ ể ệ

ấ ươ ươ ề i ph

) 1 ng trình . ị :

4 ( ậ D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a ph ả Ví d 2.ụ Gi ng trình sau

+ = 12 5 3

(OLYMPIC 30/4 đ ngh )

+ -+ = - �۳

5 0

ể ươ ệ ng trình có nghi m thì : Gi i: ả Đ ph

x 5 3 ng trình có th phân tích v d ng

ề ạ ể ệ ươ - ấ ) ( = A x Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a ph ( ượ ể ự ệ ng trình , nh v y ph ề ư ậ ả ư ậ ) 2 ủ , đ th c hi n đ ươ c đi u đó ta ph i nhóm , tách nh sau :

(

)

�

+ - 2 x

+ x

- = 12 4 3

- + x 6

5 3

x 2

4 + +

4 = + 12 4

5 3

- - -

(

)

�

= �

= 3

x +

x 1 + + 2

+ 12 4

5 3

� � �

- - -

- <

" > 3 0,

x 2

x +

2 + +

5 3

x 2

x 3

- ễ ượ ứ D dàng ch ng minh đ c :

+ 12 4 - + = x

- ươ i ph ng trình :

3 2 Gi Nh n th y x=3 là nghi m c a ph

+ 2

) (

)

+ x

Ví d 3.ụ Gi ả x (cid:0) ả i :Đk ấ ậ ủ ệ ươ ế ổ ươ ng trình , nên ta bi n đ i ph ng trình

(

�

+ x

- + - = x 1 2

2 5

- +

= - + 2

2 +

- - - -

2 5

(

1 4

) 1

� � ) 3 1 � � �

� - ( x � � � �

= + 1

2 +

- + 2

(

x 3 - +

ứ Ta ch ng minh : -

) 2

(

- + 2 x

) 1

1 4

+ 1 1

2 5

ậ ấ

+ x 31

+ = - x 13 8

ươ ả - - - (1) ng trình:

ệ V y pt có nghi m duy nh t x=3 2. Nhân liên h pợ Ví d 4. ụ Gi i ph Gi iả

x (cid:0)

- ệ ề Đi u ki n

ổ ế ư

�

5 4 ươ ng trình nh sau: = 2 27

3)( 10

(

+ x 31

+ 35

= 2

- - - - Ta bi n đ i ph + 2 x

�

(

3)( 10

+ x 31

+ 35

x =

- - - -

+ x 31

+ 35

+ = x 8

(2)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0)

3) x

+ = - x x 8

3 0 2

+ = x

8 (

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ừ ệ ệ T (1) và (2) suy ra (H này vô nghi m) - - (cid:0) (cid:0)

ậ ươ ấ V y ph

= (1). Ch ng minh r ng ằ ứ

(

1)(

1) 1

ệ ng trình có nghi m duy nh t x=3. + ả

y+ = . 0 iả

+ 2

ố ự Ví d 5. ụ Cho các s th c x, y tho mãn x Gi

+ 2 y

(

1)(

= 1) 1

+ 2

- - ấ ậ ế ớ ươ Nh n th y ế ợ nên n u k t h p v i ph ng

�

+ 2 y

+ - 2 x

+ - 2 y

1)(

= 1) 1

(

)(

= 1

) 1

- - (2). trình (1) ta suy ra

x ( T (1) và (2) suy ra + + 2

+ 2

ừ

+ 2 y

1)(

(

1)(

�

x y

y x

x y

+ 2 y x

+ + 1

+ = - 1

+ - 2 1

+ 2

y x

+ = - 1

1(*)

x y ế

- -

� +) N u x=0 thì t (*) suy ra y=0 do đó x+y=0. +) N u ế

x (cid:0)

ừ ấ ươ ượ ừ thì t (*) suy ra x và y trái d u nhau. Bình ph ế ủ ng hai v c a (*) ta đ c

= -

�

+ = x y

y ) NG PHÁP ĐÁNH GIÁ

(Đpcm)

= g x ( ) ẳ ạ ằ

(ch ng h n ệ ng trình vô t ỉ ườ ấ ẳ f x ( ) ệ ) b ng ph ấ ng trình ch có m t nghi m (nghi m duy nh t).Ta th ươ ử ụ ứ ả ằ ỉ ể ồ ỷ ộ ư ế ơ ờ ế ạ ể ấ ể ử ụ ủ ố ể ố ợ

y x ) (1 ƯƠ IV. PH ộ ố ư 1. M t s l u ý ả ươ ươ ể Khi gi i ph ng là đ ta ng pháp đánh giá, th ươ ứ ổ ườ ng s d ng các b t đ ng th c c ch ra ph ể ng các bi u th c, đ ng th i v ph i b ng đi n Cô si, Bunhiacopxki, đ a v trái v t ng bình ph ặ ử ụ 0. Ta cũng có th s d ng tính đ n đi u c a hàm s (có th th y ngay ho c s d ng đ o hàm xét ự ế s bi n thiên c a hàm s ) đ đánh giá m t cách h p lý.

= (cid:0) f x ( ) (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) ề ổ ệ ủ ộ g x ( ) � � � f x C C g x C ( ) ( f x ( ) ( ) f x ( ) g x ( ) ) ườ ư ặ Th ng ta đánh giá nh sau: , ho c đánh giá cũng (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g x C C ( ) ( ) (cid:0) f x ( ) … ẽ g x ( ) ố ớ ộ ố ươ ộ ẩ ề ơ ỷ ả ằ ươ ụ ể ng trình vô t có nhi u h n m t n mà ta gi i b ng ph ng pháp đánh giá. ụ nh là ư Ngoài ra đ i v i bài c th nào đó ta s có cách đánh giá khác. Cũng có m t s ph ộ ố 2. M t s ví d (cid:0) x 1 3 (cid:0) (cid:0) 2 ả ươ ấ ẳ ụ ế ươ i ph ng trình sau: ứ . Áp d ng b t đ ng th c cô si cho v trái ph ng Ví d 1.ụ Gi (cid:0) x 1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 x x 1 1 3 3 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ằ ả ằ ẩ 2 2 trình ta có ấ b ng v ph i d u b ng x y ra khi (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 3 x x 1 3 1 3

ệ ng trình có 2 nghi m x=2,x=4

x = -

+ - x x x x 3 14 5 i ph ơ = - 4 2 ế . ằ ượ ươ x 10 , do đó hai v cùng b ng 5. Ta đ c ph ng trình + x 6 5(cid:0) + + + 7 còn Vp 5(cid:0) ệ ươ ậ khi x = 2 , x = 4 v y ph Ví d 2.ụ Gi ươ ả ng trình: ả Bài này quá đ n gi n, đánh giá Vt ấ có nghi m duy nh t là

+ = + ả ươ i ph ng trình . Đk . x x 9 0x (cid:0) Ví d 3.ụ Gi

Theo BĐT Bunhiacopxki, ta đ . 1 2 2 + x 1 c ượ

2Vp .Ph

2Vt =

2 � � � � 1 + x

+ + + + (cid:0) ươ ệ ấ x x ng trình có nghi m khi d u 2 2 1 ( 9) 1 + x + x + x 1 1 1 + x x � � x � � = � � 1 1 � � � �

1 = ươ ấ x =� ứ ả ẳ đ ng th c x y ra hay ậ .V y ph ệ ng trình có nghi m duy nh t là 2 2 + x 1 1 7 1 x = . 7 x + x 1

(cid:0) (cid:0) - + x y 1; 1 ả ươ x y y x xy 1 2 - = 1 i ph ng trình . Đk . Ví d 4.ụ Gi 3 2

- + - - - - x y y x x y xy 1 2 - = - 1 y x ( 2 1) - + x y ( 2 1) Ta có 3 2

= - + - - - - - y x x y xy ( 1 1) ( 1 1) . 1 2 1 2 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1; 1 (cid:0) (cid:0) ươ ươ ươ ớ Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i . - - - - y x x y ( + 2 1 1) ( = 1 1) 0 (cid:0) (cid:0) 1 2 x y = ( ; ) (2; 2) ừ ượ ươ ệ T đó ta đ c ph ng trình có nghi m là .

ậ ề ị

Bài t p đ ngh 2. - = 2 1. x x 4 - + 1 4 1 1 + 2 + 2 x - + x x + x x + x + 19 7 8 + 13 13 17 + = x 7 3 3( 2)

- x x + + 3 - - + + + 4. x x x 2 7 + = x 3 3 2 3. x x x 2 27 4 24 = + 1 6 3 2 28 3 27 2

+ 4 + 2 = 4 - 6. x x x x 13 9 16 + 2 - - 5. x x 2 4 2 1 = - 2 x 1 � � + � � x � �

- 7. 3 x x - = 2 2 + + - - x + = - x x - + x x 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 + 1) 3 2

9. 8. x ( 10.

- + = - - - x x + 2 x - + 2 x x 2 - + 1 + = x 3 2 2 + + x 2 3 x y 10 ( + 1996 2008) - - 6 x y 16 1996 1 2008

Ố

f x ( ) ươ ệ f x đ n đi u thì ph ( ) ng trình k= có nghi m duy nh t ấ ệ

a. Ph x

ị ươ b. Ph ng trình

ệ = ( )g x ngh ch bi n thì ph ệ = =� u v ế 0x ta nh m nghi m). f v ( ) f u ( ) (Đ tìm đ ệ ơ NG PHÁP HÀM S V. PH ơ ả 1. M t s d ng c b n k= . N u ế f x ( ) ơ 0x ta nh m nghi m). ệ ẩ ượ c = f x đ ng bi n và g x f x ( ) ( ) ( ) ế ồ . N u ế x= x ượ ể ấ c có nghi m duy nh t f x đ n đi u thì ph f v ( ) ( ) ươ . N u ế c. Ph ẩ ng trình .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ƯƠ ộ ố ạ ươ ng trình x= ể (Đ tìm đ 0 ươ ng trình = g x f x ( ) ( ) f u ( ) ươ ng trình ọ ụ 2. Các ví d minh h a ả ươ .Xét hàm số ụ Ví d 1. Gi ng trình: i ph Đkxđ x x x 11 4 1 4 2/1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x 4 1 4 1 2/1

4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 0 2/1 ạ ế ậ ố ồ Có đ o hàm hàm s luôn đ ng bi n trên txđ v y pt x 2 (cid:0) (cid:0) txd x 2 x 4 1 4 ệ ệ ấ 1 ẩ ấ 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ả . Xét hàm s ố ộ i ph ng trình: txđ x y x x ệ không có quá m t nghi m nh m nghi m ta th y x=1/2 là nghi m duy nh t Ví d 2.ụ Gi x 31 4 x x x 31 0 4

3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x ' 5 3 0 ạ ế ậ ồ ươ x≤1/3 có đ o hàm h/s đ ng bi n trên txđ v y ph ng trình không có (cid:0) x ấ ủ ệ ấ 312 ệ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ả ộ quá m t nghi mTa th y x= 1 là nghi m duy nh t c a bài toán. ụ Ví d 3.Gi ng trình: i ph x x x x x x 1 3 3 2 1

2 x đ/k 3≤t≤2 h/s f(t) =

(cid:0) o x 2 (cid:0)2,3(cid:0) x txđ (cid:0) f`(t)= ố hàm s tăng ặ đ t t = x t (cid:0)3 t 1 (cid:0)32

1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t 1 g(t) 2 tg )( 0 ế ể ậ ố ị ỉ ạ . hàm s ngh ch bi n v y chúng ch có th giao nhau t ộ i m t (cid:0) t 22

2 x =1 có nghi m ệ

(

1(cid:0) 5 ể ệ ấ ấ đi m duy nh t , th y t =1 là nghi m do đó t=1 suy ra pt x 2

ả ươ

)

(cid:0)x )

(

) (

1 2

x 3 2

i ph ng trình : Ví d 4.ụ Gi

(

( = -

)

(

)

�

) 2 + x

) 1 2

) 1

+ 2

+ x 2

) = 1

- -

(

)

(

)

ồ

)

(

x = -

1 5

Xét hàm s ố ế , là hàm đ ng bi n trên R, ta có

- - - ả ươ i ph ng trình Ví d 5.ụ Gi

+ = x 6 5 3 x

+ 2 x 7 2 x

(

�

+ = y

) 1

3 7

4 +

(

)

(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - ả Gi ặ i . Đ t , ta có h : ệ (cid:0) (cid:0)

x 9 + = x 5 6 - = 3 4 = + , là hàm đ n đi u tăng. T ph ơ

ừ ươ ệ Xét hàm s : ố ng trình

)

(

�

( f y

= + x

) 1

( ) + � �� y 1 � �

= (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ị

- - - - 1. x x 2. 1 + = x 1 + x 2 6 ề ậ Bài t p đ ngh + = 3 6 1 8

ƯỢ NG PHÁP L NG GIÁC

[

]

x (cid:0)

;

x= và m t s y v i ớ ộ ố

-� p � 2 �

� � �

cos

ƯƠ IV PH ộ ố ư 1. M t s l u ý - (cid:0) (cid:0) ộ ố ớ sao thì có m t s t v i N u ế sao cho : sin t

cho

1x(cid:0)

x= và m t s y v i ớ ộ ố

p� � 0; � �� 2

cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ộ ố ớ thì có m t s t v i sao N u ế 0 sao cho : sin t

cho

tan

ớ ỗ ố ự V i m i s th c x có sao cho :

= , thì có m t s t v i

p 2

p p� -�� ; 2 2 � 2 ỏ x

� � � y+

2 1

(cid:0) (cid:0) ộ ố ố ự , sao cho ớ 0

cos ụ

x , y là hai s th c th a: N u : ế = t y x sin , ộ ố 2. M t s ví d

1 + = 2 2 ả ươ i ph ng trình . Ví d 1.ụ Gi - x 1 1 x p = p ι ươ ở x y y y cos , (0; ), Đ t ặ . Ph ng trình đã cho tr thành 2

+ + = = + (cid:0) (cid:0) � y y y 2 2 sin cos 2.sin 2 . y y z . Đ t ặ sin cos = - z , 2 2 y y 1 cos 1 sin

= = - suy ra , ta đ c ượ và . y y z sin 2 y 2sin cos 1 z = - z = 2 2 2 p = y V i ớ thì , do đó . x = z = 2 4 2 2 + = = - y V i ớ thì , do đó . x z = - p 11 12 3 1 2 2 2 2 + = - ậ ươ ệ V y ph ng trình có nghi m là và . x x = 1 3 2 2 2 2

+ - - ươ ả i ph ng trình . x x x x (1 = 2 3 ) 2(1 ) - (cid:0) (cid:0) . Ví d 2.ụ Gi Đk 1 1x

= x y y y (cid:0) sin , 0 Đ t ặ suy ra cos . � � � + = Khi đó ph ng trình tr thành . y sin cos

ươ + = y y cos 1; 2 2; 2 ế ổ ươ Đ t ặ sin ng trình ta đ ượ c

22. z

- - + - - ( z z 3 p p� -�� ; 2 2 � ở -�� z z � , � 0 = 2

y y 2 sin cos -�� ), bi n đ i ph z � � + = 2 1) 0 . z � � z z y � � (chính xác là + + z z 2)( 2 1)( = - = 1 2 p = y N u ế thì thì , do đó . x = z = 2

4 + + - N u ế y y thì sin cos = - 1 2 2 2 2 � z = - 1 2 x = - 2 1 2

- - � x x 1 x 1 = - 2 1 2 � 0

- - - 1 2 2 2 1 =� x 2 ậ ươ ệ V y ph ng trình có 2 nghi m trên.

1 2

� +� 1 �

ả ươ i ph ng trình =1 Ví d 3.ụ Gi -

x > , ta có th đ t ể ặ

1 sin

� � �

ả Gi i: đk:

� � 1 � p p� -�� ; 2 2 � = 0

t cos

(

)

+ 1 cot

= (cid:0) 1

1 2 sin

1 2

t sin 2 (

x = -

= - ) + 3 1

(cid:0) (cid:0) Khi đó ptt: (cid:0) (cid:0)

ươ ệ Ph ng trình có nghi m :

ậ ề ị

- = 2 - - 2. = x x x Bài t p đ ngh - + 1. 1 4 4 3 4 1 1

)

2 3 )

x + 1 = 2 - - - - 4. x ( 3. x x x x = 2 x x x 5 3 1 8 + - 6 (1 ( 3 2 ) 1 3 2

2 3 ) + 3

) 1

+ = 1

)

x ( x 2 1

+ + x ) (1 = = + - 5. 6. x x 3 1 - - x x 6 x x 20 6 (1 1 2 x 2 x + - 7. x - + x x = 2 x 2 1 2 1 1 1 ( 8. -

ườ ả ặ ở Ộ Ố ƯƠ Ngoài nh ng ph NG PHÁP KHÁC ươ ng pháp th ng g p ể ỷ i khác l ể ả ế ợ ươ ử ụ . Cũng có th ta s d ng k t h p các ph ờ ữ trên, đôi khi ta cũng có nh ng l i gi ở trên đ gi ng pháp ạ ố đ i ộ i m t

(

)

ọ ộ ủ ơ

r u

r v

x y ; 2

x y ; 1 1

ặ ẳ ơ VII. M T S PH ữ ớ ộ ố ươ v i m t s ph ng trình vô t ươ ph ng trình. 1. Dùng t a đ c a véc t ọ ộ Trong m t ph ng t a đ Oxy, Cho các véc t : khi đó ta có

(

)

(

)

�

r r + u v

r � u

r v

x 1

x 2

y 1

2 x 1

2 y 1

2 x 2

2 2

�

� , chú ý t s ph i ả

r r v

y 1 y

x 1 x 2

ằ ẩ ấ ỉ ướ ỉ ố D u b ng x y ra khi và ch khi hai véc t cùng h ng ơ ,u

r r u v .

.cos

r r u v .

ng = (cid:0) (cid:0) ằ ấ ẩ ỉ ướ ươ r r u v . , d u b ng x y ra khi và ch khi cùng h ng u v cos(cid:0) (cid:0) 1

+ 2 - ả ươ i ph ng trình: . Ví d 1.ụ Gi x + x x + x 4 + 20 4 = 29 97

- - ọ ộ ặ ẳ và . Trong m t ph ng t a đ xét hai véc t r b x 2; 4) = - (

2 4

- (cid:0) r x= ơ a ( r r a b+ = 2;5) r = a x + x 20 , cượ , suy ra (cid:0) ba )9;4((cid:0)

+ = + = + 97 r a và ta cũng có r r r a b b ẳ ươ ở ứ ả Khi đó ta đ r b x x 29 + 2 4 . Ph ng trình tr thành , đ ng th c đó x y ra khi cùng r a r và b

- - - x 2 2 = � ừ ượ ươ ệ chi u ề . T đó ta đ c ph ộ ng trình có m t nghi m là 4 2 x = . 9 x 5 ấ ặ

ặ ọ (cid:0) ẳ ằ ấ ẩ ớ ỉ ệ ề t v tam giác ABC là tam giác đ u , thì v i m i đi m M trên m t ph ng tam giác, ta luôn có ể ớ ề ủ ườ v i O là tâm c a đ ng tròn .D u b ng x y ra khi và ch khi . ể ẳ ọ

ướ ể ấ ạ ộ ặ i cùng m t góc

- - ươ ả ặ 0 120 . ng trình i ph ử ụ 2. S d ng tính ch t đ c bi ế N u tam giác + MA MB MC OA OB OC M O(cid:0) ỏ Cho tam giác ABC có ba góc nh n và đi m M tùy ý trong m t m t ph ng Thì MA+MB+MC nh nh t khi đi m M nhìn các c nh AB,BC,AC d Ví d 2. ụ Gi x x + x 4 2. = 16 5 3 2. + + x 9

+ = > = Vp (ph

(cid:0) ệ thì Vt 3 4 7 5

0x (cid:0) ươ x > thì ta xét tam giác vuông ABC v i ớ 0

CM BM �

3 4 CM +

+ 2

ng trình không có nghi m). , AB = 4; AC = 3. ủ = 2 D D - . ABM BM x x (cid:0) ừ ứ ả � ACM CM x CM BM BC N u ế N u ế G i ọ AD là phân giác c a góc Đ t ặ AM = x, xét T đó suy ra Vt = + 2 16 4 2. ,hay = 2 M D(cid:0) A = 090 A, l y ấ M thu c tia ộ AD. + - 2 9 3 2. và xét � x = . D u đ ng th c x y ra khi ẳ ấ 5

�

= x

16.9 48 2.

16.9 36 2.

- -

�

= x

12 2.

=� x

12 2 7

ậ ươ ệ V y ph ng trình có nghi m là . x =

12 2 7 ụ ươ ố ể ứ ươ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ử ụ ươ ệ ệ ộ ng trình sau có 3 nghi m phân bi ố t thu c (7,9): 3. Ph Ví d 3. ụ CMR ph ng pháp s d ng tính liên t c hàm s đ ch ng minh s nghi m ph x x ệ 3 16 2 ng trình 3

3 1 x(cid:0)

(cid:0) ụ ố (2,0)

có pt 2t3 – 6t + 1 =0 hàm s này liên t c trên R ,có f(2)f(0)<0 có 1ng t (0,1) , f(1)f(2)< 0 có 1ng t(cid:0) (0,1) suy ra có 1ng x(cid:0) (1,2)

(1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ng t(cid:0) (7,0) ệ ộ ng trình đã cho có đúng 3 nghi m phân bi t thu c ( 7,9). ậ

ươ ệ ng pháp s d ng đ o hàm b c 2 ươ ử ụ ủ ề ậ ề ặ i ho c lõm trên mi n. Suy ra ươ ộ ng trình không có quá 2 nghi m nh m 2 nghi m thu c mi n D (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ả ng trình: i ph x ạ ng trình ồ ạ ạ i đ o hàm b c 2 suy ra hàm s l ệ ệ x 3 ẩ x 3 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ố ồ ề đ/k x≥ 1 ố ậ ặ đ t t= suy ra có 1 ng x(cid:0) suy ra có 1 ng x(cid:0) ậ V y ph ươ 4. Ph ị ậ Tìm t p xác đ nh c a ph ố Xét hàm s f trên mi n D ,t n t ph Ví d 4.ụ Gi ươ ng đ PT t xét hàm s f(x) = trên t p x/đ x ≥ 3 2 x x 1 x x x x 31 3 03 8 3 31 8 3

,``,

3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x f x )( 6 8 x )( 6 0 ồ ị ồ ậ ố 1, v y hàm s đó có đ th l i trên txđ. Do (cid:0) (cid:0) ng 3 x 1 2 x (4

ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ễ ấ ệ ệ ươ ế ươ ư ề ả ươ ng trình: i ph ng đ ng )1 ng trình n u có nghi m thì không quá 2 nghi m ta d th y x = 0, x = 3 là nghi m x x x 3 1 ệ đi u ki n x ≥ 0 ph ong trình t 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ x ố xét hàm s f(x) = ị t p xác đ nh x ≥ 0 ươ đó ph Ví d 5.ụ Gi v i ớ x x x x x x 01 3 1 3 1

1 x 1 1 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x f x )( 2 1 x )( 2 0 ồ ị ố ồ đ th hàm s l i trên (cid:0) (cid:0) x 2 x 3 x 32 1 x 4

ậ ị ươ x )1 ễ ấ ệ ạ t p xác đ nh vì v y ph 3(4 ệ ng trình không có quá 2 nghi m ,d th y x = 0 ,x = 1 là nghi m

ộ ố ươ ẫ 5. M t s ph

6 (cid:0) (cid:0) ả ươ i ph ng trình: đ/k x < 2 Ví d 6.ụ Gi 4 (cid:0) (cid:0) t t ự ng trình không m u m c 10 3 2

6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) đ t ặ t x x 0 2 3 1 (cid:0) x 6 2 t 6 2 t 2 (cid:0) (cid:0) t (cid:0) 4 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 Pt thành t+ khi đócó PT: t48t3+12t248t+96=0 suy ra (cid:0) (cid:0) (cid:0) t 10 2 t 6 t (cid:0) 4( ) (cid:0) (cid:0) t 10 2 t 6 ươ ệ ng trình: ệ ệ ậ ớ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ả ươ (t2)(t36t248)=0 Có nghi m t=2 suy ra x=1/2 cònph t36t248=t2(t6) 48 < 0 v i o

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x ớ 5 ng đ x 1 ươ ng v i x x x x x x 3 7 3 3 2 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 5 x 2 1 4 4 x 3 (cid:0) x 3 ươ t 6 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 3 3 7 4 3 5 2 x ể 1 ệ ế ả x 3 ọ ọ ệ ớ ớ ớ ệ ệ ậ ỉ x ế *) v i m i x > 2 không th là nghi m vì v trái < 0,v ph i > 0 ể *) v i m i x < 0 cũng không th là nghi m ươ *) v i x = 2 là nghi m v y ph ng trình ch có nghi m x = 2

Bài t pậ

(

( +

+ + x 1

) + + x 3 1

+ 2

) + = x 3 1

1 3

- - - 1)

+ - x 5

+ 10

= 50

- - 2)

Ấ

ƯƠ

ề Chuyên đ 2. B T PH

Ỉ NG TRÌNH VÔ T

ề ữ ữ ặ ạ ươ ứ ấ ố t, Bài vi ề ấ ươ ng trình, ế t này chúng tôi xin gi ớ i ộ ố ạ ấ ệ ả ỹ ạ ọ ầ Trong các đ thi đ i h c nh ng năm g n đây, ta hay g p nh ng Bài toán v b t ph ằ ng trình ch a căn. Nh m giúp các b n ôn thi t nh t là các b t ph thi u m t s d ng Bài và k năng gi i.

Ế Ổ ƯƠ

ậ ươ NG Đ ng đ ƯƠ . NG ệ . ươ ng khi chúng có cùng t p nghi m

ớ ộ ứ ể ề ổ ượ ọ ươ c g i t ươ ng đ ng: ệ ươ ng trình v i cùng m t bi u th c mà không làm thay đ i đi u ki n ừ ươ ng trình. ế ủ ấ ươ ươ ứ ể ặ ớ ộ ng trình v i cùng m t bi u th c ( luôn d ng ho c âm) mà ệ ủ ấ ươ ề ng trình. ế ủ ộ ấ ế ươ ươ ẵ ng trình cùng d ng. hai v c a m t b t ph ế ế ươ ươ ề ị ng trình khi hai v cùng d ậ ỹ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ƯƠ A. PH NG PHÁP BI N Đ I T ấ * Hai b t ph ng trình đ ộ ố ế ổ ươ * M t s phép bi n đ i t ế ủ ấ ộ +) C ng (tr ) hai v c a b t ph ủ ấ c a b t ph +) Nhân (chia) hai v c a b t ph ổ không làm thay đ i đi u ki n c a b t ph ươ ừ ậ ẻ ậ ẻ hai v , khai căn b c l ng trình. +) Lũy th a b c l ế ủ ấ ậ ế ẵ ừ ậ +) Lũy th a b c ch n hai v , khai căn b c ch n hai v khi hai v c a b t ph ế ủ ấ ả ổ ả +) Ngh ch đ o hai v c a b t ph ng ta ph i đ i chi u. ế ừ I. K thu t lũy th a hai v . ế ừ 1. Phép lũy th a hai v : a) . xg )( xg )( xf )( xf )( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf )( xg )( b) . (cid:0) (cid:0) xg )( xf )( 0 xg )( (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B 0 B 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) BA *) ho c ặ . (cid:0) (cid:0) (cid:0) A 0 (cid:0) BA

(cid:0) (cid:0) B 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A BA 0 . *) (cid:0) (cid:0) (cid:0) BA

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A 0 (cid:0) , (cid:0) , ạ ớ ấ ể ự ạ ậ . BA ợ ng h p còn l i v i d u < các b n có th t suy lu n ).

ể ế ợ ệ ủ ệ ề ề ế ấ ả ớ ơ t chú ý t i đi u ki n c a Bài toán. N u đi u ki n đ n gi n có th k t h p vào b t ề ứ ạ ệ ể ng trình, còn đi u ki n ph c t p nên đ riêng.

*) B ườ ố ớ ( Đ i v i các tr ư 2. L u ý: ệ ặ Đ c bi ươ ph 3. Ví d :ụ

ả i các BPT sau:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Bài 1: Gi ; b) x x 3 2 1 x x x 1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) ; d) x x 3 2 4 3 x x 3 2 x 4 1

Gi i:ả

(cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 01 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 x x 3 2 1 3 0 3 1 2 3 a) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 5 4 0 (cid:0) x x 3 2 1 (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ậ ươ ệ ;3 V y b t ph . ậ ng trình có t p nghi m là: 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x 1 3 3 01 0 b) . 8 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ủ ấ ậ ậ ươ ệ V y t p nghi m c a b t ph ng trình là: . (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 7

ạ ạ ự ả ậ Hai Bài t p còn l i các b n t gi i.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả i BPT: (1). Bài 2: Gi x x x 4 1 21

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi x i: ả 0 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 x 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 x x x 4 1 21 * (1) (cid:0) (cid:0) 21 x 4 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 1 2 3 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 4 1 21

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 01 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4 0 . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 01 (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 3 1 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả (TS (A)_ 2005). i BPT: x x x 5 1 1 2 4 ự : Gi ệ ệ ề

ậ ậ ệ * V y t p nghi m: [4;0]. ậ ươ ng t Bài t p t ố ậ Đáp s : T p nghi m T=[2;10). ậ ỹ II. K thu t chia đi u ki n. ậ : ỹ 1. K thu t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) D ... ề ể mà ta có th chia Dx (cid:0) Bài toán theo n DD 1

ệ

ả ấ ả ấ ươ ươ ượ ậ ệ ợ ủ ợ ng h p 1: ợ ng h p 2: , gi , gi ng trình ta tìm đ ng trình tìm đ ượ ậ 1T . c t p nghi m 2. c t p nghi m T ề ệ 1Dx (cid:0) 2Dx (cid:0)

nDx (cid:0) ủ ấ

ườ ươ ả ấ ệ N u ế Bài toán có đi u ki n là ệ ườ ng h p c a đi u ki n: tr ườ i b t ph +) Tr ườ +) Tr i b t ph …………………………………. i b t ph +) Tr , gi c t p nghi m T (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ng trình là . ượ ậ nT ... ng trình tìm đ T T 1 T 2

ủ ạ ậ ợ ị

ợ ng h p n: ệ ậ T p nghi m c a b t ph 2. Yêu c u:ầ ả ầ C n ph i xác đ nh giao, h p trên các t p con c a R thành th o. 3. Ví d :ụ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 x 4 2 (cid:0) ả i BPT: (1) Bài 1: Gi 2 x x

Gi i:ả (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) ề ệ * Đi u ki n: . (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) 4 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 (cid:0) (cid:0) x x x x 0 3 4 2 2 * V i ớ (i) ta có (1) 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 3 4 2 2

(ii)

(cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 9 7 (cid:0) x x 7 9 0

2 = [1 ;0).

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ế ợ ệ ậ K t h p (i) và (ii) ta có t p nghi m là . (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ườ ợ * V i ớ ng h p này là T (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) T thì (1) luôn đúng. T p nghi m trong tr (cid:0)0;1 ; ậ ậ ủ ệ V y t p nghi m c a (1) là . (cid:0) T 2 T 1 (cid:0) (cid:0) 4 3 ệ 4 3 9 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả . x x x x 3 2 5 4 4 2 3 ặ ỹ

ư ể ứ : (cid:0) (cid:0) )0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) A A * . (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bài t pậ : : i BPT Gi x x 4(cid:0)x Đáp số : ho c x = 1. ậ III. K thu t khai căn. ứ 1) Đ a bi u th c ra ngoài căn th c AA ( AA ( )0

n (cid:0)

(cid:0) (cid:0) . * ( )0 xE , y x A E (cid:0) (cid:0) (cid:0) * * A An 1 A

2 yA 2 xE An 2) L u ýư : ổ ế Bi n đ i các bi u th c trong căn th c thành h ng đ ng th c. 3) Ví dụ :

ứ ứ ứ ể ằ ẳ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả x x x x 2 1 2 1 Gi i BPT : (1) 3 2 Gi iả :

1=[2 ;+ )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 21 11 21 11 11 11 (1) 3 2 3 2 (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 11 11 )2( (cid:0) (cid:0) 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ỏ x x 2 (cid:0) 011 ườ x ệ ợ * V i ớ ậ V y trong tr luôn th a mãn bpt (2). . (cid:0) (cid:0) x 11 ậ ng h p này t p ngi m là T 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 011 1 2 ở * V i ớ bpt (2) tr thành : (cid:0) (cid:0) (cid:0) x

2=[1 ;2).

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 111 1 2 (luôn đúng). 11 3 2 3 2 ợ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ủ ậ ậ ậ .

ể ả ằ

ử ư ề ấ ỹ ế . ươ ng hai v . ng trình tích. ậ ươ ề ng pháp bình ph ươ : ườ ệ V y t p nghi m c a (1) trong tr ng h p này là T ệ T T ;1 KL : T p nghi m c a (1) là T= 1 2 ươ i b ng ph * Chú ý : Bài này ta có th gi đ a v b t ph IV. K thu t phân tích thành nhân t ệ ủ ấ : Trên đi u ki n c a bpt ta có 1. B t ph ng trình tích (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 xf )( 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf )( xg )( 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xgxf )()( 0 xgxf )()( 0 * * (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf )( xg )( 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf )( xg )( 0 (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf )( xg )( 0 (cid:0)

ạ ạ ự ậ i, các b n t suy lu n. ợ ng h p còn l

ư ỹ ử ả ầ ạ duy cao, k năng phân tích thành nhân t thành th o, c n ph i ử ỏ ả ậ i đòi h i có t chung nhanh.

ườ Các tr 2. L u ýư : ỹ Đây là k thu t gi nhìn ra nhân t 3. Ví dụ : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả Gi i BPT : (1) x x x x 31 1 3 01

Gi iả :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề Đi u ki n (1) x x xx x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 x x x 31 2 x ệ : x 31 1 (*)1(cid:0)x x 1 x 31 1 31 1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 1 1 0

1(cid:0)x khi (vô nghi m).ệ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 31 (do ). x x x 1 0 01 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 31 2 x x 1 1 01 x ệ ậ V y BPT đã cho vô nghi m.

ậ ứ ỹ ể ợ : V. K thu t nhân chia liên h p ợ 1. Bi u th c nhân chia liên h p: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B BA ( ) * . BA  A B

B 1 (cid:0) (cid:0) * . BA ( ) (cid:0) (cid:0)  A BA B

ệ ả ớ ơ ợ i các bi u th c nhân chia liên h p.

A ư 2. L u ý: ẩ ộ ố +) Nên nh m v i m t s nghi m nguyên đ n gi n. ứ ể ớ +) Chú ý t 3. Ví d :ụ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả Gi i BPT : (1) x x x 15 3 2 8

Gi i:ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Ta có (1) x 8 3 2 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 15 15 8 7 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 3 2 3 2 (2). (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x 15 8 15 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ x x 3 2 0 . T (2) ta có 2 3 ặ

x ệ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * M t khác: (1) x x x 4 3 3 (cid:0) (cid:0) x x 15 1 38 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (3 )1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 38 15 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 3 0 (3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 38 (cid:0) (cid:0) x x 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 15 4 38 * L i cóạ : Vì nên (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 15 4 38 (cid:0) (cid:0) x x 15 2(cid:0)x 3 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 0 . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 38 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ x x . x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ;1 .

ể ấ ệ ớ ớ ử chung ố ạ ằ .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ự 15 V y (3) 01 ậ KL : BPT (1) có t p nghi m là T= ệ * Chú ý : Trong Bài toán này, vi c thêm b t, nhóm các s h ng v i nhau đ xu t hi n nhân t ấ xu t phát t ườ Th ể ủ c khi x=1 thì hai v c a BPT b ng nhau ng t ượ ẩ ừ ệ vi c nh m đ ả ươ i t ng dùng cách gi cho . Bài toán : x a x b cx d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ươ i BPT : ng t ự : Gi x x x x 3 1 6 3 14 8 0

ộ ố ệ : Gi i các BPT sau : ả Bài t p t ự (D a vào ĐH_B_2010). ậ ự VI. M t s Bài t p t luy n (cid:0) ả x x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 4 4 4 4 3 2 1 1, . 2, . (cid:0) 2 x 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3, . x x x 2 1 3 3 4 x x x x 2 1 2 1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5, (ĐH_D_2002 ) . 4, . 6, (cid:0) x x x x x x x x 4( )1 1 2 2 1 3 2 3 2 0

(cid:0) 1 x 16 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7, . 8, . x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 2 1 (cid:0) (cid:0) x x 2 3 5 x x 3 3

(cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9, . 10, . 3 x x x x x x 8 15 2 15 4 18 18

(cid:0) 2

x 41 x 2 (cid:0) (cid:0) x 21 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . 12, . x x x 4 1 2 110 23 11, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 29 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 13, 14, . x x x x xx x 1 1 2 x 1 2 x 1 2 x x

Ặ Ẩ Ụ . NG PHÁP Đ T N PH ƯƠ ộ ố ầ :

ọ ở ộ ặ ẩ ừ ớ ươ ng t ự . Bài toán t ề ầ ệ ủ ẩ i các đi u ki n c a n.

ớ ộ ố ạ ặ ẩ ụ ư ề ơ ả ơ : B. PH I. M t s yêu c u ạ D ng này h c sinh c n nh cách đ t n. T đó m r ng cho Chú ý t ẫ . II. M t s d ng toán và các Bài toán làm m u 1. Đ t n ph đ a v bpt đ n gi n h n (cid:0) x x 1 (cid:0) (cid:0) ả i BPT : (1) Bài 1 :Gi 2 3 (cid:0) x x 1

(cid:0) (cid:0) iả : x ề * Đi u ki n (*) ệ : (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ở t 2 3 t 2 t 3 t (01 )0 * Đ t ặ BPT (1) tr thành : t ).0 t ( 1 2 t x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t t t 21 1 0 0 . 1 2 (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V y ậ . x 0 1 x 1 2 4 3

(cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 5 2 4 ả i BPT : (2) (cid:0) (cid:0) Bài 2 : Gi (cid:0) (cid:0) 1 x 2 x 2

Gi iả : ề * Đi u ki n ệ : x>0. 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t x 2 ấ ẳ ứ * Đ t ặ (theo b t đ ng th c Côsi) x 2

2(cid:0)t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t x x 1 2 t 2 2 . 1 x 4 1 x 2 (cid:0) (cid:0) t 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t 5 t 2 42 ở ế ợ ớ * BPT (2) tr thành : k t h p v i ta đ c ượ . (cid:0)t 2 (cid:0) (cid:0) t (cid:0) 1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 (cid:0) 1 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 * Khi đó . (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 2 (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) fb f c . x )( x )( x )( 0

ụ ư ề ấ ể ở ộ cho d ngạ : ượ ặ ẩ KL : * Chú ý : Bài toán có th m r ng ươ 2. Đ t n ph đ a v b t ph ng trình l xfa )( ng giác f :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả Gi i BPT : (1). x x 1 1

(cid:0)1;0

Gi iả : (cid:0) (cid:0)x ề * Đi u ki n ệ : . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x t t cos ;0 ở * Đ t ặ v i ớ . BPT (1) tr thành : . (cid:0) (cid:0) t t sin cos 1 (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t ;0 Do và nên v i ớ . (cid:0) (cid:0) t t sin sin t t t sin cos sin cos 1 (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) ệ t (cid:0)1;0 .

ậ ự ả (cid:0)x i các BPT: ệ : Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Do đó BPT đã cho có nghi m là 3. Bài t p t luy n 1) 2 2) . x x x x x x x x x 3 3 3 6 .3 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14

(cid:0)2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3) . 4) . x x x x x 2 3 1 3 22 5 3 16 x x x 1 1 121

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5) . 6) . x x 1 xx x x x 4 4 2 2 1 x 1 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7) . 8) x x x x 1 1 x x x x 1 1 2

3 xx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9) 10) x xx x 2 3 1 x x 35 35 30 1 x

(cid:0) 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 12) 11) x x x 1 1 1 1 x (cid:0) x 1 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 14) 13) (cid:0) x x x x 3 2 18 168 x x x 4 1 4 7 1

(cid:0) (cid:0) 9 x x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 15) 16) x x 21 21 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1 x 1 x x x x 21 21 (cid:0) 8 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 4 22 x x 12 17) 18) 21 21 x 12 2 (cid:0) 2 x 9 16

ơ ệ ủ ố ậ ế ả ứ NG PHÁP ĐÁNH GIÁ. ộ c cách xét tính đ n đi u c a m t hàm s , l p b ng bi n thiên… ấ ẳ ụ ậ ụ ể ư ứ ạ ặ ng áp d ng cho các Bài toán đ c thù, ph c t p không có thu t toán c th nh ng hay có ạ ọ ầ ậ ử ụ

ụ

ỹ ấ ẳ ấ ẳ ƯƠ C. PH ớ ượ * Nh đ ớ * Nh các b t đ ng th c. ườ * Th trong các kì thi đ i h c các năm g n đây. ế ể I. K thu t s d ng BĐT đ đánh giá hai v : ứ 1) B t đ ng th c thông d ng: ứ * B t đ ng th c Côsi:

2 n

(cid:0) (cid:0) a a ... a 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,...,0 0 V i ớ ta có . a ... a 1 a ,0 2 aa 21

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a ả ấ . a 1

(cid:0)2

2 n

2 b 1

2 2

, bba , 1 2 aa , 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ... D u “=” x y ra khi ứ ấ ẳ * B t đ ng th c Bunhiacopski : b ,..., ,..., ọ ớ V i m i n (cid:0) . a a b ... ... ba nn b n ba 11 ta luôn có : 2 2 2 a 1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ... ả . D u «ấ = » x y ra khi ... a b a b ba 22 a 1 b 1

2) Ví dụ :

2x 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả i BPT : (1) x x Bài 1 : Gi 1 1 2

Gi iả : (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 1 ề * Đi u ki n ệ : (*) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 0 1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Khi đó ( 1) x x x x 1 12 4 1 x 16

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 1 12 1 0 1 1 0 x 16 x 16

ề ệ ớ (cid:0) ề ậ ủ ệ ỏ (cid:0)1;1(cid:0) ọ Đi u này luôn đúng v i m i x th a mãn đi u ki n (*). (cid:0)x V y nghi m c a BPT là .

(cid:0) x x (cid:0) 1 ả i BPT : (2) (ĐH_A_2010) Bài 2 : Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 2 1

Gi i:ả

ề ệ * Đi u ki n: (*). 0(cid:0)x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Ta có: . x x x x x x 2 1 1 11 1 2 1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ V y (2) (3). x x x x x x x x 1 2 1 2 1 1

ặ M t khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 2 1 111 1 (4) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 x x 1 3 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x ả ấ ằ * D u b ng x y ra khi . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) x 1 0 (cid:0) x x 1 0

ỹ ướ ủ ơ ng c a hai vect .

KL: ậ ử ụ III. K thu t s d ng tích vô h vu (cid:0) . cos( vu . vu ), ị : . 1. Đ nh nghĩa

ể ướ ứ ọ ộ ủ a) Bi u th c t a đ c a tích vô h ng:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ọ ộ ế +) Trong h t a đ Oxy, n u thì . u vyx ;( ), yx ;'( )' vu . yyxx '. . '

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ệ ọ ộ +) Trong h t a đ Oxyz, n u thì . u vzyx ;( ; ), zyx ;'( ;' )' vu . zzyyxx '. . '. '

(cid:0) vu . vu . ấ ằ ả ỉ ươ b) . D u b ng x y ra khi và ch khi cùng ph ng. vu,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) vu u v ấ ằ ả ỉ ướ c) . D u b ng x y ra khi và ch khi cùng h ng. vu,

2) Ví dụ: Ta quay l i ạ Bài thi ĐH_A_2010:

(cid:0) x x (cid:0) 1 ả Gi i BPT : (1) (ĐH_A_2010) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 2 1

Gi i:ả ề

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ ươ ươ ươ * Do = >1 nên b t ph ng trình (1) t ng đ ớ ng v i * Đi u ki n: (cid:0) x x x ệ (2 2 x .0(cid:0)x )1 2( 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (2) x x x x x x x x 1 (2 )1 (2 1 )

(cid:0) ọ ộ ấ ặ ẳ Trong m t ph ng t a đ l y , . Khi đó: x (cid:0)r a ) 1( 1( (cid:0)b )1;1(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x bax x x x ; (cid:0)1 ba . 1 ; . 2 .

(cid:0) ba ba . ậ ở ề ả ướ ồ ạ ứ V y (2) tr thành . Đi u này x y ra khi cùng h ng t c là t n t i k>0 sao cho ba,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x k 1 3 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a bk x . (cid:0) 2 (cid:0) x

k ể ậ ự ượ ươ ự ằ ấ ơ ộ ớ c m t l p các ng t trên b ng cách l y các vect Bài toán t Nh n xét: Ta có th xây d ng đ thích h p.ợ

ố ể ậ ử ụ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xg )( xf )( xf )( xf )( xg ( xg ( xg ( ); : i b t ph ng trình xf )( ư ); ả ế ố ặ ả ta kh o sát ho c ế ừ ả b ng bi n ươ ấ ủ ậ ư ế ườ ế ố ớ ụ ẳ ặ ng th ng song song ho c trùng v i tr c hoành.

ỹ ả IV. K thu t s d ng kh o sát hàm s đ đánh giá. ậ 1. Thu t toán ); ể ả ấ Đ gi ứ căn c vào tính ch t c a các hàm s y = f(x) và y = g(x), đ a ra b ng bi n thiên và t thiên đ a ra k t lu n. 2. L u ýư : N u m là tham s thì y = h(m) là đ 3. Ví d :ụ

(cid:0)1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ệ (1) x a x x Bài 1: Tìm a đ BPT sau có nghi m: 3 2 x 1

Gi i:ả

.1(cid:0)x * Đi u ki n: (1) x x

ề ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (1’). Khi đó: x x a 1 3 1

(cid:0)1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Đ t ặ . Ta có: x x x x xf )( 3 1 (cid:0) (cid:0) 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x x x x x x x x )(' 3 6 1 3 1 0 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ồ ;1 Do đó f(x) là hàm đ ng bi n trên .

ả

(cid:0) (cid:0) ế * B ng bi n thiên: x 1

(cid:0) (cid:0)

f(x) 3

ế ệ ả ấ Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y bpt (1) có nghi m khi . 3(cid:0)a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ệ ớ ọ (1) nghi m đúng v i m i . 0(cid:0)x Bài 2: Tìm m đ BPT x mx x x 2 2 231

Gi i:ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có (1) (1’) mx x x x m x x x 2 2 231 2 2 23 ( )0 1 x 1 x

0(cid:0)x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) t 2 (cid:0) x * Đ t ặ . Do nên theo BĐT Côsi ta có . t x .22 22 1 x 1 x ệ ủ ề ế ể

ể ử ụ ả (Có th s d ng b ng bi n thiên đ tìm đi u ki n c a t) ở Khi đó (1’) tr thành :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m t t t 3 ( )22 (2).

0(cid:0)x

ệ ớ ệ ọ ớ ỉ 1 2 ọ (1) nghi m đúng v i m i khi và ch khi (2) nghi m đúng v i m i . 22(cid:0)t (cid:0) t 3 3 2 t 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Xét hàm s ố có . tg )(' tg )( 1 2 t 2 2 t t 4 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t tg )(' 0 2 3 0 . 9 4 ế ả * Ta có b ng bi n thiên :

(cid:0) (cid:0) t 22 9 4

g’(t) +

(cid:0) (cid:0)

g(t)

2 (cid:0) 223 2

ế ệ ấ ả ớ ọ (cid:0)m Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y (2) nghi m đúng v i m i khi . 22(cid:0)t 2 (cid:0) 223 2 ỹ ệ ủ ơ ố ề ị

ậ ử ụ : ủ ệ ề ậ ị (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố xuf (( ơ xvf (( xu )( xv ( )) )) V. K thu t s d ng tính đ n đi u c a hàm s trên mi n xác đ nh. ậ 1. Thu t toán ả ử s hàm s y = f(x) đ n đi u trên D, u(x) và v(x) có mi n giá tr là t p con c a D. Gi ). Khi đó ta có :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xu )( xv )( xu )( xv )( ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) )) , xvf (( , ấ ng t xuf (( )) cho các d u )

ự ươ (T 2. Ví dụ :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả Gi i BPT : (cid:0) (1) x x x x x 3 1 13 2 0

Gi iả : (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 1 (*) ệ : (cid:0) (cid:0) (cid:0) 01 x 1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề * Đi u ki n * Khi đó (cid:0) (2) x x x x x 1 1 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) f 1 3 t t t )( 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 : )(t ế ồ ;0 x 2 0(cid:0)t f nên là hàm đ ng bi n trên . t 2 t t )(' t 2 2 0 1 v i ớ 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Xét hàm s ố Có f t 3 ặ * M t khác : (2) f x ( )1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x ế ợ 1 ớ ệ f x x 1( x x ượ : c . x 11 x ) 1 ề k t h p v i đi u ki n (*) ta đ 0 1 0

ậ ử ụ ố ứ ủ ệ ỹ KL : VI. K thu t s d ng tính đ i x ng c a hai nghi m.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ệ ấ : x x xm x x mmx 1 2 1 2 1

Tìm m đ BPT sau có nghi m duy nh t (1)

Gi iả :

(cid:0) ệ : (*) 1

0x là nghi m c a (1) thì (1

0x ) cũng là nghi m c a (1). Do đó ph

ủ ệ ủ ệ ươ ề * Đi u ki n ậ * Nh n xét (cid:0) x 0 : N u ế ng trình có

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ấ x x x 1 nghi m duy nh t thì . 1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)x Thay vào (1) ta đ c ượ . m mm m m 2 . 2 . 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ớ ở * V i m=0 thì (1) tr thành :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x x x x 1 2 1 0 1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ỏ x x x x x 14 0 1 (th a mãn (*)). 1 2 ậ ươ ấ ệ ng trình (1) có nghi m duy nh t khi m=0. ấ ộ ố ậ ự V y b t ph VII. M t s Bài t p t luy n ệ :

ả i các BPT : Bài 1 : Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x x 1, . 2, 2 2 4 9 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x 1 2 x x x 2 100 40 40

2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3, 4, x x x 1 2 3 50 3 12 x x x x x 2 2 1 3 4 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5, 6, xx x x x x x x 1 3 2 1 4 5 10 50 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7, x x x x 2 4 6 11 x x x x x x 1 25 40 34 10 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể . 8, (cid:0) ệ : Bài 2 : Tìm m đ BPT sau vô nghi m x x x x x m 1 2 1 1 1 1

(ĐH_B_2004)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể . x x x a 2 4 1 1 2

2 ệ x 4 ươ ng trình sau có nghi m : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) mx 2 62 x 2 ể ấ ươ ệ x ng trình sau có nghi m:

2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ : Bài 3: Tìm a đ BPT sau có nghi m ị ủ ể ấ Bài 4 : Tìm các giá tr c a m đ b t ph 4 x 62 Bài 5: Tìm m đ b t ph . x xm x 2 1 3 1

(cid:0)1;0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ệ ớ ọ x x x x (cid:0)x m 1 : Bài 6: Tìm m đ BPT sau nghi m đúng v i m i 2 3

Ệ ƯƠ

ề

ƯỜ

Ặ

Ộ Chuyên đ 3. M T VÀI H PH

NG TRÌNH TH

NG G P

ầ Ẩ Ấ Ậ Ph n I : H PH ạ ặ ng g p: ậ ấ ệ ệ ướ c ấ ậ ng trình b c nh t gi

ng trình b c hai có nghi m chung ươ ẳ NG TRÌNH B C NH T HAI N ườ ẩ ng trình b c nh t hai n ề ả ng trình có nghi m tho mãn đi u ki n cho tr ả i các bài toán: ệ ng th ng ứ ườ ứ ể ậ ấ ẩ ả Ệ ƯƠ D ng toán th ệ ươ 1 H ph ệ ươ 2 H ph ệ ươ ụ Ứ 3 ng d ng h ph ậ ươ a) Hai ph ố ủ ị ng đ i c a hai đ b) Xét v trí t ủ ậ ệ ẩ c) Bi n lu n GTNN c a bi u th c ch a hai n ệ ươ ậ ệ i và bi n lu n h ph ng trình b c nh t hai n ươ ạ D ng I: Gi I Ph ng pháp: + = (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ ệ ậ Gi i và bi n lu n h ph ng trình: (I) + = (cid:0)

ệ ị

a 1 a 2

b 1 b 2

c 1 c 2

a x b y c 1 1 1 a x b y c 2 2 2 ằ = ự = = ứ ấ = = = - - - D D ; ; a b . 1 2 ả ệ ươ i h ph a b . 2 1 c b . 2 1 c b . 1 2 D y a c . 1 2 a c . 2 1 ng trình (I) b ng cách tính đ nh th c c p hai c 1 c 2

ệ Ta th c hi n vi c gi b 1 b 2 0D (cid:0) 1 N u ế :

0D = : Xét các tr

= = ệ ươ ấ x y vﾵ H ph ệ ng trình có nghi m duy nh t: D x D D y D ườ 2 N u ế ợ ng h p

(cid:0) (cid:0) D 0 (cid:0) ệ ươ ệ * N u ế , thì h ph ng trình vô nghi m. (cid:0) (cid:0)

0 D 0 y D D= ệ ươ ệ ố = , thì h ph ng trình có vô s nghi m.

ế * N u ế ậ K t lu n:

0D (cid:0)

= = ệ ươ ấ x y vﾵ V i ớ , h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t: D y D = 0 D x D ệ ố ng trình có vô s nghi m. V i ớ

ệ ươ ệ thì h ph ng trình vô nghi m. V i ớ = , thì h ph ệ ươ yD (cid:0) 0 0 ho c ặ

ệ ươ ệ ậ = D D D xD (cid:0) 0D = và ạ ậ II – Bài t p minh ho : ả Ví d 1:ụ Gi i và bi n lu n h ph + = - (cid:0) ng trình + a b x ( ) ( (cid:0) a b y a ) = - (2 + a b x ) + a b y b ) (cid:0)

2 a

2 b

2 a

= = + = - (2 i:ả Gi + 2 b 2 D 6 ; D ab 2 ; D ab 2 Ta có

(cid:0) (cid:0) a 0 (cid:0) ab 0 6 ۹� 0D (cid:0) TH1: N u ế (cid:0) (cid:0)

2 b

2 a

x = Dy = b2

+ - 2 2 = = ệ y vﾵ b + 2 a 6 0 2 b ab ab 2 ab 6 (cid:0) ệ ấ x H có nghi m duy nh t 6ab = 0 (cid:0) ặ a = 0 ho c b = 0 * V i a = 0, suy ra D ệ ệ

xD (cid:0) ệ ệ x = 2a2 và Dy = 2a2

0(cid:0) ố , h vô nghi m.

thì * V i b = 0, suy ra D ệ ố

xD (cid:0)

0 ệ ệ 0(cid:0) ệ , h vô nghi m. thì

2 b

2 a

2 a 6

2 b ab

ế TH2: N u D = 0 ớ Khi b = 0 thì Dx = Dy = 0, h có vô s nghi m. 0 Khi b ớ Khi a = 0 thì Dx = Dy = 0, h có vô s nghi m. Khi a ậ ế K t lu n: + + - 2 2 = = ệ ệ 0(cid:0) 0(cid:0) x y vﾵ V i ớ a và b , h có nghi m ab 2 ab 6 ố b ệ ệ ệ 0(cid:0)

ả ể ượ ệ ệ ấ ậ ậ ế ớ Vi c phân tích tham s trong bài toán gi i và bi n lu n h pt b c nh t có th đ c liên k t v í ệ ớ V i a = b = 0 , h có vô s nghi m. 0(cid:0) ệ ớ V i a = 0 và , h vô nghi m. V i ớ a ệ và b = 0, h vô nghi m. ậ * Nh n xét: ệ ệ ử ụ ứ ượ ố ẳ ng giác.

ằ vi c s d ng các h ng đ ng th c l ệ ươ Ví d 2: ụ Cho h ph + + a a (cid:0) y (1 c os2 ) = sin2 (cid:0) , v i ớ a là tham s .ố ng trình: a .sin2 x + a a (cid:0)

= -

+ 2(1

a os2 ) c

a sin2 + a 1 os2 c

a 1 + cos2 a - sin2

ả ậ a x (1 c os2 ) - y.sin2 = 0 ệ i và bi n lu n h pt ? ệ ữ ệ ệ ứ ụ ệ ộ a) Gi b) Tìm h th c liên h gi a nghi m x, y c a h không ph thu c vào ? ủ ệ Gi i:ả a) Ta có:

= -

a 2 sin 2

a sin2 0

+ a 1 os2 c a - sin2

a sin2

= -

+ a sin2 .(1

a os2 ) c

D y

a sin2 a 1 os2 c

+= ợ ng h p:

X t các tr ườ 0D (cid:0) ế TH1: N u ế

-+ a ﾢ 2(1 a os2 c 1 k k , - + a c os2 ) 0 � �۹ ۹ � p p 2

= a - x (1 a os2 ) vﾵ y = sin2 c ệ ấ ệ H có nghi m duy nh t 1 2 1 2 ế TH2: N u D = 0

= - = - + 2(1 = a os2 ) 0 c a os2 c 1 k k , � � a � �ﾢ p + p 2 p a = = + p k 0 � ệ ệ ố V i ớ , h có vô s nghi m. = D D y

2 ậ ế * K t lu n: p a = a (cid:0) (cid:0) - + p k k , , x (1 a os2 ) vﾵ y = sin2 c V i ớ ﾢ có nghi m duy nh t ấ ệ 1 2 1 2 2 p a = (cid:0) , + p k k , ệ ệ ố ﾢ h có vô s nghi m. V i ớ

ừ ặ 2 ệ b)T c p nghi m (x, y) ta có: a (cid:0) c os2 = 1 - 2x = 2 - (cid:0) + (1 2 ) x y (2 ) 1 � (cid:0) a ệ ữ ụ ệ ộ Đó là h th c liên h gi a nghi m x, y không ph thu c vào .

a sin2 = 2y ệ ứ ề ị ậ III – Bài t p đ ngh : ệ ươ Bài 1: Cho h ph ng trình: - (cid:0) 1 (cid:0) a (2 + 1) + - = x y = - x 1) y ( a 1 (cid:0)

ủ ệ ớ ệ a) Xté nghi m c a h v i a = 0, a 1 = ? 2 ệ ươ ậ ố b) Gi i và bi n lu n h ph ng trình theo tham s a ? ệ ả ệ ươ Bài 2: Cho h ph ng trình - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

= x my 0 + - = mx y m ố ậ ả 1 ng trình theo tham s m ? ụ ệ ươ i và bi n lu n h ph ệ ữ ộ ố a) Gi ệ b) Tìm h th c liên h gi a các nghi m x, y không ph thu c tham s m ? ệ ệ ứ ệ ươ Bài 3: Cho h ph ng trình: + (cid:0) (cid:0) a a = = a sin a c os (cid:0)

ậ ả ? a . os x y c .sin a x c . os + y.sin a ng trình theo ệ ệ ươ i và bi n lu n h ph ệ ữ a) Gi b) Tìm h th c liên h gi a các nghi m x, y không ph thu c vào ị ủ ộ ủ ấ ụ ệ ươ ng trình: - a ? ấ ả Bài 4: Hãy xác đ ng t t c các giá tr c a a, b sao cho nghi m c a b t ph + (cid:0) a 1 2 ệ ệ ứ ị x + b 1

ạ Là đo n [2; 5].

ệ ươ ề ệ ệ ướ ả ng trình có nghi m tho mãn đi u ki n cho tr c

ạ D ng II: H ph ươ ng pháp: I Ph = + (cid:0) (cid:0) ệ ươ Cho h ph (I) ng trình: + = (cid:0)

a x b y c 1 1 1 a x b y c 2 2 2 ủ ệ ươ ệ ả Tìm nghi m c a h ph ề ươ ệ ị

a 1 a 2

b 1 b 2

c 1 c 2

ự = = ứ ấ = Ph ằ = = = - - - D D ; ; a b . 1 2 c b . 2 1 c b . 1 2 D y ả ệ ươ i h ph a b . 2 1 a c . 1 2 a c . 2 1 ệ Ta th c hi n vi c gi b 1 b 2 ệ ng trình tho mãn đi u ki n K ? ng pháp: ng trình (I) b ng cách tính đ nh th c c p hai c 1 c 2

ả Xét các kh năng:

= = 0D (cid:0) ệ ươ ấ x y vﾵ a) V i ớ , h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t: D y D = 0 D x D ệ ố b) V i ớ ng trình có vô s nghi m.

ệ ươ ệ thì h ph

= D D D xD (cid:0) 0D = và ợ ườ = , thì h ph ệ ươ yD (cid:0) 0 0 ho c ặ ả ng trình vô nghi m. ề ệ ớ ị ủ ệ ể ế ng h p a, c ph i so sánh các giá tr c a nghi m v i đi u ki n K n u có đ tìm

ụ

ụ ể ệ ươ c) V i ớ Trong các tr ượ ế ậ c k t lu n đúng. đ ạ II – Ví d minh ho : Ví d 1: Tìm m nguyên đ h ph ng trình + (cid:0) 2 (cid:0) = y m + mx 3 + = x y m 1 (cid:0)

m m

2 1

3 1

ệ Gi = = - - 2 m 3; 2 m + 2 m m D Có nghi m nguyên ? i:ả Ta có : = D x = - 3 1 = 3; D y = m m + m

2 1 ợ ng h p:

ườ Xét các tr

= - = D 0 2 m 3 0 = m � � TH1: N u ế 3 2

xD = -

(cid:0) 6 0 ệ ệ V i ớ , h vô nghi m. 3 m = ta có 2

D 0 m�۹ ệ TH2: N u ế ấ ệ , h có nghi m duy nh t 3 2

= = - - x 1 = ; y + + m 2 - - D x D 6 m D = y D 6 m 2 3 2 ể ệ ỉ ướ ủ V y đ h có nghi m nguyên khi và ch khi m nguyên và 2m – 3 là c c a 6. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1, 2, 3, 6 ậ Mà các 3 ệ c c a 6 là: ệ ệ ệ

ớ Nh n xét: ủ ệ ườ ề ệ ề ệ ề ệ ệ ướ ủ ề So sánh các đi u ki n ta có V i m = 0; 1; 2; 3 thì h có nghi m nguyên. ậ Đi u ki n v nghi m c a h có th là các đi u ki n thông th ệ ệ ủ ng nh : H có nghi m, h vô ng trình c a các ệ ẽ ượ ố ượ ề ặ ư ệ ể ệ ệ nghi m, h có vô s nghi m, …Tuy nhiên trong các bài toán liên k t v i h ph ố ư hàm s nh hàm L ng giác ho c hàm Mũ,… thì đi u ki n s đ ế ớ ệ ươ ặ ơ c làm ch t h n.

ệ ươ ng trình: Ví d 2: ụ Cho h ph

+ = (cid:0) 3 (cid:0) (I) + 1 (cid:0)

x my m + = mx y m ệ ể ệ ươ ể ệ ươ 2 ng trình có nghi m ? ệ ng trình sau có nghi m: a) Tìm m đ h ph b) Tìm m đ h ph (cid:0) sinx + m.cosx = 3m (cid:0) (II) m.sinx + cosx = 2m + 1 (cid:0)

2 m

3 2

m m

1 m

= ; D m + 2 3 m + 2 m 1 i:ả Gi + 2 m 2 = - 1 D a) Ta có: = x = - m 1 1 = 2 ; D y = - 3m 2m+1

1 m D D m

ấ ệ - , h luôn có nghi m duy nh t. 0 = ệ ố ệ = m 1 � � 0 ệ , h có vô s nghi m.

1 = 2 m 1 = D D x y = -� D 4 0 x ệ thì h pt luôn có nghi m.

ệ ệ � , h vô nghi m. - ệ

m 1 m�۹� 0 TH1 : N u ế = TH2: N u ế 0 � = 1 � * V i ớ = - m 1 * V i ớ 1m (cid:0) ớ ậ KL: V y v i ụ ặ ẩ b) Đ t n ph : sin

2 K X Y

= (cid:0) X x + = (cid:0) , ﾵ : 1 (*) = (cid:0)

ệ cos x Y ạ H (II) có d ng: + = (cid:0) 3 (cid:0) (III) + X mY m + = mX Y m 2 1 (cid:0)

2 m

1 m

= + 2 m 2 m + 2 3 m + 2 m 1 ; D = - 1 = 2 ; D y = - 3m 2m+1 = - m 1 1

3 m 2 m = 1 m � � + = X Y

ệ ươ ng trình (III) ta có: Xét h ph = m 1 D m x 1 = - TH1: N u ế = 2 m D 0 1 0 � (cid:0) 3 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ạ ớ ệ ệ * V i m = 1, h (III) có d ng: , vô nghi m vì: 2 + = X Y sinx + cosx 2 + = 3 X Y (cid:0)

ệ ớ ệ * V i m = 1, h (III) vô nghi m. ệ ấ TH1 : N u ế

m�۹� D x D

= = = = ; X Y

1 2 m ề

2 � � �

ệ , h (III) luôn có nghi m duy nh t: + m m 1 3 + + 1 1 m ệ ệ ả D y D Nghi m tho mãn đi u ki n (*) khi: = (cid:0) m 0 (cid:0) + = (cid:0) 1 (cid:0) = - 2 m 1 1 m + m m 3 � � � � � � + + m 1 � � � (cid:0) 1 3 - = = m m 0 ho c � ệ ệ ậ KL: V y h (II) có nghi m khi 1 3 ệ ươ ng trình: Ví d 3:ụ Cho h ph (cid:0) + = (cid:0) m .3 2 2 m (cid:0) (I) + = + (cid:0) m m .2 1 (cid:0)

ể ệ ệ ấ ệ ệ 3 a) Tìm m đ h có nghi m duy nh t ? ể b) Tìm m nguyên đ nghi m duy nh t c a h là nghi m nguyên ? ấ ủ ệ Gi i:ả

+ x 13 y

(cid:0) = (cid:0) u (cid:0) (cid:0) , ﾵK: u 3,v>0 Đ t: ặ = (cid:0) v 2 (cid:0)

(cid:0) 2 (cid:0) ệ ở H (I) tr thành: + = mu v m + = . + u mv m 1 (cid:0)

2 m

m +

1 m

2 m

Ta có: = = - - - - D 1; D 2 m m = 1; D m m = u = 1 1 m = 2m m 1 m + 1

m 1 ệ a) H có nghi m duy nh t:

2 m

ệ ấ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 0 D (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0)

3 m 2 m 1

m � 2 � � < - m 1 0 1 >� m (cid:0) > = 0 0 � = u � � � v � (cid:0) (cid:0)

- (cid:0) 1 0 + D m 2 1 � - < - - < u 3 � �۳� � � � � + m 1 D � D m � > v � + 1 m D < 1m 2 ệ ậ ệ ệ ớ (cid:0) (cid:0) = = V y h có nghi m khi : b) V i m nguyên ta có m = 2, khi đó h có là: = + = 3 0 3 1 1 � � � = = x = = (cid:0) 2 1 (cid:0) � � y 1 (cid:0) 3 � � y 2 2 (cid:0) x � � y �

u � � v � ệ ớ ậ

ệ V y v i m = 2 thì h có nghi m nguyên là (0;1). ề ị ậ III – Bài t p đ ngh : ệ ươ Bài 1: Cho h ph ng trình: = - (cid:0) ( m 2) (cid:0) - + x my m 2 + - = 2 m x y m 1) 5 (cid:0)

y 3

ậ ả (2 ng trình theo m? ệ ệ ươ i và bi n lu n h ph ệ ữ ụ ệ ệ ứ ệ ộ ệ a) Gi b) Tìm h th c liên h gi a các nghi m x, y không ph thu c m ? c) Khi h có nghi m duy nh t, tìm m nguyên đ h có nghi m nguyên ? ể ệ ố ả ấ ệ ươ ng trình theo tham s m: Bài 2: Gi (cid:0) + = - - - (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) a) b) + ệ ệ ậ i và bi n lu n h ph = y .3 m 3 m 2 + + = (cid:0) x m y m .lg 4lg = + + y m 6) lg 2lg m x ( 3 (cid:0) m 1 .2 m (cid:0)

2 ả ử ệ ươ i s h ph ng trình : Bài 3: Gi (cid:0) ax + by = c (cid:0) (cid:0) bx + cy = a (cid:0) cx + ay = b (cid:0)

3 + b3 + c3 = 3abc ?

ệ ệ + = (cid:0) (cid:0) = (cid:0) 1 (cid:0) Có nghi m. CMR: a ể ệ ươ Bài 4: Tìm m đ h ph ng trình sau có nghi m: mx y 1 + x my + = x y m (cid:0)

ả ệ ậ ố Bài 5: Gi i và bi n lu n h ph ng trình sau theo tham s m : (cid:0) + (cid:0) ệ ươ + + 1 m x = y m 1 (cid:0) = (cid:0) x + + 1 m y 2 (cid:0)

ủ ệ ươ Ứ ụ ạ ậ ấ D ng III: ng d ng c a h ph ng trình b c nh t:

ụ ươ ệ Xét hai ph ng trình b c hai có nghi m chung. ề ệ (1) Áp d ng 1: ổ I Bài toán t ng quát: ệ Tìm đi u ki n đ hai ph + = + 0 vﾵ bx c a x . ậ ể a x '.

ướ ở ươ ng trình sau có nghi m chung = + + b x c ' 0 ' ươ ng pháp: Ph ậ ươ ng trình b c hai: (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) (I) (cid:0) ạ 0 = ' 0 (cid:0)

ướ ặ ệ ươ ng trình t o b i hai ph B c 1: Xét h ph + bx c a x . + + '. a x ' b x c y= , ta đ B c 2: Đ t (cid:0) (cid:0) ở (II) (I) tr thành: ượ ệ c h : = + ax by c = + a x b y c ' ' ' (cid:0)

ướ ể ệ ệ ả ả B c 3: Đ hai ph ệ ng trình có nghi m chung thì h (II) ph i có nghi m tho mãn y= ,

ươ ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) D y D (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 0 (cid:0) ề ta có đi u ki n: D 0 (cid:0) � � D x (cid:0) � � D � � = = D D D x y

ướ ử ạ B c 4: Th l i.

ụ

ủ ớ ng trình sau có nghi m chung: ạ II Ví d minh ho : ị Ví d 1:ụ V i giái tr nào c a m thì hai ph - = + x mx 2 ệ - + = 2 x 2 0 mx ươ 1 0 vﾵ i:ả Gi ươ ệ ệ ệ ỉ Các ph ng trình đã cho có nghi m chung khi và ch khi h sau có nghi m: (cid:0) - = (cid:0) + x mx 2 1 0 (cid:0) (I) (cid:0) mx - + = x 2 0 (cid:0)

Đ t ặ y= , ta đ ượ ệ c h : + = (cid:0) mx 1 (cid:0) ở (I) tr thành: (II) - 2 y = x my (cid:0)

2 m

m 1

2 -m

1 2

= = - - - - D 2; = 4; 2 m 1 Ta có: 2 = D x = - 2 -m D y = m 1 - = = (cid:0) " D 0, m x y ; ệ ấ Vì ệ , h có nghi m duy nh t: m + + m 2 m 4 2

ệ ệ ệ ả ả ệ H (I) có nghi m khi và ch khi h (II) có nghi m tho mãn 1 2 m + 2 m 2 y= , nên ta ph i có:

3 m

- + + = = - 6 m 7 0 m 1 � � ỉ + 4 �= �+ 2 � m � � 2 m � 1 2 m + 2 m 2 ươ ử ạ ớ Th l i ta có: V i m = 1 thì hai ph ệ ng trình có nghi m chung là x = 1.

ươ Ví d 2: ụ CMR n u hai ph + = + = ng trình x 0 vﾵ x 0 ế + p x q 1 1 + p x q 2 2

ệ - - - Có nghi m chung thì: + 2 ) ( ( )( ) 0 (*) q 2 q 1 p 1 p 2 = p q 2 1

p q 1 2 Gi i:ả

ươ ệ ệ ỉ Các ph ng trình có nghi m chung khi và ch khi h pt sau có nghi m: (cid:0) = + (cid:0) 0 x (cid:0) = + (cid:0) 0 x (cid:0) ệ + p x q 1 1 + p x q 2 2

Đ t ặ y= , ta đ + = - (cid:0) (cid:0) + = - (cid:0)

- - - ; ; ượ ệ c h : p x y 1 p x y 2 p 2 q 1 q 2 = D q x 2 = D p 1 q 1 = D y p q 2 1 p q 1 2 Ta có: - - = = x y vﾵ 0D �۹ ệ ệ ấ TH1: N u ế , h có nghi m duy nh t: p 1 p 2 - - q 2 p 1 q 1 p 2 p q 2 1 p 1 p q 1 2 p 2

ả Do y= , nên ta ph i có :

- + 2 - - - = (cid:0) ( ) ( )( ) 0 q 1 q 2 p 1 p 2 p q 1 2 = p q 2 1 - p q 2 1 p 1 p q 1 2 p 2 � q 2 � p � 1 �- q 1 �- p � 2

= 0D TH2: N u ế . Khi đó (*) đúng. =� p 1 p 2 - = q 1 0 ệ ệ H có nghi m = D D y - 0 0 = p q 1 2 q 1 p 2 q � = �� 2 p q � 2 1 = q � 2 � = p � 1 Khi đó (*) đúng. + 2 - - - ( ( ) )( ) 0 ậ ệ ươ (đpcm) p 1 q 1 q 2 p 2 p q 1 2 = p q 2 1

ủ ệ ng trình sau có nghi m chung: + = - ớ + 2 2 5 + - = - - ng trình có nghi m chung thì: ề ị + x m + m x (3 x 2 (7 1) x a) b)

ệ ng trình sau có nghi m chung: V y: Hai ph ị ậ III – Bài t p đ ngh : ặ ươ Bài 1: V i giá tr nào c a m thì các c p ph + 2 mx m x 0 vﾵ 2 + 2 x 9 0 vﾵ 6 ị + + = = 25 0 = 19 0 ặ ớ Bài 2 (ĐH Thái Nguyên 2000): V i giá tr nào c a m thì các c p ph + = + 2 x mx + 4 m m x 1) ủ 1 0 vﾵ mx x ươ 1 0

ậ ị ệ ươ ố ủ ườ Ứ Bi n lu n v trí t ng đ i c a hai đ ẳ ng th ng:

1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 ẳ ị ủ ng th ng ?

ổ ườ ụ (2) ng d ng 2: I Bài toán t ng quát: ẳ ng th ng: d ố ị ườ ệ ố ủ ng đ i c a hai đ Cho hai đ ậ Bi n lu n theo các giá tr c a tham s v trí t ươ ươ ng pháp: ướ B c 1: Xét h ph = - + (I) = - = + + 0 c 1 c 2

ướ ự ượ ị ươ ườ c v trí t ố ủ ng đ i c a hai đ ẳ ng th ng: (cid:0) Ph ở 1 và d2: ạ ng trình t o b i d + = a x b y 0 �(cid:0) 1 � + a x b y � 2 2 ủ ệ ệ ) ) //( ( ệ ươ + a x b y c � 1 1 1 � a x b y c � 2 2 2 ậ ố B c 2: D a vào biên lu n s nghi m c a h (I) ta có đ ệ ế ệ * N u h (I) vô nghi m d 2 d 1

x DD y ; D D

= ( ) ) ( ) ế ệ ệ ấ * N u h (I) có nghi m duy nh t d ( � � 1 d 2 � � � M � �

( ) d (cid:0) ) ( ệ ệ * N u h (I) vô s nghi m d 1

1 và d2 có ph

ế ụ

ng trình: (1 - k )x + 2ky - (1 + k ) = 0 ố ạ II – Ví d minh ho : ươ ẳ ườ ị Cho hai đ ng th ng d Ví d 1: (d1): kx – y + k = 0 và (d2):

ỗ ớ ị ủ ể ị ủ 1 và d2 ? ổ a) V i m i giá tr c a k, hãy xác đ nh giao đi m c a d ể b) Tìm quĩ tích giao đi m đó khi k thay đ i ? i:ả Gi ệ ươ a) Xét h ph ở 1 và d2 là: (cid:0) ạ ng trình t o b i d kx - y + k = 0 (cid:0) (cid:0)

(1 - k )x + 2ky - (1 + k ) = 0 Ta có: D = 1 + k2, Dx = 1 – k2, Dy = 2k

" k D 0, ; Vì = d 2 2 k + k k k 1

2 y

2 � �- 2 1 k k � � + � � � � +� � + k k 1 1 � �

ậ ớ ạ � � � . � � � � ể i đi m I. ị ủ ể -� � � 1 I d � � � � � + 1 1 � � � 1 luôn c t dắ 2 t V y v i m i giá tr c a k thì d b) T to đ giao đi m I ta có: (cid:0) - = x (cid:0) (cid:0) + + = = (cid:0) x 1 � (cid:0) = y (cid:0) (cid:0) ọ ừ ạ ộ 2 k 1 k 1 2 k + k 1

2 + y2 = 1.

ộ ườ ể ậ V y: quĩ tích giao đi m I c a d ủ 1 và d2 thu c đ ng tròn: x

ươ ẳ ị ề ậ III – Bài t p đ ngh : Bài 1: Cho a2 + b2 > 0 và hai đ ng th ng có ph ng trình:

ể ị ể ệ ủ ườ d1: (a – b)x + y = 1 và d2: (a2 – b2)x + ay = b a) Hãy xác đ nh giao đi m c a d b) Tìm đi u ki n c a a, b đ giao đi m đó thu c tr c hoành ? ủ 1 và d2 ? ể ẳ ườ ng th ng d ộ 1, d2 có ph ụ ươ ng trình: ề Bài 2: Cho a2 + b2 > 0 và hai đ d1: ax + by = a + b và d2: bx + ay = a – b ị ủ 1 và d2 ? ể a) Xác đ nh giao đi m c a d b) Tìm qu tích to đ giao đi m khi a, b thay đ i ? ị ỏ ấ ủ ứ ệ ẩ ổ ể ể ạ ộ ậ ụ Bi n lu n giá tr nh nh t c a bi u th c hai n:

ỹ (3) Áp d ng 3: ổ I – Bài toán t ng quát: ệ ể ậ ỏ ị + + + + ứ Hãy bi n lu n giá tr nh nh t c a bi u th c + 2 ) F ( ) a x b y c 2 2 2

ấ ủ = ( ươ a x b y c 1 1 1 ng pháp: Ph ướ + + + B c 1: Xét hai đ d 1

ậ ỳ ướ V y giá tr nh nh t c a F tu thu c vào v trí t ạ ườ : ( ị ỏ ệ ươ B c 2: Xét h ph = - (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) ẳ ng th ng + 2 ) vﾵ d : ( a x b y c a x b y c ) 1 1 1 2 2 2 ấ ủ ị ộ ố ủ 1 và d2. ươ ng đ i c a d ạ ở 1 và d2 có d ng: ng trình t o b i d + a x b y 1 + a x b y 2 c 1 c 2

x, Dy. ườ

ướ ị Xác đ nh D, D B c 3: Xét hai tr ợ ng h p:

= = 0D (cid:0) ệ ấ x y ; TH1: N u ế ệ thì h có nghi m duy nh t : D x D D y D Khi đó d1 c t dắ 2 do đó minF = 0.

1x + b1y + c1, ta đ

ặ ế TH2: N u D = 0 Đ t : t = a c:ượ

D (cid:0) - F = 2t2 + At + B 4 D - ạ ượ Khi đó minF = , đ t đ c khi t = hay a1x + b1y + c1 = 4 A- 4 A- 4 ướ ế ậ B c 4: K t lu n:

= = ạ ượ ớ x y ; V i C, minF = 0 , đ t đ c khi D x D D y D D - ớ ạ ượ ộ ườ ẳ ươ V i D = 0, minF = , đ t đ c khi x, y thu c đ ng th ng có ph ng trình: 4

a1x + b1y + c1 = . A- 4 ụ ạ

ấ ủ ỏ ị II – Ví d minh ho : ậ Ví d 1: ụ Hãy bi n lu n giá tr nh nh t c a : ệ F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2, theo tham s a .ố Gi i:ả ườ Xét hai đ ẳ ng th ng: d1: x + y – 2 = 0 và d2: x + ay – 3 = 0 ậ ị ị ươ ng đ i c a d ố ủ 1 và d2. V y giá tr nh nh t c a F tu thu c vào v trí t Xét h ph ộ ở 1 và d2 có d ng:ạ ấ ủ ỏ ỳ ạ ng trình t o b i d (cid:0) ệ ươ x + y = 2 (cid:0) x + ay = 3 (cid:0)

2 3

1 a

1 1

2 3

1 a

1 0

1 1 0

-�� ۹

V i: D = = a-1, D = = 2a - 3 , = 1 � D = y

1 D x D D y

TH1: N u ế - (cid:0) = = x (cid:0) (cid:0) - 3 1 (cid:0) ệ ấ ệ H có nghi m duy nh t: a 2 a 1 (cid:0) = y (cid:0) - (cid:0) = D a 1

= - = 0 1 0 TH2: N u ế ớ ệ Khi đó d1 c t dắ 2 do đó minF = 0. = a a 1 � y = 1 (cid:0) 0, h vô nghi m. ệ c:ượ

ặ D � V i a = 1 thì D Khi đó d1 // d2 và ta đ F = (x + y – 2)2 + (x + y – 3)2 Đ t t = x + y – 2 , ta có

(cid:0) F = 2t2 – 2t + 1

= t x y + - = 2 + x 2 - = y 2 5 0 � � ậ ạ ượ 3 4 = , đ t đ V y minF c khi . 3 4 1 2 1 2 ế ậ K t lu n: - 1 = = x ; y ạ ượ V i a ớ (cid:0) 1, minF = 0, đ t đ c khi - - 2 a a 3 1 a 1

ớ ạ ượ ộ ườ ẳ ươ V i a = 1, minF = , đ t đ c khi x, y thu c đ ng th ng có ph ng trình: 2x + 2y – 5 = 0. 3 4 ề

ứ ủ ể ị ậ III – Bài t p đ ngh : ệ Bài 1: (HVNH – 2001): Hãy bi n lu n GTNN c a bi u th c ậ F = (x + my – 2)2 + [4x + 2(m – 2)y 1]2,

theo tham s m ? ố ậ ủ ứ ể ệ ố Bài 2: Bi n lu n theo tham s a GTNN c a các bi u th c sau:

a) F = (2x +y 2)2 + (4x + ay – 1)2 b) F = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2

Ố Ứ Ạ NG TRÌNH Đ I X NG LO I I

ệ ề ướ Ệ ƯƠ H PH ặ ng g p ng trình. ủ ệ ươ ng trình tho mãn đi u ki n cho tr ả ề ệ ư ậ ạ c. ố ứ ộ ố ệ ươ ng trình quy v h ph ong trình b c hai đ i x ng lo i I. ạ ườ D ng toán th ả ệ ươ i h ph 1) Gi ệ 2) Nghi m c a h ph 3) M t s h ph ệ ươ ạ ạ ố ứ ng trình đ i x ng lo i I

D ng I: H ph I – Bài toán t ng quát: ậ ệ ươ ổ ng trình b c hai có d ng: H ph (cid:0) ạ = ( ; ) 0 (cid:0) , v i Fớ 1(x;y) = F1(y;x) và F2(x;y) = F2(y;x) = ( ; ) 0 (cid:0)

ạ ượ ọ Đ c g i là h ph

F x y 1 F x y 2 ố ứ ng trình đ i x ng lo i I. ươ ng pháp : ệ ươ Ph (cid:0) (cid:0) Đ t ặ (cid:0)

ệ ươ ẩ ớ ng trình đã cho thành h ph ng trình v i hai n S, P. ẩ ớ + = x y S = x y P . ổ ệ ươ ế Bi n đ i h ph ả ệ ươ i h ph Gi ng trình v i hai n S, P. (cid:0) (cid:0) ỗ ặ ớ ượ ừ ệ V i m i c p (S, P) tìm đ ệ c, tìm nghi m (x; y) t h : (cid:0)

ươ ệ ủ + = x y S = x y P . 2 – SX + P = 0. ng trình X

o;xo) cũng là nghi m c a h ph

ủ ệ ươ ệ ng trình. Trong đó x, y là các nghi m c a ph * Chú ý: N u (xế

ng trình: ệ o;yo) là nghi m thì (y ạ ụ II – Ví d minh ho : ả ệ ươ Ví d 1:ụ Gi i h ph = - (cid:0) + + x y xy (cid:0) (I) + - - x y 16 (cid:0)

2 y

7 = 3 y i:ả 3 x Gi = - (cid:0) + + x y xy 7 (cid:0) (cid:0) Ta có (I) (II) + - 3( + x y = ) 16 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) ượ ệ ở Đ t ặ , ta đ c h (II) tr thành: x + = x y S = x y P . (cid:0)

- (cid:0) S 7 + = - - (cid:0) 7 S 7 (cid:0) � S 1 - - - - (cid:0) 3 S P 2 = 16 0 2 0 (cid:0) S P � � 2 S � = - P � � - = 2 S S � (cid:0) (cid:0)

= - P � = - � = 2 S + = - (cid:0) 1 (cid:0) ệ ươ ớ ủ ệ ươ ệ * V i S = 1 thì P = 6 , ta có h ph ng trình: , x, y là các nghi m c a h ph ng trình x y = - x y . 6 (cid:0)

ệ X2 + X – 6 = 0. Suy ra X1 = 3; X2 = 2. ệ Do đó h có nghi m: (3 ; 2), (2; 3) + = (cid:0) 2 (cid:0) ệ ươ ớ * V i S = 2 thì P = 9 , ta có h ph ng trình: x y = - x y . 9 (cid:0)

- - ượ ệ + 10 ; 1 + 10), (1 10 ; 1 10) trên ta đ

Gi ế - - ệ + 10 ; 1 + 10), (1 10 ; 1 10) ự ả ươ (1 c các nghi m: ng t i t ố ệ ươ ậ ng trình có b n nghi m: K t lu n: H ph (3 ; 2), (2; 3), (1

= (cid:0) (cid:0) (cid:0) + ị ậ ề III – Bài t p đ ngh : ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 1: Gi = 5 x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) + + x y xy = + 5 = + + x y xy + + - x y 5 x 1)( = 2 65 - = y xy 7 y (cid:0) (cid:0) (cid:0)

( ủ ệ ươ 1) 18 ả ạ ề x ướ ng trình tho mãn đi u ki n cho tr c ị ủ ể ệ ươ ệ ệ ệ D ng II: Nghi m c a h ph Ví d 1:ụ Tìm các giá tr c a m đ h ph = + + (cid:0) (cid:0) (I) + - 1 x (cid:0)

= - (cid:0) ng trình sau có nghi m: x y xy m = y m i:ả Gi + = S P m (cid:0) (cid:0) II ( ) ượ ệ , ta đ Đ t ặ ở c h (I) tr thành: - - - + = x y S = x y P . (cid:0) = P m 1 0 (2) 2

P m S � � + 2 S � ề � � 2 S � ệ 2 ệ 1 ả m 0 ể ệ ươ ệ ệ ệ ng trình (2) có nghi m (cid:0) = - - + + 1 3 , m 1 3 (1) + = S m 3 2 – 4P 0(cid:0) ả Đ h (I) có nghi m thì h (II) ph i có nghi m (S;P) tho mãn đi u ki n: S D=� �۳ m ' 3 Ph S 1 (cid:0) ệ ệ Khi m 0(cid:0) thì h (II) có các nghi m: (cid:0) = - + 1 + - 1 3 m 3 , (cid:0) 0 = m P m 1 = m P m 2

) )

ệ ệ H (I) có nghi m khi S (cid:0) - - - (cid:0) (cid:0) m 3 0 3 1 m 1 (cid:0) - - (cid:0) 2 3 m m 3 (3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + (cid:0) (cid:0) 2 3 m m 3 (4) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) S 2 nên: ) ) m 3 0 + - m m 3 4 1 - + 1 (cid:0)

2 – 4P 0(cid:0) ( + + 4 m ( nên (3) vô nghi m .ệ ) 2 = m

( 3, v �

( ( *) Vì m 0(cid:0) ( ớ

- - m 3 (4) m 3 0 � � � 0 � *)

) ệ

ậ ệ ươ ế K t lu n: V i m = 3 thì h ph ng trình (I) có nghi m.

ể ệ ươ ị ủ ệ ấ Ví d 2: ụ Tìm các gái tr c a m đ h ph ng trình sau có nghi m duy nh t: + + = (cid:0) x y xy m (cid:0) (I) + = - 1 (cid:0)

o; xo) cũng là nghi m.Do

2 3 x m x o o

x y xy m Gi iả : ạ ủ ệ ệ ậ Nh n xét ệ H (I) là h đ i x ng lo i Inên n u (x ế ệ ệ o;yo) là m t nghi m c a h thì (y h (I) ta có : = = + ộ ế ệ ố ứ ừ ệ ệ đó n u h có nghi m duy nh t thì x o = yo. Khi đó t + 1 ấ 2 2 x o

3 x o

(cid:0) = (cid:0) x o - - - 2 2 1 0 (2 1)( 1) 0 � � x o + = 2 x o x o - = 2 x o � (cid:0) = (cid:0) (cid:0) 1 2 1 (cid:0) x o

o; xo) là nghi m c a h thì :

= = (cid:0) 1 ậ ủ ệ ệ ế V y n u (x x o x , o 1 2

o = 1 thì m = 3 o = 1 thì m = 1

N u xế N u xế

= x th m = � N u ế 1 2 5 4

ệ ệ ậ ắ ỗ ớ ị Tuy nhiên nghi m (x ể ượ ầ ư ấ ủ ườ c c n ki m tra tính duy nh t c a nghiêm. Xét các tr ấ ủ ệ o; xo) ch a ch c đã là nghi m duy nh t c a h , vì v y v i m i giá tr m tìm ợ ng h p: đ = - (cid:0) 1 (cid:0) ệ ớ ở * TH1: V i m = 1, h (I) tr thành: = - + + x y xy + x y xy 2 (cid:0)

ệ ị ệ ậ ả = (cid:0) 3 (cid:0) ệ ớ ở * TH2: V i m = 3, h (I) tr thành: = H có các nghi m (1; 2), (2; 1) , (1 ; 1). ầ V y giá tr m = 1 không tho mãn yêu c u bài toán. + + x y xy + x y xy 2 (cid:0)

ệ ệ ấ H có nghi m duy nh t (1; 1). (cid:0) = + + x y xy (cid:0) (cid:0) (cid:0) m = ệ TH3: V i ớ ở , h (I) tr thành: 5 4 (cid:0) = + x y xy (cid:0) (cid:0) 5 4 1 4

ệ ấ ệ H có nghi m duy nh t 1 1 � � ; � � 2 2 � � ế ậ K t lu n:

m = ệ ệ ấ H (I) có nghi m duy nh t khi m = 3 , . 5 4

ươ ạ ể ả ề ng pháp ủ đ gi i bài ệ ầ đi u ki n c n và đ

o = yo. c t

ệ ấ ả o; yo) tho mãn:x ị ủ ề ề ề ố ượ ừ ề ệ ầ * Chú ý: ấ ủ ệ ố ứ ự D a vào tính ch t c a h đ i x ng lo i (I) ta có ph ệ ể ệ ệ toán tìm đi u ki n đ h có nghi m duy nh t. ệ ệ ầ Đi u ki n c n : Là h có nghi m (x ử ạ ệ ủ Đi u ki n đ là: Th l i các giá tr c a tham s tìm đ đi u ki n c n.

ị ạ

ề *) Bài tâp đ ngh d ng II ệ ươ ng trình: Bài 1: Cho h ph (cid:0) + = + (cid:0) x y 2( m 1) (cid:0) = (cid:0) + x y ) ( 4 (cid:0)

ệ ả ệ ươ a) Gi i h ph b) Xác đ nh m đ h ph ớ ng trình v i m = 1 ? ể ệ ươ ng trình có nghi m ? ậ ệ ươ ệ ả ố ị i và bi n lu n h ph Bài 2: Gi (cid:0) + = (cid:0) a (cid:0) (cid:0) ng trình sau theo tham s a : y x y x + = x y 8 (cid:0)

ệ ươ Bài 3: Cho h ph ng trình: + = + + (cid:0) x xy y m 2 (cid:0) = + + x y xy m 1 (cid:0)

ả ệ ươ i h ph ớ ng trình v i m = 3 ? ể ệ ệ ấ ị ệ ươ a) Gi b)Xác đ nh m đ h có nghi m duy nh t ? ng trình: Bài 3: Cho h ph = + + - (cid:0) 1 2 (cid:0) x y xy m + 2 + = xy x y m m ) (cid:0)

ỏ ằ ệ ươ ớ ệ ứ a) Ch ng t ọ r ng v i m i m thì h ph ( ng trình luôn có nghi m ?

ị ấ b) Xác đ nh m đ h ph ệ ng trình có nghi m duy nh t ? ệ ươ Bài 4: Cho h ph ể ệ ươ ng trình: (cid:0) + = - x (cid:0) y + = - 2 a (cid:0)

2 2 a 3 ạ

ủ ệ ấ ỏ ọ ị x y ể ị G i (x; y) là nghi m c a h . Xác đ nh a đ tích x.y đ t giá tr nh nh t ? Bài 5: Cho h ph ệ ệ ươ ng trình: + + = + (cid:0) x y xy m 1 (cid:0) = ( (cid:0)

ả ) ng trình có ít nh t m t nghi m (x; y) tho mãn x > 0, y > 0 ? ể ệ ươ ể ệ ươ Tìm m đ h ph Bài 6: Tìm m đ h ph + xy x y m ệ ấ ộ ng trình sau có nghi m: (cid:0) x (cid:0) ệ + y + + + = x y + 8 = xy x ( 1)( y 1) m (cid:0)

ạ ề ệ ư ố ứ ạ ậ ng trình quy v h ph ong trình b c hai đ i x ng lo i I D ng III: M t s h ph ụ Ví d 1: Gi ộ ố ệ ươ ả ệ ươ i h ph ng trình: - - (cid:0) 1)( 2 y = 5) 3 (1) (cid:0) (I) x y ( + + x - = xy 2 y 5 4 (2) (cid:0)

Gi i:ả

ươ ệ ượ ộ ệ ươ ệ ậ ể ng trình trong h (I) ta đ c m t h ph ng trình b c cao và vi c tìm ươ ng trình ta có: - - ậ Nh n xét: ế N u khai tri n các ph ệ (1) ( �

- - )( + ) xy x (2) ( � = (cid:0) (cid:0) uv (cid:0) (cid:0) ụ ệ ở ặ ẩ Do đó đ t n ph : , khi đó h (I) tr thành: (II) + 3 + = ễ ừ ệ nghi m là không d . T vi c phân tích hai ph = + y xy x x 5) 3 2 = + 2 ( 5) 4 x y - = xy x u - = 5 x v u v 4 (cid:0) (cid:0)

y 2 = = 1 3 ho c � ả ệ ượ Gi i h (II) ta đ c: = = 3 1 u � � v �

(III) ho c IV ) � Hay : - = xy x + 1 - = 2 y 5 3 ( 5 1 2 � � x � u � � v � = xy x - 3 � � - = + x y �

+ - 5 7 5 7 - 7 ; 7 ; ệ ệ H (III) có nghi m là: 2 2 � 3 � � � � � + , 3 � � � � � � � � � � ệ ệ ế ậ H (IV) vô nghi m. K t lu n:

+ - 5 7 5 7 - 7 ; 7 ; ệ ươ ệ H ph ng trình (I) có hai nghi m là 2 2 � 3 � � � � � + , 3 � � � � � � � � � �

ả ệ ươ i h ph ng trình: Ví d 2: ụ Gi (cid:0) x y 4 (cid:0) (cid:0) 1 1 + + + = y x (cid:0) (I) (cid:0) + + + = x y 4 (cid:0) (cid:0) 1 2 y

1 2 x i:ả Gi (cid:0) (cid:0) x 0; y 0 ề ệ Đi u ki n:

2 u

2 v

= + u x , ệ ố ứ ặ ẩ ụ ả ị ệ ở H đ i x ng ngh ch đ o nên đ t n ph : = + , h (I) tr thành: v y 1 y + = (cid:0) (cid:0) (II) 1 x 4 - = u v + 4 4 (cid:0)

ả ệ Gi i h (II) ta đ (cid:0) = + 2 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ấ ệ Do đó ta có: , h này có nghi m duy nh t: (1 ; 1) (cid:0) 2 y (cid:0) (cid:0) ượ c u = 2; v = 2. 1 x 1 + = y

ậ K t lu n : ệ ệ ấ ế H (I) có nghi m duy nh t (1 ; 1).

ề

ị ạ ệ ươ ả ng trình sau: ậ *) Bài t p đ ngh d ng III: i các h ph Bài 1: Gi (cid:0) (cid:0) + = = (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y y 9 xy + x y xy (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b) c) + + = = xy x y = 2 6 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + x y y x 6 (cid:0) 1 1 + + y x + x y 2( = ) 3 7 2 xy (cid:0)

3 y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) + + = + + = + (cid:0) x ( 481 x ( 17 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) d) e) f) ) xy + = + + y = (cid:0) x xy y 5 = 3 2 y = + ) 2 xy x y ( (cid:0) (cid:0) x ) xy + xy y 37 (cid:0)

ị ủ ệ Bài 2: Tìm các giá tr c a m đ h ph ng trình sau có nghi m: (cid:0) + = (cid:0) ể ệ ươ + + 1 x y 1 3 (cid:0) (cid:0) x y + + 1 y x + + 1 x + + 1 y + = 1 m (cid:0)

I/ HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng

1/ §Þnh nghÜa

Mét hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ ®èi xøng (hay gäi lµ ®èi xøng lo¹i mét) nÕu nh mçi ph¬ng tr×nh

cña hÖ kh«ng thay ®æi khi ta ho¸n vÞ tuú ý c¸c Èn cho nhau:

) )

yxf ,( yxg ,(

0 0 (cid:0) y,x(cid:0) , vµ g(x, y)=g(y, x).

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ch¼ng h¹n hÖ ph¬ng tr×nh cã hai Èn (cid:0) (cid:0)

lµ hÖ ®èi xøng lo¹i mét nÕu (cid:0) (cid:0) x,y(cid:0) =(cid:0)

2/ C¸ch gi¶i

)

yxf ,( yxg ,(

)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) a/ XÐt hÖ ®èi xøng lo¹i mét (cid:0) (cid:0)

yxg ,(

)

Trong ®ã (cid:0) (cid:0) x,y(cid:0) , lµ nh÷ng ®a thøc ®èi xøng cña hai Èn x , y

x xy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) §Æt (*) Chó ý ®iÒu kiÖn s2(cid:0) 4p (cid:0) (cid:0)

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh theo s vµ p, thay vµo (*) (cid:0) x, y

0),

zyxf ,( zyxg ,( zyxh ,(

0),

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b/ HÖ ph¬ng tr×ng (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Trong ®ã (cid:0) (cid:0) x, y, z(cid:0) , g(x,y,z), h(x,y,z), lµ nh÷ng ®a thøc ®èi xøng víi c¸c Èn lµ x, y, z

x xy

S zx

xyz

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) §Æt (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Èn S, P, R víi mçi (S, P, R) ta t×m ®îc (cid:0) x, y, z lµ ba nghiÖm cña ph¬ng

tr×nh : t3 St2+Pt2 R = 0

VÝ dô: Cho hÖ ph¬ng tr×nh

)I(

xyx m)1y)(1x(xy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m lµ tham sè (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Gi¶i hÖ khi m = 12

b)T×m m ®Ó hÖ (I) cã nghiÖm

Gi¶i:

8)1 m

xx ( xx )1 ( x(x+1)=u (cid:0)

yy ( yy )1 ( x2+x u = 0, (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . HÖ (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1= 1+4u; y(y+1)=v (cid:0)

2= 1+4v

§Æt y2+yv = 0 , (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a/ m=12 u, v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 8X+12 = 0; X1=6; X2=2

06x

6u 2v

6)1x(x 2)1y(y

02y

2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (*) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x ;1y

2x;3 y 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

VËy ta ®îc:

;

x 1y

3 2

x 2 1y

x y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

02x

06y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i t¬ng tù ta ®îc:

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b) HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x (cid:0) (cid:0) u,v tho¶ m∙n

1 4

u(cid:0) ; v(cid:0)

Mµ u, v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 8X+m=0 (*)

1 4

Yªu cÇu bµi to¸n (cid:0) t×m m ®Ó (*) cã 2 nghiÖm tho¶ m∙n (cid:0)

0m4

1 16

1 4

1 14 1 4

S 2 16m

16m

33 16

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

16m

33 16

(cid:0) (cid:0) (cid:0) VËy §K cña m lµ:

VÝ dô 2: Gi¶ sö (x, y, z) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

z,y,x

4 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Chøng minh r»ng:

Chøng minh: Theo gi¶ thiÕt ta cã 2 h»ng ®¼ng thøc :

2 z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Sx2z

y(x1

P)z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Trêng hîp 1: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Sx2zy

)x2(x1

p1x2

yz x Tõ §K: S2(cid:0) 4p (hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Hay: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

4 3

(cid:0) (2x)2 (cid:0) 4(x22x+1) (cid:0) 3x24x(cid:0) 0 (cid:0) 0(cid:0) x (cid:0)

Sx2z

y(x1

p)z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Trêng hîp 2: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Sx2

p)x2(x1

p1x2

Tõ §K: S2(cid:0) 4p (hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm)

4 (cid:0) 3

(cid:0) (2x)2(cid:0) 4(x22x+1) (cid:0) 3x2 4x(cid:0) 0 (cid:0) x (cid:0) 0

4 (cid:0) 3

4 3

VËy trong mäi kh¶ n¨ng: x (cid:0)

T¬ng tù cho y,z (cid:0) ®iÒu ph¶i chøng minh

VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

1 x

1 y

1 z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i: §K: x, y, z (cid:0) 0

9Sz

xyz

yz xyz

(cid:0) x, y, z lµ ba nghiÖm cña ph¬ng tr×nh t3 9t + 27=0 (cid:0) (t3)3=0 (cid:0) t1=t2=t3=3

nªn hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (3, 3, 3)

Bµi tËp ®Ò nghÞ:

Bµi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:

xy2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

yx3)y 3

x(2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)1y(y)1x(x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 2: Cho hÖ ph¬ng tr×nh

mxy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m lµ tham sè (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m=3

b) T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh

1mxy 2

2 yx

mxy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) m lµ tham sè (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi m=2

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm (x,y) tho¶ m∙n x>0; y>0

Bµi 4: T×m c¸c sè nguyªn x, y, x tho¶ m∙n:

a 2

1 x

1 z

1 c

1 y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) TÝnh x3, y3, z3 theo a, b, c. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 5: T×m c¸c sè nguyªn x, y, x tho¶ m∙n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x (cid:0) 6z 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 14 (cid:0) z 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x z y 36

II/. HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2:

Ta xÐt c¸c hÖ ph¬ng tr×nh 2 Èn:

1. §Þnh nghÜa: HÖ ph¬ng tr×nh 2 Èn

0)y,x(f

)I(

0)y,x(g

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

§îc gäi lµ hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II nÕu nh khi ta ®æi vai trß gi÷a x

vµ y cho nhau th× ph¬ng tr×nh nµy chuyÓn thµnh ph¬ng tr×nh kia. (cid:0) y,x)=g(cid:0) x,y); g(cid:0) y,x) =(cid:0)

Cã nghÜa lµ:

(cid:0) x,y)

(cid:0)

(cid:0) x,y) g(cid:0) x,y) =0

2) C¸ch gi¶i: + Trõ theo vÕ cña hÖ (I) ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶: (cid:0) + Chia (cid:0)

(cid:0) (cid:0) x,y) –g(cid:0) x,y) cho (x, y) ®îc h(cid:0) x,y) (cid:0) x,y) –g(cid:0) x,y)=(x y)h(cid:0) x,y) (cid:0)

0)y,x(h

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0)y,x(f

0)y,x(h

0)y,x(f

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ (I) (cid:0) Gi¶i ra ®îc kÕt qu¶. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

NhËn xÐt:

(xy) h(x,y) = (xy).h(y,x) a)

(cid:0) h(x,y) lµ ®a thøc ®èi xøng víi x vµ y.

,(cid:0) ) th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm

b) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II hai Èn cã nghiÖm ((cid:0) ((cid:0) ,(cid:0) )

(cid:0) hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (cid:0) (cid:0) =(cid:0) d¹ng nghiÖm ((cid:0) ,(cid:0) )

VÝ dô 1: Cho hÖ ph¬ng tr×nh

)1y(mxy

)I(

)1x(mxy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ë ®ã m lµ tham sè. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®∙ cho khi m=1

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®∙ cho cã nghiÖm duy nhÊt.

Gi¶i:

x)(y

0)1y

x( 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Víi m=1 (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

01x

01y

y1x 2

2)x1(x

x;1

1 2

x1y

1 2 1 2 Rx

x1y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

b) §iÒu kiÖn cÇn: §Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x, y, z) th× (theo nhËn xÐt) (cid:0)

x0=y0

(cid:0) PT: 2x2mx+m=0 cã nghiÖm duy nhÊt

(cid:0) (cid:0) =m2 8m=0 (cid:0) m=0 ; m=8

§iÒu kiÖn ®ñ: * Víi m=0 (cid:0) hÖ PT ®∙ cho

x;0

y;0y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ ph¬ng tr×nh nµy cã v« sè nghiÖm d¹ng ( lo¹i) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

* Víi m=8 hÖ ph¬ng tr×nh sÏ trë thµnh:

x(y

0)8y

)1y(8

x 2

)1y(8

)1x(8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

08yx

)1y(8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hoÆc (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i hÖ (*)

x 2 2y

08x8

Gi¶i hÖ (**)

08y

)1y(8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)1x8(8)x8(x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

HÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Tãm l¹i ( tho¶ m∙n) (cid:0) (cid:0)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (cid:0) m=8

VÝ dô 2: T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh:

)I(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cã nghiÖm duy nhÊt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i:

x(m)y

)I(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x(3

0m)y

x(43y mx 2y

xy 3

x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(*)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x(3

0m)y

(**)

HoÆc

xy 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0y 3

0y 2

y 2

x(x

0)mx5

mx 0mx HÖ ph¬ng tr×nh nµy lu«n cã mét nghiÖm x=0; y=0

Gi¶i (*) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 2

mx5

(cid:0) (cid:0) Nªn ®iÒu kiÖn cÇn lµ PT =0 HoÆc cã nghiÖm duy nhÊt x= 0

(cid:0) (cid:0) = 0 cã nghiÖm duy nhÊt x= 0 hoÆc v« nghiÖm x 2

Trêng hîp 1: mx5 Thay x= 0 vµ m = 0 nhng PT trë thµnh x2 5x2 = 0 (cid:0) x=0 hoÆc x=5 (lo¹i)

x 2

mx5

(cid:0) (cid:0) =0 PT v« nghiÖm Trêng hîp 2:

25 4

(cid:0) (cid:0) =25 4m <0 (cid:0) m>

x)3y(

0)my3

25 4

x= (y3)2 4(y23y+m)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) §iÒu kiÖn ®ñ: Víi m> xÐt

x= 3y2+6y+9 4m = 3(y1)24(m3)<0

Cã (cid:0) Hay (cid:0)

x<0

25 4

(cid:0) y mµ m> (cid:0) (cid:0)

0)my3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v« nghiÖm PT

x(3

0m)y

x 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v« nghiÖm Hay

x)3y( 2y HÖ (**) v« nghiÖm

(cid:0)

25 4

KÕt luËn: m> lµ tho¶ m∙n yªu cÇu bµi to¸n

VÝ dô 3: Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m hÖ ph¬ng tr×nh

m1y

m1x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0u1x

u1x

0v1y

v1y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi¶i: §Æt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2mv

)II(

2mu

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) vµ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i hai víi 2 Èn u, v

u2v

1v2

2mv

01v2

2mv

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (II) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2mv

0m2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) XÐt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cã PT: (1)

u2 2 0m2 (cid:0) =1 8(2 m) = 8m15 1(cid:0) 2

m2 (cid:0) 2

; S = P=

(cid:0) NÕu (1) cã 2 nghiÖm th× sÏ cã 1 nghiÖm ©m

Cô thÓ lµ: Trêng hîp 1: 2 m< 0 (cid:0) m >2 ta cã u1, u2< 0

(cid:0)

Trêng hîp 2: 2 m(cid:0) kh«ng tån t¹i x, y m (cid:0) 0 (cid:0) 2 ta cã u1 < 0

1)2m(8

u 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ë ®ã:

2u +1

Khi Êy ta cã nghiÖm v = u = u2 (cid:0) x = y = 2

01v2

2mv

u21 2 u21 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) *XÐt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

u21 2 u2

5m2

05m2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 2

Víi §K: u(cid:0) 0; v(cid:0) 0 sÏ ®îc ®iÒu kiÖn t¬ng ®¬ng 0(cid:0) u(cid:0)

XÐt PT: 4u22u2m+5=0

’=1+4(2m5) = 8m19

(cid:0)

(cid:0) (u)= 4u22u2m+5=0 a.(cid:0) (u) =4.(cid:0) (0) =4(52m)

5m2

1 4

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a.(cid:0) ( ) = 4. (cid:0) ( ) = 4. = 4(52m) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

;

1 2

1 4

S 2

1 2

S 1 2 4 Ta cã b¶ng so s¸nh sau:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

19m(8

19m8 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 2

S (cid:0) 2

1 2

(cid:0) a.f(0) =a.f( ) m KÕt luËn

(cid:0)

PTVN

+ +

19 8

1 2

0 0

1 2

+ + + 0

5 2

1 2

0 0=u<=u2=

1 2

+ + 0

+(cid:0)

Nh×n vµo b¶ng biÖn luËn trªn ta ®îc kÕt qu¶ nh sau:

19 8

5 2

1 2

(cid:0) (cid:0) +Víi: ta lu«n ®îc 0(cid:0) u1, u2(cid:0)

2 1 2 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) VËy: a) u = u1 ; v = u2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 2 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) u = u2 ; v = u1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

m (cid:0)

1 2

5 2

+Víi: ta lu«n cã u1<0<

15 8 5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tãm l¹i: 1) HÖ v« nghiÖm (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

5 8

19 8

2 0 2 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2) HÖ cã 1 nghiÖm (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

19 8

(cid:0) (cid:0) 3) HÖ PT cã 3 nghiÖm

2 0 2 0

2 1 2 2

2 2 2 1

19m(8

u; 1

15m8 4

19m8 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Trong ®ã:

5 2

(cid:0) (cid:0) 4) HÖ PT cã 2 nghiÖm

2 1 2 2

2 2 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Víi u1, u2 nh trªn.

Bµi tËp ®Ò nghÞ:

y1 x2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i: (Gîi ý) 0; y(cid:0) §K: x(cid:0) 0. Khi trõ theo vÕ, cho ta PT hÖ qu¶

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Vµ ta xÐt hµm sè (cid:0) (t)=

(cid:0) (cid:0) (t) ®ång biÕn (cid:0) x = y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Vµ gi¶i hÖ PT v« tû

Bµi 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh :

(cid:0) (cid:0) x33

x33 x3 (cid:0)

Gîi ý: §Æt t = 3 3

Bµi 4: CMR Víi mäi gi¸ trÞ ©m cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh

ymyx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cã nghiÖm duy nhÊt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gîi ý: Trõ theo vÕ, xÐt PT hÖ qu¶ theo PT ®å thÞ

Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

m y 2

m x a) Gi¶i hÖ ®∙ cho víi m = 1 b) CMR nÕu m (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (m lµ tham sè) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 th× hÖ ph¬ng tr×nh ®∙ cho cã nghiÖm duy nhÊt.

Mét sè VD Kh¸c.

(cid:0) = + (cid:0) x x 3 y 2 (1) (cid:0) (*) VD1 gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh = + (cid:0) (cid:0) y y 3 x 2 (2)

gi - i: ả (1) (2) 2 = 2 - - - - � x y x y ) 2( ) - � y x 3( + - = y x 1) 0 (

(cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x )( - = y 0 + - = y x 1 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2 (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) y x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (0;0);(5;5) (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � � (cid:0) (cid:0) x (*) (cid:0) - - 2 3 = + x - = x y 2 (cid:0) (cid:0) ( 1; 2);(2; 1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2 (cid:0) (cid:0) x 3 - = y 0 + - = y x 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 = + x 3 + - = x y 1 0 (cid:0)

(cid:0) = - x y 2( )(1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (*) VD2. gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) = - y x 2( )(2) (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2

- i:ả gi (1) (2) 3 = 3 - - � x y y x ))

2( + 2 + 2 - � x + xy y ( y x )(

= 2) 0 = (cid:0) x y (cid:0) x (cid:0) � � (cid:0) (cid:0) + + + = + = - = y + 0 + (cid:0) x y ptvno ( ) 2 0( ) y x xy 2 0 (cid:0) y 2 3 4 (Vì(x+y/2)2+3y2+2>0)

(cid:0) (cid:0) = - - y 2( ) + = x 1 0 � � (*) 1 2 (cid:0) 2 y = � x � = x � (cid:0) x � � � x y

(cid:0) = (cid:0) (cid:0) 1 x 1 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 5 5 1 = (cid:0) � � (*) (1;1) - + 1 ( - + 5 ; ) x 2,3 (cid:0) 2 2 2 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - - - - x y (cid:0) 5 1 5 1 (cid:0) ( ; ) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) 2 = 4 (cid:0) y x (cid:0) VD3. gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh = (cid:0) (cid:0) x y

gi i:ả

(cid:0) = (cid:0) x y (1) (cid:0) (*) = (cid:0) (cid:0) y x (2)

- (1) (2) 4 - - � x y x x y x + y x )( = - 2 y )

� ( + 2 - � x y y ( y x )( + y x )( + ) 1 0 = � �

(cid:0) x = - 4 y + � x ) ( � 0 (cid:0) (cid:0) - = y + + + = (cid:0) y ) 1 0(3)

x y x x vno 0; 0 (3)

y x x )( ( (cid:0) = (cid:0) =� y y = (cid:0) (cid:0) x (1;1) (cid:0) � � (*) (cid:0) y = (cid:0) (0;0) (cid:0) y x

(cid:0) (cid:0) x + = y + + 1 7 4 (cid:0) VD4. gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) y + = x + + 1 7 4 (cid:0)

gi i:ả (cid:0) (cid:0) x + = y + + 1 7 4(1) (cid:0) (*) (cid:0) y + = x + + 1 7 4(2) (cid:0)

- (2) (1)

+ � x + = y y x + + 1 7 + + 1 7

+ + + + + + + � x x y y = + + + x y y x ) 1)( 7)

7 2 ( + = 1)(7 + + + 7 2 ( = � � y y x x y x ) ( ( 1)(7 )

1)(7 = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) � � (*) ) (cid:0) 9 9 ; ( 16 16 x + = y y + + 1 7 4 (cid:0)

(cid:0) = (cid:0) e ey 1 (cid:0) VD5. gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh = (cid:0) (cid:0) e ex - + x - + y 1

(cid:0) = (cid:0) e ey 1(1) (cid:0) (*) = (cid:0) (cid:0) e ex - + x - + y 1(2)

- (1)

(2) + x + + � e e y t (cid:0) = ex + t + = x + ey = (cid:0) e et f e t R t , > e < (3) + + > " 1 0 < f � t ( ) f y x ( ); y f x ( ) : f y ( )

t ( ) > x : =� x (3)

x � e � x �

y f x ( ) y = - ey - + x e 1 + x 1) 1 � � (*) = = y ( y = x � e � x � < (cid:0) x 0 > - � theoBernuli e e + x ( 1) 1 (cid:0) > (cid:0) x

< < < - � 1 xe e + x khi x ( 1) 1 : 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (0;0) (*) � (cid:0) (1;1) (cid:0) (cid:0) 1 = x 0 1 =� �� x 1 2 = x y

(cid:0) + = (cid:0) (3 2 2) 2) 4 (cid:0) (* ) VD6. gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh + = (cid:0) (cid:0) (3 2 2) + + (1 + + (1 2) 4

Giai: taco + : 3 2 2 = + (1 2)

(cid:0) + = (cid:0) u (1 2) > (cid:0) dat : u v ( , 0) + = (cid:0) (cid:0) v (1

4 4 � � (*) + = v + + 2 - 2) + = v + = u v v u 4 ) ( = ) 0 � u � � 2 v � � � u � � u ( � �

(cid:0) = (cid:0) u (cid:0) (cid:0) (1) (cid:0) (cid:0) u 4 (cid:0) u + = v (cid:0) � � (*) (cid:0) 4 + - = - (cid:0) (cid:0) u v u v ( )( 1) 0 v (cid:0) (cid:0) (2) (cid:0) (cid:0) v + = v = - u 1 + = v u 4 (cid:0)

(cid:0) - + 1 17 = (cid:0) x ( ) log + 1 (cid:0) 2 (cid:0) iai (2) vno giai ; (1) : (cid:0) 17 - + 1 = y ) ( (cid:0) log + 1 (cid:0)

+ = - x x 2 2 3 3 2(*)

VD7. gi¶i ph¬ng tr×nh Giai:

= - x 3 2

dat y : = 3 - � y x 3 2

= = 3 - - y 3 2 2 � � (*) = - - - x y 3 = 3 y y x 3 2 3 3 � x � � y � � � x � � x � �

(cid:0) (cid:0) = - y x 2 (cid:0) (cid:0) (1) = (cid:0) = - (cid:0) 3 y x (cid:0) (cid:0) y x 3 (cid:0) � � (cid:0) (cid:0) 2 + 2 + 2 - = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x + xy y o ( y x )( = 3) x y 3 (cid:0) (cid:0) vno (2) 2 2 (cid:0) + + = = (cid:0) (cid:0) x xy y 3 0 (cid:0)

3 + + + = + + + > xy y x ) vi x : 3 ( 3 0

y 4 = - y 2 = (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) 2 (1;1) x x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � (*) (cid:0) - - = = (cid:0) (cid:0) x 1 x x 21, y ( 2; 2) (cid:0) 3 y x

(cid:0) + = x sin 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (*) VD8. gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) + = y sin 2 (cid:0) (cid:0) x y y x

(day la he doi xung loai 2 nhung giai theo Phuong phap thong thuong xe phuc tap ta se giai bang Phuong phap danh gia)

> > < � � x y vno 0 sin 2,sin 2 (*) > neu xy : vay xy : 0 :

> < - � � � � y > y vno xet x : 1 2 1 sin 1 (*)

< < - � � � � y > x vno xet x : 1 2 1 sin 1 (*) y x x y y > x x > y P = = = + P � y x x k � k Z xet x : �� (1) sin 1 2 , 2

P (cid:0) = + P (cid:0) x k k Z 2 , (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (*) P (cid:0) = + P (cid:0) y k k Z 2 , (cid:0) (cid:0) 2

Bµi tËp ¸p dông

(cid:0) + = x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1) (cid:0) y 2 (cid:0) (cid:0) 1 y 1 + = x 3 x 3 y

(cid:0) 2 = x (cid:0) - (cid:0) 1 (cid:0) 2) (cid:0) 2 = y (cid:0) - (cid:0) y y x x (cid:0) 1 + + = + (cid:0) x y 1 3 2 2 (cid:0) 3) + + = + (cid:0) y x 1 3 2 2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) x y + + 9 - = 7 4 (cid:0) 4) (cid:0) y x + + 9 - = 7 4 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) 5) (cid:0) (cid:0) 2

x 2 (2 y 2 (2 +

(cid:0) - = 1) - = 1) = (cid:0) 3 6 9 (cid:0) 6) + = (cid:0) (cid:0) 3 6 9

- - x = x x 7) 2 2 2 1

(cid:0) = (cid:0) x y cos sin (cid:0) 8) = (cid:0) (cid:0) y x cos sin

(cid:0) + = (cid:0) x y sin n ta 1 (cid:0) 9) + = (cid:0) (cid:0) y x tan sin 1

(cid:0) + = (cid:0) x y y 21 - + 1 (cid:0) 10, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh + = (cid:0) y x x 21 - + 1 (cid:0)

(cid:0) + = (cid:0) x y y 21 - + 1 (1) (cid:0) (*) + = (cid:0) y x x 21 - + 1 (2) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) y dk x : 1, 1 - (1) (2)

+ + 2 - - - - � x y y - + x y x 21 = 21 1 1

- - x y y + + - � x y ( + y x )( = ) 0 - + + + x y x - + 1 1 x y 21

21 + y x 1 - � x y + x y ( )( ( = )) 0 - + + + x y - + 1 + 1 x y 21 + 21

+ x y 1 � - = y x vi + x y 0( : ( ) 0)> - + + + x y - + 1 + 1 x y 21 + 21

(cid:0) - = y x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (*) + = (cid:0) y y 21 - + 1 (cid:0)

(cid:0) x - = y x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) x x x 21 - + 1 (3)

- � x x + 2 x - + 1 = 21 0 = (3) nhanthay khongcono x : (3) : 1

= - xet x x + 2 x : f x ( ) - + 1 > x 21; 1

' f x ( )

' f x �

+ = - - � x x 2 > vi x : 1 2 0 - x + x + 1 x 1 x > 21 = 21 � � � x > f x db x 1 ( ) ; (3) no x !: 2

2 > ( ) 0 = = y x 2 (*)

(cid:0) + = (cid:0) x y log 1 3sin log 3cos 3 (cid:0) 11, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh + = (cid:0) y x log 1 3cos (cid:0) log 3sin 3

pp quy ve hptdxl2: chu y 2 dang sau co the dua ve hdxl2 + b + = + a + x ax b e (1) c dx ( )

+ b + = + a + x (2) ax b = c dx ( + a + b ac voi d :

e ) = e bc + + > e ax b dk dy ( : 0) (1) dat dy :

+ ax b + 2 + x x 4 5

; + = e + = e + = 1 + x + x x x 5(*) 4 (cid:0) - dat dy : (2) vd1 gpt + = 1 dk x :

1 + = + + � (*) 2) 1

x 1 ( + (cid:0) - y dat y : x + = 2 2)

2 2) (1) 2 2) (2)

(cid:0) x + = 1;( + (cid:0) y x 1 ( (cid:0) (cid:0) (*) + = + (cid:0) (cid:0) y x 1 (

- - y x = - - - - = - x y + + y y x )( + + y x )( ( 4) 0;( vi x : 4) � � y 1; 2)

(1) (2) : � x ( =� x y 2 + + = � � x x vno vno (1) 3 3 0; (*)

+ =

Mét sè HÖ ph¬ng tr×nh nhiÒu Èn vµ c¸ch gi¶i

x xy y

+ =

y yz z

+ =

z zx x

(cid:0) Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi gi¶i

(

1)(

Hpt

(

2 1) (

100

(

1)(

�

(

1)(

= 1) 2 = 1) 5 = 1) 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

1)(

= 1) 10 = -

(

1)(

i ( �

c d ng: � � �

1)( +

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1)(

= 1) 10, = + 1) 10

(

1)(

�

1)(

= 1) 2 = 1) 1 = 1) 5

( x � � ( y � � ( z �

x � � y � � z �

(cid:0) (cid:0)

x ( � � ( y � z (

1)( z = 1) 2 = 1) 5 = 1) 10

)( 1

= -

10,

i ( �

c d ng: ��

1)( +

1) +

= -

(cid:0) (cid:0)

(

1)(

= -

= - x

1)(

= -

�

1)(

= -

+ x ( � + y ( � � + z (

x ( � � ( y � z (

1)( z = 1) 2 = 1) 5 = 1) 10

1)(

y h c hai nghi m l : (1;0;4) v (-3;- � � � ��

� 2;-6)

+ + =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x y z +

2 y

2 z

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 6 = xy yz zx (cid:0) (cid:0)

Bµi gi¶i

x y z

+ + = x y z +

(cid:0) (cid:0)

Hpt

�

+ + = � = + xy yz zx � � +

- -

xy yz zx

6 = xy yz zx + + 2 x y z )

� � � (

+ xy yz zx

= ) 14

c: zx=2

� ��

t ng v hai pt cu i ta �� n n hpt tr th nh: �

� �

+ + =

- (cid:0) (cid:0)

x y z = + ) 9 y z x (

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

+� , y z x t

l nghi m c a ph ng tr nh: � � � �� = + = t t 6

9 0

= + = y z x

�

z+x=3

ta c : ��

xz=2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x z , l nghi m c a ph ng tr nh: � � � ��

(cid:0)

=(cid:0) t + = ��(cid:0) =(cid:0) 3 t 2 0 t � 1) y h c hai nghi m l : (1;3;2) v (2;3; � � � ��

(cid:0) - (cid:0) (cid:0)

Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

+ =

3 0 (1)

2 y

y 3 + =

3 y

2 z 2

z 3

3 0

+ =

3 z 2

x 3

3 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi gi¶i

= -

+ 2

+ y 3

f y ( )

= -

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Hpt

+ 2 z 2

+ z 3

+ 2 2 t

+ 3 t

�

f z ( ) v i f(t)= �

1 2

� y � �

x � = y � � = z

f x ( )

= -

+ 2

+ x 3

1 2 1 2 1 2

+ >

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ﾢ

t 3

3 0

t c : 2 �

2 3

= -

+ 2

t '( )

+ (4 t

t 3)(2

+ 3 t

1 6

" (cid:0)

= '( ) 0

= -� t

3 4

��

f t suy ra: ( ) t ng n u t � �

(cid:0) -

f t

( ) gi m n u t � �

3 4 3 4

(cid:0) -

X+

th h m f(t) t ng:

t t �

��

�

3 4

��

Gi s h c nghi m (x ,y ,z ) 0

0 N u x < y th f(x )< f(y )

�

f(z )< f(x ) 0

<� z 0 0 x

0 �

� o (1) ta v

�

c: ��

0 y

+ =

= -

0 1)(2

3 0

th 0 = 3) 0

�

x 0

( x 0 = - 1

�

x x x 3 0 0 0 h c nghi m x =y =z � � � 0

(cid:0)

t t �

th h m f(t) gi m: �

��

3 4

= -

Ch ng minh t ng t nh tr n ta c ng

�

�� c nghi m x =y =z 0

(cid:0)

)

ng nghi m n y lo i (v x ,y ,z � � � � � 0

3 4

= -

cho c nghi m duy nh t l x

i h

m l � � ��

� � =y =z 0 0

(cid:0)

Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

1 (1)

1 (2)

2 z

= + y = + z = + x

1 (3)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

s x>y>z : ��

t (1),(2) v (3)

(a)

�

>� 2 z

Bµi gi¶i

N u x 0 th 0 x>y

v i (a

� �

�

2 z >

0 <

N u z 0 th x>y>z 0

�� )) ( i u n y v l 2 z

v i

�

�� (a)) ( i u n y v l

�

� - > 2 z

1 0

1 (

x>0 �

�

v z<0) �

� � < - z � < 2

z+1<0

0 (

theo

(2)) ( i u n y v

�

�� l

)��

s x>z>y : ��

t (1),(2) v (3)

2 y

(b)

�

>� 2 z

N u x 0 th 0 x>z>y

v i (

2 z

2 y

�

�� b)) ( i u n y v l

�

N u y 0 th x>z>y 0

v i (

2 y

� �

�

�� b)) ( i u n y v l

�

z>1

- >

2 z

1 0

> 2 z

x>0 �

�

� (cid:0)

z<-1

(cid:0)

theo

(2) th z>-1 n n z>1

2 y

=z+1>2

�

< -� y

v y<0)� = + < - 1 1

Khi

< 2 0 (

Khi

2 x �� ho n v v ng quanh (x,y,z) th h kh

� ��

i n n t ng t x t c c tr ng ��

h p c n l

i v ch ng minh t ng t ta

� � � � �

c i u m u thu n � ��

h ch c th c nghi

��

(cid:0)

1 0

Th x=y=z v o (1) ta

v l ) �� ng �� c ng m x=y=z � - = 2 x c x ��

�

x=y=z=

1- 5 2

x=y=z=

1+ 5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x=y=z=

1- 5 2

y nghi m c a h cho l : � � � ��

x=y=z=

1+ 5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

xy yz zx

2 z

6 y

x = 6 3 z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Theo

b t ng th c Bunhiakopsky ta c : �

��

Bµi gi¶i

2 xy+yz+zx x +y +z

(cid:0)

� �

��c:

x=y=z th v o (1) ta =

(cid:0)

x=y=z= 1

D u b ng x y ra � � � = 3 x � �

y nghi m c a h l : (1;1;1);(-1;-1;-1) � � � ��

(cid:0)

2 y y z z

+ z z x

(cid:0) Bµi 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2 x x y y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi gi¶i

)

Hpt

)

� (cid:0)

(cid:0) - (cid:0) -

= x y = y z = z x

2 z

)

(cid:0) - (cid:0)

V x= 1,y= 1,z= 1 kh ng l nghi m c a h tr

� � � � � ﾵn

�

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

) 1

(

)

nﾵn hpt

2x 2 1-x 2y 2 1-y

(

) 3

2z 2 1-z

p < < a

a t x=tan , -

th : �

��

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(

) 1

a tan2

�

(

)

a tan4

�

(

) 3

a tan8

�

a 2tan a 2 1-tan a 2tan2 a 2 1-tan 2 a 2tan4 a 2 1-tan 4

a tan8

a tan

)

�

a �

ﾢ �

p k 7

p < < a

p V - �

p �

�

p k 7

7 - < < k 2

7 2

2 } -3;-2;-1;0;1;2;3

nﾵn k

2 ﾢ Do k �

- { �

;

p ;

;

p ;0;

� �

p 3 7

p 2 7

3 7

� � ��

7 =

- - -

p 2 ; 7 7 a tan

;

p ;

p ;0;

;

V nghi y m c a h l : � � � ��

�

� �

p 3 7

p 2 7

p 2 ; 7 7

3 7

(cid:0) (cid:0) - - -

� � �

y � z

a a tan2 v i � a tan4

(cid:0) (cid:0)

+ 4

x + 4

5 y

y + 4 z

5 z

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - Bµi 7: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: = 2 x y = 2 y z = 2 z x (cid:0)

th y x=y=z=1 l nghi m c a h � �

� � � �

� �

� � � � y nh t�

Ta s ch ng minh nghi m n y l nghi m du Th t v y:� �

= 4

Bµi gi¶i

( 4 x x

) > 1

+N u x>1 th x �

�

- <

- -

1 0

5 y

( 4 y y

) 1

1 2 x = 4 y

�

- -

2 y z

5 z

= 4 z

( 4 z z

) > 1

�

1 2 y

- -

2 z x

�

1 ( i u n y m u thu n) ��

1 2 z

�

+N u x<1 :Ch ng minh t ng t nh tr n ��

� V y nghi m c a h l x=y=z=1

� � � ��

Bµi 8: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

+ 2 z 4

12 0 (1) = 12 0 (2) = 2

2 z 16

+ xy + yz x + xz

0 (3)

(cid:0) - 2 x (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

c: ��

C ng t ng v (1),(2),(3) ta � � � 2

2 +

Bµi gi¶i

(

)

(

2 (x -4xy+4y )+(y -4yz+4z )+(16z -8xz+x ) ) 2 + z 2

) = 4 z

�

- - -

z 4

z 2

�

= x � = y

z 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

= x =� y � = z

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 z 16

+ 2 z 4

2 z c: 4

+ z 32 + 2 z 8

v o h ta � � � ��

2 16 z +

12 0 = 12 0 =

2 z 16

2 z 32

(cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

- =

2 z

1 0

= z

�

� � � (cid:0)

= -

= - y

1 = - z 2,

(cid:0)

cho l :(4;2;1) ho c

y nghi m c a h � � � ��

� (-4;-2;-1)

(cid:0)

Bµi 9: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

32 (* ) +

xyz +

2 z 2

xy 4 >

x y z , ,

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi gi¶i

Ta c

2 z 2

2 z

)

(

2 z

2 y 4 ) 4

x � +

4 xy +

4 (theo b t ng th c c si)

(1)

��

C ng theo b t ng th c c si ta c : ��

�

(cid:0)

3 32.32 96 (2)

3 32 3 +

2 2 2 x y z +

(cid:0)

2) ta

2 y

2 z 2

(1) v ( � �

2 c x ��

(cid:0)

x=z

�

u b ng x y ra � � �

�

= x � = z

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

z=2y =

� 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

x=4

c 2y.y.2y=32

v o (* ) ta � �

��

� � (cid:0) y=2

z=4

(cid:0)

y nghi m c a h l : (4;2;4) � � � ��

(cid:0)

) (

x 3

+ x 3

3 y

y 3 2 z

z 6

(cid:0) - - Bµi 10: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: ) ( = - z 2 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi gi¶i

x 3

( + 2 3

) + z x

+ = z 3

3 y

y 3

+ x 3

Hpt

2 z

) 3 0 1 ) 2 2 ) 6 3 )

( ( ( (

3 4

)

Xem

� ��

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

( 1 l ph ng tr nh b c hai theo x: ( + z 3 3

( 3+z

) = 3

2 z

( = 3 z z z

) 3

Ta c �

D - - - (cid:0)

z 0

(

) 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

z 3 )

( ) 6 6

( 3 c nghi m � �

(cid:0)� �� + 2 -z z 6

(cid:0)

)

(

suy

ra z=3 ho c z=0

( ) ) ( 4 , 5 , 6 �

�

V i z=0

y=0

+ = x 3

2 0

�

� (cid:0)

(

)

) 2 loﾵi theo 1

i �

�

= y 3 � �

(cid:0) - (cid:0) (cid:0)

x 3

= 52 0

- v i y=3 �

�

- -

(

) a

=� x

217 2

(cid:0)

)

(

)

+ (cid:0) z

2 z

3 hay x=2 b

)

(

� )

1 3 tr

( T 1 ta c x= 3 � ) ( ( b a � �

ng h p n y v nghi m ��

(cid:0)

+ = x 3

2 0

) ( c

- v i y=-3 �

�

� (cid:0)

x x

1 2

(

)

( ) =� x T 1 � ( ) ( ) d c � �

2 d =� x

(cid:0) - (cid:0)

(

)

(

) 3

y h ph ng tr nh c nghi m: 1;0;0 ; 2; 3; � � ��

i c c h ph ng tr nh sau: � � � ��

Bµi tËp

+ =

1 0

+ =

z 2

1 0 b.

y 2 1

+ =

y � � 2 z

1 0

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) -

z � � x

+ + = -

- (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 z

x y z + +

2 =

c .

2 z

d. 3

= -

2 y 3 y

2 z 3 z

2 z ) = ) )

2 1 z ( 6x y ( y x ( z x

2 y

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

III/. HÖ ph¬ng tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh.

1. Kh¸i niÖm: Mét d¹ng hÖ ph¬ng tr×nh më réng cña hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i hai lµ hÖ ph¬ng

tr×nh d¹ng ho¸n vÞ vßng quanh cña c¸c Èn: x1, x2,…, xn

)x(g)x(f

3 .......... x(f

4 ......... )x(g)

)x(g)x(f 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Còng nh hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i hai, ®Æc ®iÓm chung cña hÖ nµy lµ: nÕu (x1, x2,…, xn)

lµ mét nghiÖm th× ho¸n vÞ vßng quanh cña nã còng lµ nghiÖm cña hÖ. V× vËy viÖc gi¶i hÖ ph¬ng

cøu trêng hîp hÖ ph¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm:(x1= x2=…= xn)

2.C¸c tÝnh chÊt cÇn sö dông:

a)TÝnh chÊt 1: NÕu hai hµm sè f, g cïng t¨ng trªn tËp hîp A vµ (x1, x2,…, xn) lµ nghiÖm cña hÖ

n,1i (cid:0)

ph¬ng tr×nh (I) ë ®ã xi(cid:0) A (cid:0) th× x1= x2=…= xn

(cid:0) min

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

,

Chøng minh: Do hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng thay ®æi qua phÐp ho¸n vÞ vßng quanh nªn g/s x1

(cid:0) g(x3)

(cid:0) g(cid:0) x2(cid:0) (cid:0) g(cid:0) x3(cid:0) (cid:0)

2 (cid:0) x1(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x2(cid:0) (cid:0) (cid:0)

g(x4)

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) x1

x, x,x n 1 (cid:0) x2(cid:0) (cid:0) (cid:0) x1(cid:0) x2 (cid:0) x2(cid:0) x3 (cid:0) (cid:0) x3(cid:0) (cid:0) (cid:0) x3(cid:0) x4 (cid:0) …………………………….. (cid:0) xn1(cid:0) (cid:0) (cid:0) xn (cid:0) x2 (cid:0) x1 (cid:0)

g(cid:0) xn(cid:0) (cid:0) ……. (cid:0) x1 (cid:0) x1 = x2 = ………. = xn

tÝnh chÊt ttrªn vÉn ®óng. g(x1) (cid:0) (cid:0) xn(cid:0) (cid:0) xn (cid:0) x3 (cid:0) VËy (cid:0) NhËn xÐt: nÕu f, g cïng gi¶m trªn A (cid:0)

b/ TÝnh chÊt 2:

Gi¶ sö hµm sè f gi¶m trªn tÇp hîp A vµ (x1, x2, …………, xn) lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (I),

ë ®ã xi(cid:0) A (cid:0) i = n,1 khi Êy :

+/ NÕu u lµ sè lÎ th× x1 = x2 = ………. = xn

++/ NÕu n lµ sè ch½n th× x1 = x3 = ………. = xn1

x2 = x4 = ………. = xn

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

1

2 x . n

Chøng minh: Còng nhËn xÐt nh trªn Gi¶ sö x1 = min (cid:0) x +/ Trêng hîp n lµ sè lÎ:

x1 (cid:0) x2 (cid:0) g(cid:0) x2(cid:0) (cid:0) g(x3)

(cid:0) (cid:0) x3 (cid:0) (cid:0) x1(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x2(cid:0) (cid:0) (cid:0) x2(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x3(cid:0) (cid:0) x2 (cid:0) g(cid:0) x3(cid:0) (cid:0) g(x4)

(cid:0) x3(cid:0) x4 ……………………………….

(cid:0) g(x1)

g(cid:0) xn(cid:0) (cid:0) (cid:0) x1(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xn(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) xn(cid:0) (cid:0) (cid:0) x1(cid:0) x2 (cid:0) xn1(cid:0) (cid:0) (cid:0) x1 (cid:0) g(x2) (cid:0)

VËy x1 = x2 = ………. = xn

(cid:0) (cid:0) x1(cid:0) (cid:0) g(cid:0) x2(cid:0) (cid:0) g(x4) (cid:0) x2 (cid:0) x4

(cid:0) (cid:0) xn (cid:0) g(cid:0) x1(cid:0) x1 = x2 (cid:0) ++/ Trêng hîp n lµ sè ch½n: (cid:0) x3(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x4(cid:0) (cid:0) (cid:0) g(cid:0) x3(cid:0) (cid:0) x1 (cid:0) (cid:0) x2(cid:0) (cid:0) x3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) g(x5) (cid:0) x3(cid:0) x5

(cid:0)

(cid:0) g(x1) (cid:0) xn1 (cid:0) x1

(cid:0) ……………………………………. (cid:0) (cid:0) xn2(cid:0) (cid:0) (cid:0) xn1(cid:0) (cid:0) g(cid:0) xn1(cid:0) (cid:0) g(cid:0) xn(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xn(cid:0) (cid:0) (cid:0) x1(cid:0) (cid:0) g(x2) (cid:0) xn (cid:0) (cid:0) (cid:0) x2

.......... ..

1 x

3 x

5 x

.......... ..

1n x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) VËy: (§iÒu ph¶i chøng minh) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

4 NhËn xÐt: TÝnh chÊt trªn vÉn ®óng khi (cid:0) VÝ dô: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

lµ hµm sè gi¶m

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

ln(

x

y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 y

ln(

y

z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 z

ln(

2 z

z

x

(cid:0)

Gi¶i: xÐt c¸c hµm sè

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x(cid:0) =

t

t 3

ln(

t

Vµ g(t) = t trªn R

Ta cã: g’(t) = 1 > 0

1t2 2

t2 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vµ: (cid:0) ’(cid:0) t(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1t t(cid:0) vµ g(t) ®ång biÕn trªn R

(cid:0)

Víi mäi t(cid:0) R nªn (cid:0) ¸p dông tÝnh chÊt 1:

(cid:0) NÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x, y, z) th× x = y = z = t víi t lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:

3t2

ln(

)1t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 0 (*)

DÔ thÊy ph¬ng tr×nh (*) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm t =1.

3t2

ln(

)1t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ThËt vËy xÐt hÖ sè h(t) = trªn R

1t2 2

t2 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta cã: h’(t) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) R h’(t) > 0

®å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i kh«ng qu¸ mét ®iÓm. NghÜa lµ ph¬ng tr×nh (*)

(cid:0) Nªn h(t) t¨ng trªn R (cid:0) cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm

VËy ta ®îc x = y = z = 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (cid:0) (cid:0) (cid:0)

VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0; t (cid:0)

Gi¶i : Ta thÊy x (cid:0) XÐt c¸c hµm sè: (cid:0) 0; z (cid:0) 0; y (cid:0) 0. (cid:0) u(cid:0) = (u1)2; g(u) = zu (u(cid:0) 0)

Ta cã: (cid:0) ’(cid:0) u(cid:0) = 2(u1)

(cid:0) u(cid:0)

g’(u) = 1 > 0 hai hµm sè (cid:0) R (cid:0) u(cid:0) vµ g(u) ®Òu t¨ng

*/ NÕu u>1 (cid:0) ¸p dông tÝnh chÊt (1) (cid:0) u (cid:0) 1 th× (cid:0) */ NÕu 0(cid:0) x = y = z = t = u (cid:0) u(cid:0) lµ hµm sè gi¶m

g(u) lµ hµm sè t¨ng

¸p dông tÝnh chÊt (2) (cid:0) t = x; z = y khi Êy hÖ trë thµnh

y21x2

x21y2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Trõ theo vÕ cña hai ph¬ng tr×nh nµy:

(cid:0) x2y2=0 hay x=y (v× x(cid:0) 0; y(cid:0) 0)

Tãm l¹i: Trong c¸c trêng hîp ta ®Òu cã : x=y=z=t vµ ®ªug b»ng u(cid:0) 0. Víi u lµ nghiÖm kh«ng

(u1)=2u (cid:0) u2 4u+1=0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ta ®îc hai nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh ®∙ cho lµ:

2tz

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

x22

3 1 3 1

..........

.....

x22

3 99

x22

3 100

100

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i: XÐt c¸c hµm sè : (cid:0) (t)=t33t+2 vµ g(t)=2t trªn R g’(t)=2.

(cid:0) Hµm sè (cid:0) t(cid:0) = t33t+2 (cid:0) ’(cid:0) t(cid:0) = 3t23

Cã kho¶ng biÕn thiªn:

t 1 1 (cid:0) +(cid:0)

+ + 0 0 (cid:0) ’(cid:0) t(cid:0)

4 (cid:0) (t) 0

,..., x

100

(cid:0)

i= 100,1

) c¶ hai hµm sè (cid:0) (t) vµ g(t) ®Òu t¨ng nªn x1=x2=…=x100=t.

Ta cã thÓ gi¶ thiÕt x1=min(cid:0) x,x 1 Trêng hîp 1: x1>1. Khi Êy xi>1 (cid:0) Trªn kho¶ng (1,+(cid:0) Víi t lµ nghiÖm cña PT t35t+2=0

(cid:0) (t2)(t2+2t1)=0

Ph¬ng tr×nh nµy chØ cã nghiÖm t=2>1

xi (cid:0) 1

Cho nªn x1=x2=…=x100=2. Trêng hîp 2: 0(cid:0) Ta cã: (cid:0) ([0,1]) =g([0,1]) = [0,2]

[0,1] (cid:0) (cid:0) (x1) (cid:0) ([0,1]) (cid:0) g(x2) (cid:0) g(cid:0) ([0,1])

Víi x1(cid:0) V× g lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R (cid:0)

(cid:0) (cid:0) ([0,1]) (cid:0) x2(cid:0) [0,1] g(x3) (cid:0) g([0,1]) (cid:0) …(cid:0) x100(cid:0) [0,1]

(cid:0) (x2) (cid:0) Trong trêng hîp nµy xi (cid:0) [0,1] (cid:0) i= 100,1

MÆt kh¸c trªn [0,1] th× hµm f gi¶m vµ hµm g t¨ng. ¸p dông tÝnh chÊt (2) (cid:0) x1=x3=…=x99

x2=x4=…=x100=2.

x22

3 1 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta cã hª ph¬ng tr×nh (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

HÖ lo¹i II.

Trõ theo vÕ c¸c ph¬ng tr×nh ta ®îc:

0)1

2 1

2 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (x1x2)(

1 2 1

2 2 2

xx 21

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) x1=x2 (cid:0)

x22

3 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (x12)(

(cid:0) x1=2 hoÆc x2=1+ 2 hoÆc x2=1 2

V×: x1(cid:0) [0,1] (cid:0) x1=1 2 (lo¹i)

x2= 2 (lo¹i)

VËy x1=1+ 2 =x2

xx 21

x(5

04)x

2 1 3 1

2 2 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) (céng theo vÕ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Lµ hÖ ®èi xøng lo¹i (I)

§Æt S = x1+x2

P=x1x2

2 S

01P

2 1SP

PS3S

04S5

04S5)1S(S3S

2 1SP

04S2S2

3 S

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 1SP 1S

2 1SP 2 S)(1S(

0)2S

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1P 2 1S

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

V×: S2 + S +2 = 0 v« nghiÖm

1 xx 21

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hoÆc (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) Trong trêng hîp nµy cã c¸c kh¶ n¨ng sau:

;

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

g(x1)<0 (cid:0) (cid:0) (x100)<0 (cid:0) x100 <2

Trêng hîp 3: x1<0 (cid:0) (Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn)

(cid:0) (v× g lµ hµm ®ång biÕn trªn R)

(cid:0) g(x100)<0 <0 (cid:0) (cid:0) (x99)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x99<2 ……… (cid:0) (x1)<0 x1<2. g(x2)<0

xi<2 (cid:0) i = 100,1

,2) hµm sè f, g ®Òu t¨ng nªn ¸p dông tÝnh chÊt (1)

VËy MÆt kh¸c trªn ( (cid:0) x1=x2=…=x100=t <2.

Víi t lµ nghiÖm cña PT t33t +2=2t

(cid:0) t35t +2=0

(cid:0) (t2)(t22t1)=0 (*)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Râ rµng (*) chØ cã 1 nghiÖm t =

1 (cid:0) KÕt luËn: Tõ kÕt qu¶ cña c¸c trêng hîp trªn (cid:0)

(cid:0) (cid:0) x1=x2=…=x100=

hÖ P T cã 5 nghiÖm (x1,x3,…,x99)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1) x1=x2=x3=…=x100=2 2) x1=x2=x3=…=x100=1+ 2 1

x

99

(cid:0) 3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 1 x

3 x

x

0

(cid:0)

2

4

100

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x

0

99

(cid:0) 4) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 1 x

3 x

x

(cid:0)

2

100 4 5) x1=x2=x3=…=x100=1+ 2

Bµi tËp ®Ò nghÞ:

Bµi 1: Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1. T×m gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh :

2 1 2 2

2 2 2 3

3 2 3 3 .......... .........

3 n

2 n

2 1n 2 n

3 1

2 1

mx 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cã nghiÖm duy nhÊt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 2: Cho n lµ sè nguyªn lín h¬n 1 vµ a(cid:0) 0 . Chøng minh r»ng:

2 1

2 a x

2 2

2 a x

..........

.........

2 1n

2 a x

2 n

2 a x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y2x8

z2y8

3 z2

2 z7

x2z8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 4

Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 23 z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Bµi 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

log

y22

log

x22

log

yz22

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 z

2 z

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

IV/ HÖ ®¼ng cÊp bËc hai

1/ Kh¸i niÖm:

BiÓu thøc F(x,y) ®îc gäi lµ ®¼ng cÊp bËc hai ®èi víi x, y khi mäi sè d¬ng k th× ta cã

F(kx,ky)=k2F(x,y)

HÖ ®¼ng cÊp bËc hai lµ hÖ cã d¹ng

A)y,x(F

B)y,x(G

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Trong ®ã F vµ G lµ c¸c biÓu thøc ®¼ng cÊp bËc hai ®èi víi x,y cßn A,B lµc¸c h»ng sè.

2) Ph¬ng ph¸p gi¶i:

+ G¶i hÖ víi y=o + Víi y(cid:0) 0 ®Æt x=ky vµ ®îc mét ph¬ng tr×nh bËc hai theo k Gi¶i t×m k (cid:0) x,y.

3) C¸c vÝ dô:

VÝ dô 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

xy3

)I(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + Víi y=0 (cid:0) hÖ (I) (cid:0) (lo¹i) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ Víi y(cid:0) 0 Tay vµo hÖ ®∙ cho ta ®îc

yky3

ky3

y3y.ky

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 ky

1k3

2 k3y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

k3 2

(cid:0) (cid:0) V× y(cid:0) 0 (cid:0) k23k+1=(1).

13 13k2 –39k+13=k2+k3

(cid:0)

(cid:0) 16k2 –40k+16=0

(cid:0) 4k2 – 10k + 4= 0

(cid:0) 2k2 – 5k + 2= 0

(cid:0) =524.2.2 = 9>0

35 4 35 4

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Víi k=2

y2x

12.3

2 2 2y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

y2x 2

1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Víi k= hÖ PT : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Tãm l¹i hÖ ®∙ cho cã 4 cÆp nghiÖm : (2,1); (2,1); (1,2); (1,2)

VÝ dô 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

y x

x2 y

5 2

2 xy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i: §K x(cid:0) 0; (cid:0) 0

5 xy2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

5

)2(

29 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Víi y=0 (cid:0) (1) (cid:0) (v« lý) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) y(cid:0) 0 ®Æt x=ky

y.y.k

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

5

ky8

y3yky

29 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 ky

51k

2 k8y

29 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

k8 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) V× k(cid:0) 0 = 0

(cid:0)

29 2 16k2 29k 6 = 0 (cid:0) =292 +4.6.16=1225 (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) k1=

3 16

32 y2=1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) k2=

Víi k1=2 (cid:0) y2[4+21]=5 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Mµ x = 2y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 16

3(cid:0) 16

3 16 9 256

3 16

256 59

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Víi k= (cid:0) (cid:0) (v« nghiÖm ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) VËy hÖ ®∙ cho cã 2 cÆp nghiÖm hoÆc (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

VÝ dô 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh

xy8

)I(

xy7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Gi¶i: * Víi y=0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ (I) (cid:0) VËy hÖ cã nghiÖm (0,0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

*Víi: y(cid:0) 0. §Æt x=ky

ky3

y4yky8

ky5

y6yky7

)1(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HÖ (I) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

2 k3y

4k8

)2(

2 k5y

6k7

)1(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

04k8

)2(

06k7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V×: y(cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

’=1612=4

(cid:0) Gi¶i: (1)

24 3

2 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) k1= ; k2=

Víi k=2 (cid:0) 5.(2)27.26 = 0

2 3

2 (cid:0) 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Víi k= 5. 7. 6 (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

VËy (1) vµ (2) bao giê còng (cid:0) k=2 (tho¶ m∙n)

Mét sè VD minh ho¹ kh¸c

(cid:0) HÖ ®∙ cho cã v« sè nghiÖm tho¶ m∙n d¹ng (2t,t), t(cid:0) R

(cid:0) + = (cid:0) Bµi 1. (§HSP TPHCM 0001).Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. + xy x y 9 (cid:0) 2 + 3 + = (cid:0) (cid:0) x 2 2 2

y xy Bµi gi¶i. Híng dÉn : khö hÖ sè tù do ta ®îc : + + = x xy y 16 14 3 0

2 � � x + � � y � �

Ta thÊy : x= 0, y= 0 kh«ng lµ nghiÖm cña hpt, chia hai vÕ cho y ta ®îc : - (cid:0) = (cid:0) (cid:0) 16 14 + = (cid:0) 3 0 - (cid:0) x y = (cid:0) (cid:0) x y x y 1 2 3 8

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) =�(cid:0) x 1 = - y 2 (cid:0) = *Víi thÕ vµo pt ta ®îc : (cid:0) = - (cid:0) x y 1 2 x 1 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) y 2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 3 17 17 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) = (cid:0) y (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 8 17 17 = *Víi thÕ vµo pt ta ®îc : (cid:0) (cid:0) x y 3 8 - (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) 3 17 17 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 17 17

KÕt luËn hpt cã 4 nghiÖm.

Bµi 2. (§HDL PH¦¥NG §¤NGKA 0001). Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh.

(cid:0) + + = (cid:0) 2 12 (cid:0) x 2 y = 2 - (cid:0) (cid:0) x y 11

xy 3 + xy 3 Bµi gi¶i.

= - = (cid:0) (cid:0) x Gi¶i t¬ng tù ta thu ®îc 4 nghiÖm : x 1 1 (cid:0) (cid:0) = - = (cid:0) (cid:0) y y 2 2

- (cid:0) (cid:0) = = 5 5 x x (cid:0) (cid:0) 3 3 (cid:0) (cid:0) = -= 1 1 (cid:0) (cid:0) y y (cid:0) (cid:0) 3 3

Bµi 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. (cid:0) = - 2 - (cid:0) + xy y 2 4 1 (cid:0) x 2 = + + (cid:0) (cid:0) x 3 7

y xy 2 2 Bµi gi¶i. Gi¶i t¬ng tù ta thu ®îc 4 nghiÖm : = - = (cid:0) (cid:0) x x 1 1 (cid:0) (cid:0) = - = (cid:0) (cid:0) y y 1 1

- (cid:0) (cid:0) = = x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) = = y y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9 161 17 161 9 161 17 161

Bµi 4. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. (cid:0) - (cid:0) x 2 (cid:0) = xy + = 2 - (cid:0) (cid:0) x xy y 2 4 2 16

Gi¶i t¬ng tù ta thu ®îc 4 nghiÖm :

Ộ Ố Ạ Ệ ƯƠ Ứ Ứ M T S D NG H PH NG TRÌNH CÓ CH A CĂN TH C.

ệ

ạ

ươ

ử ượ

ể

ộ ẩ

1. D ng h ph

ng trình có th kh đ

c m t n d n t

ẫ ớ i

ươ

ộ ẩ

ng trình m t n.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x 3 3 (1) (cid:0) Bài 1.1. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x 1 (2) (cid:0)

HDG:

(cid:0) (cid:0) x y ;0 0 ề ệ Đi u ki n:

3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x y x x 3 3 3 Ta vi t: ế (cid:0) (cid:0) x x 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Thay vào (2) ta có: (cid:0) x x y 2 1 3 1

ệ ươ ậ ệ 1 (cid:0)1;1 V y h ph x ấ (cid:0) ng trình có nghi m duy nh t:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 (1) (cid:0) x y 1 y Bài 1.2: Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy y x 1 1 (2) 1 (cid:0)

HDG:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 0;0 1 ề

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy y x ệ Đi u ki n: t: ế (cid:0) Ta vi 1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 0 L )( 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 (cid:0) Thay vào (2) ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 0 (L)

ệ ươ ậ ệ V y h ph ng trình vô nghi m.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y x y 1 (1) (cid:0) Bài 1.3: Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 (2) (cid:0)

HDG:

x (cid:0) y ;0(cid:0) ệ ề Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 1 1 1 0 (cid:0) Ta vi t: ế (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 0 1

ệ ươ ậ V y h ph ệ ng trình 2 nghi m (1; 0) và (0; 1)

ậ ươ ự ả ệ ươ Bài t p t ng t : Gi i các h ph ng trình sau:

(cid:0) (cid:0) y 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x 3 x x x y y 2 (cid:0) (cid:0) x b) a) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x x 3 (cid:0)

+ + + = x

+ + 2

- = x y

+ + 2

+ - 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 11 (cid:0) (cid:0) d) c) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y 2 2 2 (cid:0) (cid:0)

(cid:0) + + + + + + + + + = (cid:0) x x y 1 x y x y 1 y 18 - (cid:0) ( AN 99) e) (cid:0) x + + + - + x x y 1 + + + - = 2 y x y 1 y 2 (cid:0)

(cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y (cid:0) 20 x (cid:0) g) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y (cid:0) x 16 y 5 (cid:0)

ệ ươ

ạ

ụ ể ử

ể ặ ẩ

ứ

2.D ng h ph

ng trình có th đ t n ph đ kh căn th c.

ặ

ụ ộ ẩ *Đ t m t n ph :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 (1) (cid:0) x 2 y y 2 x Bài 2.1. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y xy 3 (2)

HDG:

(cid:0)yx . 0 ề ệ Đi u ki n:

(cid:0)0

(cid:0) (cid:0) t 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t 2 2 t t 3 2 0 ; ở Đ t ặ . Khi đó (1) tr thành: (cid:0) (cid:0) x y t (cid:0) (cid:0) 1 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 2 2 y 03 ượ V i ớ thay vào (2) ta đ c: t x y 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 3 (cid:0) 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t y x 2 x 2 2 x 03 ượ V i ớ thay vào (2) ta đ c: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 2 3 (cid:0) 3 2

ụ ư ề ệ ươ

ặ

ẩ

*Đ t hai n ph đ a v h ph

ng trình:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,1;2 1;2 , 3; & 3; ệ ệ ậ V y h pt có 4 nghi m phân bi ệ (cid:0) t: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 3 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xx yy 35 (1) (cid:0) Bài 2.2. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) yx xy 30 (2) (cid:0)

HDG:

(cid:0) (cid:0) x y ;0 0 ề ệ Đi u ki n:

(cid:0)0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y u u 5 uu 30 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; vu , ệ ở Đ t ặ . H tr thành: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v 6 (cid:0) vu . 32 v 35 xy v (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 4 9 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 9 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 41 (cid:0) Bài 2.3. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: [ĐH.2006.A] (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y xy 3 (cid:0)

HDG:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y xy ;1 ;1 0 ề ệ Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy x y x y 2 1 16 (cid:0) (cid:0) Ta vi ế ệ t h (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy x y 3 (cid:0)

(cid:0)0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x uy (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) u 6 u v u 1 16 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v ; ệ ở Đ t ặ . H tr thành: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) v 3 xy v (cid:0) (cid:0) 2 vu 3

(cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) Suy ra: (cid:0) (cid:0) y 3

ậ ự ả ệ ươ Bài t p t ệ luy n: Gi i các h ph ng trình sau:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 12 (cid:0) ố Đáp s : (1;0) a) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y xy 2 2 2 28 (cid:0) ố Đáp s : (4;4) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y xy 2 16 (cid:0)

2 yx

2 xy

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 3 2 (cid:0) ố c) Đáp s : (8;64) và (64; 8) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 6 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 7 2 5 (cid:0) ố Đáp s : (1;2) d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 2 1 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y x y 2 2 4 5 (cid:0) e) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y x y x y 2 2 2 2 6 (cid:0)

(cid:0) 7 + = + (cid:0) - x y y x (cid:0) xy 1 ( HH 99) g) (cid:0) = + x xy y xy 78 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4( ) 32 (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:0) h) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 4( 4 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 1 x 2 1 2

(

)

+ 2 6

= + x

(cid:0) - - y x * 2 (cid:0) x y (cid:0) i) (cid:0) + - - x x y 2 (cid:0)

(

)

) 12; 1 ,

- - x 2 x y - y - = - � pt * 6 0 Đáp s : ố ( HD: 2 2 y 8 4 � � ; � � 3 9 � � y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 4 (cid:0) j) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 2 (cid:0)

ệ

ạ

ươ

ứ

2. D ng h ph

ng trình ch a căn gi

ả ượ i đ

ờ ử ụ c nh s d ng

ấ ẳ

ứ

b t đ ng th c.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y 11 (cid:0) Bài 3.1. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y x 11 (cid:0)

HDG:

(cid:0)yx , 0 ề ệ Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y 11 x 0 (cid:0) (cid:0) ế ợ ớ ệ Ta có: k t h p v i h suy ra (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 0 x x y 11 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y 3 3 (cid:0) Bài 3.2. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y x 3 3 (cid:0)

HDG

(cid:0)yx , 0 ề ệ : Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta gi ả ử s x y x x y y y x y x 0 3 3 3 3

Suy ra x = y = 1.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2 2 (cid:0) Bài 3.3. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x 2 2

HDG

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ề : Đi u ki n: 2 yx , 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: x y x y 2 2 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 2 2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2 2 x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ươ ả Theo h ph ng trình ta ph i có (cid:0) (cid:0) y 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 2 2 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 (cid:0) Bài 3.4. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 (cid:0)

HDG

(cid:0)yx , 0 ề ệ : Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y yx , 1 x y Ta có: 1 (cid:0) (cid:0) y y (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) (cid:0) ệ ươ ả Theo h ph ng trình ta ph i có (cid:0) (cid:0) y y (cid:0)

ế ợ ớ ệ ệ K t h p v i h pt suy ra 2 nghi m (1; 0) và (0; 1)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z 4 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y z x 4 1 Bài 3.5. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z x y 4 1 (cid:0)

HDG:

(cid:0) ệ ề (cid:0)yx , 41 Đi u ki n:

(cid:0) (cid:0)z 4( (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z Ta có: < = 2z (1’) 4 1 4( 1).1 1)1 2

ươ ự T ng t : < 2x (2’) < 2y (3’) 4 (cid:0)y 1 4 (cid:0)x 1

ừ T (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2(x+y+z) = < 2z + 2x + 2y (4) z x y 4 1 4 4 1 1

ừ T (4) suy ra: x = y = z = 1 2

ậ ự ả ệ ươ Bài t p t ệ luy n: Gi i các h ph ng trình:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y x 11 31 2 (cid:0) (cid:0) a) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x y 31 2 (cid:0) (cid:0) y x 11

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x x y 2 2 2 3 3 (cid:0) (cid:0) c) d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x y y x 2 2 2 3 3 (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x z 2 2 2 1 (cid:0) x x 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z y y x 2 2 2 1 e) g) (cid:0) y y 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x z z y 2 2 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x y y y 2 4 1 3 5 (cid:0) h) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y 44

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) HD: so sánh: x x x y y y 2 &4 5 4 5 2 5

(cid:0) xy 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 9 (cid:0) i) x 2 xy 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y x (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 2 9 (cid:0)

2012

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 ... 1 2012 . 2013 x 1 (cid:0) j) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 1 1 ... 1 2012 . 2011 (cid:0) x 1

ấ ẳ ử ụ ứ HD: s d ng b t đ ng th c Bunhiacopski

ệ

ạ

ươ

ứ

3. D ng h ph

ng trình ch a căn gi

ả ượ i đ

ờ ử ụ c nh s d ng

ấ ủ

ố tính ch t c a hàm s .

ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 4.1. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x xy y y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 3 3 41 (cid:0)

(cid:0)x

5/4(cid:0)

HDG: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y ĐK: ; H ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 3 3 41 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x ế ồ đ ng bi n trên R. Suy ra: Xét hàm s ố (cid:0) tf t t x y

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: x x 3 3 41 x x 3 2 x 10 3 26

(cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 y 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 1 (cid:0) (cid:0) x x (cid:0) 34 33 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ệ ậ x 33 (cid:0)1;1&1;1 V y h pt có 2 nghi m là:

ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 4.2. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y x 2 log.6 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y z y 2 log.6 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z x z 2 log.6 6 (cid:0)

6 HDG: (cid:0)zyx , , ĐK: ; (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y log 6 (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 6 (cid:0) (cid:0) 2 y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z log 6 (2) H ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 2 6 (cid:0) z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x log 6 (3) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z 2 6

(cid:0)6;

z t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ồ Xét hàm s ố (cid:0) tf đ ng bi n trên . (cid:0) (cid:0) t 6 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tg )( log 6 ế ị và hàm s ố ngh ch bi n trên . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t 2 (cid:0)t yg xf (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) zg yf (2) ạ ệ Khi đó h có d ng: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) zf (3)

xg ệ

(cid:0)zg (cid:0)yf

(cid:0)yf zg

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ợ ườ ng h p: z ả y x z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ậ ậ x x y z z y ủ ệ ươ ẽ ứ ng trình thì ta s ch ng minh x=y=x. ả ử s x = max{x, y, z} khi đó x y ra hai tr y zf yg x x y y z z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf xg x xf xg 3(cid:0) ộ N u (x; y; z) là m t nghi m c a h ph ổ ấ Th t v y, không m t tính t ng quát gi xg yg TH1: xf zf TH2: ừ ệ ậ V y x = y = z. T h suy ra:

ấ i: h ph ạ ậ ươ ả Tóm l Bài t p t ệ ươ ự ng t ng trình có nghi m duy nh t: (x; y; z) = (3; 3; 3) : Gi ệ ệ ươ i các h ph ng trình:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y y 1ln 1ln (cid:0) a) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x xy y 12 20 0 (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x y y 4 1 253 0 (cid:0) b) [ĐH.2010.A] (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x 4 432 7

ệ

ạ

ươ

ứ

ằ

5. D ng h ph

ng trình ch a căn gi

ả ượ i đ

c b ng cách

ượ l

ng giác hóa.

ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 5.1. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y y x 1 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 1 1 2

HDG:

(cid:0)1;1

(cid:0) (cid:0) ề ệ (cid:0)yx , Đi u ki n

(cid:0)(cid:0);0

(cid:0) (cid:0) x a cos (cid:0) (cid:0) (cid:0)ba , Đ t ặ v i ớ (cid:0) (cid:0) y b cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) b a cos cos 1 ba (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ở H tr thành: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a sin. a b sin. b 1 cos 2 1 cos (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a sin 2 cos sin a . cos 01 (*)

(cid:0)2;2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Đ t ặ t a sin cos ta ;

(cid:0) (cid:0) t 1 (TM) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) t t 2 03 (cid:0) ở PT (*) tr thành: (cid:0) (cid:0) (cid:0) t 3 (L)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a b sin2 1 0 ớ V i t= 1 suy ra: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 1 4 2

ả ệ ươ i h ph ng trình: Bài 5.2. Gi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) x yx y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y zy z 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z xz x 2 (cid:0)

HDG

(cid:0)zyx , , 0 ề ệ : Đi u ki n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z (cid:0)zyx , , 1 ễ ấ D th y . Khi đó h ệ (cid:0) x x y y 2 1 2 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) z z 2 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x a y tan aa ; ;0 tan 2 Đ t ặ (cid:0) z a tan 4 a 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 a tan2 tan 1

tan

4 2

z z

2 1

tan2 tan

a 4

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a a Zk tan tan 8 (cid:0) ka 8 ; (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a ;0 ;0 ; ; a mà nên (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 7 (cid:0) 2 7 (cid:0) 3 7 2 (cid:0)k 7

ệ ệ ậ V y h pt có nghi m:

(cid:0)0;0;0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan; tan; ; ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 7 (cid:0) 2 7 7

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) tan tan; tan; tan tan; tan; và (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 7 (cid:0) 6 7 (cid:0) 12 7 (cid:0) 2 7 (cid:0) 8 7 (cid:0) 4 7

ả ệ ươ i h ph ng trình : Bài 5.3. Gi

(cid:0) = x

(cid:0) (cid:0) = y y 2 (cid:0) +(cid:0) 1 y x 2 (cid:0) +(cid:0) x 1

Gi i :ả

= a (cid:0) x (cid:0) (cid:0) a b , p p ; ệ ở Đ t ặ v i ớ . Khi đó h đã cho tr thành : = b (cid:0) y tan tan 2 -� � 2 � � � �

(cid:0) = a tan b = a (cid:0) tan (1) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ . Ta xét hai tr ợ ng h p : = b (cid:0) sin 2 a sin 2 tan (2) (cid:0) = b tan b b a a 2 tan (cid:0) +(cid:0) 1 tan 2 tan (cid:0) +(cid:0) 1 tan

ủ ệ ệ b = và ng 0 ượ ạ c l i nên ta có x = y = 0 là nghi m c a h . N u ế sin a = thì sin 0

b (cid:0) a (cid:0) 0 ế ế và sin : Nhân (1) và (2) v theo v ta có : Xét sin 0

= = = � c b a 4 cos . os � b a sin 2 .sin 2 b a tan .tan b ca cos . os (3) a 1 b c os .sin 1 2

a a a= b � � a=� b b c 2sin .cos . os sin sin a= sin (1) (4)

Thay (4) vào (3) ta có

a =

�

cos 2

p a = 2 + a = + = p = p + � � a � p k � k Z cos (1 cos 2 ) a 2 , 1 2 1 2 1 2 2 k 2 4

ủ ệ ệ Khi đó nghi m c a h là

HÖ ph¬ng tr×nh mò – logarÝt

(cid:0) x 0 p (cid:0) + p = = y x k x tan( ) 1 � (cid:0) 4 (cid:0) (cid:0) = = y = = y = = y x 1

I)

Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi t¬ng ®¬ng

+ y

+ 1

x y

+ x y

2 x y +

x y

y x

)

x 3

Bµi 1 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau - (cid:0) (cid:0) + = + = y x (cid:0) 2 2 3.2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1) 6) 2 + + x = + (cid:0) = + (cid:0) 1 (1 (cid:0) x xy x 3 + + 1 1 (cid:0) - (cid:0) y ) = (cid:0) y x (cid:0) = x y (cid:0) 2) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) 7) = x log (cid:0) log y (cid:0) = (cid:0) x y 3 (cid:0) 3) (cid:0) (cid:0) 2 x 2 + = y 1 (cid:0) = 4 (cid:0) - 8) (cid:0) (cid:0) = (cid:0) - x (cid:0) y x ) (cid:0) 4) - y 1 (cid:0) = 32 + = - x y ) 1 log ( 3 = (cid:0) (cid:0) y x x log ( 3 + log 3 (cid:0) 9) (cid:0) = y = x - - (cid:0) (cid:0) y y 2 2 ( + x xy )( 2) (2 81 (cid:0) 5) y log (cid:0) + = y 3 - + y + 12).3 = x log (cid:0) (cid:0) x y 2 y x 4 (cid:0) 10) - (cid:0) x = y log log 1

Lêi gi¶i 1) §iÒu kiÖn y>1

(cid:0) x (cid:0) + = y 2 + = (cid:0) (cid:0) = y + = y x (cid:0) (cid:0) + = y 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0)   2 + + x 1 1 + > = = (cid:0) + = y (cid:0) 0 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (1 ) 1 x � � y � x �(cid:0) � y � (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 0 + + = (cid:0) x x 2 0 (cid:0) (cid:0)

x x

+ x x

)

2) §iÒu kiÖn x>0;y>0 (cid:0) = (cid:0) x 1 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x (cid:0) = (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) y 1 (cid:0) - - 1 > (cid:0) (cid:0) x 0 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - -  �(cid:0) �(cid:0) - = (cid:0) + = - x (cid:0) (cid:0) x x + x x 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =� x � = y x (cid:0) (cid:0) 1 3 3 (cid:0) - = (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x = (cid:0) y 9 (cid:0)

1 2 = - 1

(cid:0) = (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) - = (cid:0) = + = + + = x - (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 1 (cid:0) 3 3 2 0 (cid:0) � � 3)  (cid:0) 1 �= 2 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) 2 + = y 2 x x 3.2 x 1 1 (cid:0) � 2 � y � � 2 � = - y 1 � (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 �(cid:0) 2 = - y 1 = (cid:0) (cid:0) x y 0 (cid:0)

)

15(

)

x 3

(cid:0) = (cid:0) x 1 (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) - - - y 1 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 1 > (cid:0) x (cid:0) = = x x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =  - - (cid:0) 4)  x 2 = - + 3 0 + - - (cid:0) y 1 (cid:0) (cid:0) x x x x 4 15 5 (cid:0) (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) x y � x � � y x (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = = y (cid:0) (cid:0) (cid:0) x �(cid:0) �(cid:0) � y (cid:0) (cid:0) 1 8

(cid:0) (cid:0) (cid:0) = y = y = y - - - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y + 2 x y y x 2 ( + x xy )( 2) 2 ( + x xy )( ) 2 (1) 2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0)   5) + = + = + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x y x y 2 2 2(2)

+ > + x y Ph¬ng tr×nh (1) cã x=y tho¶ m∙n x NÕu x>y th× 2 2 + < + y x 2 2

+ y

+ 1

+ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - x - x (cid:0) + = (cid:0) 3.2 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) � 1 + - = y = + x  6) = + (cid:0) - - xy x x + + 1 3 1 (cid:0) 1 + y x x 3 xy 2 x 1 NÕu x

1 3

+ 6.2

+ 1

(cid:0) = (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = (cid:0) = = (cid:0) 0 0 x y 0 log (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 11 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = = log log (cid:0) y g lo (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 11 8 11 (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � �  (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 1 1 (cid:0) = - + (cid:0) (cid:0) x 8) + log (3 2 (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) 8 11 1 1 3 3 x x (cid:0) (cid:0) - - x 1 3 = - 1 3 + 1 + = x 1 3 + + 1 = - (cid:0) y + 2 log (3 8) (cid:0) 1 0 2 6 8 (cid:0) � x � � � � � y � � � � � x � � � y � � � 3 2 � � � � x � � � � � y � � � � � x � � = - � y 1 3 � � � + x 2(1 3 ) 2 � � �

= - 3 = + 3 8 x = - y �(cid:0) � �� 3 2 ��(cid:0) 3 ��(cid:0) 2 (cid:0) (cid:0)

(cid:0) = x y (cid:0) (cid:0) 7) (7) = x log (cid:0) log y (cid:0) x y > x < (cid:0) y 1 §iÒu kiÖn = (cid:0) 0;0 = (cid:0) x y 2 log log y x log log = = (cid:0) (cid:0) x y log 2 log 16 � � � (7)  � - - = = y = y log (cid:0) (cid:0) x = y y x � y log log log 2 4 � � � � � 2 log �(cid:0) y y 2 log log (cid:0) x y log log

x y

y x

(cid:0) (cid:0) = 4 (cid:0) 8) (8) (cid:0) - (cid:0) x 32 y y ) log ( 3 + = - x ) 1 log ( 3

(cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) + > y - > y x 0 §iÒu kiÖn (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy 0

(cid:0) = (cid:0) x y 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + + = 2 - - - = (cid:0) (cid:0) = ) 5 = ) 5 y 3 x = y ) 0 2 x y x y � � � � (8)  (cid:0) = y 2 )(2 = 2 - y = (cid:0) (cid:0) x � y 1 (cid:0) x ( � 2 x y 3 �(cid:0) 4 y x 2 y x 2 2( � � � (cid:0) - y x = 2 - (cid:0) (cid:0) x y y 2( � � � x = ) 1 3 (cid:0) log ( 3 (cid:0) = 2 - (cid:0) x x 4 3 (cid:0)

= + (cid:0) x 3 log (cid:0) 9) (9) = x (cid:0) y y 3 - + y y (2 12).3 81

log

§iÒu kiÖn y>0 = - (cid:0) x + y log 3 = - (cid:0) (cid:0) + y 3 3 2 = (cid:0) � � � y - (9)  � = 1 (cid:0) = x � = y 3 (cid:0) y log - + y y y + - 2 y 12).27. 81 + y log 3 = 12 0 (cid:0) x � � (2 � = - x � � y � 3 = - (cid:0) y 4 (cid:0)

(cid:0) + = x y 4 (cid:0) 10) (10) - (cid:0) x

= y 4 < (cid:0) x < (cid:0) y 1 1;0 1 log log 4 §iÒu kiÖn 0

log

3 2

(cid:0) (cid:0) = = + = = 2 x log y 4 2 log 2 x � � � (10)  - = = = y y (cid:0) 4 4 (cid:0) (cid:0) x � � y 2 � x � x � � x � x � = (cid:0) 1 � 3 � x y 4

(cid:0) - x = y log log 0 (cid:0) 1 2 (cid:0) (1) Bµi 2 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) + = x y my (cid:0)

a) Gi¶i hÖ víi m = 2

b) T×m m ®Ó hÖ (1) cã nghiÖm

Lêi gi¶i

> (cid:0) x y 0; 0 §iÒu kiÖn

3 +

3 = y my

(cid:0) = (cid:0) = x y log log (2) (1)  x �(cid:0) � y = + - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) y = y m f y ( ) 0(*) � � x 0 (cid:0)

a) Víi m = 2 gi¶i hÖ (2) ta ®îc nghiÖm (1 ;1) ; (1 ;1)

b) (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (*) cã nghiÖm y>0

1 Do (*) cã nªn (*) cã nghiÖm d¬ng  f(0) <0  m<0  m >0 b - = - a

+ = (cid:0) (cid:0) x ky ) 2 (cid:0) (1) Bµi 3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh + = (cid:0) y kx ) 2 (cid:0) log (3 x log (3 y

a) Gi¶i hÖ víi k =2

b) BiÖn luËn theo k hÖ (1)

Lêi gi¶i

< (cid:0) (cid:0) 0 1 (cid:0) > (cid:0) x x y ; + ky 3 0 §iÒu kiÖn (*) (cid:0) + > y kx (cid:0) 3 0

(cid:0) (cid:0) + = ky x (cid:0) (cid:0) (2) x = (cid:0) + = (cid:0) 3 x y (cid:0) x ky x 3 (cid:0) + = (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) x ky x (cid:0) ky x = (cid:0) + = (cid:0) � � � (1)  x � ky x (cid:0) - - - - + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) y k = x y (cid:0) x 3 � x ( )(3 ) 0 (cid:0) (cid:0) y kx y 3 � 3 (cid:0) - - k x y = - 3 (cid:0) k x x = - 3 (3) y � 3 y � (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

a) Víi k = 2

(cid:0) - (cid:0) 5 = x 0 (cid:0) (2)  = (cid:0) = x � = y 5 (cid:0) x � y 5 x

(cid:0) = - (cid:0) x l 1( ) = (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) = � � (cid:0) (3)  2 = - (cid:0) x � y l 1( ) (cid:0) x � y 2 0 x - = x = - 1 (cid:0) (cid:0) x x 2 � = - y 1

b) BiÖn luËn

(cid:0) = (cid:0) x - - (cid:0) = k k 3 ) 0 (cid:0) � � (cid:0) l 0( ) = + k 3 (2)  x k (cid:0) x x ( � � = y � = + x 3 � � = + y 3 � (cid:0) x � = y x

Víi x= 3+k ; y= 3+k lµ nghiÖm cña hÖ khi vµ chØ khi tho¶ m∙n hÖ ®iÒu kiÖn (*)

< + - � k k �� 1 - < 3 2  0 3

(cid:0) + - - k x + x k ( = k 3) 0(4) (cid:0) (3)  - (cid:0) y 3) x k ( = - 3 (5)

+) XÐt ph¬ng tr×nh (4)

= + - - x k + x k cã f x ( ) ( 3) ( = k 3) 0

D = - ' - k k 3( + 3)( 1)

> (cid:0) k D < (cid:0) ' 0 (cid:0) . NÕu ph¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm nªn hÖ (3) v« nghiÖm 3 < - (cid:0) k 1

= (cid:0) k D = (cid:0) ' 0 (cid:0) . NÕu 3 = - (cid:0) k 1

Víi k = 3 th× ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm x= 0 kh«ng tho¶ m∙n (*) => (3) v« nghiÖm

Víi k= 1 th× ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm x=2 thay vµo (5) ta ®îc y = 2

Vëy hÖ (3) cã nghiÖm (2;2)

D > ' . NÕu - < <� k 1 0 3(**)

(cid:0) - - + - k k 3 + 3)( 1) = = (cid:0) x x 1 (cid:0) Khi ®ã (4) cã hai nghiÖm (cid:0) - - - - k k 3 + 3)( 1) = = (cid:0) x x 2 (cid:0) k 3( 2 k 3( 2

Víi x= x1 thay vµ 95) ta ®îc y= x2

Víi x = x2 thay vµo (5) ta ®îc y = x1

> - (cid:0) (cid:0) > 3) 0 (cid:0) 0 < 0 > � � 0 x y , �� 1 0 Do ®ã (3) cã nghiÖm tho¶ m∙n x 2 - (cid:0) (cid:0) < k � � (cid:0) k 1 3 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) k k ( � - > k 3 0 � �- + + k 1 3 k k ( 3) 0 (cid:0) x x 1 2 � + x � 1 � f (1) 0

(cid:0) (cid:0) - < < k 1 0 (cid:0) KÕt hîp víi (**) ta cã (cid:0) - (cid:0) (cid:0) k 1 3

KÕt luËn

k (cid:0)

- +) Víi

{

( �

) �

[ + U

] 3; 1

} 2

- - - - hoÆc k = 2 hÖ v« nghiÖm } U k 0; 1 3 \ +) Víi hÖ cã nghiÖm x = y = 3+k

}

( �

{ ) 1;0 \ 1

= = (cid:0) - - k 3 ; ; +) hÖ cã ba nghiÖm = = (cid:0) x � y x 1 x 2 x 2 x 1 = + � x k 3 � = + y k 3 � x � � y �

C¸c bµi tËp tù luyÖn

Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau

(cid:0) = 2 - x y (cid:0) 1) §S : (2;1) + - (cid:0) x 3 y + x y ) = ) 1 log ( 3 log ( 3

2 log (

(cid:0) = + (cid:0) x y log log (cid:0) 2; 2) §S: - (cid:0) (cid:0) 1 2 x xy = y x log .log 0 log + y ) � � � � ( ) ; 2;1 � �

lg 3

lg3

log

log 2 3

(cid:0) = (cid:0) (cid:0) 3) DS : 4 x = (cid:0) (cid:0) 1 1 � � ; � � 4 3 � � x (4 ) y (3 )

)

( ) + 6 ; 3

(cid:0) = + (cid:0) 4 2 ( - - (cid:0) 3 + 6;3 6;3 6 4) DS : ( + - - (cid:0) (cid:0) x y x 3 xy ) = y 3 12

) 4;3 ;

= + (cid:0) y x (cid:0) DS : ( 5) 1 log = (cid:0) x 64 1 � �- ; 2 � � 8 � �

1 2

) 1;1 ;

x 2

x ) .

(cid:0) - = (cid:0) x y (cid:0) DS : ( 6) - - (cid:0) 2 9 � � ; � � 3 4 � � = (cid:0) xy x y (

(cid:0) = - y 2 4 (cid:0) 5 x y + 1 (cid:0) 7) DS : (0;1) ; (2;4) 4 = (cid:0) y + 2 + (cid:0) 2 2

) 2;1 ;

(cid:0) + x = + y y log 3 log log (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2; DS ( 8) 2 2 (cid:0) � � � � � � � � + x = + y x log 12 log log (cid:0) (cid:0) x 3 2 y 2 3

(cid:0) - x + = y 4 3 0 (cid:0) (cid:0) DS : (1,1) ; (9;3) 9) - (cid:0) x = y log log 0 (cid:0)

(cid:0) - - y x ) log 1 (cid:0) 1 = y (cid:0) DS (3;4) 10) (cid:0) log ( 1 4 + = (cid:0) x y 25

Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô

II)

)

log ( 2

log 3 2

Bµi1 Gi¶i c¸c hÖ phùîng tr×nh sau

2 3

+ 1

log

+ 2

(cid:0) (cid:0) - = + = (cid:0) (cid:0) 9 17 (cid:0) (cid:0) 4) 1) 2 + = + + 3 2.( + xy ) = 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y 2.3 3.2 8 ( 1) ( 1) 1

2cot

sin

- (cid:0) + = (cid:0) + y = y - x y 4 (cid:0) 4 2 4 1 (cid:0) 5) (cid:0) 2) - (cid:0) x = y log log 1 = y - (cid:0) (cid:0) 2 3.2 16

sin

cot

(cid:0) = (cid:0) 9 (cid:0) 3) 3 = x - (cid:0) (cid:0) 81 2 9

Lêi gi¶i

2 3

+ 1

(cid:0) + = (cid:0) 17 (cid:0) 1) (1) 2 + = (cid:0) (cid:0) 2.3 3.2 8

(cid:0) = (cid:0) u 3 > > (cid:0) u v ; 0; 0 thay vµo (1) ta cã §Æt = (cid:0) (cid:0) v 2

+ 2

(cid:0) (cid:0) = + = (cid:0) (cid:0) 1 17 � � + v = (cid:0) = - x � = y 1 (cid:0) u 9 � u 6 4 v 3 8 (cid:0) = (cid:0) u � v 1 3 2

- (cid:0) + y = y - (cid:0) 4 2 4 1 (cid:0) 2) (2) = y - (cid:0) (cid:0) 2 3.2 16

2 14 2

- (cid:0) = (cid:0) u > (cid:0) u v ; 0 §Æt = (cid:0) (cid:0) v

2 v � � u �

2cot

sin

Thay vµo (2) ta ®îc (cid:0) = (cid:0) x 1 (cid:0) - - v 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 4 + = 2 - v v (cid:0) ) 4 1 = (cid:0) = 2 - 2 v 1 4 v 3 16 2 � � � � - (cid:0) v 4 = = - - - = (cid:0) (cid:0) (cid:0) =(cid:0) v � u 1 y �(cid:0) x 1 (cid:0) u � � 2 v v 3 v + uv 4 = uv 3 4 4 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) v ( � � � u v 3 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) v 3 (cid:0) y 2 (cid:0)

sin

cot

2cot

(cid:0) = (cid:0) 9 (cid:0) 3) (3) 3 = x - (cid:0) (cid:0) 9 81 2

(cid:0) = (cid:0) u > (cid:0) u v ; 0 §Æt 9 sin = (cid:0) (cid:0) v 9

)

log ( 2

log 3 2

(cid:0) p (cid:0) = + p x k (cid:0) (cid:0) p (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + p (cid:0) x k (cid:0) 2 p (cid:0) (cid:0) = + (cid:0) = (cid:0) m p 2 x cot (cid:0) = = (cid:0) 2 p (cid:0) 3 1 y � = + (cid:0) � � � � y m p 2 Thay vµo (3) ta cã = 6 p (cid:0) 2 3 (cid:0) y u v . � � - = v u � u � � = v � � � sin � � �(cid:0) �(cid:0) = + p (cid:0) x k 0 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + (cid:0) (cid:0) y m p 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6 p 5 6 (cid:0) (cid:0) = + y m p 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 p 5 6

(cid:0) - = (cid:0) 9 (1) (cid:0) 4) + + 3 2.( + xy ) = 2 (cid:0) (cid:0) x y ( 1) ( 1) 1(2)

§K xy>0

§Æt log2 (xy)=t  xy = 2t thay vµo (1) ta ®îc :

log 3 2

t 3 2.3

2 3

t 3 t 3

(cid:0) = - 1 - = - � � � (cid:0) 9 3 2.2 - = t 9 - = t 2.3 3 0 = (cid:0) (cid:0) 3

t 3

x (cid:0)

= = = = � � � t xy y 3 1 2 Víi (v× ) thay vµo (2) ta cã 2 x

= - (cid:0) x 1 + + + = + + + + = � x x x x x ( 1) ( 1) 1 2 4 4 0 � (cid:0) = - (cid:0) x 2 2 x

= - => = - y x 2 1 Víi

Víi x= 1 => y=2

log

VËy nghiÖm cña hÖ (1 ;2) (2 ;1)

(cid:0) + = x y 4 (cid:0) 5) (5) - (cid:0) x = y log log 1

§K x>0;y>0

log

1 3

(cid:0) + = (cid:0) x y 4 (cid:0) (4)  (2) (cid:0) - x = y log log (cid:0) 1 2

(cid:0) = = (cid:0) (cid:0) x log 2 (cid:0) §Æt thay vµo (2) ta cã = = (cid:0) (cid:0) u � v y log (cid:0) x � y 2

1 3

uv 3

v (2 )

u (2 )

(cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 1 8 = (cid:0) (cid:0) u (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) 1 + = = (cid:0) (cid:0) = - 4 2 (cid:0) 3 2 2 � � � � (cid:0) (cid:0) v � = -� u (cid:0) = (cid:0) uv � 3 � � - = u v (cid:0) y �(cid:0) � x (cid:0) (cid:0) (cid:0) � � � - = � u v � � 2 � � - = � u v � (cid:0) 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 1 2 (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) v (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 3 2 (cid:0) = (cid:0) y (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 8

+ = (cid:0) Bµi 2 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh + ay bx ) 4 (cid:0) log ( y log ( x (cid:0) (1) ) = (cid:0) + ax by + ax by + ay bx ) 4 (cid:0) log ( x ).log ( y

a) Gi¶i hÖ víi a=3; b=5 b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ khi a,b>0

< (cid:0) x y ; 1

(cid:0) (cid:0) ) (cid:0) §Æt thay vµo hÖ ®∙ cho ta ®îc = (cid:0) + ax by + ay bx v ) (cid:0)

= (cid:0) (cid:0) Bµi lµm Víi a,b>0 §iÒu kiÖn 0 = u log ( x log ( y + = = = ) 2 x 4 2 � � � (2) � � = = = (cid:0) + ax by + ay bx (cid:0) ) 2 4 2 (cid:0) log ( � x � log ( y (cid:0) + ax by + ay bx y u v � � = u v . � u � � v �

a) Víi a=3 b=5 thay vµo (2) ta cã (cid:0) = = (cid:0) (cid:0) y 8 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) y x = - - (cid:0) + = (cid:0) (cid:0) x � y 8 (cid:0) = y 8 0 = 2) 0 (cid:0) x y x 5 = - - 2 � � � (cid:0) + + y 2 y x )( = + = - - + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) y x y x ( � 3 5 x (cid:0) � y �(cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) y x y 3 � � 3 5 (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) VN ( ) �(cid:0) x y y y = x 5 3 0 (cid:0) y + + (cid:0) y y 2 = 10 0 (cid:0)

(cid:0) = (cid:0) x (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (3) x = (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x (cid:0) + by ax = (cid:0) � � b) (2)  x � (cid:0) x + - + - y + bx ax = - - (cid:0) (cid:0) = y a b (cid:0) + by ax � x ( y x )( ) 0 a b x (cid:0) (cid:0) y = - - a b x (cid:0) (4) y � (cid:0) - - (cid:0) = ax x y � + b a b x ( ) (cid:0)

= + (cid:0) a b x (cid:0) < + (cid:0) a b 1 +) (3)  lµ nghiÖm cña hÖ (1) khi vµ chØ khi 0 = + (cid:0) a b y = - - (cid:0) (cid:0) +) (4)  y 2 a b x + + - - (cid:0) x ) D = - 0(5) )

a b+ (cid:0)

= 2 b a x ab b ( + a b a b 3 )( ( Ph¬ng tr×nh (5) cã . NÕu 0 = < = (cid:0) � loai 0 0( ) y 1 x 2 x 1 (cid:0) . NÕu 0

VËy hÖ (4) kh«ng cã nghiÖmèth¶ m∙n ®iÒu kiÖn 0 KL Víi a,b>0 a+b =1 hÖ v« nghiÖm hÖ cã nghiÖm x=y = a+b

+ 1

+ + x 1

Bµi 3 Cho hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) (cid:0) = - y 2 - + + m y 1 1 (cid:0) (1) - (cid:0) y m - = 1 2 (cid:0)

2 a) Gi¶i hÖ víi m = 0 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm c) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt Bµi lµm

+ 1

(cid:0) = (cid:0) u 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) u v ; 2; 0(*) §Æt = - (cid:0) v y 1 (cid:0)

(cid:0) = (cid:0) u v (cid:0) (cid:0) (2) = - + + - (cid:0) = - + (cid:0) v m = ) 0 v v m � � Thay vµo (1) ta cã u � � (cid:0) u v u v )( - + = 2 v = - - + (cid:0) (cid:0) (cid:0) v ( � u v m u �(cid:0) u (cid:0) = v u u m (cid:0) (cid:0) (3) v 2 (cid:0) = - + (cid:0) v u v m (cid:0)

+ 1

Víi u = v kh«ng tho¶ m∙n ®iÒu kiÖn (*) = (cid:0) u (cid:0) (2)  - (cid:0) v = + v m v 2 2 0(4)

(cid:0) = = = = (cid:0) (cid:0) v 2 2 0 � � � � a) Víi m =0 (2) 2 � = = - 2 5 (cid:0) u � 2 v = v 2 0 (cid:0) y u � � v � x � � y � 2 (cid:0)

- = 1 v (cid:0) - v (cid:0) 2 - (cid:0) v

b) HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (4) cã nghiÖm = - 2 2  cã nghiÖm m v v 2 2 ; XÐt f(v) = v v 2 f’(v) = 2v 2 =0  v = 1

(cid:0) B¶ng biÕn thiªn v - 1 2 +(cid:0)

f’(v) 0 + f(v) +(cid:0) +(cid:0) 0

0m (cid:0)

- (cid:0)� m m 0 0  1 0v (cid:0) Ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm c) Tõ b¶ng BBT ta thÊy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi

Bµi tËp tù luyÖn 1) Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: =

)

log ( 3

log 2 3

(cid:0) + (cid:0) x 3 (cid:0) 4; 10 §S: ( 1) y 2 lg = 2 - (cid:0) (cid:0) y x 1 3lg + 1 (cid:0) = x - - (cid:0) y 2 2 (cid:0) §S: (0;1);(1;2) ; (1;2) 2) - - (cid:0) (cid:0) y 2 3 2

( ) 6 ; 3

) 6 ;

(cid:0) (cid:0) 4 3.2 = y 2 = + 2 ( ) + - - (cid:0) 3 6;3 + 6;3 DS: ( 3) + - - (cid:0) (cid:0) x y x 3 2 xy = y 3

(cid:0) + = (cid:0) 2 (cid:0) 2) Cho hÖ phùîng tr×nh 4 y m + x 2 + + = (cid:0) (cid:0) m 2 4 2

a) Gi¶i hÖ víi m= 1 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (cid:0) = (cid:0) xy lg( ) lg (cid:0) 3) Cho hÖ ph¬ng tr×nh = (cid:0) (cid:0) xy + x m + y m lg( ) lg

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm

III)

+ x y

phùîng ph¸p Hµm sè Bai 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh (cid:0) + (cid:0) x y 2 2 (cid:0) + - 1) (cid:0) x y ) + ln(1 = - x ) + (cid:0) (cid:0) x 2 2 (cid:0) 4) ln(1 2 y = 2 - (cid:0) x y 0 (cid:0) - (cid:0) = + 3 = + y 3 = - y y 3 3 (cid:0) (cid:0) 20 + 2) (cid:0) x + xy 12 + = y x x = + + (cid:0) (cid:0) xy y x 12 (cid:0) 5) - (cid:0) (cid:0) y + = - 1 x y 2 2 (cid:0) = (cid:0) y 2 2 (cid:0) 3) = (cid:0) (cid:0) x 2 2

+ + x y x y y = + 3 (1) = + 3 2 � � 1) (I) + x + y - - y x x x x 2 = 3 + 2 = + 3 = + 3 = - y 2 2 2 y 3 (2) Bµi lµm + � 2 2 � � 2 � � � 2 � � + 2 � �

lµ hµm ®ång biÕn trªn R nªn tõ ph¬ng tr×nh (2) ta cã � 2 � � 2 2 � � x+ 3x

(3) x= - +

y XÐt hµm sè f(x) = 2 f(x) =f(y)  x = y Thay vµo (1) ta ®îc 2 3 VT (3) lµ hµm ®ång biÕn trªn R ; VP (3) lµ hµm nghÞch biÕn trªn R vËy (#) cã nghiÖm duy nhÊt x=1 VËy hÖ ®∙ cho cã nghÞªm (1 ;1)

x � 3 � � x � �

- = - y y 3 (1) 2) x = + + + y = + 3 + xy y xy y 12 12(2)

XÐt hµm sè f(x) = 3x 2 Thay vµo (2) ta cã x + = x � x 3 �(cid:0) � x � � x+ lµ hµm ®ång biÕn trÕn R nªn tõ (1) ta cã f(x) = f(y)  x=y = 4 =� � x 2

= = y 2 3) = + 2 y 2 (2) VËy hÖ cã nghiÖm (2 ;2) (2 ;2) x � 2 �(cid:0) � 2 � � � 2 � � 2 � �

lµ hµm ®ång biÕn trªn R nªn tõ (2) ta cã f(x) = f(y) x x 2 x XÐt hµm sè f(x) = 2 y 2 (1) = + 2 x+ 2 = (cid:0) x 1 = - � x = x 2 2 2 2 0 � (cid:0)  x=y thay vµo (1) ta duoc ( do ham = (cid:0) x 2

f(x) = 2x2x la hµm låi ) VËy hÖ cã nghiÖm (1 ;1) (2 ;2)

+ - (cid:0) x y ) + ln(1 = - x ) (1) (cid:0) 4) ln(1 2 y = 2 - (cid:0) + xy x 0(2) 20

(cid:0) y 12 DK x>1;y>1 = x y 2 (cid:0) (2) (cid:0) (3) Suy ra x; y cïng dÊu (cid:0) = + - � y - = x y y x ln(1 10 x ) + ln(1 )

= f - = - 1 t ( ) (1) XÐt hµm f(t) = ln(1+t)t voi t >1 1 + t 1 1

t + t t 1 0 + (cid:0) BBT f’(t) + 0

(cid:0) th× x ; y ph¶i lµ hai så tr¸i

f(t) 0 2 (cid:0) Tõ b¶ng biÕn thiªn ta thÊy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ( x ; y) voi x dÊu . §iÒu nµy m©u thuÉn víi (3) VËy hÖ ®∙ cho chØ cã thÓ cã nghiÖm (x ;y) voi x= y Khi ®ã x = y =0 lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ

+ x y

(cid:0) + (cid:0) x + = y x (1) (cid:0) 5) - (cid:0) (cid:0) y + = - 1 x y 2 2 (2)

= (cid:0) x - � x + - = y ( y x )( 1) 0 � (cid:0) (1) (cid:0) y = - 1

x + = x 1 - 2 - 0 = x - - (3) = + x x � Suy ra y = 1 x 2 + 1 2 2 = x 1 3 2 � 1 = - x 1 2 � 2 1

Bµi tËp tù luyªn

y +) Víi x = y thay vµo (2) ta cã 2 +) Voi y = 1x thay vµo (2) ta ®îc x VT(3) lµ hµm ®ång biÕn trªn R ; VP(3) lµ hµm nghÞch biÕn trªn R vËy (3) cã nghiÖm duy nhÊt x = 1 => y = 0 VËy hÖ cã nghiÖm (1 ;1) ; (1 ; 0)

- (cid:0) + + 1 - (cid:0) x x + = x 2 2 3 1 (cid:0) 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau : DS (1;1) - + + 1 - (cid:0) y y + = y 2 2 3 1 (cid:0)

(cid:0) = - e 2007 (cid:0) y 2 - (cid:0) y 1 (cid:0) 2) Cho hÖ CM hÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt (cid:0) = - e 2007 (cid:0) x 2 - (cid:0) x 1

(cid:0) - (cid:0) = - y y IV gi¶i hÖ b»ng ph¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ Bµi 1 : T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt + x m ( 1) 2 (cid:0) (1) 2 + = (cid:0) (cid:0) y m x

(cid:0) = y - (cid:0) y LG Neu x0 la nghiem thi –x0 cung la nghiem cua he Do do de he co nghiem duy nhat thif x0=x0  x0 = 0 0 (cid:0) Voi x0 = 0 thay vao he ta co (cid:0) (cid:0) =(cid:0) y � = m 0 (cid:0) 1 2 � = y m

- = - y y x = x y 2 + 2 (3) Voi m = 0 thay vao (1) ta co = = x x (4) + x � 2 �(cid:0) � y � � � 2 � � y � � = = =� x y f x ( ) f y ( ) Xet ham + la ham dong bien tren R nen tu (3) ta co f t t ( ) 2t

(cid:0) = (cid:0) (cid:0) y 0 (cid:0) Ket hop voi (4) ta co = (cid:0) (cid:0) = x � = y 0 (cid:0) x � y x

Vay he co nghiem duy nhat voi m = 0 (cid:0) + (cid:0) x = + y + x m 2 (cid:0) Bai 2 ( Bai tu luyen) Tim m de he sau co nghiem duy nha + = (cid:0) (cid:0) x y 1