Chuyên đề: Tích phân xác định

Chia sẻ: Vo Anh Hoang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

544
lượt xem 198
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo chuyên đề Tích phân về Tích phân xác định...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Tích phân xác định

Tích phân xác định A – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I – Tính tích phân bằng phương pháp phân tích: π 2 2 1 1 x3 + x + 1 x 3 dx xdx 6 ∫ ( x + 2) 2 ∫ x2 + 2 ∫ x( x + 1) dx ∫ x + 1 dx 5 ∫ sin 3 xdx 0 0 0 0 0 π π π e 2 3 5 cos x ln x dx 2 2 ∫ ∫ ∫x dx dx ∫ cos x 1 + sin x dx ∫ cos x sin 2 x cos 3xdx π 1 + 2 sin x +x 3 x 1 1 0 0 6 II – Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến: b ∫ f ( x)dx a) Phương pháp đổi biến dạng 1: I= a +) Đặt x = ϕ (t), t ∈ [α ; β ] +) Tính dx = ϕ ' (t)dt +) Đổi cận với ϕ (α ) = a; ϕ ( β ) = b β β β b ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt = ∫ g (t )dt = G (t ) = G( α ) - G ( β ) +) Biểu diễn : α α α a +) Chú ý: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: ππ Đặt x = asint, t ∈ [− ; ] hoặc x = acost, t ∈ [0; π ] • a2 − x2 22 ππ Đặt x = atgt, t ∈ (− ; ) • a2 + x2 22 ππ 1 • a +x , 2 Đặt x = atgt, t ∈ (− ; ) 2 2 a +x 2 22 Các ví dụ áp dụng: 1 2 1 1 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫ 1+ x2 ∫ x2 − x +1 ∫ x 2 + x + 1 dx 1 − x 2 dx 4 − x 2 dx dx dx 0 0 0 0 0 a a x3 2 ln 2 ∫ 2 ∫x ∫ 1 dx 4 − x dx e − 1dx 2 2 x ∫ dx 3 (a + x )2 2 2 a − x2 2 0 0 0 0 b ∫ f ( x)dx b) Phương pháp đổi biến số dạng 2: I= a +) Đặt t = U(x), U(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] +) Tính dt = U’(x)dx, biểu thị f(x)dx = g(t)dt Đổi cận: x a b t = U(x) U(a) U(b) +) Xác định nguyên hàm G(t) của g(t) U (b ) b ∫ f ( x)dx = ∫ g (t )dt = G(U(b))- G(U(a)). +) I = U (a) a Các ví dụ áp dụng: 5 +1 7 3 1 x2 +1 2 1+ x2 x +1 3 x2 +1 ∫ ∫ x (1 − x ) dx 2 ∫ ∫ 5 32 dx dx dx ∫ dx x +1 x4 3x + 1 3 x4 − x2 +1 0 0 1 0 1 π 3 e 15 x3 ln x sin 2 x + sin x 2 ∫e ∫ x 1 + ln x dx ∫ 1+ t 1 + t dt ∫ dx dx 3 cos x + 1 1+ x2 3 0 1 0 0 III – Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: 1
b b b b bb +) Có d(uv) = (uv)’dx = vdu + udv, từ đó ∫ d (uv) = ∫ vdu + ∫ udv nên: ∫ udv = uv − ∫ vdu aa a a a a b bb ∫ udv=uv a − ∫ vdu (1) a a b ∫ f ( x)dx Nhận xét: Để tính tích phân cần phân tích f(x) = udv, cần chọn u(x), v(x) hợp lí. Ý nghĩa a b b của công thức (1) ở chỗ trong khi tính tích phân ∫ udv khó ta áp dụng (1) thì chỉ cần tính ∫ vdu dễ hơn. a a Chú ý: Một só dạng tích phân sử dụng phương pháp tích phân từng phần: • P(x)lnx, P(x)eax, P(x)sinax, P(x)cosax, eaxcosax, eaxsinax. Các ví dụ áp dụng: π π π 1 1 e x 2 ∫ x ln(1 + x ∫ cos ∫ cos 2 2 x )dx x.e dx dx ∫ cos(ln x)dx ∫ cos xe dx x 2 x 0 0 0 1 0 π π2 π 3 3 x +1 x + sin x 2 4 ∫ sin 3 x.e x dx ∫ x ln x − 1 dx ∫ ln( x + ∫ sin 1 + x ) dx 2 ∫ 1 + cos x dx x dx 0 2 0 0 0 B - MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN I – Tích phân hàm số hữu tỉ: P( x) A B C = + + Chú ý:+) ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3 P ( x) A B C = + + +) ( x − 1) ( x − 2) x − 1 ( x − 1) x−2 2 2 C (2ax + b) P( x) A B D = + +2 +2 ( ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm) +) ( x − 1)( x − 2)(ax + bx + c) x − 1 x − 2 ax + bx + c ax + bx + c 2 Để tìm A, B, C, D có thể sử dụng hai phương pháp: Đồng nhát thức và hằng số biến thiên. 5 b 1 1 1 2x −1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 x2 1 ∫ x 2 − 3x + 2 ∫ ( x + a)( x + b) ∫ x +1 ∫ x2 +1 ∫ (3x + 1) 3 dx dx dx dx dx 3 a 0 0 0 x 2 n −3 1 1 2 0 3 1 − x 2008 2x3 − 6x 2 + 9x + 9 x4 1 ∫ ( x + 2) 2 ( x + 3) 2 dx ∫ (1 + x 2 ) n dx ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫ x 2 − 3x + 2 dx ∫ ( x 2 − 1) 2 dx −1 0 0 1 2 2 1 1 2 2 x2 − 3 1 x 1 ∫ 4 + x 2 dx ∫ x (1 − x) dx ∫1+ x ∫ x( x 4 + 3x 2 + 2) dx ∫ x(1 + x 4 ) dx 2 4 dx 4 0 0 0 1 1 2 1 4 2 ln(2 x + 1) 1 x 1 ∫x ∫ (1 + x ∫x ∫ dx dx dx dx − 2x + 2 2 23 − 2x 2 + x 3 x3 ) 0 0 2 1 1 1 1 1 x +x +x +2 2 − x4 1+ x4 3 2 3x + 3 x + 3 1− x 6 5 4 2 2 1 ∫ 1 + x 3 dx ∫ ∫ 1 + x 2 dx ∫ 1 + x 6 dx ∫ x 3 − 3x + 2 dx ∫ 1 + x 4 dx dx x6 + 1 0 0 0 0 2 1 1 n I = ∫ x 2 (1 + x 3 ) n dx , (n ≥ 1), Tìm lim I n→+ ∞ 2 n 0 II – Tích phân hàm số lượng giác: b ∫ sin n x. cos m xdx Dạng 1: Chú ý: a +) Nếu m và n cùng chẵn dương dùng công thức hạ bậc +) Nếu m và n cùng chẵn âm đặt t = tgx hay t = cotgx 2
+) Nếu m lẻ và dương đặt t = sinx +) Nếu n lẻ và dương đặt t = cosx b ∫ R(sin x, cos x)dx Dạng 2: ( R là hàm hữu tỉ) a +) Nếu R (sin x, cos x ) Bậc lẻ đối với sinx, chẵn đối với cosx đặt t = cosx +) Nếu R (sin x, cos x ) Bậc lẻ đối với cosx, chẵn đối với sinx đặt t = sinx +) Nếu R (sin x, cos x ) Có bậc sinx, cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ đặt t = tgx β β β a sin x + b cos x a sin x + b cos x + c 1 ∫ a' sin x + b' cos x + c' dx , ∫ a' sin x + b' cos x dx , ∫ dx , Dạng 3: α a ' sin x + b' cos x + c ' α α 1 +) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: a ' sin x + b' cos x + c' 1− t2 x 2t Đặt t = tg , lúc đó sinx = , cosx = 1− t2 1+ t2 2 a sin x + b cos x B (a ' cos x − b' sin x) = A+ +) Phân tích : a ' sin x + b' cos x a' sin x + b' cos x a sin x + b cos x + c B (a ' cos x − b' sin x ) C = A+ + +) a ' sin x + b' cos x + c ' a ' sin x + b' cos x + c' a ' sin x + b' cos x + c ' 1 Chia cả tử và mẫu cho cos2x, Đặt t = tgx. +) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x Các bài tập áp dụng: π π π π 2 2 2 2 ∫ sin ∫ sin ∫ sin ∫ (sin x + cos 3 ) dx 2 x cos 4 xdx 2 x cos 3 xdx 4 x cos 5 xdx 3 0 0 0 0 π π π 2 2 2 ∫ cos 2 x(sin ∫ (2 sin ∫ (sin x + cos 4 x)dx x − sin x cos x − cos 2 x)dx x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx 4 2 10 0 0 0 π π π π π 3 2 1 dx sin 3 x 2 2 2 ∫ ∫ 1 dx dx ∫ 2 + sin x dx ∫ 2 − cos x ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x π sin x. cos x 0 0 0 3 6 π π π π π cos 3 x 4 2 2 2 2 dx cos x cos x sin x ∫ sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 1 + cos x dx ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx ∫ 1 + cos x dx 0 0 0 0 0 π π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx 2 ∫ (1 − cos x) 2 ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx 1 ∫ sin x + cos x + 1 dx π − 0 3 2 π π π π π π 4 dx 3 4 sin x + 7 cos x + 6 4 ∫ 4 2 ∫ cot g ∫ tg 1 3 4 xdx xdx ∫ tg ∫ 1 + tgx dx ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx 3 xdx π 0 cos x cos( x + ) π π 0 0 0 4 6 4 π π π 2π 1 + cos 2 x + sin 2 x 3 4 4 2 ∫ dx 4 sin x 1 + sin x dx ∫ 2 sin x + 3 cos x + ∫ 1 + cos ∫ dx dx sin x + cos x 4 x 13 0 0 0 0 π π π π π 2 dx 3 2 4 2 dx ∫ sin 2 x − sin x ∫ cos x sin 3x sin x sin x dx ∫ 1 + cos x π ∫ cos 2 x dx ∫ sin 2 x(1 + sin 2 3 x) dx 0 0 0 0 4 3
π π π π π sin 3 x − sin x 33 2 4 2 2 ∫ dx sin 2 xdx dx cos xdx dx ∫ 1 + sin x + cos x ∫ ∫ 2 sin x + 1 ∫ sin 3 xtgx a sin x + b cos x 1 + cos 2 x π 2 2 2 0 0 0 0 4 π π π π π 6 2 dx sin x + cos x 4 4 2 ∫ cos ∫ sin 4 xdx dx 3 x sin 5 xdx ∫ ∫ 1 + cos 2 x ∫ 5 sin x + 3 dx 4 π sin x cos x 3 + sin 2 x π 0 0 0 4 6 π π π π π 3 π 3 dx dx sin 2 xdx 3 3 ∫ ∫ 3 ∫6 ∫ tgxtg ( x + 6 )dx 4 sin xdx ∫ (sin x + cos x) π π π cos x sin x sin( x + ) 3 sin x cos( x + ) π π π 0 6 4 6 4 4 6 π π π π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 2 1 + sin x 2 2 2 2 ∫ sin ∫x ∫ sin 2 x.e ∫ 1 + cos x e 2 x +1 2 x 3 x dx cos xdx dx dx − 0 0 0 0 2 π π π π 2 3 4 sin 3 x sin 4 x ln(sin x ) 2 2 ∫ tgx + cot g 2 x dx ∫ sin 2 xdx ∫ cos(ln x)dx dx ∫ sin 2 x − 5 sin x + 6 ∫ (2 x − 1) cos 2 xdx cos 2 x π π 1 0 6 0 6 π π π π π 4 2 4 ∫ x sin x cos ∫e 2 2x sin 2 xdx xdx ∫ xtg ∫e ∫ ln(1 + tgx)dx sin 2 x 2 sin x cos 3 xdx xdx 0 0 0 0 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 0 0 III – Tích phân hàm số chứa căn thức: b ∫ R( x, f ( x))dx a Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: π a−x ) Đặt x = a cos2t, t ∈ [0; ] +) R(x, a+x 2 +) R(x, a 2 − x 2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t ax + b ax + b ) Đặt t = +) R(x, n n cx + d cx + d 1 Với ( αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx 2 + β x + γ 1 Khi đó đặt t = αx 2 + βx + γ , hoặc đặt t = ax + b ππ a 2 + x 2 ) Đặt x = a tgt , t ∈ [− ;] +) R(x, 22 π a , t ∈ [0; π ] \ { } x 2 − a 2 ) Đặt x = +) R(x, 2 cos x Các bài tập áp dụng: 1 2 dx 23 2 2 ∫ dx dx dx ∫ ∫ (2 x + 3) ∫x x x −12 x x2 + 4 4 x 2 + 12 x + 5 x3 + 1 2 1 1 5 − 3 2 4
2 1 1 2 3 x2 +1 dx ∫ ∫ x 1 + x dx ∫ ∫ ∫x (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 x + 2008dx 2 dx x 2 + 2008 x2 +1 2 1 0 0 1 1 π 2 2 2 1 1 dx 2 ∫ 1+ x 2 dx 2 2 2 ∫ cos xdx x dx 1 + x dx 2 ∫ ∫ ∫ ∫ dx (1 + x 2 ) 3 1− x 7 + cos 2 x (1 − x ) 23 1− x 2 0 0 0 0 0 0 π π π 3 7 x 3 dx sin 2 x + sin x 2 2 2 ∫x cos xdx ∫ 10 − x 2 dx 3 ∫ sin x cos x − cos x dx ∫ ∫ 2 dx 1+ x 2 3 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 0 0 0 π 1 1 1 7 x 3 dx xdx dx 2 ∫ ∫ x+ ∫x ∫ 1 + 3 x dx 15 8 ∫ 1 − cos 3 x sin x cos 5 xdx 6 2x + 1 2x + 1 + 1 x2 +1 0 0 0 2 0 1 ln 3 1 ln 2 e 1 + 3 ln x ln x e 2 x dx ∫ dx dx 12 x − 4 x 2 − 8dx ∫ ∫1+ x + ∫ ∫ dx x ex +1 x2 +1 ex +1 5 −1 0 0 1 4 cos 2 x π + 2 3tgx 4 0 ln 3 3 x5 + x3 ln 2 x ∫ ∫ ∫ x (e ∫ x − 2 x + x dx 3 2 + x + 1)dx 3 2x 3 dx dx cos 2 x ∫ dx x ln x + 1 1+ x2 cos 2 x −1 0 0 ln 2 0 π π ln 2 e x dx 7 2a x+2 ∫ 3 2 ∫ ∫ cos xdx cos xdx x 2 + a 2 dx dx ∫ ∫ x+3 (e + 1) x 3 3 2 + cos 2 x 1 + cos 2 x 0 0 0 0 0 IV – Tích phân hàm số chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: b ∫ f ( x ) dx a Chú ý: +) Xét dấu hàm số f(x) trên [a, b], dụa vào bảng xét dấu ⇒ dấu của f(x) b b ∫ ∫ f ( x)dx f ( x ) dx = +) Nếu f(x) = 0 vô nghiệm trên [a, b] thì a a +) Nếu f(x) = 0 c0s các nghiệm x1, x2 trên [a, b] (x1, x2) thì: x2 x1 x1 x2 b b b ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f ( x)dx f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx = f ( x) dx + f ( x) dx + f ( x)dx + x1 x2 a a a x1 x2 Các bài tập áp dụng: π π 3 2 2 1 2 ∫x ∫x ∫x ∫ x x − m dx ∫π sin x dx ∫ − 1 dx − 4 x + 3 dx − x dx 1 − sin x dx 2 2 2 −π −3 0 0 0 − 2 π 3π 2π 3 5 3 4 ∫ ∫ sin 2 x dx ∫ ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx ∫ 2 tg x + cot g x − 2dx 1 + cos x dx − 4 dx 2 2 x π π −2 0 0 6 4 π 3 ∫π cos x cos x − cos 3 x dx − 2 5