ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI B NĂM 2002

Chia sẻ: Bui Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

1.761
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo đề thi chính thức và đáp án các môn toán, vật lý, hóa khối B năm 2010.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI B NĂM 2002

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 ------------------------- §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n to¸n, khèi b ý Néi dung §H C§ C©u ∑1,0 ® ∑1,5 ® Víi m = 1 ta cã y = x 4 − 8 x 2 + 10 lµ hµm ch½n ⇒ ®å thÞ ®èi xøng qua Oy . 1 I  x=0 ( ) TËp x¸c ®Þnh ∀ x ∈ R , y ' = 4 x 3 − 16 x = 4 x x 2 − 4 , y ' = 0 ⇔   x = ±2  4 2 y" = 12 x 2 − 16 = 12 x 2 − , y" = 0 ⇔ x = ± 0,5 ® 0,25 ® . 3  3 B¶ng biÕn thiªn: −2 2 −∞ −2 +∞ x 0 2 3 3 − + − + y' 0 0 0 0,5 ® 0,5 ® + − + y" 0 0 +∞ +∞ 10 y lâm U C§ U lâm CT låi CT −6 −6 y Hai ®iÓm cùc tiÓu : A1 (− 2;−6 ) vµ A2 (2;−6 ) . Mét ®iÓm cùc ®¹i: B (0;10 ) .  − 2 10   2 10  10 B Hai ®iÓm uèn: U 1  ;  vµ U 2  ; .      3 9  3 9 Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung lµ B(0;10 ) . 0,5 ® 0,25 ® §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é: x = ± 4 + 6 vµ x = ± 4 − 6 . U2 U1 2 -2 0 x A1 -6 A2 (ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 1
( ) ( ) ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ® y ' = 4mx 3 + 2 m 2 − 9 x = 2 x 2mx 2 + m 2 − 9 , 2 I x=0  0,25 ® 0,25 ® y' = 0 ⇔  2mx + m − 9 = 0 2 2 Hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔ ph−¬ng tr×nh y ' = 0 cã 3 nghiÖm 0,25 ® 0,25 ® ph©n biÖt (khi ®ã y ' ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm) ⇔ ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0.  m≠0  2mx 2 + m 2 − 9 = 0 ⇔  2 9 − m 2 . Ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 0,25 ® 0,25 ® x=   2m  m < −3 0,25 ® 0,25 ® cã 2 nghiÖm kh¸c 0 ⇔  0 < m < 3.  m < −3 VËy hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔  0 < m < 3. ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ® 1 II sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x 1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x ⇔ − = − 0,25 ® 0,25 ® 2 2 2 2 ⇔ (cos 12 x + cos 10 x ) − (cos 8 x + cos 6 x ) = 0 ⇔ cos x(cos 11x − cos 7 x ) = 0 0,25 ® 0,25 ® ⇔ cos x sin 9 x sin 2 x = 0 kπ  x = 9 0,5 ® 0,5 ® ⇔ sin 9 x sin 2 x = 0 ⇔  k ∈ Z. kπ x =  2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c c¸ch biÕn ®æi kh¸c ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch. ∑1,0 ® ∑1,0 ® 2 ( ) log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 (1).  x > 0, x ≠ 1  0,25 ® 0,25 ® §iÒu kiÖn:  9 x − 72 > 0 ⇔ 9 x − 72 > 1 ⇔ x > log 9 73 (2). log (9 x − 72) > 0 3 ( ) Do x > log 9 73 > 1 nªn (1) ⇔ log 3 9 x − 72 ≤ x () x2 ⇔ 9 x − 72 ≤ 3 x ⇔ 3 − 3 x − 72 ≤ 0 (3). 0,25 ® 0,25 ® §Æt t = 3 x th× (3) trë thµnh t 2 − t − 72 ≤ 0 ⇔ −8 ≤ t ≤ 9 ⇔ −8 ≤ 3 x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (2) ta ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: log 9 73 < x ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® 2
∑1,0 ® ∑1,0 ®  3 x − y = x − y (1) x− y ≥ 0 3  (3)  §iÒu kiÖn:   x + y ≥ 0.  x + y = x + y + 2 (2). 0,25 ® 0,25 ®  ( )  x= y (1) ⇔ 3 x − y 1 − 6 x − y = 0 ⇔   x = y + 1. 0,25 ® 0,25 ® Thay x = y vµo (2), gi¶i ra ta ®−îc x = y = 1. 3 1 Thay x = y + 1 vµo (2), gi¶i ra ta cã: x = , y = . 0,25 ® 0,25 ® 2 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (3) hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: 3 1 0,25 ® 0,25 ® x = 1, y = 1 vµ x = , y = 2 2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ n©ng hai vÕ cña (1) lªn luü thõa bËc 6 ®Ó di ®Õn kÕt qu¶:  x= y  x = y + 1.  ∑1,0 ® ∑ 1,5 ® III y x2 x2 y= y= 4− 42 4 2 2 A1 A2 4 -4 0 x -2 2 22 x2 x2 T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng cong y = 4 − vµ y = : 4 42 x4 x2 x2 x2 4− ⇔ + − 4 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ± 8 . = 0,25 ® 0,5 ® 32 4 4 42 [ ] x2 x2 Trªn − 8 ; 8 ta cã ≤ 4− vµ do h×nh ®èi xøng qua trôc tung 4 42 8 x2  8 8 x2 1 0,25 ® 0,25 ® nªn S = 2 ∫  4 − dx = ∫ ∫ x dx = S1 − S 2 . − 16 − x 2 dx − 2  4 4 2 2 20 0  0 π th× 0 ≤ x ≤ 8 . §Ó tÝnh S1 ta dïng phÐp ®æi biÕn x = 4 sin t , khi 0 ≤ t ≤ 4  π dx = 4 cos tdt vµ cos t > 0 ∀ t ∈ 0;  . Do ®ã  4 3
π π 0,25 ® 0,5 ® 8 4 4 16 − x 2 dx = 16 ∫ cos 2 tdt = 8 ∫ (1 + cos 2t )dt = 2π + 4 . ∫ S1 = 0 0 0 0,25 ® 0,25 ® 8 8 4 1 1 8 ∫x . VËy S = S1 − S 2 = 2π + . S2 = dx = = 2 x3 3 3 22 62 0 0  2 8 2  4 − x − x dx . ∫ Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch S = 4 4 2 − 8  ∑ 1,0 ® ∑ 1,5 ® 1 IV y B H x O C A I D 5 ⇒ AD = 5 vµ Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®−êng th¼ng AB b»ng 2 5 0,25 ® 0,25 ® IA = IB = . 2 Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB víi ®−êng trßn t©m I vµ b¸n 5 kÝnh R = . VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ : 2 x − 2y + 2 = 0   2 2  x − 1  + y 2 =  5  0,25 ® 0,5 ®    2 2  Gi¶i hÖ ta ®−îc A(− 2;0 ), B(2;2 ) (v× x A < 0 ) 0,5 ® 0,25 ® ⇒ C (3;0 ), D(− 1;−2 ) . 0,25 ® 0,25 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®−êng th¼ng AB . Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®−êng th¼ng AB . 4
∑ 1,0 ® ∑1,5 ® 2a) T×m kho¶ng c¸ch gi÷a A1 B vµ B1 D . IV z D1 A1 B1 C1 G I A yx 0,25 ® 0,25 ® D C B x C¸ch I. Chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), D(0; a;0 ), A1 (0;0; a ) ⇒ C (a; a;0 ); B1 (a;0; a ); C1 (a; a; a ), D1 (0; a; a ) 0,25 ® 0,5 ® [ ] ⇒ A1 B = (a;0;− a ), B1 D = (− a; a;− a ), A1 B1 = (a;0;0) vµ A1 B, B1 D = (a 2 ;2a 2 ; a 2 ) . 0,25 ® 0,25 ® [A B, B D].A B a3 a d ( A1 B, B1 D ) = 1 1 1 1 [A B, B D] = = VËy . 0,25 ® 0,5 ® 2 a 6 6 1 1 A1 B⊥AB1   ⇒ A1 B⊥( AB1C1 D ) ⇒ A1 B ⊥B1 D . C¸ch II. A1 B⊥AD  T−¬ng tù A1C1 ⊥B1 D ⇒ B1 D⊥( A1 BC1 ) . 0,25 ® 0,25 ® Gäi G = B1 D ∩ ( A1 BC1 ) . Do B1 A1 = B1 B = B1C 1 = a nªn GA1 = GB = GC1 ⇒ G lµ t©m tam gi¸c ®Òu A1 BC1 cã c¹nh b»ng a 2 . 0,25 ® 0,5 ® Gäi I lµ trung ®iÓm cña A1 B th× IG lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña A1 B vµ 1 1 3 a d ( A1 B, B1 D ) = IG = C1 I = A1 B = B1 D , nªn . 3 3 2 0,25 ® 0,5 ® 6 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P ) chøa A1 B vµ song song víi B1 D lµ: x + 2 y + z − a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ B1 (hoÆc tõ D ) tíi (P ) , hoÆc viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q ) chøa B1 D vµ song song víi A1 B lµ: x + 2 y + z − 2a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A1 (hoÆc tõ B) tíi (Q ) . 5
∑1,0 ® 2b) C¸ch I.  a a a 0,25 ® Tõ C¸ch I cña 2a) ta t×m ®−îc M  a;0; , N  ; a;0 , P 0; ; a  2 2 2   a a a  ⇒ MP =  − a; ; , NC1 =  ;0; a  ⇒ MP.NC1 = 0 . 0,5 ® 2 2 2   0,25 ® VËy MP⊥C1 N . z A1 P D1 C1 B1 E M y 0,25 ® A B N C C¸ch II. x Gäi E lµ trung ®iÓm cña CC1 th× ME⊥(CDD1C1 ) ⇒ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña MP trªn (CDD1C1 ) lµ ED1 . Ta cã 0,25 ® ∆C1CN = ∆D1C1 E ⇒ C1 D1 E = CC1 N = 90 0 − D1C1 N ⇒ D1 E⊥C1 N . Tõ ®©y 0,25 ® theo ®Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc ta cã MP⊥C1 N . 0,25 ® ∑1,0 ® V 3 Sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n lµ C 2 n . 0,25 ® Gäi ®−êng chÐo cña ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n ®i qua t©m ®−êng trßn (O ) lµ ®−êng chÐo lín th× ®a gi¸c ®· cho cã n ®−êng chÐo lín. Mçi h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n cã c¸c ®−êng chÐo lµ hai ®−êng chÐo lín. Ng−îc l¹i, víi mçi cÆp ®−êng chÐo lín ta cã c¸c ®Çu mót cña chóng lµ 4 ®Ønh cña mét h×nh ch÷ nhËt. VËy sè h×nh ch÷ nhËt nãi trªn 2 b»ng sè cÆp ®−êng chÐo lín cña ®a gi¸c A1 A2 L A2 n tøc C n . 0,25 ® Theo gi¶ thiÕt th×: 6
(2n )! 2n.(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) n! C 2 n = 20C n ⇔ = 20 ⇔ = 20 3 2 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! 6 2 ⇔ 2n − 1 = 15 ⇔ n = 8 . 0,5 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m sè h×nh ch÷ nhËt b»ng c¸c c¸ch kh¸c. NÕu lý luËn ®óng ®Ó ®i n(n − 1) ®Õn kÕt qu¶ sè h×nh ch÷ nhËt lµ th× cho ®iÓm tèi ®a phÇn nµy. 2 7