§Ò c¬ng «n tËp Häc k× 2 – to¸n 9
N¨m häc 2018 - 2019
A. Lý thuyÕt
1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Ên
2. Qui t¾c thÕ, qui t¾c céng ®¹i sè
3. Hµm sè y = ax2 ( a 0 ) , ®å thÞ hµm sè y = ax2( a 0 )
4. Ph¬ng tr×nh bËc 2 mét Èn, c«ng thøc nghiÖm
5. HÖ thøc ViÐt
B. Bµi tËp
I. Gi¶i ph ¬ng tr×nh vµ hÖ ph ¬ng tr×nh:
Bµi 1: gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a) 3x2 - 4x – 12 = 0
b) x2 - 13x – 15 = 0
c) x2 - 5x + 6 = 0
d) x2 - 6x + 8 = 0
e) 3x2 - 7x + 2 = 0
f) 2x2 + 3x – 1 = 0
g) 4x2 - 9x + 5 = 0
h) 8x2 - 2x – 1 = 0
i) x2 - 9x – 22 = 0
j) x2 + 5x - 14 = 0
k) x2 - 7x +10 = 0
l) 4x2 - 4x +1 = 0
m)9x4 - 2x2 – 32 = 0
n) -2x2 - 5x +7 = 0
o) (x2 -1)(x2 - 2x – 3) = 0
p) (x2 -1)(4x2 - 2x – 6) = 0
q) (2x – 1)(x + 4 ) = (x + 1)( x – 4)
r)
7
3
53
2
x
x
s)
5
3
23
2
2
x
x
Bµi 2. Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
a)
825
734
yx
yx
e)
7 5 4,5
2 1 .
3 2 4
2 1
x y x y
x y x y
− =
− + + −
+ =
− + + −
i)
3 x 1 2 y 2 4
2 x 1 y 2 5
− − + =
− + + =
b)
523
1174
yx
yx
f)
4
59
6
12
134
yx
yx
k)
5 5( 3 1).
2 3 3 5 21
x y
x y
− = −
+ =
c)
g)
(2 3) 3 2 5 3 .
4 4 2 3
x y
x y
− − = +
+ = −
l)
7 4 5
3
7 6 .
5 3 1
26
7 6
− =
− +
+ =
− +
x y
x y
d)
523
74
yx
y
h)
1927
14
5
3
3
2
yx
yx
m)
2 2 5 .
2 1 10
x y
x y
− =
+ = −
II. Bµi tËp vÒ hµm sè
Bµi 1:
Cho hµm sè:
2
2
1xy
a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn.
b) Trªn (P) lÊy hai ®iÓm M, N lÇn lît cã hoµnh ®é -2; 1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng
MN.
c) X¸c ®Þnh hµm sè y = ax + b biÕt r»ng ®å thÞ cña nã song song víi ®êng th¼ng
MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm.
Bµi 2:
Cho hµm sè y = x2 (P) vµ y = x + m (d) ( m lµ tham sè)
a) T×m m ®Ó (P) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt lµ A vµ B .
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d’) vu«ng gãc víi (D) vµ tiÕp xóc víi (P).
Bµi 3:
Trong cïng hÖ trôc to¹ ®é gäi (P) lµ ®å thÞ cña hµm sè y=ax2 vµ (d) lµ ®å thÞ
cña hµm sè y=-x+m,
a) T×m a biÕt (P) ®i qua ®iÓm (2;-1) VÏ (P) víi a võa t×m ®îc.
b) T×m m ®Ó (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u a) vµ t×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
c) Gäi B lµ giao ®iÓm cña (d) (ë c©u b) víi trôc tung. C lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua
trôc tung. Chøng tá r»ng C n»m trªn (P) vµ tam gi¸c ABC vu«ng c©n.
Bµi 4:
Cho Parabol (P):
2
4
1xy
vµ ®êng th¼ng (d) qua 2 ®iÓm A vµ B trªn (P) cã
hoµnh ®é lÇn lît lµ -2 vµ 4.
a) VÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d).
c) T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) sao cho diÖn tÝch tam gi¸c MAB lín nhÊt.
III. C¸c bµi to¸n ph
¬ng tr×nh bËc hai
Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh mx2+(2m-1)x+(m+2) = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 3.
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 tho¶ m·n x12 + x22 =
2006.
c) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x2+2mx+m-2 = 0.
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1.
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
c) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x=16 vµ t×m nghiÖm cßn l¹i.
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh x2-2(m+1)x+m-4=0.
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1.
b) CMR ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
c) CM biÓu thøc A=x1(1-x2)+x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m.
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh x2-2mx +2m-1=0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1.
b) T×m m ®Ó tæng b×nh ph¬ng c¸c nghiÖm b»ng 10.
c) T×m hÖ thøc ®éc lËp gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.
d) T×m m sao cho (x12+x22)-8x1x2=65.
Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh (m-3)x2-2mx+m+2=0.
a) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
c) T×m hÖ thøc ®éc lËp gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m.
d) Gi¶ sö x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A= x12+x22.
IV. Bµi tËp ¸p dông hÖ thøc ViÐt
Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - mx + 3 - m = 0
a)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 7
b)T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. t×m nghiÖm kÐp ®ã.
c)Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm , tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
theo m.
Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : (m + 2)x2 - 7mx + 12 = 0
a) gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = -3
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp? t×m nghiÖm kÐp ®ã?
c) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã nghiÖm , tÝnh tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
theo m.
Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : 5x2 + (2m -1) x - 3m2 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1
b) Chønh minh ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
c) TÝnh tæng vµ tÝch hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh theo m
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2x - m2 - 4 = 0
a) Chøng tá ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. T×m m ®Ó: x12 + x22 = 20.
c) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = -2
Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m +5) x - m + 6 = 0
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 1
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -2.
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n: A = x12 + x22 =
13
Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m +1)x + m + 4 = 0
a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m
b) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c) Chøng minh r»ng biÓu thøc : H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) kh«ng phô thuéc vµo m
Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m +1)x + m2 - 4m +5 = 0
a) §Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm
b) ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt ®Òu d¬ng.
V . Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph ¬ng tr×nh ho c h ph ng trình ặ ệ ươ
Bµi 1: Mét « t« ®i qu·ng ®êng tõ A ®Õn B dµi 265 km,. Sau khi ®i ®îc 2 h « t« t¨ng vËn
t«c 5km/h vµ ®i tiÕp trong 3 h. TÝnh vËn tèc cña « t« trªn mçi chÆng ®êng.
Bµi 2 : Mét « t« ®i trªn qu·ng ®êng dµi 260 km. Khi ®i ®îc 120 km « t« t¨ng vËn tèc thªm
10km/h vµ ®i hÕt qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc ban ®Çu cña «t« biÕt r»ng thêi gian
®i hÕt qu·ng ®êng lµ 4 giê.
Bµi 3: Mét chiÕc thuyÒn ®i xu«i dßng 11 km vµ ngîc dßng 15 km. Thêi gian ®i ngîc dßng
nhiÒu h¬n ®i xu«i dßng lµ 15 phót. TÝnh vËn tèc thùc cña con thuyÒn, biÕt vËn tèc cña
dßng níc b»ng 7km/h.
Bµi 4: Mét xÝ nghiÖp muèn s¶n xuÊt 5000 s¶n phÈm trong mét thêi gian qui ®Þnh do ®ã
®· ph¶i huy ®éng c«ng nh©n lµm t¨ng thªm 2 s¶n phÈm mçi ngµy nªn kh«ng chØ vît thêi
gain 1 ngµy mµ cßn vît ®îc 48 s¶n phÈm. TÝnh sè s¶n phÈm dù ®Þnh s¶n suÊt trong 1
ngµy.
Bµi 5: Hai ®éi c«ng nh©n lµm chung trong 3 ngµy th× ®îc
26
11
c«ng viÖc. NÕu mçi ®éi lµm
riªng th× ®éi thø nhÊt lµm xong c«ng viÖc tríc ®éi thø 2 lµ 2 ngµy. X¸c ®Þnh thêi gian ®Ó
mçi ®éi lµm riªng xong c«ng viÖc.
Bµi 6:Hai ®éi c«ng nh©n lµm chung trong 5 ngµy th× ®îc
6
5
c«ng viÖc. NÕu mçi ®éi lµm
riªng th× ®éi nµy lµm xong c«ng viÖc tríc ®éi kia lµ 5 ngµy. X¸c ®Þnh thêi gian ®Ó mçi
®éi lµm riªng xong c«ng viÖc.
Bµi 7: Mét c«ng ti may muèn may 35000 c¸i ¸o trong mét thêi gian qui ®Þnh nªn ph¶i huy
®éng c«ng nh©n lµm t¨ng thªm 50 ¸o mçi ngµy , do ®ã kh«ng chØ vît ®îc 10 ngµy mµ cßn
vît ®îc 1000 chiÕc ¸o. TÝnh sè ¸o dù ®Þnh may trong mét ngµy.
Bµi 8: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo 1 bÓ. Vßi thø nhÊt ch¶y trong 5 h vßi thø hai ch¶y trong 2
h th× ®îc
24
23
bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi mét ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ 2
h.X¸c ®Þnh thêi gian ch¶y riªng ®Çy bÓ cña mçi vßi níc.
Bµi 9: Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 72 s¶n phÈm trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Nhng thùc
tÕ xÝ nghiÖp l¹i giao 80 s¶n phÈm. MÆc dï ngêi ®ã mçi giê ®· lµm thªm mét s¶n phÈm
so víi dù kiÕn, nhng thêi gain hoµn thµnh c«ng viÖc vÉn chËm h¬n so víi dù ®Þnh lµ 12
phót. TÝnh sè s¶n pÈhm dù kiÕn lµm trong 1 giê cua rngêi ®ã. BiÕt mçi giê ngêi ®ã
kh«ng lµm qu¸ 20 s¶n phÈm.
Bµi 10: Mét ca n« xu«i dßng trªn mét khóc s«ng tõ bÕn A ®Õn bÕn B dµi 80km, sau ®ã l¹i
ngîc dßng ®Õn ®Þa ®iÓm C c¸ch bÕn B 72km, thêi gian «t« ®i xu«i dßng Ýt h¬n thêi gian
®i ngîc dßng lµ 15 phót. TÝnh vËn tèc riªng cña ca n«, biÕt vËn tèc cña dßng níc lµ 4
km/h.
Bµi 11: Mét xÝ nghiÖp dù ®Þnh s¶n xuÊt 100 s¶n phÈm trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh.
Nhng trong thùc tÕ khi s¶n xuÊt do ¸p dông c«ng nghÖ míi nªn mçi giê hä hä s¶n xuÊt ®îc
nhiÒu h¬n so víi dù ®Þnh 5 s¶n phÈm, bëi vËy xÝ nghiÖp kh«ng nh÷ng hoµn thµnh kÕ
ho¹ch tríc dù ®Þnh 12 phót mµ cßn s¶n xuÊt thªm ®îc 20 s¶n phÈm n÷a. TÝnh n¨ng xuÊt
dù ®Þnh ban ®Çu cña xÝ nghiÖp.
Bài 12: M t ô tô đi quãng đng ộ ườ AB v i v n t c 50km/h, r i đi ti p quãng đng ớ ậ ố ồ ế ườ BC v i v nớ ậ
t c 45km/h. Bi t quãng đng t ng c ng dài 165km và th i gian ô tô đi trên quãng đng ố ế ườ ổ ộ ờ ườ AB ít
h n th i gian đi trên quãng đng ơ ờ ườ BC là 30 phút. Tính th i gian ô tô đi trên m i đo n đng.ờ ỗ ạ ườ
Bài 13: Trong m t kì thi hai tr ng ộ ườ A, B có t ng c ng 350 h c sinh d thi. K t qu hai tr ng đóổ ộ ọ ự ế ả ườ
có 338 h c sinh trúng tuy n. Tính ra thì tr ng ọ ể ườ A có 97% và tr ng ườ B có 96% s h c sinh trúngố ọ
tuy n. H i m i tr ng có bao nhiêu h c sinh d thi.ể ỏ ỗ ườ ọ ự
Bài 14: M t khách du l ch đi trên ô tô ộ ị
4
gi , sau đó đi ti p b ng tàu h a trong ờ ế ằ ỏ
7
gi đc quãngờ ượ
đng dài ườ
640 .km
H i v n t c c a tàu h a và ô tô, bi t r ng m i gi tàu h a đi nhanh h n ô tôỏ ậ ố ủ ỏ ế ằ ỗ ờ ỏ ơ
5 ?km
Đáp số: 55 km/gi ; 60 km/gi .ờ ờ
Bài 15: Hai ng i hai đa đi m cách nhau 3,6ườ ở ị ể km và kh i hành cùng m t lúc đi ng c chi uở ộ ượ ề
nhau, g p nhau v trí cách m t trong hai đi m kh i hành 2km. N u v n t c v n không điặ ở ị ộ ể ở ế ậ ố ẫ ổ
nh ng ng i đi ch m xu t phát tr c ng i kia 6 phút thì h s g p nhau chính gi a quãngư ườ ậ ấ ướ ườ ọ ẽ ặ ở ữ
đng. Tính v n t c m i ng i.ườ ậ ố ỗ ườ Đáp số: 4,5 km/h, 3,6 km/h.
VI.
Các bài t pậ
hình h cọ
Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A néi tiÕp ®êng trßn (O ; R). Gäi M lµ ®iÓm bÊt kú trªn
cung AC nhá ( M A , M C ), qua C kÎ tia Cx ®i qua M.
a) Chøng minh MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BMx.
b) Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua O. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm H sao cho
MH = MC. Chøng minh r»ng MD // CH.
c) Gäi I vµ K lµ trung ®iÓm cña CH vµ BC. Chøng minh tø gi¸c AICK néi tiÕp.
d) Khi M ch¹y trªn cung AC, t×m tËp hîp ®iÓm E lµ trung ®iÓm cña BM.
Bµi 2 : Cho ABC c©n (AB = AC ; ¢ < 900 ). Mét cung trßn BC n»m trong BAC vµ tiÕp xóc
víi AB, AC ë B vµ C. LÊy M cung BC ; kÎ MI, MH, MK lÇn lît vu«ng gãc víi BC, CA, AB. Gäi
P lµ giao cña MB víi IK ; Q lµ giao cña MC víi IH.
a) Chøng minh c¸c tø gi¸c BIMK vµ CIMH néi tiÕp ®îc
b) Chøng minh MI2 = MK . MH
c) Chøng minh tia ®èi cña tia MI lµ ph©n gi¸c cña gãc HMK.
d) Chøng minh tø gi¸c MPQI néi tiÕp vµ PQ // BC.
e) Gäi (O1) lµ ®êng trßn qua M, P, K ; (O2) lµ ®êng trßn qua M, Q, H. Gäi D lµ trung
®iÓm cña BC ; N lµ giao ®iÓm cña thø hai cña (O1) víi (O2). Chøng minh r»ng ba
®iÓm M, N, D th¼ng hµng.
Bµi 3 : Cho ®êng trßn (O) vµ d©y AB. Gäi C lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB, M lµ mét
®iÓm n»m gi÷a ®o¹n AB. Tia CM c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai D.
a) Chøng minh AC . AD = AM . CD
b) Chøng minh gãc CMB = gãc CBD. Suy ra BC2 = CM . CD
c) Chøng minh ®êng trßn ngo¹i tiÕp BMD tiÕp xóc víi BC t¹i B.
d) Tæng hai b¸n kÝnh cña hai ®êng trßn ngo¹i tiÕp BCD vµ ACD kh«ng ®æi khi C
di ®éng trªn ®o¹n AB.
Bµi 4 : Cho ABC ( ¢ = 900 ), ®êng cao AH. VÏ ®êng trßn ®êng kÝnh AH c¾t AB, AC lÇn lît
t¹i E vµ F.
a) Chøng minh AF . AC = AE . AB b»ng hai ph¬ng ph¸p.