I. DAO ĐNG CỘ Ơ
A. TÓM T T LÝ THUY TẮ Ế
1. Dao đng đi u hòaộ ề :
* Dao đng c , dao đng tu n hoànộ ơ ộ ầ
+ Dao đng c là chuy n đng qua l i c a v t quanh v trí cân b ng.ộ ơ ể ộ ạ ủ ậ ị ằ
+ Dao đng tu n hoàn là dao đng mà sau nh ng kho ng th i gian b ng nhau, g i là chu kì, v t tr l i vộ ầ ộ ữ ả ờ ằ ọ ậ ở ạ ị
trí cũ theo h ng cũ.ướ
* Dao đng đi u hòaộ ề
+ Dao đng đi u hòa là dao đng trong đó li đ c a v t là m t hàm côsin (hay sin) c a th i gian.ộ ề ộ ộ ủ ậ ộ ủ ờ
+ Ph ng trình dao đng: x = Acos(ươ ộ t + ).
+ Đi m P dao đng đi u hòa trên m t đo n th ng luôn luôn có th đc coi là hình chi u c a m t đi mể ộ ề ộ ạ ẳ ể ượ ế ủ ộ ể
M chuy n đng tròn đu trên đng tròn có đng kính là đo n th ng đó.ể ộ ề ườ ườ ạ ẳ
* Các đi l ng đc tr ng c a dao đng đi u hoàạ ượ ặ ư ủ ộ ề
Trong ph ng trình x = Acos(ươ t + ) thì:
+ A là biên đ dao đng, đó là giá tr c c đi c a li đ x; đn v m, cm. A luôn luôn d ng.ộ ộ ị ự ạ ủ ộ ơ ị ươ
+ (t + ) là pha c a dao đng t i th i đi m t; đn v rad.ủ ộ ạ ờ ể ơ ị
+ là pha ban đu c a dao đng; đn v rad.ầ ủ ộ ơ ị
+ trong ph ng trình x = Acos(ươ t + ) là t n s góc c a dao đng đi u hòa; đn v rad/s.ầ ố ủ ộ ề ơ ị
+ Chu kì T c a dao đng đi u hòa là kho ng th i gian đ th c hi n m t dao đng toàn ph n; đn v giâyủ ộ ề ả ờ ể ự ệ ộ ộ ầ ơ ị
(s).
+ T n s f c a dao đng đi u hòa là s dao đng toàn ph n th c hi n đc trong m t giây; đn v hécầ ố ủ ộ ề ố ộ ầ ự ệ ượ ộ ơ ị
(Hz).
+ Liên h gi a ệ ữ , T và f: =
T
2
= 2f.
Các đi l ng biên đ A và pha ban đu ạ ượ ộ ầ ph thu c vào cách kích thích ban đu làm cho h dao đng,ụ ộ ầ ệ ộ
còn t n s góc ằ ố (chu kì T, t n s f) ch ph thu c vào c u t o c a h dao đng.ầ ố ỉ ụ ộ ấ ạ ủ ệ ộ
* V n t c và gia t c c a v t dao đng đi u hoàậ ố ố ủ ậ ộ ề
+ V n t c là đo hàm b c nh t c a li đ theo th i gian: v = x' = - ậ ố ạ ậ ấ ủ ộ ờ Asin(t + ) = Acos(t + +
2
)
V n t c c a v t dao đng đi u hòa bi n thiên đi u hòa cùng t n s nh ng s m pha h n ậ ố ủ ậ ộ ề ế ề ầ ố ư ớ ơ
2
so v i v i liớ ớ
đ. ộ
V trí biên (x = ị A), v = 0. V trí cân b ng (x = 0), |v| = vị ằ max = A.
+ Gia t c là đo hàm b c nh t c a v n t c (đo hàm b c 2 c a li đ) theo th i gian: ố ạ ậ ấ ủ ậ ố ạ ậ ủ ộ ờ
a = v' = x’’ = - 2Acos(t + ) = - 2x.
Gia t c c a v t dao đng đi u hòa bi n thiên đi u hòa cùng t n s nh ng ng c pha v i li đ (s m phaố ủ ậ ộ ề ế ề ầ ố ư ượ ớ ộ ớ
2
so v i v n t c).ớ ậ ố
Véc t gia t c c a v t dao đng đi u hòa luôn h ng v v trí cân b ng, có đ l n t l v i đ l n c aơ ố ủ ậ ộ ề ướ ề ị ằ ộ ớ ỉ ệ ớ ộ ớ ủ
li đ.ộ
- v trí biên (x = Ở ị A), gia t c có đ l n c c đi: aố ộ ớ ự ạ max = 2A.
- v trí cân b ng (x = 0), gia t c b ng 0.Ở ị ằ ố ằ
+ L c tác d ng lên v t dao đng đi u hòa F = ma = - kx luôn h ng v v trí cân b ng, g i là l c kéo v .ự ụ ậ ộ ề ướ ề ị ằ ọ ự ề
+ Đ th dao đng đi u hòa (li đ, v n t c, gia t c) là đng hình sin, vì th ng i ta còn g i dao đngồ ị ộ ề ộ ậ ố ố ườ ế ườ ọ ộ
đi u hòa là dao đng hình sin.ề ộ
+ Ph ng trình dao đng đi u hòa x = Acos(ươ ộ ề t + ) là nghi m c a ph ng trình x’’ + ệ ủ ươ 2x = 0. Đó là
ph ng trình đng l c h c c a dao đng đi u hòa.ươ ộ ự ọ ủ ộ ề
2. Con l c lò xoắ:
Con l c lò xo g m m t lò xo có đ c ng k, kh i l ng không đáng k , m t đu g n c đnh, đu kiaắ ồ ộ ộ ứ ố ượ ể ộ ầ ắ ố ị ầ
g n v i v t n ng kh i l ng m đc đt theo ph ng ngang ho c treo th ng đng.ắ ớ ậ ặ ố ượ ượ ặ ươ ặ ẳ ứ
I
1
* Ph ng trình dao đng:ươ ộ x = Acos(t + ); v i: ớ =
m
k
; A =
2
0
2
0
v
x
; xác đnh theo ph ngị ươ
trình cos =
A
x0
; (l y nghi m (-) n u vấ ệ ế 0 > 0; l y nghi m (+) n u vấ ệ ế 0 < 0).
* Chu kì, t n s c a con l c lò xo:ầ ố ủ ắ T = 2
k
m
; f =
1
2
π
m
k
.
I
2
* Năng l ng c a con l c lò xo:ượ ủ ắ
+ Đng năng: Wộđ =
2
1
mv2 =
2
1
m2A2sin2(t+). Th năng: Wết =
2
1
kx2 =
2
1
k A2cos2(t + ). Đng năng,ộ
th năng c a v t dao đng đi u hòa bi n thiên tu n hoàn v i t n s góc ế ủ ậ ộ ề ế ầ ớ ầ ố ’ = 2, t n s f’ = 2f, chu kì T’ầ ố
=
2
T
.
+ C năng: W = Wơt + Wđ =
2
1
k A2 =
2
1
m2A2 = h ng s .ằ ố
3. Con l c đn. Con l c v t líắ ơ ắ ậ :
Con l c đn g m m t v t n ng treo vào s i dây không giãn, v t n ng kích th c không đáng k so v iắ ơ ồ ộ ậ ặ ợ ậ ặ ướ ể ớ
chi u dài s i dây, s i dây kh i l ng không đáng k so v i kh i l ng c a v t n ng.ề ợ ợ ố ượ ể ớ ố ượ ủ ậ ặ
* Ph ng trình dao đng ươ ộ (khi
100): s = S0cos(t + ) ho c ặ = 0 cos(t + ); v i ớ =
l
s
; 0 =
0
S
l
.
* Chu k , t n s , t n s góc c a con l c đn:ỳ ầ ố ầ ố ủ ắ ơ T = 2
g
l
; f =
2
1
l
g
; =
l
g
.
* L c kéo v khi biên đ góc nh :ự ề ộ ỏ F = -
s
l
mg
.
* ng d ng:Ứ ụ Xác đnh gia t c r i t do nh đo chu kì và chi u dài c a con l c đn: g = ị ố ơ ự ờ ề ủ ắ ơ
2
2
4
T
l
.
* Năng l ng c a con l c đn:ượ ủ ắ ơ
+ Đng năngộ : Wđ =
2
1
mv2. Th năng: Wết = mgl(1 - cos) =
2
1
mgl2 ( 100, (rad)).
+ C năng: W = Wơt + Wđ = mgl(1 - cos0) =
2
1
mgl
2
0
.
C năng c a con l c đn đc b o toàn n u b qua ma sát.ơ ủ ắ ơ ượ ả ế ỏ
* Con l c đn ch u tác d ng thêm l c khác ngoài tr ng l cắ ơ ị ụ ự ọ ự
N u ngoài tr ng l c ra, con l c đn còn ch u thêm m t l c ế ọ ự ắ ơ ị ộ ự
F
không đi khác (l c đi n tr ng, l cổ ự ệ ườ ự
quán tính, l c đy Acsimet, ...), thì tr ng l c bi u ki n tác d ng lên v t s là: ự ẩ ọ ự ể ế ụ ậ ẽ
'P
=
P
+
F
, ia t c r i tố ơ ự
do bi u ki n là: ể ế
'g
=
g
+
m
F
. Khi đó chu kì dao đng c a con l c đn là: T’ = 2ộ ủ ắ ơ
'g
l
.
* Con l c v t lí:ắ ậ
Con l c v t lí là m t v t r n quay đc quanh m t tr c n m ngang c đnh.ắ ậ ộ ậ ắ ượ ộ ụ ằ ố ị
+ Ph ng trình dao đng c a con l c v t lí: ươ ộ ủ ắ ậ = 0cos(t + ); v i ớ =
dmg
I
; trong đó m là kh i l ngố ượ
c a v t r n, d là kho ng cách t tr ng tâm c a v t r n đn tr c quay còn I là momen quán tính c a v tủ ậ ắ ả ừ ọ ủ ậ ắ ế ụ ủ ậ
r n.ắ
+ Chu kì, t n s c a con l c v t lí: T = 2ầ ố ủ ắ ậ
d
I
mg
, f =
1
2
π
dmg
I
.
+ ng d ng c a con l c v t lí: Gi ng nh con l c đn, con l c v t lí dùng đ đo gia t c tr ng tr ng gỨ ụ ủ ắ ậ ố ư ắ ơ ắ ậ ể ố ọ ườ
n i đt con l c.ơ ặ ắ
4. Dao đng t t d n, dao đng c ng b cộ ắ ầ ộ ưở ứ :
* Dao đng t t d nộ ắ ầ
+ Khi không có ma sát, con l c dao đng đi u hòa v i t n s riêng. T n s riêng c a con l c ch ph thu cắ ộ ề ớ ầ ố ầ ố ủ ắ ỉ ụ ộ
vào các đc tính c a con l c.ặ ủ ắ
+ Dao đng có biên đ gi m d n theo th i gian g i là dao đng t t d n. Nguyên nhân làm t t d n daoộ ộ ả ầ ờ ọ ộ ắ ầ ắ ầ
đng là do l c ma sát và l c c n c a môi tr ng làm tiêu hao c năng c a con l c, chuy n hóa d n cộ ự ự ả ủ ườ ơ ủ ắ ể ầ ơ
năng thành nhi t năng. Vì th biên đ c a con l c gi m d n và cu i cùng con l c d ng l i. ệ ế ộ ủ ắ ả ầ ố ắ ừ ạ
+ ng d ng: các thi t b đóng c a t đng, các b ph n gi m xóc c a ô tô, xe máy, … là nh ng ng d ngỨ ụ ế ị ử ự ộ ộ ậ ả ủ ữ ứ ụ
c a dao đng t t d n.ủ ộ ắ ầ
I
3
* Dao đng duy trìộ
N u ta cung c p thêm năng l ng cho v t dao đng có ma sát đ bù l i s tiêu hao vì ma sát mà khôngế ấ ượ ậ ộ ể ạ ự
làm thay đi chu kì riêng c a nó thì dao đng s kéo dài mãi và đc g i là dao đng duy trì.ổ ủ ộ ẽ ượ ọ ộ
* Dao đng c ng b cộ ưở ứ
+ Dao đng ch u tác d ng c a m t ngo i l c c ng b c tu n hoàn g i là dao đng c ng b c.ộ ị ụ ủ ộ ạ ự ưở ứ ầ ọ ộ ưở ứ
+ Dao đng c ng b c có biên đ không đi và có t n s b ng t n s c a l c c ng b c.ộ ưở ứ ộ ổ ầ ố ằ ầ ố ủ ự ưở ứ
+ Biên đ c a dao đng c ng b c ph thu c vào biên đ c a l c c ng b c, vào l c c n trong h vàộ ủ ộ ưở ứ ụ ộ ộ ủ ự ưở ứ ự ả ệ
vào s chênh l ch gi a t n s c ng b c f và t n s riêng fự ệ ữ ầ ố ưở ứ ầ ố 0 c a h . Biên đ c a l c c ng b c càng l n,ủ ệ ộ ủ ự ưở ứ ớ
l c c n càng nh và s chênh l ch gi a f và fự ả ỏ ự ệ ữ 0 càng ít thì biên đ c a dao đng c ng b c càng l n.ộ ủ ộ ưở ứ ớ
* C ng h ngộ ưở
+ Hi n t ng biên đ c a dao đng c ng b c tăng d n lên đn giá tr c c đi khi t n s f c a l c c ngệ ượ ộ ủ ộ ưở ứ ầ ế ị ự ạ ầ ố ủ ự ưở
b c ti n đn b ng t n s riêng fứ ế ế ằ ầ ố 0 c a h dao đng g i là hi n t ng c ng h ng.ủ ệ ộ ọ ệ ượ ộ ưở
+ Đi u ki n f = fề ệ 0 g i là đi u ki n c ng h ng.ọ ề ệ ộ ưở
+ Đng cong bi u di n s ph thu c c a biên đ vào t n s c ng b c g i là đ th c ng h ng. Nóườ ể ễ ự ụ ộ ủ ộ ầ ố ưở ứ ọ ồ ị ộ ưở
càng nh n khi l c c n c a môi tr ng càng nh .ọ ự ả ủ ườ ỏ
+ T m quan tr ng c a hi n t ng c ng h ng:ầ ọ ủ ệ ượ ộ ưở
Tòa nhà, c u, b máy, khung xe, ... đu là nh ng h dao đng và có t n s riêng. Ph i c n th n khôngầ ệ ề ữ ệ ộ ầ ố ả ẩ ậ
đ cho chúng ch u tác d ng c a các l c c ng b c m nh, có t n s b ng t n s riêng đ tránh s c ngể ị ụ ủ ự ưở ứ ạ ầ ố ằ ầ ố ể ự ộ
h ng, gây dao đng m nh làm gãy, đ.ưở ộ ạ ổ
H p đàn c a đàn ghi ta, viôlon, ... là nh ng h p c ng h ng v i nhi u t n s khác nhau c a dây đànộ ủ ữ ộ ộ ưở ớ ề ầ ố ủ
làm cho ti ng đàn nghe to, r .ế ỏ
5. T ng h p các dao đng đi u hòaổ ợ ộ ề :
+ M i dao đng đi u hòa đc bi u di n b ng m t véc t quay. Véc t này có góc t i góc t a đ c a tr cỗ ộ ề ượ ể ễ ằ ộ ơ ơ ạ ọ ộ ủ ụ
Ox, có đ dài b ng biên đ dao đng A, h p v i tr c Ox m t góc ban đu ộ ằ ộ ộ ợ ớ ụ ộ ầ và quay đu quanh O theoề
chi u ng c chi u kim đng h v i t c đ góc ề ượ ề ồ ồ ớ ố ộ .
+ Ph ng pháp giãn đ Fre-nen dùng đ t ng h p hai dao đng đi u hòa cùngươ ồ ể ổ ợ ộ ề
ph ng, cùng t n s : L n l t v hai véc t quay ươ ầ ố ầ ượ ẽ ơ
1
A
và
2
A
bi u di n hai ph ngể ễ ươ
trình dao đng thành ph n. Sau đó v véc t t ng h p c a hai véc t trên. Véc t t ngộ ầ ẽ ơ ổ ợ ủ ơ ơ ổ
A
=
1
A
+
2
A
là véc t quay bi u di n ph ng trình c a dao đng t ng h p. ơ ể ễ ươ ủ ộ ổ ợ
+ N u m t v t tham gia đng th i hai dao đng đi u hoà cùng ph ng, cùng t n s v i các ph ng trình:ế ộ ậ ồ ờ ộ ề ươ ầ ố ớ ươ
x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2), thì dao đng t ng h p s là: x = xộ ổ ợ ẽ 1 + x2 = Acos(t + ) v i A vàớ
đc xác đnh b i các công th c: Aượ ị ở ứ 2 = A12 + A22 + 2 A1A2 cos (2 - 1) và tan =
2211
2211
coscos
sinsin
AA
AA
.
Biên đ và pha ban đu c a dao đng t ng h p ph thu c vào biên đ và pha ban đu c a các dao đngộ ầ ủ ộ ổ ợ ụ ộ ộ ầ ủ ộ
thành ph n.ầ
+ Khi x1 và x2 cùng pha (2 - 1 = 2k) thì dao đng t ng h p có biên đ c c đi: A = Aộ ổ ợ ộ ự ạ 1 + A2.
+ Khi x1 và x2 ng c pha (ượ 2 - 1 = (2k + 1)) thì dao đng t ng h p có biên đ c c ti u: A = |Aộ ổ ợ ộ ự ể 1 - A2| .
+ Tr ng h p t ng quát: Aườ ợ ổ 1 + A2 A |A1 - A2|.
B. CÁC D NG BÀI T PẠ Ậ
1. Tìm các đi l ng đc tr ng trong dao đng đi u hòaạ ượ ặ ư ộ ề .
* Các công th c:ứ
+ Li đ (ph ng trình dao đng): x = Acos(ộ ươ ộ t + ).
+ V n t c: v = x’ = - ậ ố Asin(t + ) = Acos(t + +
2
).
+ Gia t c: a = v’ = - ố2Acos(t + ) = - 2x; amax = 2A.
+ V n t c v s m pha ậ ố ớ
2
so v i li đ x; gia t c a ng c pha v i li đ x (s m pha ớ ộ ố ượ ớ ộ ớ
2
so v i v n t c v). ớ ậ ố
+ Liên h gi a t n s góc, chu kì và t n s c a dao đng: ệ ữ ầ ố ầ ố ủ ộ =
T
2
= 2f.
+ Công th c đc l p: Aứ ộ ậ 2 = x2 +
2
2
v
ω
=
2 2
2 4
v a
ω ω
+
.
I
4
+ v trí cân b ng: x = 0 thì |v| = vỞ ị ằ max = A và a = 0.
+ v trí biên: x = Ở ị A thì v = 0 và |a| = amax = 2A =
2
axm
v
A
.
+ L c kéo v : F = ma = - kx.ự ề
+ Qu đo chuy n đng c a v t dao đng đi u hòa là m t đo n th ng có chi u dài L = 2A.ỹ ạ ể ộ ủ ậ ộ ề ộ ạ ẳ ề
* Bài t p minh h a:ậ ọ
1. Ph ng trình dao đng c a m t v t là: x = 6cos(4ươ ộ ủ ộ ậ t +
6
) (cm), v i x tính b ng cm, t tính b ng s. Xácớ ằ ằ
đnh li đ, v n t c và gia t c c a v t khi t = 0,25 s.ị ộ ậ ố ố ủ ậ
2. M t v t nh kh i l ng 100 g dao đng đi u hòa trên qu đo th ng dài 20 cm v i t n ộ ậ ỏ ố ượ ộ ề ỹ ạ ẳ ớ ầ s góc 6 rad/s.ố
Tính v n t c c c đi và gia t c c c đi c a v t.ậ ố ự ạ ố ự ạ ủ ậ
3. M t v t dao đng đi u hoà trên qu đo dài 40 cm. Khi v trí có li đ x = 10 cm v t có v n t c 20ộ ậ ộ ề ỹ ạ ở ị ộ ậ ậ ố
3
cm/s. Tính v n t c và gia t c c c đi c a v t.ậ ố ố ự ạ ủ ậ
4. M t ch t đi m dao đng đi u hoà v i chu kì 0,314 s và biên đ 8 cm. Tính v n t c c a ch t đi m khiộ ấ ể ộ ề ớ ộ ậ ố ủ ấ ể
nó đi qua v trí cân b ng và khi nó đi qua v trí có li đ 5 cm.ị ằ ị ộ
5. M t ch t đi m dao đng theo ph ng trình: x = 2,5cos10t (cm). Vào th i đi m nào thì pha dao đng đtộ ấ ể ộ ươ ờ ể ộ ạ
giá tr ị
3
? Lúc y li đ, v n t c, gia t c c a v t b ng bao nhiêu?ấ ộ ậ ố ố ủ ậ ằ
6. M t v t dao đng đi u hòa v i ph ng trình: x = 5cos(4ộ ậ ộ ề ớ ươ t + ) (cm). V t đó đi qua v trí cân b ng theoậ ị ằ
chi u d ng vào nh ng th i đi m nào? Khi đó đ l n c a v n t c b ng bao nhiêu?ề ươ ữ ờ ể ộ ớ ủ ậ ố ằ
7. M t v t nh có kh i l ng m = 50 g, dao đng đi u hòa v i ph ng trình: x = 20cos(10ộ ậ ỏ ố ượ ộ ề ớ ươ t +
2
π
) (cm).
Xác đnh đ l n và chi u c a các véc t v n t c, gia t c và l c kéo v t i th i đi m t = 0,75T.ị ộ ớ ề ủ ơ ậ ố ố ự ề ạ ờ ể
8. M t v t dao đng đi u hòa theo ph ng ngang v i biên đ ộ ậ ộ ề ươ ớ ộ
2
cm và v i chu kì 0,2 s. Tính đ l n c aớ ộ ớ ủ
gia t c c a v t khi nó có v n t c 10ố ủ ậ ậ ố
10
cm/s.
9. M t v t dao đng đi u hòa v i ph ng trình: x = 20cos(10ộ ậ ộ ề ớ ươ t +
2
π
) (cm). Xác đnh th i đi m đu tiênị ờ ể ầ
v t đi qua v trí có li đ x = 5 cm theo chi u ng c chi u v i chi u d ng k t th i đi m t = 0.ậ ị ộ ề ượ ề ớ ề ươ ể ừ ờ ể
10. M t v t dao đng đi u hòa v i ph ng trình: x = 4cos(10ộ ậ ộ ề ớ ươ t -
3
π
) (cm). Xác đnh th i đi m g n nh tị ờ ể ầ ấ
v n t c c a v t b ng 20ậ ố ủ ậ ằ
3
cm/s và đang tăng k t lúc t = 0.ể ừ
* H ng d n gi i và đáp s :ướ ẫ ả ố
1. Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4.0,25 +
6
) = 6cos
6
7
= - 3
3
(cm);
v = - 6.4sin(4t +
6
) = - 6.4sin
6
7
= 37,8 (cm/s); a = - 2x = - (4)2. 3
3
= - 820,5 (cm/s2).
2. Ta có: A =
2
L
=
2
20
= 10 (cm) = 0,1 (m); vmax = A = 0,6 m/s; amax = 2A = 3,6 m/s2.
3. Ta có: A =
2
L
=
2
40
= 20 (cm); =
22
xA
v
= 2 rad/s; vmax = A = 2A = 40 cm/s;
amax = 2A = 800 cm/s2.
4. Ta có: =
314,0
14,3.22
T
= 20 (rad/s). Khi x = 0 thì v = ± A = ±160 cm/s.
Khi x = 5 cm thì v = ±
22 xA
= ± 125 cm/s.
5. Ta có: 10t =
3
t =
30
(s). Khi đó x = Acos
3
= 1,25 (cm); v = - Asin
3
= - 21,65 (cm/s);
a = - 2x = - 125 cm/s2.
6. Khi đi qua v trí cân b ng thì x = 0 ị ằ cos(4t + ) = 0 = cos(±
2
π
). Vì v > 0 nên 4t + = -
2
π
+ 2k
I
5
