SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRN
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2012-2013
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI MÔN: TOÁN – LỚP 11
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
_______________________________________________________________________________
I. PHẦN CHUNG (7 điểm): Dành cho tất cả thí sinh
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a) (1 điểm)
2s 0
in 3x
− =
.
b) (1 điểm)
cos 2 0
5cos 3
=
+ +
x
x
.
c) (1 điểm) 2
1 cos
1 cot
sin
+ =
x
x
x
.
Bài 2: (1 điểm) Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 5 người vào 5 ghế ngồi xung quanh một bàn tròn, nếu
không có sự phân biệt giữa các ghế này?
Bài 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD là đáy lớn).
a) (1,5 điểm) Xác định giao tuyến của hai cặp mặt phẳng
(
)
SAC
và
(
)
SBD
;
(
)
SAD
và
(
)
SBC
.
b) (1 điểm) M là một điểm trên cạnh SC không trùng với S và C. Xác định thiết diện của hình chóp
S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
(
)
ABM
.
c) (0,5 điểm) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
SAD
và
(
)
SBC
, chứng minh d và BM đồng
phẳng.
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho
chương trình đó.
1. Theo chương trình nâng cao
Bài 4A. (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
1
x
x
−
với
0
x
≠
.
Bài 5A. (2 điểm) Một hộp kín chứa 2 quả cầu màu trắng và 8 quả cầu màu đen, các quả cầu chỉ khác
nhau về màu sắc.
a) (1,5 điểm) Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đã cho. Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu cùng màu.
b) (0,5 điểm) Lấy ngẫu nhiên các quả cầu từ hộp đã cho hai lần như sau: Lần thứ nhất lấy ra 3 quả
cầu rồi trả lại vào hộp. Lần thứ hai lại lấy ra 3 quả cầu. Tính xác suất để số cầu trắng của hai lần
lấy là như nhau.
2. Theo chương trình chun
Bài 4B. (1 điểm) Cho cấp số cộng
(
)
n
u
thỏa mãn 1 5
3 4
7
9
u u
u u
+ =
+ =
. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của
cấp số cộng đã cho.
Bài 5B. (2 điểm) Một hộp kín chứa 2 quả cầu màu trắng và 8 quả cầu màu đen, các quả cầu chỉ khác
nhau về màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đã cho.
a) (1,5 điểm) Tính xác suất để lấy được 3 quả cầu cùng màu.
b) (0,5 điểm) Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả cầu màu đen.
–––––––HẾT–––––––
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………… Số báo danh:………………………………………
Đ
Ề CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Bài Đáp án Điểm
2s 0 s
3
in 3 in
2
x x− = ⇔ = 0,25
sin sin
3
π
x⇔ = 0,25
1.a
(1 điểm)
( )
2
3
22
3
π
π
π
π
ℤ
x k
k
x k
= +
⇔ ∈
= +
0,50
(
)
2
cos 2 0 2cos 1 0
5cos 3 5cos 3x xx x
= ⇔ − =
+ + + +
0,25
2
2cos 0
5cos 2xx
⇔ =
+ +
(*) 0,25
Đặt
cos , 1 1
t x t
= − ≤ ≤
.
Phương trình trở thành
( )
2
2 0 2
1
5 2
2
hoaëc loaïit tt t
= ⇔ = − = −
+ + .
Ghi chú. HS có thể giải trực tiếp (*) mà không cần đặt n phụ.
0,25
1.b
(1 điểm)
Với 1 1 2 2
cos cos 2 ,
2 2 3 3
π π
π
ℤ
t x x k k
= − ⇒ = − = ⇔ = ± + ∈
0,25
Điều kiện
sin 0
x
≠
.
Qui đồng hai vế, phương trình trở thành 2
sin sin .cos 1 cos
x x x x
+ = −
0,25
(
)
(
)
sin 1 sin cos 1 0
x x x
⇔ + + − =
0,25
sin 1
1
sin sin
4 4
2
π π
x
x
= −
⇔
+ = =
0,25
1.c
(1 điểm)
( )
2
2
2 ,
2
2
2
π
π
π
π π
π
π
ℤ
loaïi
x k
x k x k k
x k
= − +
⇔ = ⇔ = + ∈
= +
. 0,25
Vì không có sự phân biệt giữa các ghế ngồi nên có 1 cách xếp một người vào một
ghế bất kì. 0,25
Xếp chỗ ngồi cho 4 người còn lại: có 4! Cách xếp 0,50
2.
(1 điểm)
Vậy có tất cả 4!=24 cách xếp. 0,25
3.a
(1,5 điểm)
dJ
N
I
O
A
D
B
C
S
M
0,50
(
)
(
)
O AC BD SO SAC SBD
= ∩ ⇒ = ∩
0,50
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
/ /
AD SAD
BC SBC
SAD SBC d
AD BC
S SAD SBC
⊂
⊂
⇒ ∩ =
∈ ∩
qua S và song song với AD 0,50
Trong
(
)
SAC
, đặt
I SO AM
= ∩
0,50
Trong
(
)
SBD
, đặt
N BI SD
= ∩
0,25
3.b
(1 điểm)
Thiết diện cần tìm là tứ giác ABMN 0,25
Nhận thấy,
(
)
(
)
(
)
SAD SBC d d SBC
∩ = ⇒ ⊂
.
Hơn thế,
(
)
BM SBC
⊂
.
Vậy, BM và d đồng phẳng (cùng nằm trong
(
)
SBC
)
0,50
3.c
(0,5 điểm)
Ghi chú. HS có thể lập luận cách khác như sau
Trong
(
)
SAD
, gọi
J AN d
= ∩
Ta thấy, ba mặt phẳng
(
)
(
)
(
)
, ,
SAD SBC ABM
đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến d, AN, BM mà AN cắt d tại J
Suy ra d, AN, BM đồng qui tại J nên BM và d đồng phẳng
Số hạng tổng quát của khai triển:
( ) ( )
12 12 2
1 12 12
1
. . 1 . , 12
k
k
k k k k
k
T C x C x k k
x
− −
+
= − = − ∈ ≤
ℕ 0,50
Số hạng không chứa x ứng với
12 2 0 6
k k
− = ⇔ =
0,25
4A
(1 điểm)
Vậy số hạng không chứa x là
(
)
66
12
1 . 924
C− = . 0,25
Gọi A là biến cố lấy được 3 quả cầu cùng màu.
Suy ra, A là biến cố lấy được 3 quả cầu màu đen (do số cầu trắng chỉ có 2) 0,25
Số kết quả có thể là 3
10
120
C
=
0,50
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 3
8
56
C
=
0,50
5A.a
(1,5 điểm)
Suy ra
( )
56 7
120 15
P A = = . 0,25
Gọi
k
A
là biến cố lần 1 lấy ra k quả cầu màu trắng
(
)
0,1,2
k
=
j
B
là biến cố lần 2 lấy ra j quả cầu màu trắng
(
)
0,1,2
j
=
C là biến cố hai lần lấy ra được số quả cầu trắng bằng nhau.
Suy ra
0 0 1 1 2 2
C A B A B A B
= ∪ ∪
.
0,25
5A.b
(0,5 điểm)
Ta có
( ) ( )
0 3
2 8
0 0 3
10
7
15
C C
P A P B C
= = =
( ) ( )
1 2
2 8
1 1 3
10
7
15
C C
P A P B C
= = =
( ) ( )
2 0
2 8
2 2 3
10
1
15
C C
P A P B C
= = = .
Do các biến cố
k
A
và
j
B
độc lập và
0 0 1 1 2 2
; ;
A B A B A B
đôi một xung khắc nên
( )
222
7 7 1 33
15 15 15 75
P C


= + + =




0,25
Gọi 1
,
u d
lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng
(
)
n
u
.
Ta có 1 5 1 1
3 4 1
1
7 2 4 7
2
9 2 5 9
2
u u u d u
u u u d d
+ = + =
= −
⇔ ⇔
+ = + =
=
0,50
4B
(1 điểm)
Suy ra
( ) ( )
20 1
20
2 20 1 10 1 38 370
2
S u d
= + − = − + =
0,5
Gọi B là biến cố lấy được 3 quả cầu cùng màu.
Suy ra, B là biến cố lấy được 3 quả cầu màu đen (do số cầu trắng chỉ có 2) 0,25
Số kết quả có thể là 3
10
120
C
=
0,50
Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3
8
56
C
=
0,50
5B.a
(1,5 điểm)
Suy ra
( )
56 7
120 15
P B = = . 0,25
Gọi C là biến cố 3 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đen.
Số các kết quả có thể là
(
)
3
10
120
n C
Ω = =
. 0,25
5B.b
(0,5 điểm)
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố C là 1 2 2 1 3
8 2 8 2 8
120
C C C C C
+ + =
.
Suy ra
( )
120
1
120
P C
= =
.
Ghi chú. HS có thể trình bày như sau, vì số cầu trắng bằng 2 (nhỏ hơn 3) nên khi
lấy 3 quả cầu, chắc chắn sẽ lấy được ít nhất một quả cầu đen nên
(
)
1
P C
=
.
0,25